ฟังก์ชันคอมโพสิทพอยล่าสุด

ฟงั กช์ นั ประกอบ

Composite function

คำนำ

คู่มือการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง ฟงั กช์ ันประกอบ กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์จดั ทาข้นึ เพ่ือวตั ถปุ ระสงคใ์ น
การพฒั นากิจกรรมการเรยี นรู้ สง่ เสริมและพฒั นาคุณภาพในการเรยี นรู้ ให้มปี ระสทิ ธภิ าพทส่ี ูงข้นึ ในกลมุ่ สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์

การจดั ทาคู่มือการใชแ้ บบฝึกทักษะเรอื่ งสมการรากกลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ ผ้จู ัดทาม่งุ เนน้ เพื่อใหเ้ กิด
ประโยชน์สูงสดุ กับผ้เู รยี น นากระบวนการคดิ เพ่อื ขบั เคล่ือนสหู่ ้องเรยี นไดเ้ รียนรู้ดว้ ยการปฏบิ ัติจรงิ การสรา้ งองคค์ วามรไู้ ด้
ดว้ ยตนเอง เกดิ ความรกั ในการศึกษาค้นควา้ และสนกุ กับการฝึกทักษะคณิตศาสตร์ดว้ ย

หากมขี ้อผิดพลาดประการใดผจู้ ดั ทายินดนี อ้ มรับและพร้อมท่ีจะปรบั ปรงุ แก้ไขให้มคี วามสมบรู ณย์ งิ่ ขน้ึ

นรสงิ ห์ คตภูธร

สำรบัญ

เร่ือง หนำ้ ท่ี

ฟังก์ชนั ประกอบ คือ

การใช้สัญลกั ษณ์

บทนยิ าม

1

ฟังกช์ ันประกอบ(composite function) คอื คือฟงั ก์ชนั ใหม่ที่เกดิ จากฟงั กช์ ัน

2 ฟังก์ชันมาผสมกันภายใต้เงอื่ นไขว่า
“ ถา้ (a, b) ฮ f และ (b, c) ฮ g แลว้ (a, c) จะอยู่ ในฟงั ก์ชนั ใหม่เรยี กฟังก์ชนั ใหม่นว้ี า่
ฟังก์ชนั คอมโพสทิ ของ f และ g

กำรใช้สญั ลักษณ์

gof แทน ฟงั ก์ชนั คอมโพสทิ ของ f และ g ”
fog แทน ฟังก์ชันคอมโพสิทของ g และ f ”
fof แทน ฟังกช์ นั คอมโพสทิ ของ f และ f ”

บทนิยำม

ให้ f และ g เป็นฟงั ก์ชัน และ Rf ∩ Dg ≠ Ø ฟังกช์ ันประกอบของ f และ g เขยี นแทนด้วย gof กาหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สาหรบั ทุก x ซึ่ง f(x)

จากรปู ท่ี 1 y = f(x) และ z = g(y) จะเหน็ วา่ จะหา gof ได้ เมอื่ มี y อยใู่ น Rf และ Dg พรอ้ ม ๆ
กนั นั่นคอื Rf
Dg ต้องไม่เท่ากบั Ø จากแผนภาพจะพบวา่
f เปน็ ความสัมพันธ์จาก A → B
g เปน็ ความสัมพันธ์จาก B → C
gof เปน็ ความสัมพันธจ์ าก A → C

ตวั อย่ำงท่ี 1

ให้ f : A → B และ g : B → C ดงั แผนภาพ

จงหำ gof และ fog พร้อมทง้ั หำโดเมน
วิธีทา Rf ∩ Dg = B ≠ Ø ดงั น้นั สามารถหา gof ซึ่งเป็นฟังก์ชันจาก A ไป C
ดังนน้ั gof = {(-1,6), (2,4), (3,4)} และ Dgof = A
ไมส่ ามารถหา fog ได้ เนือ่ งจาก Df ∩ Rg = Ø

ตัวอย่ำงท่ี 2

กาหนดให้ f = {(0,1), (1,2), (3,5)}
g = {(1,3), (2,4), (5,6)} จงหา gof และ fog
วิธที า หา gof : เนือ่ งจาก Dg ∩ Rf = {1, 2, 5} จะได้ gof = {(0,3), (1,4), (3,6)}

หา fog : เน่ืองจาก Df ∩ Rf = {3} จะได้ fog = {(1,5)}

ตวั อยำ่ งที่ 3

กาหนดให้ f(x) = 2x - 4 , g(x) = 3x + 1 จงหา fog, gof, fof และ gog

วิธีทา จาก f(x) และ g(x) จะพบว่า Df = Dg = Rg =R และ Rf = [-4,8) ดงั น้นั สามารถนิยาม
fog, gof, fof และ gog ได้
f(g(x)) = 2(3x+1)2 - 4 = 2(9x2 + 6x + 1) - 4 = 18x2 + 12x - 2
g(f(x)) = 3(2x2 - 4) + 1 = 6x2 - 12 + 1 = 6x2 -11
f(f(x)) = 2(2x2 - 4)2 - 4 = 2(4x4 - 16x2 + 16) - 4 = 8x4 - 32x2 + 28

g(g(x)) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 4

สงั เกตวา่ เราสามารถสร้างฟังกช์ นั ประกอบของฟงั ก์ชนั เดยี วกนั ได้ เช่น fof และ gog ถ้าหาก
Df ∩ Rf ≠ Ø และ Dg ∩ Rg ≠ Ø

กาหนดf(x)=3x+2,g(x)=4x−1 จงหาfog,gof พรอ้ มทั้งหาโดเมน

fog(x) = f(g(x)) gof(x) = g(f(x))

= f(4x−1) = g(3x+2)

= 3(4x−1)+2 = 4(3x+2)−1

= 12x−1 = 12x+7
โดเมนของ fog คือ R โดเมนของ gof คือ R

f(x)=x2,g(x)= + 5 จงหาfog , gof พรอ้ มทงั้ หาโดเมน

fog(x) = f(g(x)) gof(x) = g(f(x))
= f + 5 = g 2
= + 5 2 = 2 + 5
= x+5
โดเมนของ gof คือ R
โดเมนของ fog คือ {x|x≥−5}

กาหนด (fog)(x) = 2x2 + 3x + 1 , g(x) = x - 1 จงหา f(x) และ f(0)

วธิ ที า f(g(x)) = 2x2 + 3x + 1
f(x-1) = 2x2 + 3x + 1 --------- (1)
จากสมการที่ (1) ให้ z = x - 1
จะได้ x = z + 1 แทนลงในสมการ (1)
f(z) = 2(z+1)2 + 3(z+1) + 1 เปลยี่ นตวั แปร ใหมจ่ าก z เป็น x
จะได้ f(x) = 2x2 + 4x + 2 + 3x + 4
ดังนั้น f(x) = 2x2 + 7x + 6
และ f(0) = 2(0)2 + 7(0) + 6 = 6

กาหนด F(x)= 2 − 3 10จงเขยี น F ใหอ้ ยู่ในรปู ของฟงั กช์ นั ประกอบ
ของฟังก์ชันสองฟงั ก์ชัน

วธิ ที า สงั เกต F ได้จากการหาค่า 2x-3 แล้วยกกาลงั 10
ฉะน้นั กาหนด f(x) = 2x-3 และ g(x) = 10

จะได้วา่ gof(x) =g(f(x)) = g(2x-3) = 2 − 3 10

ดังน้ัน F = gof

กาหนดให้ f={(1,3),(2,5),(3,7),(4,6)} และ g={(3,−2),(4,3),(5,0),(6,1),(7,2)}
จงเขียน gof,fog,fof และ gog

วธิ ีทา พิจารณา gof

เรมิ่ ต้นจากโดเมนในฟงั ก์ชนั f เชน่ x=1 สง่ ผา่ นไปยงั f(1)=3 และสง่ ตอ่ ไปยงั g(f(1))=g(3)=−2 จะได้
ว่า (gof)(1)=−2
ดังนั้น gof={(1,−2),(2,0),(3,2),(4,1)}
ในทานองเดียวกัน เราจะได้

fog={(4,7),(6,3),(7,5)}
fof={(1,7)}
gog={(4,−2)}

ให้ f= {(1,5),(2,4),(3,6)}และ g= {(3,8),(4,10),(5,9)} จงหำฟังกช์ ัน gof และ fog พร้อมท้งั
โดเมนของฟังก์ชนั ทงั้ สอง

วธิ ที า สังเกตว่า = {1,2,3}และ = {4,5,6}
= {3,4,5}และ ={8,9,10}

ในการหา gof พจิ ารณา ∩ ={4,5} ไมเ่ ป็นเซตว่าง
หา gof ได้ เน่อื งจาก f(2) = 4 และ g(4) = 10
ดังนน้ั gof(2) = g(f(2)) = g(4) = 10
เนอื่ งจาก f(1) = 5 และ g(5) = 9
ดังน้ัน gof(1) = g(f(1)) = g(5) = 9
ดงั นั้น gof= {(2,10) , (1,9)}

ให้ f(x) = และ g(x) = 2 จงหาฟังกช์ นั gof และ fog พร้อมทง้ั โดเมนของฟงั กช์ นั ท้งั
สอง

วธิ ที า สังเกตว่า = [0, ∞ ) และ = [0, ∞ )
= R และ = [0, ∞ )
ในการหา fog พจิ ารณา ∩ = [0, ∞ ) ไมใ่ ชเ่ ซตวา่ ง
หา fog ได้
Dfog = {x ∈ D g g(x) ∈ Df }
= {x ∈ R 2 ∈ [0, ∞ )}
=R

ให้ f(x) = x+1 และ g(x) = จงหาฟังกช์ นั gof และ fog พรอ้ มท้งั โดเมนของฟงั ก์ชนั ทั้งสอง

วิธีทา สงั เกตวา่ = R และ = R
=[0, ∞ ) และ = [0, ∞ )

ในการหา fog พจิ ารณา ∩ = [0, ∞ ) ไม่ใชเ่ ซตวา่ ง
หา fog ได้
Dfog = {x ∈ D g g(x) ∈ Df }
= {x ∈ [0, ∞) ∈ R }
= [0, ∞ )

ให้ f(x) = x+1 และ g(x) = จงหำฟงั กช์ ัน gof และ fog พร้อมท้ังโดเมนของฟังกช์ ันท้งั สอง

วธิ ีทา สังเกตว่า = R และ = R
=[0, ∞ ) และ = [0, ∞ )

ในการหา gof พิจารณา ∩ = [0, ∞ ) ไมใ่ ชเ่ ซตว่าง
หา gof ได้
0 = {x ∈ Df f(x) ∈ D g }
= {x ∈ R x+1 ∈ [0, ∞ ) }
= {x ∈ R x ∈ [-1, ∞ ) }
= [-1, ∞ )