บทที่ 4 สมดุลกล

เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น

รายวิชา ว 31203 ฟิสิกส์ 2

ส ม ดุ ล ก ล

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

ชื่ อ-สกุล..........................................................................
ชั้นม.4/............ เลขที่...........

โ ร ง เ รี ย น เ ฉ ลิ ม พ ร ะ เ กี ย ร ติ ส ม เ ด็ จ พ ร ะ ศ รี น ค ริ น ท ร์ ​ ย ะ ล า

ส อ น โ ด ย ค รู สุ ร เ ด ช โ ส ด ส ล า ม

บทที่ 4 สมดุลกล 1

บทที่ 4 สมดุลกล

1 สภาพสมดุลกล (equilibrium)

คือ สภาพท่ีวัตถุสามารถรักษาสภาวะคงเดิมไว้ได้ เช่น หนังสือวางบนโต๊ะ รถวิ่งด้วยความเร็วคงที่ ล้อหมุน
ดว้ ยความเร็วเชงิ มมุ คงที่ เปน็ ตน้

ประเภทของสมดลุ

1. วตั ถทุ อี่ ยู่ในสมดุลสถติ (static equilibrium)
คอื วัตถุท่อี ย่นู ่ิงและไมม่ ีการหมนุ
2. วตั ถุทอี่ ยใู่ นสมดุลจลน์ (dynamic equilibrium)
คอื วตั ถุที่มกี ารเคลอ่ื นท่ดี ว้ ยความเร็วคงตัว หรือ มีการหมุนดว้ ยอัตราเรว็ คงตัว

เง่อื นไขของสมดุล

1. วัตถทุ อ่ี ยใู่ นสมดุลตอ่ การเลื่อนที่ (translational equilibrium)
คือ วตั ถุทหี่ ยุดนิ่งหรือมีการเคลือ่ นท่ีด้วยความเรว็ คงตวั
2. วตั ถุท่ีอยู่ในสมดุลต่อการหมนุ (rotational equilibrium)
คือ วัตถทุ ีไ่ ม่มีการหมุนหรอื หมุนด้วยอัตราเรว็ คงตวั

ตัวอย่างท่ี 1 ระบบในขอ้ ใดต่อไปน้อี ยใู่ นภาวะสมดลุ

กข

คง

หน้า 1 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดลุ กล 2

ตวั อย่างท่ี 2 จากข้อมลู ในรปู ด้านลา่ งน้ี ระบบอยู่ในภาวะสมดลุ หรือไม่
ก. สมดุล
ข. ไม่สมดุล
ค. เป็นไปไม่ได้ทง้ั สองกรณี
ง. ข้อมลู ไม่เพียงพอทจ่ี ะหาคำตอบ

คำถามชวนคดิ

1. การยนื นิง่ โดยมอื ขา้ งหนึ่งถือกระเป๋าเปน็ การอยใู่ นสมดุลหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. ใหน้ ักเรยี นยกตัวอยา่ งวัตถุท่ีอยใู่ นสมดุลต่อการเลอื่ นท่ีมา 2 ตวั อย่าง

...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. ใหน้ ักเรยี นยกตวั อย่างวัตถุทอี่ ยูใ่ นสมดุลต่อการหมุนมา 2 ตัวอย่าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. นักกรีฑาท่กี ำลงั วิ่งแขง่ 100 เมตร อยใู่ นสมดลุ กลหรือไม่ เพราะเหตุใด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

5. เปน็ ไปได้หรือไม่ ท่ีวัตถุหนงึ่ จะอยูใ่ นสมดลุ จลนแ์ ละสมดุลต่อการเลอื่ นท่ีพร้อมกัน
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
6. นกั เรียนคดิ ว่าทำไมหอเอนเมอื งปิซา ประเทศอติ าลี ยังคงตั้งตระหง่านได้ ทั้งท่ตี ัวอาคารมีการเอียง?
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 2 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดุลกล 3

2 ศูนย์กลางมวลและศูนย์ถว่ ง
ศูนย์กลางมวล (center of mass, CM) คือ จุดที่เปรียบเสมือนเป็นจุดรวมมวลของวัตถุทั้งก้อน
ซ่ึงอยู่ประจำทีแ่ น่นอนและไมข่ ้นึ กบั สถานท่ีและอาจไมอ่ ยูภ่ ายในเน้อื ของวัตถุ เชน่ ศูนยก์ ลางมวลของวงแหวน

ศนู ยถ์ ว่ ง (center of gravity, CG) คอื จดุ ทีแ่ รงโน้มถว่ งของโลกกระทำต่อวตั ถุ

วัตถุในรูป A วางอยู่ในลักษณะสมดุลเพราะแนวของ CG ที่ตั้งดิ่งลงสู่พื้นโลก อยู่ในกรอบฐาน
ถา้ โยกวัตถุรูป A ให้อยใู่ นตำแหนง่ B มีแนวของจดุ ศูนย์ถว่ ง CG ยังอยู่ในฐาน วัตถจุ ะกลับมาตำแหนง่ เดมิ ตามรูป A
ถา้ โยกวัตถรุ ูป A ให้อยู่ในตำแหน่ง C มีแนวจุดศูนยถ์ ว่ ง CG เลยออกจากฐานวัตถจุ ะล้ม

หน้า 3 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 4

คำถามชวนคดิ

1. วัตถุมวลสมำ่ เสมอวางบนพ้ืนโลก ศูนยถ์ ่วงกบั ศูนยก์ ลางมวลจะเปน็ ตำแหน่งเดยี วกันหรอื ไม่
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. แขวนวัตถุทรงกระบอกที่ปลายเชือกด้านหนึ่ง ปลายเชือกอีกปลายหนึ่งแขวนไว้กับเพดานจะต้องแขวนวัตถุ
ทรงกระบอกท่ีปลายเชือกอย่างไร ใหว้ ัตถุนัน้ วางตัวในระดับพอดี
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

3. ศูนยก์ ลางมวลและศูนย์ถ่วงของวตั ถุหนึ่งบนผิวโลกอยูท่ ี่ตำแหน่งเดียวกัน ถ้าวัตถุน้อี ยู่บนดวงจันทร์ ศูนย์กลางมวล
และศูนย์ถว่ งของวัตถกุ ้อนนจ้ี ะเปลย่ี นแปลงหรอื ไม่ อย่างไร
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. ยกตัวอยา่ งวัตถทุ ี่ศนู ย์ถว่ งอยู่ภายนอกเนอ้ื วตั ถุมา 2 ตวั อย่าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ศนู ย์กลางมวล (center of mass, CM) สามารถหาไดจ้ าก CM = (x,̅ y)̅

เม่อื x̅= m1x1+m2x2+m3x3+ ……

m1+m2+m3+ ….
m1y1+m2y2+m3y3+ ……
และ y̅= m1+m2+m3+ ….

ศนู ย์ถว่ ง (center of gravity, CG) สามารถหาได้จาก CG = (x,̅ y)̅

เม่ือ x̅ = W1x1+W2x2+W3x3+ ……
W1+W2+W3+ ….
และ y̅ = W1y1+W2y2+W3y3+ ……
W1+W2+W3+ ….

หน้า 4 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดลุ กล 5

ตวั อย่างที่ 1 แผ่นพลาสติกบางเบารูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั มคี วามยาวด้านละ 20 เซนตเิ มตร มมี วล 1 , 2 , 3
และ 4 กโิ ลกรัม ตดิ อยู่ทม่ี ุมทั้งส่ดี า้ น จงหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบนี้

Y 3 kg
2 kg

4 kg
1 kg X

วธิ ที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 5 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

3 สมดุลตอ่ การเลื่อนที่ บทท่ี 4 สมดลุ กล 6
1. วาดแรงที่กระทำต่อวัตถุ และพจิ ารณาแกน x,y
2. แรงเสียดทาน

สมดุลของแรง 2 แรง
วัตถุที่สมดุลภายใต้แรง 2 แรง เช่น หนังสอื วางนิ่งบนโต๊ะ, วถั แุ ขวนด้วยเชอื กในแนวดง่ิ เปน็ ต้น
วตั ถจุ ะสมดุลภายใต้แรง 2 แรง เม่ือ

1. แรงทัง้ สองตอ้ งมีขนาดเทา่ กัน แต่มีทศิ ตรงขา้ มกัน
2. แรงทั้งสองต้องอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน (ผา่ นจุดเดยี วกัน)
3. แรงทง้ั สองอย่บู นระนาบเดียวกัน

หนังสือวางนง่ิ อยูบ่ นโตะ๊

หน้า 6 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดลุ กล 7

สมดลุ ของแรง 3 แรง
เมื่อมีแรง 3 แรง กระทำกับวัตถแุ ล้ววัตถุอยู่ในสภาวะสมดุล แนวแรงทัง้ สามเปน็ ไปได้ 2 กรณี คือ
กรณที ่ี 1 แนวแรงท้งั สามขนานกนั วัตถจุ ะสมดุล เมือ่

1. ผลบวกของแรงคูใ่ ดคู่หนง่ึ ตอ้ งมขี นาดเทา่ กับแรงท่ีสาม แต่มีทิศทางตรงข้าม
2. แรงทัง้ สามอยบู่ นระนาบเดยี วกัน
3. แรงสองแรงอยู่ในทศิ เดียวกนั โดยมแี รงท่ีมที ิศตรงขา้ มอยู่ระหว่างแรงทั้งสอง

แรงทก่ี ระทำกบั คาน

กรณีที่ 2 แนวแรงทั้งสามไมข่ นานกัน วตั ถจุ ะสมดลุ เมือ่

1. ผลบวกของแรงคใู่ ดคูห่ นง่ึ ต้องมขี นาดเทา่ กบั แรงที่สาม แตม่ ีทศิ ทางตรงข้าม
2. แรงทัง้ สามอยบู่ นระนาบเดยี วกนั
3. แรงท้งั สามต้องผา่ นจุดเดียวกัน

แรงดงึ เชือกท่ีกระทำกบั วตั ถุ แรงปฏกิ ริ ิยาทผี่ วิ สัมผัสกระทำกบั วตั ถุ

ตารางเปรียบเทียบสมดลุ ของแรง

จำนวนแรง ผา่ นจุดเดยี วกัน ระนาบเดียวกนั แรงลัพธ์
2 แรง
3 แรง

มากกวา่ 3 แรง

หนา้ 7 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 8

เพิม่ เติม
ทฤษฎีของลามี
ทฤษฎีของลามีกลา่ ววา่ ถ้ามีแรงสามแรงกระทำรว่ มกันทจี่ ุดเดียวกันและทำให้อย่ใู นภาวะสมดุล จะได้วา่ อตั ราส่วนระหวา่ ง
แรงตอ่ คา่ ไซน์ของมมุ ทอ่ี ยู่ตรงข้ามกับแรงน้ันมีคา่ เทา่ กัน

คำถามชวนคดิ
1. วัตถทุ ่ีอยู่ในสมดลุ ตอ่ การเลอ่ื นท่แี ละอยู่น่ิง มีเงอ่ื นไขอะไรบ้าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
2. ปล่อยให้วัตถตุ กอยา่ งอิสระ ถา้ ไม่คิดแรงตา้ นอากาศท่ีกระทำตอ่ วัตถุ วัตถุนี้สมดุลต่อการเลอื่ นท่ีหรือไม่ อธิบาย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. วางไม้คานสมำ่ เสมอพงิ กำแพงลนื่ ปลายอีกขา้ งหนึ่งวางบนพ้นื ลื่นเชน่ กนั ในกรณีนี้คานจะสมดุลตอ่ การเลอ่ื นที่
หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
4. จงให้เหตุผลวา่ เมอ่ื มมี วลแขวนทีจ่ ุดก่ึงกลางของเส้นเชือกที่ขงึ ไว้ในแนวระดบั ทำไมเราจึงไมส่ ามารถทำให้เชือกเป็น
เส้นตรงโดยไม่หยอ่ นเลย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 8 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 9

ตัวอย่างที่ 1 เด็กคนหนึ่งออกแรง 100 นิวตัน ลากกล่องให้เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอไปตามแนวระดับ โดยแนวของ
แรงดงึ ทำมมุ 30 องศา กบั แนวระดับ จงหาแรงเสยี ดทานทพ่ี น้ื กระทำต่อกล่อง
วิธที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตวั อย่างท่ี 2 วัตถุหนัก 50 นวิ ตนั วางอยูน่ งิ่ บนพน้ื เอียงซ่ึงเอยี งทำมมุ 30 องศา กบั แนวระดบั จงหาแรงท่ีพ้ืน
เอยี งดันวัตถุในแนวตั้งฉาก และแรงเสยี ดทานท่ีเกดิ ขึ้นระหว่างพื้นเอียงกับวัตถุ
วธิ ที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 9 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 10

ตัวอยา่ งที่ 3 ใชเ้ ชอื กผูกวัตถุหนกั 4 นิวตัน แล้วนำไปแขวนให้วัตถุห้อยอยูใ่ นแนวดง่ิ พบวา่ ถ้าใชแ้ รงในแนวระดับ
ขนาด 3 นวิ ตัน ดงึ วัตถุแล้วทำใหว้ ัตถุอยู่น่งิ ดังรปู จงหาแรงดึงในเส้นเชือกและมุมทแ่ี นวเส้นเชอื กทำกบั แนวดงิ่
กำหนดให้ sin 370 = 3/5 , cos 370 = 4/5
ว..ิธ..ีท..ำ.............................................................................................................................θ...........T.................................
...............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................F..............
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................W.......................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตัวอย่างที่ 4 วัตถุหนัก W แขวนไว้ด้วยเชอื กดังรูป ถา้ แรงดงึ ในเสน้ เชอื กตามแนวระดับเป็น 30 นวิ ตัน จงหา
น้ำหนัก W
วธิ ที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 10 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 11

แบบฝกึ ทกั ษะ เรอ่ื ง สมดุลต่อการเลอ่ื นที่

คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำใหถ้ กู ต้อง

1. วัตถหุ นัก 40 นวิ ตนั ผูกดว้ ยเชือกเบายาว 100 เซนตเิ มตร แลว้ นำไปแขวนห้อยอยใู่ นแนวด่งิ ถ้าใชแ้ รงดงึ F ใน

แนวระดบั ดึงให้วตั ถุสูงจากตำแหนง่ เดมิ เป็นระยะ 20 เซนติเมตร ดงั รปู จงหาแรง F

วิธที ำ
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................1..0....0..........c...m.............................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................2....0..........c...m...................................F............
...............................................................................................................................................................4..0.....N.........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. โคมไฟจราจรมวล m แขวนไว้นง่ิ กลางถนนด้วยลวดสามเส้น ดงั รปู จงหาแรงดงึ ในเสน้ ลวด เมื่อ มวลของโคมไฟ

จราจร 5 กิโลกรัม AC

.ว.ิธ..ีท..ำ.....................................................................................................................θ..1.....................................θ..2...........

.......................................................................................................................4.....m......................................3.....m........
...............................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................B....................................
...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................m........................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

หน้า 11 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดลุ กล 12

3. มวล 20 กิโลกรัม แขวนด้วยเชือก 2 เส้น ทำมุมกบั เพดานดงั รปู ขา้ งลา่ งจงหาแรงตึงเชอื กของ T1 และ T2
วธิ ที ำ
....................................................................................................................................3..0.๐..............................6..0.๐.......
...............................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................T..2...................................T..1....
................................................................................................................................................................O...............
............................................................................................................................................................2.0..................
............................................................................................................................................................k.g..................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

4. จากรปู วัตถุ A มีมวล 10 กโิ ลกรมั วางอยู่บนพื้นเอียงลืน่ อยากทราบว่ามวล B จะมีคา่ เทา่ ไร มวล A จงึ อยูน่ ิ่ง
ได้
วธิ ีทำ
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................B.
..............................................................................................................................................3.0..๐..............................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 12 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดลุ กล 13

4 สมดลุ ต่อการหมุน

สมดุลต่อการหมุน คือ การที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวหรือความเร็วเชิงมุมคงตัว โดยที่ความเร็วเชิงมุม
เปน็ การหมนุ ของวัตถุรอบแกนท่ีคงท่ีไมม่ คี วามเร่ง หรอื โมเมนต์ของแรงทกี่ ระทำต่อวตั ถมุ ีค่าเปน็ ศูนย์
โมเมนตข์ องแรงหรือทอร์ก ( ⃑ ) เม่อื มแี รงกระทำต่อวตั ถุทอี่ ยนู่ ่ิง โดยไมผ่ า่ นศูนยก์ ลางมวล วตั ถจุ ะหมุนรอบศูนย์กลาง
ของมวลแต่หากวัตถุถูกยึดติดกับแกนหมุน วัตถุนั้น ๆ ก็จะหมุนรอบแกนหมุน โดยการหมุนของวัตถุจะขึ้นอยู่กับ
โมเมนตข์ องแรงหรอื ทอร์ก

โดยนิยามมีสมการเวกเตอร์ของทอร์ก คอื

⃑ = ⃑r×⃑F

จากการเคลอื่ นทีแ่ บบหมุนขนาดของทอรก์ หรอื ขนาดของโมเมนต์

M ของแรง ⃑F จะเทา่ กับ

M = Frsinθ = Fd

d เปน็ ระยะทางจากจุดหมุนไปตั้งฉากกับแนวของแรง ⃑F จากรปู
ทิศทางของทอร์กมีทิศทางพงุ่ ออกตงั้ ฉากกบั ระนาบของการหมุ
โดยวัตถจุ ะหมนุ ในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า
ดังนน้ั ขนาดของทอรก์ มีค่าเทา่ กบั ผลคูณระหว่างขนาดของแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนไปตัง้ ฉากกับแนว
แรง มีหนว่ ย นิวตัน เมตร
เมอ่ื วัตถอุ ยใู่ นสภาพสมดุลสถิต คือไม่หมนุ ผลรวมโมเมนต์ของแรงตอ้ งเปน็ ศนู ย์

∑ni=1 Mi =0

หรืออาจถือเป็นหลกั ได้วา่ ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา = ผลรวมของโมเมนตต์ ามเข็มนาฬิกา
d1
เชน่ ในกรณที ม่ี นี ำ้ หนัก W1 W2 และ W3 แขวนกบั ไม้เมตร
W1
d3 และไมเ้ มตรอยู่ในสมดุลได้ คืออยนู่ ิ่งในแนวระดบั ได้
d2
ดงั รูป (ไม่คิดนำ้ หนักของไม้เมตร) จะเกิดโมเมนต์ของแรง
ทงั้ สามกระทำต่อไมเ้ มตร จากโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา

W2 W3 เท่ากบั โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาจะได้ W
W1d1 = W2d2 + W3d3

เมอื่ ไมเ้ มตรสมดุลต่อการหมุน W1d1 - W2d2 - W3d3 = 0 1
ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา = ผลรวมของโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา
หนา้ 13 d

1

=

สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลWาม

2

d

บทท่ี 4 สมดุลกล 14

ตวั อยา่ งที่ 1 คานเบายาว 3L มีเชอื กผูกห่างจากปลายดา้ นซ้ายเป็นระยะ L และมีวตั ถุ 4 ก้อน ทม่ี ีนำ้ หนักตา่ งกัน
แขวนท่ีตำแหน่งตา่ ง ๆ ทำให้ไมค้ านวางตัวในแนวระดบั ดังรูป วตั ถุ x มีนำ้ หนักเทา่ ใด
วิธที ำ
........................................................................................................................................................................................................................L..................................................L..........................................L..........................................
...............................................................................................................................................................................
....................................................................................................2.5...................5......................5.....................x............
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
........................................................................................................................ ......................................................

ตัวอย่างท่ี 2 แท่งไมเ้ บายาว 2.0 เมตร มีเชือก 2 เส้นผูกไวแ้ ละมีน้ำหนักแขวนไว้ท่ีตำแหนง่ ตา่ ง ๆ ทำใหแ้ ทง่ ไม้
วางตวั ในแนวระดับ ดังรปู แรงตึงเชือก T1 เปน็ กเ่ี ทา่ ของ T2

0.5 m 0.5 m

1m 30 N 20 N
50 N

วิธที ำ

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

หนา้ 14 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดุลกล 15

โมเมนต์ของแรงคูค่ วบ เมื่อมีแรงคู่ควบกระทำต่อวัตถุ วัตถุจะเกดิ การหมนุ โดยแรงคู่ควบ คอื แรงทม่ี ขี นาดเทา่ กัน 2
แรงท่ีกระทำตอ่ วตั ถุ โดยขนานกันและมที ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม

พิจารณาจากรูป จะได้วา่ โมเมนตข์ องแรงคู่ควบ F⃑⃑1 และ F⃑⃑2 รอบแกนหมุน O เป็นโมเมนต์ตามเขม็
นาฬิกา และเน่อื งจากขนาดของแรงคู่ควบเทา่ กัน

ดงั น้ัน ถ้าให้ F เป็นขนาดของแรงคู่ควบแต่ละแรง จะหาผลของโมเมนต์ของแรงคู่ควบไดเ้ ป็น

F1l1+F2l2 = F1l1+F2l2
= F(l1+ l2)

ดงั นั้น F1l1+F2l2 = Fl
ดังนัน้ Mc = Fl

เมอื่ Mc เปน็ โมเมนต์ของแรงคู่ควบ
F เปน็ ขนาดของแรงคู่ควบ
l เปน็ ระยะทางตง้ั ฉากระหว่างแนวแรงทัง้ สอง

ในการหาโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุนอื่น เช่น A หรือ B ดงั แสดงในรูป ผลรวมของโมเมนตข์ องแรงรอบแกนหมุน
ใด ๆ กต็ ามค่าท่ไี ด้จะคงเดิมและมที ิศหมุนตามเขม็ นาฬิกาเช่นเดมิ

ดังนั้นสรุปได้ว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบใด ๆ มีขนาดเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะทาง
ตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง ซึ่งจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขึ้นอยู่กับทิศของแรงคู่ควบน้ัน
และแรงคู่ควบเป็นแรงที่ทำให้วัตถุไม่สมดุลต่อการหมุนแต่สมดุลต่อการเลื่อนที่ เนื่องจากแรงลัพธ์ของแรงคู่ควบจะเป็น
ศูนย์ เพราะแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แรงคุ่ควบจึงจะไม่มีผลในการเลื่อนที่ของวัตถุแต่จะ
มีผลเฉพาะทำใหเ้ กิดการหมนุ อยา่ งเดยี ว

ทบทวนความเขา้ ใจ
โมเมนต์ของแรงและโมเมนต์ของแรงคู่ควบต่างกนั หรอื ไม่อยา่ งไร ?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

หนา้ 15 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 16

ตัวอย่างที่ 1 กรอบไม้เบารูปส่ีเหลย่ี มผืนผ้า ABCD ด้าน AB ยาว 40 เซนติเมตร ด้าน BC ยาว 30 เซนติเมตร
มีแรงกระทำ 4 แรงดงั รูป โมเมนต์รวมทีก่ ระทำต่อกรอบไม้ มีขนาดเทา่ ใดและเป็นชนดิ ใด

20 N

30 N 30 N
30 cm

วิธที ำ 40 cm 20 N
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

ตัวอยา่ งท่ี 2 ถังรปู ทรงกระบอกเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง 20 เซนติเมตร สูง 40 เซนติเมตร หนกั 120 นิวตัน วางบน
พื้นราบ ใช้แรง 36 นิวตัน กระทำในแนวระดับ ทำให้ถังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว โดยไม่ล้ม แรงที่ใช้ต้องอยู่สูง
จากพนื้ ไมเ่ กินเทา่ ใด
วธิ ีทำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 16 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 17

แบบฝึกทกั ษะ เร่อื ง สมดุลต่อการหมุน

คำชแี้ จง ให้นกั เรยี นแสดงวิธที ำให้ถกู ต้อง

1. กำหนดให้คานเบายาว 0.6 เมตร มีเชือกแขวนอยู่ที่กึ่งกลางคาน ปลาย A มีมวล 10 กิโลกรัมแขวนอยู่ จะต้อง

แขวนมวล 15 กิโลกรัม บนคานที่ปลายอีกด้านหนึ่งห่างจากจุดหมุนเท่าใด คานจึงจะอยู่ในสมดุลในแนวระดับ (ให้

คดิ จดุ หมุนท่ี C, A และ B ตามลำดับ)

วิธีทำ A C B
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................1.0................................................................
......................................................................................................................................................................1.5........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. บันไดขนาดสมำ่ เสมอว่างนิ่งพงิ กำแพงเกล้ยี งโดยปลายล่างทำมุม 60 องศากับพ้นื ดังรปู บนั ไดหนัก 300 นิวตัน
ก. จงเขียนแผนภาพของแรงทีก่ ระทำกบั บันได
ข. ถ้าคนมนี ำ้ หนัก 600 นวิ ตันยนื บนบันไดท่ีระยะ ¼ ของความยาวบันไดจากพ้ืนโดยบันไดยังอยู่นิ่ง ขนาดของแรง
ทพี่ ้นื กระทำและกำแพงกระทำกบั บนั ไดเป็นเทา่ ใด
วธิ ที ำ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หน้า 17 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดุลกล 18

3. คานสมำ่ เสมอยาว 4 เมตรหนัก 50 นิวตนั ปลายบนพิงกําแพงเกล้ียงปลายล่างวางไว้บนพ้นื ขรุขระโดยทำมุม 60

องศากบั พ้ืนระดับจงหา

ก. แรงปฏิกิรยิ าท่ีกำแพง ข. มาแรงปฏิกิรยิ าที่พื้น

ค.แรงเสียดทานท่ีพนื้ 4m
วิธที ำ

...............................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................6..0..0....................
..............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

4. กระดานสปริงสำหรบั กระโดดนำ้ มีน้ำหนัก 400 นิวตัน มีเสายดึ กับกระดานสปรงิ ที่ A และ B ซงึ่ หา่ งกัน ¼

ของความยาวของกระดานสปริง ดังรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงท่ี A และ B กระทำตอ่ กระดานสปริง ขณะที่

นกั กระโดดน้ำมีนำ้ หนัก 600 นวิ ตัน ยืนน่งิ อยทู่ ปี่ ลายคาน C

วธิ ที ำ
......................................................................................................................................................................................................................................A............................B............................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................C......
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 18 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดุลกล 19

5 เสถยี รภาพของวัตถุ

เสถยี รภาพของสมดุล

สมดุลเสถียร คือ สมดลุ ของวตั ถทุ ่ีเมื่อออกแรงกระทำให้วตั ถุเอียงจากเดิมแลว้
ศนู ย์กลางมวลของวัตถุเปลีย่ นตำแหน่งอยใู่ นระดบั ทสี่ งู ขึ้น พลังงานศักย์ของวตั ถุมากข้ึน
เมื่อหยดุ ออกแรงกระทำ วตั ถุสามารถกลับมาอย่ใู นลกั ษณะเดิม

สมดลุ สะเทิน คือ สมดลุ ของวัตถุทเี่ ม่ืออกแรงกระทำตอ่ วตั ถแุ ล้ววตั ถจุ ะกล้ิงไป
โดยศนู ย์กลางมวลอยใู่ นระดับความสงู เท่าเดิม พลังงานศักยข์ องวตั ถคุ งเดิมวัตถุ
จะเปลี่ยนตำแหนง่ ไปโดยวางตัวในลักษณะเดิม

สมดุลไม่เสถียร คอื สมดลุ ของวตั ถทุ ่ีเม่ือออกแรงกระทำให้วตั ถเุ อียงจากเดมิ
ศนู ย์กลางมวลของวัตถเุ ปลยี่ นตำแหนง่ อยู่ในระดบั ทตี่ ่ำกว่าเดิม พลงั งานศักยข์ องวัตถุ
จะลดลง วัตถุจะล้ม และไมส่ ามารถกลบั มาวางตวั ในลกั ษณะเดมิ

หนา้ 19 สอนโดย ครูสรุ เดช โสดสลาม

สภาพสมดลุ เสถยี ร สภาพสมดลุ ไม่เสถียร บทท่ี 4 สมดุลกล 20
ขวดนำ้
สภาพสมดลุ สะเทิน

กรวย

ลกู บอลจดุ C.G.อย่ทู ่กี งึ่ กลาง

คำถามชวนคิด

1. เสถียรภาพของวัตถขุ ึ้นกับอะไรบ้าง
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

2. เพราะเหตใุ ด ช่องเกบ็ สัมภาระของรถบัสจงึ อย่ขู า้ งลา่ งของตวั รถ
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

3. ขวดน้ำดม่ื แบบเดียวกันสามขวด ขวดที่หนง่ึ ไม่มีน้ำ ขวดที่สองมีนำ้ อยู่คร่งึ ขวด และขวดท่ีสามมีนำ้ อยู่เต็ม ขวดใดมี
เสถยี รภาพมากกวา่ กนั อธบิ าย
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 20 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทท่ี 4 สมดุลกล 21

ตวั อยา่ งท่ี 1 หอเอนเมืองปิซา่ ในประเทศอิตาลี หากยงั ไม่คดิ ถึงการเอียงตัวของหอคอยจะมีความสูงประมาณ 56 เมตร

และมีความกว้างของฐานประมาณ 15 เมตร แต่ในความเป็นจริงเมื่อหอคอยเอียงตัวและพบว่ายอดหอคอยด้านหนึ่งมี

ระยะห่างจากแนวดิ่งเป็นระยะประมาณ 3.9 เมตร ดังรูป หอคอยนี้เอียงตัวเป็นมุมเท่าใด และจะเอียงเป็นมุมมากที่สุด

เทา่ ใดโดยท่ไี ม่ลม้ ลงมา 15 m 3.9 m
วิธีทำ

...............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................5..6....m...........................................................
...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

ตัวอย่างที่ 2 วัตถุสม่ำเสมอก้อนหนง่ึ หนกั 2.0 x 103 นิวตนั วางอย่นู ่ิงบนพื้นระดบั ซ่ึงมีสมั ประสิทธิค์ วามเสยี ดทาน
สถิตระหว่างผิวสัมผัสเท่ากบั 0.4 มีแรง F กระทำต่อวัตถุในแนวระดบั โดยสูงจากพื้น h ดังรปู

ก. จงหาขนาดของแรง F ท่ีพอดที ำให้วตั ถุเรม่ิ จะเลือ่ นท่ี
ข. เม่ือแนวแรง N อยทู่ ี่รมิ สุดของฐานวัตถุ จงหาระยะ h ของแรง F ในขอ้ ก. ที่ทำให้วัตถเุ ร่ิมล้ม
วิธีทำ
............................................................................................................................................................5..0....c..m...........
...............................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................1..0....0..........c....m................................F................
......................................................................................................................................................................h.........
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................

หนา้ 21 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดลุ กล 22

คำช้แี จง จงเลือกคำตอบท่ีถกู ตอ้ งเพยี งข้อเดียว

1. มวล 20√3 กิโลกรัม ผูกเชอื กแขวนจากเพดาน ออกแรงผลกั มวลไปในแนวระดบั จนเชือกทำมมุ 30๐ จงหาวา่
เชือกมีความตงึ เท่าไร และต้องออกแรงผลกั เทา่ ไร ตามลำดับ

ก. 400 นิวตนั , 200 นวิ ตนั

ข. 200√3 นิวตนั , 400 นิวตัน 30๐ T P
ค. 200 นวิ ตนั , 400 นวิ ตัน

ง. 400√3 นิวตัน , 400 นวิ ตัน

2. กรอบรปู ส่ีเหลี่ยมหนัก 30 นิวตัน มีเชอื กเสน้ หนึ่งผกู ที่ มมุ บนทง้ั สองของกรอบรูปแลว้ คล้องกบั ตะปลู ่นื ตัวหน่ึง

ปรากฏวา่ เสน้ เชือกทำมุม 37o กบั แนวกรอบรปู จงหาแรงดึงในเส้นเชอื ก ( sin 37o = 3/5 )

ก. 25 นิวตัน

ข. 30 นวิ ตัน 37๐ 37๐

ค. 40 นิวตนั

ง. 60 นวิ ตัน

3. วัตถุกอ้ นหนึ่งแขวนไว้ด้วยเชอื กเบา 3 เส้น ดงั รปู ถา้ เชือกแต่ละเส้นรับขนาดแรงดงึ ไดไ้ ม่เกิน 20 นวิ ตัน จงหา

ว่าจะแขวนน้ำหนกั ได้มากท่ีสดุ กนี่ ิวตนั

ก. 2 นิวตัน 30๐
ข. 5 นวิ ตัน

ค. 7 นวิ ตัน W
ง. 10 นิวตัน

4. วตั ถุ M และ m สมดุลกันดงั รปู อตั ราส่วน M/m คอื ข้อใดตอ่ ไปนี้ ( sin 37o = 3/5 )

ก. 4/3

ข. 5/3

ค. 7/5 53๐ 37๐ m

ง. 8/5 M

5. วัตถุมวล 20 กิโลกรมั วางอยู่บนพนื้ เอยี งลนื่ ซ่ึงทำมุม 30o กับแนวระดับ จงหาแรงน้อยท่ีสดุ ที่

ผลกั วตั ถุขน้ึ ตามแนวพื้นเอียง ทท่ี ำใหว้ ัตถอุ ย่ใู นสภาพสมดุลได้

ก. 100 นวิ ตัน ข. 200 นิวตัน

ค. 300 นวิ ตัน ง. 400 นิวตัน

6. ตามรปู เปน็ คานเบาอนั หน่ึง ถามว่า m ควรมีค่าก่ีกิโลกรัม จงึ จะทำให้คานอยู่ ในภาวะสมดุล 1 m 2m 10 N
ก. 0.5 ข. 1.0 m
ค. 1.5 ง. 2.0
4m
50 N

หนา้ 22 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

บทที่ 4 สมดลุ กล 23

7. คานสม่ำเสมอยาว 50 เซนติเมตร มีไม้หมอนหนุนไว้ที่จุดกึง่ กลางคาน P และมีน้ำหนักแขวนไว้ที่ต่าง ๆ

ดังรูป ถ้าต้องการให้คานวางตัวตามแนวระดับ จะต้อง แขวนมวล 5 กิโลกรัม เพิ่มทางขวามือของจุด P ห่าง

ออกไปกเี่ ซนตเิ มตร 5 cm 20 cm 25 cm
ก. 2

ข. 4

ค. 6

ง. 8

8. แผ่นไม้สม่ำเสมอแผ่นหนึ่งยาว 4.0 เมตร มีมวล 60 กิโลกรัม วางพาดอยู่บนหมอนหนุนที่จุด C และปลาย A

ตั้งอยู่บนคมมีด ชายคนหนึ่งหนัก 600 นิวตัน เดินบนแผ่นไม้ จาก A ไป B ดังรูป จงหาว่าเขาจะเดินไปได้ไกล

จาก A เป็นระยะทางมากทีส่ ดุ กีเ่ มตร แผน่ ไม้จงึ จะยังคงสภาพสมดลุ

ก. 2.0 A 2.5 cm C B
ข. 2.5

ค. 3.0

ง. 3.5

9. แรง 2 แรง ขนานกันแต่มีทิศตรงกันข้ามขนาด 100 นิวตันเท่ากัน แนวแรงทั้งสองห่างกัน 5 เซนติเมตร
โมเมนตข์ องแรงคู่นร้ี อบจุดใด ๆ ท่อี ยรู่ ะหวา่ งแนวแรงทั้งค่จู ะเป็นกนี่ ิวตนั .เมตร

ก. 5 ข. 10 ค. 15 ง. 20

10. ชายคนหนึ่งขับรถเลี้ยวซ้าย เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่พวงมาลัย 100 นิวตัน-เมตร ถ้าพวงมาลัยมีเส้นผ่าน
ศนู ย์กลาง 0.5 เมตร จงหาแรงท่มี ือแตล่ ะข้างดงึ พวงมาลัย

ก. 50 นิวตัน ข. 100 นวิ ตัน ค. 150 นวิ ตัน ง. 200 นิวตนั

11. กล่องสีเ่ หล่ียมกวา้ ง 20 ซม. สงู 50 ซม. หนัก 100 นวิ ตัน วางอย่บู นพ้นื ราบซง่ึ มีสัมประสทิ ธ์ิความเสียดทาน

สถิตระหวา่ งผวิ สัมผสั 0.4 จงหาแรงผลักในแนวระดับท่ที ำใหก้ ล่องเร่ิมจะเคลอ่ื นท่ี

ก. 20 นิวตัน ข. 40 นวิ ตนั ค. 60 นิวตนั ง. 80 นิวตนั

12. จากขอ้ 11 ทีผ่ า่ นมา แรงผลักจะอยู่สงู จากพ้ืนมากทีส่ ุดกีเ่ ซนติเมตร กล่องจงึ ยงั ไม่ล้ม

ก. 15 ข. 20 ค. 25 ง. 30

13. เส้นลวดดึงคาน AB ซึ่งมีน้ำหนัก 50 นิวตัน แขวนไว้ถ้าคานสม่ำเสมอมีน้ำหนัก 20 นิวตัน ยาว 5 เมตร มี

ปลาย A ตรึงตดิ กับกำแพง คานสมดุลอย่ไู ดด้ ังรปู จงหาแรงดึงในเสน้ ลวด

ก. 100 นิวตนั 53๐ เสน้ ลวด 1 m
ข. 125 นิวตัน

ค. 150 นิวตัน 37๐ B
ง. 175 นิวตัน
A 5N

4m

หน้า 23 สอนโดย ครสู รุ เดช โสดสลาม

เ อ ก ส า ร ป ร ะ ก อ บ ก า ร เ รี ย น

รายวิชา ว 31203 ฟิสิกส์ 2

ส อ น โ ด ย ค รู สุ ร เ ด ช โ ส ด ส ล า ม