การออกแบบลายคณิตศิลป์เส้นด้ายโดยโปรแกรม GSP

“สารบัญ”




เรื่อง หน้า


มารู้จักกับคณิตศิลป์เส้นด้ายกันเถอะ 1

รูปเรขาคณิต 2
จุด 3

เส้นตรง 5

เส้นโค้ง 7
เอนวิโลป 9

ระนาบ 10

การแปลงทางเรขาคณิต 12

การเลื่อนขนาน 15
การสะท้อน 17

การหมุน 19

มุม 21
มุมฉาก 22

มุมแหลม 23


หน้า ก

“สารบัญ” (ต่อ)




เรื่อง หน้า


มุมป้าน 24

มารู้จักกับโปรแกรม GSP กันเถอะ 25
ท าไมถึงต้องใช้โปรแกรม GSP ในการ 26

ออกแบบลวดลายคณิตศิลป์กับเส้นด้าย

พื้นฐานการใช้โปรแกรม GSP 27
การสร้างลวดลายพื้นฐาน 28

การสร้างลวดลายประยุกต ์ 31

การน าลวดลายที่สร้างไปใช้จริง 32

อ้างอิง 33















หน้า ข

สารบัญ
มารู้จักกับ

“คณิตศิลป์เส้นด้าย”


กันเถอะ



คณิตศิลป์ คือ การผสมผสานกันระหว่างศาสตร์ 2

แขนง นั่นก็คือ คณิตศาสตร์ และ ศิลปะ นั่นเอง งานคณิต

ศิลป์เป็นการเอาเส้นตรงมาท าให้เกิดเป็นรูปร่างและรูปทรง
ต่าง ๆ ขึ้นมา พูดง่าย ๆ ว่าเป็นการสร้างรูปภาพต่าง ๆ

ขึ้นมาจากรูปทรงทางเรขาคณิต แทนที่จะใช้ การขีดเส้นก็

เปลี่ยนมาเป็นการปักเส้นด้ายเป็นเส้นตรงไปตามจุดต่าง ๆ
ที่ก าหนดไว้ ปักซ้อนทับ ผสมผสานกันระหว่างรูปทรงต่าง ๆ

จนขึ้นเป็นภาพ
















หน้า 1

สารบัญ
“รูปเรขาคณิต”
















ในการสร้างงานคณิตศิลป์เส้นด้าย เราจะใช้รูปทาง

เรขาคณิตมาประกอบกัน จนเกิดเป็นรูปร่างที่สวยงาม

ดังนั้นเราควรมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตก่อน



รูปเรขาคณิตสองมิติ คือรูปที่เห็นเป็นสองมิติ

ประกอบไปด้วย
1. จุด

2. เส้นตรง

3. เส้นโค้ง
4. ระนาบ





หน้า 2

สารบัญ
“จุด”




ในทางคณิตศาสตร์มี

่
คาบางคาทใชเป็นพื้นฐานใน
้
ี่
่
การสื่อความหมาย โดยไม่
ิ
ต้องให้นยาม คาเหล่านเป็นคา
ี้


อนิยาม และในทางเรขาคณิต
ถือว่า จุด เป็น “ค าอนิยาม”




ิ
ี่
จุด เป็นแนวความคดทใช ้
ก าหนดต าแหนงที่แนนอนในปริภูมิ
่
่
ี่
ซึ่งจุดนนไม่มีปริมาตร พื้นท หรือ
ั้
ความยาว จุดเป็นสิ่งที่ไร้ขนาดและ
ี
ทิศทาง แต่การเขยนจุด จ าเป็นต้อง
ี
เขยนแทนด้วยวงกลมทึบขนาดเล็ก
ิ
่
(หรือเทาปลายดนสอ) เพื่อแสดงให้
เห็นว่ามีจุดอยู่ ณ ต าแหน่งนั้น ๆอยู่

หน้า 3

สารบัญ
“จุด”(ต่อ)



จุด ใช้เพื่อแสดง

ต าแหน่ง สัญลักษณ์ที่ใช้คือ เช่น
. และเขียนตัวอักษรก ากับ . A แทน จุด A

ไว้เพื่อต้องการระบุชื่อจุด



P A B
O C



N D


M E

L F


K
G
J I H


์
ิ
ในงานคณตศิลปเส้นด้ายนั้นก็มีจุดจ านวนมากที ่
ใช้ส าหรับโยงเส้นด้ายเช่นกัน

หน้า 4

สารบัญ
“เส้นตรง”




เส้นตรง คือ เส้นที่มีความยาวไม่จ ากัด
สามารถต่อความยาวออกไปได้อีกโดยไม่มีที่สิ้นสุด










เส้นตรง AB เขียนแทนด้วย



ส่วนของเส้นตรง คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงท ี่

เชื่อมระหว่างจุดปลายสองจุด ซึ่งมีความยาวจ ากัด
และมีต าแหน่งของจุดทุกจุดบนเส้นตรงนั้น










ส่วนของเส้นตรง AB เขียนแทนด้วย





หน้า 5

สารบัญ

“เส้นตรง” (ต่อ)



A
C

D

F








E



B


ิ
์
เราจะเห็นว่าในงานคณตศิลปเส้นด้ายนั้นจะมี
ส่วนของเส้นตรงเปนจ านวนมากเช่นกัน นันก็คอเส้นด้าย
ื
่
็
ทีโยงระหว่างจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่ง
่






หน้า 6

สารบัญ
“เส้นโค้ง”



เส้นโค้ง หมายถึงจุดทุกจุดที่ต่อเนื่องกันเป็นเส้นโดย
ไม่มีการขาดตอน เป็นวัตถุหนึ่งมิติ มีรูปร่างอย่างไรก็ได้ เส้น

โค้งแบ่งได้เป็นสองประเภทได้แก่





















เส้นโค้งเปิด คือเส้นโค้งที่ไม่ เส้นโค้งปิด คือเส้นโค้งที่

มีจุดจบหรือไม่บรรจบกัน บรรจบกันเป็นรูปปิดหรือ
ลากทับรอยเดิมเป็นวงวน









หน้า 7

สารบัญ
“เส้นโค้ง” (ต่อ)


























ในงานคณิตศิลป์เส้นด้ายนั้นเราจะเห็นส่วนโค้งเป็น
ส่วนประกอบดังรูปด้านบน ซึ่งส่วนโค้งเหล่านี้เราจะเรียกว่า

“เอนวิโลป” ซึ่งจะกล่าวถึงในหน้าต่อไป



สาระน่ารู้

ทุกวันนี้เราให้ความหมายว่า "เส้นตรง" ไม่ได้เป็นเส้น
โค้ง แต่ในทางคณิตศาสตร์ ทั้งเส้นตรงและส่วนของเส้นตรงก็

คือเส้นโค้งที่ไม่มีความโค้งนั่นเอง

หน้า 8

สารบัญ
เอนวิโลป (Envelope)



















เอนวิโลป หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “เส้นโค้งที่เกิด

จากเส้นตรง” ถ้าลากเส้นตรงเป็นจ านวนมาก ๆ ค่อย ๆ
เปลี่ยนทิศทางไปตามกฎเกณฑ์ที่ก าหนดไว้ เส้นตรง

เหล่านั้นจะตัดกับเส้นตรง ที่อยู่ข้างเคียงกัน และจะมีเส้น

โค้งเส้นหนึ่งเกิดขึ้น



ซึ่งจะสัมผัสชุดของเส้น
ตรงที่ได้เขียนไว้แต่แรกทุกเส้น

ยิ่งเขียนเส้นตรงให้มากขึ้นก็จะ

แลเห็นเส้นโค้งชัดเจนยิ่งขึ้น


หน้า 9

สารบัญ
“ระนาบ”


ระนาบหมายถงพื้นท ี่
ึ
ี่
ผิวแบนและเรียบทแผ่ขยาย
ออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ส่วน

ของพื้นที่ผิวที่เราเห็นขอบเขต
ได้จึงเป็น “ส่วนของระนาบ”

ั้
่
เทานน การก าหนดระนาบ
จะตองใชจุดอย่างนอย 3 จุด
้
้
้
้
และทง 3 จุดนนจะตองไม่อยู่
ั้
ั้
ร่วมเส้นตรงเดียวกัน
ระนาบเกิดจาก
แนวเส้นที่ต่อเนื่องกัน ปิด

ล้อมพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งท า

ให้เกิดรูปร่าง (Shape)
หรือกลุ่มของจุดและเส้นซึ่ง

เรามองผ่านไปแล้วเกิด

ลักษณะของระนาบ

หน้า 10

สารบัญ
“ระนาบ” (ต่อ)




งานคณิตศิลป์เส้นด้ายก็มีแนวแนวเส้นที่ต่อเนื่องกัน

ปิดล้อมพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งท า ให้เกิดรูปร่าง (Shape) หรือ

กลุ่มของจุดและเส้นซึ่งเรามองผ่านไปแล้วเกิดลักษณะของ
ระนาบเช่นกัน

































หน้า 11

สารบัญ
“การแปลงทางเรขาคณิต”
















การแปลงทางเรขาคณิต เป็นเรื่องที่เกี่ยวกับการ

ย้ายวัตถุจากต าแหน่งหนึ่งไปยังอีกต าแหน่งหนึ่ง โดยอาจมี

การเปลี่ยนแปลงขนาด รูปร่าง หรือต าแหน่ง ให้ต่างไปจาก
เดิมหรือไม่ก็ได ้



สิ่งส าคัญของการ

แปลงคือ จุดทุกจุดของวัตถุท ี่
อยู่ที่เดิม (หรือขนาดเดิม)

จะต้องมีการส่งไปยังวัตถุท ี่

ต าแหน่งใหม่ (หรือขนาดใหม่)
ทุกจุด จุดต่อจุด



หน้า 12

สารบัญ
“การแปลงทางเรขาคณิต”(ต่อ)




ตัวอย่างของการแปลงที่เราเคยพบเช่น รถยนต ์

ซึ่งเดิมอยู่บนทางลาดย้ายเข้าไปจอดในช่องจอดรถ


























็
็
การหมุนของเขมยาวของนาฬิกา จากปลายเขม
ยาวชี้ทีตัวเลข 12 ไปชี้ทีตัวเลข 6
่
่





หน้า 13

สารบัญ
“การแปลงทางเรขาคณิต”(ต่อ)



การแปลงทางเรขาคณตทีเปนพื้นฐานมีทั้งหมด 4
็
ิ
่
แบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน การหมุน และการ
์
ย่อ / ขยาย แต่ในการสร้างงานคณตศิลปเส้นด้ายนั้น เรา
ิ
จะมีการหลัก ๆ ทั้งหมดสามแบบคือ
1. การเลื่อนขนาน

2. การสะท้อน

3. การหมุน

























หน้า 14

สารบัญ
“การเลื่อนขนาน”
















ื
ุ
ี่
ึ่
การเลื่อนขนาน คอ การแปลงแบบหนงทจุดทก
ิ
ี
้
จุดของรูปตนแบบเคลื่อนไปในทศทางเดยวกันเป็น
้
ระยะทางเท่า ๆ กัน จุดแต่ละจุดบนรูปทไดจากการเลื่อน
ี่
ี่
ขนานระยะห่างจากจุดทสมนยกันบนรูปตนแบบเป็น
้
ั
ึ่
ระยะทางเท่ากันการเลื่อนใน ลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนง
ว่า “สไลด์ (Slide)”











หน้า 15

สารบัญ
“การเลื่อนขนาน” (ต่อ)




การสร้างสรรค์งานคณิต

ศิลป์เส้นด้ายก็มักจะมีการใช้การ

เลื่อนขนานให้เห็นกันอยู่บ่อย ๆ
เหมือนกัน นั่นคือ การเคลื่อนจุด

ทุกจุดของรูปต้นแบบเคลื่อนไป

ในทิศทางเดียวกันเป็นระยะทาง
เท่า ๆ กัน โดยท าซ้ ากันหลาย ๆ

ครั้ง ในหลาย ๆ ทิศทาง จนเกิด

เป็นรูปภาพที่สวยงาม



















หน้า 16

สารบัญ
“การสะท้อน”




การสะทอน เป็น การแปลงทจุดทกจุดของรูป
้
ุ
ี่
ึ่
้
ี่
ตนแบบเคลื่อนทขามเส้นตรงเส้นหนง ซึ่งเปรียบเสมือน
้
กระจกหรือเรียกว่าเส้นสะท้อน โดยที่เส้นนจะแบ่งครึ่ง
ี้
และตงฉากกับส่วนของเส้นตรงทเชอมระหว่างจุดแตละ
่
ั้
ื่
ี่
จุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน
การสะทอน
้
เปรียบเสมือนภาพ
ของวัตถทวางไว้
ี่
ุ
หนากระจกและใน
้
กระจก
















หน้า 17

สารบัญ
“การสะท้อน” (ต่อ)




เส้นสะท้อน
ิ
งานของคณิตศลป์
้
เ ส้ น ด า ย มั ก จ ะ มี ก า ร
ออกแบบลวดลายโดยใช ้
้
หลักการสะทอนให้เห็นอยู่
ี่
บ่อย ๆ เพื่อสร้างรูปทมี

ความสมมาตรกัน ทาให้
ี่
้
องค์ประกอบของภาพทไดมี
เส้นสะท้อน ความเป็นระเบียบและเป็น
เอกภาพมากยิ่งขึ้น




เส้นสะท้อน













หน้า 18

สารบัญ
“การหมุน”



จุดตรึง
การหมุน ในทาง

เรขาคณิตเป็นการแปลง
ทางเรขาคณิต ซึ่งเคลื่อน

ที่จุดทุกจุดในระนาบรอบ

จุดตรึงจุดหนึ่ง


การหมุนบน

ระนาบเป็นการแปลง

ทางเรขาคณิตที่มีจุด O
ึ่
ี่
ทตรึงจุดหนงเป็นจุด
หมุน แตละจุด P บน
่
ระนาบ มีจุด P’ เป็น

ภาพทไดจากการหมุน
ี่
้
จุด P รอบจุด O ตาม
ทศทางทก าหนดดวย
้
ิ
ี่
มุมที่มีขนาด K
หน้า 19

สารบัญ

“การหมุน” (ต่อ)





จุดหมุน














จุดหมุน




การแปลงทางเรขาคณิตเรื่องการหมุน ก็สามารถ

น ามาสร้างเป็นผลงานที่สวยงามได้ หากเราสังเกตดี ๆ เรา

มักจะเห็นการหมุนอยู่ในงานคณิตศิลป์หลาย ๆ รูป เหมือน
ดังรูปตัวอย่างด้านบน ก็เป็นอีกตัวอย่างการสร้างสรรค ์

ผลงานคณิตศิลป์เส้นด้ายโดยใช้ความรู้เรื่องการหมุนเช่นกัน






หน้า 20

สารบัญ
“มุม”







แขนของมุม
แขนของมุม
จุดยอดมุม




มุม เกิดจาก รังสีหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่มี

จุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนี้เรียกว่า จุดยอดมุม และรังสี

หรือส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นเรียกว่า แขนของมุม


มุม มีหลายชนิด แบ่งชนิดของมุมแบ่งตามขนาด
ของมุม แบ่งได้ดังนคือ มุมฉาก มุมแหลม มุมป้าน มุมตรง
ี้
มุมกลับ

แต่ในการสร้างงานคณิต
ศิลป์เส้นด้ายนั้น จะมีมุมที่เราใช ้

อยู่หลัก 3 มุมคือ 1. มุมฉาก

2. มุมแหลม
3. มุมป้าน

หน้า 21

สารบัญ
“มุมฉาก”






มุมฉาก เป็นมุมที่มี

ขนาด 90 องศาพอด ี



























ในงานคณิตศิลป์เส้นด้ายหากเราลองสังเกตให้ดี ก็

จะเห็นการใช มุมฉาก ในการสร้างสรรค์เช่นกัน
้



หน้า 22

สารบัญ
“มุมแหลม”




มุมแหลมเป็นมุมท ี่

มีขนาดเล็กกว่า มุมฉาก คอ
ื
มีขนาดมากกว่า 0 องศา
แต่น้อยกว่า 90 องศา
























ในงานคณิตศิลป์เส้นด้ายหากเราลองสังเกตให้ดี ก็

จะเห็นการใช มุมแหลม ในการสร้างสรรค์เช่นกัน
้



หน้า 23

สารบัญ

“มุมป้าน”





มุมป้านเป็นมุมที่มี


ขนาดใหญ่กว่า มุมฉาก

แต่ไม่ถึงสองมุมฉาก























ในงานคณิตศิลป์เส้นด้ายหากเราลองสังเกตให้ดี ก็

จะเห็นการใช มุมป้าน ในการสร้างสรรค์เช่นกัน
้



หน้า 24

สารบัญ
มารู้จักกับ

“โปรแกรม GSP”


กันเถอะ



โปรแกรม Geometer’s Sketchpad หรือที่รู้จัก

กันในชื่อโปรแกรม GSP เป็นโปรแกรมคณิตศาสตร์ที่ผลิต
จากประเทศสหรัฐ อเมริกา เป็นโปรแกรมที่มีประสิทธิภาพ

โปรแกรมหนึ่ง สามารถน าไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้หลาย

วิชา เช่น วิชาเรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติ และแคลคูลัส

โปรแกรม





















หน้า 25

สารบัญ

“ท าไม ?” ถึงต้องใช้โปรแกรม GSP

ในการออกแบบลวดลายคณิตศิลป์เส้นด้าย



้
โปรแกรม GSP สามารถนาไปใชประกอบการเรียน

้
ั้
้

การสอนไดหลากหลาย อีกทงยังสามารถนามาใชในการ
ิ
ิ
่
้
้
้
ออกแบบคณิตศลป์เส้นดายไดอีกดวย เพราะแตเดมแล้ว
้
ิ
การออกแบบลวดลายคณิตศลป์เส้นดาย เราจะใชการร่าง
้
ั้
่
รูปลงบนกระดาษ ซึ่งวิธีการทาแบบนนคอนขางเสียเวลา
้

เป็นอย่างมาก อีกทั้งสัดส่วนของลวดลายที่ออกมา ผิดเพี้ยน
ื่
ไปจากของจริง เนองจากเราไม่สามารถลากเส้นตรงและ
องศาของมุมได้แม่นย าเท่ากับการวาดในโปรแกรม GSP อีก
ทงการออกแบบลวดลายในงานคณิตศลป์เส้นดายจะ
้
ั้
ิ
ประกอบด้วยเส้นตรงเป็นจ านวนมาก หากเกิดการผิดพลาด
้
การออกแบบในกระดาษจะสามารถท าการแก้ไขไดยากมาก
ี
เมื่อเทยบกับการออกแบบลวดลายในโปรแกรม GSP แล้ว
เราสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย

หน้า 26

สารบัญ

“พื้นฐานการใช้โปรแกรม GSP”




ล าดับต่อไปจะเป็นการสอนพื้นฐานการใชโปรแกรม
้
GSP ขั้นพื้นฐานที่จ าเป็นส าหรับการออกแบบลวดลายคณิต

ศิลป์เส้นด้าย ในโปรแกรม geometer 's sketchpad
























ในคลิปวิดีโอจะเป็นการสอนพื้นฐานการใช้เครื่องมือ
ิ
และเมนตาง ๆ ทจ าเป็นส าหรับการสร้างงานคณิตศลป์
ี่
ู
่
เส้นด้าย


หน้า 27

สารบัญ

“การสร้างลวดลายพื้นฐาน”




การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ รูปวงกลม



















การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ รูปหลายเหลี่ยม



















หน้า 28

สารบัญ

“การสร้างลวดลายพื้นฐาน” (ต่อ)




การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้เรื่อง มุมฉาก



















การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้เรื่อง มุมป้าน



















หน้า 29

สารบัญ

“การสร้างลวดลายพื้นฐาน” (ต่อ)




การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้เรื่อง มุมแหลม








































หน้า 29

สารบัญ
“การสร้างลวดลายพื้นฐาน” (ต่อ)


การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้การ


แปลงในเรื่อง การเลื่อนขนาน
















การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้การ

แปลงในเรื่อง การสะท้อน


















หน้า 30

สารบัญ

“การสร้างลวดลายพื้นฐาน” (ต่อ)


การสร้างงานคณิตศิลป์โดยใช้ความรู้การ

แปลงในเรื่อง การหมุน







































หน้า 30

สารบัญ
“การสร้างลวดลายประยุกต์”


ในคลิปวิดีโอนี้จะใช้การประยุกต์ในเรื่องของ

การสร้างรูปวงกลม มาสร้างเป็น รูปดอกบัว

















ในคลิปวิดีโอนี้จะเป็นการรวบรวมรูปทรงต่าง ๆ

ที่เคยสร้างไว้ มาประกอบรวมกันเป็นผลงาน


















หน้า 31

สารบัญ

“การน าลวดลายที่สร้างไปใช้จริง”



ในคลิปวิดีโอนี้เราจะแสดงวิธีการน าลวดลาย

ที่เราได้ออกแบบไว้ มาใช้ในการสร้างงานคณิตศิลป์

จากเส้นด้ายของจริง



































หน้า 32

สารบัญ
“อ้างอิง”




พิมพ์พลอย ภู่ขวัญ. (2559). คณิตศิลป์คืออะไร. สืบค้นเมื่อวันที่
25 มีนาคม 2563, จากเว็บไซต์ http://nampimploy.blog
spot.com/2016/09/blog-post.html


นิสา คงร าพึง. (2558). รูปเรขาคณิตสองมิติ. สืบค้นเมื่อวันที่ 25
์
มีนาคม 2563, จากเว็บไซต https://sites.google.com/site
/nisakongrampung/rup-rekhakhnit-sxng-miti


นิสากร คงเนียม. (2558). จุด เส้น มุม ระนาบ. สืบค้นเมื่อวันที่
25 มีนาคม 2563, จากเว็บไซต์ https://89khongniamhome.
wordpress.com/จุด-เส้น-มุม-ระนาบ/


วุฒิพงษ รักแม่. (2560). การแปลงทางเรขาคณต. สืบค้นเมื่อ
์
ิ
วันที่ 25 มีนาคม 2563, จากเว็บไซต https://sites.google.
์
com/a/yanghom.ac.th/bankruman/hnwy-kar-reiyn-ru5

ไพรวรรณ ม้าแก้ว. (2562). วิธีการสร้างแบบคณิตศิลป์เส้นด้าย.
สืบค้นเมื่อวันที่ 25 มีนาคม 2563, จากเว็บไซต์

https://www.youtube.com/channel/UCgJ86rDWweMpr
LNMkZLKPgQ/videos

หน้า 33