สื่อการสอนเส้นขนาน

สมบตั ขิ องเสน้ ขนาน

เส้นขนาน คอื เส้นตรงสองเสน้ ทอ่ี ยบู่ นระนาบเดยี วกนั ไมต่ ดั กนั และมี
ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ทง้ั สองเทา่ กนั เสมอ เส้นขนานอาจเปน็ เสน้ ตรงหรอื เสน้
โคง้ กไ็ ด้ เช่นรางรถไฟ ขอบยางใน

บทนยิ าม เส้นตรงสองเส้นที่อย่บู นระนาบเดยี วกัน ขนานกัน เม่ือเส้นตรงทั้ง
สองน้ีไม่ตัดกัน

เสน้ ขนาน
นยิ าม
เส้นตรงสองเสน้ ทอ่ี ยบู่ นระนาบเดยี วกัน ขนานกนั กต็ อ่ เมือ่
เสน้ ตรงทั้งสองเส้นนน้ั ไม่ตดั กนั

เสน้ ขนาน

AB และ CD ขนานกนั อาจกลา่ วไดว้ ่า

AB ขนานกบั CD AB // CD
CD ขนานกบั AB

ระยะหา่ งเสน้ ขนาน

ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงคู่นนั้ จะเทา่ กนั เสมอ
ถ้าเส้นตรงสองเสน้ มรี ะยะห่างเท่ากนั เสมอ แล้วเสน้ ตรงคนู่ ั้นจะขนาน

เส้นขนาน

การตรวจสอบเส้นขนาน

มมุ ภายใน

มมุ วิธีการ
ภายนอก
กบั มมุ มมุ แย้ง
ภายใน

มมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั

ux AB เส้นตดั AB
vy มมุ ภายในที่
xˆ และ yˆ อยบู่ นขา้ ง
uˆ และ vˆ เดยี วกันของ
เสน้ ตัด AB

มมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั

ตวั อยา่ ง EB จากรูปจะได้วา่
มุมภายในท่ีอยู่บนขา้ งเดยี วกนั ของ
A เส้นตัด EF คอื

C FD AEˆF และ CFˆE
BEˆF และ DFˆE

มมุ ภายในที่อย่บู นข้างเดียวกนั ของเส้นตดั

ตัวอย่าง P จากรปู จะไดว้ ่า

M มมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั
X
N Y ของเสน้ ตดั XY คอื
MXˆY และ PYˆX

Q QYˆX และ NXˆY

มมุ ภายในที่อย่บู นข้างเดียวกนั ของเส้นตดั

ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ ง
เดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา
ถา้ เส้นตรงเสน้ หนง่ึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ น่ึง ทาให้ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั
ของเสน้ ตัด รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา แล้วเส้นตรงค่นู น้ั จะขนานกนั

มุมภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั

ตัวอย่าง จากรปู ท่ีกาหนดให้ จงหาวา่ AB และ CD
วธิ ีทา ขนานกนั หรอื ไม่
จากรปู จะได้วา่
A X B มุมภายในท่ีอยูบ่ นขา้ งเดยี วกนั ของ
124 เสน้ ตดั XY คือ BXˆY และ DYˆX
56
D BXˆY  DYˆX  124  56
CY
 180

ดงั น้นั AB // CD

มุมภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั

ตวั อยา่ ง จากรปู ทกี่ าหนดให้ จงหาวา่ AB และ CD
ขนานกนั หรือไม่

วิธีทา จากรปู จะไดว้ า่

A X B มุมภายในทอี่ ย่บู นขา้ งเดยี วกนั ของ
94 เสน้ ตดั XY คือ BXˆY และ DYˆX

C YD BXˆY  DYˆX  94  90
 184

ดังนน้ั AB และ CD ไม่ขนานกนั

มุมภายในทอี่ ยู่บนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั

ตวั อยา่ ง จากรปู กาหนดให้ AB // CD จงหาค่า x

วิธีทา เนอ่ื งจาก AB // CD
จะไดว้ า่ BEˆF  DFˆE  180
C

A F x 136  180
E x 136 D x  180 136

ดงั นน้ั x  44

B

มมุ ภายในที่อย่บู นข้างเดียวกนั ของเส้นตดั

ตวั อย่าง จากรปู กาหนดให้ MN // OP จงหาคา่ x

วธิ ีทา N เน่ืองจาก MN // OP
จะไดว้ า่ OAˆB  MBˆA  180
MB
x 10  72  180
72 x  82  180
x  180  82
(x 10) x  98

O AP

ดงั นนั้

มมุ แย้ง AB เสน้ ตดั AB

ux uˆ และ yˆ มมุ แยง้
vy xˆ และ vˆ มมุ แยง้

มุมแย้ง จากรปู จะไดว้ ่า
ตัวอย่าง
AEˆF และ DFˆE เป็นมมุ แยง้
A EB BEˆF และ CFˆE เป็นมมุ แยง้

C FD

มุมแย้ง P จากรปู จะไดว้ ่า
ตัวอย่าง MXˆY และ QYˆX เป็นมมุ แยง้

M Y NXˆY และ PYˆX เป็นมมุ แยง้
X
N Q

มุมแย้ง

ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ จะมขี นาดเท่ากนั

ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตดั เสน้ ตรงคหู่ น่ึง ทาใหม้ ุมแยง้ มขี นาดเทา่ กนั แลว้
เสน้ ตรงคนู่ นั้ จะขนานกนั

มุมแย้ง

ตัวอย่าง จากรปู กาหนดให้ EM // KY จงหาวา่ MEˆA
วธิ ีทา มขี นาดเท่ากบั มมุ ใด เพราะเหตุใด

M B จากรปู จะไดว้ ่า

E MEˆA และ KAˆE เป็นมมุ แยง้
เน่ืองจาก EM // KY

Y AK ดงั นนั้ MEˆA  KAˆE
N

มมุ แย้ง

ตวั อย่าง จากรปู กาหนดให้ CD // BE และ AOˆC  54
จงหาขนาดของ OBˆE

วธิ ีทา E จากรปู จะไดว้ ่า
B
D AOˆC  BOˆC  180
A 54  BOˆC  180
BOˆC  126
54 O
BOˆC และ OBˆE เป็นมมุ แยง้
C

ดงั นนั้ OBˆE  126

ตวั อย่าง จากรปู กาหนดให้ BA// DE ถา้ ABˆC 115 และ

BCˆD 105 จงหาขนาดของ CDˆ E
วธิ ีทา วาด MN ใหข้ นานกบั BA
A จะได้
B NCˆB  ABˆC
NCˆB  115
115 NCˆB  MCˆB  180

N 105 M 115  MCˆB  180
C
MCˆB  65
MCˆB  MCˆD  105

E D 65  MCˆD  105

MCˆD  40  CDˆ E

มมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน 1ˆ, 2ˆ, 7ˆ, 8ˆ มมุ ภายนอก
3ˆ, 4ˆ, 5ˆ, 6ˆ มมุ ภายใน
12
34 มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่
56 ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้
78 ตดั

1ˆ และ 5ˆ 3ˆ และ 7ˆ
2ˆ และ 6ˆ 4ˆ และ 8ˆ

มุมภายนอกกบั มมุ ภายใน

ตัวอย่าง P จากรปู จะไดว้ ่า

M B มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่
AX Y ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้
ตดั AB ไดแ้ ก่
N Q
MXˆA และ PYˆX
NXˆA และ QYˆX
NXˆY และ QYˆB
MXˆY และ PYˆB

มุมภายนอกกบั มมุ ภายใน

ตวั อย่าง M B จากรปู จะไดว้ ่า
E
A มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่
ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้
C FD ตดั MN ไดแ้ ก่
N
AEˆM และ CFˆE
AEˆF และ CFˆN
MEˆB และ DFˆE
BEˆF และ NFˆD

มมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน

ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยู่
ตรงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั จะมขี นาดเทา่ กนั

ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตดั เสน้ ตรงคหู่ น่ึง ทาใหม้ มุ ภายนอกและภายในทอ่ี ยตู่ รง
ขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั มขี นาดเทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ัน้ จะขนานกนั

มุมภายนอกกบั มมุ ภายใน

ตัวอย่าง จากรปู กาหนดให้ CD // EF และมี AB เป็นเสน้ ตดั
วธิ ีทา จงหาวา่ ACˆD มขี นาดเทา่ กบั มมุ ใด

จากรปู จะไดว้ ่า ACˆD และ FBˆC
D F เป็นมมุ ภายนอกและภายในทอ่ี ยตู่ รง

ขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั AB

AC B เน่ืองจาก CD // EF
E ดงั นนั้ ACˆD  FBˆC

ตัวอย่าง จากรปู กาหนดให้ PQ // RS และมี AB เป็นเสน้ ตดั
จงหาคา่ x

วธิ ีทา จากรปู จะไดว้ ่า BPˆQ และ PRˆS
เป็นมมุ ภายนอกและภายในทอ่ี ยตู่ รง

B (2x  3) ขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั AB
เน่ืองจาก PQ // RS จงึ ไดว้ ่า
P
Q BPˆQ  PRˆS

R 65 2x  3  65

A S 2x  62

x  62
2
ดงั นนั้ x  31

ตวั อย่าง จากรปู กาหนดให้ CD // EF ถา้ AXˆD 118 และ

DYˆF  66 จงหาคา่ XYˆD

วธิ ีทา จากรปู จะไดว้ ่า AXˆD และ FYˆX
เป็นมมุ ภายนอกและภายในทอ่ี ยตู่ รง
D F ขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั AB

A 118 66 B เน่ืองจาก CD // EF จงึ ไดว้ ่า

AXˆD  FYˆX

XY นนั่ คอื FYˆX  118

XYˆD  DYˆF  FYˆX

CE XYˆD  66  118

ดงั นนั้ XYˆD  52

A P4 1 เรยี ก พนื้ ทรี่ ะหวา่ ง
32 B เส้นคขู่ นานวา่ “ภายใน”

85 1. เรียกมมุ 2,3,5 และมุม 8 วา่ ......(มมุ ภายใน)
76 2. เรยี กมมุ 1,4,6 และมมุ 7 วา่ .......(มุมภายนอก)
C D 3. เรียกมมุ 2 และมมุ 5 วา่ .... มุมภายในบนขา้ งเดียวกันของเส้น

ตัด
4. เรยี กมุม 3 และมุม 8 ว่า .... มุมภายในบนขา้ งเดียวกนั ของเส้น
Q ตดั

ถา้ เสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ตัด 5. เรยี กมุม 3 และมุม 5 ว่า .... มมุ แยง้
เสน้ ขนานค่หู นงึ่ แลว้ 6. เรียกมุม 2 และมมุ 8 วา่ ..... มมุ แย้ง
7. เรียกมมุ 1 และมมุ 5 วา่ ..... มมุ ภายนอกและมุมภายในบนขา้ ง
เดียวกนั ของเสน้ ตดั
มุมแยง้ จะมขี นาดเทา่ กนั 8. เรียกมมุ 2 และมมุ 6 วา่ ..... มุมภายนอกและมุมภายในบนขา้ ง

เดยี วกนั ของเสน้ ตดั
9. เรียกมุม 4 และมมุ 8 วา่ ....
10. เรยี กมมุ 3 และมมุ 7 วา่ .....

สรุป

1. มมุ ภายในขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั รวมกันได้ 180 องศา
2. มุมแยง้ มีขนาดเท่ากัน
3. มุมภายในและมมุ ภายนอกข้างเดียวกันของเส้นตดั
มีขนาดเท่ากนั

เส้นขนานและรปู สามเหลี่ยม

ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มรวมกนั เทา่ กบั 180 องศา

จะได้ CAˆB  ACˆD
และ ABˆC  BCˆE

D C E ACˆD  BCˆE  BCˆA  180

A B CAˆ B  ABˆC  BCˆA  180

เป้าหมาย จึงได้ว่า
ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สาม
CAˆ B  ABˆC  BCˆA  180 มมุ ของรปู สามเหลี่ยม
รวมกนั เท่ากบั 180 องศา
สรา้ ง DE ผา่ นจุด C
โดยให้ DE // AB

เส้นขนานและรปู สามเหลี่ยม มมุ ภายนอก
มมุ ประชิด ของ ACˆD
A ACˆD
ACˆB

B CD

ถา้ ตอ่ ดา้ นใดดา้ นหน่ึงของรปู สามเหลย่ี มออกไป มุมภายนอกทเ่ี กดิ ขน้ึ จะมี
ขนาดเทา่ กบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมุมภาย
นอกนนั้

A

B CD

เป้าหมาย จะได้

ACˆD  CAˆ B  ABˆC ACˆD  BCˆA  CAˆ B  ABˆC  BCˆA

ACˆD  BCˆA  180 ACˆD  CAˆ B  ABˆC
CAˆ B  ABˆC  BCˆA  180

เส้นขนานและรปู สามเหลี่ยม

ถา้ รปู สามเหลย่ี มสองรปู มมี ุมทม่ี ขี นาดเทา่ กนั สองคู่ และดา้ นคทู่ อ่ี ยตู่ รงขา้ ม
กบั มมุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั ยาวเทา่ กนั หน่ึงคู่ แลว้ รปู สามเหล่ยี มสองรปู นนั้
เทา่ กนั ทุกประการ

A CAˆ B  ABˆC  BCˆA  180

B DC FDˆ E  DEˆF  EFˆD  180

FE
CAˆ B  ABˆC  BCˆA  FDˆ E  DEˆF  EFˆD
เป้าหมาย

 ABC   DEF BCˆA  EFˆD

ตรวจสอบความเทา่ กนั ทกุ ประการ

BCˆA  EFˆD

BC  EF (กาหนดให)้

ABˆC  DEˆF (กาหนดให)้
ดงั นนั้  ABC   DEF (ม.ด.ม.)

ตัวอย่าง จากรปู กาหนดให้ PQ // AD และ AC // BF
จงหาคา่ x และ y

วธิ ีทา QPˆA  PQˆE  QEˆP

 26  30  56

26 D เน่ืองจาก PQ // AD
30 จะได้ CAˆ D  QPˆA
Q เน่ืองจาก
EP จะได้ x  56
x
AC // BF
AC BFˆA  CAˆ D

( y 12)

BF y 12  56
y  68