คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น
(Linear Congruence)
บทนิยาม 3.1.1 ก าหนดให a, b เป็นจ านวนเต็มและ n เป็นจ านวนเต็มบวก
้
เรากล่าวว่า a คอนกรูเอนซ์กับ b มอดุโล n (a is congruence
to b modulo n) ซึ่งเขียนอยู่ในรูป a ≡ b mod n ก็ต่อเมื่อ
nȁ a − b หรือ a − b = kn ส าหรับบางจ านวนเต็ม k
และเรากล่าวว่า a ไม่คอนกรูเอนซ์กับ b มอดุโล n (a is
congruence to b modulo n) เขียนแทนด้วย
nȁ
b
−
a
a ≡ b mod n ก็ต่อเมื่อ เรียกจ านววนเต็ม
n ว่ามอดุลัส (modulus)
ทฤษฎีบท 3.4.1 ทฤษฎีบทออยเลอร์ (Euler’s Theorem)
ถ้า n เป็นจ านวนเต็มบวก และ a เป็นจ านวนเต็ม
ซึ่ง a, b = 1 แล้ว a ∅ n ≡ 1 mod n
บทนิยาม 4.1.1 ก าหนดให้ a, b เป็นจ านวนเต็มและ
n เป็นจ านวนเต็มบวก เรียกคอนกรูเอนซ์
ax ≡ b mod n ว่า คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น
บทนิยาม (a linear congruence)
บทนิยาม 4.1.3 ก าหนดให้ a, b เป็นจ านวนเต็มและ n เป็นจ านวนเต็มบวก
เรากล่าวว่าจ านวนเต็ม x 0 เป็นผลเฉลย (solution) ของ
คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ
ax ≡ b mod n
ax ≡ b mod n
0
บทนิยาม 4.4.1 เรียกเซตของคอนกรูเอนซ์
a x ≡ b mod n 1
1
1
a x ≡ b mod n 2
2
2
⋮
a x ≡ b mod n k ⋯ ∗
k
k
ว่าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น เมื่อ a , b i เป็นจ านวนเต็ม และ
i
k, n i เป็นจ านวนเต็มบวกส าหรับทุก i = 1,2,3,4, . . . , k
และจะกล่าวว่าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น ∗
ู
ทฤษฎีบท 4.4.1 ก าหนดระบบคอนกรเอนซ์เชิงเส้น
x ≡ a mod n 1 ⋯ I
1
x ≡ a mod n 2
2
(1) ระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น มีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ
I
n , n ȁ a − a 2
1
1
2
(2) ถ้าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น มีผลเฉลย แล้วผลเฉลยคือ x 0
I
ซึ่ง x ≡ x mod n , n 2 และมีเพียงผลเฉลยเดียว ในมอดุโล n , n 2
0
1
1
ทฤษฎีบท 4.4.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือของชาวจีน (Chinese Remainder Theorem)
ก าหนดให้ n , n , . . . , n k เป็นจ านวนเต็มบวก โดยที่n , n = 1
1
2
1
j
ส าหรับทุก i, j = 1,2, . . . , k ที่ซึ่ง แล้วระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น
i ≠ j
x ≡ a modn i ส าหรับทุก i = 1,2, . . . , k
i
มีผลเฉลย และทุกผลเฉลยคอนกรูเอนซ์กันมอดุโล n , n , . . . , n k
2
1
กล่าวคือ จะมีจ านวนเต็ม a มีเพียงจ านวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง
x ≡ a mod n n . . . n k
i
1 2
ตัวอย่าง 4.4.5 จงหาผลเฉลยของระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น
x ≡ 3 mod 17
x ≡ 4 mod 11
x ≡ 5 mod 6
วิธีท า 17,11 = 1, 11,6 = 1, 17,6 = 1
จากทฤษฎีบท 4.4.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือชาวจีน
∴ a = 3 ∴ a = 4 ∴ a = 5
2
3
1
n
จากสูตร t = จะได้
i
n i
n 17 11 6 1122
t = = = = 66
1
n 1 17 17
n 17 11 6 1122
t = = = = 102
2
n 2 11 11
n 17 11 6 1122
t = = = = 187
3
n 3 6 6
จากสูตร t b ≡ 1 mod n i
i i
t b ≡ 1 mod n 1
1 1
66b ≡ 1 mod 17
1
b ≡ 8 mod 17
1
t b ≡ 1 mod n 2
2 2
102b ≡ 1 mod 11
2
b ≡ 4 mod 11
2
t b ≡ 1 mod n 3
3 3
187b ≡ 4 mod 6
3
b ≡ 1 mod 6
3
k
จาก a = t b a 1
1 1
j=1
a = t b a + t b a + t b a
2 2 2
3 3 3
1 1 1
a = 66 8 3 + 102 4 4 + 187 1 5
∴ a = 4151
จะได้ว่า 4151 ≡ □ mod 17 11 6
4151 ≡ 758 mod 1122
∴ ผลเฉลยของระบบคอนกรูเอนซ์ที่ก าหนดให้คือ 758
์
“ทางเดียวในการเรียนคณิตศาสตร์ก็คือ การฝึกท าโจทย”
Paul Halmos
จัดท าโดย
6301102001001 นางสาวกนกกาญจน์ ห้วยนุ้ย
6301102001003 นางสาวกฤติกา ชูแสง
6301102001016 นางสาวนันทพร เมฆหมอก
6301102001021 นางสาวปาริฉัตร เฉียบแหลม
6301102001031 นางสาววิจิตรา แดงอุทัย