MATERI AJAR XII Disusun Oleh: Hapsari Wikan Pangastuti MATEMATIKA WAJIB KAIDAH PENCACAHAN (ATURAN PENGISIAN TEMPAT) DAN PERMUTASI SMA NEGERI 7 YOGYAKARTA
PETA KONSEP PELUANG KAIDAH PENCACAHAN ATURAN PENJUMLAHAN ATURAN PERKALIAN PERMUTASI KOMBINASI KAIDAH MAJEMUK KEJADIAN SALING LEPAS KEJADIAN SALING BEBAS KEJADIAN BERSYARAT
GLOSARIUM Kaidah Pencacahan : Kaidah yang digunakan untuk menentukan dan menghitung berapa cara yang terjadi pada suatu peristiwa Faktorial : Hasil kali bilangan asli berturut-turut dari sampai 1 Permutasi : Susunan yang mungkin dari unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Permutasi Unsur yang sama : Permutasi yang memiliki unsur yang bersifat sama atau identik. Permutasi unsur dari unsur : Permutasi dengan unsur yang berbeda terjadi ketika diminta untuk memilih hanya sebagian objek dari keseluruhan objek yang tersedia. Permutasi Siklis : Suatu cara untuk menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan memperhatikan urutannya.
ATURAN PENGISIAN TEMPAT (FILLING SLOTS) Misalkan ada tempat tersedia dengan 1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, 2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi tempat adalah: = 1 × 2 × … × Ada 4 jenis bunga yang tersedia untuk dijadikan rangkaian bunga, yaitu bunga Mawar, Edelweis, Lily, dan Tulip. Berapa banyak rangkaian bunga yang mungkin dibuat jika setiap rangkaian harus terdiri tepat 3 jenis bunga? Jawab: Misalkan = M : Mawar; E : Edelweis; L : Lily; T : Tulip M E L T L T M E E E E E E E E E M M M M M M M M M L L L L L L L T T T T T T T T Terdapat 4 macam bunga pada pilihan pertama Terdapat 3 macam bunga pada pilihan pertama Terdapat 2 macam bunga pada pilihan pertama CONTOH SOAL
Berdasarkan diagram pohon tersebut, diperoleh bahwa: a. Terdapat 4 macam bunga yang dapat dipilih pada pilihan pertama (1 ) b. Terdapat 3 macam bunga yang dapat dipilih pada pilihan kedua (2 ) c. Terdapat 2 macam bunga yang dapat dipilih pada pilihan ketiga (3 ) Sehingga, banyak rangkaian bunga yang mungkin dibuat jika setiap rangkaian harus terdiri tepat 3 jenis bunga adalah 1 × 2 × 3 = 4 × 3 × 2 = 24 rangakain bunga Untuk menyusun rangkaian bunga yang mungkin jika harus terdiri dari 3 jenis bunga yaitu dengan menyusun 3 kotak seperti di bawah ini • Banyak pilihan pertama berarti banyaknya jenis bunga yang tersedia, yaitu 4 macam bunga. Hal ini berarti bahwa pada pilihan pertama, keempat macam bunga dapat dipilih secara acak. • Banyak pilihan kedua berarti sudah terdapat 1 macam bunga yang dipilih pada pilihan pertama. Sehingga, pada pilihan kedua banyak jenis bunga yang dapat dipilih adalah − 1. Hal ini berarti bahwa pada pilihan kedua terdapat − 1 = 4 − 1 = 3 macam bunga yang dapat dipilih. • Banyak pilihan ketiga berarti sudah terdapat 2 macam bunga yang dipilih yaitu 1 macam pada pilihan pertama dan 1 macam pada pilihan kedua. Sehingga, pada pilihan ketiga banyak jenis bunga yang dapat dipilih adalah − 2. Hal ini berarti bahwa pada pilihan kedua terdapat − 2 = 4 − 2 = 2 macam bunga yang dapat dipilih. Maka, banyak rangkaian bunga yang mungkin dibuat jika setiap rangkaian harus terdiri tepat 3 jenis bunga adalah 4 3 2 Banyak pilihan pertama Banyak pilihan kedua Banyak pilihan ketiga Banyak pilihan pertama Banyak pilihan kedua Banyak pilihan ketiga = 4 × 3 × 2 = 24 CARA LAIN
FAKTORIAL Notasi Faktorial merupakan notasi operasi hitung yang disimbolkan dengan tanda seru (!). Notasi ini menandakan bahwa perhitungan yang harus dilakukan adalah mengalikan semua bilangan asli dari bilangan paling besar sampai dengan bilangan satu. Dimana bilangan paling besar adalah bilangan yang berada di depan simbol faktorial. ! = × ( − 1) × ( − 2) × … × 2 × 1 Contoh: 1. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 2. 3! = 3 × 2 × 1 = 6 3. 4! 3! = 4×3×2×1 3×2×1 = 4 4. 8! 5! = 8×7×6×5×4×3×2×1 5×4×3×2×1 = 336 Atau dapat diselesaikan seperti ini 8! 5! = 8 × 7 × 6 × 5! 5! = 336 PERMUTASI Permutasi yaitu susunan yang mungkin dari unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Dalam metode pencacahan ini, ≠ contohnya 12 ≠ 21. Permutasi dibagi menjadi berbagai jenis, antara lain: A. Permutasi unsur dari unsur dengan < ≤ Dalam permutasi unsur dari unsur ini, urutan tetap diperhatikan tetapi umunya tidak boleh berulang. Permutasi unsur dari unsur dinotasikan dengan atau (, ) dapat dihitung dengan cara: = (, ) = ! (−)! , untuk 0 < ≤ Suatu komunitas hendak melakukan pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika anggota dalam komunitas tersebut ada 18 orang. Maka berapakah banyak cara menyusun pengurus komunitas tersebut? CONTOH SOAL
Jawab: Diketahui: - banyak anggota (n) = 18 •Banyak anggota yang dipilih (r) = 3 yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara Ditanya: banyak cara menyusun pengurus komunitas Penyelesaian: = ! ( − )! 183 = 18! (18 − 3)! 183 = 18! 15! 183 = 18 × 17 × 16 × 15! 15! 183 = 18 × 17 × 16 = 4.896 B. Permutasi dari unsur-unsur yang sama Permutasi dari unsur-unsur yang sama yaitu permutasi yang memiliki unsur yang bersifat sama atau identik. Dalam permutasi dari unsur-unsur yang sama ini mempunyai ciri-ciri yaitu unsur yang sejenis tidak diperbolehkan dipakai lebih dari sekali. Banyaknya permutasi n unsur yang tersedia dimana terdapat 1, 2, 3, … , unsur yang sama maka banyaknya permutasi yang terjadi adalah: 1,2,3,…,= ! 1! ∙ 2! ∙ 3! ∙ … ∙ ! Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf yang terdapat pada kata KELILING? Jawab: Diketahui: - banyak huruf () = 8 •Banyak huruf yang sama = huruf L : 2 (1 ) huruf I : 2 (2) Ditanya: banyak susunan berbeda CONTOH SOAL
Penyelesaian: 1,2 = ! 1! ∙ 2! 8(2,2) = 8! 2! ∙ 2! 8(2,2) = 8×7×6×5×4×3×2×1 2×1×2×1 8(2,2) = 8 × 7 × 6 × 5 × 3 × 2 × 1 8(2,2) = 10.080 C. Permutasi Siklis Permutasi siklis yaitu suatu cara untuk menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklis dari unsur yang disusun secara melingkar adalah: = ( − 1)! Sebuah rapat diikuti oleh 3 pengurus dan 4 angota. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Maka banyak posisi duduk yang mungkin adalah… Jawab: Diketahui: - banyak anggota yang mengikuti rapat () = 3 + 4 = 7 Ditanya: banyak posisi duduk yang mungkin Penyelesaian: = ( − 1)! = (7 − 1)! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 CONTOH SOAL
LATIHAN SOAL 1. Dalam rangka memperingati Hari Sumpah Pemuda, Karang taruna Bhakti Pratama berencana mengadakan jalan sehat. Panitia membuat kupon undian yang terdiri atas 2 angka yang disusun oleh angka-angka 1,2,4,5,7,8,9. Jika angka tidak boleh berulang, maka berapa banyak kupon yang dapat dibuat? 2. Diberikan angka-angka 1,2,4,6,7,8, dan 9. Dari angka-angka tersebut akan dibentuk bilangan yang terdiri atas tiga angka. Jika tidak boleh terjadi pengulangan angka, a. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat diperoleh b. Tentukan banyaknya bilangan genap yang dapat diperoleh c. Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang dapat diperoleh d. Tentukan bilangan kelipatan 4 yang dapat diperoleh e. Tentukan banyaknya bilangan antara 400 dan 800 yang dapat diperoleh 3. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA? 4. Sebanyak 8 bapak-bapak hendak mengadakan rapat. Mereka duduk melingkar pada meja bundar. Berapa banyak posisi duduk yang mungkin? 5. Sebanyak 15 orang pengurus hendak mengadakan rapat. Mereka duduk melingkar pada meja bundar. Jika ketua, sekretaris, dan bendahara harus duduk secara berdampingan, berapa banyak posisi duduk yang mungkin?
RANGKUMAN • Kaidah Pencacahan adalah Kaidah yang digunakan untuk menentukan dan menghitung berapa cara yang terjadi pada suatu peristiwa • Metode kaidah pencacahan dibagi menjadi: 1. Aturan pengisian tempat (Filling Slots) = 1 × 2 × … × 2. Faktorial ! = × ( − 1) × ( − 2) × … × 2 × 1 3. Permutasi Permutasi dibagi menjadi: A. Permutasi unsur dari unsur dengan < ≤ = (, ) = ! ( − )! B. Permutasi dari unsur-unsur yang sama 1,2,3,…,= ! 1! ∙ 2! ∙ 3! ∙ … ∙ ! C. Permutasi Siklis = ( − 1)! DAFTAR PUSTAKA Abdur Rahman As’ari, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kemendikbud. Sukino. 2019. Matematika SMA/MA Kelas XII 1A (IPA). Sidoarjo: PT. Masmedia Buasa Pustaka.