หน่วยที่ 2 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

2หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี

สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว

ตวั ชวี้ ัด
• ประยกุ ตใ์ ช้สมกำรกำลงั สองตวั แปรเดยี วในกำรแกป้ ัญหำคณิตศำสตร์ (ค 1.3 ม.3/2)

ถำ้ = − . + + . เปน็ สมกำรทแ่ี สดงควำมสัมพนั ธ์

ระหวำ่ ง ของลกู บำสเกตบอล (เมตร) กับ

หลังจำกโยนลูกบำสเกตบอลให้ลงห่วง (วนิ ำที)

เรำจะทรำบได้อย่ำงไรว่ำ ลูกบำสเกตบอลจะลงหว่ ง
หลังจำกโยนลกู บำสเกตบอลไปก่ี
เมอ่ื หว่ งบำสเกตบอลสูงจำกพืน้ 3 เมตร

พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว การแยกตัวประกอบของพหนุ าม

พหนุ ำมดีกรสี องตัวแปรเดยี ว คอื พหนุ ำมท่เี ขียนได้ กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำม คอื กำรเขียนพหุนำม
ในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b และ c ท่ีกำหนดให้ในรูปกำรคณู ของตวั ประกอบพหุนำม
เปน็ ค่ำคงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร ตง้ั แต่สองพหนุ ำมข้นึ ไป

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง

กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม กำรแยกตวั ประกอบของพหุนำม กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม
ดีกรสี องในรปู ax2 + bx + c ดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c ดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c ดกี รีสองทอ่ี ยู่ในรูปกำลังสอง ดีกรสี องทีอ่ ยู่ในรูปผลตำ่ ง
เม่ือ a, b เป็นจำนวนเตม็ เม่ือ a = 1, b และ c เป็น เมื่อ a, b และ c เปน็ จำนวนเต็ม สมบรู ณ์ กำลงั สอง
และ c = 0 จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 โดยท่ี a ≠ 1 และ c ≠ 0 กำหนดให้ A แทนพจน์หน้ำ กำหนดให้ A แทนพจน์หนำ้

แยกตัวประกอบ B แทนพจนห์ ลัง B แทนพจน์หลงั

x2 + bx + c ax2 + bx + c A2 + 2AB + B2 = A + B 2 A2 − B2 = A + B A − B

ax2 + bx = x ax + b + + A2 − 2AB + B2 = A − B 2

= =

กระจาย x+m x+n mx + p nx + q

สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว
คอื สมกำรทีม่ ี x เปน็ ตวั แปร และมรี ูปท่วั ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่ำคงตัว และ a ≠ 0

สมการท่ีเปน็ สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว สมการที่ไมเ่ ปน็ สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

+ + = − = + = =
− + = − =
− + = − + = − + = − =

คาตอบของสมการกาลงั สองตัวแปรเดียว
คือ จำนวนจริงใด ๆ ท่ีแทนตัวแปรในสมกำรกำลังสองตัวแปรเดยี วแลว้ ทำให้สมกำรเป็นจริง

1 2 3

−3 เป็นคำตอบของสมกำร x2 + 2x − 3 = 0 3 เป็นคำตอบของสมกำร 12x2 − 12x − 72 = 0 4 เปน็ คำตอบของสมกำร −2x2 + 8x = 0
เพรำะเมื่อแทน x ดว้ ย −3 ในสมกำร เพรำะเมอื่ แทน x ดว้ ย 3 ในสมกำร เพรำะเม่อื แทน x ด้วย 4 ในสมกำร
จะได้ (−3)2 + 2 −3 − 3 = 0 จะได้ 12(3)2 − 12 3 − 72 = 0 จะได้ −2(4)2 + 8 4 = 0

9 − 6 − 3=0 108 − 36 − 72 = 0 −32 + 32 = 0

0=0 0=0 0=0

จะเห็นวำ่ เมือ่ แทน x ดว้ ย −3 ในสมกำร จะเหน็ วำ่ เมอื่ แทน x ด้วย 3 ในสมกำร จะเห็นวำ่ เมอื่ แทน x ดว้ ย 4 ในสมกำร
x2 + 2x − 3 = 0 จะทำให้สมกำรเปน็ จรงิ 12x2 − 12x − 72 = 0 จะทำให้สมกำรเป็นจริง −2x2 + 8x = 0 จะทำให้สมกำรเปน็ จรงิ
ดังน้นั −3 เปน็ คำตอบของสมกำร ดงั นน้ั 3 เปน็ คำตอบของสมกำร ดังน้ัน 4 เป็นคำตอบของสมกำร

x2 + 2x − 3 = 0 12x2 − 12x − 72 = 0 −2x2 + 8x = 0

กำรแก้สมกำรกำลังสองตัวแปรเดยี วจำเป็นต้องใช้ควำมรู้เกี่ยวกบั สมบตั ิของจำนวนจริงต่อไปน้ี

สมบตั ิ
กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

การแก้สมการกาลังสองตวั แปรเดียว ทาไดห้ ลายวิธี ดังนี้
กำรแกส้ มกำรกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยใช้กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
กำรแก้สมกำรกำลังสองตัวแปรเดยี วโดยวิธที ำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำรแกส้ มกำรกำลงั สองตวั แปรเดยี วโดยใชส้ ตู ร x = −b ± b2 − 4ac

2a

mx + p nx + q = 0 mx + p = 0 หรอื x = − p หรอื
m
ax2 + bx + c = 0 เมื่อ mx nx = ax2 nx + q = 0
q
pq = c x = −n
q mx + p(nx) = bx

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + − =

จำก x2 + 3x − 28 = 0
จะได้ x + 7 x − 4 = 0

ดงั นนั้ x + 7 = 0 หรือ x − 4 = 0

x = −7 หรอื x=4

ตรวจสอบคาตอบ เม่อื แทน x ดว้ ย 4 ในสมกำร
เมอ่ื แทน x ด้วย −7 ในสมกำร จะได้ 42 + 3(4) − 28 = 0
จะได้ (−7)2 + 3(−7) − 28 = 0
16 + 12 − 28 = 0
49 − 21 − 28 = 0
0= 0
0= 0

ดงั นน้ั − และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ + − =

(x + p)2 − p2 + q = 0

ax2 + bx + c = 0 เมือ่ p b (x + p)2− 2
= 2a
p2 − q = 0

c
q=a

x = −p + p2 − q หรือ x + p − p2 − q = 0 หรอื (x + p − p2 − q)(x + p + p2 − q) = 0

x = −p − p2 − q x + p + p2 − q = 0

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − − =

จำก x2 − 2x − 1 = 0 อย่าลมื ตรวจสอบคาตอบนะครบั
จะได้ x2 − 2x − 1 = 0

x2 − 2 x (1) + 12 − 12 − 1 = 0

(x − 1)2 − 1 − 1 = 0

(x − 1)2 − 2 = 0

(x − 1)2 − 2

2 =0

x−1− 2 x−1+ 2 = 0

ดงั นน้ั x − 1 − 2 = 0 หรือ x − 1 + 2 = 0
หรือ x = 1 − 2
x=1+ 2

น่นั คอื + และ − เป็นคาตอบของสมการ − − =

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ + + =

จำก x2 + 4x + 10 = 0
จะได้ x2 + 4x + 10 = 0

x2 + 2 x (2) + 22 − 22 + 10 = 0

(x + 2)2 − 4 + 10 = 0

(x + 2)2+ 6 = 0

เนือ่ งจำก (x + 2)2 ≥ 0 สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน
จะได้ (x + 2)2+ 6 > 0 สำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน

แสดงวำ่ ไม่มีจำนวนจรงิ ใดที่แทนค่ำ x ในสมกำร (x + 2)2+ 6 = 0 แล้วทำให้สมกำรเป็นจริง

ดงั นัน้ สมการ (x + 2)2+ 6 = 0 ไมม่ ีคาตอบของสมการที่เป็นจานวนจริง

คำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 เม่อื a, b, c เปน็ คำ่ คงตวั และ a ≠ 0 คือ

− ± −
=

ลกั ษณะคำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 สำมำรถพจิ ำรณำได้จำกคำ่ ของ b2 − 4ac ดังน้ี

123

ถา้ − > แล้วสมการ ถา้ − = แลว้ สมการ ถ้า − < แล้วสมการ
จะมคี าตอบเปน็ จานวนจริง 2 คาตอบ จะมคี าตอบเป็นจานวนจริง 1 คาตอบ จะไม่มีคาตอบเปน็ จานวนจรงิ

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ + + =

จำกสมกำร x2 + 5x + 3 = 0 เม่อื เทียบกับสมกำร ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 1, b = 5 และ c = 3
ดงั นัน้ b2 − 4ac = 52 − 4(1)(3)

= 25 − 12

= 13 ซ่งึ มีคำ่ มำกกว่ำ 0

น่นั คอื สมการ + + = มคี าตอบเปน็ จานวนจรงิ 2 คาตอบ

กอ่ นแกส้ มการกาลังสองตวั แปรเดยี ว นกั เรยี นควรพจิ ารณาคา่ ของ −
เพื่อตรวจสอบวา่ สมการนมี้ ี 1 คาตอบ 2 คาตอบ หรือไมม่ ีคาตอบท่ีเป็นจานวนจรงิ

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + + =

เนือ่ งจำก = − ± − เป็นคำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0


จะได้ คำตอบของสมกำร x2 + 5x + 3 = 0 คือ

−5 ± 52 − 4(1)(3)
x = 2(1)

−5 ± 25 − 12
=2

−5 ± 13
=2

−5 + 13 −5 − 13
= 2,
2

ดังน้ัน − + และ − − เปน็ คาตอบของสมการ + + =


ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − + =

จำกสมกำร x2 − 2x + 1 = 0 เมื่อเทียบกับสมกำร ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 1, b = −2 และ c = 1
ดงั นนั้ b2 − 4ac = −2 2 − 4(1)(1)

=4−4
=0

นัน่ คอื สมการ − + = มีคาตอบเป็นจานวนจรงิ 1 คาตอบ

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − + =

เนือ่ งจำก = − ± − เป็นคำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0


จะได้ คำตอบของสมกำร x2 − 2x + 1 = 0 คือ

−(−2) ± (−2)2 − 4(1)(1)
x = 2(1)

2± 4−4
=2

2±0
=2

2
=2
=1

ดงั น้นั 1 เปน็ คาตอบของสมการ − + =

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + + =

จำกสมกำร 2x2 + 3x + 7 = 0 เม่อื เทียบกับสมกำร ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 2, b = 3 และ c = 7
ดงั นัน้ b2 − 4ac = 32 − 4(2)(7)

= 9 − 56

= −47 ซงึ่ มีคำ่ นอ้ ยกว่ำ 0

นนั่ คอื สมการ + + = ไมม่ คี าตอบเปน็ จานวนจรงิ

เรม่ิ ตน้ ปญั หา
วเิ คราะห์โจทย์ปัญหา

กาหนดตัวแปร
พจิ ารณาเง่อื นไขตามท่ีโจทย์กาหนด
และเขยี นสมการกาลงั สองตัวแปรเดยี ว

แก้สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว

ตรวจสอบความสมเหตสุ มผล
ของคาตอบ

แสดงคาตอบ
สิ้นสุด

ตวั อย่างที่

จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเ่ี หล่ยี มผืนผา้ ที่มเี สน้ รอบรูปยาว 30 หนว่ ย และมีพืน้ ท่ี 50 ตารางหน่วย

ให้ x แทนควำมยำวของด้ำนกวำ้ งของรูปสเ่ี หลี่ยมผืนผ้ำ

จะได้ รปู ส่เี หลย่ี มผนื ผำ้ มดี ้ำนยำวยำว 30 − 2x = 15 − x หนว่ ย
2

เนือ่ งจำก รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผ้ำมีพ้ืนที่ 50 ตำรำงหน่วย

จะได้ x(15 − x) = 50

15x − x2 = 50
x2 − 15x + 50 = 0
(x − 10)(x − 5) = 0

x = 10, 5

ตวั อยา่ งที่

จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ ท่ีมเี สน้ รอบรปู ยาว 30 หน่วย และมีพ้ืนท่ี 50 ตารางหนว่ ย

ตรวจคาตอบ
ถำ้ รปู สี่เหลี่ยมผนื ผำ้ มีด้ำนกว้ำงยำว 5 หน่วย
จะได้ รปู สีเ่ หลยี่ มผืนผ้ำมดี ้ำนยำวยำว 15 − 5 = 10 หนว่ ย
ดังนน้ั ควำมยำวรอบรูปของรปู สีเ่ หลี่ยมผนื ผำ้ เท่ำกับ 2(5) + 2(10)

= 10 + 20

= 30 หนว่ ย
พน้ื ทีข่ องรปู ส่ีเหลยี่ มผนื ผ้ำเทำ่ กับ 5 × 10

= 50 ตำรำงหน่วย
ซง่ึ เปน็ จรงิ ตำมเงือ่ นไขที่โจทยก์ ำหนด
ถ้ำรปู สเี่ หลย่ี มผืนผำ้ มดี ำ้ นกว้ำงยำว 10 หนว่ ย
จะได้ รูปสีเ่ หล่ยี มผืนผ้ำมีดำ้ นยำวยำว 15 − 10 = 5 หนว่ ย ซึ่งขดั แย้งกับควำมเป็นจริง

ดังนน้ั รูปสเ่ี หล่ยี มผืนผา้ มีดา้ นกวา้ งยาว 5 หนว่ ย และดา้ นยาวยาว 10 หนว่ ย

จำกคำถำมตอนตน้ ทถ่ี ำมวำ่ “เรำจะทรำบได้อยำ่ งไรว่ำ
ลกู บำสเกตบอลจะลงหว่ งหลงั จำกโยนลกู บำสเกตบอลไปก่ี

เมื่อห่วงบำสเกตบอลสงู จำกพ้นื 3 เมตร”

นักเรยี นจะหำได้โดยกำรแกส้ มกำร
3 = −3.5t2 + 7t + 2.5 ซง่ึ จะได้ t ≈ 1.9
ดังนน้ั ลูกบำสเกตบอลจะลงห่วงหลังจำก
โยนลกู บำสเกตบอลไปประมำณ 1.9 วนิ ำที