หน่วยที่ 3 พหุนาม

3หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี

พหนุ าม

ตวั ชวี้ ัด
• เขำ้ ใจหลักกำรดำเนนิ กำรของพหุนำมและใช้พหุนำมในกำรแกป้ ญั หำคณติ ศำสตร์ (ค 1.2 ม.2/1)

ควรรู้ก่อนเรียน

จานวนตรงข้าม

-aa

เชน่ จำนวนตรงขำ้ มของ 2 คือ -2

จำนวนตรงข้ำมของ a เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ -a
เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ควรรู้กอ่ นเรยี น

การลบจานวนเตม็

a-b = + -b

เชน่ 3 - 2 = 3 + (-2) = 1

กำหนดให้ a และ b แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ จะไดว้ ำ่
a - b = a + จำนวนตรงขำ้ มของ b นัน่ คือ a - b = a + (-b)

ควรรูก้ ่อนเรยี น

สมบัตขิ องจานวนเต็ม

กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ จะได้ว่ำ

1. สมบตั กิ ารสลับที่ (สมบัตกิ ำรสลบั ทสี่ ำหรับกำรบวก)
(สมบตั ิกำรสลบั ท่สี ำหรับกำรคูณ)
a+b =

เชน่ 2 + 3 = 3 + 2

a×b =

เชน่ 2 × 3 = 3 × 2

ควรรู้กอ่ นเรยี น

สมบตั ขิ องจานวนเต็ม

กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ จะไดว้ ำ่

2. สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่ (สมบัตกิ ำรเปลย่ี นหมู่สำหรับกำรบวก)
( a + b )+ c =
เช่น (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

( a × b )× c = (สมบัตกิ ำรเปลี่ยนหมูส่ ำหรบั กำรคูณ)
เช่น (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24

ควรรูก้ อ่ นเรยี น

สมบตั ิของจานวนเตม็

กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่ำ

3. สมบตั ิการแจกแจง

a ×( b + c ) =( a × b)+( a × c )
เช่น 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14 และ

( b + c )× a =( b × a )+( c × a )
เชน่ (3 + 4) × 2 = (3 × 2) + (4 × 2) = 6 + 8 = 14

ควรรู้กอ่ นเรียน

เลขยกกาลงั

บทนยิ าม กำหนดให้ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่เทำ่ กับศูนย์ และ
m แทนจำนวนเต็มบวก

1. a0 = 1

2. 1 1
a−m am
am = หรือ a−m =

ควรรกู้ ่อนเรียน

เลขยกกาลงั

สมบตั ิ กำหนดให้ a แทนจำนวนใด ๆ และ m, n แทนจำนวนเตม็
จะได้วำ่

1. am × an = am + n

2. am
an
= am − n เม่ือ a≠0

เอกนาม นพิ จน์

x ผล 6 ผล x + 6 ผล
เนรเทถ่นั ำรำ้ัง้คสำเหไำอืรมมมำ่ทมมดำีสรรสีกถำ้มม้่ผี บเทลข1วั้งกยี ำ่หันลนสมงันป้มดะใรกนะับxลโอย+ังีกคม6สกี6ญัผ่ี ผผลลเลลมกั จือ่ ษเึงพรสณวื่อม์ไนมดกๆต้เบั ปใิ คสหน็ ดิม้ ม้ วxอี ำ่xกี +จผ6ะ6ลมผีสลม้

เอกนาม นิพจน์

x + 6ตัวแปร ค่าคงตัว
นิพจน์

เจรำำกเรปยี รกะโxยค+ส6ัญวล่ำกั ษนณิพจท์ นไี่ ด์ ้
เเปรรำำ็นเเขรรีย้อียกกควx6ำมววำ่ท่ำอี่ตคยัวา่ ูใ่ แคนปงรตรปู ัวปเปรน็ะโตยวั คทสเี่ ัญรำลไักมษท่ ณรำ์ บคำ่
โนเดปิยย็นมจตเะขวั ไียทมนีเ่ม่ รแเีำคททรนรอ่ื ตำงบวั หแคมปำ่ ำรยดเ้วทย่ำตกัวบอปกั รษำกรภฏำษำอังกฤษ
ตัวพิมพ์เลก็

เอกนาม เอกนาม

นพิ จนท์ ่สี ำมำรถเขยี นให้อยู่ในรูปกำรคูณของค่ำคงตัวกับตัวแปรต้งั แต่หน่งึ ตวั ขึ้นไป
และเลขชีก้ ำลังของตวั แปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรอื จำนวนเตม็ บวก เรียกว่ำ เอกนาม

ใ1ด32เจ243ซ5ก5xนหx)ะy)งัึ่บ2อ่ืเ้นไ-2ต2หม+มดง้นั3425วัีไจต่ใไว้x3xมy6แชมำ2ำ่ผุ3-2ปเ่ศ่กเ่2เ+xไลปป4ปูนมรว็น4็นเไ6็น่เย•ปา่ดปเเค์หสอxอ็น้็นนำ่0รกกเเคมอืิพนมนองำกจำจกีำตร4ำนมมนนถัวนำเำ์ตเเวมปแขพมพอ่ นน็ลยี รรไเเนะคปำำพตมะ่ำะในม็รนเคีเำบีเ้ลxมรงปะขวื่อูปตเไน็กชปเมวั ขเ4กี้็น่สอียแำตำก•นลลมวันxะังแำ20าขมxรปyมอ2ีถ2xรหงเทตขใรเนปมี่ยวัอื รแเีน็นไลปูมปตใขนก่รวั ชเำรแพxกี้รปู ปรำคกเราลปณู ำทะังน็รจเมี่เคหปะีเ-ูณลต2น็ไดขใุข1ดเ้ชอปีก้ ง็นำคลำ่2ังคxเ-งป2ตy็นัว2ศนู ย์
ดมงัเี ลนขั้นช4ก้ี ำเลปงั ็นขเอองกตนัวำแมปร x เป็น -2 ซงึ่ ไมใ่ ชศ่ ูนย์หรือจำนวนเตม็ บวก

เอกนาม เอกนาม ดีกรขี องเอกนาม

พจิ ำรณำเอกนำม 3x2 3x2

สัมประสทิ ธขิ์ องเอกนาม

ผคล่ำคบงวตกวั ขทอ่ีองยเลูห่ ขนช้ำีก้ ตำวั ลแงั ปขรอขงอตงัวเแอปกรนแำตมล่ ะตัว
ใเรนียเอกกวนำ่ ำสมมั ปเรรยี ะกสวทิ ำ่ ธด์ิขกี อรงขี เอกงเนอากมนาม

เอกนาม เอกนาม ดีกรขี องเอกนาม

พจิ ำรณำเอกนำม 3x2 3x2

สัมประสิทธข์ิ องเอกนาม

บอกสมั ประสิทธแิ์ ละดีกรีของเอกนามต่อไปน้ี

เลขชก้ี าลัง เลขช้ีกาลงั เลขชก้ี าลัง

เอกนาม สมั ประสทิ ธ์ิ ตัวแปรท่ี 1 ของตวั แปร ตวั แปรที่ 2 ของตัวแปร ตัวแปรที่ 3 ของตัวแปร ดกี รี

ท่ี 1 ท่ี 2 ท่ี 3 3
5+1=6
1) 2x3 2 x 3 - - - - 3+2+4=9

2) -4m5n -4 m 5 n1- -

3) a3b2 = 3a3b2c4 3 a 3 b 2 c 4
3c−4

การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามคล้าย

คู่ที่ 1 3x 5x ไมเ่ ท่ากนั เอกนามแต่ละคู่
คทู่ ี่ 2 2ab -5ab ไมเ่ ทา่ กัน มีสมั ประสทิ ธ์ิ
เทา่ กันหรอื ไม่

คุณครูบอกว่ำ “เอกนาม 3x คล้ายกับเอกนาม 5x” และ
“เอกนาม 2ab คล้ายกับเอกนาม -5ab” เพ่ือนๆ คิดว่ำ
เรำจะต้องสังเกตสิ่งใดบ้ำง จึงสำมำรถบอกได้ว่ำเอกนำมคู่นั้น
เป็นเอกนำมทคี่ ลำ้ ยกัน

การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามคล้าย

คู่ที่ 1 3x 5x เหมือนกนั เอกนามแต่ละคู่
คูท่ ่ี 2 2ab -5ab เหมอื นกัน มีตวั แปร

เหมอื นกันหรอื ไม่

คุณครูบอกว่ำ “เอกนาม 3x คล้ายกับเอกนาม 5x” และ
“เอกนาม 2ab คล้ายกับเอกนาม -5ab” เพ่ือนๆ คิดว่ำ
เรำจะต้องสังเกตส่ิงใดบ้ำง จึงสำมำรถบอกได้ว่ำเอกนำมคู่นั้น
เป็นเอกนำมที่คลำ้ ยกัน

การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามคล้าย

คู่ที่ 1 3x 5x เท่ากนั ตัวแปรทเ่ี หมือนกัน
คู่ที่ 2 2ab -5ab เทา่ กัน มีเลขช้ีกาลงั
เท่ากันหรือไม่

จะสมอคเ“เเีนงปลรเุณเ่นัำข็นออจคชคกเกอะือกี้นรนกตำูบำเนา้ลออมอมงัำงกนเกมสนท้นั ัทงว2ำ่ำมเ่ำa่ีคมกกีตbลสันต“วั ้ำอสแเคยโงอ่ิงปดกลเใกอยรันด้าเนกสหบยมันาม้ำกปำมงือัมบรนจจะ3เกึะสงอxันสคทิกำคลธนซมำ้อิ์ล่งึ ายำำ้แารมกจตยถนัเ่ลกทบ-ะ5ักำ่บอตกa็ตเกัวbันออ่ ไแ”หเกดปมร้วนอื่รเอื่ำพทาไเเมื่มอเ่ีออห่เกกนทม5นนๆำ่อืxำำกน”มมคันกคิแดกันู่นล็ไวด้ัน่ะำ้

การบวกและการลบเอกนาม

การบวกเอกนาม

สำหรบั กำรบวกเอกนำมท่คี ลำ้ ยกัน จะใชส้ มบัติกำรแจกแจงในกำรหำผลบวก ดังน้ี

ผลบวกของเอกนำมทค่ี ล้ำยกัน = (ผลบวกของสมั ประสทิ ธ)ิ์  (ชุดของตวั แปรในเอกนำม)

หาผลบวกของเอกนามต่อไปน้ี

1) 2x + 6x

= (2 + 6)x ผชลุดบขอวกงตขวัอแงปสมัรใปนรเะอสกทิ นธำ์ิมคือคือ2 x+ 6

= 8x

การบวกและการลบเอกนาม

การบวกเอกนาม

สำหรับกำรบวกเอกนำมทค่ี ลำ้ ยกัน จะใชส้ มบัตกิ ำรแจกแจงในกำรหำผลบวก ดังนี้

ผลบวกของเอกนำมทค่ี ลำ้ ยกนั = (ผลบวกของสัมประสทิ ธ)์ิ  (ชดุ ของตัวแปรในเอกนำม)

หาผลบวกของเอกนามต่อไปน้ี
2) (-4m5n) + 5m5n

= (-4 + 5)m5n ผชลดุ บขอวกงตขวัอแงปสมัรใปนรเะอสกทินธำ์ิมคือคอื -4m+5n5
= m5n

การบวกและการลบเอกนาม

การบวกเอกนาม

สำหรับกำรบวกเอกนำมท่ีคล้ำยกัน จะใชส้ มบตั กิ ำรแจกแจงในกำรหำผลบวก ดงั น้ี

ผลบวกของเอกนำมท่คี ล้ำยกัน = (ผลบวกของสมั ประสิทธ)ิ์  (ชดุ ของตวั แปรในเอกนำม)

หาผลบวกของเอกนามต่อไปน้ี
3) (-6a2b3c) + (-4a2b3c)

= [(-6) + (-4)]a2b3c ชผดุลขบอวกงตขวัอแงปสรมั ใปนรเะอสกิทนธำ์ิมคือคือ(-6a)2b+3c(-4)
= -10a2b3c

การบวกและการลบเอกนาม

การบวกเอกนาม

สำหรับกำรบวกเอกนำมทไี่ มค่ ล้ำยกัน ไม่สำมำรถเขียนผลบวกใหอ้ ย่ใู นรปู เอกนำมได้

หาผลบวกของเอกนาม 3mn + (-4m5n) + 5m5n

= 3mn + (-4 + 5) m5n ช-ผ4ดุลmบขอ5วnกงตขแัวอลแงะปสมัร5ใmปนร5เะอnสกเิทนปธำ็น์ิมเคอือคกอื น-4ำmม+5n5
= 3mn + m5n ท3mี่คลn้ำยแกลันะ จmึง5ทnำกเปำรน็ บเอวกกนเอำกมนทำี่ ม
สไมอค่งเลอ้ำกยนกำนั มนผล้กี บอ่ นวกที่ได้จะอยู่
ในรปู กำรบวกกันของเอกนำม
สองเอกนำม

การบวกและการลบเอกนาม

การลบเอกนาม

สำหรับกำรลบเอกนำม สำมำรถเขยี นให้อย่ใู นรูปของกำรบวกเอกนำม โดยใช้ควำมรู้เก่ยี วกบั
จำนวนจริงท่วี ่ำ

a - b = a + (-b) เมือ่ a, b แทนจำนวนจริงใดๆ และ -b เป็นจำนวนตรงข้ำมของ b

หาผลลบของเอกนามตอ่ ไปนี้
1) 12a5 - 5a5

= 12a5 + (-5a5) เขียนกำรลบเอกนำมใหอ้ ย่ใู นรปู ของ
= [12 + (-5)]a5 ใกชำ้วริธบีกวำกรเเอดกยี นวำกมับกำรบวกเอกนำม
= 7a5 ในกำรหำผลบวกของเอกนำม

การบวกและการลบเอกนาม

การลบเอกนาม

สำหรับกำรลบเอกนำม สำมำรถเขยี นให้อยู่ในรปู ของกำรบวกเอกนำม โดยใช้ควำมรู้เก่ียวกับ
จำนวนจรงิ ที่ว่ำ

a - b = a + (-b) เมอ่ื a, b แทนจำนวนจริงใดๆ และ -b เป็นจำนวนตรงขำ้ มของ b

หาผลลบของเอกนามตอ่ ไปนี้

2) 3x3y4 - (-2x3y4)

= 3x3y4 + [-(-2x3y4)] เขยี นกำรลบเอกนำมใหอ้ ยู่ในรูปของ

= [3 + 2]x3y4 ใกชำว้ รธิ บกี วำกรเเอดกยี นวำกมบั กำรบวกเอกนำม

= 5x3y4 ในกำรหำผลบวกของเอกนำม

พหนุ าม

พหุนาม

2นพิ จนท์ อ่ี ยู่ในรปู เอกนำม หรือเขียนให้อยใู่ นรูปกำรบวกของเอกนำมต้ังแต่

5x 2x + 3 4x + 2y + 3สองเอกนำมขึน้ ไป เรียกวำ่ พหนุ าม

เอกนาม เอกนาม เอกนาม เอกนาม เอกนาม เอกนาม

524xx2เ+ป+็น32เลอyอกยง+นใู่ สนำเ3งั รมเูปำกอทดมตขยัง่สี ำดอนู่ใำชนสูง้นัมว่กรวิำยซูปำเ่รรกรึง่ขถำทนบั อเสำขิพวงำไยีกจิมนเำำนอรใร์เิพกหบณถนจ้อวลสำำนกย่ำรนมนเ์ู่ใปุ ิพหอนี้เ2กลจเรรนูป่ำียเอนำ์ตกวกกมถี้กำอ่ วนรึงับไ่ำ3เปบำพป“มนวเหน็อพกี้ พนุกขหนั นำหอุนเมำถนุงาไมอำดมะมว้”ำ่
เอกนำมสองเอกนำมได้ คอื 5x + 0

พหุนาม

พหนุ าม

นพิ จนท์ อ่ี ยู่ในรปู เอกนำม หรอื เขียนใหอ้ ยู่ในรูปกำรบวกของเอกนำมตั้งแต่
สองเอกนำมข้นึ ไป เรยี กวำ่ พหุนาม

ใหเ้ หตผุ ลว่า นิพจน์ตอ่ ไปน้ีเปน็ พหนุ ามหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

1) 7x3
7x3 เปน็ พหุนำม เพรำะสำมำรถเขยี นในรปู กำรบวกกนั ของ
เอกนำมสองเอกนำมได้เป็น 7x3 + 0

พหุนาม

พหุนาม

นิพจน์ท่อี ยู่ในรปู เอกนำม หรอื เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปกำรบวกของเอกนำมตงั้ แต่
สองเอกนำมข้นึ ไป เรยี กว่ำ พหุนาม

ใหเ้ หตผุ ลวา่ นิพจน์ตอ่ ไปนีเ้ ป็นพหนุ ามหรือไม่ เพราะเหตุใด

2) 3a + 5b
3a + 5b เป็นพหุนำม เพรำะเปน็ นิพจนท์ อี่ ย่ใู นรูปกำรบวกกัน
ของเอกนำมสองเอกนำม

พหนุ าม

พหนุ าม

นพิ จนท์ ี่อย่ใู นรูปเอกนำม หรอื เขยี นให้อยใู่ นรปู กำรบวกของเอกนำมตัง้ แต่
สองเอกนำมข้ึนไป เรียกว่ำ พหุนาม

ใหเ้ หตุผลวา่ นิพจน์ต่อไปน้เี ป็นพหนุ ามหรือไม่ เพราะเหตุใด

3) 10m-1 - n2 + 4
10m-1 - n2 + 4 ไม่เปน็ พหุนำม เพรำะ 10m-1 ไม่เปน็ เอกนำม
นิพจน์นี้จึงไม่ใช่กำรเขียนในรูปกำรบวกกันของเอกนำมต้ังแต่
สองเอกนำมขึ้นไป

พหนุ าม

พจน์ของพหนุ าม

พจน์ท่คี ลา้ ยกนั

3x2 +2x62x+y 6-x5y--x42 + 1

พจนท์ ่ี 1 พจน์ที่ 2 พจนท์ ่ี 3 พพจนจนท์ ์ที่คล่ี 4า้ ยกัน พจน์ที่ 5

สำหรับพจนท์ ี่คลำ้ ยกนั สำมำรถใชว้ ิธกี ำรบวกและกำรลบเอกนำม
ช่วยในกำรหำผลลัพธข์ องพหนุ ำมได้ ดงั น้ี

จเพอ3ะจิกxเำห2นร็นำ+ณมว6ำ่ทxพปค่ี2yหรลxะ-นุ2้ำกยำ5+อมก-บ6ัน3xไxใปx2นy2ด+แ-+ว้ต41ยล่ 6เะเอxปพ=yกน็ หน-(พ3นุำ5หxมำ2ุนม-5ำ-เxรม2เxยีอท2+ก)กีไ่ ว+มน1่ำม่ำ(-มีพ5จ+น์ท1่คี) ล+้ำย6กxyันเลย
เพโรดจำยเนแร์ทียตกีค่ลพละเ้าหอยนุ กกำนนัมำใมนเรปูียกแวบ่ำบนพ=ีว้จ่ำ2นxพข์ 2อห-งนุ 4พาห+มนุใ6นาxรมูปผลสาเร็จ

= 2x2 + 6xy - 4

พหนุ าม

ดกี รขี องพหนุ าม

ดีกรขี องพหุนำม เท่ำกับ ดีกรสี งู สุดของพจน์ของพหุนำมในรปู ผลสำเร็จ

2x + 6xy - 42 ดีกรสี ูงสุด คอื 2

ดกี รี 2 ดกี รี 2 ดกี รี 0

นพ่ันิจำครอื ณ2ำxพ2ห+ุน6ำxมy2-x42 +มีด6กีxyรเี ท- ่ำ4กวับ่ำม2ดี กี รเี ทำ่ กับเท่ำใด

พหุนาม

ดกี รีของพหุนาม

ดกี รีของพหุนำม เทำ่ กบั ดีกรสี งู สุดของพจนข์ องพหุนำมในรปู ผลสำเรจ็

2x + 6xy - 42 ดีกรีสูงสุด คอื 2

เขยี น 11xy3 - 4x5y2 - 9xy3 + 6x5y2 ให้เป็นพหุนามในรปู ผลสาเรจ็
แลว้ บอกดกี รขี องพหนุ าม
11xy3 - 4x5y2 - 9xy3 + 6x5y2 = (11xy3 - 9xy3) + (-4x5y2 + 6x5y2)

= 2xy3 + 2x5y2

ดกี รี 4 ดกี รี 7

ดงั นั้น 11xy3 - 4x5y2 - 9xy3 + 6x5y2 มดี ีกรีเทำ่ กับ 7

การบวกและการลบพหนุ าม

การบวกพหุนาม

กำรหำผลบวกของพหนุ ำมตั้งแต่ 2 พหนุ ำมขึน้ ไป ทำได้โดยนำพจนท์ ่คี ล้ำยกนั ในแตล่ ะ
พหุนำมมำบวกกนั โดยสำมำรถทำไดท้ ง้ั กำรบวกในแนวนอนและกำรบวกในแนวตง้ั

หาผลบวกของพหุนาม (3a2 - 7x - 1) + (2a2 + 8)

ใช้วิธกี ารบวกในแนวนอน ใชว้ ิธีการบวกในแนวต้ัง

= 3a2 - 7x - 1 + 2a2 + 8 3a2 - 7x - 1

= (3a2 + 2a2) - 7x + (-1 + 8) จัดกลุ่มพจน์ทค่ี ล้ำยกัน +

= 5a2 - 7x + 7 2a2 + 8

5a2 - 7x + 7

การบวกและการลบพหนุ าม

การลบพหนุ าม

กำรหำผลลบของพหนุ ำม 2 พหนุ ำม สำมำรถทำไดใ้ นทำนองเดยี วกบั กำรหำผลลบของ
จำนวนจรงิ สองจำนวน

หาผลลบของพหุนาม (3a2 - 7x - 1) - (2a2 + 8)

ใช้วธิ กี ารหาพจนต์ รงขา้ มของพหุนามตัวลบ

พหุนามตวั ตั้ง - พหนุ ามตวั ลบ = พหุนามตวั ตงั้ + พหนุ ามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

(3a2 - 7x - 1) - (2a2 + 8) = (3a2 - 7x - 1) + [-(2a2 + 8)]

พหนุ ำมตัวตง้ั พหนุ ำมตัวลบ พหุนำมตวั ตั้ง พหุนำมตรงขำ้ มของพหุนำมตวั ลบ

= (3a2 - 7x - 1) + (-2a2 - 8) พจน์ตรงข้ำมของพหนุ ำมตวั ลบ

= (3a2 - 2a2) - 7x + (-1 - 8) มีเครือ่ งหมำยของแต่ละพจน์
ตรงข้ำมกบั พหุนำมเดมิ
= a2 - 7x - 9

การบวกและการลบพหนุ าม

การลบพหุนาม

กำรหำผลลบของพหนุ ำม 2 พหุนำม สำมำรถทำได้ในทำนองเดยี วกับกำรหำผลลบของ
จำนวนจริงสองจำนวน

หาผลลบของพหนุ าม (3a2 - 7x - 1) - (2a2 + 8)

ใช้วธิ กี ารกระจาย
(3a2 - 7x - 1) - (2a2 + 8) = 3a2 - 7x - 1 - 2a2 - 8 กระจำยเคร่ืองหมำยลบ

= (3a2 - 2a2) - 7x + (-1 - 8) เขำ้ ไปในวงเล็บ
= a2 - 7x - 9

การบวกและการลบพหุนาม

การลบพหุนาม

กำรหำผลลบของพหุนำม 2 พหนุ ำม สำมำรถทำได้ในทำนองเดียวกบั กำรหำผลลบของ
จำนวนจรงิ สองจำนวน

หาผลลบของพหุนาม (3a2 - 7x - 1) - (2a2 + 8)

ใชว้ ิธีการลบในแนวตง้ั

3a2 - 7x - 1 3a2 - 7x - 1
2a2 +
- -2a2 - +
a2 - 7x -
8 8 บวกด้วยพจนต์ รงข้ำม
9 ของพหุนำมตวั ลบ

การคณู พหนุ าม

การคูณระหว่างเอกนามกบั เอกนาม

กำรคณู ระหวำ่ งเอกนำมกับเอกนำม ทำไดโ้ ดยนำสมั ประสทิ ธิข์ องเอกนำมแต่ละพจน์มำคณู กนั
และนำสว่ นทีเ่ ป็นตัวแปรของเอกนำมแตล่ ะพจนม์ ำคณู กนั โดยใชส้ มบตั กิ ำรคณู ของเลขยกกำลงั

หาผลคูณของ (-3a2)(7a)

(-3a2)(7a)

= (-3  7)(a2  a) นำสว่ัมนปทระเ่ี ปส็นทิ ตธัว์ขิ แอปงเรอขกอนงำเอมกนำม

= -21a3 แต่ละพจนม์ ำคูณกนั

การคูณพหุนาม

การคูณระหวา่ งเอกนามกบั พหนุ าม

กำรคณู ระหว่ำงเอกนำมกบั พหุนำม ทำได้โดยใช้สมบตั ิกำรแจกแจงเพ่อื กระจำยพจนอ์ อก
จำกนน้ั ใชห้ ลักกำรคูณระหวำ่ งเอกนำมกับเอกนำมเพ่อื หำผลคูณน้ัน

หาผลคูณของ (3a2)(5a - 2)

(3a2)(5a - 2)

= (3a2)(5a) + (3a2)(-2) ใช้สมบตั ิกำรแจกแจง
= 15a3 - 6a2
ใชห้ ลกั กำรคูณระหว่ำงเอกนำม
กับเอกนำม

การคณู พหนุ าม

การคูณระหว่างพหนุ ามกับพหนุ าม

กำรคูณระหว่ำงพหนุ ำมกบั พหนุ ำม ทำไดโ้ ดยนำแต่ละพจนข์ องพหุนำมหนึ่งมำคณู กับทกุ ๆ พจน์
ของอีกพหนุ ำมหน่ึง แลว้ นำผลคณู ทง้ั หมดมำบวกกัน

หาผลคูณของ (3x + 4)(x2 - 4x)

(3x + 4)(x2 - 4x)

= (3x)(x2) + (3x)(-4x) + (4)(x2) + (4)(-4x) ใชส้ มบัติกำรแจกแจง
= 3x3 - 12x2 + 4x2 - 16x
= 3x3 - 8x2 - 16x

การหารพหุนาม

การหารเอกนามด้วยเอกนาม

กำรหำรเอกนำมด้วยเอกนำม ทำได้โดยใช้สมบตั ิกำรหำรของเลขยกกำลัง โดยมขี อ้ ตกลงวำ่
เอกนำมทีเ่ ปน็ ตวั หำรต้องไมเ่ ปน็ ศูนย์ และสำมำรถตรวจสอบคำตอบไดจ้ ำกควำมสัมพนั ธ์

ตัวหำร  ผลหำร = ตวั ตงั้

หาผลหารในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ พร้อมตรวจสอบคาตอบ

1) 4a6
a3
= 4a6 - 3

= 4a3

ตรวจสอบคาตอบ (a3)(4a3) = 4a6

การหารพหนุ าม

การหารเอกนามดว้ ยเอกนาม

กำรหำรเอกนำมดว้ ยเอกนำม ทำได้โดยใช้สมบัติกำรหำรของเลขยกกำลัง โดยมขี อ้ ตกลงวำ่
เอกนำมท่เี ปน็ ตัวหำรต้องไมเ่ ปน็ ศนู ย์ และสำมำรถตรวจสอบคำตอบได้จำกควำมสมั พนั ธ์

ตัวหำร  ผลหำร = ตวั ต้งั

หาผลหารในแต่ละข้อต่อไปนี้ พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ

2) 12x4y2
3y
12
= 3 x4y2 - 1

= 4x4y

ตรวจสอบคาตอบ (3y)(4x4y) = 12x4y2

การหารพหนุ าม การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม

กำรหำรพหุนำมด้วยเอกนำม ทำไดโ้ ดยหำรแต่พจนข์ องพหุนำมตวั ต้งั ดว้ ยเอกนำมทเ่ี ป็นตวั หำร

แลว้ นำผลหำรแตล่ ะพจนม์ ำบวกหรือลบกัน โดยถำ้ ไดผ้ ลหำรเปน็ พหนุ ำม จะกลำ่ ววำ่ กำรหำรน้นั

เปน็ กำรหำรลงตวั และสำมำรถตรวจสอบคำตอบไดจ้ ำกควำมสัมพันธ์

ตัวหำร  ผลหำร = ตวั ตงั้

หาผลหารของ (16x4 + 20x3) ÷ (-4x) พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ

(16x4 + 20x3) ÷ (−4x)
= [16x4 ÷ (−4x)] + [20x3 ÷ (−4x)]
= -4x3 - 5x2
ตรวจสอบคาตอบ (-4x)(-4x3 - 5x2) = 16x4 + 20x3