โครงงานคณิตศาสตร์

1

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรอ่ื ง การหาความสงู ของเสาธงโดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

โดย
เดก็ ชายพงศกร เพมิ่ ศกั ด์ิ
เดก็ หญิงอนิ ทริ า พนั ธ์จันทร์
เด็กหญงิ ระววี รรณ เจย้ี นเซง่

ครทู ี่ปรึกษา
นางสาวพทั ธวดี ช่วยประสม
นางสาวขวญั จิรา แดงเหม

รายงานฉบับนี้เปน็ สว่ นประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์
ประเภทพฒั นาหรอื ประดษิ ฐ์ ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น
โรงเรยี นอบจ.สงขลาพทิ ยานุสรณ์ ต.เกาะแตว้ อ.เมือง จ.สงขลา

สงั กดั องค์การบรหิ ารสว่ นจังหวัดสงขลา

2

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรอ่ื ง การหาความสงู ของเสาธงโดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

โดย
เดก็ ชายพงศกร เพมิ่ ศกั ด์ิ
เดก็ หญิงอนิ ทริ า พนั ธ์จันทร์
เด็กหญงิ ระววี รรณ เจย้ี นเซง่

ครทู ี่ปรึกษา
นางสาวพทั ธวดี ช่วยประสม
นางสาวขวญั จิรา แดงเหม

รายงานฉบับนี้เปน็ สว่ นประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์
ประเภทพฒั นาหรอื ประดษิ ฐ์ ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น
โรงเรยี นอบจ.สงขลาพทิ ยานุสรณ์ ต.เกาะแตว้ อ.เมือง จ.สงขลา

สงั กดั องค์การบรหิ ารสว่ นจังหวัดสงขลา

ก

โครงงานคณติ ศาสตร์ประเภทพัฒนาหรือประดิษฐ์
เรือ่ ง การหาความสูงของเสาธงโดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรีโกณมิติ

คณะผูศ้ ึกษา เดก็ ชายพงศกร เพิม่ ศักดิ์
เด็กหญงิ อนิ ทริ า พันธ์จันทร์
ครทู ี่ปรกึ ษา เด็กหญงิ ระวีวรรณ เจ้ยี นเซ่ง
สถานศึกษา นางสาวพัทธวดี ชว่ ยประสม
ปกี ารศกึ ษา นางสาวขวัญจิรา แดงเหม
โรงเรียนอบจ.สงขลาพทิ ยานสุ รณ์
2565

บทคดั ย่อ

การทำโครงงานครั้งนี้ มีวัตถุประสงค์เพื่อนำความรูเ้ รือ่ งอัตราส่วนตรีโกณมิติมาประยุกตใ์ ช้ในการหา

ความสูงของเสาธง และเพื่อพัฒนาทักษะในการคิดคำนวณเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยการคำนวณหาความสูง

ของเสาธงจะคำนวณจากการวดั ระยะทางของตำแหนง่ ทีย่ ืนห่างจากเสาธงแตกต่างกัน 3 ตำแหน่ง คอื ตำแหน่งยืน

ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 ตำแหน่งยืนของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 และตำแหน่งยืนของนักเรียนชน้ั

มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 แล้วนำมมุ เงยทไี่ ดจ้ ากการมองโดยใชเ้ ครื่องมือวดั มุมเงยที่สรา้ งขน้ึ มาใช้คำนวณ

โดยใช้สตู รการคำนวณ คอื tan = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม
ความยาวของด้านประชิดมุม

จากการทำโครงงานสามารถนำความรเู้ รือ่ งอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ มาประยกุ ต์ใชใ้ นการหาความสูงของ

เสาธงได้ โดยไดค้ า่ ความสงู ของเสาธงทใ่ี กล้เคยี งกนั ประมาณ 53 เมตร แสดงใหเ้ ห็นวา่ สามารถนำความร้เู ร่ือง

อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิมาประยุกต์ใชใ้ นการหาความสงู ของส่ิงซึง่ ไมส่ ามารถวดั โดยตรงได้ และสามารถพัฒนา

ทักษะในการคิดคำนวณเรอ่ื งอัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยฝึกคิดคำนวณจากตำแหนง่ การยืน และค่าของมุมเงยที่

ต่างกนั เป็นการฝึกคดิ คำนวณซ้ำ ๆ จนเกิดทักษะและสามารถคดิ คำนวณได้รวดเรว็ ยงิ่ ขนึ้

ข

กติ ติกรรมประกาศ

การศึกษาโครงงานคณติ ศาสตรป์ ระเภทพฒั นาหรือประดิษฐ์ เรอื่ ง การหาความสงู ของเสาธงโดยใช้
อตั ราส่วนตรโี กณมิตเิ ล่มน้ี สำเรจ็ ลุล่วงโดยไดร้ ับความอนุเคราะห์อย่างดีจากครูพัทธวดี ช่วยประสม และ
ครูขวญั จิรา แดงเหม ซ่ึงได้กรณุ าให้คำปรกึ ษาแนะนำแนวคดิ วธิ ีการ และสละเวลาอนั มีคา่ แก้ไขขอ้ บกพรอ่ งของ
เน้ือหาและสำนวนภาษาด้วยความเอาใจใส่อย่างดียง่ิ คณะผศู้ กึ ษาขอขอบพระคณุ เป็นอยา่ งสงู ณ โอกาสนี้

ขอขอบพระคุณคณะผู้บริหารโรงเรียนอบจ.สงขลาพิทยานุสรณ์ทุกท่าน หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ และคณะครูในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอบจ.สงขลาพิทยานุสรณ์ทุกท่าน ที่ให้
การสนบั สนนุ การดำเนนิ การศึกษาโครงงานเลม่ นีจ้ นสำเรจ็ ดว้ ยดี

คณุ คา่ และสารัตถประโยชน์ อันพงึ มาจากโครงงานคณติ ศาสตรเ์ ลม่ น้ใี นครั้งน้ี คณะผูศ้ ึกษาขอน้อมเป็น
เครอ่ื งบชู าพระคุณแด่บิดา มารดา ตลอดจนครูอาจารย์ทุกทา่ น ทปี่ ระสิทธิ์ประสาทวิชาความรู้แก่คณะผู้ศึกษา
ตลอดมา

คณะผู้ศกึ ษา

สารบญั ค

เรื่อง หน้า
บทคัดย่อ ก
กิตตกิ รรมประกาศ ข
สารบัญ ค
สารบัญตาราง ง
สารบญั ภาพ จ
บทที่ 1 บทนำ 1
1
ทีม่ าและความสำคัญ 2
วัตถปุ ระสงค์ 2
ผลทคี่ าดว่าจะได้รบั 2
ขอบเขตการศกึ ษา 2
นยิ ามศัพท์เฉพาะและสัญลกั ษณ์ท่ีใชใ้ นการศึกษา 3
บทที่ 2 เอกสารท่ีเก่ยี วข้อง 15
บทท่ี 3 วธิ ีการดำเนินงาน 15
ตารางการดำเนนิ งาน 15
วสั ดอุ ุปกรณ์ 16
วสั ดอุ ุปกรณ์สำหรบั สร้างแบบจำลองสนามหน้าเสาธง 16
ลำดับการดำเนนิ งาน 17
บทท่ี 4 ผลการดำเนนิ งาน 20
บทท่ี 5 สรุปผล อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ 20
สรุปผลการดำเนินงาน 20
อภปิ รายผล 20
ขอ้ เสนอแนะ
ภาคผนวก

ง

สารบญั ตาราง

ตารางท่ี หน้า
ตารางท่ี 1 ตารางแสดงอัตราสว่ นของความยาวของดา้ นของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก 7
ตารางที่ 2 ตารางแสดงค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ ทีม่ ีขนาดเปน็ จำนวนเตม็ (องศา) 8

ระหวา่ ง 0°และ 90° 15
ตารางท่ี 3 ตารางการดำเนินงาน 20
ตารางที่ 4 ตารางแสดงการหาความสงู ของเสาธงแตล่ ะตำแหนง่

สารบญั ภาพ จ

รูปภาพที่ หน้า
ภาพที่ 1 ภาพหลกั ดินของชาวบาบลิ อนที่บนั ทึกการวดั ความยาวด้านของสามเหลยี่ ม 4
ภาพที่ 2 ฮิปพารช์ สุ (Hipparchus) เป็นนักดาราศาสตร์ในยุค 150 ปกี ่อนครสิ ต์ศักราช 5
ภาพท่ี 3 ภาพตำราคณติ ศาสตร์ของจวิ ชาง สวน (Jiu Zhang Suan ) 5
ภาพที่ 4 ภาพเครื่องมือวัดมุมเงยที่ประดิษฐ์ขน้ึ มา 16
ภาพที่ 5 ภาพแบบจำลองสนามหนา้ เสาธง 16
ภาพที่ 6 ภาพจำลองลกั ษณะการวดั ความสูงของเสาธง 17

1

บทท่ี 1
บทนำ

ท่ีมาและความสำคญั
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ช่วยให้มนุษย์มีความความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างเป็นระบบ มีแบบแผน

สามารถวิเคราะห์ปัญหาสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา
สามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมี
ประสทิ ธิภาพ (สำนกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ, 2560 : 1)

ในสมัยก่อนไม่มีเครื่องมือการวัดที่ทันสมัย เมื่อต้องการทราบความยาวของสิ่งต่าง ๆ จึงมีการศึกษา
วิธีการวัดหลายวิธี รวมไปถึงการศึกษาความสัมพันธ์ขององค์ประกอบต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยม ทั้งความยาว
ด้าน และขนาดของมุมที่เรียกว่าตรีโกณมิติ (Trigonometry) ซึ่งความหมายของ ตรีโกณมิติมีด้วยกันหลาย
ความหมาย ดงั นี้ ตรีโกณมิติ หมายถงึ วทิ ยาศาสตรว์ เิ คราะห์ เรขาคณติ ทเี่ ก่ยี วกบั ดาราศาสตร์ ซ่ึงเก่ียวข้องกับ
การวัดมุม หรือหมายถึงการวัดรูปสามเหลี่ยม วิชาตรีโกณมิติมีตั้งแต่สมัยโบราณ และจนปัจจุบันที่วิชา
ตรีโกณมิติก็ยังมีบทบาทแทรกอยู่ในแทบทุกสาขาวิชา อาทิ ดาราศาสตร์ สถาปัตยกรรมศาสตร์
วิศวกรรมศาสตร์ มีการสร้างและใช้ความรู้ทางตรีโกณมิติปรากฎในแหล่งอารยธรรมต่าง ๆ เช่น อารยธรรม
อียิปต์ ความเจริญของวิชาตรีโกณมิติสะท้อนผ่านการนำความรู้ไปใช้สร้างพีระมิด หรือหลักฐานจากพาไพรัส
(กระดาษ) ซึ่งเป็นเอกสารโบราณที่กล่าวถึงโคแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นสูงเอียงและฐาน อารยธรรมบาบิโลน
พบการประดิษฐ์เครื่องมือวั ดมุมและการนำความรู้ตรีโกณมิติไปใช้ในการสร้างปฏิทินและการศึกษา ดารา
ศาสตร์ นอกจากน้ีตรีโกณมติ ิยังปรากฎในภูมิรู้ของทาเลส แห่งมเิ ลตุส ที่ใชเ้ งาเพื่อคำนวณความสูงของวัตถุท่ีไม่
สามารถวัคความสูงไดโ้ ดยตรง เช่น พรี ะมิด ซึง่ การนำความรู้ไปใช้ในลักษณะการวัดระยะทาง ความสูง ความลึก
อารยธรรมอาหรับส่วนใหญ่เน้นการใช้ตรีโกณมิติเพื่องานทางด้านดาราศาสตร์ โดยพบการประดิษฐ์เครื่องมือเพื่อ
ใช้คำนวณระยะห่างของดวงดาว องค์ความรู้ทางตรีโกณมิติ ที่เกิดขึ้นตามแหล่งอารยธรรมทั่วโลกได้ผ่านการ
สร้างสรรค์ ถ่ายทอด แลกเปลี่ยนเรียนรู้ ปรับปรุง และถูกนำมาใช้เปน็ เครื่องมือคำนวณเพื่อตอบคำถามต่าง ๆ
ทั้งที่พบและนำไปใช้ไดท้ ่ัวไปในชีวติ ประจำวัน เช่น การหาความกว้างของแม่น้ำ การหาความสูงของภูเขา การ
หาความสูงของส่ิงซึ่งไม่สามารถวดั ไดโ้ ดยตรง (จิณดษิ ฐ์ ละออปกั ษนิ และรตินันท์ บุญเคลือบ, 2555 : 5-14)

เสาธงของโรงเรียนทำจากแท่งเหล็กกลวง มีความยาวที่ไม่สามารถวัดได้โดยตรง ตั้งฉากกับพื้นที่ทำ
จากปูน ไว้สำหรับชักธงขึ้นสู่ยอดเสาในเวลาเคารพธงชาติของทุกวัน ซึ่งเสาธงและยอดของเสาธงจะเป็นสิ่งที่
นักเรียนทุกคนต้องมองในเวลาเคารพธงชาติในตอนเชา้

จากเหตุผลและความสำคญั ดังกล่าวคณะผู้จดั ทำจึงสนใจจะนำความรู้เรือ่ งตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นเนือ้ หาที่
กำลงั ศกึ ษามาประยกุ ต์ใช้ในการหาความสูงของเสาธงในตำแหนง่ ยืนท่แี ตกต่างกัน และต้องการพฒั นาทักษะใน
การคดิ คำนวณ เพอื่ เปน็ การนำความรู้ในเรอื่ งที่เรียนมาประยุกต์ใช้ อนั จะส่งผลให้ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนวิชา
คณิตศาสตรส์ งู ขน้ึ อกี ดว้ ย

2

วัตถุประสงค์
1. เพื่อนำความรู้เร่ืองอตั ราสว่ นตรีโกณมติ มิ าประยุกตใ์ ชใ้ นการหาความสูงของเสาธง
2. เพอื่ พฒั นาทกั ษะในการคดิ คำนวณเรอ่ื งอตั ราส่วนตรีโกณมิติ

ผลท่ีคาดวา่ จะไดร้ บั
1. ทำใหส้ ามารถนำความรเู้ ร่ืองอัตราส่วนตรีโกณมติ มิ าประยกุ ตใ์ ชใ้ นชวี ติ ประจำวนั
2. ทำให้มีทกั ษะด้านการคิดคำนวณเรื่องอตั ราส่วนตรโี กณมิติทด่ี ีข้นึ

ขอบเขตการศกึ ษา
ขอบเขตการศกึ ษาดา้ นเน้ือหา
การศึกษาค้นคว้าในเร่ืองน้ี มุง่ ศึกษาความสูงของเสาธงจากการมองในตำแหน่งที่ยนื แตกต่างกัน ท้ัง 3

ตำแหน่ง คือ ตำแหนง่ ยืนของนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 ตำแหนง่ ยืนของนักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 3 และ
ตำแหน่งยืนของนักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 โดยนำมุมเงยที่ได้จากการมอง และระยะทางระหว่างตำแหนง่ ที่
ยนื กับเสาธง มาคำนวณหาความสูงของเสาธง โดยใช้ความรู้อัตราส่วนตรโี กณมติ ิมาช่วยในการคำนวณ ดงั น้ี

tan = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม
ความยาวของดา้ นประชิดมมุ

ขอบเขตด้านระยะเวลา
เดือนพฤษภาคม 2565 – เดอื นมิถุนายน 2560

นยิ ามศัพทเ์ ฉพาะและสัญลกั ษณท์ ี่ใชใ้ นการศกึ ษา
1. หมายถึง เทตา (theta) เป็นอักษรกรีกใช้แทนค่ามุมใด ๆ ที่ได้จากการวัดมุมด้วยเคร่ืองมือวดั

มุมเงยท่สี ร้างขน้ึ
2. เครอ่ื งมือวดั มุมเงย หมายถึง เครอื่ งมือท่ีสร้างข้ึนจากไมโ้ ปรแทรกเตอร์ ครึง่ วงกลม นำมาติดกับท่อ

PVC และมเี ส้นดา้ ยทถี่ ว่ งดว้ ยแท่งเหลก็ ไวส้ ำหรับใช้มองเพ่อื หาค่ามุมเงย
3. ตำแหนง่ ยืนของนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 1 และชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 หมายถงึ ตำแหน่งท่ีวดั จาก

นักเรยี นคนแรกของหอ้ งท่ียนื แถวข้างสดุ
4. ตำแหนง่ ยนื ของนกั เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 หมายถงึ ตำแหนง่ ท่ีวดั จากนักเรียนคนแรกของห้องที่

ยืนตรงกบั เสาธง

3

บทที่ 2
เอกสารทเี่ กี่ยวขอ้ ง

ในการดำเนนิ การศึกษาโครงงาน เรื่อง การหาความสูงของเสาธงโดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ
คณะผู้ศกึ ษาได้คน้ ควา้ เอกสารทเ่ี ก่ียวข้องโดยลำดบั เนอ้ื หาทีเ่ ป็นสาระสำคัญดงั ต่อไปนี้

1. ความหมายของตรีโกณมิติ
2. ประวตั คิ วามเป็นมาเกยี่ วกบั ตรีโกณมติ ิ
3. อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ
4. การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ
5. การนำอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิไปใชใ้ นการแก้ปัญหา
6. ไม้โปรแทรกเตอร์

ความหมายของตรโี กณมิติ
ตรีโกณมิติ ตรงกับคำภาษาอังกฤษ Trigonometry เป็นวิชาที่คำนวณเกี่ยวกับด้านมุม ของรูป

สามเหล่ยี ม มาจากคำวา่
ตรี - tri แปลว่า สาม
โกณ - gono แปลว่า มมุ หรือเหล่ยี ม
มติ ิ - metry แปลวา่ การวัด

ซ่งึ ความหมายของ ตรีโกณมติ ิมดี ว้ ยกันหลายความหมาย ดังนี้
1. ตรีโกณมติ ิ หมายถงึ วิทยาศาสตรว์ เิ คราะห์
2. ตรีโกณมติ ิ หมายถงึ เรขาคณิตที่เกี่ยวกบั ดาราศาสตร์ ซ่งึ เกีย่ วข้องกับการวัดมุม
3. ตรีโกณมิติ หมายถึง การวัดรูปสามเหล่ยี ม (อา้ งถึงใน ฉวีวรรณ เศวตมาลย์ 2545 : 154–156)

ประวัตคิ วามเป็นมาเกีย่ วกบั ตรโี กณมติ ิ
วิชาตรีโกณมิติไมส่ ามารถระบุได้แน่นอนว่าผู้ใดเป็นผู้คดิ ค้นหรอื เป็นผลงานของชนชาติใดชาติหน่ึง ซ่ึง

ได้มีการใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติมาตั้งแต่สมัยอียิปต์โบราณและชาวบาบิโลน ซึ่งในสมัยโบราณนั้นแต่ละชาติมี
การนำความรู้เรอ่ื งอตั ราส่วนตรีโกณมิตมิ าใช้อย่างแพร่หลาย ดงั น้ี

ตรีโกณมิตขิ องชาวอียิปต์
ประมาณ 1,500 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ในอาเมสปาปิรัส มีปัญหาอยู่ 5 ข้อที่เกี่ยวข้องกับการวัดพีระมิด
ซง่ึ 4 ใน 5 ข้อนี้ กลา่ วถงึ คำวา่ “Sept of angle” คำวา่ Sept ไอเซนสไตน์ (Eisenstein ค.ศ.1823 - 1852) ได้ให้
ความหมายวา่ เป็นอตั ราส่วนของจำนวน (ratio number) ซึง่ จากการบันทึกในอาเมสปาปริ ัสนไ้ี มไ่ ด้อธิบายหรือ
ให้ความหมายของ “Sept” แต่สันนิษฐานกันว่า “Sept of angle” หมายถึงโคแทนเจนต์ของมุม ซึ่งเกิดจาก
หน้าพรี ะมดิ กบั ฐานของพรี ะมิด

4

ตรโี กณมิตขิ องชาวบาบโิ ลน
จากความสัมพันธ์ในวิชาความรู้ทางคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนตั้งแต่ 3,000 ปีก่อน
คริสต์ศกั ราช ทำใหส้ ันนษิ ฐานไดว้ า่ ชาวบาบิโลนคงรู้จกั ตรีโกณมติ ิของชาวอยี ิปต์ดังเดิม แตไ่ ม่มหี ลักฐานยืนยัน
นอกจากหลักฐานที่เกี่ยวกับการวัดมุมที่ตกทอดมาจนถึงปัจจุบันนี้ คือชิ้นส่วนของวงกลมซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ
การวัดมุมแตโ่ บราณ
ตรีโกณมติ ขิ องชาวกรีก
เฮโรโดตัส (Herodotus , 484 - 425 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักดาราศาสตร์เมื่อ 450 ปีก่อนคริสต์ศักราช
ได้กล่าวว่า ชาวกรีกได้นำเอานาฬกิ าแดด ของชาวบาบิโลนมาใช้ นาฬิกามีความสัมพันธก์ ับวิชาตรีโกณมิตทิ ี่ว่า
เป็นเครื่องมอื แบบหนง่ึ ของการสงั เกตทางดาราศาสตร์
ทาเลส (Thales, 640 - 546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณ
เงา การวดั ความสงู ของพรี ะมดิ กบั เงาของตน้ ไมท้ ่ีทราบความยาว
ตรโี กณมิติของชาวจีน
ในสมัยของ โจวเป่ย ซูอันกิง (Chou pei Suan king ประมาณ 1,500 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ชาวจีน
รู้จักใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสำหรับวัดระยะทาง ความสูงและความลึก ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชาวจีนในสมัยนั้นมี
ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (จิณดิษฐ์ ละออปักษิน และ
รตนิ ันท์ บุญเคลือบ, 2555 : 5-14)
การศกึ ษาเกยี่ วกบั ตรโี กณมิตใิ นยุคแรก ๆ เปน็ การศกึ ษาสมบตั ิของรูปสามเหลีย่ มเพื่อนำไปประยุกต์ใช้
ในเร่อื งดาราศาสตร์ (astronomy) การสำรวจรังวัด (surveying) และ การเดนิ เรือ (navigation) จากหลกั ฐาน
ทางประวัติศาสตร์ มีการค้นพบหลักดินของชาวบาบิโลน (The Babylonian clay tablet) และกระดาษปาปิรุส
ของชาวอยิ ปิ ต์ (The ancient Egyptian papyri) ทบ่ี นั ทึกความรูม้ ากมายเกยี่ วกบั การแกป้ ญั หาด้วยตรโี กณมติ ิ

ภาพท่ี 1 ภาพหลกั ดนิ ของชาวบาบิลอนทีบ่ นั ทึกการวดั ความยาวดา้ นของสามเหลีย่ ม
ในอดีตนกั ดาราศาสตรก์ รกี โบราณพยายามทจ่ี ะคำนวณระยะโคจรของดาวฤกษโ์ ดยไม่ใหต้ ดิ ค่า π จึงมี
การใช้ความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติในการสร้างตารางคอร์ด (table of chords) เพื่อใช้ในการคำนวณคาบและ
ระยะโคจรของดาวฤกษ์เพ่ือใช้ในการศกึ ษาระบบดวงดาว
ฮิปพาร์ชุส (Hipparchus) ได้เขียนหนังสือไว้ 12 เล่มเมื่อ 140 ปีก่อนคริสต์ศักราช เนื้อหาในหนังสือ
เป็นการคำนวณเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นตัดของคอร์ด โดยตารางการคำนวณทั้งหมดได้จากการวัดจริง ซึ่งเน้น

5
ไปท่กี ารหาความยาวสว่ นโคง้ ของวงกลมเม่ือวงกลมมีรัศมีหนง่ึ หนว่ ย โดยจากตารางแสดงให้เหน็ วา่ เมือ่ ค่า มี
ค่าเปลี่ยนไปแลว้ ค่าความยาวของสว่ นโค้งกจ็ ะแปรเปลย่ี นตามไปดว้ ย

ภาพท่ี 2 ฮปิ พารช์ สุ (Hipparchus) เป็นนกั ดาราศาสตร์ในยคุ 150 ปีก่อนคริสต์ศกั ราช
ความรูเ้ รื่องตรโี กณมติ ิยังสามารถนำไปแกป้ ัญหาทเ่ี กยี่ วกับระยะทางและความสงู เช่น ใชห้ าความสูง
ภูเขาหรือหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น มีการคันพบขั้นตอนการแก้ปัญหาเกี่ยวกับระยะทางและความสูงใน
หนังสอื บทสดุ ทา้ ยของ จวิ ชาง สวน (Jiu Zhang Suan ) นกั คณิตศาสตร์ชาวจนี โบราณ

ภาพท่ี 3 ภาพตำราคณิตศาสตรข์ องจวิ ชาง สวน (Jiu Zhang Suan )
ในปัจจุบนั ความรู้ทางตรีโกณมิติมบี ทบาทเป็นอย่างมากต่อการศึกษาวิทยาศาสตร์ และวศิ วกรรมศาสตร์
สำหรบั ปัญหาทเ่ี กดิ ข้นึ เป็นช่วงเวลาซำ้ ๆ เรียกวา่ ปรากฎการณค์ าบ (periodic phenomena)
นกั วิทยาศาสตรจ์ ะสร้างแบบจำลองทางคณติ ศาสตรซ์ ึ่งมักจะเกย่ี วข้องกบั สมการตรีโกณมติ ิ โดยสมการเหล่านี้
จะช่วยใหเ้ ราสามารถทำนายเหตกุ ารณ์ท่ีจะเกิดขึน้ ได้ค่อนข้างแมน่ ยำ เชน่ แบบจำลองการเกิดคลื่นสนึ ามิ หรือ
แบบจำลองคล่ืนแผ่นดนิ ไหว เปน็ ต้น (ณัฐ อุดมพาณิชย์, 2557 : 148-157)
อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
การเรียนในเรื่องนี้ผูเ้ รยี นจำเป็นต้อง ใช้ความรู้เดมิ เรื่องสามเหล่ียมคล้ายเพือ่ เป็นพื้นฐานในการทำความเขา้ ใจ
การเรียนวิชาตรีโกณมติ ิใหไ้ ด้ดีนั้นต้องจำนิยามของตรีโกณมิติให้ได้ ระดับมัธยมต้นใช้นิยามสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
ซึง่ อตั ราส่วนตรีโกณมิติ ก็คือ อัตราสว่ นของความยาวดา้ นสองด้านของสามเหลีย่ มมุมฉากซ่งึ จะมีชื่อเรียก ดังนี้

6

“Sine A” ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม

มมุ A ตอ่ ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

“Cos A” โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านประชิด

มุม A ต่อความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

“Tangent A” แทนเจนตข์ องมุม A หรือเขียนยอ่ ว่า tan A หาไดจ้ ากอตั ราสว่ นของความยาวด้านตรง

ข้ามมมุ A ต่อความยาวด้านประชดิ มุม A (ณัฏฐวรี ์ ทวีวิเสสานนท์, 2564 : 164)

อตั ราส่วนตรโี กณมิติเป็นอัตราสว่ นที่เกยี่ วขอ้ งกับด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ท่มี ีมุม ACB เปน็ มมุ ฉาก

B A̅B เปน็ ด้านทีอ่ ยู่ตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาว c หน่วย
ca B̅C เปน็ ดา้ นท่อี ยู่ตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย

A̅C เป็นด้านทอ่ี ยู่ประชดิ มุม A ยาว b หน่วย

AC
b

a
อัตราส่วนความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A ตอ่ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก หรอื c เรยี กวา่
ไซน์ (sine) ของมุม A

b
อัตราส่วนความยาวของด้านประชดิ มุม A ตอ่ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก หรอื c เรยี กว่า
โคไซน์ (cosine) ของมมุ A

a
อตั ราส่วนความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A ตอ่ ความยาวของด้านประชดิ มุม A หรอื b เรียกว่า
แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A (สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2546 : 100)

กำหนดรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC มีมุม C เปน็ มุมฉาก ดงั รูป

B

ca

A b C

จากรปู BC เรียกวา่ ด้านตรงขา้ มมมุ เรียกสัน้ ๆ ว่าขา้ ม
AC เรียกวา่ ด้านประชดิ มมุ เรยี กสนั้ ๆ วา่ ชดิ
AB เรียกวา่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก เรยี กสนั้ ๆ วา่ ฉาก

7

สามารถนยิ ามอัตราสว่ นตรีโกณมติ ทิ ง้ั 6 ดังนี้

1. sin เขยี นย่อวา่ sin = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ = ขา้ มฉาก
ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก ฉาก

2. cosin เขยี นยอ่ ว่า cos = ความยาวของดา้ นประชิด = ชดิ
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ฉาก

3. tangent เขียนย่อวา่ tan = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม = ขา้ ม
ความยาวของด้านประชดิ มุม ชดิ

4. cosecant เขยี นย่อว่า cosec = ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ

5. secant เขียนยอ่ ว่า sec = ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก
ความยาวของด้านประชิดมุม

6. cotangent เขยี นย่อวา่ cot = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ
ความยาวของด้านประชดิ มุม

อัตราสว่ นตรโี กณมิติกับมุมขนาด 30°, 45° และ 60°
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมภายในมีขนาด 30° และ 60° เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้จาก
รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ และรปู สามเหลี่ยมมุมฉากทีม่ ุมภายในมีขนาด 45° เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหน้าจ่ัว
ในสมัยกรีกโบราณ ทอเลมี (Ptolemy : ประมาณปี ค.ศ. 200 ) ได้สร้างตารางแสดงอัตราส่วนของ
ความยาวของด้านของรูปสามเหสย่ี มมมุ ฉากซึ่งเป็นค่าคงตัวไวด้ งั นี้
ตารางท่ี 1 ตารางแสดงอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

มมุ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์

B A BC AC BC
AB AC
AC AB

2 B

A 30° 1 30° 1 √3 √3
C 2 2 3
√3

8

ตารางที่ 1 (ตอ่ ) ตารางแสดงอตั ราส่วนของความยาวของด้านของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
มมุ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์

√2 B 45° √2 √2 1
1 2 2
A 45° C

1

B

2 √3 60° √3 1 √3
A 60° 2 2
C
1

อัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ แหลมขนาดต่าง ๆ
นอกจากอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิของมมุ 30° ,45° และ60° แลว้ ยงั สามารถหาอตั ราสว่ นตรโี กณมิติของมมุ
ระหวา่ ง 0 องศากับ 90 องศา ได้จากตารางอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ

ตารางท่ี 2 ตารางแสดงค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุมท่ีมขี นาดเป็นจำนวนเตม็ (องศา) ระหวา่ ง 0°และ 90°

sin cosin tangent
1° 0.0175 0.9998 0.0175
2° 0.3049 0.9994 0.0349
3° 0.0523 0.9986 0.0524
4° 0.0698 0.9976 0.0699
5° 0.0872 0.9962 0.0875
6° 0.1045 0.9945 0.1051
7° 0.1219 0.9925 0.1228
8° 0.1329 0.9903 0.1405
9° 0.1564 0.9877 0.1584
10° 0.1736 0.9848 0.1763
11° 0.1908 0.9816 0.1944
12° 0.2079 0.9781 0.2126
13° 0.2250 0.9744 0.2309
14° 0.2419 0.9703 0.2493

9

sin cosin tangent
15° 0.2588 0.9659 0.2679
16° 0.2756 0.9613 0.2867
17° 0.2924 0.9563 0.3057
18° 0.3090 0.9511 0.3249
19° 0.3256 0.9455 0.3443
20° 0.3420 0.9397 0.3640
21° 0.3584 0.9336 0.3839
22° 0.3746 0.9272 0.4040
23° 0.3907 0.9205 0.4245
24° 0.4067 0.9135 0.4452
25° 0.4226 0.9063 0.0466
26° 0.4384 0.8989 0.4877
27° 0.4540 0.8910 0.5095
28° 0.4695 0.8829 0.5317
29° 0.4848 0.8746 0.5543
30° 0.5000 0.8660 0.5774
31° 0.5150 0.8572 0.6009
32° 0.5299 0.8480 0.6249
33° 0.5446 0.8387 0.6494
34° 0.5592 0.8290 0.6745
35° 0.5736 0.8192 0.7102
36° 0.5878 0.8090 0.7265
37° 0.6018 0.7986 0.7536
38° 0.6157 0.7880 0.7813
39° 0.6293 0.7771 0.8089
40° 0.6428 0.7760 0.8391
41° 0.6561 0.7547 0.8693
42° 0.6691 0.7431 0.9004
43° 0.6820 0.72314 0.9325
44° 0.6947 0.7193 0.9657
45° 0.7071 0.7071 1.000

10

sin cosin tangent
46° 0.7193 0.6947 1.036
47° 0.7314 0.6820 1.072
48° 0.7431 0.6691 1.111
49° 0.7547 0.6561 1.150
50° 0.7660 0.6428 1.192
51° 0.7771 0.6293 1.235
52° 0.7880 0.6157 1.280
53° 0.7986 0.6018 1.327
54° 0.8090 0.5878 1.376
55° 0.8192 0.5736 1.428
56° 0.8290 0.5592 1.483
57° 0.8387 0.5546 1.540
58° 0.8480 0.5299 1.600
59° 0.8572 0.5150 1.664
60° 0.8660 0.5000 1.732
61° 0.8746 0.4848 1.804
62° 0.8829 0.4695 1.881
63° 0.8910 0.4540 1.963
64° 0.8988 0.4384 2.505
65° 0.9063 0.4226 2.145
66° 0.9135 0.4067 2.246
67° 0.9205 0.3907 2.356
68° 0.9272 0.3746 2.475
69° 0.9336 0.3584 2.605
70° 0.9337 0.3420 2.748
71° 0.9445 0.3256 2.904
72° 0.9511 03090 3.078
73° 0.9563 0.2924 3.271
74° 0.9613 0.2756 3.487
75° 0.9659 0.2588 3.732
76° 0.9703 0.2419 4.001

11

sin cosin tangent
77° 0.9744 0.2250 4.331
78° 0.9781 0.2079 4.705
79° 0.9816 0.1908 5.145
80° 0.9848 0.7136 5.671
81° 0.9877 0.1564 6.314
82° 0.9903 0.1392 7.115
83° 0.9925 0.1219 8.144
84° 0.9945 0.1045 9.514
85° 0.9962 0.8072 11.430
86° 0.9976 0.0698 14.301
87° 0.9986 0.0523 19.081
88° 0.9994 0.0349 28.636
89° 0.9998 0.0175 57.290

(ณฏั ฐวรี ์ ทวีวิเสสานนท์, 2564 : 163-173)

การประยุกตข์ องอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ
ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหาระยะทางและความสูง ซึ่งบางครั้งใช้เครื่องมือวัดโดยตรงไม่ได้ เช่น

การวัดความสงู ของภูเขา การหาความกว้างของแมน่ ้ำ สามารถทำได้โดยอาศัยความรู้เร่อื ง อัตราสว่ นตรีโกณมิติ
ซึง่ จะมีขนาดของมมุ เขา้ มาเกยี่ วข้องรวมทั้ง มมุ ก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation)

ความหมายของมมุ ก้มและมุมเงย
มมุ ก้มและมุมเงย เป็นมุมท่เี กิดจากจากแนวเสน้ ระดับสายตา และแนวเส้นจากตาไปยงั วตั ถุ
1. มุมเงย
มมุ ท่ีอยู่ระหว่างเส้นระดบั สายตากบั เส้นที่ ลากจากตาไปยงั วัตถุ โดยวัตถจุ ะอยู่สงู กว่า ระดับสายตา
2. มุมก้ม
มมุ ท่ีอย่รู ะหวา่ งเสน้ ระดบั สายตากับเสน้ ท่ี ลากจากตาไปยงั วัตถุ โดยวตั ถุจะอยู่ต่ำกวา่ ระดบั สายตา

12

การหาระยะทางและความสงู
ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมาใช้ในการวัด
โดยตรงไม่ได้ เช่น การวัดระยะระหว่างสถานที่สองแห่งที่มีสิ่งกีดขวางกั้นตรงกลาง หรือการวัดความสูงของ
ภเู ขา เปน็ ต้น สามารถนำความร้ใู นเรื่องฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ มาประยุกต์ใช้ในการคำนวณได้ คือ

- มมุ กม้ (Angel of Depression) คอื มมุ ท่ีวดั ลงไปจากแนวราบ
- มุมเงย (Angle of Elevation) คือมุมที่วัดข้นึ จากแนวราบ
- รวมถงึ การใชก้ ฎของไซนแ์ ละโคไซน์มาช่วยในการคำนวณ
ตัวอย่างการหาความสูงโดยประยกุ ต์ใช้อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
จากรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ท่ีกำหนดให้ AB = 174 หนว่ ย และ Â = 30° จงหา BC และ AC

C

A 30° B

174

หา BC โดยใชส้ ูตร tan = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม
ความยาวของด้านประชดิ มุม

วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก tan A = BC , Â = 30° และ A = 174
AB

จะได้ tan 30° = BC
174

√3 = BC
3 174

BC = 174 × √3
3

ดงั นั้น BC = 58√3 หน่วย

13

หา AC โดยใช้สูตร cos = ความยาวของดา้ นประชิด
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

วิธที ำ เน่ืองจาก cos 30° = 174 Â = 30° และ A = 174
AC

จะได้ √3 = 174
2 AC

AC = 174×2
√3
348
AC = √3

AC = 348 × √3
√3 √3

ดงั นัน้ AC = 116√3 หน่วย

การนำอัตราสว่ นตรโี กณมิติไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา
ขนั้ ตอนในการนำอตั ราส่วนตรโี กณมติ ไิ ปแกป้ ัญหาในชีวิตจรงิ
1. อ่านและวิเคราะห์โจทย์วา่ โจทย์ใหข้ ้อมลู อะไรและต้องการหาอะไร
2. แปลงขอ้ มลู จากโจทยใ์ ห้เป็นปญั หาเชิงเรขาคณติ โดยการวาดรูป และระบุความยาวของ
ดา้ นและขนาดของมุมท่ที ราบลงในรูป
3. วเิ คราะหว์ ่าจะหาสงิ่ ท่ีโจทย์ถามได้อย่างไร โดยพิจารณาจากขนาดของมมุ ความยาวของ
ดา้ นท่ที ราบและอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิทีต่ ้องใช้
ในการแก้ปัญหาท่ตี ้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมติ ิจำเป็นต้องทราบขนาดของมุม สำหรบั ปัญหาทเี่ กดิ ขึน้

ในชีวติ จรงิ จะใช้มุมทเี่ กิดจากการมองดว้ ยสายตา โดยมมุ ท่ีทำกบั แนวเส้นระดับสายตามี 2 แบบ คือ
มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation) and scholarsmp

แนวระดบั สายตา

มุมกม้ แนวระดบั สายตา
วัตถุ

14

วัตถุ

มมุ เงย แนวระดับสายตา

มุมก้ม เป็นมุมทีเ่ กิดจากแนวเส้นระดบั สายตา และแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุโดยทว่ี ตั ถุอยู่ตำ่ กวา่ แนว
เสน้ ระดบั สายตา

มุมเงย เป็นมุมทีเ่ กดิ จากแนวเส้นระดบั สายตา และแนวเสน้ จากตาไปยังวัตถุโดยที่วตั ถุอยู่สงู กวา่ แนว
เสนระดบั สายตา (ณฏั ฐวีร์ ทวีวิเสสานนท์, 2564 : 180-181)

ไม้โปรแทรกเตอร์
ไม้โปรแทรกเตอร์เป็นเครื่องมือวัดโดยทั่วไปทำจากพลาสติกใสหรือกระจกสำหรับการวัดมุม

ไม้โปรแทรกเตอร์ส่วนใหญ่วัดมุมเป็นองศา (°) วัดเรเดียนขนาด protractors มุมในเรเดียนไม้โปรแทรกเตอร์
ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 180 ส่วนเท่า ๆ กัน บาง protractors แม่นยำองศาแบ่งต่อไปใน arcminutes ใช้
สำหรับการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับเครื่องจักรกลและวิศวกรรมต่าง ๆ การใช้งานทั่วไปอย่างหนึ่งคือในบทเรียน
เรขาคณติ ในโรงเรียน

วิธใี ชไ้ มโ้ ปรแทรกเตอร์
ไม้โปรแทรกเตอร์เป็นเครอ่ื งมือท่ีมีประโยชนส์ ำหรับวดั และวาดมมุ โดยทวั่ ไปแล้วไมโ้ ปรแทรกเตอร์ท่ีมี
รูปร่างคร่ึงวงกลมจะมีใหเ้ ลอื กใช้ในเวอร์ชนั เตม็ วงกลม 360 องศา
1. วดั มุมโดยประมาณ มุมสามารถจำแนกได้ 3 วธิ ี มุมแหลมแคบ (น้อยกวา่ 90 องศา) มุมป้านกวา้ ง
(มากกวา่ 90 องศา) และมุมฉากเทา่ กบั 90 องศา (เสน้ สองเสน้ ตั้งฉากกนั )
2. วางจุดกำเนิดไว้เหนือจุดศูนย์กลางหรือจุดยอดของมุมที่คุณต้องการวัด รูเล็ก ๆ ตรงกลางฐานของ
ไม้โปรแทรกเตอรเ์ ปน็ ต้นกำเนดิ จดั แนวจุดยอดของมุมใหต้ รงกับจุดศนู ย์กลางของไม้กางเขนในจดุ เร่ิมตน้
3. หมุนไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อให้ขาข้างหนึ่งของมุมตรงกับเส้นฐาน รักษาจุดยอดของมุมในจุดกำเนิด
และค่อย ๆ หมนุ ไม้โปรแทรกเตอร์เพ่ือให้ขาข้างใดข้างหน่ึงของมุมตกลงบนเสน้ ฐานของไมโ้ ปรแทรกเตอร์ เส้น
ฐานขนานกับขอบ แต่ไม่ใช่ขอบแบนของไม้โปรแทรกเตอร์ จัดวางให้ตรงกับจุดเริ่มต้นของจุดเริ่มต้นและเส้น
โครงการกบั จดุ เรม่ิ ตน้ ของมาตราสว่ นที่ดา้ นใดด้านหนงึ่
4. ทำตามขาตรงข้ามของมุมจนถึงการวัดส่วนโค้งของไม้โปรแทรกเตอร์ ถ้าเส้นไม่ผ่านส่วนโค้งของไม้
โปรแทรกเตอร์ให้ขยายเส้นของมุมไปจนสุด หรือคุณสามารถจัดแนวขอบของกระดาษให้ตรงกับขาของมุม
เพื่อให้เลยขอบของไมโ้ ปรแทรกเตอรไ์ ปเรื่อย ๆ ตามแนวของมุม ตวั เลขท่เี ส้นผา่ นคือการวดั มมุ เป็นองศา

15

บทที่ 3
วธิ กี ารดำเนนิ งาน

ตารางการดำเนนิ งาน
ตารางท่ี 3 ตารางการดำเนนิ งาน

ที่ วนั เดอื น ปี กิจกรรมดำเนินการ ผู้รับผิดชอบ
1 23-24 พ.ค. 2565 คดั เลอื กหวั ข้อโครงงาน คณะผู้ศกึ ษาทุกคน
2 25-26 พ.ค. 2565 ส่งหัวขอ้ โครงงานปรึกษาครูท่ีปรกึ ษา คณะผู้ศกึ ษาทุกคน
3 27-31 พ.ค. 2565 กำหนดแนวทางและขอบเขตของการศึกษา คณะผู้ศึกษาทุกคน
4 1-10 ม.ิ ย. 2565 ร่วมกบั ครูทปี่ รึกษา และ ครูทป่ี รึกษา
5 11 มิ.ย. 2565 ศึกษาความรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอตั ราส่วน คณะผู้ศึกษาทุกคน
6 12-15 ม.ิ ย. 2565 ตรีโกณมติ ิ และ ครทู ป่ี รึกษา
คณะผู้ศึกษาทกุ คน
7 16-18 มิ.ย. 2565 ประดิษฐเ์ ครื่องมือที่ใชใ้ นการเก็บข้อมลู และ ครูทป่ี รึกษา

8 19-25 มิ.ย. 2565 เกบ็ รวบรวมขอ้ มูลทัง้ หมดท่ีใช้ในการคำนวณหา คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน
9 26-30 ม.ิ ย. 2565 ความสงู ของเสาธง
สรุปการศกึ ษารวบรวมข้อมูล และผลลพั ธจ์ าก คณะผู้ศึกษาทกุ คน
การศกึ ษาต่อครทู ป่ี รึกษา เพื่อรับการวพิ ากษแ์ ละ
แกไ้ ขจากครทู ่ีปรกึ ษา คณะผู้ศึกษาทุกคน
จัดพิมพ์รูปเล่มโครงงาน และสรา้ งแบบจำลอง
สนามหน้าเสาธง คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน
จัดทำบอร์ดนำเสนอโครงงานและแผ่นพบั
แนะนำโครงงาน

วัสดุอุปกรณ์
1. ไม้โปรแทรกเตอร์ ครึง่ วงกลม
2. กาวร้อน
3. ดา้ ย
4. ท่ีถ่วงน้ำหนัก
5. ทอ่ PVC ขนาด 18 มม.(1/2 นว้ิ ) ยาว 40 เซนตเิ มตร

16

ภาพท่ี 4 ภาพเครอื่ งมอื วัดมุมเงยทีป่ ระดษิ ฐข์ ้ึนมา

วสั ดอุ ุปกรณ์สำหรบั สร้างแบบจำลองสนามหนา้ เสาธง

1. ลวด 7. พรมหญา้ เทยี ม

2. ไม้ไอติม 8. ดอกไมต้ กแตง่

3. สโี ปสเตอร์ 9. กาวลาเท็กซ์ TOA

4. ดินน้ำมัน 10. ผา้ ขาวสำหรับทำธงชาติ

5. กระดาษชำระ 11. กระดาษไม้อดั ขนาด 40 × 60 เซนติเมตร

6. พ่กู ันระบายสี 12. เหลก็ กลวง ความสงู 26.5 เซนติเมตร สำหรับทำเสาธง

ภาพที่ 5 ภาพแบบจำลองสนามหนา้ เสาธง
ลำดบั การดำเนินงาน

1. ประชมุ และวางแผนการทำงาน
2. ประดิษฐเ์ ครื่องมือทใี่ ช้วดั มุมเงย
3. กำหนดตำแหน่งในการวัดความสูงของเสาธง โดยเลือกตำแหน่งท่ยี ืนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1
ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 3 และช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
4. เกบ็ ขอ้ มูลโดยวัดระยะทางระหว่างตำแหนง่ ท่ยี ืนของนกั เรียนกบั เสาธง ทั้ง 3 ตำแหน่ง ท่ีได้กำหนด
ไว้โดยใช้เชอื กและสลับเมตรในการวดั
5. หาคา่ มมุ เงยโดยใช้เครื่องมือวัดมมุ เงยท่ีไดส้ ร้างขน้ึ จากการมองยอดเสาธงในตำแหน่งท่ีได้กำหนดไว้
6. ประดิษฐแ์ บบจำลองสนามหน้าเสาธง
7. นำข้อมูลท้ังหมดทีไ่ ด้มาคำนวณเพอื่ หาค่าความสูงของเสาธง
8. จดั ทำรูปเลม่ โครงงาน

17

บทท่ี 4
ผลการดำเนนิ งาน

จากการดำเนินงาน สามารถนำขอ้ มลู มาใช้ในการคำนวณ เพอ่ื วดั ความสูงของเสาธงโดย ดงั นี้

สูตรท่ใี ช้ในการคำนวณ

tan = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม
ความยาวของด้านประชิดมุม

ภาพจำลองลกั ษณะการวดั ความสงู ของเสาธงโดยประยุกต์ใช้ความรู้อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ

ภาพท่ี 6 ภาพจำลองลกั ษณะการวัดความสงู ของเสาธง

ให้ x แทน ความสงู ของเสาธงท่ไี มร่ วมความสูงของคนที่วัด
ให้ y แทน ระยะหา่ งจากตำแหน่งที่ยืนจนถึงเสาธง ดังนี้

ระยะหา่ งจากตำแหนง่ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 1 เท่ากับ 24 เมตร
ระยะหา่ งจากตำแหน่งชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 เท่ากับ 7.2 เมตร
ระยะห่างจากตำแหนง่ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 เท่ากบั 29.8 เมตร
ข้อตกลง
1. คนทีว่ ดั สูง 180 เซนติเมตร หรือ 1.8 เมตร
2. ความสูงของเสาธงวดั จากพื้นสนามในระนาบเดยี วกนั ไปถึงยอดของเสาธง

วิธีการคำนวณหาความสูงของเสาธง
ตำแหนง่ ของนักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1

18

จากสตู ร tan = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม
จะได้ ความยาวของด้านประชดิ มุม

tan 65° = x
24
x
2.14  24

2.14(24)  x

51.36  x

X ≈ 51.36 เมตร

คนที่วัดสงู 180 เซนติเมตร หรอื 1.8 เมตร

จะได้ความสงู ของเสาธงท้ังหมด x + 1.8 ≈ 51.36 + 1.8

≈ 53.16 เมตร
ดังนั้นความสูงของเสาธงวัดจากตำแหน่งยืนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 มีความสูง
ประมาณ 53.16 เมตร

ตำแหนง่ ของนกั เรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3

จากสตู ร tan = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม
จะได้ ความยาวของดา้ นประชดิ มุม

tan82° = x
7.2

7.12  x
7.2

7.12(7.2)  x

51.26  x
x  51.26 เมตร

คนท่ีวัดสูง 180 เซนตเิ มตร หรือ 1.8 เมตร

19

จะไดค้ วามสงู ของเสาธงท้งั หมด x +1.8  51.26+1.8

≈ 53.06 เมตร
ดังนั้นความสูงของเสาธงวัดจากตำแหน่งยืนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 มีความสูง
ประมาณ 53.06 เมตร
ตำแหน่งของนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

จากสูตร tan = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ
ความยาวของด้านประชดิ มมุ
จะได้ x
tan60° = 29.8

1.73  x
29.8

1.73×29.8  x

51.55  x
x  51.55 เมตร

คนท่ีวัดสงู 180 เซนติเมตร หรอื 1.8 เมตร

จะไดค้ วามสูงของเสาธงทั้งหมด x +1.8  51.55+1.8

≈ 53.35 เมตร
ดังนั้นความสูงของเสาธงวัดจากตำแหน่งยืนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มีความสูง

ประมาณ 53.35 เมตร

20

บทที่ 5
สรปุ อภปิ รายและขอ้ เสนอแนะ

โครงงานคณิตศาสตร์ประเภทพฒั นาหรอื ประดษิ ฐ์ เรื่อง การหาความสูงของเสาธงโดยใชอ้ ัตราส่วน
ตรโี กณมติ ิ โดยคณะทำงานเป็นนกั เรียนมธั ยมศึกษาปีที่ 3 เปน็ การนำความร้เู รื่องอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ ไป
ประยุกต์ใช้ในการหาความสูงของเสาธง และพฒั นาทกั ษะในการคดิ คำนวณ

สรุปผลการดำเนนิ งาน
จากผลการดำเนนิ การศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทพัฒนาหรอื ประดิษฐ์ เรอ่ื ง การหาความสงู

ของเสาธงโดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมิติ สามารถแสดงได้ดังตารางตอ่ ไปนี้

ตารางท่ี 4 ตารางแสดงการหาความสงู ของเสาธงแต่ละตำแหนง่

ตำแหน่ง ระดับชัน้ ความยาวระหว่าง มมุ ความสูงของเสาธง
ตำแหนง่ ทีว่ ดั กับเสาธง

1 มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 24 เมตร 65° ≈ 53.16 เมตร

2 มัธยมศึกษาปีที่ 3 7.2 เมตร 82° ≈ 53.06 เมตร

3 มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 29.8 เมตร 60° ≈ 53.35 เมตร

หมายเหตุ 1. คำนวณโดยใชท้ ศนยิ ม 2 ตำแหนง่

จากตารางที่ 2 สามารถสรปุ ได้ว่า การนำความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมติ มิ าประยุกต์ใชใ้ นการวัด

ความสงู ของเสาธง สามารถหาความสงู ได้ใกลเ้ คียงกัน ประมาณ 53 เมตร

อภปิ รายผล

1. สามารถนำความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ มาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการหาความสงู ของเสาธงได้ โดยได้ค่า
ความสูงของเสาธงที่ใกลเ้ คียงกัน แสดงให้เห็นว่าสามารถนำความรเู้ ร่ืองอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิมาประยุกต์ใช้ใน
การหาความสงู ของสิง่ ซ่ึงไมส่ ามารถวดั โดยตรงได้

2. สามารถพฒั นาทักษะในการคิดคำนวณเรื่องอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ โดยฝึกคดิ คำนวณจากตำแหนง่
การยืน และค่าของมมุ เงยที่ต่างกนั เป็นการฝึกคิดคำนวณซ้ำ ๆ จนเกิดทักษะและสามารถคิดคำนวณได้
รวดเร็วยง่ิ ขึ้น

ข้อเสนอแนะ
1. ควรมผี ูว้ ัดความสงู ของเสาธงท่ีมสี ว่ นสงู ต่างกนั มากกวา่ หน่ึงคน และวัดจากหลาย ๆ ตำแหนง่ เพื่อ

นำค่าความสงู ของเสาธงท่ไี ด้มาเปรยี บเทยี บกนั จะได้คา่ ความสูงของเสาธงท่แี มน่ ยำยิ่งขึ้น
2. สามารถนำความรู้เร่ืองอตั ราส่วนตรโี กณมิตมิ าประยุกต์ใช้ในการหาความสงู ของสงิ่ ตา่ ง ๆ ทีไ่ ม่

ทราบความสงู และไมส่ ามารถใชเ้ ครือ่ งมือวดั วัดได้ เชน่ ความสูงของตน้ ไม้ ความสงู ของตกึ ความสงู ของเสาไฟ
ความสงู ของหอคอย เปน็ ตน้

21

บรรณานกุ รม

WOKINKOW. วิธีใช้ไมโ้ ปรแทรกเตอร์. [ออนไลน์]. เข้าถงึ ได้จาก https://th.wukihow.com. (วันท่คี น้ ข้อมูล :
5 มถิ นุ ายน 2565).

จณิ ดิษฐ์ ละออปักษนิ และรตินนั ท์ บญุ เคลอื บ. บทนำ ตรีโกณมติ ิ. [ออนไลน์]. เขา้ ถงึ ได้จาก
https://dokumen.tips/documents. (วันท่คี ้นข้อมูล : 5 มิถุนายน 2565).

ณัฐ อดุ มพานชิ ย์. (2557).สรุปเนอื้ หาคณติ ศาสตร์สำหรบั นักเรยี น ระดบั มธั ยมศึกษาตอนต้น.
กรงุ เทพมหานคร: สถาบันสอนวิชาคณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSOR.

ณฏั ฐวรี ์ ทวีวิเสสานนท์. (2564). แบบฝกึ ติวเข้มรายวิชาพ้นื ฐานกล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2.
กรงุ เทพมหานคร: ดอกหญา้ วิชาการ จำกัด.

ธนากร โงนมณ.ี ความหมายของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ. [ออนไลน์]. เข้าถึงไดจ้ าก https://mycontent-
thai.com. (วันท่ีค้นขอ้ มลู : 5 มิถนุ ายน 2565).

สถาบนั สง่ เสริมวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร . (2563). หนงั สอื เรยี นรายวิชาพืน้ ฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 2. กรงุ เทพมหานคร: โรงพมิ พ์ สกสค.

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก
ประวตั ิผศู้ ึกษา

ประวัติผูศ้ ึกษา

ชื่อ นายพงศกร เพมิ่ ศักดิ์
วนั เดอื นปีเกดิ 8 มกราคม 2550
ทีอ่ ยู่ปจั จบุ นั บา้ นเลขที่ 176/13 ม.5 ต.สทงิ หม้อ อ.สิงหนคร จ.สงขลา รหัสไปรษณีย์ 90280
ประวตั ิการศึกษา สำเรจ็ การศึกษาระดบั ช้นั ประถมศึกษาปที ี่ 6 จากโรงเรียนเทศบาล4 (บ้านแหลมทราย)

จงั หวดั สงขลา
กำลงั ศกึ ษาในระดับชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3 โรงเรยี นอบจ.สงขลาพทิ ยานุสรณ์

ชือ่ เด็กหญงิ อินทิรา พนั ธจ์ ันทร์
วันเดอื นปีเกิด 19 กนั ยายน 2550
ที่อยู่ปจั จบุ ัน บา้ นเลขที่ 48/1 ถนนเลีย่ งเมือง 1 หมู่บา้ นประกายมุข ต.สะเดา อ สะเดา จ.สงขลา

90120
ประวัตกิ ารศกึ ษา สำเร็จการศึกษาระดบั ชนั้ ประถมศกึ ษาปีท่ี 6 จากโรงเรียนกฤษณาวิทยา จังหวัดสงขลา

กำลังศกึ ษาในระดบั ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 โรงเรียนอบจ.สงขลาพทิ ยานุสรณ์

ชื่อ เด็กหญงิ ระววี รรณ เจย้ี นเซ่ง
วนั เดือนปีเกดิ 6 มนี าคม 2550
ทอี่ ยู่ปัจจบุ ัน บา้ นเลขที่ 212/1 ม.8 ต.พะวง อ.เมือง จ.สงขลา รหสั ไปรษณยี ์90100
ประวัติการศึกษา สำเร็จการศกึ ษาระดบั ชนั้ ประถมศึกษาปที ่ี 6 จากโรงเรียนเทศบาล1 (ถนนนครนอก)

จังหวัดสงขลา
กำลงั ศกึ ษาในระดบั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 โรงเรยี นอบจ.สงขลาพทิ ยานุสรณ์

ภาคผนวก ข
ประมวลภาพดำเนินการศกึ ษา

รปู ภาพการดำเนนิ การสร้างแบบจำลองสนามหน้าเสาธง
วันที่ 19-25 ม.ิ ย. 2565

รปู ภาพขณะเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล

วันที่ 12-15 ม.ิ ย. 2565

โดยรวบรวมขอ้ มูลดังตอ่ ไปน้ี
1. หาระยะทางระหว่างตำแหนง่ ยืนของนกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3

และชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 กับเสาธง

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 1

ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 3

ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6

2. วัดคา่ มุมเงยโดยใช้เคร่ืองมือวดั มมุ เงยท่ีประดษิ ฐ์ขนึ้ ในตำแหนง่ ยนื ของนกั เรียนชั้น
มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 และชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 1

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

3. วดั ความกวา้ งและความยาวของสนามหนา้ เสาธงและฐานเสาธง
วัดสนามหนา้ เสาธง
วดั ฐานเสาธง