ความเท่ากันทุกประการ

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 1 ความเท่ากนั ทุกประการของรูปสามเหลยี่ ม

1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีเท่ากนั ทุกประการ จงเขียนดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั และมุมคูท่ ี่

สมนยั กนั AD
1.1

C BF E

ตอบ ดา้ นคู่ที่สมนยั กนั คือ.................................................................................................
มุมคู่ท่ีสมนยั กนั คือ...................................................................................................

1.2

P RS U

QT

ตอบ ดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั คือ.................................................................................................
มุมคูท่ ่ีสมนยั กนั คือ...................................................................................................

1.3

MN

POQ

ตอบ ดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั คือ.................................................................................................
มุมคูท่ ี่สมนยั กนั คือ...................................................................................................

1.4

AC
O

BD

ตอบ ดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั คือ.................................................................................................
มุมคูท่ ่ีสมนยั กนั คือ...................................................................................................

ความเท่ากนั ทุกประการ 1

2. จงเขียนมุมตรงข้าม จากรูปท่ีกาหนดให้ P
S
(1) A C
(2) X
O
RQ
BD
……………………………………….
……………………………………….
AB
(3) P Q
O Y (4)
X
E

………………………………………. DC

……………………………………….

3. จากรูปท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี จงเขียนมุมร่วม (2) O
(1) P Q
R
RS

T M PN

(3) …………………C……………………. …………………A…………………….
(4)
EF
DE

D CB
AB
……………………………………….
……………………………………….
R
4(.1จ)ากรูปAท่ีกาหนดใหDต้ ่อไปน้ี จงเขียนด้านร่วม
(2)
B
S
Q

C P

(…3)………………T…z…………………. ……………………………………….

QS (4) M N

R L

………………………………………. O

……………………………………….

ความเท่ากนั ทุกประการ 2

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 2 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทมี่ คี วามสัมพนั ธ์กนั แบบ ด้าน-มุม-ด้าน

ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพนั ธ์กนั แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด) กล่าวคือ จะมีดา้ นยาวเท่ากนั
สองคู่ และมุมในระหวา่ งดา้ นคู่ท่ียาวเทา่ กนั จะมีขนาดเท่ากนั แลว้ รูปสามเหลี่ยมสองรูปน้นั เท่ากนั ทุก
ประการ แสดงไดด้ งั รูป

1. จากรูปท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี ใหใ้ ส่เครื่องหมาย / หนา้ รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากนั ทุกประการแบบ ด.ม.ด และ

ใส่เคร่ืองหมาย X หนา้ รูปสามเหล่ียมที่ไม่เทา่ กนั ทุกประการแบบ ด.ม.ด

1)……….. 2)……….

A DT

S

B CE F R
PQ

3)………. O 4)………. C

N A

M B

E

D

L Y 6)……….

5)………. CF

X
O

A BE D

7)………. Z 8)………. O

T L
Q
S P
R MN

ความเท่ากนั ทุกประการ 3

2. D C ส่ีเหล่ียม ABCD มี AC เป็นเส้นทแยงมุม



AB=CD , B A C=D C A

จงพิสูจนว์ า่ ΔBAC  ΔDCA

AB

กาหนดให้ ...............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔBAC  ΔDCA 4. .........................................................

3. X Y

Q จากรูป XQ  YQ ,  = 

PQX PQY

จงพสิ ูจน์วา่ ΔPQX  ΔPQY

กาหนดให้ P

......................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ......................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔPQX  ΔPQY 4. .........................................................

4. P S

จากรูป PQ   = 

SR , P Q R SR Q

QR จงพสิ ูจน์วา่ ΔPQR  ΔSRQ

กาหนดให้ ............................................................................................................................................
ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่
.............................................................................................................................................

ความเท่ากนั ทุกประการ 4

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล
1. ........................................................................... 1. กาหนดให้
2. ............................................................................ 2. .........................................................
3. ............................................................................. 3. .........................................................
4. ............................................................................ 4. .........................................................

5. P Q จากรูปกาหนดให้ XQ   = 

YP , P Q X QPY

จงพสิ ูจน์วา่ 

QPX = PQY

X Y

กาหนดให้ .........................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ........................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. ...............................................................

3. ............................................................................. 3. ...............................................................

4. ............................................................................ 4. ..............................................................

5…………………………………………………… 5. ………………………………………..

………………………………………...

DF C

6. จากรูป ΔADE และ ΔCBF มี

และAD  CB , AE  CF 

DAE = BCF

A EB จงพสิ ูจน์วา่ DE  BF

กาหนดให้ ......................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ......................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. ...............................................................

3. ............................................................................. 3. ...............................................................

4. ............................................................................ 4. ..............................................................

5…………………………………………………… 5. ………………………………………..

…………………………………………

ความเท่ากนั ทุกประการ 5

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 3 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทม่ี คี วามสัมพนั ธ์กนั แบบ มุม-ด้าน-มุม

ถา้ รูปสามเหล่ียมสองรูปมีความสมั พนั ธ์กนั แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม) กล่าวคือ จะมีมุมที่มีขนาด
เท่ากนั สองคู่ และดา้ นซ่ึงเป็ นแขนร่วมของมุมท้งั สองยาวเท่ากนั แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปน้นั เทา่ กนั
ทุกประการ แสดงไดด้ งั รูป

1. จากรูปที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี ใหใ้ ส่เครื่องหมาย / หนา้ รูปสามเหลี่ยมที่เทา่ กนั ทุกประการแบบ ม.ด.ม และ

ใส่เคร่ืองหมาย X หนา้ รูปสามเหลี่ยมท่ีไม่เท่ากนั ทุกประการแบบ ม.ด.ม

1)……….. 2)……….

AD LO

B CE F M NP Q

3)………. 4)……….

A

AD

DB

C B CE F

5)………. S 6)………. C

T B

E

Q P A D
Y
7)………. S 8)……….
T
R X
Q
P O

Z

ความเท่ากนั ทุกประการ 6

2. A D

B CE F

จากรูปกาหนดให้    จงพิสูจน์วา่ ΔABC  ΔDEF

A BC = D E F , A C B = D F E , BC=EF

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔABC  ΔDEF 4. .........................................................

3. P S จากรูป PQและ SR ตดั กนั ที่จุด X ทาให้ PX  RX

X และ  =  จงพสิ ูจนว์ า่ ΔSPX  ΔQRX

SPX QRX

RQ

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔSPX  ΔQRX 4. .........................................................

4. .
A C จากรูป กาหนดให้ AD ตดั กบั CB ที่จุด O
O จงพสิ ูจน์วา่ BO  DO

กาหนดให้ BD

.........................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

ความเท่ากนั ทุกประการ 7

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล
1. ........................................................................... 1. กาหนดให้
2. ............................................................................ 2. ...............................................................
3. ............................................................................. 3. ...............................................................
4. ............................................................................ 4. ..............................................................
5…………………………………………………… 5. ..............................................................

5. D C …………………………………………
จากรูป    

ABC = BAD , BAC = ABD

จงพิสูจน์วา่ AC  BD

กาหนดให้ ...A...........................B................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ............................................................................ 4. .........................................................

5…………………………………………………… 5. ..............................................................

MN …………………………………………

6.

จากรูปกาหนดให้ P , O และ Q กาง 90  จงพิสูจนว์ า่ จุด O แบ่งคร่ึง PQ

MP= NQ   , PMO = QNO

MPQ NQO

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล
1. ........................................................................... 1. กาหนดให้
2. ............................................................................ 2. ..............................................................
3. ............................................................................. 3. ..............................................................
4. ΔMOP  ΔNOQ 4. ..............................................................
5. PQ  OQ 5. ..............................................................

6. จุด O แบง่ คร่ึง PQ ..............................................................
6. ..............................................................

ความเท่ากนั ทุกประการ 8

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 4 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทมี่ คี วามสัมพนั ธ์กนั แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

ถา้ รูปสามเหล่ียมสองรูปมีความสมั พนั ธ์กนั แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด) กล่าวคือ มีดา้ นยาวเทา่ กนั สามคู่
แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปน้นั เทา่ กนั ทุกประการ
แสดงไดด้ งั รูป

1. จากรูปท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี ใหใ้ ส่เคร่ืองหมาย / หนา้ รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากนั ทุกประการแบบ ด.ด.ด และ

ใส่เคร่ืองหมาย X หนา้ รูปสามเหลี่ยมที่ไม่เทา่ กนั ทุกประการแบบ ด.ด.ด

1)……….. S 2)………. Q

T P

Q P X Y
N
3)………. 4)……….

M AD

PO Q B CE F

5)………. 6)………. D

P C

O R A B
Q
8)………. B C
7)……….
A
A

BD

C D
ความเท่ากนั ทุกประการ 9

A D

2. จากรูป ΔABC และ ΔDEF มี AB  DE ,

B BC  EF , AC  DF

กาหนดให้ C E F จงพสิ ูจน์วา่ ΔABC  ΔDEF
..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔABC  ΔDEF 4. .........................................................
3. P

จากรูปกาหนดให้ PQ  PR , OQ  OR
จงพิสูจนว์ า่ ΔPOQ  ΔPOR

O

กาหนดให้ Q ......................R........................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔPOQ  ΔPOR 4. .........................................................
4. C

BD ΔABC และ ΔADC มี AB  AD , BC  DC

จงพิสูจน์วา่  = 

BCA DCA

กาหนดให้ ....A..........................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ............................................................................ 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .............................................................

3. ............................................................................. 3. .............................................................

4. ΔABC  ΔADC 4. .............................................................

5. ............................................................................. 5. ..............................................................

…………………………………………

ความเท่ากนั ทุกประการ 10

5. C D

จากรูปกาหนดให้ AC  BD , BC  AD

จงพิสูจนว์ า่  = 

CAB DBA

AB

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .............................................................

3. ............................................................................. 3. ..............................................................

4. ........................................................................... 4. ..............................................................

5. ............................................................................. 5. ..............................................................

…………………………………………

PM จากรูปกาหนดให้ PK  MK , PL  ML

6.
L

จงพิสูจน์วา่ KL แบง่ คร่ึง 

PKM

K

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล
1. ........................................................................... 1. กาหนดให้
2. ............................................................................ 2. .............................................................
3. ............................................................................. 3. .............................................................
4. ΔKLP  ΔKLM 4. .............................................................
5.   5. ..............................................................
…………………………………………
LKP = LKM 6. ..............................................................

6. KL แบ่งคร่ึง 

PKM

ความเท่ากนั ทุกประการ 11

แบบฝึ กทกั ษะชุดท่ี 5 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทม่ี คี วามสัมพนั ธ์กนั แบบ มุม-มุม-ด้าน

ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสมั พนั ธ์กนั แบบ มุม-มุม- ด้าน (ม.ม.ด) กล่าวคือ จะมีมุมที่มีขนาด
เทา่ กนั สองคู่ และมีดา้ นเท่ากนั คู่หน่ึง แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปน้นั เท่ากนั ทุกประการ
แสดงไดด้ งั รูป

1. จากรูปที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี ใหใ้ ส่เครื่องหมาย / หนา้ รูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการแบบ ม.ม.ด และ

ใส่เครื่องหมาย X หนา้ รูปสามเหล่ียมท่ีไม่เทา่ กนั ทุกประการแบบ ม.ม.ด

1)……….. 2)………. S

A R
C

OT

BD PQ

3)………. O Q 4)………. A

P

BD

5)………. R C R
Q
A D 6)……….
B
B CE F S

7)………. S P

T 8)……….

A

QP CD

ความเท่ากนั ทุกประการ 12

2. AD จากรูป และ   
ABC = DEF , ACB = DFE

AC  DF จงพสิ ูจน์วา่ ΔABC  ΔDEF

B ........C..........E..........................F..................................................................................................

กาหนดให้

ตอ้ งการพสิ ูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔABC  ΔDEF 4. .........................................................

A

3. D จากรูป    
ABD = CBD, BAD = BCD
B
จงพิสูจน์วา่ ΔABD  ΔCBD

กาหนดให้ C ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔABD  ΔCBD 4. .........................................................
4. S O
R

□ PQRS เป็ นรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัส

มี  จงพิสูจน์วา่ PO  QO

SOP = ROQ

กาหนดให้ PQ
..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .............................................................

3. ............................................................................. 3. ..............................................................

4. ............................................................................ 4. ..............................................................

5. ............................................................................. 5. ..............................................................

…………………………………………

ความเท่ากนั ทุกประการ 13

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 6 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทม่ี ีความสัมพนั ธ์กนั แบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน

ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพนั ธ์กนั แบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน (ฉ.ด.ด) กล่าวคือ ถา้ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
สองรูป มีดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาวเทา่ กนั และมีดา้ นอีกดา้ นหน่ึงยาวเทา่ กนั แลว้ รูปสามเหล่ียมสองรูปน้นั
เทา่ กนั ทุกประการ แสดงไดด้ งั รูป

1. จากรูปท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี ใหใ้ ส่เครื่องหมาย / หนา้ รูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากนั ทุกประการแบบ ฉ.ด.ด และ

ใส่เคร่ืองหมาย X หนา้ รูปสามเหลี่ยมที่ไม่เทา่ กนั ทุกประการแบบ ฉ.ด.ด

1)……….. AD 2)………. B

AC

B CE F 4)………. D

3)………. OQ L O

P

P

5)………. R 6)………. M N

AD R

SQ

B CE F

7)………. B P P

8)……….

EF O
AC QR

ความเท่ากนั ทุกประการ 14

2. P O Q จากรูป ΔPQR มี PR  QR และ
RO ต้งั ฉากกบั PQ ท่ีจุด O

จงพิสูจนว์ า่ ΔROP  ΔROQ

กาหนดให้ ..R............................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พิสูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔROP  ΔROQ 4. .........................................................

AD

3. จากรูป AB  DE , AC  DF และ

C  =   900 จงพสิ ูจน์วา่ ΔABC  ΔDEF

ABC DEF

BE F

กาหนดให้ ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพสิ ูจน์วา่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .........................................................

3. ............................................................................. 3. .........................................................

4. ΔABC  ΔDEF R 4. .........................................................
4.

S Q กาหนดให้ PQ  RS , 

P SQ = R Q S  900

จงพสิ ูจนว์ า่ 

SPQ = QRS

กาหนดให้ P ..............................................................................................................................................

ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ ..............................................................................................................................................

พสิ ูจน์ ข้อความ เหตุผล

1. ........................................................................... 1. กาหนดให้

2. ............................................................................ 2. .............................................................

3. ............................................................................. 3. ..............................................................

4. ........................................................................... 4. ..............................................................

5. ............................................................................. 5. ..............................................................

…………………………………………

ความเท่ากนั ทุกประการ 15

แบบฝึ กทกั ษะชุดที่ 7 รูปสามเหลยี่ มหน้าจั่ว

1.จงเขียนเครื่องหมาย / หนา้ ขอ้ ที่เป็นไปตามสมบตั ิของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่ และเขียนเคร่ืองหมาย X

หนา้ ขอ้ ท่ีไม่เป็ นไปตามสมบตั ิของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั

………1) เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั จะแบง่ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่ ออกเป็น

รูปสามเหล่ียมสองรูปที่เท่ากนั ทุกประการ

………2) มุมยอดและมุมที่ฐานของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั มีขนาดเท่ากนั

………3) เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั จะแบง่ คร่ึงฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่

………4) เส้นแบง่ คร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั จะต้งั ฉากกบั ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่

………5) เส้นท่ีลากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั มาแบ่งคร่ึงฐาน จะแบง่ คร่ึงมุมยอดของรูป

สามเหล่ียมหนา้ จวั่

………6) เส้นท่ีลากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั มาแบ่งคร่ึงฐาน จะต้งั ฉากกบั ฐานของสามเหลี่ยม

หนา้ จวั่

2. จงใชส้ มบตั ิของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั หามุมของรูปที่กาหนดให้ T

1) 2) 300
L

400

M XN S XR
……………………………………………
……………………………………………
4) 5x T
3)
R x+480
C

x+30

4x-15 S

AB ……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… ……………………………………………
…………………………………………… ……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

ความเท่ากนั ทุกประการ 16