คณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง สมบัติของจำ นวนนับ
1. จำ นวนนับ (Counting Number) - หมายถึงจำ นวนซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีของมนุษย์และมนุษย์ได้นำ เอาจำ นวนดังกล่าวนั้น มำ ใช้เพื่อแสดงถึงจำ นวนของสิ่งต่าง ๆ ได้แก่ 1, 2, 3, ... ข้อสังเกต 1. จำ นวนนับจะต้องเริ่มจาก 1 เท่ำ นั้น 2. จำ นวนนับมีเลข 1 เป็นจำ นวนที่น้อยที่สุด และมีค่าเพิ่ม เรื่อยๆ ไปทีละหนึ่งอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ... สมบัติของจำ นวนนับ (Property of counting Number) ภาพ : The Soft Roots จำ นวนนับ
2. การหารลงตัว (Divisibility) - มีลักษณะ ดังนี้ กำ หนดให้ a และ b เป็นจำ นวนนับ พบว่า b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อมีจำ นวนนับ c ที่ทำ ให้ a ÷ b = c โดยเราจะเรียก b ว่า ตัวหาร หรือ ตัวประกอบ ของ a และ เรียก a ว่า ตัวตั้ง หรือ พหุคูณของ b ตัวอย่าง เช่น 12 ÷ 3 = 4 จะพบว่า 3 ÷ 12 ลงตัว โดยเรียก 3 ว่าตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 12 และ เรียก 12 ว่าตัวตั้ง หรือ พหุคูณของ 3
3. จำ นวนเฉพาะ (Prime Number) - คือจำ นวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวมันเอง ตัวอย่างจำ นวนเฉพาะ 2 แยกตัวประกอบได้1กับ2 ดังนั้น 2 เป็นจำ นวนเฉพาะ 3 แยกตัวประกอบได้1กับ3 ดังนั้น 3 เป็นจำ นวนเฉพาะ ข้อสังเกต 1 ไม่เป็นจำ นวนเฉพาะ ภาพ : Shutterstock จำ นวนเฉพาะ1-100
4. ตัวหารหรือตัวประกอบ คือจำ นวนนับที่หารจำ นวนนับนั้นลงตัว การหารจำ นวนนับอาจ หารลงตัวหรือหารไม่ลงตัวก็ได้ดังนี้ 10 ÷ 2 = 5 พบว่า 2 ÷ 10 ลงตัว โดยเรียก 2 ว่าตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 10 14 ÷ 8 = 1.75 พบว่า 8 ÷ 14 ไม่ลงตัว ดังนั้น 8 ไม่เป็น ตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 14 8 ÷ 2 = 4 พบว่า 2 ÷ 8 ลงตัว ดังนั้น 2 เป็นตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ 8
ตัวหารหรือตัวประกอบของจำ นวนนับใดๆ หมายถึงจำ นวนนับ ที่หารจำ นวนนับนั้นลงตัวเช่น 18 ÷ 1 = 18, 1 หาร 18 ลงตัว 18 ÷ 2 = 9, 2 หาร 18 ลงตัว 18 ÷ 3 = 6, 3 หาร 18 ลงตัว 18 ÷ 6 = 3, 6 หาร 18 ลงตัว 18 ÷ 9 = 2, 9 หาร 18 ลงตัว 18 ÷ 18 = 1, 18 หาร 18 ลงตัว ดังนั้น ตัวหารหรือตัวประกอบของ 18 ได้แก่ จำ นวนนับที่มี ค่าเท่ากับ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18
5. การแยกตัวประกอบของจำ นวนนับใด คือ ประโยคที่แสดงการเขียนจำ นวนนั้นในรูปการคูณของ ตัวประกอบเฉพาะ การหาตัวคูณ ซึ่งเป็นตัวประกอบเฉพาะ ทำ ได้ ดังนี้ 5.1 โดยการตั้งหาร (หารสั้น) ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 360 โดยการตั้งหาร วิธีทำ 2) 360 2) 180 2) 90 3) 45 3) 15 5 ดังนั้น 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
5.2 ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม หลักการในการหา ห.ร.ม. ของจำ นวนนับตั้งแต่สองจำ นวนขึ้นไป โดยการแยกตัวประกอบ สามารถทำ ได้ โดย 1. แยกตัวประกอบทั้งหมดของจำ นวนนับที่ต้องการหา ห.ร.ม. แต่ละจำ นวน 2. พิจารณาตัวประกอบเฉพาะใดบ้ำ งที่ซ้ำ กันทุกจำ นวนนับ 3. ห.ร.ม. ก็คือผลคูณของตัวประกอบเฉพาะดังกล่าวนั่นเอง ตัวหารร่วม หมายถึง จำ นวนนับใด ๆ ที่นำ ไปหารจำ นวนนับ เหล่านั้นได้ลงตัวทุกจำ นวน เช่น ตัวประกอบทั้งหมดของ 16 คือ 1, 2, 4, 8, 16 ตัวประกอบทั้งหมดของ 24 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ดังนั้น ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วมของ 16 และ 24 คือ 1, 2, 4 และ 8
5.3 การหาหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) โดยการแยกตัวประกอบ ตัวอย่าง ให้หา ห.ร.ม. ของ 28 และ 42 โดยการแยก ตัวประกอบ เราสามารถแยกตัวประกอบของ 28 ออกได้เป็น 2 x 2 x 7 เราสามารถแยกตัวประกอบของ 42 ออกได้เป็น 2 x 3 x 7 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 28 และ 42 คือ 2 x 7 = 14 ตัวอย่าง ให้หา ห.ร.ม. ของ 24, 48 และ 60 เราสามารถแยกตัวประกอบของ 24 ออกได้เป็น 2 x 2 x 2 x 3 เราสามารถแยกตัวประกอบของ 48 ออกได้เป็น 2 x 2 x 2 x 2 x 3 เราสามารถแยกตัวประกอบของ 60 ออกได้เป็น 2 x 2 x 3 x 5 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 48 และ 60 คือ 2 x 2 x 3 = 12 ภาพ : cal.postjung.com ห.ร.ม หารร่วมมาก
5.4 การหาหารร่วมมำ ก (ห.ร.ม.) โดยการหารสั้น หลักการในการหา ห.ร.ม. ของจำ นวนนับตั้งแต่สองจำ นวนขึ้นไป โดยการตั้งหาร สามารถทำ ได้โดย 1. ในแต่ละขั้นตอนของการหารนั้น จะต้องเลือกตัวหารจาก จำ นวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำ นวนที่ต้องการหารอาจ มีหลายจำ นวน ให้เลือกจำ นวนใดไปหารก่อนก็ได้ 2. นำ ตัวหารที่ได้จากข้อ 1 มาหารทุกจำ นวนที่ต้องการหาร 3. หารต่อไปเรื่อยๆ จนกระทั่งไม่มีจำ นวนเฉพาะที่เป็น ตัวประกอบร่วมของทุกจำ นวนที่ต้องการ ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 และ 112 วิธีทำ 2) 56 112 2) 28 56 2) 14 28 7) 7 14 1 2 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 56 และ 112 คือ 2 × 2 × 2 × 7 = 56