Portofolio Matematika Wajib - Raden Sultan (30)

Kaidah Pencacahan,
Permutasi, dan Kombinasi

PORTOFOLIO MATEMATIKA
WAJIB XII MIPA 1

IDENTITAS :

Raden Sultan

XII MIPA 1

Kaidah Pencacahan Aturan penjumlahan

Kaidah Pencacahan, Permutasi,
dan Kombinasi :

Permutasi kombinasi

semua unsur, semua unsur ada suatu susunan unsur - unsur
yg sama, semua unsur ada yg yang berbeda yang tidak
berdekatan, sebagian unsur, memperhatikan urutannya

siklis

ANALISIS SITUASI
MASALAH PENCACAHAN

Deskripsi TABEL Faisal memiliki 5 baju yang berbeda warna. Dia juga memiliki 3 celana panjang
yang berbeda. Dapatkah kalian menolong Fasial menentukan banyaknya stelan
baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Faisal?

15
cara

Ketika ingin menentukan cara yang dilakukan secara bersamaan, maka kita dapat melakukan kaidah perkalian, yaitu 3 x 5 = 15 cara

Deskripsi dan Menganalisa Perbedaan

Terdapat angka angka 7,5,6, 3 Terdapat angka angka 7,5,6, 3 Akan
Akan disusun bilangan terdiri dari disusun bilangan terdiri dari 3 angka
3 angka boleh berulang Tulislah berbeda tidak boleh berulang Tulislah
angka berapa saja yang dapat kamu
angka berapa saja yang dapat susun Ada berapa banyak angka yang
kamu susun Ada berapa banyak angka
terbentuk
yang terbentuk?

3,5,6,7 3,5,6,7 3,5,6,7 3,5,6,7 3,5,6 3,5

4 X 4 X 4 = 64 4 X 3 X 2 = 24

Terdapat 64 angka yang terbentuk Angka terbentuk : Terdapat 24 angka yang terbentuk Angka terbentuk
333, 335, 336, 337, 353, 356, 357, 363, 365, 367 dst 765, 763, 753, 756, 736, 735, 675, 673, 657 dst

Deskripsi dan Menganalisa Perbedaan

Terdapat angka angka 7,5,6, 3 Akan Terdapat angka angka 7,5,6, 3 Akan
disusun bilangan ganji l terdiri dari 3 disusun bilangan genap terdiri dari 3
angka (boleh berulang) Tulislah angka angka berbeda (tidak boleh berulang)
berapa saja yang dapat kamu susun Tulislah angka berapa saja yang dapat
kamu susun Ada berapa banyak angka
Ada berapa banyak angka yang
terbentuk? yang terbentuk?

3,5,6,7 3,5,6,7 3,5,7 3,5,7 3,5 6

4 X 4 X 3 = 48 3 X 2 X 1 =6

Terdapat 64 angka yang terbentuk Angka terbentuk : Terdapat 24 angka yang terbentuk Angka terbentuk
333, 335, 336, 337, 353, 356, 357, 363, 365, 367 dst 765, 763, 753, 756, 736, 735, 675, 673, 657 dst

Deskripsi dan Menganalisa Perbedaan

Terdapat angka angka 7,5,6, 3, 2 Akan Terdapat angka angka 7,5,6, 3,2 Akan
disusun bilangan lebih dari 500 terdiri disusun bilangan lebih dari 550 terdiri
dari 3 angka (boleh berulang) Tulislah dari 3 angka boleh berulang Tulislah
angka berapa saja yang dapat kamu angka berapa saja yang dapat kamu
susun Ada berapa banyak angka yang susun Ada berapa banyak angka yang

terbentuk? terbentuk?

5,6,7 2,3,5,6,7 2,3,5,6,7 5 5,6,7 2,3,5,6,7 6,7 5,6,7 2,3,5,6,7

3 X 5 X 5 = 75 ( 1 x 3 x 5) + ( 2 x 5 x 5) = 65

Terdapat 75 angka yang terbentuk Angka terbentuk : Terdapat 65 angka yang terbentuk Angka terbentuk :
522, 523, 525, 526, 527, 532, 533, 535, 536, 537, 552, dst 552, 553, 555, 556,557, 562, 563, 565, 566, 567, 572 dst

Latihan Soal Mandiri

Kota A dan kota E dihubungkan oleh beberpa jalan Pembahasan
melalui kota B, C, dan D seperti pada gambar berikut!
Kota A ke B : 3 Jalan
Jika seseorang berangkat dari kota A menuju Kota B ke C : 2 Jalan
kota E, berapa banyak alternatif jalan yang dipilih? Kota B ke D : 3 Jalan
Kota C ke E : 2 Jalan
Kota D ke E : 1 Jalan

Maka banyaknya jalan

=(AB)(BC)(CE) + (AB)(BD)(DE)
= (3 x 2 x 2) + (3 x 3 x 1)
= 21

Banyaknya jalan yang bisa dipilih ada 21 jalan

Latihan Soal Mandiri

Pembahasan :

Sebuah hotel akan membuat papan nomor kamar Pemilik 5,6,7,8,9 0,1,2,3,5 0,1,2,3,5
hotel berkeinginan menggunakan angka 0 1 2 3 5 6 7 8 9 5,6,7,8 6,7

dan nomor yang terbentuk dari 3 angka berbeda dan 5 X 8 X 7 = 280
bernilai lebih dari 500 Banyak papan nomor kamar yang
Sehingga banyakya nomor kamar yang
dapat dibuat adalah dapat dibuat adalah sebanyak

280 nomor

Penilaian Diri 1

NO PERTANYAAN YES NO

1 Apakah kalian tahu yang dimaksud aturan perkalian? 6
2
3 Apakah kalian tahu yang dimaksud aturan penjumlahan?

4 Apakah kalian tahu yang dimaksud dengan faktorial?

5 Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan aturan
6 perkalian?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan aturan
penjumlahan?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan konsep faktorial?

jumlah

PERMUTASI

SOAL1 Banyak foto berbeda yang mungkin
dapat tercetak:
Ada 5 orang anak akan foto bersama
tiga-tiga di tempat penobatan juara I,
II, dan II. maka banyak foto berbeda

yang mungkin tercetak adalah…

SOAL2 Menggunakan permutasi karena
urutan berpengaruh:
Ada 4 orang anak, akan dipilih ketua,
sekretaris dan bendahara. Berapa
banyak cara susunan?

SOAL3 Karena ada salah satu orang yang diantaranya
harus selalu ada dan menempati tempat juara 1,
Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga di maka banyak nya anak dihitung ada 4. Dan karena
tempat penobatan juara I, II, dan II. Jika salah
seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu posisi yang diacak jadi cuma ada 2 jadi nya:


menempati tempat juara I, maka banyak foto
berbeda yang mungkin tercetak adalah…

Latihan Mandiri 1 Banyak cara posisi berbeda
(ayah dan ibu dianggap 1 orang) :
Suatu keluarga yang terdiri
dari 6 orang duduk melingkar Psiklis = (5-1)! 2! = 4! 2!
pada meja makan. Jika ayah =4x3x2x1x2x1
= 48
dan ibu selalu duduk
berdampingan, maka banyak
cara posisi duduk melingkar
anggota keluarga tersebut

adalah…

Latihan Mandiri 2 3 anak perempuan dihitung 1, jadinya
total orang menjadi 6:
Dengan berapa cara 5 anak
laki-laki dan 3 anak Psiklis = (6-1)! 3! = 5! 3!
=5x4x3x2x1x3x2x1
perempuan dapat disusun
pada suatu lingkaran jika = 720 cara
anak perempuan selalu
berdekatan (berkumpul)

Latihan Mandiri 3 3 anak perempuan dihitung 1, jadinya
total orang menjadi 6:
Dalam berapa cara, 6 buku
pelajaran berbeda dapat Permutasi
disusun pada sebuah rak 6P6 = 6!
=6x5x4x3x2x1
buku? = 720

Latihan Mandiri 4 Ketuanya kelas 12
5 7 6 = 210
Dari sejumlah siswa yang terdiri dari
3 siswa kelas X, 4 siswa kelas XI dan Ketuanya kelas 11

5 siswa kelas XII, akan dipilih 4 3 2 = 24
pengurus OSIS yang terdiri dari Banyak cara = 210 + 24 = 234

ketua, wakil ketua dan

sekretaris. Ketua harus selalu berada
dari kelas yang lebih tinggi dari wakil

ketua dan sekretaris. Banyak cara
untuk memilih pengurus OSIS
adalah…

Latihan Mandiri 5 Permutasi “aman”

Untuk keamanan di suatu bank, P=
nasabah diminta membuat kata sandi unsur sama

dari susunan 4 huruf dari kata Permutasi angka (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
“aman” dan diikuti 2 angka yang
tidak boleh sama. (contoh: mana71, 9) yang dipilih 2 dan tidak boleh sama:

naam54, dsb.). P
Banyaknya sandi yang dapat dibuat

= 12 x 90 = 1080 sandi (dikali karena
10 2 = 2 hal ini dilakukan secara bersamaan,
Banyaknya kata sandi yang dibuat
adalah… bukan dipilih)

Penilaian Diri 2

NO PERTANYAAN YES NO

1 Apakah kalian tahu yang dimaksud aturan permutasi? 6
2
3 Apakah kalian tahu yang dimaksud permutasi dengan pembatasan?

4 Apakah kalian tahu yang dimaksud permutasi dengan siklis?

5 Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan konsep
6 permutasi?

Aapakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan yang terkait permutasi dengan
pembatasan?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan yang terkait permutasi siklis?

jumlah

KOMBINASI

Mutation & combination ANALYSIS



Terdapat 4 peserta didik Amir, Budi, Terdapat 4 peserta didik Amir, Budi,
Cahya dan Doni. Akan dipilih 3 orang Cahya dan Doni. akan dipilih 3 orang
untuk bermain peran dongeng sebagai
kancil, semut dan Cicak. Apakah sama untuk mengikuti cerdas cermat.
? jika terpilih Amir sebagai kancil, Apakah sama ? jika terpilih Amir, Budi
Budi sebagai semut dan Cahya sebagai dan Cahya dengan terpilihnya Budi,
cicak dengan terpilihnya Amir sebagai Amir dan Cahya? Berapa banyak cara
semut, Budi sebagai Kancil dan Cahya
memlih mereka menjadi tim
sebagai cicak? cerdas cermat?
Berapa banyak cara mereka

memainkan peran?

Mutation & combination ANALYSIS



Berbeda. Karena dalam kasus ini Sama saja. Karena dalam kasus ini
urutan berpengaruh, sehingga ketika urutan terpilihnya murid tidak
berpengaruh, sehingga ketika
Kancil = Budi ≠ Kancil = Doni
terpilihnya Amir, Budi, Cahaya = Budi,
Amir, Cahaya.



Untuk mencari banyaknya cara untuk
memilih dapat digunakan kombinasi

Ayo Bandingkan!

Ada 4 orang anak, akan dipilih 3 orang Ada 4 orang anak, akan dipilih 3 orang
untuk menjadi pengurus kelas sebagai untuk mengikuti seminar. Berapa

ketua, sekretaris dan bendahara. banyak cara memilih 3 orang tersebut?
Berapa banyak cara memilih 3 orang


tersebut? Diselesaikan dengan cara Kombinasi.



Diselesaikan dengan cara Permutasi.

LATIHAN SOAL !

1 Jika terdapat 10 soal dalam ujian. 2 Jika terdapat 10 soal dalam ujian.
Peserta didik diminta mengerjakan 8
Peserta didik diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal tersebut. Jika nomor
soal dari 10 soal tersebut. Berapa genap wajib di kerjakan.
banyak cara peserta didik dapat Berapa banyak cara peserta didik
mengerjakan soal tersebut? dapat mengerjakan soal tersebut?

Diselesaikan dengan cara Kombinasi. Diselesaikan dengan cara Kombinasi. 2, 4, 6, 8,
10 => wajib dikerjakan Udah 5 yang wajib, sisa 3
yang tersedia dari 5 nomor sisanya (ganjil; 1, 3,

5, 7, 9) ikan dengan cara Kombinasi.

LATIHAN SOAL !

3 BAH Pada sebuah lingkaran, terdapat 8 titik yang
berbeda. Dengan menggunakan kedelapan titik
C tersebut, banyaknya tali busur yang dapat di
G buat adalah…

D A = AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH = 7
B = BC, BD, BE, BF, BG, BH = 6
EF C = CD, CE, CF, CG, CH = 5
D = DE, DF, DG, DH = 4
Yang tersedia 8 titik 1 garis membutuhkan 2 titik E = EF, EG, EH = 3
F = FG, FH = 2
G = GH = 1
H=0
Banyak nya = 7+6+5+4+3+2+1= 28

LATIHAN SOAL !

4 Diketahui terdapat 4 titik sembarang 5 Dalam sebuah pertemuan terdiri dari 3
orang, dimana setiap orang berjabat
(tidak ada 3 titik yang tak segaris), tangan satu kali dengan setiap orang
yaitu titik A, B, C dan D. berapa lainnya dalam pertemuan tersebut.
Berapa banyaknya jabat tangan yang
banyak garis yang dapat di bentuk terjadi??
dari 4 titik tersebut?

Banyak Garis : Banyaknya jabat tangan :

LATIHAN SOAL !

6 Dalam sebuah pertemuan terdiri dari 7 Dalam sebuah pertemuan sejumlah
orang, dimana setiap orang berjabat
10 orang, dimana setiap orang tangan satu kali dengan setiap orang
berjabat tangan satu kali dengan lainnya dalam pertemuan tersebut.
setiap orang lainnya dalam pertemuan Jika terjadi 15 jabat tangan,
tersebut. Berapa banyaknya jabat berapakah jumlah orang yang ada
dalam pertemuan tersebut?
tangan yang terjadi??
Banyaknya jabat tangan :
Banyaknya jabat tangan :

n^2-n = 30 => n^2 - n - 30 = 0
(n - 6)(n + 5) = 0

n = 6 => banyaknya orang

LATIHAN SOAL !

8 Jika terdapat 10 soal dalam ujian. 9 Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal,
dari nomor 1 sampai nomor 10. Peserta
Peserta didik diminta mengerjakan 8 ujian wajib mengerjakan soal nomor 1,
soal dari 10 soal tersebut. 3, 5, serta hanya mengerjakan 8 dr 10

soal yang ada. Banyak cara?

Jika semua nomor ganjil wajib 1, 3, 5 => wajib. Sisa 5 yang tersedia
dikerjakan, Berapa banyak cara dari 7 nomor sisanya.
peserta didik dapat mengerjakan soal

tersebut?

1, 3, 5, 7, 9 => wajib dikerjain. Udah 5 yang wajib, sisa 3
yang tersedia dari 5 nomor sisanya (genapl; 2, 4, 6, 8, 10)

LATIHAN SOAL !

10 Jika terdapat 5 soal dalam ujian. 11 Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5
Peserta didik diminta mengerjakan 3 ikan koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan
memancing 1 ikan dari kolam tersebut.
soal dari 5 soal tersebut. Berapa banyaknya cara pa Ali

mendapatkan 1 ikan Koi?

Jika semua nomor 1 wajib dikerjakan, Banyak cara dapat ikan koi :
Berapa banyak cara peserta didik
dapat mengerjakan soal tersebut?

Nomor 1 wajib dikerjain. Sisa 2 soal dari 4 soal yang masih ada.

LATIHAN SOAL !

12 Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 13 Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5
ikan Koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan ikan koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan
memancing 2 ikan dari kolam tersebut. memancing 2 ikan dari kolam tersebut.

Berapa banyaknya cara pa Ali

mendapatkan 1 ikan Koi dan 1 ikan Berapa banyaknya cara pa Ali
mendapatkan ikan yang sama?
mujair?

5 X 4 = 20 10 + 6 = 16 cara

LATIHAN SOAL !

14 Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 15 Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5
ikan koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan ikan koi dan 4 ikan Mujair. Pa Ali akan
memancing 2 ikan dari kolam tersebut. memancing 3 ikan dari kolam tersebut.

Berapa banyaknya cara pa Ali Berapa banyaknya cara pa Ali
mendapatkan ikan yang sama? mendapatkan minimal 1 ikan koi?

10 + 6 = 16 cara 1 koi 2 mujair = 5C1 x4C2 = 5x6 = 30
2 koi 1 mujair = 5 C 2 x 4C1 = 10x4 = 40

3 koi = 5 C3 = 10
= 30 + 40 + 10 = 80 cara

LATIHAN SOAL !

16 Dalam suatu kotak terdapat 5 bola 17 Dalam suatu kotak terdapat 5 bola
hijau dan 4 bola merah. Akan diambil 2 hijau dan 4 bola merah. Akan diambil 3
buah bola secara acak. Berapa banyak buah bola secara acak. Berapa banyak

cara memilih 1 bola hijau dan 1 bola cara memilih 2 bola hijau dan 1 bola
merah? merah?

= 5 x 4 = 20 cara

= 10 x 4 = 40 cara

LATIHAN SOAL !

18 Dalam suatu kotak terdapat 5 19 Dalam suatu kotak terdapat 5 bola
hijau dan 4 bola merah. Akan diambil 3
bola hijau dan 4 bola merah. buah bola secara acak. Berapa banyak
Akan diambil 3 buah bola secara
cara memilih minimal 2 merah?
acak. Berapa banyak cara
memilih ketiganya merah?

Ada 4 cara memilih bola yang ketiganya merah.

Banyaknya cara = 30 + 4 = 34 cara

LATIHAN SOAL !

20 2 bola => warnanya sama:
Dalam suatu kotak terdapat 1 hijau, 1 hijau = 2 hijau
5 bola hijau dan 4 bola merah.
Akan diambil 2 buah bola secara 1 merah, 1 merah = 2 merah
acak.


Baerapa banyak cara memilih
warnanya sama?

= 10 + 6 = 16 cara

Penilaian Diri 3

NO PERTANYAAN YES NO
5
1 Apakah kalian tahu yang dimaksud kombinasii?
2 Apakah kalian tahu yang dimaksud ekspansi binomial?
3
Apakah kalian tahu dapat mengidentifikasi masalah yang terkait
4 kombinasi?

5 Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan yang terkait kombinasi?

Apakah kalian dapat menyelesaikan permasalahan yang terkait ekspansi binomia?

jumlah

TERIMA KASIH