Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

· Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

3. Con las condiciones iniciales y(0) = 2, y (0) = 0 podemos determi-
nar una solución particular. Sustituyendo en la ecuación diferencial y
en su derivada tenemos:

2 =c1
0 =c1 + 2c2.

Donde c1 = 2 y c2 = −1. Por lo tanto, la solución que satisface las
condiciones iniciales es

y(x) = 2ex cos(2x) − 1ex sin(2x).

Ejercicios

1. En los siguientes cuatro problemas, cada familia de funciones es la
solución general de la ecuación diferencial en el intervalo indicado.
Determinar un miembro de la familia que sea solución del problema
del valor inicial:
a) y(x) = c1ex + c2e−x; (−∞, ∞); y − y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1.
b) y(x) = c1e4x + c2e−x; (−∞, ∞); y − 3y − 4y = 0, y(0) = 1,
y (0) = 2.
c) y(x) = c1x + c2x ln(x); (0, ∞); x2y − xy + y = 0,
y(1) = 3, y (1) = −1.
d) y(x) = c1 + c2 cos(x) + c3 sin(x); (−∞, ∞); y + y = 0, y( ) = 0,
y ( ) = 2, y ( ) = −1.

2. Si y(x) = c1 + c2x2 es una familia biparamétrica de soluciones de
xy − y = 0 en el intervalo (−∞, ∞), demostrar que las constantes
c1 y c2 no se pueden determinar de tal manera que un miembro de
la familia satisfaga las condiciones y(0) = 0, y (0) = 1. Explicar por
qué esto no contradice el teorema 4.1.

3. Determinar dos miembros de la familia de soluciones en el ejercicio
anterior que satisfagan las condiciones iniciales y(0) = 0, y (0) = 0.

4. En los ejercicios a) y b) determinar un intervalo con centro x = 0, para
el cual el problema de valor inicial tenga una solución única.
a) (x − 2)y + 3y = x, y(0) = 0, y (0) = 1.
b) y + (tan(x))y = ex , y(0) = 1, y (0) = 0.

5. Usar el teorema 4.1 para analizar la existencia y unicidad de una solu-
ción de la ecuación diferencial que satisfaga las condiciones iniciales
y(1) = y0, y (1) = y1, donde y0 y y1 son constantes reales.

·Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

a) (1 + x2)y + xy − y = tan(x).

b) ex y − y + y = ln(x).
x−3

6. Determinar si se aplica el teorema 4.1. En caso a rmativo, analice las

conclusiones que pueden extraerse. En caso negativo, explique por

qué:

a) y + yy = x2 − 1; y(0) = 1, y (0) = −1.

b) (1 − t)x + tx − 2 = t sin(t); x(0) = 1, x (0) = 1.

7. Sabiendo que y(x) = e2x es una solución de la ecuación diferencial

(2x + 1)y − 4(x + 1)y + 4y = 0,

encontrar la otra solución linealmente independiente. Escribir la solu-
ción general.
8. (Grammiano). Un conjunto de funciones { f1, . . . , fn } cada una continua
en un intervalo I = [a, b] es linealmente dependiente en I, si y solo si

rb f12 (x)dx rb rb

a f1(x) f2(x)dx . . . f1(x) fn (x)dx

aa

rb f2 (x) f1 (x)dx rb f22 (x)dx rb
...
G [ f1, . . . , fn] = a a . . . f2(x) fn (x)dx

... a

...

rb rb rb fn2 (x)dx

fn (x) f1(x)dx fn (x) f2(x)dx . . . a

aa

es igual a 0 en I. Este determinante se llama el grammiano del conjunto

{ f1, . . . , fn }.
a) Demostrar que ex y e2x son linealmente independientes en [−1, 1].

b) Demostrar que x y |x| son linealmente independientes en [−1, 1].

9. Determinar si las funciones y1 y y2 son linealmente independientes

en el intervalo (0, 1). Calcular además el wronskiano W [y1, y2] (x):
a) y1 (x) = e−x cos(2x), y2 (x) = e−x sin(2x).
b) y1 (x) = xe2x , y2 (x) = e2x.
c) y1(x) = x2 cos(ln |x|), y2(x) = x2 sin(ln |x|).
d) y1(x) = 0, y2(x) = ex.
e) y1 (x) = epx , y2 (x) = −eqx, p ≠ q.

10. En los siguientes tres problemas veri car si las funciones y1 y y2 son

soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial da-

da. También determinar una solución general de la ecuación dada y

determinar la solución que satisface las condiciones iniciales:
a) x2y − 2y = 0; y1(x) = x2, y2(x) = x−1; y(1) = −2;

y (1) = −7.

· Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

b) y − 5y + 6y = 0; y1(x) = e2x , y2(x) = e3x; y(0) = −1;
y (0) = −4.

c) ty − (t + 2)y + 2y = 0; y1(t) = et , y2(t) = t2 + 2t + 2;
y(1) = 0; y (1) = 1.

11. Sean y1(x) = x3 y y2(x) = |x3|, ¿son y1 y y2 linealmente independien-
tes en los siguientes intervalos?
a) [0, ∞).
b) (−∞, 0).
c) (−∞, ∞).
d) Calcular el wronskiano W [y1, y2] (x) en el intervalo (−∞, ∞).

12. Encontrar las regiones donde el teorema de existencia y unicidad
garantiza la unicidad para el problema de Cauchy:

y + 3xy + x3y = ex; y(0) = 0, y (0) = 0.

13. Dado que y1(x) = cos(x) es una solución de y − y + y = sin(x), y
y2(x) = e2x/3 es una solución de y − y + y = e2x , determinar las
soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) y − y + y = 5 sin(x).
b) y − y + y = sin(x) − 3e2x.
c) y − y + y = 4 sin(x) + 18e2x.
14. Dado que 1+x, 1+2x y 1+3x2 son soluciones de la ecuación diferencial

y + p(x)y + q(x)y = g (x), determinar la solución de esta ecuación

que satisface y(1) = 1, y (1) = 0.

15. Demostrar que el conjunto todas las soluciones de la ecuación diferen-

cial

an ( x) d ny + an−1 ( x ) d n−1 y + ··· + a1 ( x) dy + a0 (x)y = 0
d xn d x n−1 dx

es un espacio vectorial.

16. Demostrar que si yp (x) es una solución de an (x)y (n) + · · · + a0(x)y =
g (x), entonces Ayp (x), con A constante, es una solución de an (x)y (n) +

· · · + a0(x)y = Ag (x). √

17. Si yp (x) = u(x) + iv(x), (i = −1) es una solución particular de

an (x)y (n) + · · · + a0(x)y = R(x) + iS (x), donde ai (x) son funciones

reales, entonces:

a) La parte real de yp (x); esto es u(x), es una solución de an (x)y (n) +

· · · + a0(x)y = R(x).

b) La parte imaginaria de yp (x); esto es v(x), es una solución de

an (x)y (n) + · · · + a0 (x)y = S (x).