Bahan Ajar Geometri Transformasi

TRANSFORMASI GEOMETRI

ROTASI

By :

Nasirotul Fauziah, S.Pd

XI

MATEMATIKA

Kata Pengantar

Assalamu’alaikum Wr. Wb
Alhamdulillahirobbil‘alamin, puji syukur ke hadirat Allah

SWT yang telah memberikan segala rahmat, hidayat, dan
nikmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan
ajar ini. Shalawat serta salam penulis haturkan kepada Nabi
junjungan, Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat dan
pengikutnya hingga akhir zaman. Buku ajar ini disusun
untuk memenuhi salah satu tugas Program Profesi Guru
dalam jabatan Kategori II.

Semoga bahan ini dapat bermanfaat, baik bagi pembaca
maupun diri pribadi penulis dan dapat menjadi sumbangan
bagi perkembangan ilmu pendidikan. Semoga ilmu yang di
dapat dari bahan ajar ini dapat bermanfaat dalam
kehidupan dunia dan akhirat.
Aamiin.

Wassalamualaikum wr wb
Serang,

September 2022

1

Daftar Isi

1.Kata Pengantar ................................................................. 1
2.Daftar Isi ............................................................................ 2
3.Pendahuluan ..................................................................... 3
A. Deskripsi ....................................................................... 4
B. Prasyarat ....................................................................... 4
C. Petunjuk Penggunaan Modul ..................................... 4
D. Capaian Pembelajaran ................................................ 5
4. Rotasi ................................................................................. 6
A. Definisi Rotasi ............................................................... 6
B. Rotasi dengan Pusat O(0,0) ......................................... 7
C. Rotasi dengan Pusat P(a,b) .......................................... 9
5. Penutup ............................................................................. 13
A. Rangkuman ................................................................... 13
B. Tes Formatif .................................................................. 14
6. Daftar Referensi ............................................................... 16

2

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari pusat perputaran
suatu objek, konsep searah dan berlawanan arah jarum
jam, konsep rotasi berdasarkan syaratnya, bayangan hasil
rotasi dan permasalahan yang berkaitan dengan rotasi.

B. Prasyarat

Sebelum mempelajari modul ini, peserta didik diharapkan
sudah memahami konsep matriks dan nilai sudut-sudut
istimewa.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1.Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena
materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk
mempelajari materi berikutnya.

2.Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah
semua soal latihannya

3.Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda
pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada
saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang
berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca
referensi lain Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan

3

C. Capaian Pembelajaran

Kompetensi Dasar

3.5 Menganalisis dan membandingkan
transformasi dan komposisi transformasi
dengan menggunakan matriks
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan matriks transformasi geometri
(translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi)

Indikator
Menentukan pusat perputaran suatu objek
Menghubungkan konsep searah jarum jam dan
berlawanan jarum jam
Menemukan konsep rotasi berdasarkan syaratnya
Menentukan bayangan hasil rotasi suatu titik pada
pusat O(0,0) dan P(a,b)
Memecahkan permasalahan yang berkaitan
dengan rotasi suatu titik pada pusat O(0,0) dan
P(a,b)

4

ROTASI

A. Definisi Rotasi

Pada modul ini, Anda akan mempelajari salah satu bentuk
transformasi geometri yaitu Rotasi atau perputaran.
Transformasi geometri Rotasi sangat erat kaitannya dalam
kehidupan sehari-hari.

Pergerakan kincir ria atau yang
sering kita sebut biang lala
merupakan salah satu contoh yang
menerapkan konsep transformasi
geometri rotasi

Pergerakan putaran roda sepeda
juga merupakan penerapan dari
konsep transformasi geometri
rotasi

Pergerakan jarum jam juga
merupakan salah satu penerapan
dari konsep transformasi geometri

Ayo Berpikir

Coba Anda sebutkan contoh penerapan
transformasi geometri rotasi lainnya!

5

Contoh-contoh di atas bergerak memutar baik searah maupun
berlawanan arah jarum jam. Dalam matematika, proses
perputaran tersebut termasuk dalam rotasi. Dengan demikian,

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik
dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh α
terhadap suatu titik tertentu sebagai pusatnya.

Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :
• Titik pusat rotasi
• Besar sudut rotasi
• Arah sudut rotasi

Gambar disamping menunjukkan titik P diputar pada pusat
putar O(0,0) dengan besar sudut putar tertentu.

Jika titik P diputar pada pusat putar
O(0,0) dengan arah berlawanan
arah jarum jam, arah putarnya
disebut arah positif. Pada gambar
ditandai dengan besar sudut putar
+270°, dengan notasi pemetaan :

Jika titik P diputar pada pusat putar O(0,0) dengan arah
putar searah dengan jarum jam, arah putarnya disebut
arah negatif. Pada gambar ditandai dengan besar sudut
putar -90°, dengan notasi pemetaan :

6

Rotasi dinotasikan dengan ( , ) dimana P merupakan pusat
rotasi dan besar sudut rotasi. Sifat rotasi adalah bangun yang
diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan
ukuran.

B. Rotasi dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan terdapat sebuah titik
A(x,y) akan dirotasikan sebesar α
dengan pusat O(0,0) dan akan
menghasilkan titik A'(x',y') dan
dapat dituliskan sebagai berikut.

Titik (x,y) dirotasikan sebesar α terhadap titik pusat O(0,0)
menghasilkan bayangan titik (x',y') dengan aturan :

Dengan bentuk aljabar :

Contoh Soal

Tentukan bayangan titik (5,2) oleh rotasi
a. R(90°)
b. R(-90°)
c. R(180°)

7

Penyelesaian :

8

C. Rotasi dengan Pusat P(a,b)

Perhatikan gambar di bawah ini
Misalkan terdapat sebuah titik
A(x,y) akan dirotasikan sebesar α
dengan pusat P(a,b) dan akan
menghasilkan titik A'(x',y') dan
dapat dituliskan sebagai berikut

9

Titik (x,y) dirotasikan sebesar α terhadap titik pusat P(a,b)
menghasilkan bayangan titik (x',y') dengan aturan :

Bentuk aljabar

Contoh Soal

Tentukan bayangan titik A(8,1) jika dirotasikan:
a. Berlawanan arah jarum jam sebesar 90° dengan pusat P(2,3)
b. Searah jarum jam sebesar 180° dengan pusat P(1,-2)

Penyelesaian

10

11

Forum Diskusi

Dengan menggunakan Aplikasi Geogebra tunjukkan bahwa
garis yang melalui titik A(-4,6) dan B(2,-6) akan tegak lurus
dengan bayangannya jika dirotsikan pada pusat P(0,-2)
dengan sudut rotasi 90° searah jarum jam.

12

PENUTUP

A. Rangkuman

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik
dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh α terhadap
suatu titik tertentu sebagai pusatnya.
Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :

Titik pusat rotasi
Besar sudut rotasi
Arah sudut rotasi
Suatu titik atau kurva dirotasikan pada pusat O(0,0) dengan
sudut Rotasi α

Bentuk Pemetaan :

Bentuk Matriks :

Bentuk Aljabar :

Suatu titik atau kurva dirotasikan pada pusat P(a,b) dengan
sudut Rotasi α

Bentuk Pemetaan :

Bentuk Matriks :

Bentuk Aljabar :

13

B. Tes Formatif

Untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep Anda
terhadap rotasi, kerjakan soal Latihan berikut!

1.Tititk A(-2,3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat
(0,0). Hasil rotasi titik A adalah …

2. Titik B(6,3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik
pusat (2,4). Hasil rotasi titik B adalah …

3. Titik P dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (2,1)
menghasilkan bayangan P'(-2,4). Koordinat titik P adalah …

4. Titik C dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (2,3)
menghasilkan bayangan C'(4,-1). Koordinat titik C adalah …

5. Bayangan titik (4,-5) oleh rotasi R[P,90°] adalah (10,5). Titik
pusat rotasi tersebut adalah …

6. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(3,2),
Q(4,-1) dan R(5,3). Segitiga PQR diputar sebesar 180°
terhadap titik pusat (0,0) diperoleh bayangan segitiga
P'Q'R'. Koordinat P',Q' dan R' adalah …

7. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A(-3,2),
B(2,4) dan C(-1,-1). Segitiga ABC diputar sebesar -π
terhadap titik pusat (5,1) diperoleh bayangan segitiga A' B'
C'. Koordinat A',B' dan C' berturut-turut adalah …

8.Tandailah titik-titik A(1,-4) dan B(-3,4) pada koordinat
Cartesius. Garis yang melalui AB diputar pada titik R(0,-2)
dengan sudut putar θ, ke petanya A'B'.

14

Tentukan koordinat A'B' dan persamaan garis yang melalui
A'B', apabila sudut putar :
a . -90°
b. 90°
c. 180°
9. Perhatikan gambar berikut !

Gambar tersebut menunjukkan ∆ABC dipetakan ke
bayangannya ∆A'B'C' oleh suatu rotasi 180° pada titik
T(-1,-2). Koordinat A(1,2), B(3,0) dan C(1,-2).
a. Tentukan koordinat-koordinat titik A', B' dan C'.
b. Nyatakan suatu transformasi lain yang setara dengan

rotasi pada T.

10. Gambar di samping menunjukkan
garis AB dipetakan ke bayangannya
A'B' oleh suatu rotasi pada titik H.
Diberikan A(2,3), B(6,6), A' (8,4) dan
B'(4,1).
a. Tentukan koordinat pusat rotasi titik H
b. Tentukan besar sudut rotasi dan arah rotasi

15

DAFTAR REFERENSI

Kemendikbud RI. 2017. Buku Siswa Matematika Wajib
Kelas XI. Edisi revisi 2017. Jakarta
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika untuk SMA Kelas XI
Kelompok Wajib, Jakarta: Erlangga

16