143 Matematika l 3b , serta hasil kalinya sama dengan -1. Dengan kondisi ini, secara sistem persamaan, sistem c) memiliki penyelesaian tunggal. Secara grafik, kondisi sistem a), b), dan c) disketsakan sebagai berikut. Gambar 4.13: Grafik sistem persamaan linear Secara umum, misalkan garis g1 : ax + by = c; a ≠ 0 dan b ≠ 0 g2 : rx + sy = t; r ≠ 0 dan s ≠ 0 : a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya a r b s = . Dengan kata lain, Garis sejajar dengan jika dan hanya m1 = m2 . • • • ( ) 22 , yxA ' 1 ' 2 − yy ( ) 12 , yxC ( ) 11 , yxB • 12 − xx 12 − yy ( )' 2 ' 2 ' , yxA ( )' 1 ' 1 ' , yxB ( )' 1 ' 2 ' , yxC ' 1 ' 2 − xx 1 l y x Gambar 4.13 2l
144 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Secara geomteris, kondisi dua garis sejajar dideskripsikan sebagai berikut. Misal, garis l 1 melalui titik A x y ' ' ' , ( ) 1 1 dan B x y ' ' ' , ( ) 2 2 , dengan gradien m1 . Garis l 2 melalui titik A x y 1 1 ( ) , dan B x y 2 2 ( ) , dengan gradien m2 . Mari kita cermati segitiga ABC dan A BC ' ' ' . Kedua segitiga tersebut merupakan dua segitiga yang sebangun. Oleh karena itu berlaku: y y x x y y x x 2 1 2 1 2 1 2 1 − − = − − ' ' ' ' atau m1 = m2 Selain itu, jarak titik A ke titik A' sama dengan jarak titik B ke titik B' . Kondisi ini semakin memperkaya bukti bahwa garis l 1 sejajar dengan garisl2 . Dengan demikian, sifat dua garis sejajar dinyatakan dalam sifat berikut. Sifat 4.1 Misalkan garis g ax by c 1 : + = ; a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m1 g rx sy t 2 : + = ; r ≠ 0 dan s ≠ 0 dengan gradien m2 a, b, c, r, s,t merupakan bilangan real. Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya jika gradien kedua garis sama. Secara matematis dinotasikan: g g 1 2 / / ↔ m m 1 2 = . Dari Sifat 4.1, mari kita cermati hubungan di antara koefisien-koefisien a, b, c, r, s, dan t. Karena m1 = m2 , dapat kita tulis bahwa a b r s = atau a r b s = . Ingat, walaupun a r b s = , tetapi tidak berlaku bahwa a r c t = atau b s c t = b s c t = (mengapa?). Perlakuan-perlakuan ini dapat kita simpulkan dalam sifat berikut ini. Sifat 4.2 Misalkan garis g ax by c 1 : + = ; a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0 dengan gradien m1 g rx sy t 2 : + = ; r ≠ 0, s ≠ 0 dan t ≠ 0 dengan gradien m2 a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Jika a r b s c t = = maka garis g1 berimpit dengan garis g2 .
145 Matematika Untuk lebih memantapkan pemahaman kita akan hubungan dua garis yang sejajar, mari kita cermati contoh berikut ini. Contoh 4.3 a) Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis-garis dengan persamaan 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16 serta sejajar dengan garis 2x + y = 4. b) Carilah nilai k sedemikian sehingga garis kx – 3y = 10 sejajar dengan garis 2x + 3y = 6. Alternatif Penyelesaian a) Terlebih dahulu kita menentukan titik potong garis 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16. Dengan cara eliminasi ataupun subsitusi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut (2, 3). Misal, garis g merupakan garis yang melalui titik (2, 3), serta sejajar dengan garis 2x + y = 4 maka gradien garis , sebut mg = –2 Jadi persamaan garis g, diperoleh: y – 3 = –2 (x – 3) atau 2x + y = 3. b) Karena garis, kx – 3y = 10 sebut g1 , sejajar dengan garis 2x + 3y = 6, sebut g2 maka mg1 = mg2 . Akitanya k 3 2 3 = − , atau k = –2. Dengan demikian dapat kita tulis bahwa garis –2x – 3y = 10 sejajar dengan 2x + 3y = 6. b. Garis-Garis Tegak Lurus Perhatikan grafik berikut ini. Sekarang mari kita amati segitiga ABC. Kita akan selidiki apakah segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku atau tidak. Tentu, sudut yang diduga merupakan sudut siku-siku adalah sudut ACB. Dengan menggunakan alat pengukur sudut (busur) atau penggaris berbentuk segitiga siku-siku, sudut ACB merupakan sudut-sudut siku-siku.
146 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Gambar 4.14: Garis l 1 dan l 2 berpotongan secara tegak lurus. Oleh karena itu, dapat kita tarik kesimpulan bahwa garis l 1 memotong secara tegak lurus garis l 2 . Selanjutnya, akan kita selidiki hubungan gradien garis l 1 (m1 ) dan gradien garis l 2 (m2 ). l 1 : y = x, dengan m1 = 1; l 2 : y = –x, dengan m2 = 1. Ternyata, m1 .m2 = –1. Masalah-4.1 Perhatikan gambar berikut ini!
147 Matematika Gambar 4.15: Garis l 1 dan l 2 , dengan gradien berbeda tanda berpotongan secara tegak lurus. Garis l 1 : y = m1 x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l 2 : y = m2 x + c2 mempunyai gradien tan β = m2 . Selidiki bahwa hubungan gradien garis l 1 dengan l 2 ! Alternatif Penyelesaian Diketahui garis l 1 : y = m1 x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2 : y = m2 x + c2 mempunyai gradien tan β = m2 . Cermati segitiga siku-siku ABC! Karena ∠ A = α dan ∠ C = 900 maka ∠ B = 1800 β. Oleh karena itu β = (900 + α) (tunjukkan!).
148 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Diketahu tan β = m2 . Akibatnya: tan = (900 + α) = m2 ↔− = ↔ − = 1 1 2 1 2 tana m m m diperoleh: m1 .m2 = –1 Dengan demikian, syarat dua garis yang saling tegak lurus dinyatakan dalam sifat berikut ini. Sifat 4.3 Misalkan garis g1 : bx – ay = t ; a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m b a 1 = g2 : ax – by = c ;a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m a b 2 = − a, b, c, merupakan bilangan real maka: Garis g1 berpotongan tegak lurus dengan garis g2 , dinotasikan g g 1 2 ⊥ . Contoh 4.4 Mari kita cermati grafik di bawah ini! Selidiki hubungan antar garis yang berlaku. Gambar 4.16 Ingat tan(900 + α) = - 1 tana
149 Matematika Alternatif Penyelesaian Langkah awal, dengan memperhatikan pasangan titik koordinat yang dilalui tiap-tiap garis, kita dapat menentukan persamaan dan gardien setiap garis. l x : 5 + = 3 1 y 5 , dengan ml = − 5 3 g y : 6 − = 5 3 x 0 , dengan mg = 5 6 k x : 5 − = 3 0 y , dengan mk = 5 3 . Latihan 4.1 Sebagai latihan secara mandiri, • selidiki apakah garis l dan garis k berpotongan secara tegak lurus? • selidiki juga hubungan garis l dan garis g! Diskusikan hasil kerjamu dengan temanmu. Uji Kompetensi 4.2 1. Selidikilah hubungan setiap pasangan garis dengan persamaan di bawah ini. a. g1 : –2x + 5y = 7 dan g2 : 3x – 4y = 12. b. l 1 : ax + by = c dan l 2 : px + qy = s, dengan a < b dan p > q, a, b, p, q ∈ R. 2. Penelitian terbaru menunjukkan bahwa suhu rata-rata permukaan Bumi meningkat secara teratur. Beberapa peneliti memodelkan suhu permukaan Bumi sebagai berikut: T = 0.02t + 8.50, T menyatakan suhu dalam 0 C dan t menyatakan tahun sejak 1900. a. Tentukan kemiringan garis tersebut, dan interpretasikan bilangan tersebut. b. Dengan menggunakan persamaan tersebut, prediksilah rata-rata perubahan suhu pada tahun 2200 3. Seorang manager perusahaan perabot harus menyediakan modal sebesar Rp22.000.000,00 untuk memproduksi 100 kursi kantor dan Rp48.000.000,00 untuk memproduksi 300 kursi yang sama.
150 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK a. Nyatakanlah biaya tersebut sebagai persamaan kursi yang diproduksi, dengan mengasumsikan hubungan antara biaya dan banyak kursi adalah linear. Kemudian gambarkan. b. Tentukan gradiennya, dan jelaskan arti bilangan itu. c. Dari sketsa, jelaskan makna grafik tersebut. 4. Perhatikan persamaan garis di bawah ini! g1 : ax + by = c dan g2 : px + qy = t, a, b, p, q ∈ R. Tunjukkan hubungan antara koefisien a, b dengan p, q agar g1 //g2 5. Tentukanlah k untuk setiap persamaan garis berikut. a. g1 : (2 – k)x – y = 8 dan g2 : (4 + k)x + 3y = 12 agar g g 1 2 ⊥ . b. l 1 : (3k + 5)x – 2y = 10 dan l2 : (–k – 3)x – 7y = 14 agar g g 1 2 / / . 6. Tentukan persamaan garis l 1 yang melalui titik (–7, 3) dan tegak lurus dengan garis l 2 : 3x – 5y = 12. Kemudian gambarkan grafiknya. 7. Diberikan dua garis dengan persamaan yang diperoleh dari matriks berikut: − = 3 4 5 4 p q x y . Tentukan perbandingan p dan q jika kedua garis saling tegak lurus. 8. Diketahui titik A(xa , ya ), B(xb , yb ), C dan AB adalah titik tengah. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus AB dan melalui titik C 9. Diketahui P(3,3), Q(4,-1) dan R(-8,-4). Tentukan besar sudut perpotongan garis PQ dan QR. 10. Diberikan garis l : (x – 2y) + a(x + y) = 5 dan garis g : (5y – 3x) –3a(x + y) = 12. Tentukan nilai a agar: a.l g / / b.l g ⊥
151 Matematika Projek Cari masalah dalam kehidupan sehari (minimal dua masalah nyata) yang menerapkan hubungan dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang berpotongan secara tegak. Deskripsikan kebermaknaan garis tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Susunlah hasil temuanmu dalam bentuk laporan hasil kinerja suatu proyek. Kamu diberikan waktu satu minggu untuk menuntaskannya secara baik dan teliti. D. PENUTUP Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait sifat-sifat persamaan garis lurus adalah sebagai berikut. 1. Persamaan linear, biasanya dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b, c merupakan bilangan riil. Model matematika permasalahan sehari-hari, khususnya dalam masalah ekonomi sering menjadi masalah yang terkait persamaan garis lurus. 2. Konsep dan sifat-sifat persamaan garis ini didasari oleh konsep persamaan linear dua variabel. Setiap garis, ax + by = c, memiliki kemiringan atau disebut gradien yang dinotasikan dengan m, kecuali garis vertikal. Gradien tersebut sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x positif. 3. Garis l : ax + by = c dikatakan sejajar dengan garis g : px + qy = t jika dan hanya jika kedua garis tidak pernah berpotongan atau memiliki gradien yang sama. Dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis berpotongan dan hasil kali gradiennya sama dengan -1. Penguasaan kamu tentang persamaan garis lurus sangat penting bermanfaat untuk bahasan persamaan garis singgung pada lingkarang dan persamaan singgung pada kurva. Untuk penerapan persamaan garis lurus lebih banyak digunakan pada kajian persamaan garis singgung lingkaran dan persamaan garis singgung kurva. Sifat-sifat garis lurus akan dibahas secara mendalam dan dimanfaatkan dalam penyelesaian masalah matematika dan masalah otentik.
152 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Catatan: ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... .......................................................................................................................................
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Mendeskripsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. 3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. Melalui pembelajaran materi barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya, siswa memperoleh pengalaman belajar: • Menemukan konsep dan pola barisan dan deret melalui pemecahan masalah otentik. • Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur. • Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan pola barisan dan deret tak hingga dalam memecahkan masalah otentik BARISAN DAN DERET TAK HINGGA • Pola Bilangan • Beda • Rasio • Barisan Tak Hingga • Barisan Konstan, Naik, dan Turun • Deret Tak Hingga • Jumlah suku tak hingga Bab 5
154 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Fungsi Materi Prasyarat Deret Tak Hingga Masalah Otentik Barisan Bilangan Barisan Tak Hingga Suku awal Beda Naik Unsur Nilai Suku Suku ke-n Turun Jumlah Suku Ke-n Konstan
155 Matematika C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Tak Hingga. Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret tak hingga berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Dalam mempelajari materi pada bab ini, ingat kembali barisan dan deret aritmatika (geometri) yang sudah kamu pelajari di kelas X. Kita akan mempelajari beberapa kasus dan contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret tak hingga pada bab ini. Barisan suatu obyek membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu. Aturan yang dimaksud adalah pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap suatu barisan untuk menemukan pola. Selanjutnya cermati masalah berikut. Masalah-5.1 Dua potong kawat besi disandarkan pada sebuah dinding rumah tempat bunga menjalar. Di antara kedua kawat dibuat potongan–potongan kawat E1 E2 , E3 E4 , E5 E6 , dan seterusnya seperti terlihat pada gambar berikut. A B C D 1 m Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah O(0,0) x E1 E3 E5 E2 E4 Q E6 Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah
156 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Kemiringan posisi kawat sebelah kiri adalah r dengan 0 < r < 1, r ∈ R dan kemiringan kawat sebelah kanan adalah 1. Jarak kedua kawat di tanah adalah 1 meter dan jarak BE1 = QE2 adalah r meter. a. Tentukan panjang potongan kawat E1 E2 , E3 E4 , E5 E6 , dan seterusnya dalam r. b. Temukan susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak dari titik A ke titik B, jarak titik B ke Q dan seterusnya sampai ke titik D! c. Tentukan fungsi yang menyatakan susunan bilangan dalam r! d. Tentukan jarak titik dari A ke D! Alternatif Penyelesaian Mari kita gambarkan posisi kawat besi dalam sumbu koordinat. A B C D 1 m Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah O(0,0) x E1 E3 E5 E2 E4 Q E6 Gambar-5.2. Posisi Kawat Tersandar di Dinding Rumah Koordinat titik A(0,0) dan B(1,0) adalah dua titik yang berada pada sumbu x. Karena ruas garis AC (kawat sebelah kiri) memiliki gradien r dengan 0 < r < 1 dan ruas garis BC (kawat sebelah kanan) memiliki gradien 1, maka kedua ruas garis bertemu pada satu titik, yaitu titik C. Misalkan titik E1 pada ruas garis AC. Karena ruas garis AC bergradien r dan panjang AB adalah 1 maka panjang BE1 adalah r. Titik E2 berada pada ruas garis BC, karena gradien BC adalah 1, maka panjang E1 E2 adalah r dan panjang E1 E2 = BQ = r.
157 Matematika • Karena gradien garis AC adalah r dan panjang E1 E2 = r, maka panjang E2 E3 = r2 . • Karena gradien garis BC adalah 1, maka panjang E3 E4 = r2 dan QR = r2 . Dengan cara yang sama, diperoleh panjang E5 E6 = r3 dan jika kita tambahkan potongan kawat di antara garis AC dan BC di atas E5 E6 menuju titik C, maka diperoleh panjang potongan kawat berikutnya r3 , r4 , r5 , …. Mengapa? a. Panjang E1 E2 , E3 E4 , E5 E6 , dan seterusnya dalam r adalah r, r2 r3 , r4 , r5 , … b. Susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak titik A ke titik B, titik B ke Q, titik Q ke R dan seterusnya sampai ke titik D, yaitu: 1, r, r2, r3 , …, dengan 0 < r < 1. c. Fungsi yang menyatakan susunan bilangan pada bagian (b) adalah u(n) = r n – 1, n ∈ N. d. Panjang AD adalah hasil penjumlahan 1, r, r2 , r3 , … AD = 1 + r + r2 + r3 + r4 + … = r n n − = ∞ ∑ 1 1 dengan 0 < r < 1 Perhatikan Gambar-5.2 di atas, dengan menggunakan aturan dalam trigoniometri, diperoleh jarak BD = CD = r + r2 + r3 + r4 + … Misalkan s = 1 + r + r2 + r3 + r4 + … Karena panjang ruas garis BD = r + r2 + r3 + r4 + … = s - 1, maka CD = s – 1 Perhatikan AD AB CD BE = 1 atau s s 1 r 1 = − . s s 1 r 1 = − ⇔ rs = s - 1 ⇔ (1- r)s = 1 ⇔ s = 1 1− r Berdasarkan uraian di atas panjang AD = s = 1 1− r , dengan 0 < r < 1. Panjang segmen garis AD ini dapat diartikan jumlah takhingga suku-suku barisan 1, r, r2 , r3 , r4 , r5 , …
158 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Masalah-5.2 Siti menggunting kertas menjadi dua bagian yang sama besar. Potongan kertas berikutnya digunting lagi menjadi dua bagian yang sama besar, seperti gambar berikut. Potongan pertama Potongan kedua Potongan ketiga Potongan keempat Potongan seterusnya Susunlah bilangan-bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, apabila potongan kertas berikutnya digunting dua bagian yang sama. Alternatif Penyelesaian Siti menggunting kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar 1 kertas 2 potong kertas Dua potongan kertas di atas, digunting menjadi dua bagian yang sama besar untuk setiap potongan kertas sehingga diperoleh potongan kertas berikut.
159 Matematika 3 potong kertas 4 potong kertas Misalnya n menyatakan guntingan ke-n Untuk n = 1, diperoleh banyak potongan kertas adalah 2 Untuk n = 2, diperoleh banyak potongan kertas adalah 4 Untuk n = 3, diperoleh banyak potongan kertas adalah 8 Untuk n = 4, diperoleh banyak potongan kertas adalah 16 Jika guntingan kertas dilanjutkan maka akan diperoleh suatu susunan bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, yaitu: 2, 4, 8, 16, 32, … Susunan bilangan tersebut membentuk sebuah barisan tak hingga, dengan nilai suku-suku barisan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi u(n) = 2n dengan n ∈ N. Lengkapilah tabel berikut untuk melihat jumlah parsial dari susunan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, …. Tabel 5.2: Jumlah parsial suku-suku barisan u(n) = 2n Deret Jumlah suku–suku Jumlah Potongan Kertas s1 u1 2 s2 u1 + u2 6 s3 u1 + u2 + u3 s4 u1 + u2 + u3 + u4 ... ... ... sn u1 + u2 + u3 + u4 ... + un ... ... ... sn u1 + u2 + u3 + u4 ... + un + … ... ... ... Amati data pada tabel yang kamu temukan. Dapatkah kamu menentukan suku dengan n = 20? Berapa jumlah 2, 4, 8, 16, 32, …. , jika n→∞ ?
160 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Masalah-5.3 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 9 meter ke lantai yang disajikan pada gambar berikut Gambar-5.3: Pantulan Bola Bola memantul kembali secara terus menerus setinggi 2 3 dari ketinggian sebelumnya. a. Tentukanlah susunan bilangan yang menyatakan ketinggian pantulan bola tersebut! b. Tentukan panjang lintasan yang dilalui bola setelah memantul ke lantai! Alternatif Penyelesaian a. Ditemukan susunan bilangan dari hasil pantulan bola. Dari masalah diketahui bahwa ketinggian pantulan bola adalah 2 3 dari ketinggian pantulan sebelumnya. Dengan demikian ketinggian yang dicapai bola untuk tiaptiap pantulan ditentukan sebagai berikut. Ketinggian bola awal = 9 m Pantulan pertama = 2 3 × = 9 6 Pantulan kedua = 2 3 × = 6 4 Pantulan ketiga = 2 3 4 8 3 × = dan seterusnya …
161 Matematika Tabel 5.1 Tinggi Pantulan Bola Pantulan ke 1 2 3 4 ... Tinggi pantulan (m) 6 4 8/3 16/9 ... u ... 4 u3 u2 u Suku ke ... 1 • Coba kamu teruskan mengisi tabel pada pantulan berikutnya • Apakah mungkin terjadi ketinggian pantulan bola sama dengan nol? Pantulan bola diperlihatkan seperti gambar di bawah ini Cermati gambar di samping! • Apakah bola suatu saat akan berhenti? • Bagaimana tinggi pantulan bola untuk n menuju tak hingga ( ) n → ∞ 0 1 2 3 4 5 tinggi lantai Gambar-5.4: Posisi Pantulan Bola Berdasarkan perhitungan dan gambar di atas diperoleh susunan bilangan menyatakan ketinggian pantulan bola, yaitu: 6, 4, 8 3 , 16 9 , 32 18 , … 9m 6m 4m … 2 3 2 3 2 3 2 3
162 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan. Nilai r dinyatakan: r u u u u u u u u n n ====… = − 2 1 3 2 4 3 1 . Jadi u1 = 9. 2 3 = 6 u1 = a u2 = u1 . 2 3 = 6. 2 3 = 4 u2 = u1 .r = ar u3 = u2 . 2 3 = 4. 2 3 = 8 3 u3 = u2 .r = ar.r = ar2 u4 = u3 . 2 3 = 8 3 . 2 3 = 16 9 u4 = u3 .r = ar2 .r = ar3 u5 = u4 . 2 3 = 16 9 . 2 3 = 32 27 u5 = u4 .r = ar3 .r = ar4 Susunan bilangan 6, 4, 8 3 , 16 9 , 32 27 , 64 81 , 128 243 ,… dapat dinyatakan dalam sebuah fungsi u(n) = 9( 2 3 )n , dengan n ∈ N. Susunan bilangan di atas dapat diekspresikan sebagai barisan tak hingga. a ar ar2 ….. arn-1 1 2 3 … n ….. b. Ditentukan panjang lintasan yang dilalui bola untuk 10 kali pantulan. Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S. s u = + 2( ) 1 u u 234 + + u u +…+ 10 ⇔ s u = + 2( ) u u + + u u +…+ − u 1 234 10 1 ⇔ s s = 2 10
163 Matematika Tabel 5.2: Jumlah Parsial Lintasan Bola Deret Jumlah suku-suku Nilai s1 u1 6 s2 u1 + u2 6 12 3 6 5 3 6 9 4 3 + = = − ( ) ( ) s3 u1 + u2 + u3 6 12 3 24 9 6 19 9 6 27 8 9 + + = = − ( ) ( ) s4 u1 + u2 + u3 + u4 6 12 3 24 9 48 27 6 65 27 6 81 16 125 + + + = = − ( ) ( ) ... ... ... sn u1 + u2 + u3 + u4 + ... + un sn n n n = − − 6 3 2 3 1 ( ) Berdasarkan tabel di atas deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah, s s s s 1 2 3 n , , ,..., ,... yaitu 6 3 2 3 6 3 2 3 6 3 2 3 6 3 2 3 1 1 0 2 2 1 3 3 2 1 ( ), ( ), ( ), ... , ( ) − − − −− n n n Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah s=2s10 atau s = − 6 3 2 3 10 10 9 ( ) Perhatikan kembali susunan bilangan yang diperoleh dari Masalah-5.1, Masalah-5.2, dan Masalah-5.3, yaitu: • 1, r, r2 , r3 , r4 , r5 , … yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = rn-1 dengan n ∈ N • 2, 4, 8, 16, 32, … yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = 2n-1 dengan n ∈ N. • 6, 4, 8 3 , 16 9 , 32 27 , 64 81 , 128 243 ,… yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = 9( 2 3 )n dengan n ϵ N. Berdasarkan beberapa model barisan bilangan di atas, dapat dipastikan bahwa barisan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli (N) dan rangenya adalah suatu himpunan (Rf ) bagian dari S, ditulis f : N → S, Rf ⊆ S.
164 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Definisi 5.1 Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan R S u ⊆ . Ditulis ( ) u n n , ⊆ N . Definisi 5.2 Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3 + …+ un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga. • Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga. Ditulis (sn ), n ∈ N atau s1 , s2 ,s3 , …, sn , … • Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku barisan tak hingga. Ditulis u u u u n n n = =∞ ∑ = + + + 1 1 2 3 ... Contoh 5.1 Perhatikan barisan angka berikut: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... Amatilah barisan angka tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah angka pada urutan ke 44 × 53 ! Alternatif Penyelesaian Pertama, kita perlihatkan urutan setiap angka pada barisan, pada grafik berikut: 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … n s • • • • • • • • • • Gambar Gambar-5.5: Barisan Sebagai Fungsi -5.5: Barisan Sebagai Fungsi
165 Matematika Jika kamu amati dengan teliti, kelompok angka 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 pada urutan ke-1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok angka terjadi pada setiap kelipatan 10 angka pertama. Jadi, angka pada urutan ke-1 sama dengan angka pada urutan ke-11, urutan ke-21, urutan ke-31 dan seterusnya. Kedua, angka pada urutan ke- 44 × 53 adalah angka pada urutan 256 × 125 = 32.000 atau 32000 = 3200 × 10 sehingga perulangan kelompok angka tersebut mengalami perulangan sebanyak 3200 kali. Dengan demikian, angka pada urutan ke-32000 adalah angka pada urutan ke-10 yaitu 4. Contoh 5.2 Sebuah susunan angka dituliskan sebagai berikut: 246810121416182022242628303234363840... dengan memandang setiap angka adalah suku barisan bilangan sehingga suku ke-10 = 4, suku ke-11 = 1, suku ke-12 = 6 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-1457? Alternatif Penyelesaian Mari kita amati kembali barisan tersebut, dengan memandang setiap angka adalah suku-suku barisan, maka susunan barisan menjadi: 2 4 6 81012 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 1 2345678 ... ? ↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2013 ... un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ... Kita akan menentukan angka pada suku ke-1457, dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut: Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (2 sampai 8): 2, 4, 6, 8 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 4 = 4 suku. Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 98) 10, 12, 14, 16, 18 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku 20, 22, 24, 26, 28 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku ... 90, 92, 94, 96, 98 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 10 = 90 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 2 sampai 98 adalah 4 + 90 = 94 suku.
166 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Langkah 3. Menentukan banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 998) 100, 102, 104, 106, 108, ..., 198 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku 200, 202, 204, 206, 208, ..., 298 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku 300, 302, 304, 306, 308, ..., 398 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku ... 900, 902, 904, 906, 908, ..., 998 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dari mulai 100 sampai 998 adalah 9 × 150 = 1350 suku Jadi terdapat sebanyak 4 + 90 + 1350 = 1444 suku pada barisan bilangan 2 sampai dengan 998 sehingga suku ke-1444 adalah 8. Suku berikutnya (suku ke-1457) adalah barisan bilangan dengan bilangan ribuan sebagai berikut. 9981 0 0 0 1 002 100 4 1 1442 1443 1444 1445 1446 ↓↓↓↓↓ ↓↓↓ ↓↓↓ ↓ ↓↓↓ ↓ uuuuuu u uuuuuuuuu 1447 1448 1449 1450 1451 1452 1453 1454 1455 1456 1457 ... Bilangan pada suku ke-1457 adalah 1. Sifat 5.1 Jika (un ) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a dan rasio = r dengan r ϵ R dan r <1maka jumlah tak hingga suku-suku barisan tersebut adalah s a r = 1− . Bukti: Misalkan un = ar n-1 dengan -1 < r < 1, n ϵ N Ingat kembali deret geometri yang telah kamu pelajari sebelumnya, telah diperoleh bahwa sn = a + ar + ar2 + … + ar n – 1 …………… Pers-1 Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan Persamaan 2 berikut. rsn = ar + ar2 + ar3 + … + ar n …………… Pers-2 Sekarang, dari selisih persamaan 1) dengan 2), diperoleh
167 Matematika sn – rsn = (a + ar + ar2 + … + ar n – 1) – (ar + ar2 + ar3 + … + ar n ) sn (1 – r) = a – arn s a ar r n n = − 1− Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah s a r r r n n = − − < ( ) , . 1 1 dengan 1 Kita ingin menentukan jumlah tak berhingga suku-suku barisan geometri, ini, yaitu, Sn bila n → ∞. Karena rϵ R dan -1 < r < 1 dan n → ∞, maka lim lim ( ) n n n n s a r →∞ →∞ r = − − 1 1 = lim ( n→∞ a 1− r - r r n 1− ) = a 1− r .Mengapa? s = = − − = ∞ ∑ar a r n n 1 1 1 (terbukti) • Coba pikirkan bagaimana jumlah suku-suku barisan geometri jika r ∈ R, r > 1 dan r < -1. • Bagaimana jika r = 1 atau r = -1, coba beri contoh barisannya. Contoh 5.3 Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 5 5 + 5 dan rasionya adalah 1 5 5 . Tentukan suku pertama deret tersebut! Alternatif Penyelesaian Karena r = 1 5 5 < 1, maka jumlah tak hingga suku barisan adalah a 1− r . sehingga . 5 5 5 1 1 5 5 + = − a ⇔ a = (5 + 5 5 )(1 - 5 ) ⇔ a = 5 5 + 5 5 -5 ⇔ a = 4 Dengan demikian suku pertama barisan tersebut adalah a = 4 5
168 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 5.4 Diberikan barisan bilangan 2, 4 3 8 9 16 27 2 3 1 , , , ..., ,... n n− dengan n ∈ N • Tentukan suku ke-9! • Tentukan jumlah tak hingga barisan tersebut! Alternatif Penyelesaian Diketahui 2, 4 3 8 9 16 27 2 3 1 , , , ..., ,... n n− dengan n ∈ N (un ) = 2 3 1 n n− , n ∈ N Suku ke-9 adalah u9 = 2 3 512 6561 9 9 1− = un = , n ∈ N Berati u1 = a = 2 dan r = 2 3 < 1 Jumlah tak hingga suku-suku barisan 2, 4 3 8 9 16 27 2 3 1 , , , ..., ,... n n− dengan n ∈ N adalah s n n n n n = = = − = = − = ∞ − = ∞ ∑ ∑ 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 1 3 6 1 1 1 1 (karena r = 2 3 < 1) Jadi s = 6 Contoh 5.5 Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-suku genap adalah 2. Tentukan suku pertama deret itu! Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, maka 6 = a 1− r dan diperoleh nilai a = 6(1 - r). Deret geometri tak hingga suku-suku genap adalah ar + ar3 + ar5 + ar7 + …, maka rasionya adalah u u ar ar r n n n n + + = = 1 2 2 .
169 Matematika Karena r <1atau -1 < r < 1, maka r 2 <1 atau -1 < r2 < 1 dan jumlah tak hingga suku-suku genapnya adalah 2 = ar 1 r 2 − ⇔ ar = 2(1 – r2 ) ⇔ 6(1 – r)r = 2(1 – r2 ) ⇔ 6(1 – r)r = 2(1 – r)(1 + r) ⇔ 6r = 2(1 + r) ⇔ r = 1 2 r = 1 2 disubtitusikan ke persamaan a = 6(1– r). Sehingga diperoleh a = 3. Jadi suku pertama deret geometri tak hingga tersebut adalah a = 3. 2. Barisan Konstan, Naik, dan Turun Amatilah suku-suku beberapa barisan berikut a. un = 1 2 , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , , 1 2 , 1 2 , 1 2 … b. un = -1, ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, -1, -1, -1, -1, -1, -1, … c. un = k, ∀ ∈n N dan untuk suatu k ∈ R. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, k, k, k, k, … Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa suku barisan pada poin (a), (b), dan (c), nilainya tetap atau sama untuk setiap suku sampai n → ∞ . Jika suatu barisan dengan suku-sukunya sama atau tetap untuk setiap n, n → ∞ , barisan itu disebut barisan konstan.
170 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Definisi 5.3 Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un ) dikatakan barisan konstan jika dan hanya jika suku sebelumnya selalu sama dengan suku berikutnya. Ditulis (un ) adalah barisan konstan ⇔ un = un+1, ∀ ∈n N . Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut a. un = rn-1, ∀ ∈n N dengan 0 < r < 1. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1, r, r2 , r3 , … b. un = , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , 1 3 1 4 1 5 , , ,... c. un = ( 1 2 )n , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , 1 4 1 8 1 16 , , ,... Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin kecil suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki suku-sukunya makin kecil untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan turun. Definisi 5.4 Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un ) dikatakan barisan turun jika dan hanya jika suku berikutnya kurang dari suku sebelumnya. Ditulis (un ) disebut barisan turun ⇔ un = un+1, ∀ ∈n N . Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut. a. un = (3)n , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 3, 9, 27, 81, … b. un = 1 n +1 , ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 2 , 1 3 1 4 1 5 , , ,... c. un = n+1, ∀ ∈n N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
171 Matematika Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin besar nilai suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki nilai sukusukunya makin besar untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan naik. Definisi 5.5 Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un ) dikatakan barisan naik jika dan hanya jika suku berikutnya lebih dari suku sebelumnya. Ditulis (un ) adalah barisan konstan ⇔ un = un+1, ∀ ∈n N . Perhatikan beberapa barisan berikut a. Barisan: 1, 1, 1, 1, 1, … dengan un = 1, ∀ ∈n N . Barisan ini disebut barisan konstan dengan nilainya tidak lebih dari 1 (satu). b. Barisan -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …, dengan un = (-1)n , ∀ ∈n N . Nilai mutlak sukusuku barisan tersebut tidak lebih dari 1 (satu). c. Barisan: 1, 1 2 , 1 3 1 4 1 5 , , ,... dengan un = 1 n , ∀ ∈n N . Barisan ini disebut barisan turun dan suku-sukunya tidak lebih dari 1 (satu). d. Barisan: …, -1, − − − 1 3 1 5 1 7 1 2 1 4 1 6 1 8 , , , ..., , , , ,... dengan un = ( ) − 1 n 1 n , ∀ ∈n N Nilai mutlak suku-suku barisan ini tidak lebih dari 1 (satu) sampai n menuju tak hingga. Barisan pada (a) sampai (d) merupakan barisan yang terbatas. Definisi 5.6 Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real. Barisan (un ) dikatakan barisan terbatas jika dan hanya ada bilangan real M > 0 yang membawahi selur uh nilai mutlak suku barisan tersebut. Ditulis (un ) dikatakan barisan terbatas ⇔ ( ) ∃ ∈ M R M > 0 sehingga un = u M n ″ , ∀ ∈n N .
172 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Barisan pada a sampai d merupakan barisan yang terbatas. Berdasarkan Definisi 5.6 di atas dapat diturunkan beberapa sifat berikut Sifat 5.2 Jika (un ) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a, a ≠ 0 dan rasio = r dengan r ∈ R dan r < –1 atau maka barisan tersebut tidak terbatas. Contoh 5.6 Diberikan barisan un = 2n , n ∈ N. Selidiki apakah barisan tersebut terbatas. Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (n), n ∈ N adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … Amatilah suku-suku barisan tersebut! Semakin besar urutan suku barisan tersebut, semakin besar sukunya dan naik menuju tak hingga. Rasio barisan adalah r = u u n n n n + + = = > 1 1 2 2 2 1 Barisan un = (2n ), n ∈ N adalah barisan tak terbatas sebab berapapun kita pilih M ∈ R, M > 0, maka ada suku barisan un yang lebih dari M. Dengan demikian ada n ∈ N, sehingga un > M. Mengapa? Contoh 5.7 Diberikan barisan un = (-1)n , n ∈ N . Bentuklah beberapa barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan tersebut dan tentukan rumus fungsi dari barisan yang telah dibentuk. Alternatif Penyelesaian Suku-suku barisan un = (-1)n , n ∈ N adalah -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, … Kita dapat membentuk barisan tak hingga dari suku-suku barisan tersebut, dengan cara mengambil suku-suku ganjil dan suku-suku genap untuk membentuk dua kelompok barisan yang baru, yaitu:
173 Matematika a. Barisan -1, -1, -1, -1, -1, -1, … dengan rumus fungsinya u(n) = -1, ∀ n ∈ N. b. Barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … dengan rumus fungsinya u(n) = 1,∀ n ∈ N. Kedua barisan yang baru dibentuk adalah barisan konstan, sebab sukunya sama untuk setiap n ∈N. Selanjutnya kedua barisan tersebut adalah barisan terbatas, sebab ada bilangan real M = 2 yang membawahi semua nilai suku-suku barisan tersebut atau − < 1 2 ∀ ∈ n , . n N Apakah nilai M = 1 membawahi semua nilai suku barisan un = (-1)n , n ∈ N? Dapatkah kamu membentuk barisan yang lain dari suku-suku barisan un = (-1)n , n ∈ N selain dari barisan bagian (a) dan (b)? Buatlah minimal 3 (tiga) barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan pada Contoh 5.6 di atas dan tentukan rumus fungsi barisan tersebut. Uji Kompetensi 5.1 1. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23 a. u n N n n n = − 1 ( ) + ∈ 1 b. u n N n n n = ∈ + 1 1 2 , c. u n N n n n n = ∈ + + 2 1 , d. u n N n n n = ∈ − + 1 , 2. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23. a.1 1 2 1 3 1 4 1 5 ,,,, ,... b.u n n N n = −( ) 1 , ∈
174 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK c.10 2 25 1 1 2 1 3 1 4 1 5 −5 3 3 , , , , , , , ,... d.u n n = ∈ n n N ! , 2 3. Tunjukkanlah bahwa barisan di bawah ini adalah barisan naik atau turun atau konstan. a. u n n = n N ∈ 1 , b. u n n N n = ( ) 1 , ∈ c. u n n N n = ∈ 2 , d. u n n n n N n = + + ∈ 2 1 , 4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku ketiga ditambah 2, maka terbentuk barisan geometri dengan rasi (r) = 2. Tentukan suku-suku barisan tersebut! 5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu 292 dan hasil kali bilangan itu 32.768. Tentukan barisan geometri tersebut! 6. Pola PQQRRRSSSSPQQRRRSSSSPQQRRRSSSS... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 26 34 ? 7. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan ganjil 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2015 ? (suku ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 9) 8. Tentukan jumlah setiap deret berikut! a. 1 1 5 = ∞ ∑n n b. 1 n=1 ( ) 2 1 n n − ( ) 2 1+ ∞ ∑ c. 1 n=2 n n( ) −1 ∞ ∑ d. 3 1 0 3 − = ∞ ∑n n
175 Matematika 8. Tentukanlah jumlah semua bilangan asli di antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 5! 10. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketingggian 2 3 dari tinggi sebelum pemantulan. Tentukan panjang lintasan bola! 11. Beni berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai bulan 1 Agustus 2013, ia menerima uang saku sebesar Rp15.000.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp.2.500.000,00. Berapa besar uang saku yang akan diterima Beni pada awal tahun 2018? 12. Banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 2012, sebanyak 16 juta orang. Setiap 15 tahun penduduk kota Medan bertambah menjadi dua kali lipat dari jumlah semula. Berapakah banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 1945? 13. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang 81 cm, maka panjang tali semula adalah …. 14. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah…. 15. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 2, sedangkan jumlah sukusuku yang bernomor ganjil (kecuali suku pertama) dan genap adalah 1. Tentukan deret tersebut! 16. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 1,5% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 1,5% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 30 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 100 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 100 tahun apabila pertumbuhannya 2%? 17. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7 7 + 7 dan rasionya adalah 1 49 7 . Tentukan suku pertama deret tersebut! 18. Jumlah suku-suku ganjil dari suatu deret tak hingga adalah 18. Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut 24. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut! 19. Jumlah deret geometri tak hingga 1 2 2 5 8 25 2 3 p p − + p −... adalah 1 3 . Tentukan nilai p!
176 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Projek Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret tak hingga dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata disekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret tak hingga di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas. D. PENUTUP Kita telah menemukan konsep barisan dan deret tak hingga dari pemecahan masalah nyata beserta sifat-sifatnya. Beberapa hal penting sebagai simpulan dari hasil pembahasan materi barisan dan deret tak hingga disajikan sebagai berikut : 1. Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan Ru ⊆ S. Ditulis (un ), n ∈ N. 2. Misalkan (un ) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3 + …+ un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga. • Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga. Ditulis (sn), n ∈ N atau s1 , s2 , s3 , …, sn , … • Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku barisan tak hingga. Ditulis u u u u n n n = =∞ ∑ = + + + 1 1 2 3 ... 3. Barisan bilangan dikatakan barisan naik, jika dan hanya jika u u n n < ∀ +1, n N ∈ . 4. Barisan bilangan dikatakan barisan turun, jika dan hanya jika u u n n > ∀ +1, n N ∈ . 5. Sebuah barisan bilangan yang suku-sukunya naik atau turun tak terbatas, barisan ini disebut barisan divergen. 6. Sebuah barisan bilangan yang semua sukunya sama disebut barisan konstan.
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari–hari. 2. Mendeskripsikan dan menganalisis aturan sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam menentukan luas daerah segitiga. 3. Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait luas segitiga dan menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikannya Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar: • Menemukan konsep perbandingan trigonometri melalui pemecahan masalah otentik. • Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur. • Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep trigonometri dalam memecahkan masalah otentik TRIGONOMETRI • Aturan sinus • Aturan kosinus • Luas segitiga Bab 6
178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK B. PETA KONSEP Masalah Otentik Trigonometri Luas daerah segitiga Segitiga Materi prasyarat Aturan sinus Aturan kosinus
179 Matematika 1. Aturan Sinus Pada pelajaran trigonometri di kelas X, kamu telah belajar konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku. Pada bahasan ini kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga. Permasalahan pada segitiga adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sisi segitiga diketahui, apakah kamu dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Atau kamu dapat menentukan besar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kamu dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya? Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus diketahui agar kamu mampu menyelesaikan masalah segitiga tersebut? Agar kamu dapat memahaminya, pelajarilah masalah-masalah berikut. Masalah-6.1 Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 6.1 di bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l adalah 75◦ dan sudut yang dibentuk jalan k dan jalan m adalah 30◦ . Tentukanlah jarak kota A dengan kota B! Jalan k A B C Jalan l Jalan m Gambar 6.1. Jalan k, l, dan m. C. MATERI PEMBELAJARAN
180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian ke-1 (dengan memanfaatkan garis tinggi pada segitiga) Untuk memudahkah perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis BC, seperti Gambar 6.2 berikut. Jalan k A B C Jalan l Jalan m D Gambar 6.2. Segitiga ABC dengan garis tinggi AD Ingat kembali konsep sinus pada segitiga siku-siku. Perhatikan ∆ABD! Dalam ∆ABD, diperoleh bahwa: sin B = AD AB atau AD = AB. sin B…............(1) Dalam ∆ADC, diperoleh bahwa: sin C = AD AC atau AD = AC. sin C…...........(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa: AB. sin B = AC. sin C………(3) Diketahui bahwa∠ C = 750 ;∠ B = 300 ; dan jarak AC = 5. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (3) maka diperoleh AB. sin B = AC. sin C AB × sin 300 = 5 × sin 750 (gunakan tabel sinus atau kalkulator, sinus 750 = 0, 965) AB = 5 0 965 1 2 ´ , = 10 × 0,965 = 9, 65 Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 65 km.
181 Matematika Perhatikan Gambar 6.3 berikut. A b a c C P B Q Gambar 6.3 Segitiga ABC Dari Gambar 6.3 di samping, diketahui bahwa ∆ ABC dengan panjang sisi-sisinya adalah a, b, dan c. Garis AP merupakan garis tinggi, dimana BC ⊥ AP dan garis CQ merupakan garis tinggi, dimana CQ ⊥ AB. Dari ∆ABP diperoleh, sin B = AP c atau AP = c sin B …………………...(1) Dari ∆ACP diperoleh, sin C = AP b atau AP = b sin C ..............................(2) Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh, c sin B = b sin C (kalikan kedua ruas dengan 1 sin s B C in ) c B B C b C B C sin sin sin sin sin sin = Maka diperoleh, c C b sin sin B = ………………………………………....(3) Dari ∆ACQ diperoleh, sin A = CQ b atau CQ = b sin A ………………....(4) Dari ∆BCQ diperoleh, sin B = CQ a atau CQ = a sin B ………………....(5) Dari Persamaan (4) dan (5) diperoleh, b sin A = a sin B (kalikan kedua ruas dengan 1 sin s B C in ) b A A B a B A B sin sin sin sin sin sin =
182 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Maka diperoleh, b B a sin sin A = ………………………………………… (6) Berdasarkan persamaan (3) dan (6), maka diperoleh a A b B c sin sin sinC = = Alternatif Penyelesaian ke-2 Perhatikan kembali Gambar 6.4 berikut. ∆ABC lancip dan AD dan BE merupakan diameter lingkaran O dengan jari-jari r. Panjang garis AB = c; AC = b; BC = a; AD = BE = 2r. ∠ ABC =∠ ADC = β; ∠ ACB = ∠ AEB = ø dan ∠ ACD adalah sudut siku-siku = 900 . Dari ∆ACD diperoleh sin β = AC AD b r = 2 sehingga 2r b = sin β .....................................................................(1) Dari ∆BAE diperoleh sinθ = = AB BE c 2r sehingga 2r c = sinθ ......................................................................(2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) di peroleh b c sin s β θ in = Latihan Dengan menggunakan ∠ BAC = α, buktikanlah bahwa 2r a = sinα . Dari uraian di atas, maka disimpulkan aturan sinus pada segitiga seperti berikut. Gambar 6.4. ∆ABC pada lingkaran O
183 Matematika Q P R r q p Aturan Sinus Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠ A, ∠ B, ∠ C, berlaku a A b B c sin sin sinC = = . Latihan 6.1. Untuk segitiga tumpul PQR di samping, buktikanlah bahwa p P q Q r sin sin sin R = = berlaku. Alternatif Penyelesaian Berdasarkan gambar di atas diperoleh sin P QX r = .............................................................................................................(1) sin R QX P = .............................................................................................................(2) berdasarkan (1) dan (2) diperoleh QX = r sin P dan QX = p sin R karena QX = QX maka r sin P = p sin R sehingga r R p sin sin P = (terbukti)
184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 6.1 Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8, BC = 8 2 , AC = b, sudut BAC = 45o , sudut ACB = yo dan sudut ABC = xo . Dengan memanfaatkan tabel sinus pada sudut xo maka tentukan panjang b. Gambar 6.5 Segitiga ABC Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh: BC A AB y y y y y o o o o o sin sin sin sin sin sin sin = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 8 2 45 8 8 2 1 2 2 8 16 8 o o o = = y 1 2 atau 30 Dengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu ∠A + ∠B + ∠C = 180o sehingga 45o + 30o + xo = 180o atau xo = 105o . Dengan menggunakan aturan sinus kembali maka diperoleh:
185 Matematika AC x AB y b b b o o o o o o sin sin sin sin sin sin = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 105 8 30 105 8 1 2 105 16 b o = sin 16 105. Dengan memanfaatkan tabel sinus atau kalkulator maka diperoleh: b = 16.sin 105o = 16 × 0,9659 = 15,4548. Jadi, panjang sisi AC adalah 15,4548 satuan panjang. 2. Aturan Cosinus Perhatikan Gambar 6.6 di bawah! Pada segitiga (i), diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga (ii), diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga tersebut? s s s s s sd (i) (ii) Gambar 6.6. Segitiga jika diketahui (s, s, s) dan (s, sd, s) Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6.2 berikut. Masalah-6.2 Dua kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut 60◦ . Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 km/jam, dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/ jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.
186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan bahwa pergerakan kapal membentuk segitiga seperti gambar di bawah. A B C b c a 60○ Gambar 6.7 Segitiga ABC dengan sudut A = 60o Dari gambar di atas, dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut. - Titik A merupakan titik keberangkatan kedua kapal tersebut. - Besar sudut A merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang berbeda yaitu sebesar 600 . - AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga AB = 60 km. - AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam perjalanan dengan kecepatan 25 km/jam, sehingga AC = 50 km. - BC merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama 2 jam karena itu, pertanyaan yang harus dijawab adalah berapakah BC. Agar kita dapat menentukan jarak BC, maka kita perlukan gambar berikut. Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC, dimana CP ⊥ AB. Misalkan panjang AP adalah x maka panjang BP adalah (c – x). Perhatikan ∆ACP! Dari ∆ACP berlaku: AC2 = AP2 + CP2 atau CP2 = AC2 – AP2 . P c-x P c-x A x B C b c a Gambar 6.8 Segitiga ABC dengan garis tinggi CP Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, maka CP2 =b2 - x2 ........(1) Dari ∆BPC berlaku: BC2 = BP2 + CP2 atau CP2 = BC2 – BP2 .
187 Matematika Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, CP2 = a2 – (c - x)2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ........................................................................(2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: b2 - x2 = a2 – c2 + 2cx – x2 b2 = a2 – c2 + 2cx – x2 + x2 b2 = a2 – c2 + 2cx atau a2 = b2 + c2 - 2cx..................................................................................................(3) Berdasarkan ∆APC, diperoleh cos A = x b , maka x = b cos A.....................................................................................(4) dengan mensubstitusi persamaan. (4) ke dalam persamaan (3), maka diperoleh: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A.............................................................................................(5) Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan (5) maka diperoleh a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 502 + 602 – (2×50×60×cos 600 ) = 2500 + 3600 – (600× 1 2 ) = 4100 – 300 = 3800 Maka jarak antara kedua kapal tanker tersebut setelah perjalanan selama 2 jam adalah 3800 km. Berdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6.2 di atas, ditemukan aturan kosinus pada sebarang segitiga sebagai berikut. Aturan Cosinus Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠ A, ∠ B, ∠ C, berlaku a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 6.2 Perhatikan gambar berikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut. Gambar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60o Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: RQ2 = PR2 + PQ2 – 2.PR.PQ.cos 60o (2 x + 2 )2 = (x + 1)2 + (x – 1)2 – 2.(x + 1).(x – 1).cos 60o 4(x + 2) = (x + 1)2 + (x – 1)2 – (x + 1).(x - 1) 4x + 8 = x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 – x2 + 1 x2 – 4x – 5 = 0 (ingat konsep persamaan kuadrat) (x – 5)(x + 1) = 0 sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 sehingga panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 4, 6 dan 2 7 . 3. Luas Segitiga Masalah-6.3 Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di samping. Panjang sisi AB adalah 30 m, panjang sisi BC adalah 16 m dan besar sudut BAC adalah 300. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp250.000,00 untuk setiap meter persegi. Tentukan harga penjualan tanah tersebut. Gambar 6.10. Segitiga ABC A B P C 16 30○ 30
189 Matematika Alternatif Penyelesaian Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC sehinggaCP tegak lurus AB . Luas ∆ABC = 1 2 × AB × CP......................................................(1) Dari segitiga ACP diketahui sin A = CP AC , sehingga CP = AC × sin A..................................(2) Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh Luas ∆ABC = 1 2 × AB × AC × sin A = 1 2 × 30 × 16 × sin 300 = 120 Maka luas tanah tersebut adalah 120 m2 . Jika harga 1 m2 tanah adalah Rp250.000,00, maka harga jual tanah tersebut ditentukan dengan 120 × 250.000 = 30.000.000. Maka harga jual tanah tersebut adalah Rp30.000.000,00 Perhatikan Gambar 6.11 berikut. Gambar 6.11 Segitiga ABC Garis BP merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga AC tegak lurus BP . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. Ingat kembali rumus menentukan luas daerah segitiga. Luas ∆ABC= 1 2 × AC × BP......................................................(1)
190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Dari segitiga ABP diketahui sin A = BP AB , sehingga BP = AB × sin A...................................(2) Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh Luas ∆ABC = 1 2 × AC × BP Luas ∆ABC = 1 2 × AC × AB × sin A Luas ∆ABC = 1 2 × b × c × sin A Perhatikan Gambar 6.12 berikut. Garis AQ merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga BC tegak lurus AQ . Panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a. C a b B A c Q Gambar 6.12 Segitiga ABC Luas ∆ABC= 1 2 × BC × AQ ......................................................(1) Dari segitiga ABQ diketahui sin B = AQ AB , sehingga AQ = AB × sin B ..................................(2) Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh Luas ∆ABC = 1 2 × BC × AQ Luas ∆ABC = 1 2 × BC × AB × sin B Luas ∆ABC = 1 2 × a × c × sin B
191 Matematika Latihan 6.2 Dengan menggunakan ∆BPC pada Gambar 6.11 dan ∆AQC pada Gambar 6.12, tentukanlah rumus Luas ∆ABC. Berdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas sebarang segitiga sebagai berikut. Definisi 6.1 Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠ A, ∠ B, ∠ C, berlaku Luas ∆ABC = 1 2 × ab sin C = 1 2 × bc sin A = 1 2 × ac sin B. Latihan 6.3 Dengan menggunakan segitiga ABC tumpul seperti Gambar 6.13 dibawah, buktikan bahwa Luas ∆ABC = 1 2 × bc sin A. Gambar 6.13. Segitiga tumpul ABC Berdasarkan Gambar 6.13 diperoleh ΔBQA siku-siku di Q, sehingga BQ = c sin A dan diperoleh juga BQ = a sin C karena Luas ΔABC = 1 2 ´ ´ BQ b = 1 2 b C sin
192 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Contoh 6.3 Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. Gambar 6.14 Segiempat ABCD pada lingkaran L Tentukan luas segiempat ABCD dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4. Alternatif Penyelesaian Langkah 1. Bagi daerah ABCD menjadi dua bagian dengan menarik garis AC atau BD. Misalkan, kita pilih garis BD sehingga gambar menjadi: Gambar 6.15 Daerah segiempat ABCD terbagi atas dua segitiga