Ecuaciones-Diferenciales-Dennis G. Zill

130 ● CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Problemas para analizar e) Por el principio de superposición, teorema 4.1.2,
ambas combinaciones lineales y ϭ c1y1 ϩ c2y2 y Y ϭ
37. Sea n ϭ 1, 2, 3, . . . . Analice cómo pueden utilizarse las c1Y1 ϩ c2Y2 son soluciones de la ecuación diferencial.
observaciones DnxnϪl ϭ 0 y Dnxn ϭ n! para encontrar so- Analice si una, ambas o ninguna de las combinacio-
luciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. nes lineales es una solución general de la ecuación
diferencial en el intervalo (Ϫϱ, ϱ).
a) yЉ ϭ 0 b) yٞ ϭ 0 c) y(4) ϭ 0

d) yЉ ϭ 2 e) yٞ ϭ 6 f) y(4) ϭ 24 40. ¿El conjunto de funciones f1(x) ϭ ex ϩ 2, f2(x) ϭ ex Ϫ 3 es
linealmente dependiente o independiente en (Ϫϱ, ϱ)?
38. Suponga que y1 ϭ ex y y2 ϭ eϪx son dos soluciones de una Explique.
ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué
y3 ϭ cosh x y y4 ϭ senh x son también soluciones de la 41. Suponga que yl, y2, ... , y son k soluciones linealmente
ecuación. k
independientes en (Ϫϱ, ϱ) de una ecuación diferencial
39. a) Compruebe que y1 ϭ x3 y y2 ϭ ͉x͉3 son soluciones li-
nealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden con coeficientes
x2yЉ Ϫ 4xyЈ ϩ 6y ϭ 0 en el intervalo (Ϫϱ, ϱ).
tcaomnsbtiaénnteusn. aPosroleulctieóonredme ala4.e1c.u2asceiótniendeifeqrueencyikaϩl1. ϭ0 es
b) Demuestre que W(y1, y2) ϭ 0 para todo número real x. ¿Es el
¿Este resultado viola el teorema 4.1.3? Explique.
conjunto de soluciones yl, y2, . (.Ϫ. ϱ,,ϱyk),?yEkϩx1plliinqeuael.mente
c) Compruebe que Y1 ϭ x3 y Y2 ϭ x2 son también so- dependiente o independiente en
luciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial del inciso a) en el intervalo (Ϫϱ, ϱ). 42. Suponga que yl, dy2i,fe.re.n.ci,aylklisnoenalkhsoomluocgioénneesa no triviales
de una ecuación de n-ésimo
d) Determine una solución de la ecuación diferencial
que satisfaga y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0. orden con coeficientes constantes y que k ϭ n ϩ 1. ¿Es el

conjunto de soluciones yl, y2, . . ϱ. ),?yEk xlipnleiaqlume.ente depen-
diente o independiente en (Ϫϱ,

4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN

REPASO DE MATERIAL

● Sección 2.5 (utilizando una sustitución).
● Sección 4.1.

INTRODUCCIÓN En la sección anterior vimos que la solución general de una ecuación diferen-
cial lineal homogénea de segundo orden

a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (1)

es una combinación lineal y ϭ c1y1 ϩ c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un con-
junto linealmente independiente en cierto intervalo I. Al comienzo de la siguiente sección se analiza
un método para determinar estas soluciones cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes.
Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y sólo produce una solu-
ción simple y1 de la ED. En estos casos se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación
homogénea (1) (aun cuando los coeficientes en (1) son variables) siempre que se conozca una solución
no trivial y1 de la ED. La idea básica que se describe en esta sección es que la ecuación (1) se puede
reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución
conocida y1. Una segunda solución y2 de (1) es evidente después de resolver la ED de primer orden.

REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que
y1 se define en un intervalo I. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un con-
junto linealmente independiente en I. Recuerde de la sección 4.1 que si yd1eyciyr,2ys2o(xn)l͞inye1(axl-)
mente independientes, entonces su cociente y2͞y1 no es constante en I, es

ϭ u(x) o y2(x) u(x)y1(x). La función u(x) sleladmeaterremdiuncacailósnudsteitourirdye2n(xp)oϭrquue(xd)eyb1(exm) eons
la ecuación diferencial dada. Este método se

resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u.

4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN ● 131

EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden

Dado que y1 ϭ ex es una solución de yЉ Ϫ y ϭ 0 en el intervalo (Ϫϱ, ϱ), use reducción
de orden para determinar una segunda solución y2.

SOLUCIÓN Si y ϭ u(x)y1(x) ϭ u(x)ex, entonces aplicando la regla del producto se
obtiene

y u ex exu , y u ex 2 exu exu ,

por tanto y y ex(u 2u ) 0.

Puesto que ex 0, la última ecuación requiere que uЉ ϩ 2uЈ ϭ 0. Si se hace la sustitución
w ϭ uЈ, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en wЈ ϩ 2w ϭ 0, que
es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x, se puede

escribir d [e2xw] 0 . Después de integrar, se obtiene w ϭ c1eϪ2x o uЈ ϭ cleϪ2x. Al
dx

integrar de nuevo se obtiene u 1 c1e 2x c2. Así
2

y u(x)ex c1 e x c2e x . (2)
2

Haciendo c2 ϭ 0 y c1 ϭ Ϫ2, se obtiene la segunda solución deseada, y2 ϭ eϪx. Puesto que
W(ex, eϪx) 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (Ϫϱ, ϱ).

Puesto que se ha demostrado que y1 ϭ ex y y2 ϭ eϪx son soluciones linealmente
independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en
realidad la solución general de yЉ Ϫ y ϭ 0 en (Ϫϱ, ϱ).

CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar

y P(x)y Q(x)y 0, (3)

donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1(x)
es una solución conocida de (3) en I y que y1(x) 0 para toda x en el intervalo. Si se
define y ϭ u(x)y1(x), se tiene que

y uy1 y1u , y uy1 2y1u y1u

yЉ ϩ PyЈ ϩ Qy ϭ u[y1Љϩ Py1Јϩ Qy1] ϩ y1uЉ ϩ (2y1Јϩ Py1)uЈ ϭ 0.

cero

Esto implica que se debe tener

y1u (2y1 Py1)u 0 o y1w (2y1 Py1)w 0, (4)

donde hacemos que w ϭ uЈ. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como
separable. Separando las variables e integrando, se obtiene

dw 2 y1 dx P dx 0
w y1

ln wy12 P dx c o wy12 c1e P dx.

Despejamos a w de la última ecuación, usamos w ϭ uЈ e integrando nuevamente:

u c1 e P dx c2.
y12 dx

132 ● CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Eligiendo c1 ϭ 1 y c2 ϭ 0, se encuentra de y ϭ u(x)y1(x) que una segunda solución de
la ecuación (3) es

e P(x) d x

y2 y1(x) y12(x) d x. (5)

Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se define en (5)
satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún inter-
valo en el que y1(x) no es cero.

EJEMPLO 2 Una segunda solución por la fórmula (5)

La función y1 ϭ x2 es una solución de x2yЉ Ϫ 3xyЈ ϩ 4y ϭ 0. Encuentre la solución
general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ϱ).

SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación,

y 3 4 0,
y x2 y

x

encontramos de (5) y2 x2 e3 d x /x ; e3 d x /x eln x3 x3
x4 dx

x2 dx x2 ln x.
x

La solución general en el intervalo (0, ϱ) está dada por y ϭ c1 y1 ϩ c2 y2; es decir,
y ϭ c1x2 ϩ c2x2 ln x.

COMENTARIOS

i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fór-
mula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La
ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado
deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe
conocer los primeros principios de la reducción de orden.

ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de
una ecuación no homogénea a2(x)yЉ ϩ a1(x)yЈ ϩ a0(x)y ϭ g(x) siempre que se
conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas
17 a 20 en los ejercicios 4.2.

EJERCICIOS 4.2 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.

En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una so- 7. 9yЉ Ϫ 12yЈ ϩ 4y ϭ 0; y1 ϭ e2x/3
lución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de 8. 6yЉ ϩ yЈ Ϫ y ϭ 0; y1 ϭ ex/3
orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una 9. x2yЉ Ϫ 7xyЈ ϩ 16y ϭ 0; y1 ϭ x4
segunda solución y2(x). 10. x2yЉ ϩ 2xyЈ Ϫ 6y ϭ 0; y1 ϭ x2
11. xyЉ ϩ yЈ ϭ 0; y1 ϭ ln x
1. yЉ Ϫ 4yЈ ϩ 4y ϭ 0; y1 ϭ e2x 12. 4x2yЉ ϩ y ϭ 0; y1 ϭ x1/2 ln x
2. yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ 0; y1 ϭ xeϪx 13. x2yЉ Ϫ xyЈ ϩ 2y ϭ 0; y1 ϭ x sen(ln x)
3. yЉ ϩ 16y ϭ 0; y1 ϭ cos 4x 14. x2yЉ Ϫ 3xyЈ ϩ 5y ϭ 0; y1 ϭ x2 cos(ln x)
4. yЉ ϩ 9y ϭ 0; y1 ϭ sen 3x
5. yЉ Ϫ y ϭ 0; y1 ϭ cosh x
6. yЉ Ϫ 25y ϭ 0; y1 ϭ e5x

4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES ● 133

15. (1 Ϫ 2x Ϫ x2)yЉ ϩ 2(1 ϩ x)yЈ Ϫ 2y ϭ 0; y1 ϭ x ϩ 1 ción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1x ,
16. (1 Ϫ x2)yЉ ϩ 2xyЈ ϭ 0; y1 ϭ 1 m1 y m2 son constantes.
c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar
En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no
solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5?
de reducción de orden para determinar una segunda solución
y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la 22. Compruebe que y1(x) ϭ x es una solución de xyЉ – xyЈ ϩ
ecuación no homogénea dada. y ϭ 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una
segunda solución y2(x) en la forma de una serie infinita.
17. yЉ Ϫ 4y ϭ 2; y1 ϭ eϪ2x Estime un intervalo de definición para y2(x).
18. yЉ ϩ yЈ ϭ 1; y1 ϭ 1
19. yЉ Ϫ 3yЈ ϩ 2y ϭ 5e3x; y1 ϭ ex Tarea para el laboratorio de computación
20. yЉ Ϫ 4yЈ ϩ 3y ϭ x; y1 ϭ ex
23. a) Compruebe que y1(x) ϭ ex es una solución de
Problemas para analizar xyЉ Ϫ (x ϩ 10)yЈ ϩ 10y ϭ 0.

21. a) Proporcione una demostración convincente de que la b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solu-
ecuación de segundo orden ayЉ ϩ byЈ ϩ cy ϭ 0, a, b, ción y2(x). Usando un SAC realice la integración que
y c constantes, tiene siempre cuando menos una solu- se requiere.
ción de la forma y1 em1x , m1 es una constante.
c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2,
b) Explique por qué la ecuación diferencial que se pro-
porciona en el inciso a) debe tener una segunda solu- por qué la segunda solución puede escribirse en forma

compacta como

y2(x) 10 1 xn.
n0 n!

4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES

REPASO DE MATERIAL

● Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5.
● Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales.

INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente
las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogé-
neas ayЈ ϩ by ϭ 0, donde los coeficientes a 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve
ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución,
uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación:
despejando yЈ de la ecuación ayЈ ϩ by ϭ 0 se obtiene yЈ ϭ ky, donde k es una constante. Esta obser-
vación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya
derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial emx. Ahora el nuevo método
de solución: si sustituimos y ϭ emx y yЈ ϭ memx en ayЈ ϩ by ϭ 0, se obtiene

amemx bemx 0 o emx (am b) 0.
Como emx nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una

solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am ϩ b ϭ 0. Para este único valor de m, y

ϭ emx es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2yЈ

ϩ 5y ϭ 0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y ϭ emx en la ED; sólo se tiene que
5
formar la ecuación 2m ϩ 5 ϭ 0 y despejar m. De m 2 se concluye que y ϭ eϪ5x/2 es una solución

de 2yЈ ϩ 5y ϭ 0, y su solución general en el intervalo (Ϫϱ, ϱ) es y ϭ c1eϪ5x/2.
En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las

ED lineales homogéneas de orden superior,

an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y 0, (1)

donde los coeficientes ai, i ϭ 0, 1, . . . , n son constantes reales y an 0.

134 ● CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación
de segundo orden

ay by cy 0, (2)

donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y ϭ emx,
entonces después de sustituir yЈ ϭ memx y yЉ ϭ m2emx, la ecuación (2) se convierte en

am2emx bmemx cemx 0 o emx(am2 bm c) 0.
Como en la introducción se argumenta que debido a que emx 0 para toda x, es obvio
que la única forma en que y ϭ emx puede satisfacer la ecuación diferencial (2) es cuando
se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática

am2 bm c 0. (3)

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar de la ecuación diferencial (2). Como las
dos raíces de (3) son m1 ( b 1b2 4ac) 2a y m2 ( b 1b2 4ac) 2a,
habrá tres formas de la solución general de (2) que corresponden a los tres casos:

• ml y m2 reales y distintas (b2 Ϫ 4ac Ͼ 0),
• ml y m2 reales e iguales (b2 Ϫ 4ac ϭ 0), y
• ml y m2 números conjugados complejos (b2 Ϫ 4ac Ͻ 0).
Analicemos cada uno de estos casos.

CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Bajo la suposición de que la ecuación
auxiliar (3) tiene dos raíces reales desiguales ml y m2, encontramos dos soluciones,
y1 em1x y y2 em2x. Vemos que estas funciones son linealmente independientes
en (Ϫϱ, ϱ) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución
general de (2) en este intervalo es

y c1em1x c2em2x. (4)

CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml ϭ m2, necesariamente se ob-
tiene sólo una solución exponencial, y1 em1x . De la fórmula cuadrática se encuentra

que ml ϭ Ϫb͞2a puesto que la única forma en que se tiene que ml ϭ m2 es tener b2 Ϫ
4ac ϭ 0. Tenemos de (5) en la sección 4.2 que una segunda solución de la ecuación es

y2 em1x e2 m1x em1x dx xem1x. (5)
e2m1x d x

En (5) hemos usado el hecho de que – b͞a ϭ 2m1. La solución general es entonces

y c1em1x c2xem1x. (6)

CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y m2 son complejas, enton-
ces se puede escribir ml ϭ a ϩ ib y m2 ϭ a Ϫ ib, donde a y b Ͼ 0 son reales i2 ϭ Ϫ1.
De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por tanto,

y C1e(a i )x C2e(a i )x.

Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de expo-
nenciales complejas. Con este fin se usa la fórmula de Euler:

ei cos i sen , (7)
donde u es cualquier número real.* Se tiene de esta fórmula que

ei x cos x i sen x y e i x cos x i sen x,

*Una deducción formal de la fórmula de Euler se obtiene de la serie de Maclaurin ex xn
n 0 n!
sustituyendo x ϭ iu, con i 2 ϭ Ϫ1, i 3 ϭ Ϫ i, . . . y después separando la serie en las partes real e imaginaria.

Así se establece la plausibilidad, por lo que podemos adoptar a cos u ϩ i sen u como la definición de eiu.