SET (และโจทย์ปัญหาเซต)

สารบญั

เรอ่ื ง หนา้

เน้ือหาเซต 1
โจทยป์ ัญหาเซต 8
บรรณานุกรม 24

1

SET : เซต

นิยามของ เซต 

“ เซต เป็น อนยิ าม เราใชค้ ำว่าเซตเพ่อื บอกถึงกลมุ่ ของส่ิงต่าง ๆ โดยที่
ต้องทราบแน่นอนวา่ มีสิ่งใดอยู่ในกล่มุ และสิ่งทไี่ มอ่ ยใู่ นกลมุ่ ”

Q : แลว้ เราจะรู้ได้ยังไงว่าน่ีคือเซตหรอื เปล่า

A : เราตอ้ งทราบอย่างแนน่ อนว่านคี่ ือสมาชิก เช่น

เซตของจำนวนนับ มี 1,2,3,4,... อยใู่ นกลุ่ม

เซตของสระในภาษาอังกฤษ มี a,e,i,o,u อยใู่ นกลุ่ม

โดยเรยี กสิ่งทอี่ ยทู่ ุกตวั ในเซตวา่ “สมาชกิ ของเซต”

Q : ไหนลองยกตัวอย่างส่งิ ที่ไม่ใชเ่ ซตหนอ่ ยสิ
A : เราจะไม่ใช้เซตกับสิ่งท่ีเราไม่ทราบแนน่ อนว่างสง่ิ ใดอยู่ในกลุม่

เชน่ เซตของอาหารที่อรอ่ ย
เซตของหมาที่ดุ

โดยปกตเิ ราจะเรยี ก ช่อื ของเซต แทนดว้ ยตัวอักษรพิมพ์ใหญภ่ าษาอังกฤษ เช่น
A B C D ใช้ { } แทน ตวั เซต สิง่ ท่อี ยภู่ ายในปีกกาเรียกว่า สมาชกิ ของเซต ........

แทนจำนวนเต็ม + แทนจำนวนเต็มบวก - แทนจำนวนเต็มลบ
แทนจำนวนเต็ม + แทนจำนวนจริงบวก - แทนจำนวนจรงิ ลบ

แทนจำนวนตรรกยะ แทนจำนวนนับ

2

 วธิ ีเขยี นเซต การเขยี นเซตอาจเขยี นได้สองแบบ คือ

1.การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular From) โดยเขียนสมาชิกทุกตัว
ของเซตลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ปีกกา และใช้เครอ่ื งหมายจลุ ภาค ( , ) คั่นระหว่าง
สมาชิกแต่ละตวั เช่น

เซตของจำนวนนับท่นี ้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1, 2, 3, 4, 5, 6}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตวั แรก เขียนแทนด้วย {ก, ข, ฃ, ค, ฅ}
เซตของจำนวนคู่ตง้ั แต่ 2 ถงึ 10 เขยี นแทนด้วย {2, 4, 6, 8, 10}

2.เขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไข (Builder Form) ใช้ตวั แปรเขียนแทนสมาชกิ ของ
เซต แลว้ บรรยายสมบัตขิ องสมาชกิ ที่อย่ใู นรูปของตวั แปร เชน่

{x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษ }

อา่ นวา่ เซตของ x โดยท่ี x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ

{x | x เปน็ เดอื นแรกและเดอื นสุดทา้ ยของปี }

อ่านว่า เซตของ x โดยท่ี x เป็นเดอื นแรกและเดอื นสุดท้ายของปี

เคร่ืองหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกน้ันจะใชจ้ ุดสามจดุ ( . . . ) เพอ่ื แสดงว่า
มีสมาชิกอ่ืน ๆ ซ่งึ เปน็ ที่เข้าใจกันทวั่ ไปว่ามีอะไรบา้ งทีอ่ ยใู่ นเซต เชน่

{1, 2, 3, . . ., 10} สัญลักษณ์ . . . แสดงว่ามี 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
เป็นสมาชิกของเซต

{วนั จันทร์, องั คาร, พุธ, . . ., อาทิตย์ } สญั ลกั ษณ์ . . . แสดงว่ามวี นั
พฤหสั บดี วนั ศุกร์ และวนั เสาร์ เป็นสมาชิกของเซต

3

 สมาชกิ ของเซต

จะใชส้ ัญลักษณ์ “ ∈ ” แทนคำวา่ เป็นสมาชกิ หรอื อยูใ่ น
เช่น A = {1, 2, 3, 4}
จะได้วา่ 1 เปน็ สมาชกิ ของ A หรอื อยู่ใน A เขยี นแทนด้วย 1 ∈ A
3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยใู่ น A เขียนแทนดว้ ย 3 ∈ A

คำวา่ “ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ” หรอื “ไม่อยูใ่ น” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “ ∉ ”
เชน่ 5 ไม่เป็นสมาชกิ ของ A หรือไมอ่ ยู่ใน A เขียนแทนด้วย 5 ∉ A
7 ไมเ่ ป็นสมาชิกของ A หรือไมอ่ ยใู่ น A เขียนแทนด้วย 7 ∉ A

สำหรบั เซต A ซ่งึ มีสมาชิก 4 ตวั เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิก
ของเซต A นัน่ คอื n(A) = 4

 สบั เซต

1. เซต A เปน็ สับเซตของเซต B กต็ อ่ เมื่อ สมาชิกทกุ ตัวของเซต A เปน็
สมาชิกของเซต B เขยี นแทนด้วย A ⊂ B

2. เซต A ไม่เป็นสบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เมื่อ มีสมาชกิ อย่างน้อยหนงึ่ ตวั
ของเซต A ทไี่ มเ่ ป็นสมาชิกของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A ⊄ B

4

 เอกภพสัมพทั ธ์ (Relative Universe)
ในการเขยี นเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชกิ จะต้องกำหนดเซตขึ้นมา

หน่งึ เซตเรยี กว่า เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนดว้ ย U โดยมีขอ้ ตกลงวา่ เมอื่ กลา่ วถงึ
สมาชิกของเซตใด ๆ จะไมก่ ล่าวถงึ สงิ่ อื่นท่นี อกเหนอื จากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

เชน่ กำหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ

B = {x | x เป็นจำนวนนบั ที่น้อยกว่า 5}

จงเขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

 B = {1, 2, 3, 4}
และสามารถเตมิ จำนวนสมาชิกให้ได้แผนภาพดังน้ี

5

6 2 3
1 4

7

5

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram)

แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เป็นแผนภาพที่ใช้แสดง
ความเกี่ยวขอ้ งของเซต เพื่อช่วยในการคิดคำนวณหรือแก้ปัญหา
ซึ่งตัวชื่อแผนภาพตามช่ือของนักคณิตศาสตร์คือ เวนน์และ
ออยเลอร์ (Venn-Euler)

การเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มีวิธีการเขียนดังน้ี

ให้ เอกภพสมั พัทธ์ U แทนด้วยรปู ส่ีเหลีย่ มผนื ผา้ หรือรูปปิดใด ๆ
เซต A, B, C, . . . ซงึ่ เป็นสับเซตของ U แทนด้วยวงกลม วงรี

หรอื รปู ปิดอื่น ๆ โดยให้เซต A, B, C, . . . อยู่ใน U

ตัวอยา่ ง กำหนด U = {1, 2, 3, . . .} ,
A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {2, 4, 6, 8}

จงเขยี นแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต

เซต A และเซต B มสี มาชกิ ร่วมกนั คอื 2 และ 4 ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพ
แทนเซต A และ B ไดด้ งั น้ี

U

A1 2 6
3 4 8B
5

6

 ยเู น่ียน

ยเู นยี นของเซต A และเซต B คอื เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A
หรอื เซต B หรือท้งั สองเซต ยเู นยี นของเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A  B

 อินเตอร์เซก

อนิ เตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คอื เซตที่ประกอบไปดว้ ยสมาชิก

ที่อยูท่ ง้ั ในเซต A และเซต B อนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย

AB

คอมพลเี มนต์ A A’

คอมพลีเมนตข์ องเซตใด ๆ คอื เซตทีม่ ีสมาชกิ อยู่ใน U แต่ไมอ่ ยู่ในเซตนน้ั
ๆ เชน่ คอมพลีเมนต์ของเซต A คอื เซตท่มี ีสมาชิกอยู่ใน U แตไ่ มอ่ ยูใ่ น A คอม
พลเี มนต์ของเซต A เขยี นแทนด้วย A’

A’ = {x | x U และ x  A}

ผลตา่ ง

ผลต่างของเซต A และเซต B คอื เซตที่มีสมาชิกทกุ ตัวอยู่ในเซต A แต่ไม่
อยู่ในเซต B โดย เขียนแทนผลตา่ งของเซต A และ B ดว้ ย A – B

7

 จำนวนของเซตจำกดั

จำนวนสมาชกิ ของเซตจำกดั A ใด ๆ จะเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ n(A)
ซง่ึ สามารถแยกโจทยป์ ัญหาเก่ียวกับจำนวนสมาชิกของเซตจำกดั ได้ดงั นี้

1. ถา้ A และ B เป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชกิ ของเซต A  B หรือ n(A  B)
จะหาได้จาก

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

2. ถา้ A และ B เปน็ เซตจำกัดทไี่ ม่มีสมาชิกรว่ มกัน (A  B = )

n(A  B) = n(A) + n(B)

3. ถา้ A, B และ C เป็นเซตจำกดั จำนวนสมาชกิ ของเซต A  B  C หรอื
n(A  B  C) จะหาไดจ้ าก

n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C)
– n(B  C) + n(A  B  C)

8

โจทย์ฝกึ ทกั ษะ
: โจทยป์ ญั หาเซต

1. นักเรียนกลมุ่ หน่งึ จำนวน 46 คนแตล่ ะคนมเี สอื้ สเี หลอื งหรอื เสื้อสีฟ้าอยา่ งนอ้ ยหน่ึง
ตัวถ้านักเรียน 39 คนมเี สอื้ สเี หลืองและ 19 คนมีเสื้อสฟี า้ แล้วนกั เรยี นกล่มุ นท้ี ่ีมที ้ังเสื้อ
สเี หลืองและเส้ือสฟี ้ามจี ำนวนเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ONET50

ให้ A เปน็ เซตของนักเรยี นท่มี ีเส้ือสเี หลอื ง
B เป็นเซตของนกั เรียนทม่ี ีเส้ือสฟี า้

นักเรยี นแตล่ ะคนมเี สื้อสีเหลอื งหรอื เสอื้ สฟี า้ อยา่ งน้อยหนึง่ ตัว

แสดงว่าไมม่ ีนกั เรียนอยนู่ อกวงกลม A, B แสดงว่า (AB)' = 

n(A) - n(AB) (AB) B

A

n(B) - n(AB)

นักเรียน 46 คน แตล่ ะคนมเี ส้ือสเี หลอื งหรือเสอื้ สีฟา้ อยา่ งน้อยหนงึ่ ตัว n(AB) = 46

นกั เรียน 39 คนมีเสอื้ สีเหลอื ง n(A) = 39
นกั เรียน 19 คนมีเสอื้ สีฟ้า n(B) = 19

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB)

46 = 39 + 19 - n(AB)

n(AB) = 12

 นักเรียนท่มี ที ั้งเสื้อสีเหลอื งและเสอ้ื สีฟา้ n(AB) = 12 ANS

9

2. ในการสอบถามพ่อบา้ นจำนวน 300 คน พบว่ามคี นท่ไี ม่ดื่มท้งั ชาและกาแฟ
100 คน มคี นที่ดืม่ ชา 100 คน และมีคนทดี่ ่มื กาแฟ 150 คน พ่อบ้านทดี่ มื่ ทั้งชาและ
กาแฟมจี ำนวนคนเท่าใด ONET49

ให้ A เป็นเซตของคนที่ดื่มชา
B เปน็ เซตของดม่ื กาแฟ

U

100 150

A B(A∩B)

100

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
n(A∪B) = u - n(A∩B)

= 300 - 100
= 200
200 = 100 + 150 - n(A∩B)
200 = 250
n(A∩B) = 250 - 200
= 50
∴ พอ่ บา้ นทด่ี มื่ ทั้งชาเเละกาเเฟมจี ำนวน 50 คน ANS

10

3.จากการสอบถาม เรอื่ งความชอบไอศรมี รสวนลิ าและรสสม้ ของเด็กอนุบาล จำนวน
40 คน พบวา่ 25 คน ชอบรสวนลิ า 10 คน ชอบรสสม้ 8 คน ไม่ชอบท้ังรสวนิลาและรส
ส้ม มเี ดก็ อนุบาลที่ชอบทงั้ รสวนลิ าและรสส้มกี่คน

ให้ U เปน็ เซตของเดก็ ท้ังหมด
A เปน็ เซตของเดก็ ท่ชี อบรสวนลิ า
B เป็นเซตของเด็กท่ีชอบรสสม้
X เป็นเซตของเดก็ ทช่ี อบทง้ั รสวนิลาและรสส้ม

ท(U) = 40
8
8

เด็กทั้งหมด 40 คน มี 8 คน ไมช่ อบทั้งรสวนลิ าและรสส้ม
ดงั นน้ั เดก็ ท่ีเหลอื = 40 - 8 = 32 คน ชอบรสวนลิ าหรอื รสสม้ หรอื ท้งั สองรส

A∪B = เซตของเด็กท่ชี อบรสวนิลาหรอื รสสม้ หรือท้ังสองรส
n( A∪B) = 32
n(A) + n(B) - n(X) = 32
25 + 10 - n(X) = 32

n(X) = 3
∴ มเี ดก็ อนบุ าลที่ชอบทง้ั รสวนิลาและรสสม้ 3 คน ANS

11

4.นกั เรียนหอ้ งหนงึ่ มี 50 คน ถ้าในจำนวนนม้ี ีคนเลน่ กีตาร์ 25 คน เล่นเปียโน 14 คน
ไมเ่ ล่นกีตาร์และไมเ่ ล่นเปียโน 15 คน แล้วจำนวนนกั เรียนท่ีเล่นกีตาร์อยา่ งเดยี วมกี ่คี น
ONET59

ให้ A แทนคนท่ีชอบเลน่ กีตาร์
B แทนคนทีช่ อบเลน่ เปียโน
X แทนจำนวนคนทีช่ อบเลน่ ท้ังกตี าร์และเปยี โน

จากจำนวนนกั เรียนทั้งหมด 50 คน หาค่า X
(25-X) + X + (14-X) + 15 = 50
54 – X = 50
X=4

จะไดว้ ่า จำนวนนักเรยี นท่เี ล่นกีตารอ์ ย่างเดียว เท่ากบั
= 25 – X
= 25 – 4
= 21

∴ จำนวนนักเรยี นท่ีเลน่ กีตาร์อย่างเดียวเทา่ กบั 21 คน ANS

12

5.ในการสอบถามผ้ทู ีม่ าเทีย่ วงานประกวดสตั วเ์ ลย้ี งจำนวน 50 คน เร่ืองการเล้ียงสนุ ขั
แมว และกระตา่ ยเปน็ สตั วเ์ ลย้ี ง พบวา่

ผูท้ ไ่ี มเ่ ลีย้ งสัตวท์ ้งั 3 ชนิดเลย มจี ำนวน 7 คน
ผู้ทเี่ ลยี้ งสตั วท์ ั้ง 3 ชนิด มจี ำนวน 5 คน
ผูท้ ี่เลี้ยงสัตวเ์ พียง 2 ชนิด มจี ำนวน 22 คน
ผู้ที่เล้ียงสนุ ขั มจี ำนวน 30 คน
ผทู้ ่เี ลย้ี งแมว มีจำนวน 25 คน
จำนวนผู้ทเ่ี ลี้ยงกระต่ายเท่ากับขอ้ ใด คณติ 2 สามัญ59

ให้ D แทนเซตของผทู้ ่ีเลี้ยงสุนขั (Dog)
C แทนเซตของผู้ทีเ่ ลี้ยงแมว (Cat)
R แทนเซตของผทู้ ีเ่ ล้ียงกระตา่ ย (Rabbit)

กำหนด x,y และ z ข้นึ มาเน่อื งจากโจทยบ์ อกวา่
ผู้ทเี่ ลยี้ งสัตวเ์ พียง 2 ชนดิ มจี ำนวน 22 คน
นน่ั คอื x+y+z =22

โจทย์กำหนด n(D)=30 และ n(C)=25 ตอ้ งการหา n(R) ใชส้ ตู ร

n(D ∪ C ∪ R) = n(D) + n(C) + n(R) - n(D∩ C) - n(D∩ R) - n(C ∩ R)

+n(D ∩ C ∩ R)

50 – 7 = 30 + 25 + n(R) - (x+5) - (y+5) - (z+5) +5

43 = 60 + n(R) - (x+y+z) - (5+5+5)

43 = 60 + n(R) - 22 – 15

43 = 23 + n(R)

n(R) = 20

∴ คนท่เี ลีย้ งกระตา่ ยมี 20 คน ANS

13

6.ในการเขา้ แถวซอ้ื โดนทั รา้ นหนงึ่ ของคน 42 คน โดยมีเง่อื นไขวา่ จะตอ้ งซ้อื ไดค้ นละ 1
หรือ 3 ชิ้นเทา่ นนั้ และจะตอ้ งซ้อื รสชาติทแี่ ตกต่างกันท้ังหมดจากรถ ออรจิ นิ ัล ส้ม และ
กลว้ ย

ถ้าแตล่ ะรสชาตมิ คี นเลอื กซอ้ื 20, 15 และ 13 ช้นิ แลว้
จะมคี นซอื้ ทั้ง 3 รสชาติไปทง้ั หมดกชี่ ้นิ

ให้ x แทนจำนวนคนท่ีซื้อทง้ั 3 รสชาติ

จากแผนภาพ
(15-x) + (20-x) + (13-x) + x = 42
X=3

ดงั นั้นมีคนซือ้ ท้ัง 3 รสชาติ 3 คน โดยแต่ละคนซอ้ื ไปคนละ 3 ช้นิ รวมท้ังหมดเปน็ 9 ช้นิ

∴ จะมคี นซอ้ื ท้ัง 3 รสชาติไปทง้ั หมด 9 ช้ิน ANS

14

7.ในการสำรวจนักเรยี นหอ้ งหน่ึงเกยี่ วกับความชอบเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์
ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย พบว่า

มี 24 คน ชอบเรยี นคณิตศาสตร์ a + b + c + 4 = 24 >>> a + b + c = 20
มี 22 คน ชอบเรยี นภาษาองั กฤษ b + d + e + 4 = 22 >>> d + b + e = 18
มี 21 คน ชอบเรยี นภาษาไทย c + e + f + 4 = 21 >>> c + e + f = 17
มี 21 คน ชอบเรยี นเพยี งวชิ าเดียว a + d + f = 21
มี 4 คน ชอบเรยี นทง้ั สามวิชา
ถ้าทกุ คนชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชา จงหาว่าจำนวนนกั เรียนท่ชี อบเรียนภาษาองั กฤษ
หรอื ภาษาไทย แต่ไมช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ มีเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ PAT1 59

ให้ ชอบคณิตศาสตร์ แทนดว้ ย M
ชอบภาษาองั กฤษ แทนดว้ ย E
ชอบภาษาไทย แทนดว้ ย T

ส่วนท่แี รเงาคือตำแหนง่ ทเี่ ราตอ้ งการหา
คือ d + e + f

แก้สมการจาก 4 สมการดา้ นบน
2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f = 76
a + b + c + d + e + f = 38

แทนค่า a + b + c = 20 ลงในสมการ
จะได้ 20 + d + e + f = 38
d + e + f = 18

∴ จำนวนนกั เรยี นท่ชี อบเรียนภาษาองั กฤษหรอื ภาษาไทย แตไ่ ม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
มเี ท่ากบั 18 คน ANS

15

8.ในการสำรวจวิชาทนี่ ักเรยี น 200 คนทชี่ อบอย่างน้อยหน่ึงวิชา ปรากฏวา่

130 คน ชอบวทิ ยาศาสตร์

140 คน ชอบคณิตศาสตร์

80 คน ชอบศลิ ปะ

100 คน ชอบวิทยาศาสตร์และคณติ ศาสตร์

30 คน ชอบวิทยาศาสตรแ์ ละศิลปะ

50 คน ชอบคณติ ศาสตร์และศลิ ปะ

นกั เรียนทช่ี อบคณติ ศาสตร์เพียงอยา่ งเดยี วมกี ่คี น ONET54

ให้ S แทน เซตของนกั เรียนท่ีชอบวิทยาศาสตร์

M แทน เซตของนกั เรยี นที่ชอบคณิตศาสตร์

A แทน เซตของนักเรยี นทชี่ อบศิลปะ

จะได้ n(S∪M∪A)=200 n(S∩M)=100

n(S)=130 n(S∩A)=30

n(M)=140 n(M∩A)=50

n(A)=80

n(S∪M∪A) = n(S)+n(M)+n(A)-n(S∩M)-n(S∩A)-n(M∩A)+n(S∩M∩A)
200 = 130+140+80-100-30-50+n(S∩M∩A)
200 = 170+n(S∩M∩A)

n(S∩M∩A) = 200-170
n(S∩M∩A) = 30

จะได้
n(S∩M)=100 หกั 30 คน ได้ 70 คน
n(S∩A)=30 หัก 30 คน ได้ 0 คน
n(M∩A)=50 หกั 30 คน ได้ 20 คน

16
ช6 จากโจทยถ์ ามจำนวนนักเรียนทช่ี อบวชิ าคณิตศาสตร์อยา่ งเดยี ว

นำ n(M)=140 ไปลบดว้ ยสามส่วนทท่ี ราบจำนวนแลว้
ซ่ึงจะได้จำนวนนักเรียนทช่ี อบคณติ ศาสตร์
อยา่ งเดยี วเทา่ กับ
140 - 70 - 30 – 20 = 20

เติมใหค้ รบทุกชอ่ งจะได้ดงั น้ี

∴ นกั เรยี นท่ีชอบคณติ ศาสตร์เพยี งอยา่ งเดียวมี 20 คน ANS

17

9.จากการสอบถามนกั เรยี นหญิงในชั้นเรยี นหน่ึงซ่ึงมจี ำนวน 50 คนเกย่ี วกับความชืน่

ชอบดาราชายยอดนิยมสามคน ซึง่ ได้แก่ มารโิ อ้ ณเดช และโตโน่ ปรากฏผลดังน้ี
n(A)=25
25 คน ชอบมารโิ อ้
n(B)=28
28 คน ชอบณเดช
n(C)=23
23 คนชอบโตโน่
n(A∩C)=12
12 คนชอบทัง้ มาริโอ้ และ โตโน่
n(B∩C)=10
10 คนชอบทัง้ ณเดชและโตโน่

7 คนชอบดาราทง้ั สามคน n(A∩B∩C)=7

ถ้านักเรียนแตล่ ะคนชอบดาราอย่างน้อยหน่ึงคนในสามคนน้ี แล้วจำนวนนักเรียนหญิง

ทีช่ อบทงั้ มารโิ อ้ และณเดชเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ONET56

ให้ A แทน เซตของคนทช่ี อบ มาริโอ้

B แทน เซตของคนท่ีชอบ ณเดช

C แทน เซตของคนทชี่ อบ โตโน่

จากทบี่ อกวา่ นกั เรียนแตล่ ะคนชอบดาราอยา่ งน้อยหนึ่งคนทำใหไ้ ด้

n(A∪B∪C) = 50

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C)+n(A∩B∩C)
50 = 25+28+23 - n(A∩B) - 12 - 10+7

50 = 61 - n(A∩B)
n(A∩B) = 11

∴ นักเรียนหญงิ ทีช่ อบทง้ั มารโิ อ้ และ ณเดช มี 11 คน ANS

18

10.โรงเรยี นแหง่ หนึง่ มนี กั เรยี นจำนวน 750 คน พบวา่ มนี กั เรียนจำนวน 30 คน ไมเ่ ล่น

กฬี าเลย นอกนน้ั เล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งประเภท

จากการสำรวจเฉพาะกลมุ่ นกั เรยี นท่ีเล่นกฬี า พบว่ามีนกั เรยี นจำนวน 630 คน

เลน่ กีฬาเพยี งประเภทเดียวเทา่ น้นั

มีนกั เรียน 30 คนเลน่ เทนนสิ และปิงปอง

มนี ักเรียน 50 คนเลน่ ปิงปองและแบดมินตนั

มีนักเรียน 40 คนเลน่ เทนนสิ และแบดมินตัน

มีนักเรยี นไม่เล่นฟุตบอลจำนวน 250 คน

จงหาวา่ มีนกั เรียนกีค่ นทเ่ี ล่นเทนนิสเพียงอยา่ งเดยี ว PAT1 54

ให้ A แทน เซตของคนท่ีเลน่ เทนนสิ

เทนนิส ปิงปอง B แทน เซตของคนทีเ่ ลน่ ปิงปอง

a 30-x b C แทน เซตของคนที่เล่นแบดมนิ ตนั

x คนท่ีเลน่ กีฬาทัง้ หมด = 750 - 30
a + b +4c 0= -6x30 50-x = 720

30-x + x+ 40-x + 50-x = 720-630

c 120 – 2x = 90

30 แบดมินตัน 2x = 30
X = 15

a + (30-x) + x + (40-x) = 720 – 250
a + 15 +15 + 25 = 470
a = 470-55
a = 415

∴ นกั เรียน 415 คนท่ีเล่นเทนนสิ เพยี งอย่างเดยี ว ANS

19

11.จากการสอบถามนักเรียน 100 คน พบวา่
มี 11 คน ทีไ่ มเ่ รียนพิเศษ มนี ักเรยี นชาย 66 คน เรียนพเิ ศษวิชาคณติ ศาสตร์และ

ภาษาอังกฤษ และมีนักเรียนหญิง 22 คน ทเี่ รยี นพเิ ศษคณติ ศาสตร์อย่างเดียว
ขอ้ ใดต่อไปน้ีกล่าวไดถ้ ูกต้องเกยี่ วกับการเรียนพเิ ศษของนกั เรยี น 100 คนน้ี
คณิต2 สามญั 59

ก. ถ้าไม่มนี กั เรยี นหญงิ เรียนวชิ าภาษาอังกฤษ แล้วจะมีนักเรยี นชาย 67 คน เรียนวิชา
คณิตศาสตร์

ข. ถา้ มนี ักเรียนหญิงเรยี นวชิ าภาษาองั กฤษ แล้วจะมนี กั เรยี นชาย 66 คน เรียนวิชา
คณติ ศาสตร์

ค. ถ้ามีนักเรยี นชาย 67 คน เรียนวิชาคณติ ศาสตร์ แล้วจะมีนกั เรยี นหญิงเรยี นวชิ า
ภาษาองั กฤษ

ง. มีนักเรียน 67 คน เรียนวิชาภาษาองั กฤษ
จ. มนี ักเรียน 88 คน เรียนวชิ าคณติ ศาสตร์

ให้ M แทนเซตของคนท่ีเรียนพเิ ศษวชิ าคณิตศาสตร์
E แทนเซตของคนทีเ่ รยี นพิเศษวชิ าภาษาอังกฤษ
แผนภาพครง่ึ บนแทนนักเรยี นชายและแผนภาพครึ่งล่างแทนนกั เรียนหญิง

จากจำนวนนักเรียนในแผนภาพมีอยู่
66+22+11=99 คน จากทั้งหมด
100 คน แสดงว่ายังขาดอีก 1 คน
ท่เี ราจะพจิ ารณาตำแหน่งจากตัวเลือก

20

พิจารณาตัวเลือก ก. ถ้าไม่มีนักเรียนหญิงเรียนวิชาภาษาอังกฤษ แล้วจะมีนักเรียนชาย
67 คน เรียนวชิ าคณติ ศาสตร์

พ้ืนที่สว่ นทแี่ รเงาไม่มีสมาชกิ เลย ดงั นัน้ นกั เรยี นอีก 1 คน ทเี่ หลอื สามารถอยูไ่ ด้ 2 ตำแหนง่

สังเกตฝั่งขวา เพศชาย 67 คนถูกต้อง ถา้ แบบซา้ ยเพศหญิง จะไม่ถูกต้อง จึงตอบขอ้ นไ้ี ม่ได้

พิจารณาตัวเลอื ก ข. ถ้ามนี กั เรียนหญิงเรียนวชิ าภาษาอังกฤษ แล้วจะมีนักเรียนชาย 66 คน
เรียนวชิ าคณิตศาสตร์

ดงั น้ัน ตัวเลอื ก ข. ถูกตอ้ ง ตัวเลือก B บอกว่า มีนักเรียนหญิง
เรียนวิชาภาษาอังกฤษ แสดงว่า 1 คน
ที่เหลือ จะต้องอยู่ในฝั่งผู้หญิงแน่นอน
คือ ไม่ตำแหน่งใดก็ตำแหน่งหนึ่ง นั่น
หมายความว่า จะไม่เหลือนักเรียนคนใด
ให้อยู่ในเซตฝั่งผู้ชายอีก จึงสรุปได้ว่า
น ั ก เ ร ี ย น ช า ย ท ี ่ เ ร ี ย น ค ณ ิ ต ศ า ส ต ร์ มี
เพยี ง 66 คน เท่านัน้

21

พจิ ารณาตัวเลือก ค. ถ้ามีนกั เรยี นชาย 67 คน เรียนวชิ าคณติ ศาสตร์ แลว้ จะมีนักเรยี นหญิง
เรียนวชิ าภาษาองั กฤษ
มีนักเรยี นชาย 67 คน เรียนคณิตศาสตร์ แสดงวา่ นกั เรียน 1 คน ท่เี หลือ ตอ้ งอยู่ในตำแหนง่ ดงั นี้

จงึ ไม่มีนกั เรยี นเหลอื ใหอ้ ยใู่ นเซต
ฝงั่ ผู้หญงิ ท่เี รยี นภาษาองั กฤษอีก

ดังน้ัน ตวั เลือก ค. ไม่ถูกต้อง

พิจารณาตัวเลือก ง. มีนักเรียน 67 คน เรยี นวชิ าภาษาองั กฤษ
จากการพจิ ารณาตวั เลือก ค. ในแผนภาพจะเหน็ วา่ อาจมีกรณที ่ีมนี ักเรียนเพยี ง 66 คน

เรยี นภาษาอังกฤษ ดงั นน้ั ตวั เลอื ก ง. จงึ ไม่ถกู ต้อง

พิจารณาตวั เลือก จ. มีนักเรียน 88 คน เรยี นวิชาคณิตศาสตร์
ในทำนองเดียวกัน หากเกิดกรณีแบบแผนภาพตอนพิจารณาตัวเลือก ค. แล้ว จะเห็นว่ามี

นักเรยี น 89 คน เรียนวิชาคณิตศาสตร์ ดงั นนั้ ตวั เลอื ก จ. ไม่ถูกต้อง

∴ คำตอบคอื ข. ถา้ มีนักเรยี นหญิงเรียนวิชาภาษาอังกฤษ แลว้ จะมีนักเรียนชาย 66 คน เรยี น
วิชาคณิตศาสตร์ ANS

22

12.ในการสำรวจนักกีฬา 100 คน พบว่าชอบเล่นฟุตบอลหรือเทนนิสหรือปิงปอง
อย่างน้อย 1 ประเภท และ

มี 75 คน ชอบเล่นฟตุ บอล
มี 70 คน ชอบเล่นเทนนิส
มี 80 คน ชอบเล่นปิงปอง
จะมีนกั กฬี าอยา่ งมากก่คี นทีช่ อบเลน่ กีฬาทั้งสามประเภท ดัดแปลง PAT1 มี.ค.55
ให้ ชอบ 1 ประเภท มรี วมกนั a คน (สีสม้ ท้ัง 3 ส่วนรวมกนั )

ชอบ 2 ประเภท มรี วมกนั b คน (สฟี ้าอ่อนท้งั 3 ส่วนรวมกัน)
ชอบ 3 ประเภท มี c คน (สนี ้ำเงินเข้มชนิ้ เดยี ว)

จากจำนวนนกั กฬี าท้งั หมดมี 100 คน จะได้สมการ
+ + = 100 − (1)

นับจำนวนนักกีฬาที่ชอบกีฬาแต่ละชนิด ทีละวง โดยแต่ละวงจะได้สีส้ม 1 ส่วน สีฟ้า
อ่อน 2 สว่ น และสีนำ้ เงนิ เข้ม 1 ส่วน ซึ่งเมอ่ื รวมกนั ครบทง้ั สามวง จะได้

สสี ม้ 3 ส่วน คดิ เปน็ 1a
สฟี ้าออ่ น 6 สว่ น คดิ เปน็ 2b เพราะ 3 สว่ นรวมกันคดิ เป็น b เดยี ว
สนี ้ำเงินเขม้ 3 สว่ น คดิ เปน็ 3c เพราะแตล่ ะส่วนคิดเป็น 1c
เม่อื นับจำนวนคนรวมกนั ทั้ง 3 ประเภทจะได้ 75 +70 +80 =225 คน และเขียนเป็น
สมการได้

+ 2 + 3 = 225 − (2)

23

(1) คูณ 3 ; 3 + 3 + 3 = 300 − (3)

(3) - (2) ; 2 + = 75 − (4)

ลองเลือกคา่ a นอ้ ยท่ีสดุ ที่เปน็ ไปได้ คอื a=0 แทนลงใน (4) และ (1) จะได้
a=0
b=75
c=25

อีกกรณถี ้า b มคี ่านอ้ ยท่ีสดุ ท่เี ป็นไปได้ คือ b=1 (จากสมการ 2a+b=75 ) จะได้
b=1
a=37
c=62

ซ่งึ เป็นค่าที่มากท่ีสุดที่เป็นไปได้ของ c แล้ว

∴ มีนกั กฬี าอย่างมาก 62 คนท่ีชอบเล่นกฬี าทั้งสามประเภท ANS

24

บรรณานกุ รม

คณิต มงคลพิทักษส์ ุข. 2562. Math E-Book pre2.7. กรงุ เทพฯ. ม.ป.พ.
Opendurian. 2563. โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน. สืบค้นเม่ือ 24 พฤศจิกายน 2563.

จาก www.opendurian.com/learn/set_union_member_problem/
Opendurian. 2563. พื้นฐานเซต. สืบค้นเม่ือ 24 พฤศจิกายน 2563.

จาก www.opendurian.com/learn/intro_to_set/
Opendurian. 2563. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์. สืบค้นเม่ือ 24 พฤศจิกายน 2563.

จาก www.opendurian.com/learn/venn_euler_diagram/
Rathcenter 2563. แยกตามเร่ือง:เซต. สบื ค้นเมื่อ 24 พฤศจกิ ายน 2563. จาก

http://rathcenter.com/index.html
Rathcenter 2563. PAT1:เซต. สืบค้นเมอ่ื 24 พฤศจิกายน 2563. จาก

http://rathcenter.com/pat1.html
Rathcenter 2563. ONET:เซต. สบื ค้นเมอื่ 24 พฤศจกิ ายน 2563. จาก

http://rathcenter.com/onet.html