ความน่าจะเป็น ม.4

PROBABILITY
ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

นายศุภกร โสภา เลขที่14 ม.4/8
เสนอ

ครูรสชกร บุบผาคำ

Probability ความน่าจะเป็น

01 เนื้อหา

หลักการบวก
หลักการคูณ
แฟกทอเรียล
การเรียงสับเปลี่ยน
การทดลองสุ่ม
แซมเปิลสเปซ
เหตุการณ์

02 แบบฝึกหัด

03 แบบทดสอบ

เนื้อหา

คณิตศาสตร์ ม.4

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

หลักการบวก

กฎข้อที่ 1 ในการทำงานอย่างหนึ่งมีทางเลือก 2 ทาง คือ n1 กับ n2
วิธี และในแต่ละทางเลือกนั้นจะเลือกทำพร้อม ๆ กันไม่ได้ จำนวน
วิธีที่จะเลือกทำงาน = n1 + n2 วิธี
กฎข้อที่ 2 คล้ายกับกฎข้อที่ 1 แต่มี k ทาง แต่ละทางเลือกจะ
กระทำได้ n1, n2, n3, ..., nk วิธี จำนวนวิธีเลือกทำงาน = n1 + n2
+ n3 + ... + nk วิธี

ตัวอย่างที่ 1จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค จากไพ่สำรับ
หนึ่งที่มี 52 ใบ
วิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง หรือ แจ๊ค มีอย่างละ 4 ใบ การหยิบ

ไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค แบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1) การเลือกหยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี
2) การเลือกหยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้มแจ๊คทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี
ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค ทำได้ 4 + 4 = 8 วิธี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

หลักการคูณ

กฎข้อ 1 ในการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1 วิธีและใน
แต่ละวิธีของการเลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีจะทำงานอย่างที่สองได้
n2 วิธี
กฎข้อ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกอย่าง
แรก มีวิธีเลือกงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน
อย่างแรกและอย่างที่สองมี n3 วิธีทำงานอย่างที่สาม โดยเป็นเช่นนี้
เรื่อยถึงงานที่ k
2. กฎข้อ 2 เน้ นการกระทำที่ต่อเนื่องกัน กฎข้อ 1 เป็นกรณีเฉพาะของ
กฎข้อ 2

ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ
มีจำนวนวิธีในการเลือกเสื้อทั้งหมด 3 วิธี
มีจำนวนวิธีในการเลือกางเกงทั้งหมด 4 วิธี

ตอบ มีจำนวนวิธีที่จะจัดเป็นชุดได้ทั้งหมด 3x4 = 12 แบบ

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่
จำนวน ถ้ากำหนดให้แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

เลือกเลขในหลักร้อยได้ 5 จำนวน (ไม่นับเลข 0)
เลือกเลขในหลักสิบได้ 5 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือกไป
แล้ว 1 จำนวน)
เลือกเลขในหลักหน่วยได้ 4 จำนวน (เนื่องจากหลักร้อยเลือก
ไปแล้ว 1 จำนวน และหลักสิบเลือกไปแล้ว 1 จำนวน)
ตอบ จะสร้างเลขได้ 5x5x4 = 100 จำนวน

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แฟกทอเรียล

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตัง้ แต่ 1 ถึง n
คือ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย n!

ดังนั้น n! =1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n หรือ n! = n(n −1)(n − 2) ⋅...⋅3⋅ 2⋅1
0! = 1
1! = 1
2! = 2 ⋅1 = 2
3! = 3 ⋅ 2 ⋅1= 6
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1= 24
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1=120

4! + 3! = 4×3×2×1 + 3×2×1 = 24+6 = 30

5! - 3! = 5×4×3×2×1 + 3×2×1 = 120 - 6 = 114

3!2! = 3×2×1×2×1 = 12 ข้อควรระวัง

8! = 8×7! = 8 ≠5!6! (5×6)!
7! 7! ≠4-3!
≠7!+8! (4-3)!

9! (7+8)!

≠8! ( 9 )!
8

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น
การเรียงสับเปลี่ยน

กรณีที่ 1 เป็นโจทย์ที่มีคำว่า n!
แตกต่างกัน / แตกต่างกันหมด
จะใช้เป็ นการนำเลขในโจทย์ที่
มีอยู่ตัวเดียว แล้วนำเลขที่ได้
มาใส่แทนตัว ท ใน n! และ
คำนวณเลขที่ได้

มีตัวอักษร A,B,C,D,E,F นำมาเรียงเป็นแถวจะได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ 6! = 6×5×4×3×2×1

= 720

มีรถตู้หนึ่งคันมีที่นั่งว่าง5ที่ ถ้ามีผู้โดยสารขึ้นมา5คน
จะมีวิธีเลือกที่นั่งทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ 5! = 5×4×3×2×1

= 120

มีนร.3 คนนำนร.มาเรียงเป็นแถวเพื่อถ่านรูปจะได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ 3! = 3×2×1

=6

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น
การเรียงสับเปลี่ยน

กรณีที่2 กำหนดให้มีสิ่งของ n Pn,r= n!
(n-r)!
สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกัน

ทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียง

≤ ≤คราวละ r สิ่ง (โดย 1 r

n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา

จะได้ Pn.r

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น
การเรียงสับเปลี่ยน

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น
การเรียงสับเปลี่ยน

กรณีที่ 3 เป็นโจทย์ที่มีการซ้ำ n!
กันอยู่ จะใช้ n เป็นการนำเลข n!×n!×n!...n!
ในโจทย์ที่มีอยู่ มาบวกกันนะ
ได้ n! ทีเป็นตัวข้างบนแล้วนำ
เลขที่เป็ นตัวประกอบในการ
บวก ท! กันมาใส่ใน n! ที่อยู่
ข้างล่างและคำนวณเลขที่ได้

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น
การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม (random experimental) คือ การทดลองซึ่งทราบว่า
ผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้อง
แม่นยำแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไร ใน
บรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็ นได้เหล่านั้น

การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้
ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็ นอย่างไร

ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย ผลลัพธ์ที่
เป็ นไปได้มากกว่าหนึ่ งอย่าง

การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขต
ของผลลัพธ์ว่าเป็ นอย่างไร

ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าหงายหน้ าอะไร ผลลัพธ์ที่เป็นไป
ได้มากกว่าหนึ่ งอย่าง

การทดลองสุ่ม ต้องมีีคำตอบมากกว่า1ที่เราสามารถคาดการคำตอบได้

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ หรือ ปริภูมิตัวอย่าง (เขียนแทนด้วย S) คือ เซตของ
ผลลัพธ์ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม แต่ละสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง
หรือผลการทดลองเรียกว่า ผลลัพธ์หรือจุดตัวอย่าง ตัวอย่าง
แซมเปิลสเปซของการโยนลูกเต๋า 2 ลูก คือ
S={

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),}

โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ในที่นี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2
อย่าง คือ หัว (Head) หรือก้อย (Tail)
แซมเปิลสเปซในที่นี้ คือ S = {H, T}

โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง แล้วบันทึกผลที่ได้
แซมเปิลสเปซ ได้แก่

S = {HH, HT, TH, TT}

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

เหตุการณ์

ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์คือจำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์
ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมาก หรือน้ อยเพียงใด ความน่าจะ
เป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เรา
สนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่
อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

สูตรความน่าจะเป็ น

สูตร P(E) = n(E) / n(S)
P(E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
n(E) คือ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E
n(S) คือ จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัว

อักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C

S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB }

E = { AB , AC }

P(E) = 2 2
6 6
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =

แบบฝึกหัด

คณิตศาสตร์ ม.4

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ

คณิตศาสตร์ ม.4

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ ความน่าจะเป็น

1.ลูกเต๋าลูกหนึ่งถูกถ่วงน้ำหนักให้แต้มคู่แต่ละหน้ ามีโอกาสจะเกิดขึ้นเป็นสองเท่า
ของแต้มคี่แต่ละหน้ า ความน่าจะเป็นที่โยนลูกเต๋า 1 ครั้งได้แต้มเป็น 1 หรือ แต้ม
คู่ เท่ากับข้อใด

1. 2/3
2. 3/4
3. 7/9
4. 5/8

2.ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมีของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฏว่า 1/3
ของนักเรียนทั้งหมดผ่านคณิตศาสตร์ และ 8/15 ของนักเรียนทั้งหมดผ่านวิชา
เคมี ถ้าความน่าจะเป็นของนักเรียนคนหนึ่งในกลุ่มนี้ที่จะสอบผ่านอย่างมากหนึ่ง
วิชาเป็น 4/5 แล้ว ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านอย่างน้ อยหนึ่งวิชา เท่ากับข้อ
ใดต่อไปนี้

1. 2/3
2. 1/15
3. 1/5
4. 13/15

3. ในการจัดงานของบริษัทแห่งหนึ่ง ได้แจบัตรแก่ผู้ร่วมงาน 100 ใบซึ่งมีเลข
ตั้งแต่ 00 ถึง 99 กำกับอยู่ สุ่มหยิบต้นขั้วของบัตรขึ้นมา 1 ใบ เพื่อมอบรางวัลแก่
ผู้เข้าชมงาน ผู้ที่มีบัตรซึ่งมีหมายเลขที่ตรงกับต้นขั้วจะได้รับรางวัลที่ 1 ส่วนผู้ที่มี
หมายเลขซึ่งมีหลักหน่วยตรงกันกับต้นขั้วหรือหลักสิบตรงกับต้นขั้วเพียงหลัก
เดียวจะได้รับรางวัลที่ 2 ถ้าสมชายได้รับแจกบัตรมา 1 ใบความน่าจะเป็นที่
สมชายจะได้รับรางวัลคือข้อใดต่อไปนี้

1. 1/100
2. 1/10
3. 19/100
4. 1/5

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ ความน่าจะเป็น

4. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กำกับ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบ
สลากพร้อมกัน 3 ใบโดยให้แต้มรวมเป็น 10 และไม่มีสลากใบใดที่หมายเลขสูง
กว่า 5 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1/60
2. 1/40
3. 1/30
4. 1/20

5. คน 8 คน ซึ่งมี สมศักดิ์ สมชาย และ สมหญิง รวมอยู่ด้วย เข้านั่งรอบโต๊ะกลม
ซึ่งมี 8 ที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่สมชายได้นั่งติดกับสมหญิง และสมศักดิ์ไม่นั่งติด
กับสมชายเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1/7
2. 5/21
3. 11/42
4. 5/42

6. กล่องใบหนึ่งบรรจุปากกา 1 โหล เป็นปากกาสีแดง 3 ด้าม สีเขียว 4 ด้าม ที่
เหลือเป็นสีน้ำเงินความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบปากกามา 3 ด้าม แล้วได้ครบทุกสีมีค่า
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1/60 2. 1/22 3. 3/11 4. 3/12

7. เลือกจำนวนเต็มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัวมาจำนวนหนึ่งให้มีค่าอยู่ระหว่าง 10 ถึง
200 ความน่าจะเป็นที่จำนวนที่เลือกมาจะหารด้วย 7 ลงตัวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1/7 2. 2/7 3. 3/7 4. 4/7

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ ความน่าจะเป็น

8. ในการสุ่มหยิบลูกกวาดจากกล่องใบหนึ่งซึ่งมีลูกกวาดอยู่ 4 ชนิด ชนิดละ 2

เม็ด ให้แก่เด็กชายสองคนคนละ 4 เม็ด ความน่าจะเป็นที่จะเด็กแต่ละคนได้ลูก

กวาดครบทั้ง 4 ชนิดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 8/35 2. 6/35 3. 4/35 4. 2/35

9. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลูก
นอกนั้นเป็นสีเหลืองสุ่มหยิบลูกแก้วมา 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วต่าง
สีกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 54/78 2. 26/78 3. 24/78 4. 13/78

10. อาคารหลังหนึ่งมีลิฟท์ 2 เครื่อง ความน่าจะเป็นที่ลิฟท์เครื่องแรกและเครื่องที่

สองรออยู่ที่ชั้นล่างเป็น 0.20 และ 0.30 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะมีลิฟท์

ทั้งสองเครื่องรออยู่พร้อมกันที่ชั้นล่างเป็น 0.06 ความน่าจะเป็นที่จะมีลิฟท์รออยู่ที่

ชั้นล่างเพียงเครื่องเดียวเท่ากับข้อใด

1. 0.38 2. 0.38 3. 0.40 4. 0.42

11.จัดคน8คนซึ่งมี สมศักดิ์ สมชาย และสมหญิงรวมอยู่ด้วย เข้านั่งรอบโต๊ะกลม

ซึ่งมี8ที่นั่ง ความน่าจะเป็ นที่สมชายได้นั่งติดกับสมหญิงและสมศักดิ์

ไม่นั่งติดกับสมชายเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1/7 2. 5/21 3. 11/42 4. 5/42

12.ในการยืนเรียงกันเป็นแถวตรงของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4
ถ้าความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนหญิง 2 คนใดยืนติดกันเลยเท่ากับ a และความ
น่าจะเป็นที่นักเรียนหญิงทั้งหมดต้องยืนติดกันเท่ากับ b แล้ว a+b เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้

1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ ความน่าจะเป็น

13.สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกจากถุงที่มีลูกบอล 10 ลูก โดยเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำเงิน
3 ลูก สีเขียว 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 2 มีสีเหมือนกันลูก

1.10/45 2.12/45 3.14/45 4.16/45

14.นายดำเขียนจดหมาย 4 ฉบับ ถึงแฟน 4 คน พร้อมจ่าหน้ าซอง ถ้าเขานำ
จดหมายใส่ซองอย่างสุ่ม โดยไม่สนใจว่าจดหมายใส่ในซองที่ถูกต้องหรือไม่ จง
หาความน่าจะเป็นที่จะมีจดหมาย 2 ฉบับใส่ซองที่ถูกต้อง

1.1/24 2.1/4 3.1/6 4.1/12

15.นายแดงและนายดำได้รับเชิญไปงานเลี้ยง ที่มีผู้ได้รับเชิญทั้งหมด 20 คน
เจ้าภาพสุ่มจัดให้ ผู้ร่วมงานนั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะๆละ 10 ที่นั่ง จงหาความน่าจะเป็น
ที่นายแดงและนายดำจะได้นั่งติดกันในโต๊ะเดียวกัน

1.1/19 2.2/19 3.3/19 4.4/19

16. ในการเล่นเก้าอี้ดนตรี จะมีผู้เล่นมากกว่าจำนวนเก้าอี้อยู่1เสมอ จงหาว่าจะ
ต้องเล่นเก้าอี้ดนตรีทั้งหมดกี่รอบจึงจะเหลือผู้เล่นเพียงคนเดียว (สมมติว่ามีผู้เล่น
จำนวน n คน และให้ตอบในเทอมของ n )

1. n รอบ 2. n-1รอบ 3. n!รอบ 4. (n-1)! รอบ

17. คนจัดดอกไม้มีดอกไม้ชนิดเดียวกันแต่คละสีดังนี้ สีแดง 6 ดอก สีเหลือง 3
ดอก และสีชมพู 3 ดอก เขาต้องการจัดดอกไม้ใส่แจกัน 3 ใบ ที่มีขนาดต่างกันคือ
ขนาดเล็ก ขนาดกลาง และขนาดใหญ่ จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดดอกไม้ลง
ในแจกันทั้ง3ใบโดยที่แจกันแต่ละใบต้องมีดอกไม้ครบทุกสี

1. 12 2. 27 3. 54 4. ไม่มีข้อใดถูกต้อง
18. จงหาจำนวนนักเรียนหญิงที่ยืนถ่ายรูปหมู่กับนักเรียนชายจำนวน 4 คน ที่มี
จำนวนวิธีการยืนแบบไม่มีเงื่อนไขเท่ากับ 5,040 วิธี

1. 3 คน 2. 4 คน 3. 5คน 4. 6 คน

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

แบบทดสอบ ความน่าจะเป็น

19. เลขโดด 0 - 9 นำมาสร้างจำนวนเต็ม 4 หลักและหารด้วย 5 ลงตัวได้กี่
จำนวน

1. 30 จำนวน 2. 126 จำนวน 3. 900 จำนวน 4. 1,800 จำนวน
20. จะสร้างจำนวนเต็ม 6 หลักจากเลขโดด 0 - 9 โดยไม่ใช้ตัวเลยซ้ำกันได้กี่
จำนวน

1. 6,480 จำนวน 2. 136,080 จำนวน 3. 409,104 จำนวน
4.2,177,280 จำนวน

ความน่าจะเป็น THANK YOU

นายศุภกร โสภา เลขที่14 ม.4/8
เสนอ
ครูรสชกร บุบผาคำ