KOD DAN NAMA PROGRAM UMT 2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II SEMESTER 2 NO DAN TAJUK 2.0 PENGAMIRAN STANDARD PEMBELAJARAN 2.1 Menggunakan konsep kamiran tak tentu untuk menyelesaikan masalah. 2.2 Menggunakan konsep kamiran tentu untuk menyelesaikan masalah. 2.3 Melaksanakan pengamiran untuk fungsi trigonometri. KRITERIA PENCAPAIAN 2.1.1 Menentukan kamiran melalui proses mencari songsangan kepada pembezaan 2.1.2 Menentukan kamiran axn . 2.1.3 Menentukan kamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra. 2.1.4 Menentukan kamiran dengan menggunakan penggantian bagi ungkapan berbentuk (ax + b)n , dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. 2.1.5 Mencari nilai pemalar c dalam kamiran tak tentu. 2.1.6 Menentukan persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan. 2.2.1 Mencari nilai kamiran tentu bagi ungkapan algebra. 2.2.2 Mencari luas di bawah sesuatu lengkung: terhad kepada satu lengkung. 2.2.3 Mencari isipadu janaan apabila sesuatu lengkung dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y. 2.3.1 Menentukan hasil kamiran bagi fungsi trigonometri yang melibatkan sin dan kos. PROGRAM Muka: 1 drp 22 NAMA PELAJAR NO. KAD PENGENALAN NAMA PENSYARAH TOPIK 2 PENGAMIRAN KERTAS PENERANGAN KOLEJ VOKASIONAL MATANG
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 2 / 22 2.1 Menggunakan konsep kamiran tak tentu untuk menyelesaikan masalah 2.1.1 Menentukan kamiran melalui proses mencari songsangan kepada pembezaan Nota Penting : Contoh : (a) Diberi ( 3 + 5) = 3² , cari ∫ 3² Jawapan : ( 3 + 5) = 3² . Terbitan bagi 3 + 5 ialah 3x². Maka, kamiran bagi 3² ialah 3 + 5. ∫ 3² = ³ + 5 (b) Jika ( 3 + 5 − 1) = 3² + 5, cari∫(3 2 + 5) Jawapan : ( 3 + 5 − 1) = 3 2 + 5 . Terbitan bagi 3 + 5 − 1 ialah 3 2 + 5. Maka, kamiran bagi 3 2 + 5 ialah 3 + 5 − 1. ∫(3 2 + 5) = 3 + 5 − 1 Secara umum, jika [f(x)] = f ‘ (x),maka ∫ ′() = () + Proses mencari kamiran suatu fungsi di kenali sebagai pengamiran. Kamiran yang menghasilkan suatu pemalar pengamiran, c, dikenali sebagai kamiran tak tentu.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 3 / 22 Praktis Kendiri 2.1.1 1. Selesaikan setiap yang berikut: (a) Jika = 4 dan = 4 + 7, cari ∫ 4 . Jawapan : (b) Diberi ( ² +1 − 2)= ²+2 (+1)² , cari ∫ (+2) (+1)² . Jawapan : (c) Jika ( 2 + 3 − 10) = 2 + 3, cari ∫(2 + 3). Jawapan : (d) Diberi () = 5 − 2 + 8, cari ∫ ′ (). Jawapan :
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 4 / 22 2.1.2 Menentukan kamiran . Nota Penting : Contoh: Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 7 Jawapan : ∫ 7 = 7 + (b) ∫ 5 Jawapan : ∫ 5 = 5+1 5+1 + = 6 6 + (c) ∫ 1 3 Jawapan : ∫ −3 = −3+1 −3+1 + = −2 −2 + (d) ∫ 6 2 Jawapan : Tip : Pengamiran axn terhadap x, dengan a ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1 melalui tiga operasi: 1. Indeks bagi x ditambah dengan 1. 2. Sebutan dibahagi dengan indeks baharu. 3. Pemalar c ditambah dengan hasilnya. Diketahui bahawa pengamiran ialah proses songsangan kepada pembezaan. Maka, rumus untuk pengamiran boleh diterbitkan daripada sifat-sifat pembezaan. 1. ∫ = + , dengan a dan c ialah pemalar. 2. ∫ = +1 +1 + , dengan a dan c ialah pemalar, n ialah integer dengan n ≠ –1.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 5 / 22 Praktis Kendiri 2.1.2 1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. (a) ∫ 9 Jawapan : (b) ∫ Jawapan : (c) ∫ 1 2 Jawapan : (d) ∫ 7 Jawapan : (e) ∫ 1.5 Jawapan : (f) ∫ − 3 22 Jawapan : (g) ∫ 4 3 Jawapan: (h) ∫ 6 4 Jawapan:
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 6 / 22 2.1.3 Menentukan kamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra. Nota Penting : Contoh : Tentukan kamiran bagi setiap yang berikut. (a) ∫( 3 + 2 − 1) Jawapan : ∫( 3 + 2 − 1) = 4 4 + 2 2 2 − 1 + = 1 4 4 + 2 − + (b) ∫( + 1)( − 3) Jawapan : ∫( + 1)( − 3) = ∫( 2 − 2 − 3) = 3 3 − 2 2 2 − 3 + = 1 3 3 − 2 − 3 + (c) ∫ 4+1 2 Jawapan : ∫ 4+1 2 = ∫( 4 2 + 1 2 ) = ∫( 2 + −2 ) = 3 3 + −1 −1 + = 1 3 3 − 1 + (d) ∫ 2 −9 −3 Jawapan : ∫ 2 −9 −3 = ∫ (−3)(+3) (−3) =∫( + 3) = 1 2 2 + 3 + Praktis Kendiri 2.1.3 Setiap sebutan dalam ungkapan algebra dikamirkan satu demi satu dengan mengikut petua berikut : ∫[() ± ()] = ∫ () ± ∫ ().
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 7 / 22 1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. 1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. (a) ∫ ( 4 + 9) Jawapan : 2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. (a) 25− 2 +5 Jawapan : (b) ∫( 3 − 2 + 5) Jawapan : (b) 3−2 2 Jawapan : (c) ∫( + 1)( 2 + 1) Jawapan : (c) 6 − 7 2 Jawapan :
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 8 / 22 3. Diberi ∫ + 3 = + + , dengan p, q, n dan c ialah pemalar, cari nilai p, nilai q dan nilai n. Jawapan : 2.1.4 Menentukan kamiran dengan menggunakan penggantian bagi ungkapan berbentuk ( + ) , dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. Nota Penting : Contoh: 1. Cari kamiran bagi setiap yang berikut dengan kaedah penggantian. (a) ∫(2 + 7) 7 Jawapan: Katakan u = 2x + 7 Maka, = 2 atau 1 2 du = dx ∫(2 + 7) 7 = ∫ 7 ( 1 2 ) = 8 8 ( 1 2 ) + = 1 16 8 + = 1 16 (2 + 7) 8 + (b) ∫ 1 (2+7) 2 dx Jawapan: Katakan u = 2x + 7, Maka, = 2 atau 1 2 du = dx ∫ 1 (2+7) 2 dx =∫(2 + 7) −2 =∫ −2 ( 1 2 ) = −1 −1 ( 1 2 ) + = − 1 2 + = − 1 2(2+7) + Info : Pengamiran bagi ungkapan ( + ) , boleh diselesaikan dengan dua cara: • Kaedah penggantian dengan menggunakan gantian = + . • Kaedah rumus dengan menggunakan rumus∫( + ) = (+) + (+) Rumus : ∫( + ) = ( + ) +1 ( + 1) +
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 9 / 22 2. Cari kamiran bagi setiap yang berikut dengan menggunakan rumus. (a) ∫(3 − 4) 8 Jawapan : ∫(3 − 4) 8 = (3−4) 8+1 3(8+1) + = 1 27 (3 − 4) 9 + (b) ∫ 5(4 − 3) 6 dx Jawapan : ∫ 5(4 − 3) 6 dx = 5∫(4 − 3) 6 = 5(4−3) 6+1 (−3)(6+1) + = − 5 21 (4 − 3) 7 + Praktis Kendiri 2.1.4 1. Selesaikan setiap yang berikut: 1. Cari kamiran bagi setiap yang berikut. (a) (7 + 1) 3 Jawapan: (b) ∫ 25(2 − 5) 9 Jawapan: (c) ∫ 1 (3+1) 4 Jawapan : 2. Diberi∫( + 2) = 1 15 ( + 2) 5 + , dengan m, n dan c ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai n. Jawapan :
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 10 / 22 2.1.5 Mencari nilai pemalar c dalam kamiran tak tentu. Nota Penting : Contoh: Jika = 4 + 3 dan y = 6 apabila x = 1, cari nilai y apabila x = 2. Jawapan : = ∫(4 + 3) = 2 2 + 3 + Apabila x = 1 dan y = 6, 6 = 2(1 2 ) + 3(1) + 6 = 5 + 1 = = 1 Maka, = 2 2 + 3 + 1 Apabila x = 2, = 2(2 2 ) + 3(2) + 1 = 15 Praktis Kendiri 2.1.5 1. Selesaikan setiap yang berikut: (a) Jika = 3 2 dan = 6 apabila = 1, tentukan nilai bagi pemalar c. Jawapan : Kamiran tak tentu melibatkan satu pemalar bagi pengamiran, c. Jika nilai yang sepadan bagi x dan y atau f(x) diberi, maka nilai c boleh di tentukan.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 11 / 22 (b) Diberi = 4 + 3 dan = −3 apabila = −1. Cari nilai-nilai x apabila = 0. Jawapan : (c) Jika ′ () = 3 2 − 4 dan (2) = 0, tunjukkan bahawa () = 3 − 4 . Seterusnya, cari nilai-nilai x apabila () = 0. Jawapan : (d) Jika = 4 dan = 3 apabila = 2, ungkapkan A dalam sebutan . Seterusnya, cari nilai A apabila = 3. Jawapan : (e) Diberi = + 5 dan = 1 apabila = 4, cari nilai y apabila = −2.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 12 / 22 2.1.6 Menentukan persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan. Nota Penting : Contoh: Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan = 2x + 8 dx dy dan melalui titik (2,3). Jawapan: 17 3 2 8(2) Pada titik (2,3): 8 8 2 2 2 8 2 2 2 = − = + + = + + = + + = + c c y x x c x c x y y x dx Maka, persamaan lengkung ialah = 2 + 8 − 17. Praktis Kendiri 2.1.6 1. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (3,0) dan mempunyai fungsi kecerunan 2 − 6. Persamaan lengkung dapat ditentukan jika diberi fungsi kecerunan, dx dy dengan menggunakan proses pengamiran. Jika g(x) dx dy = , maka persamaan lengkung ialah y = g(x) dx . Tips: 1. Kamirkan fungsi kecerunan 2. Gantikan nilai koordinat dalam persamaan untuk cari nilai c. 3. Tuliskan semula persamaan y dengan gantian nilai c.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 13 / 22 2. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (1,8) dan mempunyai fungsi kecerunan 3 2 2 + x 3. Diberi kecerunan suatu lengkung 4 ( 1) 2 = x x + dx dy dan melalui titik (1,2). Cari persamaan lengkung itu. 4. Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan 2 (2 3) 1 '( ) − = x f x dan melalui titik (2,4). 5. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (2, 5 8 ) dan mempunyai fungsi kecerunan 3(5 − 2) 3 .
2.2 Menggunakan konsep kamiran tentu untuk menyelesaikan masalah. 2.2.1 Mencari nilai kamiran tentu bagi ungkapan algebra = − b a f (x)dx f (b) f (a) Contoh: Cari nilai bagi setiap yang berikut. i. 4 2 4 dx Penyelesaian : = 4 2 4 4 4 2 dx x 8 4(4) 4(2) = = − ii. 2 1 2 x dx Penyelesaian : = 2 1 2 1 3 2 3 x x dx 3 7 3 1 3 2 3 3 = = − iii. (x ) dx + 2 0 1 Penyelesaian : 2 0 2 2 0 2 1 + = + x x (x ) dx 4 2 0 0 2 2 2 = − + = + iv. − − 2 1 (4x x ) dx 2 Penyelesaian : 2 1 3 2 2 1 2 3 (4 ) 2 − − − = − x x x dx x 3 3 1 2 3 8 8 3 1 2 1) 3 2 2 (2) 3 2 3 2 = − + = − − − − − = − ( ) ( v. dx x x x − − 1 + 2 3 4 5 Penyelesaian : 1 2 9 2 11 2 5 5 2 2 1 ( 2) 5 2 ( 2) ( 1) 5 2 ( 1) 5 2 ( 5 ) 5 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 4 = = − − + = + − − − − − − − = = − = + + − − − − − − − x x dx x x dx x x x
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 15 / 22 Praktis Kendiri 2.2.1 1. Nilaikan kamiran tentu berikut : i. 4 2 5 dx ii. − 2 1 3 4x dx iii. − 2 1 2 (2x 3x) dx iv. − + 4 2 (1 3t)(1 2t) dt v. − 3 0 dx x 3 3 2 2.2.2 Mencari luas di bawah sesuatu lengkung: terhad kepada satu lengkung. i. Dibatasi oleh paksi-x ii. Dibatasi oleh paksi-y a b x y y =f(x) Luas rantau berlorek, L = c d x y Luas rantau berlorek, L = 0 y =f(x) 0
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 16 / 22 Contoh: (a) Kirakan luas rantau berlorek yang berikut : (b) Kirakan luas rantau yang berikut : Penyelesaian : 1 1 2 2 = + = − x y y x Luas rantau berlorek, L = 4 2 x dy = + 4 2 2 ( y 1) dy 3 62 3 14 3 76 2 3 2 4 3 4 3 3 3 4 2 3 = = − − + = + = + y y 2 4 x y 0 2 5 x y Penyelesaian : Luas rantau berlorek, L = 0
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 17 / 22 Praktis Kendiri 2.2.2 1. Cari luas rantau yang berlorek: 2. Hitungkan luas kawasan berlorek: 3. Cari luas rantau yang berlorek: (a) (b) 3 5 x y 0 3 4 x y 0
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 18 / 22 2.2.3 Mencari isipadu janaan apabila sesuatu lengkung dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y. (a) Isipadu yang dijana pada paksi-x Isipadu janaan bagi sesuatu pepejal dimana rantaunya dilitupi oleh lengkung = (), paksi-x, garisan x=a dan garisan x=b, dikisarkan 360° pada paksi-x diberi sebagai: (b) Isipadu yang dijana pada paksi-y Isipadu janaan bagi sesuatu pepejal dimana rantaunya dilitupi oleh lengkung = (), paksi-y, garisan y=c dan garisan y=d, dikisarkan 360° pada paksi-y diberi sebagai: = b a x V y dx 2 = d c Vy x dy 2
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 19 / 22 Contoh 1: Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi x y x 2 = + dibatasi oleh = 1 dan = 4 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. Penyelesaian: 4 1 3 4 1 2 2 2 4 1 4 1 2 4 4 3 4 4 2 = + − = + + = + = x x x dx x x dx x x V y dx x 36 3 1 3 109 4 4 3 1 16 1 3 64 1 4 4(1) 3 1 4 4 4(4) 3 4 3 3 = = − − + − = + − − + − = + − Contoh 2: Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi 2 x = ( y − 3) dibatasi oleh = 0 dan = 3 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. Penyelesaian: 5 243 5 243 0 5(1) ( 3) ( 3) 3 0 5 3 0 4 3 0 2 = = − − − = = − = y y dx V x dy y
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 20 / 22 Praktis Kendiri 2.2.3 1. Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi y = x(x + 2) dibatasi oleh = −2 dan = 1 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. 2. Cari isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi y x 3x 2 = − dibatasi oleh = 0 dan = 2 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. 3. Cari isipadu pepejal yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi = 9 − 2 dibatasi oleh = 0 dan = 9 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 21 / 22 2.3 Melaksanakan pengamiran untuk fungsi trigonometri 2.3.1 Menentukan hasil kamiran bagi fungsi trigonometri yang melibatkan sin dan kos. Rumus : = + = − + x dx x c x dx x c kos sin sin kos Contoh: Nyatakan hasil kamiran setiap fungsi yang berikut: i. 4 sin x dx = 4 sin x dx = 4(−kos x) + c = −4kos x + c ii. −5 kos x dx = −5 kos x dx = −5sin x + c Praktis Kendiri 2.3.1 1. Nyatakan hasil kamiran setiap fungsi yang berikut: i. 5sin x dx ii. − 3kos x dx iii. 4 sin x dx iv. kos x dx 2 1
UMT2122 MATEMATIK TEKNOLOGI II TOPIK 2 PENGAMIRAN | KERTAS PENERANGAN 22 / 22 v. 0.3kos x dx vi. − sin x dx 2 1