Bilangan Prima _ Matematika

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

Skip to content
Skip to search - Accesskey = s

Matematika

Bilangan Prima

Posted in Pembelajaran Matematika Sekolah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 26,
2013

Kalian pasti sudah mengenal bilangan Prima (Prime Number). Bilangan prima adalah bilangan Asli yang
hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan 1 bukan
bilangan Prima karena hanya mempunyai satu faktor. Bilangan yang bukan 1 dan bukan bilangan Prima
disebut bilangan komposit. Salah satu dalil yang terkenal berbunyi, Setiap bilangan komposit merupakan
perkalian bilangan-bilangan Prima. Dalil tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetika. Nah, berapa
banyak bilangan Prima yang kalian tahu?

Eratosthenes mempunyai suatu metode untuk mendapatkan bilangan prima pada rentang tertentu. Metode itu
diberi nama saringan Eratosthenes (Eratosthenes Sieve). Misalkan kita akan mencari bilangan Prima yang
kurang dari n, dengan n bilangan Asli, maka modal kita adalah bilangan Prima yang kurang dari atau sama
dengan . Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan Prima di antara 1 dan100. Kita tahu bahwa

, dan bilangan Prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Selanjutnya kita daftarkan
bilangan 1 sampai 100 dalam tabel 10 x 10. Kemudian lakukan langkah berikut:

Coret angka 1
Coret semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2
Coret semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3. Pada langkah ini, bilangan yang sudah dicoret tidak perlu
dicoret lagi.
Coret semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5.
Coret semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Pada langkah ini bilangan yang dicoret hanya 49, 77, dan
91.

Cukup sampai 7, karena Prima terbesar yang kurang dari adalah 7. Bilangan yang tidak tercoret

merupakan bilangan Prima. Sampai di sini kita dapatkan bilangan Prima yang terletak di antara 1 dan 100,

yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25

bilangan prima antara 1 dan 100. Kalian bisa mempercepat proses itu dengan bantuan excel. Lihat caranya

pada bagian bawah.

Secara umum, jika kita akan mencari bilangan Prima dari 1 sampai bilangan n, maka kita cari dulu bilangan

prima yang kurang dari atau sama dengan . Setelah itu lakukan langkah-langkah pencoretan bilangan

seperti di atas sampai pada bilangan prima yang kurang dari tersebut. Pada contoh di atas ,

dan bilangan prima yang kurang dari atau sama 10 adalah 7. Jadi, pencoretan bilangan dari 1 sampai 100

berhenti di kelipatan bilangan 7. Anda bisa mencoba untuk bilangan Prima yang kurang dari 200.

Sejak dulu banyak matematikawan yang berusaha membuat rumus untuk mencari bilangan Prima. Pada kasus
tertentu rumus itu benar, tetapi pada kasus yang lain ternyata salah. Oleh karena itu, sampai saat ini belum
ada rumus yang dalam waktu singkat dapat menentukan bilangan Prima. Meskipun demikian, kita tentu
kagum dengan upaya para matematikawan tersebut karena pencarian itu membawa mereka belajar banyak
hal.
Beberapa rumus yang menghasilkan bilangan Prima untuk beberapa kasus adalah sebagai berikut:

untuk n bilangan Asli. Rumus ini menghasilkan bilangan Prima untuk
n=1,2,,3,dst, tetapi untuk n=41 rumus tersebut gagal karena menghasilkan 412 yang jelas bukan
merupakan bilangan Prima.

untuk n bilangan Asli. Rumus ini diciptakan oleh Fermat, seorang Matematikawan dari
Perancis. Rumus tersebut memberikan bilangan Prima untuk n=0,1,2,3,dan 4 , tetapi gagal untuk n=5
dan n=6.

dengan p bilangan Prima yang telah diketahui. Rumus ini diciptakan oleh Marsenne.

1 of 6 08/08/2015 23:47

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

Untuk beberapa nilai p rumus tersebut menghasilkan bilangan Prima, tetapi untuk p=11 rumus tersebut
menghasilkan bilangan komposit (bukan Prima).

Jadi, sampai saat ini cara yang meyakinkan adalah menggunakan saringan Eratosthenes.

Ada berapa banyak bilangan Prima? Euclides dari Yunani membuktikan bahwa ada tak hingga banyak
bilangan Prima. Meskipun demikian, para ahli matematika sepanjang masa berusaha mencari terus bilangan
Prima yang lebih besar dari yang diketahui saat ini. Pencarian bilangan Prima merupakan salah satu pekerjaan
yang menyenangkan bagi beberapa pakar matematika dan komputer. Pencarian ini seperti mendaki Puncak
Everest, kata George Woltman, seorang pakar ilmu komputer. Bedanya, Everest memilik puncak sehingga
pendakian suatu saat berhenti, sedangkan bilangan Prima tidak akan tidak akan terhenti karena memang tidak
ada bilangan Prima terbesar. Artinya, jika sekarang ditemukan bilangan Prima lebih dari bilangan prima yang
telah diketahui, maka kelak pasti akan ditemukan lagi bilangan Prima yang lebih besar.

Harian Kompas tanggal 6 Februari 2013 memberitakan penemuan bilangan Prima terbesar yang diketahui

manusia saat ini. Bilangan Prima tersebut adalah . Ini merupakan bilangan Prima yang masuk

kelompok bilangan Prima Marsenne, yaitu bilangan Prima yang berbentuk . Bilangan Prima tersebut

memiliki 17.425.170 digit (angka). Kita bisa bayangkan betapa panjangnya bilangan tersebut jika ditulis di

kertas. Jika menggunakan ukuran huruf seperti pada tulisan di buku ini, maka bilangan Prima tersebut

panjangnya sekitar 34,85 km.

Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan dari University of Central Missouri, Curtis

Cooper. Bilangan prima ini adalah bilangan prima besar ketiga yang berhasil ditemukan oleh Cooper.

Penemuan bilangan prima terbesar dilakukan lewat upaya kolektif lewat Great Internet Mersenne Prime

Search (GIMPS), misi yang dibantu 360.000 prosesor, mengoperasikan 150 triliun penghitungan per detik.

Proses pengecekan lewat komputer dilakukan untuk mengonfirmasi penemuan. Atas penemuannya tersebut

Curtis Cooper memperoleh hadiah $ 3000. Bilangan Prima bentuk Marsenne dapat dilihat di

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima_Mersenne

Sebelumnya bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia adalah yang ditemukan pada

tahun 2008. Bilangan ini memiliki 12.978.189 digit. Proses menemukan bilangan Prima tersebut dapat

dilakukan dengan cara Saringan Eratosthenes. Namun, butuh waktu bertahun-tahun untuk mendapatkan

bilangan Prima berikutnya. Barangkali tidak akan selesai seumur hidup manusia. Oleh karena itu, komputer

canggih dengan kecepatan luar biasa diperbantukan untuk mencari bilangan Prima tersebut. Ini pun

membutuhkan komputer dalam jumlah yang banyak.

Fakta lain yang menarik dari bilangan Prima adalah bilangan Prima kembar (Twin Prime Numbers), yaitu dua
bilangan Prima yang berurutan. Sebagai contoh (2,3), (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (18383549,18383551) dan
seterusnya. Pertanyaannya adalah: Apakah pasangan bilangan Prima kembar tersebut ada berhingga buah
atau ada tak hingga buah? Sampai saat ini belum ada matematikawan yang berhasil menjawab pertanyaan
tersebut.

Nah, jika kalian berminat mencari bilangan Prima yang cukup besar, kita bisa manfaatkan Microsoft Excel
dengan modal bilangan Prima yang sudah kita tahu dari saringan Eratosthenes, yaitu 2, 3, … ,97. Cara yang
akan kita gunakan pun menggunakan saringan Eratosthenes. Dengan modal bilangan Prima yang kurang dari
100 tersebut, kita bisa mencari semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Mengapa bisa begitu? Ingat
untuk mencari bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita harus mempunyai bilangan
Prima yang kurang dari atau sama dengan . Jad, jika kita mempunyai semua bilangan Prima yang kurang
dari atau sama dengan n, maka kita bisa mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama
dengan .

Untuk keperluan tersebut, kita pelajari dulu operasi MOD. Mod adalah operasi Aritmetika untuk mencari sisa
hasil bagi dari dua buah bilangan. Misalnya, 16 Mod 3 = 1 karena 16 dibagi 3 (hasilnya 5) sisanya 1. Jadi, 15
mod 3 = 0 (dengan kata lain 15 habis dibagi 3 atau 3 adalah faktor dari 15), 23 mod 4 = 3 (dengan kata lain
23 tidak habis dibagi 3 atau 3 bukan faktor dari 23).

Konsep yang harus dipahami untuk mencari bilangan Prima yang lebih dari 100 dan kurang dari atau sama
dengan 10.000 adalah: Jika bilangan tersebut habis dibagi 2, 3, … ,97, maka bilangan tersebut BUKAN
bilangan Prima. Misalnya kita akan memeriksa apakah 101 bilangan Prima atau bukan, maka harus dicek 101

2 of 6 08/08/2015 23:47

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

mod 2, 101 mod 3, 101 mod 5, …, 101 mod 11. Jika hasil salah satu operasi di atas sama dengan nol, maka
101 bukan bilangan Prima (komposit). Sebaliknya, jika hasil semua operasi di atas tidak sama dengan nol
(≠0), maka 101 adalah bilangan Prima.
Langkah pertama adalah menuliskan bilangan ganjil dari 101 sampai 10.000 pada kolom A (Ingat bilangan
Prima yang kurang dari 100 sudah kita tahu). Pada sel B1 ketik:
=IF(OR(MOD(A101;2)=0;MOD(A101;3)=0;MOD(A101;5)=0;MOD(A101;7)=0;MOD(A101;11)=0;
MOD(A101;13)=0;MOD(A101;17)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;23)=0;MOD(A101;19)=0;
MOD(A101;31)=0;MOD(A101;37)=0;MOD(A101;41)=0;MOD(A101;43)=0;MOD(A101;47)=0;
MOD(A101;51)=0;MOD(A101;53)=0;MOD(A101;59)=0;MOD(A101;61)=0;MOD(A101;67)=0;
MOD(A101;71)=0;MOD(A101;73)=0;MOD(A101;79)=0;MOD(A101;83)=0;MOD(A101;89)=0;
MOD(A101;91)=0;MOD(A101;91)=0;);”—“;”Bil. Prima”)
Copy sel B1 pada B2, B3, dan seterusnya. Maka kita mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari
10.000. Ada 1207 bilangan Prima yang didapat. Jika digabung dengan hasil sebelumnya (bilangan Prima yang
kurang dari 100) maka kita memperoleh 1232 bilangan Prima.

Perintah OR dalam Excel adalah memilih salah satu atau semuanya. Sintak perintahnya adalah

=OR(pilihan_1;pilihan_2,…,pilihan_k). Perintah MOD dalam Excel adalah untuk mencari sisa pembagian

suatu bilangan. Sintak perintahnya adalah =MOD(bilangan yang dibagi;bilangan pembagi). Contoh

=MOD(14;5) akan menghasilkan 4.

Dengan hasil tersebut kita juga bisa mendapatkan bilangan Prima kembar. Jika kalian tertarik, maka pencarian

berikutnya adalah bilangan Prima yang kurang dari 100.000.000 dengan modal bilangan Prima yang kurang

dari 10.000. Tentu membutuhkan waktu yang lama untuk mengetik perintah di Excel. Dengan melakukan

peekrjaan tersebut, kalian sudah menyerupai pekerjaan Curtis Cooper.

Dengan cara yang sama, kita bisa memeriksa pada n atau p berapa rumus-rumus ,

, dan menghasilkan bilangan Prima dan bukan bilangan Prima.

Untuk apa matematikawan mencari bilangan Prima yang sangat besar? Sebenarnya itu merupakan salah satu

kesenangan. Namun di balik itu, bilangan Prima yang besar digunakan untuk membuat sandi. Gagasannya

sederhana, jika kita mempunyai dua bilangan Prima, maka mudah bagi kita untuk mengalikannya. Tetapi jika

kita mempunyai bilangan komposit (hasil perkalian sejumlah bilangan Prima yang besar), maka sangat sulit

bagi siapa pun untuk memfaktorkannya. Sandi diperlukan jika kita akan mengirim suatu pesan, tetapi pesan

itu tidak ingin diketahui oleh pihak musuh. Untuk memahami hal tersebut, silakan download di

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/01/matematika-persandian.pdf.

You May Like

1. 10
Strangest Medical Conditions a week
ago buzzfaze.com BuzzFaze
BuzzFaze.com Ashikur Rahaman
Ashikur Rahaman (sponsored)

Jadilah yang pertama menyukai ini. Sejarah (Singkat) Bilangan Makna Eksistensi

Terkait

Sifat Archimides

Tagged with: Bilangan Prima 08/08/2015 23:47

3 of 6

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

4 comments
« Konflik Kognitif
Dasar-Dasar Pengetahuan Deduktif »

4 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

1. taufansensei said, on September 27, 2013 at 3:03 am
keren….
Balas
Anwar Mutaqin said, on September 27, 2013 at 3:20 am
terima kasih.
Balas
muchlis said, on September 27, 2013 at 3:52 am
pa, makasih, ya pa, Muchlis angkatan 2010

2. Indra Herdiana said, on Juli 3, 2015 at 5:42 am

Atau bisa juga pakai program sederhana C++. Programnya bisa dibuat sendiri dan bisa bermacam-
macam. Konsep utamanya dari mod (sisa hasil bagi).

Contoh program :

#include
#include

main()
{
int n, help;
cout<<"PROGRAM DERET BILANGAN PRIMA";
cout<<"\n========================================";

cout<>n;
cout<<endl;

for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(i==2)
cout<<"2\t";
else
{
for(int j=2;j<i;j++)
{
if(i%j==0)
{
help=0;
break;
}
help=1;
}

if(help!=0)

4 of 6 08/08/2015 23:47

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

cout<<i<<"\t";
}
}
getch();
}
Balas

Berikan Balasan

Halaman 08/08/2015 23:47

Perihal

Penulis

Anwar Mutaqin
TEORI PELUANG DAN LAILATUL QADR

Kategori

Tulisan Terbaru

Bilangan Prima
Sejarah (Singkat) Bilangan
Paradoks Russell
Himpunan Kosong
Miskonsepsi Matematika

Komentar Terbaru

Trifena Jessica di Sejarah (Singkat) Bilangan
Trifena Jessica di Sejarah (Singkat) Bilangan
Anwar Mutaqin di Mengapa Harus Belajar Analisis…
Anwar Mutaqin di Paradoks Russell
Anwar Mutaqin di Miskonsepsi Matematika

Arsip

Blogroll

Forum Guru MAtematika SMP Kota Serang

5 of 6

Bilangan Prima | Matematika https://anwarmutaqin.wordpress.com/2013/09/26/bilangan-prima/

WordPress.com
WordPress.org

Cari

Statistik

64,381 hits

Teratas

Posts | Pages | Comments
All | Today | This Week | This Month

There are no rated items for this period.

Kalender

September 2013
MS S RK J S
1234567
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
« Nov Jan »

Blog di WordPress.com. The Journalist 1.3 Theme.

6 of 6 08/08/2015 23:47