The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by awijitra007, 2021-04-07 05:30:09

เลมคอนกรเอนซ

คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น







(Linear Congruence)

บทนิยาม 3.1.1 ก าหนดให a, b เป็นจ านวนเต็มและ n เป็นจ านวนเต็มบวก



เรากล่าวว่า a คอนกรูเอนซ์กับ b มอดุโล n (a is congruence


to b modulo n) ซึ่งเขียนอยู่ในรูป a ≡ b mod n ก็ต่อเมื่อ



nȁ a − b หรือ a − b = kn ส าหรับบางจ านวนเต็ม k


และเรากล่าวว่า a ไม่คอนกรูเอนซ์กับ b มอดุโล n (a is



congruence to b modulo n) เขียนแทนด้วย



b

a
a ≡ b mod n ก็ต่อเมื่อ เรียกจ านววนเต็ม
n ว่ามอดุลัส (modulus)







ทฤษฎีบท 3.4.1 ทฤษฎีบทออยเลอร์ (Euler’s Theorem)



ถ้า n เป็นจ านวนเต็มบวก และ a เป็นจ านวนเต็ม



ซึ่ง a, b = 1 แล้ว a ∅ n ≡ 1 mod n






บทนิยาม 4.1.1 ก าหนดให้ a, b เป็นจ านวนเต็มและ



n เป็นจ านวนเต็มบวก เรียกคอนกรูเอนซ์


ax ≡ b mod n ว่า คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น


บทนิยาม (a linear congruence)

บทนิยาม 4.1.3 ก าหนดให้ a, b เป็นจ านวนเต็มและ n เป็นจ านวนเต็มบวก



เรากล่าวว่าจ านวนเต็ม x 0 เป็นผลเฉลย (solution) ของ


คอนกรูเอนซ์เชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ
ax ≡ b mod n

ax ≡ b mod n
0






บทนิยาม 4.4.1 เรียกเซตของคอนกรูเอนซ์




a x ≡ b mod n 1
1
1

a x ≡ b mod n 2
2
2






a x ≡ b mod n k ⋯ ∗
k
k


ว่าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น เมื่อ a , b i เป็นจ านวนเต็ม และ
i

k, n i เป็นจ านวนเต็มบวกส าหรับทุก i = 1,2,3,4, . . . , k



และจะกล่าวว่าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น ∗


ทฤษฎีบท 4.4.1 ก าหนดระบบคอนกรเอนซ์เชิงเส้น


x ≡ a mod n 1 ⋯ I
1



x ≡ a mod n 2
2


(1) ระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น มีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ
I


n , n ȁ a − a 2
1
1
2
(2) ถ้าระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น มีผลเฉลย แล้วผลเฉลยคือ x 0
I


ซึ่ง x ≡ x mod n , n 2 และมีเพียงผลเฉลยเดียว ในมอดุโล n , n 2
0
1
1

ทฤษฎีบท 4.4.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือของชาวจีน (Chinese Remainder Theorem)



ก าหนดให้ n , n , . . . , n k เป็นจ านวนเต็มบวก โดยที่n , n = 1
1
2
1
j
ส าหรับทุก i, j = 1,2, . . . , k ที่ซึ่ง แล้วระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น
i ≠ j
x ≡ a modn i ส าหรับทุก i = 1,2, . . . , k
i

มีผลเฉลย และทุกผลเฉลยคอนกรูเอนซ์กันมอดุโล n , n , . . . , n k
2
1

กล่าวคือ จะมีจ านวนเต็ม a มีเพียงจ านวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง


x ≡ a mod n n . . . n k
i
1 2

ตัวอย่าง 4.4.5 จงหาผลเฉลยของระบบคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น





x ≡ 3 mod 17




x ≡ 4 mod 11




x ≡ 5 mod 6


วิธีท า 17,11 = 1, 11,6 = 1, 17,6 = 1



จากทฤษฎีบท 4.4.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือชาวจีน


∴ a = 3 ∴ a = 4 ∴ a = 5
2
3
1
n
จากสูตร t = จะได้
i
n i
n 17 11 6 1122
t = = = = 66
1
n 1 17 17


n 17 11 6 1122
t = = = = 102
2
n 2 11 11


n 17 11 6 1122
t = = = = 187
3
n 3 6 6


จากสูตร t b ≡ 1 mod n i
i i


t b ≡ 1 mod n 1
1 1

66b ≡ 1 mod 17
1

b ≡ 8 mod 17
1

t b ≡ 1 mod n 2
2 2

102b ≡ 1 mod 11
2

b ≡ 4 mod 11
2


t b ≡ 1 mod n 3
3 3
187b ≡ 4 mod 6
3

b ≡ 1 mod 6
3

k

จาก a = ෍ t b a 1
1 1
j=1


a = t b a + t b a + t b a
2 2 2
3 3 3
1 1 1
a = 66 8 3 + 102 4 4 + 187 1 5


∴ a = 4151





จะได้ว่า 4151 ≡ □ mod 17 11 6


4151 ≡ 758 mod 1122



∴ ผลเฉลยของระบบคอนกรูเอนซ์ที่ก าหนดให้คือ 758


“ทางเดียวในการเรียนคณิตศาสตร์ก็คือ การฝึกท าโจทย”



Paul Halmos





















จัดท าโดย




6301102001001 นางสาวกนกกาญจน์ ห้วยนุ้ย



6301102001003 นางสาวกฤติกา ชูแสง




6301102001016 นางสาวนันทพร เมฆหมอก



6301102001021 นางสาวปาริฉัตร เฉียบแหลม



6301102001031 นางสาววิจิตรา แดงอุทัย


Click to View FlipBook Version