หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน ผู้เรียบเรียง รศ. ดร.นพพร แหยมแสง ทรงศักดิ์ด่านพานิช ผู้ตรวจ สุวร กาญจนมยูร รัตนา เชื้อรื่น ยุพดีมงคลจินดาวงศ์ บรรณาธิการ ทรงวิทย์สุวรรณธาดา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
สงวนลิขสิทธิ์ : กุมภาพันธ์ 2559 สงวนลิขสิทธิ์ตามกฎหมาย ห้ามลอกเลียน ไม่ว่าจะเป็นส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเล่มนี้ นอกจากจะได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษร หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสำ นักหอสมุดแห่งชาติ นพพร แหยมแสง. หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2.--กรุงเทพฯ : แม็คเอ็ดดูเคชั่น, 2559. 156 หน้า. 1. คณิตศาสตร์--การศึกษาและการสอน (มัธยมศึกษา). I. ทรงศักดิ์ ด่านพานิช, ผู้แต่งร่วม. II. ชื่อเรื่อง. 510.7 ISBN 978-616-274-705-2 จัดพิมพ์และจัดจำ หน่ายโดย ส่งธนาณัติสั่งจ่าย ไปรษณีย์ลาดพร้าว ในนาม บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำกัด เลขที่ 9/99 อาคารแม็ค ซอยลาดพร้าว 38 ถนนลาดพร้าว แขวงจันทรเกษม เขตจตุจักร กรุงเทพฯ 10900 ☎ 0-2938-2022-7 โทรสาร 0-2938-2028 E-mail : [email protected] www.MACeducation.com พิมพ์ที่ : บริษัท กรีนแอปเปิ้ล พริ้นติ้ง จำกัด
หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร เล่มนี้ ได้จัดทำ ขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้ตัวชี้วัดชั้นปีของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ของกระทรวงศึกษาธิการ เมื่อผู้เรียนได้เรียนและปฏิบัติกิจกรรมตามหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ครบทั้ง6เล่ม ผู้เรียนจะมีศักยภาพ ความสามารถทั้งในด้านความรู้เชิงเนื้อหาและมีทักษะ/กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ที่จำ เป็น สามารถแก้ปัญหาได้ด้วยวิธีที่หลากหลาย สามารถให้เหตุผลสามารถสื่อสารสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตร์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์สามารถเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์ กับศาสตร์อื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าการนำ เสนอเนื้อหาในหนังสือชุดนี้จะมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรอบรู้ในเนื้อหา และมี ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว แต่ผู้เรียนจะบรรลุตามมาตรฐานการเรียนรู้ที่จำ เป็นทั้ง 6 สาระ คือ สาระที่ 1จำ นวนและการดำ เนินการสาระที่2 การวัด สาระที่3เรขาคณิต สาระที่4 พีชคณิต สาระที่5 การวิเคราะห์ ข้อมูลและความน่าจะเป็น และสาระที่6 ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ย่อมขึ้นอยู่กับองค์ประกอบที่สำ คัญ 2 ประการ คือ ตัวผู้เรียนและตัวผู้สอน ทั้งผู้เรียนและผู้สอนจำ เป็นจะต้องให้ความเอาใจใส่ต่อการจัดกิจกรรมการเรียน การสอนอย่างจริงจังในทุกขั้นตอน กล่าวคือผู้เรียนจะต้องพร้อมที่จะศึกษาเล่าเรียนอย่างจริงจัง มุ่งมั่นที่จะศึกษา ค้นคว้าและทำแบบฝึกหัดอย่างสม่ำ เสมอเมื่อมีข้อสงสัยจะต้องดำ เนินการศึกษาหาคำ ตอบในข้อสงสัยเหล่านั้น โดย อาจร่วมกันศึกษาไปพร้อมกับเพื่อนและกับผู้สอน ส่วนผู้สอนจะมีบทบาทเป็นผู้ช่วยเหลือ ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ เรียนรู้ผู้สอนจะต้องคำ นึงถึงระดับความสามารถและวุฒิภาวะของผู้เรียน โดยการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนจะ ต้องเร่ิมจากง่ายไปยาก จากรูปธรรมไปสู่กึ่งรูปธรรมและนามธรรม ใช้สื่อต่างๆ ที่จำ เป็นเพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้ประกอบ การศึกษาค้นคว้า เพื่อให้พบกฎเกณฑ์ต่างๆ ร่วมกัน แต่การที่ผู้เรียนจะค้นพบกฎเกณฑ์ต่างๆ ได้จะต้องอยู่ใน สถานการณ์ที่เหมาะสม เช่น ในสถานการณ์การสาธิตหรือทดลองร่วมกัน และผู้สอนต้องใช้คำ ถามกระตุ้นไปตาม ลำ ดับจนผู้เรียนสามารถสรุปกฎเกณฑ์ได้ผู้สอนพึงระลึกด้วยว่าการมอบหมายงานอย่างใดอย่างหนึ่งให้ผู้เรียนศึกษา ค้นคว้าจะต้องอยู่ภายใต้พื้นฐานความรู้ของผู้เรียนที่จะสามารถทำ ได้ ด้วยความมุ่งมั่นของผู้สอนที่จะพัฒนาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้เป็นไปตามมาตรฐานที่กำ หนดไว้ และด้วยความตั้งใจจริงของผู้เรียนที่จะแสวงหาความรู้และพัฒนาทักษะ/กระบวนการ ตลอดจนความเอาใจใส่ในการ ทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกทักษะและการตรวจสอบความเข้าใจในเนื้อหาด้วยการฝึกแก้ปัญหาที่แตกต่างไปจากตัวอย่าง ที่พบเห็นในหนังสือเรียน จะทำ ให้ผู้เรียนประสบความสำ เร็จในการเรียนคณิตศาสตร์ได้อย่างแน่นอน รศ. ดร.นพพร แหยมแสง ทรงศักดิ์ ด่านพานิช คำ นำ
หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ตรงตามสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ดังนี้ สาระการเรียนรู้ มาตรฐานการเรียนรู้ สาระที่ 1 จำ นวนและการดำ เนินการ ค 1.1 เข้าใจถึงความหลากหลายของการแสดงจำ นวนและการใช้จำ นวน ในชีวิตจริง ค 1.2เข้าใจถึงผลที่เกิดขึ้นจากการดำ เนินการของจำ นวนและความสัมพันธ์ ระหว่างการดำ เนินการต่างๆ และสามารถใช้การดำ เนินการในการแก้ปัญหา ค 1.3 ใช้การประมาณค่าในการคำ นวณและแก้ปัญหา ค 1.4 เข้าใจระบบจำ นวนและนำสมบัติเกี่ยวกับจำ นวนไปใช้ สาระที่ 3 เรขาคณิต ค 3.2 ใช้การนึกภาพ (visualization) ให้เหตุผลเกี่ยวกับปริภูมิ(spatial reasoning) และใช้แบบจำ ลองทางเรขาคณิต (geometric model) ใน การแก้ปัญหา สาระที่ 4 พีชคณิต ค 4.2 ใช้นิพจน์สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปล ความหมายและนำ ไปใช้แก้ปัญหา สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การ สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำ เสนอ การเชื่อมโยง ความรู้ ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ และมี ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
คำ ชี้แจง หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 นี้บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำ กัด จัดทำ และพัฒนาขึ้นใหม่ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 โดยที่หนังสือเรียนเล่มนี้ได้ปรับปรุงพัฒนาจากการติดตามผลการนำ ไปใช้ใน ระยะเวลา 5 ปีที่ผ่านมา โดยปรับเนื้อหาและกิจกรรมให้ทันสมัย เหมาะสมกับนโยบายการจัด การศึกษาของรัฐและสภาพสังคมที่เปลี่ยนแปลงไปสู่สังคมอุดมปัญญาที่เครื่องมือสื่อสารมีความทันสมัย และมีประสิทธิภาพสูง ทำ ให้มนุษย์สามารถเข้าถึงแหล่งข้อมูลความรู้ได้สะดวกรวดเร็วมาก รูปแบบ การเรียนรู้และการจัดการเรียนการสอนมีความจำ เป็นต้องปรับเปลี่ยน โดยตระหนักในข้อนี้ บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำ กัด จึงได้มีการปรับปรุงและพัฒนาหนังสือเรียนเล่มนี้ใหม่ โดยยังคงยึดแนวทาง ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ดังนี้ 1. จัดทำ สาระการเรียนรู้ให้ตรงตามตัวชี้วัดชั้นปีและครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรู้ของ หลักสูตรทุกมาตรฐานที่หลักสูตรแกนกลางฯ กำ หนดให้เรียนในแต่ละปี 2. จัดทำ ตัวชี้วัดชั้นปีเพื่อการประเมินคุณภาพภายนอก รอบที่4 ด้านผู้เรียนของสำ นักงาน รับรองมาตรฐานและประเมินคุณภาพการศึกษา(สมศ.)และสะท้อนให้เห็นถึงความตระหนักและความ พยายามของสถานศึกษาที่จะจัดการเรียนการสอนให้ได้ตามมาตรฐานที่กำ หนด 3. จัดให้มีกิจกรรมเพื่อฝึกกระบวนการเรียนรู้ที่มุ่งพัฒนาให้ผู้เรียนได้เรียนรู้จนบรรลุตาม มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัดชั้นปีของหลักสูตร โดยผู้สอนควรให้คำ แนะนำ เพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียน ทุกคนปฏิบัติได้จริง บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำ กัด ขอขอบพระคุณทุกท่านที่ให้ความไว้วางใจเลือกใช้สื่อการเรียนรู้ ของบริษัท และขอตั้งปณิธานว่าจะสร้างสรรค์สื่อการเรียนรู้ที่มีคุณค่าและเกิดประโยชน์สูงสุดต่อวงการ การศึกษาตลอดไป บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำ กัด
สารบัญ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1 (ตรงตามมาตรฐาน ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2 และ ค 6.1 ตัวชี้วัดข้อ 1) 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 6 3. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 16 4. พหุคูณของความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 22 5. กิจกรรมชวนศึกษา 27 หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำ นวนจริง 31 (ตรงตามมาตรฐาน ค 1.1 ตัวชี้วัดข้อ 1, 2, 3, ค 1.2 ตัวชี้วัดข้อ 1, 2, ค 1.3 ตัวชี้วัดข้อ 1, ค 1.4 ตัวชี้วัดข้อ 1 และ ค 6.1 ตัวชี้วัดข้อ 1) 1. ระบบจำ นวนจริงเบื้องต้น 32 2. รากที่สองและรากที่สามในระบบจำ นวนจริง 46 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 78 (ตรงตามมาตรฐาน ค 4.2 ตัวชี้วัดข้อ 1 และ ค 6.1 ตัวชี้วัดข้อ 2) 1. สมการ 79 2. การประยุกต์ 89 หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 เส้นขนาน 102 (ตรงตามมาตรฐาน ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 1) 1. เส้นขนาน 103 2. เส้นขนานและมุมแย้งภายใน 120
3 . เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน 123 4 . เส้นขนานและมุมแย้งภายนอก 125 5 . รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน 133 บรรณานุกรม 143 ภาคผนวก 144 ดัชนี 148
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการให้เหตุผลและแก้ปัญหา (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2) 2. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา (มฐ. ค 6.1 ตัวชี้วัดข้อ 1) ทฤษฎีบท พีทาโกรัส 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2) 5. กิจกรรมชวนศึกษา (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2, มฐ. ค 6.1 ตัวชี้วัดข้อ 1) 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2) 4. พหุคูณของความยาว ของด้านทุกด้านของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2) 3. บทกลับของทฤษฎีบท พีทาโกรัส (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วัดข้อ 2) ตัวชี้วัดชั้นปี
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 2 ในหน่วยการเรียนรู้นี้ นักเรียนจะได้ทราบสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีชื่อว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagoras’ theorem) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำ คัญ มากในคณิตศาสตร์ มีหลักฐานชัดเจนว่าในยุคสมัยบาบิโลนมีการศึกษาและค้นพบความสัมพันธ์ของความยาว ของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังต่อไปนี้ 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก พิจารณา รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีACB ^ เป็นมุมฉาก เรียก AB ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียก AC และ BC ว่าด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น ด้านที่ยาวที่สุด สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ด้านประกอบมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากมี ความยาวตามที่กำ หนดให้ดังนี้ 1. ด้านประกอบมุมฉากยาว 3 เซนติเมตร และ 4 เซนติเมตร วัดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้5 เซนติเมตร ความสัมพันธ์ของความยาวของด้านทั้งสาม 5 2 5 3 2 14 2 A C B 4 ซม. 3 ซม.
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3 2. ด้านประกอบมุมฉากยาว 6 เซนติเมตร และ 8 เซนติเมตร วัดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้10 เซนติเมตร ความสัมพันธ์ของความยาวของด้านทั้งสาม 102 5 6 2 18 2 3. ด้านประกอบมุมฉากยาว 2.4 เซนติเมตร และ 3.2 เซนติเมตร วัดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้4 เซนติเมตร ความสัมพันธ์ของความยาวของด้านทั้งสาม 4 2 5 3.22 12.42 ข้อ 1, 2, 3 จะสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของความยาวของด้าน ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม ACB เป็นมุมฉาก ถ้า c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ดังรูป จะได้ความสัมพันธ์ของความยาวของด้านทั้งสามเป็น c 2 5 a 2 1b 2 8 ซม. 6 ซม. A B a C b c 3.2 ซม. 2.4 ซม.
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 4 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำ หรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำ ลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำ ลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก กิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 1 จงใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสาม 1. 2. 3. 4. 5. ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ (1) (2) วิธีทำ (1) จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ a 2 5 9 2 1122 5 811144 5 225 5 15315 หรือ (215)3(215) a 5 15 หรือ 215 เนื่องจาก a เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น a 5 15 ตอบ 15 หน่วย x y z a b 12 a 6 10 2.4 n 2.6 m 3.6 1.5 a 26 a 12 10 9
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 5 (2) จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 262 5 a 2 1102 a 2 5 262 2102 5 6762100 5 576 5 24324 หรือ (224)3(224) a 5 24 หรือ 224 เนื่องจาก a เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น a 5 24 ตอบ 24 หน่วย แบบฝึกหัด 1 1. จงหาค่าของ x เมื่อ x แทนความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ 2. จากรูป DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AB 5 AC 5 15 หน่วย, BC 5 18 หน่วย AD ⊥ BC จงหาพื้นที่ DABC 3. จากรูป hABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก BD 5 25 หน่วย และ AB 5 15 หน่วย จงหาความยาวเส้นรอบรูปของ hABCD x 20 29 x 3.5 1.2 x 12 16 x 30 34 A B D C A B D C 25 15
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 6 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากรูป DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม ABC เป็นมุมฉาก เรียก AC ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียก AB และ BC ว่าด้านประกอบมุมฉาก กิจกรรมความสัมพันธ์ของด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มีความสัมพันธ์พิเศษระหว่างพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างจากด้านสามด้านของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กิจกรรมสองกิจกรรมต่อไปนี้จะช่วยให้นักเรียนเริ่มเห็นความสัมพันธ์ ดังกล่าวก่อนที่จะกล่าวในรูปทั่วไปในกิจกรรม 3 กิจกรรม 1 1. ให้นักเรียนใช้กระดาษสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีAC และ CB ซึ่งเป็น ด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากัน และ AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก 2. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AC , CB และ AB กำ หนดชื่อเป็น hACMN, hCBPO และ hARQB ตามลำ ดับ ดังรูป A B C A B C R Q O P N M
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 7 3. ลาก AM , NC , CP และ OB 4. ตัด hACMN และ hCBPO แต่ละรูปออกเป็น 4 ชิ้น ดังรูป 5. นำ รูปสามเหลี่ยมทั้ง 8 ชิ้น ไปวางซ้อนทับ hARQB จะวางซ้อนทับ hARQB ได้สนิท พอดีหรือไม่ กิจกรรม 2 1. ให้นักเรียนใช้กระดาษสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีมุม ACB เป็นมุมฉาก และ CB ยาวเป็นสองเท่าของ AC 2. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AB, AC และ BC กำ หนดชื่อเป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามลำ ดับ ดังรูป 1 4 3 2 5 7 8 6 A B R Q O N M C A C G F H I B D E P
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 8 3. ตัด hAGFC และตัด hBCHI โดยแบ่ง hBCHI ออกเป็น 4 ส่วน โดยมีจุด J และ จุด K เป็นจุดกึ่งกลางของ HI และ BC ตามลำ ดับ ดังรูป 4. นำ กระดาษทั้ง 5 ชิ้น (คือชิ้นที่ 1, 2, 3, 4 และ 5) ไปซ้อนทับ hABDE จะวางซ้อนทับ hABDE ได้สนิทพอดีหรือไม่ ในกิจกรรม 1 และกิจกรรม 2 นักเรียนได้นำ ชิ้นส่วนจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน ด้านประกอบมุมฉากไปวางซ้อนทับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งจะวาง ได้เต็มรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากพอดีการทำ กิจกรรม 1 และกิจกรรม 2 พบว่า ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส บนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปกิจกรรม 1 รูปกิจกรรม 2 1 2 4 3 5 G F A C E D B H I K J 1 4 3 2 5 7 8 6 A M C B N O P R Q 1 2 4 3 5 A C G F E D B H I
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 9 กิจกรรม 3 1. ให้นักเรียนใช้กระดาษสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีมุม ACB เป็นมุมฉาก และ BC ยาวกว่า AC 2. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AB, AC และ BC กำ หนดชื่อเป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามลำ ดับ ดังรูป 3. หาจุดใน hBCHI ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม กำ หนดจุดดังกล่าวเป็นจุด O 4. ที่จุด O ลากเส้นตรง j ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และลากเส้นตรง k ตั้งฉากกับเส้นตรง j เส้นตรง j และเส้นตรง k แบ่ง hBCHI เป็นส่วนย่อย 4 ส่วน ดังรูป 5. ตัด hAGFC และส่วนย่อย 4 ส่วน ของ hBCHI ไปวางซ้อนทับ hABDE จะซ้อนทับ hABDE ได้สนิทพอดีหรือไม่ ถ้านักเรียนสร้างรูปไม่คลาดเคลื่อน เมื่อนำ ไปวางซ้อนทับ hABDE จะพบว่าซ้อนทับได้ สนิทพอดีนักเรียนจะสรุปผลการทำ กิจกรรมนี้ว่าอย่างไร ให้นักเรียนเปรียบเทียบข้อสรุปของ นักเรียนกับข้อสรุปของเพื่อนๆ A B C F H I E D G B H I k O C F G A E D j
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 10 ถ้าความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็น a และ b ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากจะเป็น a 2 และ b 2 ตามลำ ดับ ถ้าความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น c ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น c 2 จงเขียนข้อความคาดกาณ์ของนักเรียน ข้อความคาดการณ์ของนักเรียนควรสอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนี้ สำ หรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลบวกของกำ ลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก นั่นคือ เมื่อ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b เป็นความยาวของด้าน ประกอบมุมฉาก จะได้ c 2 5 a 2 1b 2 ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำ หนด a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก (1) a 5 12, b 5 5 (2) a 5 1.6, b 5 3 (3) a 5 7, b 5 24 วิธีทำ (1) จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส c 2 5 a 2 1b 2 เมื่อ a 5 12 และ b 5 5 จะได้ c 2 5 122 15 2 5 144125 5 169 5 13313 ดังนั้น c 5 13 ตอบ 13 หน่วย a b c
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 11 (2) จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส c 2 5 a 2 1b 2 เมื่อ a 5 1.6 และ b 5 3 จะได้ c 2 5 1.62 13 2 5 2.5619 5 11.56 5 3.433.4 ดังนั้น c 5 3.4 ตอบ 3.4 หน่วย (3) จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส c 2 5 a 2 1b 2 เมื่อ a 5 7 และ b 5 24 จะได้ c 2 5 7 2 1242 5 491576 5 625 5 25325 ดังนั้น c 5 25 ตอบ 25 หน่วย หมายเหตุ เนื่องจาก a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น ในหน่วยการเรียนรู้นี้จึง กล่าวถึงเฉพาะค่า a, b และ c ที่เป็นบวกเท่านั้น ในกรณีที่โจทย์กำ หนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก และความยาวของด้าน ประกอบมุมฉากมาให้ด้านหนึ่งเราก็สามารถหาความยาวของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งได้ เนื่องจาก c 2 5 a 2 1b 2 ..........(1) ถ้าโจทย์กำ หนดค่า c และ a มาให้และโจทย์ต้องการหาค่า b เราอาจจัดรูปสมการ (1) เป็น b 2 5 c 2 2a 2 ..........(2) ถ้าโจทย์กำ หนดค่า c และ b มาให้และโจทย์ต้องการหาค่า a เราอาจจัดรูปสมการ (1) เป็น a 2 5 c 2 2b 2 ..........(3)
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 12 ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวของด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำ หนดให้a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (1) b 5 15, c 5 39 (2) a 5 24, c 5 30 (3) b 5 4.5, c 5 7.5 วิธีทำ (1) จาก a 2 5 c 2 2b 2 b 5 15 และ c 5 39 จะได้ a 2 5 392 2152 5 1,5212225 5 1,296 5 36336 ดังนั้น a 5 36 ตอบ 36 หน่วย (2) จาก b 2 5 c 2 2a 2 เมื่อ a 5 24 และ c 5 30 จะได้ b 2 5 302 2242 5 9002576 5 324 5 18318 ดังนั้น b 5 18 ตอบ 18 หน่วย (3) จาก a 2 5 c 2 2b 2 เมื่อ b 5 4.5 และ c 5 7.5 จะได้ a 2 5 7.52 24.52 5 56.25220.25 5 36 5 636 ดังนั้น a 5 6 ตอบ 6 หน่วย
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 13 ตัวอย่างที่ 3 ชายคนหนึ่งขี่รถจักรยานไปทางทิศเหนือ 14 กิโลเมตร แล้วเดินทางต่อโดยการ เดินเท้าไปทางทิศตะวันตกอีก 10 กิโลเมตร จากนั้นนั่งเรือขึ้นไปทางทิศเหนืออีก 10 กิโลเมตร จึงถึงที่หมาย ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่กิโลเมตร วิธีทำ ให้จุด A เป็นจุดเริ่มต้น AB เป็นระยะทางที่ขี่รถจักรยานไปทางทิศเหนือ 14 กิโลเมตร BC เป็นระยะทางที่เดินเท้าไปทางทิศตะวันตก 10 กิโลเมตร CD เป็นระยะทางที่นั่งเรือขึ้นไปทางทิศเหนือ 10 กิโลเมตร AD แทนระยะห่างจากจุดเริ่มต้นถึงที่หมาย ต่อ DC ไปทางจุด C พบส่วนของเส้นตรง AE ที่ขนานกับ BC ที่จุด E จะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCE และรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADE ที่มีมุม AED เป็นมุมฉาก จะได้ AD2 5 AE2 1DE2 แต่ AE 5 BC 5 10 และ DE 5 DC1CE 5 10114 (CE 5 AB) 5 24 จะได้ AD2 5 102 1242 5 1001576 5 676 5 26326 ดังนั้น AD 5 26 ตอบ ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 26 กิโลเมตร ตัวอย่างที่ 4 จากรูป จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูABCD ซึ่งมีAB 5 12 เซนติเมตร BC 5 13 เซนติเมตร และ CD 5 17 เซนติเมตร 10 กม. 10 กม. 14 กม. D C E A B 13 ซม. 12 17 ซม. ซม. A D B C E
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 14 วิธีทำ ลาก BE ขนานกับ AD พบ CD ที่จุด E ดังนั้น DBCE เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ hABED เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะได้ EC 5 CD2ED 5 17212 (ED 5 AB) 5 5 เซนติเมตร เนื่องจาก DBCE เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น BC2 5 BE2 1CE2 132 5 BE2 15 2 BE2 5 132 25 2 5 169225 5 144 5 12312 จะได้ BE 5 12 เซนติเมตร นั่นคือ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูABCD 5 1 2 3(12117)312 5 2936 5 174 ตารางเซนติเมตร ตอบ 174 ตารางเซนติเมตร กิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 2 กำ หนด a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้าม มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาความยาวของอีกด้านหนึ่ง 1. a 5 8, b 5 15 2. a 5 12, b 5 35 3. b 5 2.1, c 5 2.9 4. a 5 2.4, c 5 3
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 15 แบบฝึกหัด 2 1. จงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาค่าของ c เมื่อ c แทนความยาวของด้าน (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 3 4 c 1 2.4 c c 60 25 c 56 33 60 45 c 1.2 0.9 c c 1.6 6.3 c 5 1.4 41 40 c b c 28 53
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 16 2. จากรูปที่กำ หนดให้จงหาค่าของ a เมื่อ a แทนความยาวของด้าน (1) (2) (3) 3. บันไดยาว 50 ฟุต ปลายบันไดข้างหนึ่งจรดกับเสาสูง 48 ฟุต ปลายบันไดอีกข้างหนึ่งอยู่ห่าง จากโคนเสากี่ฟุต 3. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถ้าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ให้นักเรียนทำ กิจกรรมต่อไปนี้ ขั้นที่ 1 กำ หนดส่วนของเส้นตรงยาว 8 เซนติเมตร 15 เซนติเมตร และ 17 เซนติเมตร พิจารณาความสัมพันธ์ของกำ ลังสองของความยาวส่วนของเส้นตรง จะเห็นว่า 172 5 152 18 2 ขั้นที่ 2 ใช้วงเวียนและสันตรงสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ส่วนของเส้นตรงที่สร้างในขั้นที่ 1 ขั้นที่ 3 ใช้โพรแทรกเตอร์วัดขนาดของมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด มุมดังกล่าว มีขนาดเท่ากับ 90 องศา หรือไม่ 12 17 a 22 20 25 a a 16 4 8 7
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 17 ให้นักเรียนหาความสัมพันธ์ของกำ ลังสองของความยาวส่วนของเส้นตรงที่กำ หนด ให้แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวส่วนของเส้นตรงที่กำ หนดให้พร้อมตรวจสอบว่าเป็น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ กำ หนดความยาวส่วนของเส้นตรง ดังนี้ 3 เซนติเมตร, 4 เซนติเมตร และ 5 เซนติเมตร จะเห็นว่า 5 2 5 3 2 14 2 สร้างรูป DXYZ ให้XY 5 3 เซนติเมตร XZ 5 4 เซนติเมตรและ YZ 5 5 เซนติเมตร วัดมุม YXZ มีขนาด 908 หรือไม่ จากกิจกรรมจะเห็นได้ว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยม XYZ มีด้านยาว x, y และ z หน่วย ตามลำ ดับ และ x 2 5 y 2 1z 2 จะได้ว่า DXYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านที่ยาว x หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นจริงตามบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่กล่าวว่า สำ หรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำ ลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวก ของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้ กำ หนดให้DABC มีAB 5 c หน่วย BC 5 a หน่วย AC 5 b หน่วย และ b 2 5 a 2 1c 2 ต้องการพิสูจน์ว่า DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม ABC เป็นมุมฉาก แนวคิดในการพิสูจน์ต้องสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF ให้มุม DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เป็นด้านประกอบมุมฉากยาว a หน่วย และ c หน่วย ตามลำ ดับ แล้วแสดงว่า DDEF DABC 3 4 5 Y X Z A B C a b c
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 18 พิสูจน์สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF ให้มุม DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เป็นด้าน ประกอบมุมฉากยาว a หน่วย และ c หน่วย ตามลำ ดับ EF 5 BC 5 a และ DE 5 AB 5 c (จากการสร้าง) DDEF เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ DF2 5 a 2 1c 2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แต่จาก DABC จะได้ b 2 5 a 2 1c 2 (กำ หนดให้) ดังนั้น DF2 5 b 2 (สมบัติการเท่ากัน) นั่นคือ DF 5 b จะได้ DDEF > DABC (ด้าน-ด้าน-ด้าน) ดังนั้น DEF ^ 5 ABC ^ 5 908 (มุมที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการมีขนาดเท่ากัน) นั่นคือ DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม ABC เป็นมุมฉาก ตัวอย่างที่ 1 DABC มีด้านยาว 15 เซนติเมตร, 36 เซนติเมตร และ 39 เซนติเมตร DABC เป็น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ ให้ a 5 15 เซนติเมตร b 5 36 เซนติเมตร c 5 39 เซนติเมตร จะได้ a 2 5 225 b 2 5 1,296 c 2 5 1,521 a 2 1b 2 5 22511,296 5 1,521 ดังนั้น c 2 5 a 2 1b 2 ตอบ DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก D E F c a A B C 39 ซม. 15 ซม. 36 ซม.
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 19 ตัวอย่างที่ 2 กำ หนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงว่า DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก วิธีทำ DABD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ AB2 5 AD2 1BD2 5 122 1162 5 1441256 AB2 5 400 DACD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ AC2 5 AD2 1CD2 5 122 19 2 5 144181 AC2 5 225 จะได้ AB2 1AC2 5 4001225 5 625 และ BC2 5 (BD1DC)2 5 (1619)2 5 252 5 625 ดังนั้น BC2 5 AB2 1AC2 ตอบ DABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม BAC เป็นมุมฉาก A B C D 12 16 9
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 20 แบบฝึกหัด 3 1. จงใช้บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปเป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉากหรือไม่ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. จงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสแก้ปัญหาแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านเป็น 9 นิ้ว 12 นิ้ว และ 18 นิ้ว เป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉากหรือไม่ (2) จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร และ ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 12 เซนติเมตร (3) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านยาว 9 เซนติเมตรและ 12 เซนติเมตรและเส้นทแยงมุมยาว 15 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าไม่เป็น รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ความยาวเส้นทแยงมุมที่ยาว 15 เซนติเมตรนี้เป็นเส้นทแยงมุมเส้น ที่สั้นกว่าหรือยาวกว่าเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง (4) จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว 26 เซนติเมตร และความยาวของด้านอีกด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็น 10 เซนติเมตร (5) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปหนึ่ง มีเส้นทแยงมุมยาว 16 และ 12 เซนติเมตร จะมี เส้นรอบรูปยาวกี่เซนติเมตร 2 1.2 1.6 5 14 13 12 37 35 4 65 63 16 5 15 12.5 9.5 10.4
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 21 3. จงแสดงวิธีทำ (1) รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านกว้าง 7 เซนติเมตร ด้านยาว 24 เซนติเมตร จะมี เส้นทแยงมุมยาวเท่าไร (2) ถ้าความยาวของด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจำ นวนนับสามจำ นวน เรียงกัน จงหาความยาวของด้านทั้งสาม (3) ถ้าความยาวของด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจำ นวนคู่สามจำ นวนเรียง กัน จงหาความยาวของด้านทั้งสาม (4) จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 34 เซนติเมตร และ ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 30 เซนติเมตร (5) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวของเส้นทแยงมุมเป็น 16 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ มีพื้นที่เท่าไร (6) รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 28 เซนติเมตร และรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้มี ความกว้าง 6 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุม (7) รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านที่ยาวเท่ากันยาวด้านละ 13 เซนติเมตรฐานยาว 24 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วนี้ (8) สวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 12 เมตร และมีเส้นทแยงมุมยาว 20 เมตร จงหา ความยาวรอบรูปของสวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ (9) ในการหาระยะทางระหว่างจุด A และ B ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกันของทะเลสาบ ผู้สำ รวจได้กำ หนดจุด C เพื่อให้มุม ABC เป็นมุมฉาก โดยการวัดพบว่าระยะ AC ยาว 80 เมตร และระยะ BC ยาว 64 เมตร จงหาระยะจาก A ถึง B (10) เสาธงต้นหนึ่งหัก ณ จุดที่สูงจากพื้นดิน 9 ฟุต และจุดปลายด้านบนของเสาโดนพื้นซึ่ง ห่างจากฐาน 12 ฟุต ดังรูป จงหาว่าก่อนที่เสาธงจะหักเสาธงสูงกี่ฟุต ทะเลสาบ A B C 64 ม. 80 ม. 9 ฟุต 12 ฟุต
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 22 4. อาคารสองหลังอยู่ห่างกัน 12 เมตร อาคารหลังหนึ่งสูง 14 เมตร อีกหลังหนึ่งสูง 23 เมตร ต้องการใช้บันไดพาดระหว่างดาดฟ้าของอาคารทั้งสอง ความยาวของบันไดนั้นยาวอย่าง น้อยกี่เมตร 5. จากรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มีด้าน AB ยาว 12 เซนติเมตร ด้าน AD ยาว 9 เซนติเมตร และด้าน DH ยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน BH 4. พหุคูณของความยาวของด้าน ทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าเปลี่ยนความยาวแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยคูณความยาวของด้านด้วย จำ นวนบวกเดียวกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมที่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ นักเรียนสามารถ สร้างข้อความคาดการณ์ได้จากการทำ กิจกรรมต่อไปนี้ 12 ซม. H G E F C A B 8 ซม. 9 ซม. D
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 23 กิจกรรม กำ หนดให้a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของ ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้นักเรียนดำ เนินการดังนี้ 1. เลือกรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปใดรูปหนึ่ง เปลี่ยนความยาวของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว เป็นสองเท่าของความยาวเดิม แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์ในรูป a 2 1b 2 5 c 2 ถ้าเป็นไปตาม ความสัมพันธ์แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสองเท่าของความยาวเดิมเป็นรูปสาม เหลี่ยมมุมฉาก 2. เลือกรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปอื่นๆ ที่ต่างจากรูปสามเหลี่ยมในข้อ 1 เปลี่ยนความยาว ของรูปสามเหลี่ยมเป็นสามเท่าของความยาวเดิม แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์ในรูป a 2 1b 2 5 c 2 ถ้าเป็นไปตามความสัมพันธ์แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสามเท่าของความยาว เดิมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. เลือกรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปอื่นๆ ที่ต่างจากรูปสามเหลี่ยมในข้อ 1 และข้อ 2 คูณ ความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วยจำ นวนบวกเดียวกันซึ่งไม่จำ เป็นต้องเป็น จำ นวนนับ แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์ในรูป a 2 1b 2 5 c 2 ถ้าเป็นไปตามความสัมพันธ์แสดงว่า รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4. เขียนข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับการคูณความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยจำ นวนบวกเดียวกัน แล้วตรวจสอบว่าสอดคล้องกับข้อสังเกตต่อไปนี้หรือไม่ ข้อสังเกต ถ้าคูณความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยจำ นวนบวก เดียวกัน ความยาวแต่ละด้านที่ได้จะยังคงเป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากข้อความดังกล่าว เราสามารถเขียนในรูปทั่วไปโดยใช้สัญลักษณ์ เมื่อ a, b, c เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ n 0 ถ้า a 2 1b 2 5 c 2 แล้ว (na)2 1(nb)2 5 (nc)2
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 24 จากการทำ กิจกรรมข้างต้นนี้ นักเรียนจะพบว่า ถ้าคูณความยาวของทั้งสามด้านของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยจำ นวนบวกเดียวกัน แล้วความยาวที่ได้จะยังคงเป็นความยาวของ ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แบบฝึกหัด 4 1. จงหาความยาวของด้านที่ยังไม่ทราบความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2. กำ หนดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่ 168 ตารางเซนติเมตร ดังรูป จงหา a และ c 27 45 5.6 4.8 5 6.5 24 51 20 48 4 13 12 21 72 7 ซม. a c
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 25 3. ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่าไร (1) (2) (3) 4. กำ หนด a, b, c เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ a , b , c ถ้าเพิ่ม ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็น 2 เท่า, 3 เท่า, 4 เท่า และ 2.4 เท่าของความ ยาวเดิม แล้วความยาวด้านที่เปลี่ยนไปจะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่ ตัวอย่าง กำ หนด a 5 3, b 5 4, c 5 5 เพิ่มความยาวด้านเป็น 3 เท่าของความยาวเดิม จะได้3a 5 9, 3b 5 12 และ 3c 5 15 จะได้ 152 5 9 2 1122 225 5 811144 เป็นจริง ดังนั้น เมื่อเพิ่มความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็น 3 เท่าของความยาวเดิม ความยาวด้านที่เปลี่ยนไปยังคงเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้นักเรียนเติมข้อความในช่องว่างให้สมบูรณ์ 48 ซม. 4 ซม. 14 ซม. 12 นิ้ว 13 นิ้ว 7 ซม. 25 ซม. O
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 26 ความยาว ด้านของ รูปสามเหลี่ยม มุมฉาก a, b, c เปลี่ยนเป็น 2 เท่า 2a, 2b, 2c เปลี่ยนเป็น 3 เท่า 3a, 3b, 3c เปลี่ยนเป็น 4 เท่า 4a, 4b, 4c เปลี่ยนเป็น 2.4 เท่า 2.4a, 2.4b, 2.4c 3, 4, 5 ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... 9, 12, 15 152 5 9 2 1 122 225 5 811144 เป็นจริง ดังนั้น 9, 12, 15 เป็นความยาวด้าน ของรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ 5, 12, 13 ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... 8, 15, 17 ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 27 5. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 12 เซนติเมตร และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 37 เซนติเมตร 6. กล่องขนาด 6 ซม.38 ซม.324 ซม.ดังรูป หลอดแก้วที่ยาวที่สุดที่จะใส่กล่องได้มีความยาว เท่าไร 5. กิจกรรมชวนศึกษา เรามีวิธีที่แสดงให้เห็นจริงในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่มากมายหลายวิธีใน หน่วยการเรียนรู้นี้จะกล่าวบางวิธีที่นักเรียนสามารถศึกษาได้ ให้นักเรียนพิจารณา hABCD และ hEFGH ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวแต่ละ ด้านเป็น a1b หน่วย และรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย ดังรูป จงตอบคำ ถามต่อไปนี้ หลอดแก้ว 24 ซม. 8 ซม. 6 ซม. x
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 28 รูปที่ 1 รูปที่ 2 1. hABCD มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย 2. hEFGH มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย 3. พื้นที่ hABCD และพื้นที่ hEFGH เท่ากันหรือไม่ 4. รูปสามเหลี่ยมทั้งแปดรูปที่บรรจุอยู่ใน hABCD และ hEFGH แต่ละรูปมีพื้นที่เท่าไร 5. hIJKL เป็นรูปสี่เหลี่ยมชนิดใด 6. กำ หนดรูปสามเหลี่ยมทั้งแปดรูป แต่ละรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย ดังนั้น hIJKL มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย 7. hEMQO เป็นรูปสี่เหลี่ยมชนิดใด มีพื้นที่เท่าไร 8. hPGNQ เป็นรูปสี่เหลี่ยมชนิดใด มีพื้นที่เท่าไร 9. พื้นที่ hIJKL เกี่ยวข้องกับผลบวกพื้นที่ hEMQO และ hPGNQ อย่างไร หากนักเรียนศึกษาปัญหาข้างต้นได้เข้าใจนักเรียนจะสามารถตอบคำ ถามได้ว่า 1. hABCD มีพื้นที่ (a1b)2 5 a 2 12ab1b 2 ตารางหน่วย 2. hEFGH มีพื้นที่ (a1b)2 5 a 2 12ab1b 2 ตารางหน่วย 3. พื้นที่ hABCD เท่ากับพื้นที่ hEFGH (จากคำ ตอบข้อ 1 และข้อ 2) 4. รูปสามเหลี่ยมทั้งแปดรูป แต่ละรูปมีพื้นที่ 1 2 3a3b 5 1 2 ab ตารางหน่วย 5. จากรูป hIJKL สามารถแสดงได้ว่า 4 ^ 5 908 ดังนี้ เนื่องจาก 1 ^ 1 2 ^ 5 908 (มุมอีกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) และ 1 ^ 5 3 ^ (DAIL > DBJI) ดังนั้น 3 ^ 1 2 ^ 5 908 (สมบัติการเท่ากัน) ..........(1) และ 3 ^ 1 2 ^ 1 4 ^ 5 1808 (ขนาดของมุมตรง) ..........(2) ดังนั้น จาก (1) และ (2) จะได้ว่า 4 ^ 5 908 A D B I J K L C a b b a a a b b 4 3 1 7 6 5 4 c 2 c c c c c 2 3 1 E H F M P G b O N a a a a b b b 6 5 8 7 Q
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 29 เช่นเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า 5 ^ , 6 ^และ 7 ^ ต่างก็มีขนาด 908 และ hIJKL มีแต่ละด้านยาว c หน่วย ดังนั้น hIJKL เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6. hIJKL มีความยาวแต่ละด้าน c หน่วย จึงมีพื้นที่ c 2 ตารางหน่วย 7. hEMQO เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีพื้นที่ a 2 ตารางหน่วย 8. hPGNQ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีพื้นที่ b 2 ตารางหน่วย 9. เนื่องจาก พื้นที่ hABCD ลบด้วยผลบวกพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 4 รูป เท่ากับ พื้นที่ hEFGH ลบด้วยผลบวกพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ดังนั้น พื้นที่ hIJKL 5 พื้นที่ hEMQO1พื้นที่ hPGNQ นั่นคือ c 2 5 a 2 1b 2 แบบฝึกหัด 5 1. hABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวของด้านแต่ละด้านเท่ากับ a1b หน่วย และ hEFGH มีความยาวของด้านแต่ละด้านเท่ากับ c หน่วย จงเติมช่องว่างหรือตอบคำ ถามต่อไปนี้ (1) hABCD มีพื้นที่ (a1b)2 5 a 2 12ab1.................... ตารางหน่วย (2) hEFGH มีพื้นที่เท่าไร (3) รูปสามเหลี่ยมสี่รูปมีพื้นที่รวมกันเป็น 4 1 2 × a × b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 5 .................... ตารางหน่วย (4) พื้นที่ hABCD ลบด้วยพื้นที่รูปสามเหลี่ยมสี่รูป เท่ากับ (a1b)2 24 1 2 × a × b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 5 a 2 12ab1b 2 2.................... 5 a 2 1 .................... ตารางหน่วย จากข้อ (2) และข้อ (4) จะได้ว่า c 2 5 a 2 1 .................... A D B E F G H C a b b a a a b b 4 3 1 2 5 c c c c
คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 30 2. hABDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีความยาวด้านต่างๆ ดังรูป จงเติมช่องว่างหรือตอบคำ ถาม ต่อไปนี้ (1) ACE ^ มีขนาด 908 เพราะเหตุใด (2) DABC มีพื้นที่ 1 2 3p3 .................... 5 1 2 pq ตารางหน่วย (3) DCDE มีพื้นที่ 1 2 3....................3q 5 1 2 pq ตารางหน่วย (4) DACE มีพื้นที่ 1 2 3r3 .................... 5 1 2 r 2 ตารางหน่วย (5) พื้นที่ในข้อ (2), (3) และ (4) รวมกันได้ ....................1....................1.................... 5 pq1 1 2 r 2 ตารางหน่วย (6) หาพื้นที่ hABDE โดยใช้สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ 1 2 3(p1q)(p1q) 5 1 2 (p2 12pq1 ....................) 5 1 2 p 2 1pq1 1 2 q 2 ตารางหน่วย (7) จากข้อ (5) และข้อ (6) เนื่องจากเป็นพื้นที่ของ hABDE เหมือนกัน ดังนั้น จะได้ pq1 1 2 r 2 5 1 2 p 2 1pq1 1 2 q 2 จะได้ r 2 5 ....................1.................... D E B A C p q r q p 1 2 3 4