Bahan Ajar Barisan Aritmetika

BAHAN AJAR MATEMATIKA

MATERI : BARISAN ARITMATIKA

Disusun Oleh :

NAMA : DINA PUSPITA WIJAYANTI

ROMBEL : PPG – A

PRODI : MATEMATIKA

UNIVERSITAS HAMZANWADI
TAHUN 2022

1Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

1. Peserta didik mampu menentukan suku pertama, beda dan bentuk umum dari barisan
aritmetika

2. Peserta didik mampu menganalisis suku ke-n barisan aritmetika berdasarkan unsur yang
diketahui

3. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan aritmatika
berdasarkan analisis atas informasi yang diberikan

PETA KONSEP

Masalah
otentik

Barisan
Bilangan

Barisan
Aritmatika

Suku Awal Beda (b)
(a)

Suku ke - n
(Un)

2Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

APLIKASI DI DUNIA NYATA

POLA DAN BARISAN ARITMETIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai berbagai kejadian yang memiliki
pola tertentu sehingga hal tersebut sangat membantu dalam aktivitas. Sebagai salah
satu contoh dalam kasus transportasi. Arcel merupakan mahasiswa salah satu Universitas
di Yogyakarta. Liburan kali ini, Arcel berniat untuk pulang ke rumah orangtuanya di
Pekanbaru. Sesampainya di bandara Sultan Syarif Kasim Riau, Arcel memesan taksi
bandara menuju rumah orangtuanya. Jarak bandara Sultan Syarif Kasim ke rumah
orangtua Arcel yaitu 15 kilometer. Jika besarnya argo taksi Rp 8.000,00 untuk 1 kilometer
pertama, kemudian bertambah Rp 7.000,00 untuk 1 kilometer selanjutnya. Bantulah Arcel
untuk menentukan ongkos taksi yang harus dibayar untuk sampai ke rumah orangtuanya?

Fenomena diatas sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dan akan sangat membantu
dalam setiap aktifitas kita apabila dapat memodelkan atau memformulasikan dalam bentuk
matematis dengan barisan Aritmetika yang mudah untuk digunakan. Mari kita belajar
konsep barisan Aritmetika.

3Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

MATERI PEMBELAJARAN
A. POLA BARISAN

Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif
melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret, berbagai
konsep dan aturan matematika terkait barisan dan deret akan ditemukan melalui
pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi
sebagai alternatif pemecahan masalah. Kita akan mempelajari beberapa kasus dan
contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret pada bab ini. Barisan suatu objek
membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu. Aturan yang dimaksud adalah
pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap suatu barisan untuk menemukan
pola.

Masalah 1.1
Beberapa kelereng dikelompokan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun
dalam bentuk persegi sebagai berikut :

Gambar 1.1 Susunan Kelereng
Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan 1, 4, 9, 16, 25.

4Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Dari masalah 1.1 tersebut diatas, coba fikirkan :
Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut?
Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut?
Berapa banyak kelereng pada kelompok ke-15?
Metode apa yang dapat digunakan untuk membuat susunan kelereng berikutnya ?

Selanjutnya, perhatikan bentuk-bentuk berikut ini.
a. 1, 2, 3, 4, …
b. 2, 4, 6, 8, …
c. 1, 3, 5, 7, …
Jika diperhatikan bentuk-bentuk diatas terlihat bahwa bilangan-bilangan tersebut ditulis
berdasarkan pola atau aturan tertentu.
 Pada contoh (a) barisan bilangan bisa dituliskan sebagai berikut :

123 4

+1 +1 +1

Bilangan 1, 2, 3, 4, … yang terbentuk berdasarkan pola “bilangan berikutnya

diperoleh dengan menambahkan satu”.

 Pada contoh (b) dan (c) barisan bilangan bisa dituliskan sebagai berikut :

246 8

+2 +2 +2

1 35 7

+2 +2 +2

Bilangan 2, 4, 6, 8 , … dan bilangan 1, 3, 5, 7, … yang terbentuk berdasarkan pola
“bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan dua”.

Susunan bilangan dengan aturan atau ketentuan-ketentuan tersentu seperti bentuk-
bentuk di atas disebut dengan barisan bilangan.

5Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

B. BARISAN BILANGAN
Barisan adalah sekumpulan bilangan yang disusun menurut suatu pola atau aturan
tertentu. Suku umumnya biasanya dilambangkan dengan Un, dengan n menunjukkan
nomor urut suku.

Secara umum, barisan suatu bilangan dapat dinyatakan sebangai berikut :
U1 , U2 , U3 , U4 , … Un-1 , Un
Dengan U1 , U2 , U3 , U4 , … , Un disebut suku
U1 = suku ke-1
U2 = suku ke-2
U3 = suku ke-3
U4 = suku ke-4

Un-1 = suku ke-(n-1)
Un = suku ke-n

Contoh 1 :
Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, …

Alternatif Penyelesaian

Barisan bilangan 2, 5, 8, 11, …
U1 = 2
U2 = 5 = 2 + 3
U3 = 8 = 5 + 3
U4 = 11 = 8 + 3
Karena setiap pola menunjukan +3 maka, tiga suku berikutnya adalah :
U5 = 11+3 = 14
U6 = 14+3 = 17
U7 = 17+3 = 20

6Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

C. BARISAN ARITMATIKA
1. Pengertian Barisan Aritmatika
Masalah 1.2

Perhatikan gambar disamping !

Bagaimana cara menentukan atau menduga

banyak jeruk dalam satu tumpukan ?

Gambar 1.3 Tumpukan buah jeruk

Alternatif Penyelesaian :

Jika diperhatikan gambar 1.3, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk
dapat disusun membentuk sebuah piramida.

Gambar 1.4 Susunan piramida jeruk
Jumlah jeruk di bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan susunan
atasnya. Misalkan bentuk piramida tersebut disederhanakan menjadi sebuah
susunan segitiga beriku :

Gambar 1.5 Susunan segitiga jeruk

7Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Dari permasalahan diatas, diperoleh suatu pola :

Gambar 1.6 Pola susunan jeruk dalam tumpukan

Gambar 1.7 Pola turunan susunan jeruk dalam tumpukan
Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan
bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan perhatikan
polanya pada Gambar 6.7 diatas.
Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang
baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skemanya pada Gambar 6.8 diatas juga. Beda
setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1.
Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut “Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3,
6, 10, 15, ... disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.
Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat.
Apa yang kamu temukan?
Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga?
Sekarang, coba perhatikan beberapa barisan bilangan berikut ini
a) 1, 3, 5, 7, …….
b) 6,10,14,18, ……..
c) 11, 8, 5, 2,……….
d) 20, 15, 10, 5, …….

8Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa selisih dua suku berurutan selalu tetap.
Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut Barisan Aritmatika.

Dengan kata lain, barisan aritmatika adalah barisan yang tiap sukunya diperoleh dari
suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan
tetap.

Bentuk umum barisan aritmatika 1, 2, 3, . . . , −1, . untuk n bilangan asli dan
n > 1 dengan :

1 = a =a+b
2 = 1 + b = a + b + b = a + 2b
3 = 2 + b = a + 2b + b = a + 3b
4 = 3 + b

.

.

= Un-1 + b = a + (n-2) b + b = a +(n-1)b
= a + (n-1)b
Dengan n = 1, 2, 3, …

Bilangan a adalah suku pertama dari barisan aritmatika. Bilangan b adalah suatu
bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat
diuraikan sebagai berikut :
U2 U1  b  b U2 U1

U3 U2  bb U3 U2
U4 U3  bb U4 U3

U n  U n1  b  b  U n  U n1

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun.
Bila b > 0 maka barisan aritmatika itu naik
Bila b < 0 maka barisan aritmatika itu turun

9Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Definisi 1.1

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang
berurutan adalah sama.
Beda dinotasikan dengan “b” dan memenuhi pola :
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – U(n-1)
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku
Un adalah suku ke - n

Contoh 2 :
Tentukan suku pertama dan beda dari tiap barisan aritmatika berikut ini!
1) 7, 8, 9, 10, …
2) 3, 8, 13, 18, …
3) 9, 6, 3, 0, …

Alternatif Penyelesaian :
1) 7, 8, 9, 10, …

suku pertama : a = 7
beda : b = 8 – 7 = 9 – 8 = 10 – 9 = 1
2) 3, 8, 13, 18, …
Suku pertama : a = 3
beda : b = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 13 = 5
3) 9, 6, 3, 0, …
Suku pertama : a = 9
beda : b = 6 – 9 = 3 – 6 = 0 – 3 = - 3

10Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Contoh 3 :

Tentukan 5 suku pertama barisan aritmatika berikut, jika diketahui :
1) a = 3 dan b = -4
2) a = 8 dan b = 3

Alternatif Penyelesaian :

1) a = 3 dan b = -4
= a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1).(-4)
= 3 + (-4n + 4)
= 3 – 4n + 4
= 1 – 4n

2) a = 8 dan b = 3
= a + (n – 1)b
= 8 + (n – 1).3
= 8 + 3n – 3
= 3n + 5

2. Suku ke – n Barisan Aritmatika

Dari bentuk umum barisan aritmatika 1, 2, 3, . . .,

1 = a

2 = 1 + b =a+b

3 = 2 + b = a + b + b = a + 2b

4 = 3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.
= a + (n – 1)b

Jadi pola bilangan barisan aritmatika adalah

U1, U2, U3, U4 , . . . . . . . . Un

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . . . . . a + (n – 1)b

11Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Definisi 1.2

Jika 1, 2, 3, . . ., merupakan suku-suku barisan aritmatika, rumus suku ke-n
barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut :

= a + (n – 1)b

Dengan :
n = banyak suku, n ∈ bilangan asli
a = suku pertama
b = beda atau selisih
= suku ke – n

Contoh 4 :

Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke – n dan suku ke – 12 dari barisan
aritmatika 10, 15, 20, 25, ….

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui :

Suku pertama : a = 10

Beda : b = 15 – 10 = 5

Rumus suku ke – n : Suku ke – 12 :

12Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Contoh 5 :

Suku pertama dari suatu barisan aritmatika sama dengan 2, sedangkan suku ke-
10 sama dengan 29.
1. Carilah beda dari barisan tersebut
2. Carilah suku ke-25
3. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 101?

Alternatif Penyelesaian : 2. Suku ke – 25
a=2,b=3
1. Beda dari barisan itu
a = 2 dan U10 = 29

3. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 101 ?

13Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

Contoh 6 :
Dalam gedung pentas seni disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14
buah, baris ke-2 berisi 16 buah, baris ke-3 berisi 18 buah dan setiap baris
berikutnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....

Alternatif Penyelesaian :
Banyak kursi baris pertama = (U₁) = 14
Banyak kursi baris ke-2 = (U₂) = 16
Ditanyakan:
Banyaknya kursi pada baris ke-20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁

= 16 - 14
=2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyak kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.

14Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika

DAFTAR PUSTAKA

Erdiyanto, Arif. Maya Harsasi. 2022. Matematika SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Erlangga
Lukito, Agung. Matematika Kelas X. 2013. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Sinaga, Bornol dkk. 2014. Buku Siswa Kelas X Semester 1 Kurikulum 2013 edisi revisi.

Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
https://studylibid.com/doc/101040/bahan-ajar-barisan-dan-deret
https://www.omahjenius.com/2021/11/soal-cerita-pembahasan-baris-deret-aritmatika.html

15Dina Puspita Wijayanti | Barisan Aritmatika