63_1_ลำดับและอนุกรม เล่ม 1

1

2

คำนำ

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เน้นวิทย์ 5 (ค33203) หน่วยที่ 1 ลำดับและอนุกรม
เลม่ นไี้ ดจ้ ดั ทำและรวบรวมเน้ือหาในเรื่องลำดับและอนุกรม ซง่ึ เป็นเนือ้ หาที่ใชส้ อนในระดับชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6
ในสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม ภายในเล่มจะประกอบด้วยตัวอย่างและโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลำดับและอนุกรม
สำหรับนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาท่ีน่าสนใจ ซ่ึงเหมาะสำหรับใช้เป็นส่ือการเรียนรู้ให้กบั ผู้ที่มีความสนใจในเร่ืองน้ี
ได้เป็นอยา่ งดี รวมท้งั ยังสามารถใชเ้ ป็นคู่มือประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของครูได้อีกด้วย

ผจู้ ัดทำหวังเปน็ อยา่ งย่งิ วา่ เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง ลำดับและอนุกรม เลม่ นจ้ี ะเป็นประโยชน์
สำหรับนักเรยี นและผู้ที่สนใจ

อุทยั วรรณ สังคานาคิน

ก

สารบญั หน้า

เรอ่ื ง
คำนำ
สารบัญ
คำอธบิ ายรายวชิ า
หน่วยที่ 1 ลำดับและอนกุ รม

1 ลำดับ
1.1 ความหมายของลำดับ
1.2 ลำดับเลขคณติ
1.3 ลำดบั เรขาคณิต
1.4 ลำดับฮาร์มอนกิ

2 ลมิ ติ ของลำดับอนนั ต์
3 อนกุ รม

3.1 อนกุ รมเลขคณิต
3.2 อนุกรมเรขาคณติ
3.3 อนกุ รมอนันต์
4 สัญลักษณ์แสดงการบวก
5 การประยุกตข์ องลำดับและอนุกรม
บรรณานุกรม

ข

คำอธิบายรายวิชา

รายวชิ าคณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 5 รหัสวิชา ค33201 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 1 เวลา 80 คาบ 2.0 หนว่ ยกิต

ศึกษาเกี่ยวกับลำดับจำกัด ลำดับอนันต์ ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต ลิมิตของลำดับอนันต์
อนุกรมจำกัด อนุกรมอนันต์ อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต ผลบวกของอนุกรมอนันต์ การนำ
ความรู้เกี่ยวกับลำดับและอนุกรมไปใช้ในการแก้ปัญหามูลค่าของเงินและค่ารายงวด ลิมิตของฟังก์ชัน
ความต่อเน่ืองของฟงั กช์ ัน ความชันของเสน้ โค้ง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต
โดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของอันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์ ปริพันธ์ของ
ฟงั ก์ชนั ปริพันธข์ องฟงั ก์ชนั ไมจ่ ำกัดเขต ปรพิ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั จำกัดเขต และพน้ื ทปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้

โดยการจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ในชีวิตประจำวันที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษา
ค้นคว้า ฝึกทักษะ โดยการปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป รายงาน เพื่อพัฒนาทักษะ กระบวนการในการคิด
คำนวณ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสารทางคณิตศาสตร์ และนำประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด ทักษะและกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่าง
สรา้ งสรรค์

เพื่อให้เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานได้อย่างเป็นระบบ มีระเบียบ
รอบคอบ มคี วามรบั ผดิ ชอบ มวี ิจารณญาณ มคี วามคิดรเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์ และมคี วามเช่ือมัน่ ในตนเอง

ผลการเรยี นรู้
1. ระบไุ ดว้ า่ ลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับลเู่ ขา้ หรือลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ
3. หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต์
4. เข้าใจและนำความร้เู ก่ียวกับลำดับและอนกุ รมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เนอื่ งของฟังกช์ นั ทกี่ ำหนดให้
6. หาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันพชี คณิตทีก่ ำหนดให้ และนำไปใชแ้ ก้ปญั หา
7. หาปรพิ นั ธไ์ มจ่ ำกัดเขตและจำกดั เขตของฟงั กช์ นั พีชคณิตที่กำหนดให้ และนำไปใชแ้ กป้ ัญหา

รวม 7 ผลการเรียนรู้

ค

โครงสร้างรายวชิ า ค33201 คณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 5
ภาคเรียนท่ี 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6

ที่ ช่ือหน่วย ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนร้เู พ่ิมเตมิ เวลา นำ้ หนัก
ชม./ คะแนน
1 ลำดบั และ 1. ระบไุ ดว้ า่ ลำดบั ท่กี ำหนดให้ 1. ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์ คาบ
30 38
อนกุ รม เปน็ ลำดับลเู่ ข้าหรอื ลู่ออก 2. ลำดับเลขคณิตและลำดบั
50 62
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของ เรขาคณิต
80 100
อนกุ รมเลขคณิตและอนุกรม 3. ลิมิตของลำดับอนันต์

เรขาคณิต 4. อนกุ รมจำกัดและอนุกรม

3. หาผลบวกอนุกรมอนันต์ อนันต์

4. เขา้ ใจและนำความรู้เกย่ี วกบั 5. อนุกรมเลขคณิตและอนุกรม

ลำดบั และอนุกรมไปใช้ เรขาคณิต

6. ผลบวกอนุกรมอนนั ต์

7. การนำความรูเ้ กย่ี วกบั ลำดับ

และอนุกรมไปใช้แก้ปัญหา

มลู คา่ ของเงินและคา่ ราย

งวด

2 แคลคูลสั 1.ตรวจสอบความต่อเน่อื งของ 1. ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของ

เบ้ืองตน้ ฟงั กช์ นั ที่กำหนดให้ ฟงั กช์ นั

2.หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพชี คณิต 2. อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันพีชคณติ

ท่ีกำหนดให้ และนำไปใช้ 3. ปริพนั ธ์ของฟงั กช์ นั พีชคณติ

แก้ปญั หา

3.หาปรพิ นั ธไ์ มจ่ ำกัดเขตและ

จำกัดเขตของฟังก์ชนั พชี คณิตที่

กำหนดให้ และนำไปใช้

แก้ปัญหา

รวม

ง

ความหมายของลำดับและรูปแบบการกำหนดลำดับ

1. ความหมายของลำดับ

บทนิยาม ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4, , n} หรือ มีโดเมนเป็นเซตของ
จำนวนเต็มบวก เรยี กลำดบั ท่มี ีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, 4, , n} ว่า ลำดับจำกัด (finite sequence)
และ เรียกลำดับทม่ี ีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก วา่ ลำดบั อนันต์ (infinite sequence)

ตวั อย่างที่ 1 ลำดบั ต่อไปน้เี ปน็ ลำดบั จำกัดหรือลำดับอนันต์

1) 5, 10, 15, 20, 25, 30 ตอบ…………………………….
ตอบ…………………………….
2) 2, 4, 6, 8, . . ., 2n, . . . ตอบ…………………………….
ตอบ…………………………….
3) 5, -5, 5, -5, . . ., (-1)n+1 5 , . . .
ตอบ…………………………….
4) 100, 200, 300, . . ., 900
ตอบ…………………………….
5) an = n2 +1 ; n = 1, 2, 3, 4, . . ., 15
n+2 ตอบ…………………………….
n2
6) an = 4n + 1 ; n = 1, 2, 3, 4, . . .

7) an = 2n2 + 5n + 8; n =1, 2, 3, 4,5

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดฟังกช์ ัน f =(x,y) y = 5x ,xI+และx  4 จงเขียนลำดบั จากข้อมูลท่ีกำหนดให้

และบอกวา่ เป็นลำดับจำกัดหรอื ลำดับอนนั ต์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1

ตวั อย่างท่ี 3 กำหนดฟังกช์ ัน f =(x,y) y = 5x ,xI+จงเขยี นลำดบั จากขอ้ มูลทก่ี ำหนดให้ และ

บอกวา่ เป็นลำดับจำกดั หรือลำดบั อนันต์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. รูปแบบการกำหนดลำดับ เราสามารถเขยี นแสดงลำดับไดห้ ลายรูปแบบ ได้ดังน้ี

1) กำหนดลำดับโดยเขยี นแจกแจงพจน์ทั้งหมดของลำดับ รปู แบบน้ใี ชก้ บั ลำดับจำกัดท่ีมี
จำนวนพจน์ไมม่ ากนักเชน่ ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 4

1) 5, 10, 15, 20, 25, 30

2) 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0

3) 50, 100, 150, 200, 250

4) 1 , 1 , 1 , 1
2 4 8 16

2) กำหนดลำดบั โดยเขียนพจน์เร่มิ ต้นจำนวนหน่ึงพรอ้ มสูตรทว่ั ไปของลำดบั รปู แบบน้ีใช้กับ
ลำดบั จำกดั ท่มี ีจำนวนพจนจ์ ำนวนมากและลำดบั อนันต์ เช่นตัวอย่างต่อไปน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 5

1) 1, 4, 9, 16, …, n2 ,…, 625

2) 1,3,7,15,…, 2n -1,…

1 1 1  1  n-1
3 9 27 3
3) 1, , , , …, , …

2

ตัวอย่างท่ี 6 จงหา 4 พจน์แรกของลำดบั เมื่อกำหนดพจน์ที่ n ของลำดบั ต่อไปนี้

1.1 an = 4 n – 2 1.2 an = 3 + (−1)n

วิธีทำ 1.1 กำหนด an = 4 n – 2

a1 = .......................................................

a2 = .......................................................

a3 = .......................................................

a4 = .......................................................

ดังนั้น 4 พจนแ์ รกของลำดับน้ีคอื ........................................................................

1.2 กำหนด an = 3 + (−1)n
a1 = .......................................................
a2 = .......................................................
a3 = .......................................................
a4 = .......................................................

ดังน้นั 4 พจน์แรกของลำดบั นี้คอื ........................................................................

ตวั อย่างท่ี 7 จงหาพจน์ท่วั ไปของลำดบั 1, 3, 9, 27, . . .

วิธีทำ ………………………………………………………………………………………….……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3

3) กำหนดพจน์เรม่ิ ต้นพรอ้ มกับสูตรการหาพจน์ถดั ไปจากพจนก์ อ่ นหนา้
รปู แบบนี้เรยี กอีกอย่างหนง่ึ ว่า การกำหนดโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation)
ตัวอย่างท่ี 8 กำหนดลำดบั an ซง่ึ a1 = 2 และ an = nan-1 -1 เมอ่ื n  2 จงหาห้าพจนแ์ รกของลำดบั นี้
วธิ ที ำ ………………………………………………………………………………………….……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) กำหนดลำดบั โดยการบอกเงื่อนไขหรอื สมบัตขิ องพจน์ลำดับ
ถา้ ไม่ทราบสตู รทัว่ ไปของลำดับ และไม่ทราบความสัมพันธเ์ วียนเกิดของลำดับ การกำหนดลำดบั
จำเปน็ ตอ้ งใช้วิธีการบอกเงื่อนไขหรือสมบตั ิของพจนข์ องลำดับ ตวั อย่างดงั ต่อไปนี้
ตวั อย่างท่ี 9
1) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 29, . . . คือ ลำดับ an เม่อื an เปน็ จำนวนเฉพาะตัวที่ n
2) 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, . . . คอื ลำดบั bk เมอื่ bk เป็นทศนยิ มตำแหน่งที่ k ของ 2 ซง่ึ
เทา่ กบั 1.414213562. . .

"No bird soars too high if he soars with his own wings."
ไม่มีนกตัวใดบินสูงเกินไปถ้ามันบนิ ดว้ ยปกี ของมนั เอง สู้ ๆ นะคะเด็ก ๆ

4

แบบฝึกหัดที่ 1
ความหมายของลำดับและรูปแบบการกำหนดลำดับ

จากข้อ 1 – 5 จงพิจารณาว่าลำดับต่อไปนี้เปน็ ลำดบั จำกดั หรอื ลำดับอนันต์

1. 1, 3, 5, 7, 9, . . ., 2n – 1, . . .

2. 6, -6, 6, -6, 6, . . ., 6

3. f = {(x, y) y = x-2 , x I + และ x < 10}
x+2
4. f = {(x,y) y = 2n , xI+ }

5. an = n + 1; n = 1, 2, 3, 4, . . .,10
n
6. กำหนดฟงั ชันก์ f = {(n, f(n)) f(n) = 3n - 2, nI+ และ n  4} จงเขยี นลำดับจากข้อมลู ทก่ี ำหนดให้

และจงบอกวา่ เปน็ ลำดับจำกดั หรอื ลำดบั อนันต์

7. กำหนดฟงั ชนั ก์ f = {(n, f(n)) f(n) = n2 +1, nI+ } จงเขียนลำดับจากข้อมูลท่ีกำหนดให้ และจงบอก

วา่ เปน็ ลำดบั จำกัดหรือลำดบั อนนั ต์

8. จงหาห้าพจนแ์ รกของลำดบั an ทก่ี ำหนดโดยใชค้ วามสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปน้ี

(1) a1 = 0 และ an = an−1 + n − 1 เมอ่ื n  2

(2) a1 = 1000 และ an =1 + (0.05) an−1 เมือ่ n  2

(3) a1 = 2 และ an = 6an−1 เมือ่ n  2

(4) a1 = 1, a2 = 2 และ an = an−1 + 2an−2 เมือ่ n  2

(5) a1 = 2, a2 = 0 และ an = an−1 + an−2 เมอื่ n  2

ขอ้ 9 – 11 จงหาพจน์ท่ี n เม่อื กำหนดลำดบั

9. 2, 4, 8, 16, . . .

10. 2, 5, 10, 17, . . .

11. 2 , 3 , 4 , 5 , . . .
1 2 3 4

5

ลำดบั เลขคณติ และลำดับเรขาคณิต

1. ลำดบั เลขคณติ

บทนิยาม ลำดบั เลขคณิต คอื ลำดับซึ่งมีผลต่างท่ไี ดจ้ ากจากการนำพจน์ท่ี n + 1 ลบดว้ ยพจนท์ ่ี n
เปน็ คา่ คงตวั ท่เี ท่ากัน สำหรบั ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และเรียกคา่ คงตวั ท่ีเปน็ ผลต่างนี้วา่
ผลต่างรว่ ม ซง่ึ ใช้ d แทน ผลต่างร่วม

จากบทนยิ าม เม่ือ d แทน ผลต่างรว่ ม

จะได้วา่ d = an+1 - an

น่นั คือ an+1 = an + d
ให้ a1 , d เปน็ ค่าคงตัว และ an+1 = an + d เม่ือ n  2
จะได้ a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

ดงั นัน้ จะได้ลำดับเลขคณิต an คือ a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , . . .
รูปท่วั ไปของลำดับเลขคณิต คอื an = a1 + (n -1)d
เม่ือ a1 คอื พจนแ์ รก และ d แทน ผลตา่ งร่วม

ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาลำดับเลขคณิตทม่ี ีผลตา่ งรว่ มเปน็ 4 และมีพจน์แรกเป็น 1

วธิ ที ำ จาก an = a1 + (n -1)d และจากโจทย์กำหนด d = ……….. และ a1 = ……………

จะได้ ................................................................................................................................................................

............................................................................................... ...............................................................................

....................................................................................................... .......................................................................

ดังนน้ั ลำดบั เลขคณิตนี้ คือ .............................................................................................................................

6

ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาว่าจำนวนนบั 1 ถงึ 1000 มีทง้ั หมดกี่จำนวนท่หี ารด้วย 7 ลงตัว
วิธีทำ จำนวนแรกทห่ี ารด้วย 7 ลงตวั คอื ....................... และจำนวนสุดทา้ ยคือ ........................

นำมาเขยี นเรียงลำดับจากน้อยไปมากไดด้ ังน้ี ..........................................................................
ซึง่ มีความสัมพันธ์เปน็ ลำดับ ......................... ที่มีผลตา่ งรว่ มเป็น ................... โดยท่ี a1 = ………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ลำดับเรขาคณติ

บทนิยาม ลำดับเรขาคณิต คอื ลำดับซึ่งมที ่ีอัตราสว่ นของพจน์ท่ี n + 1 ต่อพจน์ท่ี n เปน็ ค่าคงตวั
ทีเ่ ท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n และเรียกค่าคงตวั ทเี่ ป็นอัตราสว่ นน้ีว่า
อัตราสว่ นรว่ ม ซึ่งใช้ r แทนอตั ราสว่ นรว่ ม

จากบทนิยาม เม่ือ r แทน อตั ราส่วนร่วม
a n +1
จะได้ว่า r = an

น่นั คือ an+1 = anr
ให้ a1 , r เปน็ ค่าคงตัว และ an+1 = anr เม่ือ n  2
จะได้ a2 = a1r

a3 = a2r = (a1r)r = a1r2
a4 = a3r = (a1r2 )r = a1r3

ดังน้ัน จะไดล้ ำดับเรขาคณิต an คอื a1 , a1r , a1r2 , a1r3 , . . .
รูปทัว่ ไปของลำดบั เรขาคณติ คอื an = a1rn−1
เมื่อ a1 คอื พจนแ์ รก และ r แทน อตั ราสว่ นรว่ ม

7

ตัวอย่างที่ 12 จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลำดับเรขาคณติ 1, 1 , 1 , …
2 4
วิธที ำ จากโจทย์ a1 = ……………………… และ r = ……………………..

นัน่ คอื พจนท์ ี่ 10 ของลำดับคือ………………………………………………………………………………...……………

………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 13 กำหนดใหเ้ ร่ิมฝากเงินด้วยเงินตน้ 10,000 บาท และอัตราดอกเบย้ี ทบตน้ 5 % ตอ่ ปี จงหา

สตู รการคิดจำนวนเงนิ ในบัญชหี ลงั จากคิดดอกเบีย้ ไปแล้ว เม่ือส้ินปที ่ี n

วิธที ำ ให้ A แทน ................................................................................ เป็น .................. บาท

ให้ a1, a2, a3, . . ., an แทนจำนวนเงนิ ในบัญชีหลงั จากคดิ ดอกเบีย้ เมื่อสน้ิ ปีที่ 1, 2, 3, . . ., n

สนิ้ ปีที่ เงินตน้ ดอกเบ้ยี จำนวนเงิน = เงินตน้ + ดอกเบย้ี

1 จะได้ a1

2 จะได้ a2

3 จะได้ a3

n จะได้ an

ดังนัน้ สตู รการคดิ คำนวณเงินในบัญชีหลังจากคิดดอกเบีย้ เมอ่ื ส้นิ ปีที่ n คือ .............................. ซงึ่ เปน็
พจน์ท่ี n ของลำดบั เรขาคณิตที่มีพจน์แรก คอื ............................. และมี ................. เป็นอตั ราส่วนร่วม

8

แบบฝกึ หัดท่ี 2
ลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขาคณติ

1. จงบอกว่าลำดับที่กำหนดใหต้ อ่ ไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณติ ลำดบั ใดเป็นลำดับเรขาคณติ

พรอ้ มทง้ั บอกผลต่างรว่ ม หรืออตั ราส่วนร่วมของลำดับนั้น ๆ ด้วย

(1) 7, 9, 11, 13, ...,(2n + 5) (2) 6, − 6, 6, − 6, ..., 6(−1)n−1

(3) 4, 2, 0, − 2, ..., (6 − 2n) (4) 3, 1, 1, 1, . .., 9  1 n
3 9 3

(5) − 1, − 1 , − 1, − 1, ..., − n n 3
4 5 2 7 +

2. จงหาพจนท์ ่ัวไปของลำดบั เลขคณิตต่อไปน้ี

(1) − 2, 4, 10, ... (2) − 1 , 1 , 1 , ...
6 6 2
(3) 11, 13 1 , 16, ...
2 (4) 19.74, 22.54, 25.34, ...

(5) x, x + 2, x + 4, ... (6) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, ...

3. จำนวนเตม็ ตัง้ แต่ 34 ถึง 961 ท่หี ารดว้ ย 3 ลงตัวมกี ่จี ำนวน

4. จำนวนจรงิ 3 จำนวนเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตซ่ึงมผี ลบวกเป็น 9 และผลบวกของกำลงั สองของแต่ละ

จำนวนเปน็ 35 จงหาจำนวนทง้ั สาม

5. จงหาพจนท์ ่ี n ของลำดบั เรขาคณติ ตอ่ ไปนี้

(1) − 3, − 6, − 12, ... (2) 10, − 5, 5, ...
2

(3) 1 , 5 , 25 , ... (4) 5 , 5 , 10 , ...
4 4 4 6 3 3

(5) − 2 , 1 , − 1 , ... (6) ab3, a2b2, a3b, ...
9 12 32

6. ในปี พ.ศ. 2518 ประชากรในจงั หวดั หนึ่งมี 60,000 คน ถา้ ในแต่ละปปี ระชากรในจังหวดั นี้เพมิ่ ขึ้นปี

ละ 4 % จงหาสูตรทัว่ ไปของการเพม่ิ ของประชากรในกรณนี ี้ และจำนวนประชากรในปี พ.ศ.2530

7. ลำดับเรขาคณิตลำดบั หน่งึ มพี จนแ์ รกเทา่ กับ 3 และพจน์ที่ 3 เทา่ กบั 1 จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับน้ี
3
8. จงหาจำนวนจริง k ท่ีนำไปบวกในแตล่ ะพจน์ของลำดับ 5, 59, 437 แล้วทำให้ลำดับใหมเ่ ปน็ ลำดับ

เรขาคณิต

9

ลิมิตของลำดบั อนันต์

การหาลิมติ ของลำดับ คือ การพจิ ารณาค่าของ an ของลำดบั เมอ่ื n มีคา่ มากข้นึ เรื่อย ๆ ไม่มที ่ี
สิ้นสุด (ซ่ึงใชส้ ัญลักษณ์ n → ) วา่ มลี ักษณะอยา่ งไร ซง่ึ สามารถพจิ ารณาได้ดังนี้

ลักษณะท่ี 1 เมอ่ื n → ค่าของ an เข้าใกลห้ รือเทา่ กับค่าคงท่คี า่ หนึ่ง
1
ตัวอย่างที่ 1 a n = n

n12 3 4 56 78 ...
an 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.16525 0.1429 0.125 ...
หรือ แทนคา่ ในรปู แบบเศษส่วนจะได้เป็น
4 56 78 ...
n12 3 ...
an 1
และสามารถนำมาเขยี นเปน็ กราฟได้ดังน้ี

an

1 n
1
2

0 1 2 34 5 67 8

10

ตัวอย่างที่ 2 พจิ ารณากราฟของลำดบั an = 2

an

3
2
1

0 1 2 34 5 67 8 n

ตวั อย่างท่ี 3 a = 1 + ( −1)n 78
n
n

n123456 ...

an

an

2 n
1

0 1 2 34 5 67 8

เม่ือ n มคี า่ มากข้ึนโดยไม่มที ่ีสนิ้ สดุ และพจน์ที่ n มีค่าเขา้ ใกลห้ รือเท่ากบั จำนวนจริง L เพียง
จำนวนเดยี วเท่านน้ั เรยี ก L วา่ ลมิ ติ ของลำดับ (limit of a sequence) และกล่าวว่าลำดับ

นัน้ มีลมิ ติ เทา่ กบั L เรยี กลำดบั อนนั ต์ท่ีมีลมิ ติ วา่ ลำดับลู่เขา้ (convergent sequence)

11

ลกั ษณะที่ 2 ค่าของ an เพ่มิ ขึ้นหรือลดลงไม่มีขอบเขตเม่ือ n → เช่น

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
an 2 4 6 8 10 12 14 16 ...

an

16 n
14
12
10
8
6
4
2

0 1 2 34 5 67 8

เม่ือ n มคี ่ามากขึ้นอย่างท่ีไมม่ ที ส่ี ้ินสุด (n →) พจนท์ ี่ n ของลำดบั จะมคี ่ามาก
ขนึ้ และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง หรือลดลงอย่างไมม่ ีขอบเขตและไมเ่ ขา้ ใกล้จำนวนใด
จำนวนหนึง่ ซึ่งกลา่ วไดว้ ่าลำดับไม่มลี ิมิต ลำดับน้จี งึ ไม่ใช่ลำดบั ลูเ่ ข้า เรยี กลำดบั อนันต์ทไ่ี ม่ใช่

ลำดับลเู่ ข้าว่า ลำดบั ล่อู อก (divergent sequence)

12

ลกั ษณะที่ 3 คา่ ของ an เพ่ิมข้ึนและลดลงสลับกันไปเมอ่ื n → n
ลำดับ 1,−1,1,−1,1,−1,... หรอื an = (−1)n+1

an

1
0 1 2 34 5 67 8
−1

เมือ่ n มคี า่ มากข้ึนโดยไม่มีทีส่ ้นิ สดุ พจน์ท่ี n ของลำดับนี้จึงไมเ่ ขา้ ใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหนงึ่
ลำดบั นจี้ ึงถอื วา่ หาลิมติ ไม่ไดห้ รอื ไม่มีลมิ ิต ลำดบั น้จี ึงลอู่ อก ซ่ึงจากลักษณะกราฟท่ีขน้ึ ลงสลบั กนั

ไปโดยไม่เขา้ ใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหนึ่งเช่นน้ี จะเรยี กลำดับลอู่ อกนว้ี ่า
ลำดับแกว่งกวัด (oscillation squence)

13

สรปุ

1. ลำดับท่นี ำมาพิจารณาลิมิตน้ันตอ้ งเปน็ ลำดับอนนั ต์

2. ถ้ากลา่ วว่า L เป็นลิมิตของลำดับที่มีพจน์ที่ n เปน็ an เมือ่ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่
สิ้นสุด พจน์ท่ี n ของลำดบั มีค่าเข้าใกล้หรือเทา่ กับจำนวนจรงิ L จำนวนเดียวเทา่ น้ัน กลา่ ววา่ L

เป็นลมิ ติ ของลำดับทีม่ ีพจน์ที่ n เปน็ an และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ lim an = L (อ่านวา่

ลิมิตของลำดับ an เมอ่ื n มีคา่ มากข้ึนโดยไม่มที ส่ี ้นิ สุด เท่ากบั L ) n→

3. ลำดับที่มลี ิมิตเรยี กว่า ลำดับลเู่ ข้า ส่วนลำดับท่ีไม่มีลิมิตเรยี กว่า ลำดับลอู่ อก

4. การพจิ ารณาวา่ ลำดบั ใดจะมีลมิ ติ หรือไม่ อาจทำไดโ้ ดยการพิจารณากราฟของลำดับ

เมือ่ n มคี า่ มากขนึ้ โดยไม่มีท่ีสิ้นสุด

14

กจิ กรรมที่ 1
ลิมิตของลำดบั อนันต์

1. จงเขียนกราฟของลำดบั ต่อไปน้ี พร้อมทัง้ บอกว่าเปน็ ลำดับลูเ่ ข้าหรือลำดบั ลู่ออก ถ้าเป็นลำดบั ลู่เข้าใหห้ า

ลมิ ติ ของลำดับดว้ ย

(1) a n = 3 + 2
n

วธิ ที ำ n 1 2 3 4 5 . . .
an

an

0n

(2) an = 4n -1
n
วิธที ำ n 1 2 3 4 5 . . .

an
an

0n

15

(3) an = 3n - 2 2 3 4 5 ...
วธิ ีทำ

n1
an

an

0 n
3 4 5 ...
(4) an = n2
3
วธิ ีทำ

n 1 2
an

an

0n

16

(5) an = sin nπ 2 3 4 5 ...
วิธที ำ

n1
an

an

0n

(6) an = cosnπ 2 3 4 5 ...
วธิ ที ำ

n1
an

an

0n

17

แบบฝึกหดั ท่ี 3
ลิมติ ของลำดับอนนั ต์

จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดูวา่ ลำดับใดเป็นลำดับลเู่ ขา้ หรือลำดบั ลอู่ อก

(1) a n = sin nπ (2) a n = 1n sin nπ
2 2

(3) a n = n 5 1 (4) a n = 2n
+ n
1
(5) an = n(1+ (-1)n ) (6) an = 4 - 2n

2 1
3
(7) an = 4(0.5)n-1 (8) an =   n

(9) a n =  - 4 n (10) an = n 2
3 2n +

18

ทบทวน

ตัวอย่างที่ 4 จงพจิ ารณาวา่ ลำดับ an = 1 ว่าเป็นลำดบั คอนเวอร์เจนตห์ รอื ลำดับไดเวอร์เจนต์
n
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากตวั อยา่ งในลักษณะท่ี 1 จะเหน็ ว่ากราฟของลำดับ an = 1 เปน็ ลำดับลูเ่ ขา้ สู่ 0
n
1
ดังนน้ั lim n = 0

n→

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาลมิ ติ ของลำดับ an = n2 n
จากการวาดกราฟ ลำดับ an = n2 ไดด้ ังรูป

an

40
35
30
25
20
15
10
5

0 1 2 34 5 6

จากกราฟของลำดับ an = n2 เมอ่ื n มีคา่ มากข้นึ โดยไมม่ ที สี่ ้นิ สุด พจน์ท่ี n ของลำดบั จะมี
คา่ มากขึน้ และไมเ่ ขา้ ใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง จึงกลา่ วได้วา่ ลำดับ an = n2 ไม่มลี มิ ิต
ดงั น้นั lim n2 หาค่าไม่ได้

n→

19

ตัวอย่างที่ 3 จงหาลิมติ ของ a n =  2 n
5

วธิ ีทำ จากลำดับ an =  2 n
5

ลำดับน้คี ือ ..........................................................................................................................

an

0.4

0 1234 n

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาลิมิตของ a n =  − 4 n
3

วธิ ีทำ ลำดบั นคี้ อื ……………………………………………………

เมือ่ เขยี นกราฟของลำดับ an และหาลิมติ โดยอาศยั กราฟจะไดว้ า่ n→lim − 4 n หาค่าไม่ได้
3
an

10

0 12345678 n
−10

20

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมติ ของลำดับที่ไดจ้ ากตัวอยา่ งท่ี 1 – 4

ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ จะได้ว่า

1. lim 1 =0 และ
nr
n→

2. lim nr หาค่าไมไ่ ด้

n→

ทฤษฎบี ทท่ี 2 ให้ r เปน็ จำนวนจรงิ

ถ้า r 1 แล้ว lim rn = 0

n→

ถา้ r 1 แล้ว lim rn หาค่าไม่ได้

n→

21

ทฤษฎบี ทท่ีเกีย่ วกบั ลิมิตของลำดบั

ทฤษฎบี ทท่ี 3 ให้ an ,bn ,tn เปน็ ลำดบั ของจำนวนจรงิ A และ B เปน็ จำนวนจริง

และ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ โดยที่ lim a n =A และ lim b n = B จะไดว้ ่า

n→ n→

1. ถ้า tn =c แล้ว lim t n = lim c = c

n→ n→

2. lim ca n = c lim a n = cA

n→ n→

3. lim (a n + b n ) = lim a n + lim bn =A+B

n→ n→ n→

4. lim (a n − bn ) = lim a n − lim b n =A−B

n→ n→ n→

5. lim (a n b n ) = lim a n lim b n = AB

n→ n→ n→

6. ถ้า bn  0 ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และ B  0 แลว้

lim  an  = lim an = A
 bn  B
n→  n→

 lim bn

n→

( )7.lim ( a )k lim a k ;k

n→ n = n→ n

22

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาคา่ ของลิมิตของลำดบั ตอ่ ไปนี้

1. an = 1
n

2. an = n3

3. an = 2n

4. an =  − 9 n
8

5. an =  2 n
3

ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาลิมติ ของอันดับ a n = 8
3n

23

ตัวอยา่ งที่ 8 จงหาลมิ ติ ของลำดับ an = 2n2 − 2n + 5
3n2 +3n +4

ตัวอย่างท่ี 9 จงหาลมิ ิตของลำดบั an = 4 −3n + n2
2n3 +3n2 +5

24

ทฤษฎบี ทท่ี 4 ให้ an เปน็ ลำดบั ของจำวนจริงท่ีมากกวา่ หรอื เท่ากบั 0 และให้ m เปน็ จำนวนเตม็
ทมี่ ากกว่าหรือเท่ากับ 2

ถา้ lim a n = L แลว้ lim m an =m lim a n =m L

n→ n→ n→

ตวั อยา่ งท่ี 9 กำหนด an = 4n จงหา lim a n
n +1
n→

 4n2 +1 
ตัวอย่างท่ี 10 จงหาค่าของ n→lim 3n −1 

25

แบบฝกึ หดั ท่ี 4
ลิมิตของลำดับ

คำชแี้ จง ใหน้ ักเรียนพิจารณาลำดบั ที่กำหนดให้วา่ เป็นลำดับล่เู ขา้ หรอื ลำดบั ลู่ออก ถา้ เป็นลำดบั ลเู่ ขา้ จงหา
ลมิ ิตของลำดับ

1. 7,7,7,7, 2. 3,5,7,9,

3. − 1 ,− 2 , − 3 ,− 4 , 4. 5 − 1 ,5 − 2 ,5 − 3 ,5 − 4 ,
2 3 4 5 2 3 4 5
n
5. 3,−3,3,−3,3, 6. an =  − 7
4
n
7. an = 9 8. an = 5 1
4n 3
1 1 7
9. an = n −1 10. a n = 3 − n + n2

11. an = 4n + 7 12. an = 5n2 −3n +1
5 n3 −4n

13. an = 3n3 − n −3n 14. an =  9n 
n3 + 2n +1 n +1

15. a n =  2 + 9n2 −5n + 4 2
 n2 + 3 

26

กจิ กรรมที่ 2
สรุปความรเู้ รอ่ื งลิมติ ของลำดบั

คำช้แี จง จงหาลิมติ ของลำดับตอ่ ไปน้ี

1. an = 3 1 n 13. an = 1 - 1
2 n n +1
ตอบ ตอบ
ตอบ
2. an = -1 n ตอบ 14. an = n 2n 1 ตอบ
2+ ตอบ
ตอบ
3. an = 4 + 1 ตอบ 15. an = 8n 2+ 5n + 2 ตอบ
n ตอบ 3+ 2n ตอบ
ตอบ ตอบ
4. an = 6n - 4 ตอบ 16. an = n +1 ตอบ
6n ตอบ n -1 ตอบ
ตอบ
5. an = 3n 6 5 ตอบ 17. an = (-1)n
ตอบ n

6. an = n 18. an = 3n +1
n +1 5n + 2

7. an = 4 + 5n 19. an = 2n + 3n
n2 3n + 5n

8. an = 2n -1 20. an = 2(5n )+3n
3n +1 3(5n ) + 2n

9. an = 3n2 - 5n 21. an = 7n - 2n
7n - 1 3n + 5n

10. an = 7n 2 3 22. an = 3n -2n
5n2 4n
-

27

11. an = 4 n 2 - 2n + 3 23. an = 5n + 2n
n2 4n
ตอบ ตอบ
ตอบ
12. an = 3n2 -1 ตอบ 24. an = 5n3 + 4n2 -1 ตอบ
10n - 5n2 2n3 -n+3

n4 3 n2 -1
n+2 4n
25. an = ตอบ 28. an =

26. an = 4 3n2 +1 ตอบ 29. an = 2n + 4n2 -1 2 ตอบ
16n4 + 5 3 n3 + ตอบ

27. an = 4n 2 ตอบ 30. an = (n -1)(1+ 2n - n2 )
32n3 n3 + 3n2 -1
4

ดีใจจงั ทำได้หมดเลย
สู้ ๆ นะทุกคน

28

ถ้า a1, a2 , a3 , . . ., ak เป็นลำดับจำกดั ที่มี k พจน์ จะเรียกการเขยี นแสดงผลบวกของพจนท์ ุก
พจน์ของลำดับในรปู a1 + a2 + a3 +. . . + ak วา่ อนกุ รมจำกัด (finite reries)

ในทำนองเดียวกนั ถา้ a1, a2 , a3 , . . ., an , . . . เปน็ ลำดับอนนั ต์ จะเรยี กการเขยี นแสดงผลบวก
ของพจนท์ ุกพจน์ของลำดบั ในรูป a1 + a2 + a +. . . + an +. . . วา่ อนกุ รมอนนั ต์ (infinite reries)

อนุกรมเลขคณติ

บทนยิ าม 1 ถ้า a1, a2 , a3, . . . เปน็ ลำดบั เลขคณิตแล้ว จะเรยี ก a1 + a2 + a3 + . . .
ว่า “อนุกรมเลขคณติ ”

ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ทีม่ ี a1 เป็นพจนแ์ รก และ
d เป็นผลต่างร่วม จะไดว้ ่า

Sn = a1 + (a1 + d )+ (a1 + 2d )+ . . . + [a1 + (n -1)d]
n
นน่ั คอื Sn = 2 (a1 + an ) สูตรท่ี 1

หรอื Sn = n 2a1 + ( n - 1)d  สตู รที่ 2
2

ทบทวน จงหาคา่ ของ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 และ 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 23
โดยการใชส้ ตู รตามบทนิยามของอนุกรมเลขคณิต

29

อนกุ รมเรขาคณติ

บทนิยาม 2 ถา้ a1, a2 , a3, . . . เปน็ ลำดบั เรขาคณิตแลว้ จะเรยี ก a1 + a2 + a3 +. . .

ว่า “อนุกรมเรขาคณิต”

ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ี a1เปน็ พจนแ์ รก และ
r เป็น อตั ราสว่ นร่วม จะได้วา่
Sn = a1 + a1r + a1r2 +. . . + a1rn-1

Sn = a1 (rn -1) , r >1 และ Sn = a1 (1- r n ) , r <1

นัน่ คือ r -1 1-r

หรอื Sn = a nr - a1 , r >1 และ Sn = a1 - an r , r <1
r -1 1-r

ทบทวน จงหาคา่ ของ 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 โดยการใชส้ ูตร
ตามบทนิยามของอนุกรมเรขาคณิต

30

บทนยิ าม 3 กำหนด a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เป็นอนกุ รมอนนั ต์ และให้

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
เรียก Sn วา่ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนกุ รม เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก
เรียกลำดบั อนันต์ S1, S2 , S3, S4 , . . ., Sn , . . . วา่ ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดลำดับ 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n + . . .
จงหาลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

31

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดลำดบั 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...
2 4 8 16 2n
จงหาลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

บทนยิ าม 4 กำหนดอนกุ รมอนันต์ a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . .
ให้ S1, S2 , S3, S4 , . . ., Sn , . . . เปน็ ลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี

➢ ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดบั ลูเ่ ข้า โดย n→limSn = S เม่อื S เปน็ จำนวนจรงิ แลว้
จะกล่าววา่ อนุกรม a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เป็น อนุกรมลู่เขา้ (convergent series)
เรยี ก S วา่ ผลบวกของอนุกรม

➢ ถา้ ลำดบั Sn เป็นลำดับลอู่ อก จะกลา่ วว่าอนุกรม a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . .
เป็น อนุกรมล่อู อก (divergent series)

32

ตัวอยา่ งท่ี 3 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . จงหาผลบวกของอนุกรมนี้
ตัวอยา่ งท่ี 4 อนกุ รม 2 + 6 +10 +. . . + (4n - 2)+. . . เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนกุ รมล่อู อกเพราะเหตใุ ด

33

ตัวอยา่ งท่ี 5 อนุกรม 3+2+ 4 + . . . + 3 2 n-1 + . . . เปน็ อนุกรมท่ีลเู่ ข้าหรือลอู่ อกเพราะเหตใุ ด
3 3

สรปุ จากบทนิยามท่ี 4
1. พจิ ารณาลิมติ ของผลบวกย่อยของอนุกรม และสตู รผลบวกยอ่ ย n พจน์แรกของอนุกรม
เรยี กวา่ Sn
2. พจิ ารณาลิมติ ของลำดบั Sn

ถ้า n→limSn = S เมอื่ S เปน็ จำนวนจริง จะได้วา่ อนกุ รมนั้นเปน็ อนุกรมลู่เขา้
และมผี ลบวกเทา่ กบั S

➢ ถา้ ลำดับ Sn ไม่มีลิมิต จะไดว้ ่าอนกุ รมนั้นเปน็ อนกุ รมลอู่ อก
➢ ถา้ ลำดบั Sn เป็นลำดบั ลูเ่ ข้า โดย nl→imSn = S แลว้ จะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม

a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เป็น อนกุ รมลูเ่ ขา้ (convergent series)
เรียก S ว่าผลบวกอนกุ รม
➢ ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลอู่ อก แลว้ จะกล่าวได้ว่าอนุกรม
a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เปน็ อนุกรมล่อู อก (divergent series)

34

แบบฝึกหดั ที่ 5
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

คำชแี้ จง จงหาลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมต่อไปน้ี และจงพิจารณาว่าอนุกรมใดบา้ งที่เปน็ อนุกรมล่เู ขา้
และมีผลบวกเป็นเท่าใด

1) 1 + 1 + 1 + . . . + 1 1 n-1
2 6 18 2 3
+. . .

2) 3 + 2 + 4 + . . . + 3 2 n-1
3 3
+...

3) 1 + 5 + 25 + . . . + 1 5 n-1 + . . .
2 2 2 2

4) 1 + (- 1 ) + 1 + . . . + (-1)n-1 +...
2 4 8 2n
5) 2 + (-1) + (-4) + . . . + (5- 3n) + . . .

6. 3 + 9 + 27 + . . . + 3 n
4 16 64 4
+...

7) - 110 + 1 - 1 + . . . + -1 n
100 1000 10
+...

8) 100 +10 +1+ 0.1+ . . . +103-n + . . .

9) 4 +10 +16 + . . . + (6n - 2) + . . .

10) 1 + 1 + 1 +. . .+ 1 +. . .
3 9 27 3n

35

สรปุ การหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์
1. พิจารณาลมิ ติ ของผลบวกย่อยของอนุกรม และสตู รผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนุกรม

เรียกวา่ Sn
2. พจิ ารณาลิมติ ของลำดับ Sn ถา้ n→limSn = S เมอ่ื S เป็นจำนวนจรงิ จะได้ว่า

อนุกรมน้ันเป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกเท่ากบั S ถ้าลำดบั Sn ไม่มีลิมติ จะไดว้ า่
อนุกรมน้ันเปน็ อนุกรมลู่ออก

36

37