Buku Ajar SPLDV

Buku Ajar

+ = 6

Q (2, 4)

2 + = 8

Untuk kelas VIII
SMP/MTs/Sederajat

Dinda Hikmatul Afidah
Program Studi Pendidikan Matematika

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia-
Nya sehingga buku ajar ini dapat disusun dengan baik. Buku ajar Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ini akan membantu siswa
belajar materi SPLDV dan penyelesaiannya.

Buku ini berisi tentang konsep SPLDV, cara penyelesaian SPLDV
dengan berbagai metode, serta penggunaan SPLDV dalam menyelesaikan
masalah kehidupan sehari-hari. Beberapa bagian pada buku ajar terdapat
ilustrasi yang menunjang pemahaman siswa, serta dapat meningkatkan
motivasi siswa untuk belajar mandiri. Selain materi, disajikan pula
kompetensi dasar dan tujuan pembelajaran yang harus dicapai siswa.

Semoga buku ajar ini dapat membantu guru dan siswa dalam
proses pembelajaran.

Penulis

i

Daftar Isi

1. Kata Pengantar …………………………………………...... i
2. Daftar Isi …………………………………………………... ii
3. Kompetensi Inti, Kompetensi Dasar, Indikator Pencapaian

Kompetensi ………………………………………………... iii
4. Tujuan Pembelajaran, Peta Konsep dan Kata Kunci …….... iv
5. Apersepsi ………………………………………………….. v
6. Konsep Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) ………… 1
7. Penyelesaian PLDV ……………………………………….. 1
8. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(SPLDV) …………………………………………………... 4
9. Penyelesaian SPLDV

a. Metode Grafik ………………………………………. 4
b. Metode Substitusi …………………………………... 7
c. Metode Eliminasi …………………………………… 9
d. Metode Gabungan …………………………………... 11
10. Daftar Pustaka ……………..……………………………… 14

ii

Kompetensi Inti

KI 3 : Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual,
dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan
kejadian tampak mata.

KI 4 : Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret
(menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan
membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung,
menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5 Menjelaskan sistem 3.5.1 Menuliskan Sistem Persamaan Linear
persamaan linear Dua Variabel (SPLDV) sebagai model
dua variabel dan 3.5.2 matematika dari situasi yang diberikan.
penyelesaiannya 3.5.3
yang dihubungkan 3.5.4 Menentukan penyelesaian SPLDV
dengan masalah dengan metode grafik.
kontekstual.
Menentukan penyelesaian SPLDV
4.5 Menyelesaikan dengan metode substitusi.
masalah yang
berkaitan dengan Menentukan penyelesaian SPLDV
sistem persamaan dengan metode eliminasi.
linear dua variabel.
3.5.5 Menentukan penyelesaian SPLDV
dengan metode gabungan.

4.5.1 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan dengan SPLDV dengan
metode grafik, substitusi, eliminasi, dan
gabungan.

iii

Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan diskusi, tanya jawab, belajar mandiri, dan presentasi,
diharapkan siswa dapat berperan aktif dalam bekerja sama, disiplin,
mandiri, kerja keras, tanggung jawab, menghargai prestasi, serta siswa
dapat:
a. Mengidentifikasi PLDV.
b. Menentukan penyelesaian PLDV.
c. Menuliskan SPLDV sebagai model matematika dari situasi yang

diberikan.
d. Menentukan penyelesaian SPLDV.
e. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan SPLDV.

Peta Konsep

Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel (SPLDV)

Persamaan Linear SPLDV Menyelesaikan
Dua Variabel Masalah
(PLDV) SPLDV

Konsep Penyelesaian Konsep Penyelesaian
PLDV PLDV SPLDV SPLDV

Metode Metode Metode Meode
Grafik Substitusi Eliminasi Gabungan

Kata Kunci o Variabel
o Persamaan linear dua variabel
o Sistem persamaan linear dua

variabel

iv

Apersepsi

Banyak permasalahan di lingkungan kita yang dapat diselesaikan
dengan sistem persamaan linear dua variabel. Terutama permasalahan
dalam jual beli. Misalnya, ayah ingin membeli burger dan kentang
goreng di sebuah restoran cepat saji. Restoran tersebut menawarkan
tiga paket hemat burger dan kentang goreng. Paket tersaji seperti
gambar berikut.

Paket 1 Paket 2 Paket 3

Rp35.000,00 Rp60.000,00 ?

Jika ayah ingin membeli paket 3, bagaimana cara menentukan
harganya? Mula-mula harus diketahui harga sebuah burger dan sebuah
kentang goreng. Untuk dapat menentukannya mari pelajari materi
sistem persamaan linear dua variabel berikut.

v

Sebelum kita belajar
SPLDV, kita mengingat
kembali materi PLDV

yuk…

Konsep Persamaan Linear
Dua Variabel (PLDV)

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan
persamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat variabelnya
satu (linear).

Bentuk umum:

+ = , dengan , , ∈ , dan , ≠ 0

Penyelesaian dari PLDV berupa himpunan penyelesaian, yaitu:

, + = , ∈

Penyelesaian PLDV

Cara menentukan penyelesaian PLDV yaitu dengan
mengganti nilai kedua variabel dengan bilangan-bilangan yang
memenuhi persamaan linear tersebut. Hasilnya berupa pasangan
berurutan nilai variabel (x, y) yang disebut himpunan penyelesaian.

1

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 + = 4 dengan ∈ 0, 1, 2, 3
dan ∈ bilangan bulat!
Penyelesaian:
1) Substitusikan nilai ∈ 0, 1, 2, 3 ke dalam persamaan 2 + = 4

untuk memperoleh nilai .

Untuk = 0 → 2 + = 4 Untuk = 2 → 2 + = 4
2(0) + = 4 2 2 + = 4
0 + = 4 4 + = 4
= 4 = 0

Diperoleh nilai = 4 Diperoleh nilai = 0

Untuk = 1 → 2 + = 4 Untuk = 3 → 2 + = 4
2 1 + = 4 2 3 + = 4
2 + = 4 6 + = 4
= 2 = −2

Diperoleh nilai = 2 Diperoleh nilai = −2

2

2) Nilai x dan y yang diperoleh dapat dituliskan
dalam tabel seperti berikut:

x y (x, y)

04 (0, 4)

12 (1, 2)

20 (2, 0)

3 -2 (3, -2)

3) Menggambar grafik pada koordinat kartesius dengan menghubungkan
titik-titik koordinat yang didapat dari tabel.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2 + = 4 dengan
∈ 0, 1, 2, 3 dan ∈ bilangan bulat adalah = { 0, 4 , (1, 2)
2, 0 , (3, −2)}.

3

Konsep Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan
gabungan dari minimal dua Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV). Dua
persamaan ini memiliki hubungan dan memiliki satu penyelesaian.

Bentuk ቊ + = , dengan , , , , , ∈ , dan , , , ≠ 0
umum: + =

Penyelesaian SPLDV berupa pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi
persamaan tersebut.

Penyelesaian SPLDV

Cara mencari himpunan penyelesaian suatu SPLDV ada empat, yaitu
metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan.

a. Metode Grafik

SPLDV terdiri dari dua PLDV, apabila diwujudkan dalam bentuk
grafik akan membentuk dua buah garis lurus. Penyelesaian SPLDV dengan
metode grafik berupa titik potong (titik persekutuan) antara kedua garis
yang memenuhi kedua persamaan.

4

Langkah-langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode
grafik adalah sebagai berikut:
1) Mencari titik potong persamaan pertama terhadap sumbu X dan

sumbu Y dengan bantuan tabel.
2) Mencari titik potong persamaan kedua terhadap sumbu X dan

sumbu Y dengan bantuan tabel.
3) Menggambar grafik pada koordinat kartesius dan menentukan

titik potong kedua garis.
4) Periksa titik potong kedua grafik dengan menyubstitusikan nilai

ke dalam setiap persamaan.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2 + = 6
dan 2 + 4 = 12!
Penyelesaian:

1) Mencari titik potong persamaan 2 + = 6 x y (x, y)
pada sumbu X dengan memisalkan y = 0, dan
mencari titik potong pada sumbu Y dengan 0 6 (0, 6)
memisalkan x = 0. Kemudian tuliskan ke 3 0 (3, 0)
dalam tabel sebagai berikut:

2) Mencari titik potong persamaan 2 + 4 = 12 x y (x, y)
pada sumbu X dengan memisalkan y = 0, dan
mencari titik potong pada sumbu Y dengan 0 3 (0, 3)
memisalkan x = 0. Kemudian tuliskan ke 6 0 (6, 0)
dalam tabel sebagai berikut:

5

3) Menggambar grafik pada koordinat kartesius dan menentukan
titik potong kedua garis.

a Keterangan:
b : garis a (2 + = 6)
: garis b (2 + 4 = 12)
P (x, y)
Membaca grafik:
o Lihat titik potong kedua garis di titik

P(x, y).
o Kemudian tarik garis tegak lurus ke

sumbu X diperoleh nilai x = 2.
o Lalu tarik garis tegak lurus ke

sumbu Y diperoleh nilai y = 2.

Jadi Berdasarkan grafik di atas titik potong kedua garis adalah
P (2, 2).

4) Memeriksa titik potong kedua grafik.

Substitusi nilai x = 2 dan y = 2 ke dalam persamaan:

2 + = 6

2 2 + 2 =6 (nilai x dan y memenuhi persamaan 2 + = 6)
2 + 4 = 12

2(2) + 4(2) = 12 (nilai x dan y memenuhi persamaan 2 + 4 = 12)

Jadi, himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan 2 + = 6 dan
2 + 4 = 12 adalah = (2, 2) .

6

b. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode penyelesaian SPLDV
menggunakan prinsip aljabar dan tidak membutuhkan gambar. Substitusi
maknanya mengganti, artinya salah satu variabelnya dipisahkan dari
salah satu persamaan, lalu disubstitusikan ke dalam persamaan lainnya.

Langkah-langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode
substitusi adalah sebagai berikut1:

1) Nyatakan persamaan pertama sebagai persamaan (1),
dan persamaan kedua sebagai persamaan (2).

2) Ubah salah satu persamaan yang akan disubstitusikan dalam
bentuk variabel yang lain. Lalu nyatakan persamaan tersebut
sebagai persamaan (3).

3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) atau
persamaan (2).

4) Substitusikan nilai variabel yang didapat dari langkah 3 ke
dalam persamaan (1) atau (2).

5) Diperoleh nilai masing-masing variabel, maka nilai tersebut
merupakan himpunan penyelesaiannya (Kesimpulan).

1 Nuniek Avianti A, Mudah Belajar Matematika 2, (Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional, 2007), hal. 80.

7

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan + 3 = 10

dan 3 + 2 = 16!

Penyelesaian:

1) + 3 = 10 … (1)

3 + 2 = 16 … (2)

2) Ubah persamaan (1) menjadi = −3 + 10 …(3)

3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2).

3 −3 + 10 + 2 = 16

−9 + 30 + 2 = 16

−7 = −14

= 2 Diperoleh nilai = 2

4) Lalu substitusikan nilai = 2 yang diperoleh ke dalam

persamaan (1).

+ 3(2) = 10

+ 6 = 10

= 4 Diperoleh nilai = 4

5) Diperoleh nilai variabel = 4 dan variabel = 2,

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
+ 3 = 10 dan 3 + 2 = 16 adalah = (4,2) .

8

c. Metode Eliminasi

Cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi adalah
menghapus salah satu variabel dengan mengurangkan atau
menjumlahkan kedua persamaan. Sebelumnya koefisien salah satu
variabel harus disamakan terlebih dahulu.

Langkah-langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode
eliminasi adalah sebagai berikut2:

1) Mengeliminasi variabel x, dengan menyamakan kedua
koefisien variabel x lalu kedua persamaan ditambah atau
dikurangkan.

2) Mengeliminasi variabel y, , dengan menyamakan kedua
koefisien variabel y lalu kedua persamaan ditambah atau
dikurangkan

3) Didapatkan nilai masing-masing variabel, maka itulah
himpunan penyelesaiannya (kesimpulan).

2 Dewi Nuharini, dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas
VIII, (Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2008), hal. 105.

9

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3 + 2 = 4
dan 2 − 3 = 7!

Penyelesaian:

1) Eliminasi variabel x, dengan menyamakan koefisien variabel x.
3 + 2 = 4 × 2 → 6 + 4 = 8

2 − 3 = 7 × 3 → 6 − 9 = 21 _

13 = −13 Diperoleh nilai = −1
= −1

2) Eliminasi variabel y, dengan menyamakan koefisien variabel y.
3 + 2 = 4 × 3 → 9 + 6 = 12

2 − 3 = 7 × 2 → 4 − 6 = 21 +

13 = 26 Diperoleh nilai = 2
= 2

3) Diperoleh nilai variabel = 2 dan variabel = −1,

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3 +
2 = 4 dan 2 − 3 = 7 adalah = (2, −1) .

10

d. Metode Gabungan

Metode gabungan merupakan cara menyelesaikan SPLDV
menggunakan dua metode, yaitu metode eliminasi dan substitusi. Metode
gabungan mempunyai dua cara. Pertama, menggunakan metode eliminasi
terlebih dahulu lalu metode substitusi. Kedua, menggunakan metode
substitusi terlebih dahulu lalu metode eliminasi. Kedua cara tersebut
dapat dipilih salah satu mana yang lebih mudah digunakan.

Langkah-langkah mencari himpunan penyelesaian metode
gabungan adalah sebagai berikut:

Cara 1: Cara 2:

1) Eliminasi salah satu 1) Ubah salah satu persamaan yang
variabel. akan disubstitusikan dalam
bentuk variabel yang lain.
2) Substitusikan nilai
variabel yang didapat ke 2) Substitusikan persamaan yang
dalam salah satu telah diubah ke dalam salah satu
persamaan. persamaan untuk menemukan
nilai salah satu variabel.
3) Didapatkan nilai
masing-masing variabel, 3) Eliminasi variabel yang belum
maka itulah himpunan diketahui.
penyelesaiannya.
4) Didapatkan nilai masing-masing
variabel, maka itulah himpunan
penyelesaiannya.

11

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 7 − = 2
dan + 3 = 16!

Penyelesaian:

Cara 1:

1) Eliminasi salah satu variabel. Misalnya variabel y, yaitu dengan

menyamakan koefisien variabel y.
7 − = 2 × 3 → 21 + 3 = 6

+ 3 = 16 × 1 → − 3 = 16 +

22 = 22 Diperoleh nilai = 1
= 1

2) Substitusikan nilai = 1 ke dalam persamaan + 3 = 16.

(1) + 3 = 16

3 = 15 Diperoleh nilai = 5
= 5

3) Diperoleh nilai masing-masing variabel, yaitu = 1dan = 5.

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan 7 − = 2 dan + 3 = 16
adalah = (1, 5) .

12

Penyelesaian:

Cara 2:

1) 7 − = 2 … (1)

+ 3 = 16 … (2)

2) Ubah persamaan (1) menjadi y = 7 − 2 …(3)

3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2).

+ 3(7 − 2) = 16

+ 21 − 6 = 16

22 = 22

= 1 Diperoleh nilai = 1

4) Eliminasi salah satu variabel. Misalnya variabel x, yaitu dengan

menyamakan koefisien variabel x.
7 − = 2 × 1 → 7 − = 2

+ 3 = 16 × 7 → 7 + 21 = 112 −

−22 = −110 Diperoleh nilai = 5
= 5

5) Diperoleh nilai masing-masing variabel, yaitu = 1 dan = 5.

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan 7 − = 2 dan + 3 = 16
adalah = (1, 5) .

13

Daftar Pustaka

Agus, Nuniek Avianti. Mudah Belajar Matematika 2. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 2007.

As’ari, Abdur R., dkk. Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan (Pusat Kurikulum dan Perbukuan). 2017.

Marsigit. Matematika 2 SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira. 2009.
Nuharini, Dewi. dan Tri Wahyuni. Matematika Konsep dan Aplikasinya:

untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional. 2008.

14