ฟังก์ชันคอมโพสิทพอยล่าสุดสุด

ฟงั กช์ นั ประกอบ

Composite function

คำนำ

คู่มือการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง ฟงั กช์ ันประกอบ กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์จดั ทาข้นึ เพ่ือวตั ถปุ ระสงคใ์ น
การพฒั นากิจกรรมการเรยี นรู้ สง่ เสริมและพฒั นาคุณภาพในการเรยี นรู้ ให้มปี ระสทิ ธภิ าพทส่ี ูงข้นึ ในกลมุ่ สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์

การจดั ทาคู่มือการใชแ้ บบฝึกทักษะเรอื่ งสมการรากกลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ ผ้จู ัดทาม่งุ เนน้ เพื่อใหเ้ กิด
ประโยชน์สูงสดุ กับผ้เู รยี น นากระบวนการคดิ เพ่อื ขบั เคล่ือนสหู่ ้องเรยี นไดเ้ รียนรู้ดว้ ยการปฏบิ ัติจรงิ การสรา้ งองคค์ วามรไู้ ด้
ดว้ ยตนเอง เกดิ ความรกั ในการศึกษาค้นควา้ และสนกุ กับการฝึกทักษะคณิตศาสตร์ดว้ ย

หากมขี ้อผิดพลาดประการใดผจู้ ดั ทายินดนี อ้ มรับและพร้อมท่ีจะปรบั ปรงุ แก้ไขให้มคี วามสมบรู ณย์ งิ่ ขน้ึ

นรสงิ ห์ คตภูธร

สำรบัญ

เร่อื ง หนำ้ ท่ี

ฟังกช์ นั ประกอบ คอื 1
การใช้สัญลกั ษณ์ 2
บทนยิ าม 3
ตวั อย่าง 4-6
7-14
แบบฝึกหัด

1

ฟังกช์ ันประกอบ(composite function) คอื คือฟงั ก์ชนั ใหม่ที่เกดิ จากฟงั กช์ ัน

2 ฟังก์ชันมาผสมกันภายใต้เงอื่ นไขว่า
“ ถา้ (a, b) ฮ f และ (b, c) ฮ g แลว้ (a, c) จะอยู่ ในฟงั ก์ชนั ใหม่เรยี กฟังก์ชนั ใหม่นว้ี า่
ฟังก์ชนั คอมโพสทิ ของ f และ g

กำรใช้สญั ลักษณ์ 2

gof แทน ฟงั ก์ชนั คอมโพสทิ ของ f และ g ”
fog แทน ฟังก์ชันคอมโพสิทของ g และ f ”
fof แทน ฟังกช์ นั คอมโพสทิ ของ f และ f ”

บทนยิ ำม 3

ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั และ Rf ∩ Dg ≠ Ø ฟงั กช์ ันประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย gof กาหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สาหรบั ทุก x ซึ่ง f(x)

จากรปู ท่ี 1 y = f(x) และ z = g(y) จะเห็นวา่ จะหา gof ได้ เมื่อมี y อยู่ใน Rf และ Dg พร้อม ๆ

กัน นั่นคือ Rf

Dg ต้องไมเ่ ท่ากับ Ø จากแผนภาพจะพบว่า

f เปน็ ความสัมพันธ์จาก A → B
g เป็นความสมั พันธ์จาก B → C
gof เปน็ ความสัมพันธ์จาก A → C

ตวั อยำ่ งท่ี 1 4

ให้ f : A → B และ g : B → C ดังแผนภาพ

จงหำ gof และ fog พร้อมท้ังหำโดเมน
วธิ ที า Rf ∩ Dg = B ≠ Ø ดงั นนั้ สามารถหา gof ซ่งึ เปน็ ฟังก์ชนั จาก A ไป C
ดังน้นั gof = {(-1,6), (2,4), (3,4)} และ Dgof = A
ไม่สามารถหา fog ได้ เน่อื งจาก Df ∩ Rg = Ø

ตัวอยำ่ งท่ี 2 5

กาหนดให้ f = {(0,1), (1,2), (3,5)}
g = {(1,3), (2,4), (5,6)} จงหา gof และ fog
วธิ ีทา หา gof : เนื่องจาก Dg ∩ Rf = {1, 2, 5} จะได้ gof = {(0,3), (1,4), (3,6)}

หา fog : เน่ืองจาก Df ∩ Rf = {3} จะได้ fog = {(1,5)}

ตวั อยำ่ งที่ 3 6

กาหนดให้ f(x) = 2x - 4 , g(x) = 3x + 1 จงหา fog, gof, fof และ gog

วธิ ีทา จาก f(x) และ g(x) จะพบวา่ Df = Dg = Rg =R และ Rf = [-4,8) ดงั น้ันสามารถนิยาม
fog, gof, fof และ gog ได้
f(g(x)) = 2(3x+1)2 - 4 = 2(9x2 + 6x + 1) - 4 = 18x2 + 12x - 2
g(f(x)) = 3(2x2 - 4) + 1 = 6x2 - 12 + 1 = 6x2 -11
f(f(x)) = 2(2x2 - 4)2 - 4 = 2(4x4 - 16x2 + 16) - 4 = 8x4 - 32x2 + 28

g(g(x)) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 4

สังเกตว่า เราสามารถสร้างฟังก์ชนั ประกอบของฟังกช์ นั เดยี วกนั ได้ เช่น fof และ gog ถ้าหาก
Df ∩ Rf ≠ Ø และ Dg ∩ Rg ≠ Ø

กาหนดf(x)=3x+2,g(x)=4x−1 จงหาfog,gof พรอ้ มทั้งหาโดเมน 7

fog(x) = f(g(x)) gof(x) = g(f(x))

= f(4x−1) = g(3x+2)

= 3(4x−1)+2 = 4(3x+2)−1

= 12x−1 = 12x+7
โดเมนของ fog คือ R โดเมนของ gof คือ R

8

f(x)=x2,g(x)= + 5 จงหาfog , gof พรอ้ มทงั้ หาโดเมน

fog(x) = f(g(x)) gof(x) = g(f(x))
= f + 5 = g 2
= + 5 2 = 2 + 5
= x+5
โดเมนของ gof คือ R
โดเมนของ fog คือ {x|x≥−5}

กาหนด (fog)(x) = 2x2 + 3x + 1 , g(x) = x - 1 จงหา f(x) และ f(0)

วธิ ที า f(g(x)) = 2x2 + 3x + 1
f(x-1) = 2x2 + 3x + 1 --------- (1)
จากสมการที่ (1) ให้ z = x - 1
จะได้ x = z + 1 แทนลงในสมการ (1)
f(z) = 2(z+1)2 + 3(z+1) + 1 เปลยี่ นตวั แปร ใหมจ่ าก z เป็น x
จะได้ f(x) = 2x2 + 4x + 2 + 3x + 4
ดังนั้น f(x) = 2x2 + 7x + 6
และ f(0) = 2(0)2 + 7(0) + 6 = 6

9

กาหนด F(x)= 2 − 3 10จงเขยี น F ใหอ้ ย่ใู นรูปของฟงั ก์ชันประกอบ
ของฟังกช์ นั สองฟังกช์ ัน

วิธีทา สงั เกต F ไดจ้ ากการหาคา่ 2x-3 แลว้ ยกกาลัง 10
ฉะนั้น กาหนด f(x) = 2x-3 และ g(x) = 10

จะได้วา่ gof(x) =g(f(x)) = g(2x-3) = 2 − 3 10

ดังนั้น F = gof

กาหนดให้ f={(1,3),(2,5),(3,7),(4,6)} และ g={(3,−2),(4,3),(5,0),(6,1),(7,2)} 10
จงเขยี น gof,fog,fof และ gog

วธิ ที า พจิ ารณา gof

เริ่มต้นจากโดเมนในฟงั กช์ ัน f เชน่ x=1 ส่งผ่านไปยัง f(1)=3 และส่งตอ่ ไปยงั g(f(1))=g(3)=−2 จะได้
วา่ (gof)(1)=−2
ดังน้นั gof={(1,−2),(2,0),(3,2),(4,1)}
ในทานองเดียวกัน เราจะได้

fog={(4,7),(6,3),(7,5)}
fof={(1,7)}
gog={(4,−2)}

11

ให้ f= {(1,5),(2,4),(3,6)}และ g= {(3,8),(4,10),(5,9)} จงหำฟังก์ชัน gof และ fog พร้อมท้งั
โดเมนของฟังก์ชนั ท้งั สอง

วิธีทา สังเกตวา่ = {1,2,3}และ = {4,5,6}
= {3,4,5}และ ={8,9,10}

ในการหา gof พจิ ารณา ∩ ={4,5} ไมเ่ ป็นเซตวา่ ง
หา gof ได้ เนอ่ื งจาก f(2) = 4 และ g(4) = 10
ดังนั้น gof(2) = g(f(2)) = g(4) = 10
เน่ืองจาก f(1) = 5 และ g(5) = 9
ดังนน้ั gof(1) = g(f(1)) = g(5) = 9
ดังนั้น gof= {(2,10) , (1,9)}

12

ให้ f(x) = และ g(x) = 2 จงหาฟงั ก์ชัน gof และ fog พร้อมทัง้ โดเมนของฟังก์ชนั ท้งั สอง

วิธีทา สงั เกตวา่ = [0, ∞ ) และ = [0, ∞ )
= R และ = [0, ∞ )
ในการหา fog พจิ ารณา ∩ = [0, ∞ ) ไม่ใชเ่ ซตวา่ ง
หา fog ได้
Dfog = {x ∈ D g g(x) ∈ Df }
= {x ∈ R 2 ∈ [0, ∞ )}
=R

13

ให้ f(x) = x+1 และ g(x) = จงหาฟงั กช์ ัน gof และ fog พรอ้ มทง้ั โดเมนของฟงั กช์ นั ท้ังสอง

วธิ ที า สังเกตวา่ = R และ = R
=[0, ∞ ) และ = [0, ∞ )

ในการหา fog พิจารณา ∩ = [0, ∞ ) ไมใ่ ช่เซตว่าง
หา fog ได้
Dfog = {x ∈ D g g(x) ∈ Df }
= {x ∈ [0, ∞) ∈ R }
= [0, ∞ )

14

ให้ f(x) = x+1 และ g(x) = จงหำฟังก์ชัน gof และ fog พรอ้ มทั้งโดเมนของฟังกช์ นั ทั้งสอง

วิธที า สงั เกตว่า = R และ = R
=[0, ∞ ) และ = [0, ∞ )

ในการหา gof พจิ ารณา ∩ = [0, ∞ ) ไมใ่ ชเ่ ซตวา่ ง
หา gof ได้
0 = {x ∈ Df f(x) ∈ D g }
= {x ∈ R x+1 ∈ [0, ∞ ) }
= {x ∈ R x ∈ [-1, ∞ ) }
= [-1, ∞ )

จบแล้วครบั

สวสั ดีครบั

Whoa!