kvant-10-2019

№10 2019

ОКТЯБРЬ Ю

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

УЧРЕДИТЕЛИ 2 О квадратичных вычетах. Е.Смирнов
11 Прозрачное и непрозрачное (окончание).
Российская академия наук
Л.Ашкинази
Математический институт
им. В.А.Стеклова РАН ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Физический институт 17 Задачи М2578–М2581, Ф2585–Ф2588
им. П.Н.Лебедева РАН 19 Решения задач М2566–М2569, Ф2573–Ф2576

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

А.А.Гайфуллин 24 Задачи 5–8

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов, 25 Задачи
М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук, 26 Замкнутые самопересекающиеся ломаные.

А.А.Варламов, С.Д.Варламов, А.Блинков, А.Грибалко
А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ
Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко,
В.Н.Дубровский, А.А.Заславский, 29 Льем воду... С.Дворянинов
А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников
(заместитель главного редактора), КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»
С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович,
Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.В.Произволов, 32 Физика+техника (оружие)
В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский,
ОЛИМПИАДЫ
Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский,
А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, 31 LX Международная математическая
В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова,
А.В.Устинов, А.И.Черноуцан олимпиада
(заместитель главного редактора)
35 L Международная физическая олимпиада
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,
А.А.Боровой, В.В.Козлов, 44 Санкт-Петербургский политехнический

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, университет Петра Великого
С.П.Новиков, А.Л.Семенов,
С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов 51 Ответы, указания, решения

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ Вниманию наших читателей (30)
1970 ГОДА
НА ОБЛОЖКЕ
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР I Иллюстрация к Калейдоскопу «Кванта»
II Коллекция головоломок
И.К.Кикоин III Шахматная страничка
IV Прогулки с физикой
ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ
ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,
И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург,
В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин,
Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,
А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,
Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,
И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

О квадратичных вычетах

Е.СМИРНОВ

МНОГИЕ ЗНАЮТ, ЧТО С ОСТАТКАМИ ких действий: для них верны перемести-
при делении на данное натуральное тельный, сочетательный и распределитель-
число m – также говорят «с остатками по ный законы, существуют ноль и единица.
модулю m» и пишут «mod m» – можно (Алгебраисты сказали бы, что они образу-
делать почти то же самое, что с целыми ют кольцо.) Подробности читатель может
числами: остатки можно складывать, вы- восстановить сам или посмотреть в одной
читать, умножать... А если m равно про- из упомянутых выше статей.
стому числу p, то остатки можно даже и
делить! Так, каждое линейное уравнение Для примера составим таблицы умноже-
ax = b (mod p) имеет единственное реше- ния остатков по модулю 6 и 7. При этом мы
ние, если a – ненулевой остаток. опускаем строчку и столбец, отвечающие

А как обстоит дело с квадратными урав- умножению на ноль: они состоят из одних
нениями? Как выяснить, есть ли решения нулей.
у уравнения ax2 b по модулю простого
числа p? Этому и посвящена настоящая Сопоставив эти таблицы, можно сделать
статья. Главным утверждением, которое некоторые наблюдения. Так, например, в
мы при этом докажем, будет знаменитый первой из таблиц (по модулю 6) встреча-
квадратичный закон взаимности Гаусса ются нули; иначе говоря, существуют та-
– теорема, устанавливающая связь между кие два ненулевых остатка, произведение
которых равно нулю. Такие остатки назы-
разрешимостью уравнений x2 p mod q ваются делителями нуля. Скажем, по мо-
и x2 q mod p для двух разных простых дулю 6 делителями нуля будут числа 2, 3
и 4.
чисел p и q. С его помощью мы научимся
выяснять, разрешимо ли квадратное урав- Ясно, что по составному модулю делите-
нение по данному простому модулю. ли нуля всегда будут: так, если m состав-
ное, то существуют такие k и l, отличные
Арифметика остатков от единицы, для которых m = kl. Поэтому
числа k и l соответствуют ненулевым ос-
В этом разделе мы кратко напомним
некоторые факты об арифметике вычетов
по простому модулю. Читателю, который
не знаком с арифметикой остатков, реко-
мендуем сначала прочесть, например, ста-
тьи: Н.Виленкин. Сравнения и классы
вычетов («Квант» №10 за 1978 г.) или
А.Егоров, А.Котова. Необыкновенные
арифметики («Квант» №3–4 за 1993 г.).

Чтобы сложить два остатка a и b по
модулю m, нужно сложить их как целые
числа и взять у результата остаток по
модулю m. Так же определяются и раз-
ность, и произведение остатков. Опреде-
ленные таким образом операции удовлет-
воряют обычным законам арифметичес-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191001

О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 3

таткам, произведение которых равно нулю доказали, что в Z pZ произведение двух
по модулю m. ненулевых остатков отлично от нуля. По-
скольку по условию a z 0 , то это значит,
Чуть менее тривиален обратный вопрос: что k m 0 , т.е. k m , что и требова-
верно ли, что в арифметике остатков по лось.
простому модулю делителей нуля нет?
(Например, по модулю 7 их нет, что Из этого несложного предложения выте-
подтверждается второй таблицей.) Ока- кает несколько интересных следствий.
зывается, что это тоже верно.
Следствие 1. В Z pZ линейное уравне-
Докажем это. Рассмотрим арифметику ние ax = 0 при a z 0 имеет единственное
остатков по модулю p и предположим решение.
противное: пусть нашлись такие k и l,
которые дают при делении на p ненулевые Доказательство. Действительно, пере-
остатки – но при этом их произведение берем все возможные значения x, т.е.
делится на p нацело, т.е. kl = pm. Однако рассмотрим все остатки вида 0, a, 2a, ...
если произведение двух чисел делится на Согласно предложению 2, среди них будет
простое число p, то на p делится хотя бы остаток, равный b, причем ровно один.
одно из этих чисел. Противоречие: ни k, ни
l не делятся на p. Частным случаем этого следствия явля-
ется следующее утверждение.
Мы получили следующее утверждение.
Предложение 1. В арифметике остат- Следствие 2. Для каждого ненулевого
ков по модулю m нет делителей нуля остатка a  Z pZ существует и един-
тогда и только тогда, когда m является ственный обратный, т.е. такой остаток
простым числом. x, что ax = 1.
Далее нас будет интересовать в основном
тот случай, когда m простое; в этом случае Этот остаток обычно обозначается a 1 .
будем обозначать его буквой p, а соответ- Пример 1. Например, в Z 7Z обрат-
ствующее множество остатков (с операци- ным к остатку 3 будет остаток 5: дей-
ями сложения и умножения) будет обозна- ствительно, 3 ˜ 5 15 , что дает остаток 1
чаться через Z pZ .1 по модулю 7.
Можно сделать еще одно наблюдение: в Замечание. Отметим, что в арифметике
каждой из строк второй таблицы записаны по составному модулю ни то, ни другое
в каком-то порядке все ненулевые остатки следствие не будет выполняться. Так, на-
по модулю 7; все числа от 1 до 6 встреча- пример, по модулю 6 уравнение 2x = 4
ются в ней по одному разу, и ни одно не будет иметь два решения: 2 и 5, а ни один
повторяется. Оказывается, что так обсто- из остатков 2, 3 и 4 не будет обратим.
ит дело и для произвольного простого
модуля. Упражнение 1. Выясните, какие остатки
Предложение 2. Пусть p простое,
a  Z pZ – некоторый ненулевой оста- будут обратимы в арифметике остатков по
ток. Тогда среди остатков 0, a, 2a, 3a, …
произвольному составному модулю m.
..., p 1 a нет повторяющихся.
А что будет, если перемножить все остат-
Доказательство. Пусть два остатка
k,m  Z pZ таковы, что ak = am. Тогда ки a, 2a, …, p 1 a ? С одной стороны,
ap 1 ˜ 1 ˜ 2 ˜… ˜ p 1 ap 1 p 1 ! . С дру-
a k m равно нулю. Но мы только что
гой стороны, согласно предложению 2, эти
1 Смысл этого обозначения в том, что мы остатки – это те же 1, 2, …, p 1 , только
рассматриваем целые числа, множество кото- записанные в другом порядке. Значит, их
рых традиционно обозначается через Z , с
точностью до прибавления чисел, делящихся произведение равняется p 1 ! . Тем са-
на p, множество которых естественно обозна-
чить через pZ . мым мы получаем равенство

ap 1 p 1 ! p 1 ! .
Поделив это равенство на p 1 ! (кон-

трольный вопрос: почему это можно сде-
лать?), получаем следующую теорему.

Теорема 1 (малая теорема Ферма).
Пусть p простое. Тогда в Z pZ для

4 КВАНT $ 2019/№10

любого ненулевого a верно равенство том, если уравнение x2 a разрешимо, и
ap 1 1 .
квадратичным невычетом в противном
Упражнение 2. Покажите, что остатки, об-
ратные к самим себе, т.е. такие, для которых случае.
a a 1 , это в точности 1 и p – 1. Выведите
отсюда теорему Вильсона: Пример 2. По модулю 7 квадратичными

p 1 ! 1. вычетами будут числа 1, 2 и 4: это в

Квадратичные вычеты точности те числа, которые стоят на диаго-

Первая в истории человечества книга по нали в таблице умножения остатков по
алгебре, «Китаб аль-джебр ва-ль-мукаба-
ла», была написана средневековым уче- модулю 7. Отметим, что каждое из них
ным Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорез-
ми около 830 года н.э. Аль-Хорезми был встречается там ровно два раза.
уроженцем Хивы – сейчас это территория
Узбекистана. В этой книге, в числе проче- При этом число 0 мы не будем относить
го, был изложен метод решения квадрат-
ного уравнения. ни к квадратичным вычетам, ни к невыче-

Основной метод решения квадратного там (так же, как вещественное число 0 не
уравнения (с вещественными коэффици-
ентами) состоит в выделении полного квад- является ни положительным, ни отрица-
рата, что сводит его к уравнению вида
x2 a. Такое уравнение легко решить: ес- тельным).

ли a > 0, то его корни равны r a; если Предложение 3. Количество как квад-
a = 0, то единственный корень равен нулю;
если же a < 0, то корней у такого уравне- ратичных вычетов, так и квадратичных
ния нет. p 1
невычетов в Z pZ равно 2 .
Квадратичные вычеты и невычеты.
Наша ближайшая задача будет состоять в Доказательство. Каждому квадратич-
том, чтобы научиться искать число реше-
ний уравнения x2 a , где a  Z pZ – ному вычету a соответствуют два решения
остаток по некоторому фиксированному rb уравнения x2 a . Также ясно, что
простому модулю p. Будем считать, что каждый ненулевой остаток из Z pZ явля-
p > 2, т.е. p – нечетное простое число.
ется решением ровно одного квадратного
Заметим, что если уравнение x2 a при
a z 0 имеет корень, то этих корней обяза- уравнения такого вида. Поэтому получает-
тельно будет ровно два: а именно, если b –
корень этого уравнения, то и b – тоже его ся, что квадратичных вычетов оказывает-
корень. При этом, поскольку p нечетно,
b z b . ся вдвое меньше, чем ненулевых элемен-
1
Поэтому получается, что x2 a тов из Z pZ , т.е. p . Все остальные
2
x b x b . Отсюда следует, что дру-
элементы Z pZ тогда будут квадратичны-
гих корней у уравнения x2 a нет: если c p 1,
ми невычетами, и их p 1 2 а зна-
– корень уравнения, то c b c b 0 , чит, столько же.

откуда c b или c b (обратите внима- Упражнения
ние, что здесь мы опять пользуемся отсут-
3. Для всех нечетных простых чисел p < 20
ствием делителей нуля в Z pZ!).
Определение 1. Пусть a  Z pZ, a z 0. перечислите все квадратичные вычеты и невы-

Будем называть a квадратичным выче- четы по модулю p.

4. Докажите, что при нечетном простом p
квадратное уравнение ax2 bx c 0 , где

a,b,c  Z pZ , a z 0 , b r D
2a
i имеет два решения, равные x1,2 ,

если его дискриминант D b2 4ac является

квадратичным вычетом;

i имеет единственное решение, если D = 0;
i неразрешимо над Z pZ , если D – квадра-
тичный невычет.

Указание. С помощью выделения полного
квадрата сведите данное уравнение к виду
x2 D .

Символ Лежандра и его мультиплика-
тивность. Ясно, что произведение двух

О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 5

квадратичных вычетов снова будет квад- невычеты) должны получаться квадратич-

ратичным вычетом. А что будет, если пере- ные вычеты, что и требовалось.

множить два квадратичных невычета? А Тем самым квадратичные вычеты и не-

вычет и невычет? Оказывается, верна сле- вычеты ведут себя при умножении при-

дующая теорема. мерно так же, как положительные и отри-

Теорема 2. а) Произведение двух квад- цательные числа. Это мотивирует следую-

ратичных вычетов – квадратичный вы- щее определение.

чет; Определение 2. Пусть a  Z pZ , a z 0 .

б) произведение квадратичного вычета Символ Лежандра § a· определяется сле-
дующим образом: ¨
и квадратичного невычета – квадратич- © p ¸
¹
ный невычет;

в) произведение двух квадратичных ÏÌÔ1-,1, a – квадратичный вычет;
ÓÔ0, a – квадратичный невычет;
невычетов – квадратичный вычет. Ê aˆ = a = 0.
ËÁ p ˜¯
Доказательство. Пункт а) очевиден: если

a и b квадратичные вычеты, т.е. существу-

ют такие x и y, для которых x2 a и Таким образом, символ Лежандра можно
y2 b , то ab тоже будет квадратичным
считать аналогом функции знака числа.
вычетом, поскольку xy 2 ab .
Тогда предыдущая теорема принимает сле-

Докажем пункт б). Пусть a – квадратич- дующий компактный вид.

ный вычет, b – квадратичный невычет. Теорема 3. Символ Лежандра мульти-

Предположим противное: что ab – квадра- пликативен:

тичный вычет. Поскольку a – квадратич- Ê aˆ Êbˆ = Ê abˆ .
ный вычет, найдется такое x, что x2 a . ËÁ p¯˜ ËÁ p¯˜ ËÁ p ¯˜
В таком случае и элемент a 1 будет
Далее мы приведем другое доказатель-
квадратичным вычетом, так как ство этой теоремы, которое будет следо-
2 вать из еще одного полезного утвержде-
a 1x 1 Соответственно, в силу пун- ния, позволяющего вычислить символ
. Лежандра, – критерия Эйлера.

кта а) элемент b как произведение квадра- Критерий Эйлера. Прежде чем читать
тичных вычетов ab и a 1 будет квадратич- дальше, рекомендуем читателю выполнить
следующее упражнение.
ным вычетом – противоречие.

Пункт в) аналогичными формальными

манипуляциями доказать уже не удается.

Однако его можно вывести из пункта б) Упражнение 5. Возьмите какое-нибудь не-
четное простое число, меньшее 20, и возведите
при помощи подсчета числа элементов. А
каждый из ненулевых остатков a  Z pZ в
именно, пусть a – фиксированный квадра- степень p 1 . Убедитесь, что у вас всегда

тичный невычет. Рассмотрим все элемен- 2
будет получаться r1 . А когда получается 1, а
ты вида a, 2a, …, p 1 a . Как обсужда- когда 1 ?

лось ранее, в этой последовательности все

элементы 1, 2, …, p 1 встречаются, при-

чем ровно по одному разу – поэтому среди Тем самым вы «экспериментально» про-
p 1 p 1
них 2 квадратичных вычетов и 2 верите утверждение следующей теоремы.

квадратичных невычетов. Однако в силу Теорема 4 (критерий Эйлера). Пусть

пункта б) при умножении a на квадратич- p ! 2 – простое число, a  Z pZ . Тогда

ный вычет получается квадратичный не- p 1 § a · .
1 ¨ p ¸
p a2 © ¹
2
вычет, и таких элементов будет , т.е. Доказательство. При a = 0 утверждение

все квадратичные невычеты будут полу- теоремы очевидно. Дальше будем считать,

чаться таким образом. Значит, при умно- что a отлично от 0.

жении a на все остальные элементы (т.е. Во-первых, сначала убедимся, что при

6 КВАНT $ 2019/№10

любом a z 0 будет иметь место р§авpе н1с·т2во окажется равной нулю, стало быть, и r = 0.

p 1 Степень многочлена q x будет на едини-
цу меньше, чем степень p x , а значит, и
a2 r1 . Д ейств ительно ,Фе¨¨©рaм2а. ¸
a p 1 1 по малой теореме ¸¹ корней у него не более d 1 по предполо-
Но
жению индукции. А корни многочлена

остаток, квадрат которого равен 1, может p x – это a и корни многочлена q x
равняться только 1 или 1 .
(здесь мы используем отсутствие делите-
§a·
Далее, ясно, что если ¨ ¸ 1, то лей нуля в Z pZ ). Поэтому их не больше
© ¹
p 1 p d, что и требовалось.

a 2 1 . Действительно, если a – квадра- Из критерия Эйлера очевидно следует

тичный вычет, то существует такое b, что мультипликативность символа Лежандра.

p 1 p 1 Действительно,

b2 a . Тогда a 2 b2 2 bp 1 1 § a ·§ b · p 1 p 1 p 1 § ab · .
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ p ¸
опять-таки в силу малой теоремы Ферма. © p ¹ © p ¹ a2b2 ab 2 © ¹

Осталось доказать, что если a – квадра- Кроме того, с помощью критерия Эйле-

p 1 ра легко понять, когда 1 является квад-

тичный невычет, то a 2 1. Для этого ратичным вычетом, а когда – невычетом:

p 1

рассмотрим уравнение x 2 1 0 . Это Следствие 3. Имеет место равенство

полиномиальное уравнение степени p 1 , § 1· p 1 ­1, p 4k 1,
2 ®¯ 1, p 4k 3.
следовательно, по теореме Безу (которая ¨ p ¸ 1 2
© ¹

верна и для многочленов с коэффициента- «Положительные» и «отрицательные»

ми из Z pZ ) у него не может быть более остатки. Выпишем все элементы из Z pZ
p 1
2 корней. Но такое количество корней в следующем порядке:

нам уже известно: это все квадратичные p 1, …, 2, 1, 0, 1, 2, …, p 1 .
2 2
вычеты. Тем самым получается, что квад-
Условимся называть те из них, которые
ратичные невычеты не являются корнями выписаны слева от нуля, «отрицательны-

p 1

этого уравнения, т.е. для них a 2 z 1. ми», а те, что справа – «положительны-
ми».2
p 1

Значит, для них a 2 1. Теорема дока- Рассмотрим произвольный ненулевой

зана. элемент a  Z pZ и умножим его на все
Для полноты изложения докажем, что «положительные» элементы. Получим эле-
меНнтеытруaд,н2оa,д…ок, аpз2а т1ьaс.ледующее утверж-
многочлен с коэффициентами из Z pZ
степени d имеет не более d корней. Это дение.
доказывается точно так же, как и для
многочленов с вещественными коэффици- Предложение 4. Множество
ентами. Докажем это индукцией по d. База
при d = 1 очевидна: это следствие 1. Для н­®¯оa,м2уa, …, еpм2 е1нaт½¾¿усоидезржкиатжрдоовйно по од-
доказательства индуктивного перехода эл пары

отметим, что если p x – многочлен степе- r1, r 2, …, r p 1 .
2
ни d, коэффициенты которого принадле- Доказательство. Ранее мы уже видели,
жат Z pZ , а остаток a  Z pZ является его
что разные элементы из Z pZ при умно-
корнем, т.е. p a 0 , то p x делится на
2 Не надо путать положительные/отрица-
двучлен x a , значит, представляется в
тельные элементы в смысле этого обозначения
виде p x q x x a . Для доказатель- с квадратичными вычетами/невычетами.
ства этого факта разделим p x на x a с
остатком: p x q x x a r и подста-

вим в качестве x значение a. Левая часть

О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 7

жении на произвольное ненулевое a не Это предложение позволяет вычислить

могут переходить в один и тот же элемент: символ Лежандра для некоторых значе-

это противоречило бы тому, что в Z pZ ний a.
нет делителей нуля.
Пример 3. Убедимся еще раз, что

Докажем, что для различных «положи- § 1· p 1 умно-
числа
тельных» элементов k z l элементы ak и ¨ p ¸ 1 2 . Действительно, при
al не могут быть противоположны друг © ¹
жении на 1 все «положительные»
другу. Действительно, это значило бы, что
становятся «отрицательными» – а их всего
0 ak al a k l ,
p 1 2 .
откуда k l 0 mod p . Но этого не мо- Выясним, когда число 2 является квад-

жет быть: поскольку 0 k,l d p 1, то ратичным вычетом по модулю p. Оказыва-
2
ется, что это зависит от остатка от деления

0 k l p , значит, k l z 0 mod p . p на 8: если он равен 1 или 7, то 2 будет
Поэтому среди элементов a, 2a, …, p 1 a квадратичным вычетом, а если 3 или 5, то
2
невычетом.

встречается не более одного элемента из Предложение 6. Имеет место равен-

каждой пары rk . Но элементов и пар по ство

p 1 2 – стало быть, из каждой пары rk §2· p2 1 ­1, p 8k r 1,
¨ ¸ ®¯ 1, p 8k r 3.
войдет ровно один остаток. © p ¹ 1 8

Обозначим через H a количество «от- Доказательство. Умножим все «поло-
рицательных» элементов во множестве жительные» элементы на 2; получим эле-
1 менты вида
®¯­a, 2a, …, p a¿¾½ , т.е. число таких «по-
2
ложительных» элементов, которые при 2, 4, …, p 3, p 1.

умножении на a становятся «отрицатель- «Отрицательными» будут те из них, кото-
ными».
рые будут заключены между p 2 и p 1 .
Предложение 5 (лемма Гаусса). Имеет
Их количество, как нетрудно видеть, бу-

равенство 1 H a § кapв¸¹·а.дрИатнаичче- дет равно ª p 1º (т.е. числу p 1 , округ-
H a четно, если a ¨ «« 4 »» 4
место –©
говоря, ленному до ближайшего целого вверх).

ный вычет, и нечетно в противном случае. Эта величина и будет равна H 2 ; мы
Доказательство. Перемножим все ос- хотим найти ее четность. Проще всего

татки a, 2a, …, p 1 a . В силу предыдуще- сделать это, разобрав четыре возможных
2
случая:
го рассуждения мы получим, что это про-
i если p 8k 1 , то H 2 ª p 1º 2k ;
изведение равно «« 4 »»

a ˜ 2a ˜… ˜ p 1 a 1 H a ˜1˜ 2 ˜… ˜ p 1 . i если p 8k 3 , то H 2 ª««2k 1º
2 2 2k 1; 2 »»

Но, с другой стороны, оно же равняется i если p 8k 5 , то H 2 «ª2k 1º»
p 1
a ˜ 2a ˜…˜ p 1 a a 2 ˜1˜ 2 ˜… ˜ p 1 2k 1;
2 2
p 1 i наконец, если p 8k 7 , то H 2
= § a · ˜ 1 ˜ 2 ˜ ˜ 2 3º
¨ p ¸ … ««ª2k 2 »» 2k 2 .
© ¹


(в последнем равенстве использован кри- Гипотеза Эйлера. Посмотрим еще раз на

терий Эйлера). предложение 6. Оно утверждает, что 2

Поделив обе части на отличную от нуля является или не является квадратичным

величину p 1 2 ! , получаем требуемое вычетом по модулю p в зависимости от

равенство.

8 КВАНT $ 2019/№10

остатка, который p дает при делении на 8. первый член и разность арифметической
Вообще говоря, это совершенно удивитель- прогрессии взаимно просты, то она будет
содержать бесконечно много простых чи-
но: оказывается, что при фиксированном сел.

нечетном r для всех простых чисел вида Упражнение 6. Докажите, что количество
8k r двойка является или не является простых чисел вида: а) 4k + 3; б*) 4k + 1
квадратичным вычетом одновременно! бесконечно.

Кстати, то же самое мы видели и для 1 : Квадратичный закон взаимности Гаусса
является ли 1 вычетом или невычетом по
модулю p, зависит лишь от остатка, кото- Формула для H a . В предыдущем раз-
рый p дает при делении на 4. деле мы вычислили H 2 , найдя число

Эйлер высказал гипотезу, что так будет таких «положительных» элементов из
Z pZ , которые при умножении на 2 пере-
и для любого числа a: символ Лежандра ходят в «отрицательные». А именно, эти
элементы получаются из целочисленных
§a· будет зависеть только от остатка, x, удовлетворяющих двойному неравен-
¨ ¸ ству p 4 x p 2 . Напротив, целочис-
© p ¹ ленные решения неравенства 0 x p 4
соответствуют «положительным» элемен-
который p дает при делении на 4a. там, при умножении на 2 переходящим в
«положительные».
Сам Эйлер доказать эту гипотезу не
смог; это было сделано Гауссом, который Это можно представить себе следующим
установил, как связаны между собой квад- образом. Расположим остатки от 0 до p 1
ратичные вычеты по различным простым в вершинах правильного p-угольника с
модулям. Это утверждение он назвал золо-
той теоремой (Theorema Aureum), а нам координатами cos 2Sk p;sin 2Sk p . Тог-
оно сегодня известно как квадратичный
закон взаимности. В следующем разделе да «положительные» остатки будут отве-
мы изложим одно из многочисленных до- чать вершинам, лежащим в верхней полу-
казательств этой теоремы, принадлежа- плоскости (выше оси Ox), а «отрицатель-
щее ученику Гаусса, Эйзенштейну. ные» – соответственно, ниже Ox. Умноже-
ние элемента на 2 отвечает удвоению соот-
Кстати, слово «многочисленные» – от- ветствующего угла, так что при этом вер-
нюдь не преувеличение. Существуют до- шина с номером k перейдет в вершину с
казательства квадратичного закона взаим- номером 2k. Поэтому в «положительные»
ности, опирающиеся на самые разные идеи; элементы при этом отображении перейдут
сам Гаусс придумал около восьми разных вершины, лежащие в I и III четвертях, а в
доказательств. Немецкий математик Франц «отрицательные» – соответственно, во II и
Леммермайер на своей странице https:// IV. Поэтому интересующее нас число «по-
www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/ ложительных» элементов, переходящих в
rchrono.html собрал 246 различных дока- «отрицательные», есть не что иное, как
зательств этой теоремы, последние 15 из количество вершин p-угольника, лежащих
которых были опубликованы в течение во II четверти.
последнего десятилетия.
Ясно, что это рассуждение можно обоб-
Теорема 5 (гипотеза Эйлера). Число a щить для произвольного числа a, не толь-
одновременно будет квадратичным выче- ко для 2. Для этого разобьем нашу плос-
том или невычетом для всех простых кость на 2a одинаковых секторов и покра-
чисел, входящих в арифметическую про- сим их поочередно в белый и серый цвета,
как показано на рисунке 1. Вершины пра-
грессию 4an + r, где n = 0, 1, 2, … и 0 < вильного p-угольника, попавшие в белые
сектора, будут отвечать ненулевым эле-
< r < 4a.
ментам из Z pZ , переходящим при умно-
Замечание. Понятно, что если первый
член прогрессии r и ее разность 4a не
взаимно просты, то таких простых чисел
при n ≥ 1 не будет (все члены прогрессии
будут делиться на их общий делитель).
Теорема Дирихле утверждает, что если

О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 9

Это можно сформулировать в виде сле-
дующей леммы.

Лемма 1 (Эйзенштейн). Имеет место
равенство

§a· p 1 2 «2an »
1 « »
¨ p ¸ ¦ ¬ p ¼ .
© ¹
n1

Доказательство. Предыдущее обсужде-

Рис. 1. «Положительные» остатки по модулю ние показывает, что §a· равно 1 или 1
р = 43 (от 1 до 21), попавшие в серые сектора, ¨ ¸
переходят при умножении на а = 13 в «отрица- © p ¹
тельные»
в зависимости от того, является ли количе-

жении на a в «положительные» элементы; ство нечетных чисел среди чисел вида

те же вершины, которые попали в серые «2an » четным или нечетным. Теперь
« »
сектора, будут при умножении на a пере- ¬ p ¼

ходить в «отрицательные». На рисунке 1 просуммируем все числа такого вида и

показан пример, в котором p = 43 (т.е. воспользуемся простым наблюдением: сум-
ма целых чисел нечетна тогда и только
«положительными» являются остатки от 1
тогда, когда в нее входит нечетное число
до 21), а a = 13.
нечетных слагаемых.
Отметим, что в силу простоты p (вернее,
Квадратичные вычеты и целые точки. В
взаимной простоты p и a) на границу
этом разделе мы установим взаимосвязь
секторов попадет единственная вершина
между квадратичными вычетами по раз-
p-угольника – а именно, та, что отвечает
личным модулям. Для этого зададимся
элементу 0  Z pZ . различными простыми нечетными числа-

Итак, количество H a таких «положи- ми p и q.
Положим в предыдущей формуле a = q
тельных» элементов Z pZ , которые при
и интерпретируем сумму в ее правой части
умножении на a переходят в «отрицатель-

ные», равняется количеству вершин геометрически. Нарисуем на координат-

p-угольника, лежащих выше оси абсцисс и ной плоскости прямоугольник высоты q и
ширины p с вершиной в начале координат,
при этом попадающих в серые сектора. лежащий в первой четверти (рис.2). Коор-

Ввa2нс,иезгоо)к.трЯауксгинлхоен,снечкоттоеосрдоооовтбвбуелтдисежттвଫ«уйa2юш»»¼ще(гитое.ев.цечерилшсолгиоо-

ны при этом будут иметь номера n, удов-

летворяющие одному из следующих нера-

венств:

p 2 an p ;

3p 2 an 2p ;

5p 2 an 3p ; Рис. 2. Здесь р = 17, q = 11. Отмечены все точки с
… четными абсциссами, лежащие ниже прямой l

Тем самым, количество «положитель- динаты его точек x; y будут удовлетво-
ных» элементов, переходящих при умно-
жении на a в «отрицательные», есть в рять неравенствам 0 < x < p, 0 < y < q.
точности количество таких n, где Далее проведем в этом прямоугольнике
диагональ l из левого нижнего в правый
1d nd p 1 и «2an » нечетно.
2 « »
¬ p ¼

10 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

верхний угол; она будет иметь уравнение торой четна. В результате у нас будут
отмечены:
y qx p .
i во-первых, все целые точки в выделен-
Рассмотрим какое-нибудь целое число n, ном треугольнике;

где 1 d n d p 1 2 . Возьмем все точки в i во-вторых, все точки с четными абсцис-
прямоугольнике с абсциссой 2n и целой сами, лежащие правее прямой x p 2 . В
каждом таком столбце будет q 1 точка,
ординатой, лежащие ниже прямой l. Их т.е. четное число, а значит, общее число
таких точек также будет четным.
ордината должна удовлетворять условию
Значит, четность H q равна четности
y 2nq . Таким образом, число этих точек
p числа целых точек в выделенном треуголь-
нике, что и требовалось.
чртаовнчоетн«¬« 2оnpстqь»¼» . Суммируя по n, получаем,
H Отсюда немедленно получается квадра-
q равна четности количе- тичный закон взаимности Гаусса:

ства точек в прямоугольнике, которые Теорема 6 (квадратичный закон взаим-
ности). Для различных нечетных про-
лежат ниже прямой l и имеют четные стых чисел имеет место равенство

абсциссы.

Оказывается, что существует еще более § p · ˜ § q · 1 p 1 ˜ q 1 .
¨ q ¸ ¨ p ¸ 2 2
удобная интерпретация H q : © ¹ © ¹
Лемма 2. Четность числа H q совпа-
дает с четностью числа целых точек в

треугольнике, заданном неравенствами Доказательство. В предыдущих обозна-
0 x p 2 , 0 y q 2 , y qx p (на
чениях рассмотрим прямоугольник
рисунке 3 этот треугольник выделен цве-
0 x p 2 , 0 y q 2 . Его делит попо-
том).
лам прямая l. Как показывает предыдущее

обсуждение, число целых точек под ней

будет четным или нечетным в зависимости

чотисзлнаактаоч¨©§еqpк · . С другой стороны, четность
¸ нею определяется знаком
¹над

§ p · . Но всего в прямоугольнике содер-
¨ q ¸ точек, что и дает нам
© ¹ p 1 q 1
2 2
жится ˜

требуемое утверждение.

Рис. 3. Четность H q равна четности числа На практике квадратичный закон взаим-
ности удобно использовать в следующей
точек в выделенном треугольнике форме:

Доказательство. Рассмотрим точки, от- Следствие 4. Пусть p, q – различные
меченные на рисунке 2, и добавим к ним нечетные простые числа. Символы Ле-
еще некоторое количество точек: все точки
в выделенном треугольнике, которые еще жандра §p· и §q· равны, если хотя бы
не отмечены, и центрально-симметричные ¨ ¸ ¨ ¸
им относительно центра прямоугольника. © q ¹ © p ¹
На рисунке 3 эти точки отмечены крас-
одно из чисел p, q имеет вид 4k + 1,
ным. При этом точке с координатами x; y
и различны, если они оба имеют вид
будет соответствовать точка с координата-
4k + 3.
ми p x; q y – т.е. точке, лежащей
Из квадратичного закона взаимности
ниже прямой l, будет отвечать точка выше
этой прямой, а точке с нечетной абсциссой легко вывести гипотезу Эйлера (теорема
будет соответствовать точка, абсцисса ко- 5).

Доказательство гипотезы Эйлера. Пусть
a – такое число, что p и 4an + p одновре-

ПРОЗРАЧНОЕ И НЕПРОЗРАЧНОЕ 11

менно являются простыми. Докажем, что Пример использования квадратичного
закона взаимности. В качестве примера
§a· § a · . выясним с помощью квадратичного закона
¨ ¸ ¨ 4an ¸ взаимности, разрешимо ли сравнение
© p ¹ © p ¹
x2 { 57 mod179 .
Поскольку символ Лежандра мульти-

пликативен, можно считать, что число a

тоже является простым (почему?). Если Для этого нам нужно вычислить

a = 2, то это утверждение нам уже извес- § 57 · §3 · ˜ § 19 · . Вычислим отдель-
¨© 179 ¸¹ ©¨ 179 ¸¹ ¨© 179 ¹¸
тно: это предложение 6. Если же нет, то a

нечетно, и можно применить к обеим час- но каждый из этих символов Лежандра.

тям требуемого равенства квадратичный Оба числа 3 и 179 дают при делении на

закон взаимности: 4 остаток 3. Поэтому

§a· a 1 ˜ p 1 § p · ; §3· § 179 · § 1 ·
¨ ¸ 2 ©¨ a ¸¹ ¨© 179 ¹¸ ©¨ 3 ¸¹ ¨© 3 ¸¹ 1,
© p ¹ 1 2

§a· a 1 ˜ 4an p 1 § 4an p · так как 1 является квадратичным невы-
¨ ¸ 2 ©¨ a ¸¹ четом по модулю 3. Значит, 3 – квадратич-
© 4an p ¹ 1 2

a 1 § p2 1 2an · § p· ный вычет по модулю 179.
2 ©¨ ¹¸ ©¨ a ¸¹
= 1 ˜ . Далее, по той же причине (19 тоже имеет

Ясно, что эти величины равны. Гипотеза вид 4k + 3) п о©¨§л1у29ч¹¸·ае(мп,очсткоо§¨©л1ь17к99у¹·¸8 § 179 ·
©¨ 9 ¹¸
Эйлера доказана. 8
§ 19 · 2˜4, а 4
Рекомендуем читателю, который хочет ¨© ¹¸

узнать больше об истории гипотезы Эйле- – полный квадрат). Но число 19 имеет вид

ра и квадратичного закона взаимности, 8k + 3, поэтому 2 является квадратичным

прочесть главу о Гауссе в замечательной невычетом по модулю 19. Стало быть,

книге С.Г.Гиндикина «Рассказы о физи- § 19 · § 57 ·
©¨ 179 ¸¹ ©¨ 179 ¸¹
ках и математиках». В ней, в частности, 1, откуда 1 , и сравнение

изложено одно из первых доказательств x2 { 57 mod179 разрешимо.

квадратичного закона, полученное самим

Гауссом.

Прозрачное и непрозрачное

Л.АШКИНАЗИ

НА РИСУНКЕ 5 ПРЕДСТАВЛЕНЫ ФОТО- Рис. 5
графии двух образцов – из монокрис-
тлаал)лCа aCF2aF:2Cиe3н+ а.нОокбаероабмриакзциа(–поалбискорлиюсттнао- заж, или просто посмотрите вверх, вспом-
прозрачные! нив не знаю кем сказанное «человек отли-
чается от животного тем, что иногда под-
Теперь обсудим преломление. У газов
коэффициенты преломления мало отлича-
ются от единицы, и они вообще мало кого
волнуют – кроме астрономов. Откройте
зимой окно и посмотрите, как елозит пей-

Окончание. Начало – в «Кванте» №8.

12 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

нимает глаза к небу», и заметьте, как прозрачно в диапазоне 0,35–2 мкм, т.е.
загадочно подмигивают начинающим ин-
тересоваться физикой звезды. И задумай- ультрафиолет УФ оно не пропускает, а
тесь, почему елозит пейзаж и подмигивают
звезды… Хаотичное (турбулентное) дви- инфракрасное излучение ИК пропускает
жение в атмосфере потоков воздуха с
разной температурой, а значит с разными частично. Конечно, эти значения, приво-
плотностью и коэффициентом преломле-
ния, и вызывает дрожание и размывание дящиеся в справочниках, условны – доста-
изображения. У астрономов есть такое
понятие – астроклимат, т.е. атмосфер- точно тонкая пленка любого материала
ные условия, влияющие на качество изоб-
ражений, куда входит и однородность воз- пропустит любое излучение. Но обычно
духа.
оптики работают с миллиметрами и требу-
Жидкости с высокими коэффициентами
преломления n называют «иммерсионны- ют пропускания большей части излучения.
ми» (от латинского immersio – погруже-
ние). Их применяют для определения по- Естественное решение – кварц. И вот
казателей преломления, для чего прозрач-
ную частичку исследуемого вещества по- диапазон расширяется в сторону УФ до
мещают в иммерсионные жидкости с изве- 0,2 мкм. Есть особые сорта стекол с не-
стными n – при равенстве показателей много большим доступом в ИК. На этом
преломления частичка делается невиди- возможности стекол исчерпаны. В сторону
мой. Стандартные наборы состоят из 30– УФ чуть дальше кварца забираются BaF2 ,
100 таких жидкостей с коэффициентами MgF2 и LiF – примерно до 0,12 мкм. Со
преломления от 1,4 до 2,1, но твердые стороной ИК дела обстоят лучше: матери-
вещества берут верх. Хотя стекла еле алов много, а рекордсменом будет CsI – он
дотягивают до n = 1,9, но у алмаза n = добирается примерно до 60 мкм. Практи-
= 2,4, рядышком с ним – титанаты каль- чески непрерывно прозрачен алмаз. Вооб-
ция и стронция и иодид таллия (n = 2,4), ще же, оптические материалы при увели-
оксид титана (n = 2,5) и почти рекордсмен чении длины волны прозрачны в основном
карбид кремния SiC (n = 2,6). Именно начиная с 200–300 мкм, SiO2 – с 100 мкм,
поэтому SiC, муассанит, используется как ZnS – с 50 мкм. Таким образом, самая
имитатор бриллиантов в украшениях (для сложная область – десятки микрометров.
этого также используется фианит ZrO2 с Что касается коэффициента преломления,
добавками, но у него n поменьше). Недав- то для материалов ультрафиолетового диа-
но было синтезировано соединение пазона он составляет около 1,4, для инф-
Al3C2B48 с рекордным значением ракрасного – группируется вокруг 1,7.
n = 2,9–3,1, но про него еще мало что Исключения – Si (n = 3,4), Ge (n = 4,1) и,
известно. конечно, алмаз.

Освоив оптический диапазон, человек На рисунке 6 приведены прозрачности
некоторых оптических материалов (отло-
стал распространяться на соседние участ- жены по оси ординат) и указаны соответ-
ствующие толщины образцов. А на рисун-
ки электромагнитного спектра. Для этого ке 7 проиллюстрированы два примера ис-
пользования материалов, прозрачных вне
ему потребовались прежде всего оптичес- оптического диапазона. Это микросхема
памяти с кварцевым окошком для стира-
кие материалы, в частности – прозрачные ния информации ультрафиолетом и линза
из хлорида калия KCl для работы в инф-
для всякого рода окошек и преломляющие ракрасном диапазоне.

для линз и призм. Иными словами, потре- Если все-таки говорить о пластинках
толщиной в миллиметры, то для волн
бовался материал, прозрачный в соответ- короче 0,1 мкм с прозрачными материа-
лами дела обстоят плохо, т.е. почти никак.
ствующей области спектра, т.е. не слиш- Поэтому приходится довольствоваться от-
ражательной оптикой. Но и тут все не
ком сильно поглощающий излучение. Уп- здорово – металлы в диапазоне УФ отра-
жают плохо. Например, Ag при длине
рощая, можно сказать, что обычное стекло волны более 0,4 мкм отражает, как и

ПРОЗРАЧНОЕ И НЕПРОЗРАЧНОЕ 13

Рис. 6 остальными металлами дело обстоит еще
положено хорошему металлу, 90% и более, хуже, разве что Al, причем именно при
но при 0,25 мкм отражает только 30%. С 0,25–0,4 мкм, ведет себя лучше (отража-
ет 90 %). Вот они вдвоем и изображают из
Рис. 7
себя рекордсменов. Поднять отражение, и

существенно, удается «просветлением» –

нанесением на металл интерференцион-

ных покрытий. Так можно получить отра-
жение 50% на волне 0,01 мкм – а ведь это

уже почти рентген.

Коэффициенты отражения от гладких

поверхностей некоторых металлов в зави-

симости от длины волны приведены на

рисунке 8. На фрагментах а) и б) показа-
но влияние технологии изготовления алю-

миниевого зеркала на величину коэффи-

циента отражения: 1 – когда зеркало на-
пылено в высоком вакууме (10 6  Тор),
2 – когда в сверхвысоком вакууме
(10 9  Тор). Даже в пределах оптического
диапазона коэффициент отражения для

некоторых металлов изменяется заметно.
Например, для длины волны 0,4–0,7 мкм

14 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Рис. 8 поэтому край диска Луны, который мы
наблюдаем именно что по касательной,
коэффициент отражения Au составляет должен быть темным. Одна из гипотез
0,39–0,95, для Cu – 0,55–0,96, для Al – состоит в том, что плоские участки поверх-
0,92–0,90, для Ag – 0,97–0,99. Поэтому ности Луны темнее склонов гор, и поэто-
Au и Cu иного, нежели Al и Ag, цвета. му край диска, на котором мы видим в
Человек с хорошим цветным зрением или основном склоны, кажется относительно
металловед отличит никелевое покрытие ярче (гипотеза Галилея). В более поздних
от хромового – первое немного желтее. моделях учитывали рельеф разного по-
Иногда вариации цвета совершенно нео- рядка – и горы, и отдельные камни. Дру-
жиданны. Так, принято считать, что у гая гипотеза предполагает, что в поверх-
тантала – голубой оттенок. Но таков толь- ностном слое Луны много стеклянных ша-
ко тантал, имеющий примесь ниобия Nb риков (оплавление при ударах метеори-
около 3%, а чистый тантал – серый. тов?), которые действуют, как катафот,
т.е. отражают свет навстречу падающему
Что касается отражения от порошков, то лучу, навстречу Солнцу. А в полнолуние
порошок выглядит белым, если размер это будет как раз направление на Землю.
порошинок таков, что отражение преобла- Но это объяснение не действует в осталь-
дает над поглощением. Поэтому чем силь- ное время.
нее поглощение, тем мельче надо раздро-
бить вещество, чтобы порошок побелел. Жидкости в качестве «оптических ма-
Поглощение графита столь велико, что териалов» используются весьма редко.
для реально достижимых размеров частиц Кроме указанных выше случаев иммер-
оно преобладает над отражением. сионных жидкостей известно использова-
ние в астрономии некоторых жидкостей
Особый случай представляет отражение для заполнения полостей в объективах.
от неоднородных сред или сильно шеро- Оптические свойства жидкостей в инф-
ховатых поверхностей – например, от ес- ракрасной области используются очень
тественных, природных. Ведь для описа- широко, но не оптиками, а химиками –
ния их формы надо вводить разные масш- для установления состава. Соответствен-
табы – «шероховатость» в масштабе мет- но, и оптические свойства газов исполь-
ров и километров может влиять иначе, зуются для исследования смесей газов.
чем мелкомасштабная. Так, до сих пор не Важны эти свойства и для расчета тепло-
ясно, почему яркость диска Луны не убы- вых процессов в атмосфере. Есть, прав-
вает к краю. При падении света на рассе- да, один случай, когда смесь газов (а
ивающую поверхность она должна отра-
жать по касательной (ниже мы это обсу-
дим чуть подробнее) совсем мало света,

ПРОЗРАЧНОЕ И НЕПРОЗРАЧНОЕ 15

именно – атмосфера) используется как ных, причем переменную по сечению во-
локна, т.е. оптимально зависящую от ра-
оптическая среда – при лазерной связи. диуса. В технике не так много областей,
для которых нужны сверхчистые веще-
Но тут нет выбора, атмосфера уж какая ства. Общеизвестный пример – полупро-
водниковая техника: многие примеси ката-
есть, такая и есть, и связисты говорят строфически влияют на свойства. Другой
пример – атомная техника: так, в реактор-
лишь об «окнах прозрачности». Для обыч- ных материалах должна быть мала при-
ной атмосферы это окно 0,3–1,3 мкм – месь веществ, поглощающих нейтроны (B,
как раз наше зрение, окошки 1,5–1,8 мкм, Li, Cd). Оптоволокно с концентрацией
2,0–2,6 мкм, 3,5–4,0 мкм, 4,3–5,5 мкм, примесей порядка 10 8 процента по массе
окна 7,0–15,0 мкм (этим пользуются – третий пример.
змеи) и 30–70 мкм, форточки в области
1 мм и 3 мм, а далее начиная с 1 см Вне диапазона 1,2–1,7 мкм потери в
SiO2 увеличиваются, а использовать ви-
это уже радиодиапазон. димое или более далекое ИК-излучение
тоже хочется. Поэтому для видимого диа-
И еще в одной ситуации важно добиться пазона существует оптоволокно из «обыч-
ных» стекол: натрий–кальций–кремний
предельно малого поглощения – это тоже ( Na2O–CaO–SiO2 ) или натрий–бор–
кремний ( Na2O–B2O3 –SiO2 ). В ИК-диа-
дальняя связь, только не по воздуху, а по пазоне применяют фторидные (например,
на ZrF4 –BaF2 ) и халькогенидные
стеклу. Оптоволокно для передачи сигна- ( As2S3, As2Se3 ) стекла, а также кристал-
лические материалы на основе TlCl, AgCl.
ла на большое расстояние делается из Разнообразие материалов этих групп до-
вольно велико и выделить лучшие трудно
SiO2 , т.е. из кварца. Главный параметр – пока что потери в них всех довольно
оптоволокна – способность передавать велики и используют их для передачи
только на короткие расстояния. Но теоре-
сигнал с малыми искажениями на большое тически в оптоволокне из этих материалов
возможно достижение даже лучших пара-
расстояние. Искажения и потери зависят метров, нежели в SiO2 , поэтому нас еще
ждут приключения. И эти приключения
от материала, конструкции и эксплуата- могут стать вашими приключениями, если
вы будете их искать и найдете…
ции. Конкретно – от материала нужны
Теперь – о том, с чего мы начали статью,
малые потери (т.е. поглощение и рассеива- т.е. о блеске. В природе его немного, зато
сороки и некоторые люди его любят. В
ние) и дисперсия. Чтобы уменьшить поте- результате в человеческом обществе обра-
зовалась «субкультура блеска», сильно
ри, нужно использовать диапазон 1,2– пересекающаяся со всем ювелирным. Спе-
1,7 мкм и уменьшать примеси Fe, Cr, Cu, циалисты по минералам считают, что по
Co, V, Mo, OH-групп. Именно выяснение характеру блеска минералы можно разде-
лить на три группы: с металлическим,
причин потерь и получение кварца с низ- полуметаллическим и неметаллическим
блеском. Металлический блеск минералов
ким содержанием этих примесей дало в напоминает блеск гладкой свежей поверх-
ности металла. Он характерен для непроз-
свое время возможность начать активно рачных минералов (галенит, пирит, халь-
копирит, самородные золото, серебро,
применять световоды. С тех пор потери

уменьшены примерно раз в сто, сегодня
рекорд 0,15 дБ/км, причем это почти

теоретический предел. (Про размерность

децибел на километр можно посмотреть в
интернете.) Предел – «релеевское рассеи-

вание», то самое, из-за которого небо голу-
бое, оно дает 0,13 дБ/км. Но ослабление
0,13–0,15 дБ/км означает, что на кило-

метровом куске кабеля сигнал теряет 3–
3,5% мощности.

Чтобы сделать световод, нужен способ

управления коэффициентом преломления.

И тут нам повезло – есть примеси, которые

его понижают (фтор F, бор B) и увеличи-
вают (алюминий Al, германий Ge, фосфор
P), но не вызывают поглощения. Матери-

ал должен быть сверхчистым именно по

поглощающим примесям и надо обеспе-

чить оптимальную концентрацию полез-

16 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

платина). Названия некоторым из этих ком не просто хорошо отражающее, а
минералов первоначально давались по их отражающее узким пучком лучей, причем
интенсивному металлическому блеску, так, чтобы лучи попали преимущественно
например – свинцовый блеск (галенит), только в один глаз. Об этом подробно и
сурьмяный блеск (антимонит). Полуме- увлекательно рассказывается, например,
таллический блеск сходен с блеском потус- в книге Я.И.Перельмана «Занимательная
кневшей поверхности металла и встречает- физика» (книга 1, глава 9). Впрочем, эту
ся у непрозрачных и полупрозрачных ми- книгу можно просто пересказывать всю,
нералов (графит, гематит, темный сфале- так что скачайте ее из интернета и читайте
рит, магнетит). Наиболее широко распро- сами на досуге.
странен неметаллический блеск. Он ха-
рактерен для целого ряда прозрачных и В заключение заметим, что когда мы
полупрозрачных минералов. Выделяется говорим об оптических свойствах, то все-
достаточно большое количество разновид- гда подразумеваем видимое глазом, т.е.
ностей неметаллического блеска: определенную частоту излучения и опре-
деленный — видимый — размер объекта.
∑ стеклянный – напоминающий блеск Но бывают другие частоты и другие раз-
поверхности стекла, это самый распрост- меры объектов. Ультрафиолетовое и инф-
раненный вид блеска, им обладают около ракрасное излучения анализируют тради-
70% всех минералов (кварц на гранях ционно вместе с видимым, а по мере
кристаллов, кальцит, доломит, флюорит, удаления от радуги и попадания в область
полевые шпаты); рентгеновского излучения и миллиметро-
вых радиоволн, когда вещества начинают
∑ алмазный – очень сильный искрящий- вести себя существенно иначе, мы попада-
ся блеск, нередко затушевывающий соб- ем в другой, не менее интересный раздел
ственную окраску минерала (алмаз, свет- учебника. Что же до размеров объекта, то
лый сфалерит, касситерит); вещества состоят из атомов и молекул, и
мы вправе спросить, как фотон взаимо-
∑ жирный – близкий к стеклянному, но действует с одиночным атомом или моле-
несколько более тусклый блеск, когда по- кулой и как из взаимодействия с одиноч-
верхность минерала кажется покрытой ным атомом получается взаимодействие с
пленочкой жира (кварц на изломе, нефе- молекулой и веществом.
лин, самородная сера);
Фотоны могут либо поглощаться, либо
∑ перламутровый – аналогичен блеску рассеиваться, причем рассеивание суще-
перламутровой раковины с радужными ственно при значительно больших энерги-
переливами, характерен для пластинча- ях (рентген, гамма-излучение). Поглоще-
тых минеральных агрегатов (мусковит, ние может происходить через передачу
гипс, тальк); энергии либо электронам в атоме, либо
колебаниям атомов в молекуле, либо элек-
∑ шелковистый – наблюдается при тон- тронному газу в проводниках. А дальше
коволокнистом строении минералов и на- — или излучение атома, который погло-
поминает блеск шелковых нитей (асбест, тил фотон (люминесценция, отражение
волокнистый гипс); диэлектриками), или колебания электрон-
ного газа и его излучение (отражение
∑ восковый – тусклый, напоминающий света металлами), или переход в тепло
блеск воска, характерен для агрегатов с (именно поэтому металлы отражают по-
достаточно грубой поверхностью (халце- разному, а коты так любят греться на
дон, кремень); солнышке).

∑ матовый блеск – когда минералы прак-
тически не блестят, встречается у тонко-
дисперсных землистых минеральных аг-
регатов (каолинит, лимонит, глауконит).

Между тем, остается неясным, при ка-
ких условиях человек называет отражен-
ный сигнал оптического диапазона «блес-
ком». Оказывается, мозг называет блес-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи
по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в
нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки
школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки
задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются
впервые.

Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон-
ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу:
119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим
решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2578–М2581 предлагались на IV Олимпиаде мегаполисов.
Задачи Ф2585, Ф2587 и Ф2588 предлагались на заочном туре Московской физической
олимпиаде этого года.

Задачи М2578–М2581, Ф2585–Ф2588 M2580. Дана выпуклая четырехугольная
пирамида с вершиной S и основанием
M2578. Даны простые числа p, q, r и ABCD, причем существует сфера, вписан-
натуральное n такие, что величины ная в эту пирамиду (т.е. расположенная
внутри пирамиды и касающаяся всех ее
p +n, q+n, r +n граней). Пирамиду разрезали по ребрам
qr rp pq SA, SB, SC, SD и отогнули грани SAB,
SBC, SCD, SDA вовне на плоскость ABCD
являются целыми числами. Докажите, что так, что получился многоугольник
p = q = r. AKBLCMDN, как показано на рисунке 1.

Н.Агаханов Рис. 1

M2579. На экзамен пришли 100 студен- Докажите, что точки K, L, M, N лежат на
тов. Преподаватель по очереди задает каж- одной окружности.
дому студенту один вопрос: «Сколько из
100 студентов получат оценку “сдал” к Т.Бакош, Г.Кош (Венгрия)
концу экзамена?» В ответ студент называ- M2581. В социальной сети с фиксирован-
ет целое число. Сразу после получения ным конечным числом пользователей каж-
ответа преподаватель объявляет всем, ка- дый пользователь имеет фиксированный
кую оценку получил студент: “сдал” или набор подписчиков средиостальныхпользо-
“не сдал”. вателей. Кроме того, каждый пользователь
После того, как все студенты получат имеет некоторый начальный рейтинг –
оценку, придет инспектор и проверит, есть целое положительное число (не обязатель-
ли студенты, которые дали правильный но одинаковое для всех пользователей).
ответ, но получили оценку . Если хотя Каждую полночь рейтинг каждого пользо-
бы один такой студент найдется, то препо-
даватель будет отстранен от работы, а
оценки всех студентов заменят на “сдал”.
В противном случае никаких изменений не
произойдет.
Могут ли студенты придумать стратегию,
которая гарантирует им всем оценку
“сдал”?

Д.Афризонов

18 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

вателя увеличивается на сумму рейтингов, пользовали грузовик. Когда прикрепили
которые имели его подписчики непосред- трос к верхнему крючку поддона (рис.
ственно перед полуночью. 3,а), то грузовик пробуксовывал и не смог
Пусть m – некоторое натуральное число. сдвинуть груз. Чтобы он смог сдвинуть
Хакер, не являющийся пользователем сети, груз, нужно снять не менее 315 кирпичей.
хочет, чтобы рейтинги всех пользователей
делились на m. Раз в день он может либо Рис. 3
выбрать некоторого пользователя и увели- Если же прикрепить трос к нижнему крюч-
чить его рейтинг на 1, либо ничего не ку (рис.3,б), то грузовик сможет сдвинуть
делать. Докажите, что через несколько груз, даже если к исходным 1000 кирпи-
дней хакер сможет достичь своей цели. чам добавить 315 кирпичей. В обоих слу-
чаях трос образовывал один и тот же угол
В.Новиков с горизонтом. Определите массу грузови-
ка «в кирпичах», если масса поддона рав-
Ф2585. Цилиндр заполнен материалом с на массе 125 кирпичей. Ответ округлите до
множеством однородно распределенных целых. Коэффициент трения колес и под-
пор, число которых в единице объема дона о землю одинаковый, двигатель пере-
цилиндра 100 см-3 . Слева в цилиндр со дает вращение на все колеса.
скоростью u = 5 см с вдвигают поршень.
Перед ним образуется область уплотнения А.Бычков
(рис.2), в которой объем каждой поры Ф2588. Участок электрической цепи со-
держит семь резисторов (рис.4). Устрой-
Рис. 2 ство, в состав которого входит этот участок
цепи, корректно работает, если номиналы
уменьшается на 5 мм3. Считайте, что плот- указанных резисторов равны их номерам:
ность материала между порами не изменя- R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом и т.д. Резистор R2
ется. перегорел и заменить его новым резисто-
1) Найдите скорость v границы раздела ром номиналом 2 Ом невозможно. Для
уплотненной и неуплотненной частей. Ответ восстановления работоспособности устрой-
выразите в см с, округлите до целых. ства один из оставшихся резисторов заме-
2) Найдите число пор в единице объема нили резистором другого номинала.
цилиндра в области уплотнения. Ответ 1) Какой резистор было заменен? Укажи-
выразите в см-3, округлите до целых. те номер этого резистора.

И.Воробьев Рис. 4

Ф2586. Самолет вылетел из аэропорта
Пулково (Санкт-Петербург) в 00 часов 00
минут по московскому времени и летит все
время с постоянной по величине скорос-
тью v = 100 км ч в направлении на юго-
запад. В какое время (по Москве) самолет
пересечет экватор и какую страну смогут
увидеть пассажиры в иллюминаторы са-
молета?

С.Варламов

Ф2587. Чтобы передвинуть поддон, на
котором находилось 1000 кирпичей, ис-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 19

2) Резистор какого номинала впаяли вме- выбрана точка P так, что PL BC ,
сто перегорешего? Ответ выразите в омах PM CA , PK AB (рис.1). Может ли
и округлите до сотых. оказаться, что все три трапеции AMPL,

А.Бычков BKPM, CLPK – описанные?

Решения задач М2566–М2569, Рис. 1

Ф2573–Ф2576 Ответ: нет, не может.
Продлим отрезки PK, PL, PM до пересе-
M2566. Существуют ли пять последова- чения со сторонами в точках E, F, G
тельных натуральных чисел, наимень- (рис.2). Из критерия описанности имеем
шее общее кратное которых является
точным квадратом? Рис. 2
AL + PM = AM + PL, откуда AE + EL +
Ответ: нет, не существуют. + PM – AM – PL = 0 или (используя то,
Предположим противное, т.е. что что AMPE – параллелограмм)

N НОК n, n 1, n 2, n 3, n 4 явля- 2PM EL PE PL 0 .
Сложим это равенство с аналогичными
ется точным квадратом. Тогда каждое про- равенствами
стое число входит в разложение N в четной
степени. Каждое простое p t 5 является 2PL GK PG PK 0
делителем не более чем одного из чисел и
n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4. Значит, если
p t 5 является делителем одного из дан- 2PK FM PF PM 0 ,
ных чисел, то оно входит в его разложение получим
на простые множители в четной степени.
Число p = 2 входит в разложение не более PK GK PG PM FM PF
чем трех из данных чисел, причем в разло- + PL EL PE 0 .
жение хотя бы одного из них – в четной
степени, значит, p = 2 присутствует в Но, согласно неравенству треугольника,
нечетной степени в разложении не более каждая скобка в левой части положитель-
чем двух из данных чисел. Аналогично, на. Противоречие. Задача решена.
p = 3 присутствует в нечетной степени в Приведем еще одно решение задачи.
разложении не более чем одного из данных Предположим, что все три эти трапеции
чисел. Таким образом, среди данных пяти
чисел не менее двух чисел имеют в своем
разложении только четные степени про-
стых чисел, т.е. являются точными квад-
ратами. Пусть это будут x2 и y2 для
некоторых натуральных x < y. Тогда

4 t y2 x2 t y x y x , что возможно

только при x = 1, y = 2. Значит, единствен-

ный оставшийся вариант: НОК 1, 2, 3, 4,
5 60 – не точный квадрат. Задача ре-

шена.
Аналогичным образом можно показать,

что N НОК n, n 1, n 2, n 3, n 4 не

может быть точной степенью (больше пер-
вой) натурального числа.

П.Кожевников

M2567. На сторонах BC, CA, AB тре-
угольника ABC выбраны соответственно
точки K, L, M, а внутри треугольника

20 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

описанные. Обозначим вписанные окруж- рых k ходов во всех ящиках оказалось
поровну абрикосов?
ности через Za , Zb , Zc соответственно, а
их диаметры – через da , db , dc . В силу Ответ: 8.
циклической симметрии условия можем Пример. Множество ящиков разобьем на
подмножество A из 7 ящиков и подмноже-
считать, что dc – наибольший из диамет- ство B из 8 ящиков. За каждый из 8 ходов
ров. Продлим PL до пересечения с AB в положим по 27 128 абрикосов в один из
точке F (рис.3). Заметим, что dc равно ящиков множества B (за разные ходы – в
расстоянию между прямыми LF и BC, т. е. разные ящики), а в остальные ящики
множества B ничего не кладем. A в ящики
множества A абрикосы раскладываем со-
гласно таблице:

Рис. 3 Легко видеть, что в конечном итоге в

высоте трапеции BFLC. Тогда db не боль- каждом ящике будет 27 абрикосов.
ше этой высоты, значит, окружность Zb
целиком содержится внутри трапеции Оценка. Пусть за k ходов количества абри-
BFLC и не может касаться отрезка MP. косов во всех ящиках стали равны N.
Получено противоречие, завершающее
решение. Обозначим через 2m наибольшее количе-
Наконец, приведем идею еще одного ори-
гинального решения, которое придумал на ство абрикосов, которое положили в ка-
Кавказской олимпиаде десятиклассник из
Майкопа Ислам Емиж. Из отрезков PK, кой-либо ящик на каком-либо ходу. Тогда
PL, PM выберем наименьший по длине.
Не умаляя общности, считаем, что этот N t 2m . С другой стороны, за каждый ход
отрезок – PK. Тогда в описанной трапеции
CLPK боковая сторона PK не больше во все ящики положили не более
меньшего основания PL. Но несложно 2m 2m 1 … 22 2 1 2m 1 абрикосов,
доказать, что в описанной трапеции это поэтому в конечном итоге общее количе-
условие не может выполняться (посколь-
ку, с одной стороны, в любой трапеции ство абрикосов, равное 15N, меньше
разность длин оснований больше разности 2m 1 ˜ k . Имеем 15 ˜ 2m 2m 1 ˜ k , откуда
длин боковых сторон, а с другой стороны, k ! 7,5 .
согласно критерию описанности, сумма
длин оснований равна сумме длин боко- Аналогично можно решать задачу для
вых сторон).
любого количества t ящиков. Ответом бу-
П.Кожевников
дет Èt + 1˘ при нечетном tи È t ˘ + 1 при
M2568. Имеется 15 изначально пустых ÎÍ 2 ˚˙ ÍÎ 2 ˚˙
ящиков. За один ход разрешается выб- четном t.
рать несколько ящиков и добавить в них
количества абрикосов, равные некото- П.Кожевников
рым попарно различным степеням двой-
ки. При каком наименьшем натуральном M2569*. У Димы есть 100 камней, ника-
k можно добиться, чтобы после некото- кие два из которых не равны по массе.
Также у него есть странные двухчашеч-
ные весы, на каждую чашку которых

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 21

можно класть ровно 10 камней. Назовем не мог измениться. Пусть X и Y были на
разных чашках, для определенности вна-
пару камней ясной, если Дима может чале X на L, а Y – на R. Тогда возможны
следующие варианты изменения результа-
выяснить, какой из камней в этой паре та взвешивания после перемещения X на
R, а Y на L (см. таблицу):
тяжелее. Каково наименьшее возможное
Утверждение 4. Если пары XY и XZ
количество ясных пар? плохие, то пара YZ плохая.
Доказательство. Рассмотрим любое взве-
Ответ: C1200 C129 4779 . шивание. Поменяем в нем местами Y и X,
Назовем пару камней плохой, если она не потом поменяем X и Z, а затем снова X и
является ясной. Y. После каждой из этих замен, в силу
Пример. Покажем, что возможна такая утверждения 3, результат взвешивания не
ситуация, когда будут 19 камней, любые менялся. А итог этих замен в том, что X
два из которых являются плохой парой, остался на своем месте, а Y и Z поменялись
т.е. ни про какие два из камней нельзя местами: XYZ o YXZ o YZX o XZY .
выяснить, какой из них легче. Получается, что в произвольном взвеши-
Положим массы камней равными 100, 200, вании при обмене Z и Y результат не
400, 800, …, 280 ˜ 100, 2100 1, 2100 2, … меняется, значит, пара YZ плохая.
..., 2100 19 . Камни с массой больше 2100 Рассмотрим граф, вершины которого –
назовем тяжелыми, а остальные – легки- камни, а ребрами соединим плохие пары.
ми. Докажем, что тяжелые камни невоз- Из утверждения 4 следует, что каждая
можно различить, даже если мы сравним компонента связности такого графа – пол-
все возможные пары десяток друг с дру- ный подграф.
гом. Это следует из следующих двух ут- Утверждение 5. Для любых 20 камней
верждений. A1, A2, …, A20 среди пар A1A2 , A3 A4 , …
Утверждение 1. При сравнении двух групп ..., A19 A20 есть хоть одна ясная.
по 10 камней тяжелее будет та, в которой Доказательство. Положим на одну чашку
больше тяжелых камней. весов камни A1, A3, A5, …, A19 , а на дру-
Утверждение 2. При равном количестве гую – A2, A4, …, A20 . Если весы показали
тяжелых камней в двух группах тяжелее равновесие, то после замены любой пары
будет группа, в которую входит самый равновесие нарушится и удастся выяс-
тяжелый из присутствующих легких кам- нить, кто в этой паре легче, а кто тяжелее.
ней. Если же одна чашка перевесила другую, то
Оценка. Докажем, что ни в каком случае будем по очереди менять камни из одной
количество плохих пар не превзойдет пары, после всех десяти таких замен ре-
171 C129 . Для этого сформулируем еще зультат взвешивания изменится на проти-
несколько утверждений. воположный. Значит, результат изменит-
Утверждение 3. Пара камней XY являет- ся после замены какой-то одной из пар, эта
ся плохой тогда и только тогда, когда для пара и будет ясной.
любого возможного взвешивания при за-
мене камней из этой пары друг на друга
исход взвешивания не меняется.
Доказательство утверждения 3. Доста-
точность очевидна. Докажем теперь необ-
ходимость, т.е. что если после замены X на
Y исход какого-то взвешивания меняется,
то мы можем выяснить про камни X и Y,
какой тяжелее.
Во время взвешивания каждый из камней
X, Y мог находиться на левой чашке (L),
правой чашке (R) или не участвовать во
взвешивании. Если X и Y находились в
одной группе, то результат взвешивания

22 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Рассмотрим теперь компоненты связности Ф2574. На край
графа плохих пар. В каждой из них выде-
лим наибольшее множество непересекаю- большой вазы (он
щихся пар (так называемое максимальное показан красной
паросочетание). Пусть в i-й компоненте
удалось выделить ni пар. Согласно утвер- линией на рисунке;
ждению 5, сумма всех ni не превосходит 9. вид сверху), сто-
Тогда в i-й компоненте не более 2ni 1
ящей на горизон-
вершин и, стало быть, не более ni 2ni 1
тальном столе,
ребер. Значит, общее количество ребер не опираются три

превосходит суммы S ¦ ni 2ni 1 (сум- одинаковые длин-
ные и тонкие палочки, каждая из кото-
ма берется по всем компонентам). Далее,
рых имеет массу m, распределенную рав-
S ¦2 ni2 ¦ ni d 2 ¦ ni 2 ¦ ni d номерно по всей длине. С какой силой
d 2 ˜ 92 9 171 .
взаимодействуют две из трех палочек?
Нужная оценка доказана.
В.Брагин Концы одной палочки касаются края вазы
и середины другой палочки.
Ф2573. Шарик массой M с жесткими
пластиковыми стенками после падения Суммарная масса всех палочек равна 3m.
Сила тяжести всех палочек компенсирует-
(без начальной скорости) с высоты h на ся тремя одинаковыми (в силу симметрии)
стол подскакивает на высоту 0,7h. Сколь- вертикальными по направлению силами, с
которыми на концы палочек действуют
ко песка (какую массу m) нужно насы- края вазы. Иными словами, силы реакции
равны по величине mg и направлены вверх.
пать внутрь шарика, чтобы он после Условие равновесия одной палочки состо-
падения с той же высоты подскакивал на ит в том, чтобы сумма сил, действующих на
высоту 0,3h? нее, и сумма моментов этих сил были равны
нулю. На каждую палочку действуют всего
При ударе оболочки пустого (без песка четыре силы: сила тяжести, сила со сторо-
ны края вазы и силы со стороны двух
внутри) шарика о поверхность стола со- других палочек, которые должны быть
тоже направлены вертикально. Найдем
храняется 70% механической энергии. момент сил, действующих на одну из пало-
чек, относительно ее центра масс. Он опре-
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.) деляется силами, приложенными к концам
палочки. Следовательно, и на второй конец
Это означает, что величины скоростей рассматриваемой палочки действует на-
правленная вверх сила, равная по величи-
шарика сразу после удара v1 и за мгнове- не mg. Тогда сила, приложенная со сторо-
ние до удара v0 относятся как ны другой палочки к центру рассматрива-
емой палочки, направлена вертикально
v1 = 7. вниз и тоже равна по величине mg. Это
v0 10 означает, что какую бы пару палочек мы ни
выбрали, их сила взаимодействия равна по
Если внутри шарика имеется нужное ко- величине mg.

личество песка, то после удара оболочки и С.Татиков

взаимодействия оболочки с песком шарик Ф2575. Каковы показания одинаковых

имеет скорость мультиметров в электрической цепи,
изображенной на рисунке 1? Три прибора
v2 = v0 3.
10 работают омметрами на диапазоне
2000 кОм, а три других измеряют на-
Из закона сохранения импульса можно
пряжения. Внутренние сопротивления
получить такое соотношение:

Mv0 7 - mv0 = (M + m) v0 3.
10 10

Отсюда находим

m=M 7- 3 ª 0,19M .
10 + 3
В.Шариков

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 23

сопротивлением R и на клеммах которого

напряжение равно U, показывает значе-
ние сопротивления Rx , равное

Rx = U .
RE -U

Соответственно, показания омметров бу-

дут такими: 3
R
Рис. 1 Rx1 = Rx2 = = 375 кОм ,
8
приборов в этих режимах измерений оди-
наковы и равны R = 1 МОм. ЭДС эквива- Rx3 = 2 R ª 222 кОм .
лентной (для внешней цепи) батарейки в 9
каждом омметре равна E = 2,2 В. С.Варламов

Мысленно включим в схему три идеаль- Ф2576. Из однородного резинового шнура
ных амперметра с указанным на рисунке 2 сделали петлю с «хвостом», т.е. один из
концов шнура накрепко привязали узлом
к одной из его точек между концами (см.
рисунок). Шнур взяли за две точки и
растянули так, что петля превратилась

Рис. 2 в два вытянутых вдоль друг друга отрез-
ка одинаковой длины и массы, а хвост
расположением полярностей входных целиком вытянулся вдоль той же линии,
клемм этих приборов. Для левого узла, к на которой расположены участки петли.
которому подключены все три ампермет- При этом все небольшие участки шнура
ра, согласно правилу Кирхгофа выполня- приобрели длину, которая во много раз
ется соотношение больше длины этих же участков в неде-
формированном состоянии. При растя-
I1 + I2 + I3 = 0 . жении шнур подчиняется закону Гука.
Если «щелкнуть» по узлу, то волны,
Для узла справа в соответствии с законом пробегающие по шнуру, отразившись от
Ома можно записать мест крепления, возвращаются к узлу
одновременно. Какую долю от всей массы
2E - 3I1R = -E - I2R = -2I3R . резинового шнура составляет хвост?

Три знака равенства в этих соотношениях Скорость v распространения волн по рас-
означают, что имеются три уравнения для тянутому c силой F шнуру, имеющему
нахождения неизвестных значений токов. длину L и равномерно по длине распреде-
Решением системы четырех уравнений ленную массу m, вычисляется согласно
будут величины токов известной формуле v = FL m . Отсюда
следует, что время движения волны от
I1 = 8 E , I2 =-9 E , I3 = 1 E. начала участка длиной L до его противо-
11 R 11 R 11 R положного конца равно 't = L v = mL F.
В условии сказано, что растянутый шнур
Тогда показания вольтметров будут следу- подчиняется закону Гука и что удлинение
любого участка шнура во много раз боль-
ющими: -8E ше его недеформированной длины. Обо-
11 значим длину всего нерастянутого шнура
U1 = ª -1,6 B,

U2 = U3 = -E = -0,2 B .
11
Каждый омметр, имеющий внутри эквива-

лентную батарейку с ЭДС E и внутренним

24 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

через L0 . Долю этой длины, приходящей- соотношения: '2L) 1k=. FL0x k и 'L2 =
ся на хвост, обозначим через x – ее и Соответственно,
нужно найти. Длины двух участков петли = (F 2) (L0 (1 - x)
в нерастянутом состоянии равны, соответ- для промежутков времени пробегания волн

ственно, L0 (1 - x) 2 . Им пропорциональ- имеем

ны массы этих участков шнура. Хвост 't1 = x L0m = 't2 = 1- x L0m .
растянут с силой F, а каждый из двух k 2 k
участков петли растянут с силой F 2 .
Согласно закону Гука сила пропорцио- Отсюда получается величина
нальна относительному удлинению участ-
ка шнура: f = k'l l . Для удлинений хво- x = 1 .
ста и участков петли получаются такие 3
А.Шнуров

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую
очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов.
Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу:
[email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-
А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город,
школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес.

Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком
случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого
тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты
публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest

Желаем успеха!

5. По кругу написаны 10 целых чисел. одна единица, одна двойка и одна девятка».
Петя нашел десять сумм двух рядом стоящих На основе второго числа по тому же принципу
чисел. Затем он отдельно выписал эти суммы образуем третье число 10511219, потом –
на листке в некотором порядке. Могло ли четвертое 1041121519 и т.д.
оказаться, что:
а) Квантик убежден, что с какого бы числа
а) на листке выписано 10 последователь- ни начать, в получившейся последователь-
ных чисел; ности какое-то число непременно встретится
дважды. Ноутик считает, что не обязательно
б) среди выписанных на листке чисел есть – возможна последовательность, в которой
9 последовательных? все числа различны. Кто прав?

Н.Чернятьев б) Могут ли в такой последовательности
встретиться два одинаковых числа подряд?
6. Барон Мюнхгаузен заявил, что какой
бы треугольник ему ни дали, он сможет И.Акулич
разрезать его на два многоугольника, а по-
том каждый из них разрезать на 7 равных 8. Докажите для всех натуральных n ра-
многоугольников. венство

Могут ли слова барона быть правдой? Cn0C2nn Cn1C2nn 11 Cn2C2nn 22 …
И.Акулич
… 1 n 1 Cnn 1Cn1 1 1 n CnnCn0 1 .
7. Возьмем любое натуральное число, на-
пример 2019. Составим второе число, которое Через Cnk обозначается количество способов
показывает, сколько и каких цифр (в порядке выбрать k предметов из n различных предме-
возрастания) содержит исходное число. По- тов.
лучится 10111219, что означает «один ноль,
В.Расторгуев

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. В записи –2 –3 –4 –4 расставьте 3. У Йоси есть три прибора, которые

между соседними числами знаки сло- определяют, есть ли в пончике повид-
жения, умножения и скобки двумя ло. Один из приборов всегда дает
способами так, чтобы значения полу- правильный ответ, второй – всегда
ченных выражений были одинаковы- неправильный, а третий выдает слу-
ми. (Ставятся только те скобки, кото- чайные ответы. Как-то Йося купил три
рые меняют значение выражения.) пончика. Ему известно, что ровно один
из них – с повидлом. Как ему гаран-
А.Сгибнев, Д.Шноль тированно определить, какой именно,
не ломая пончики?

Олимпиада «Зута» (Израиль)

2. На клетчатом листе бумаги лежит 4. Соня спит тогда и только тогда,

проволочная рамка в форме креста, когда часовая и минутная стрелки ча-
как показано на рисунке. На какое сов образуют угол, не превосходящий
наименьшее количество частей нужно 60 градусов. Сколько времени в тече-
разрезать рамку, чтобы из них (ис- ние суток спит Соня?
пользуя все) можно было сложить
контур квадрата? Фольклор

Е.Бакаев, С.Токарев

Иллюстрации Д.Гришуковой

Эти задачи предлагались на XXV Турнире
математических боев имени А.П.Савина.

26 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Замкнутые самопересекающиеся
ломаные

А.БЛИНКОВ, А.ГРИБАЛКО

ВЭТОЙ СТАТЬЕ ПОЙДЕТ РЕЧЬ О ЛОМА-
ных линиях на плоскости. Напомним,
что, для того чтобы изобразить ломаную,

достаточно выбрать несколько точек (не

меньше трех), занумеровать их в каком-

нибудь порядке, после чего последова-

тельно соединить отрезками точки с сосед-

ними номерами. Рис. 3

Выбранные точки Начнем с задачи, предложенной А.Пеш-
ниным (ее частные случаи были использо-
называются верши- ваны на XXV Турнире математических
боев имени А.П.Савина).
нами ломаной, а от-
Задача 1. Сколько вершин может быть
резки – ее звеньями у замкнутой ломаной, которая каждое
свое звено пересекает ровно два раза?
(на рисунке 1 –
Решение. Очевидно, что трехзвенная
трехзвенная лома- замкнутая ломаная не может быть самопе-
ресекающейся. Замкнутая ломаная с че-
ная, у которой че- тырьмя вершинами также не удовлетворя-
ет условию задачи, так как соседние зве-
Рис. 1 тыре вершины). нья пересечься не могут, а для каждого
Если хотя бы два звена есть только одно, не являющееся
соседним. Пример пятизвенной ломаной
звена ломаной пересекаются (в своих внут- хорошо известен – это пятиконечная звез-
да. Можно, хотя и не обязательно, изобра-
ренних точках), то ее называют самопере- зить такую ломаную так, чтобы длины
всех звеньев были одинаковыми (рис.4,а;
секающейся (на рисунке 2 – четырехзвен- вершины ломаной делят окружность на
пять равных частей).
ная самопересекающаяся ломаная).
Отметим, что и в данном случае, и в
И наконец, если совместить первую и дальнейшем использовать окружность не
обязательно, но удобно.
последнюю вершины ломаной, то ее назы-
Рис. 4
Рис. 2

вают замкнутой. В такой ломаной количе-
ство вершин совпадает с количеством зве-
ньев (на рисунке 3 – пятизвенная замкну-
тая ломаная).

Нас прежде всего будут интересовать
замкнутые самопересекающиеся ломаные.

Статья была опубликована в журнале «Кван-
тик» №11 за 2019 год.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191002

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 27

Этот пример подсказывает, что анало- еще две вершины, расположенные внутри
гичным образом можно построить любую окружности.
ломаную, удовлетворяющую условию, у
которой нечетное количество звеньев, боль- Однако есть и более простой способ.
шее трех. Действительно, достаточно по- Воспользуемся тем, что любое четное чис-
ставить на окружности требуемое количе- ло, большее восьми, можно представить в
ство вершин и последовательно соединить виде суммы двух нечетных слагаемых,
их через одну. Например, на рисунке 4,б каждое из которых не меньше пяти.
изображена ломаная, у которой девять
звеньев. Покажем, например, как построить две-
надцатизвенную ломаную, удовлетворяю-
Таким образом, осталось разобраться с щую условию. Изобразим две окружнос-
ломаными с четным количеством звеньев, ти, которые касаются внешним образом в
начиная с шести. некоторой точке. В одной из окружностей
построим уже указанным способом пяти-
Искомой шестизвенной ломаной не су- звенную ломаную, а в другой – семизвен-
ществует, но доказать это можно только ную, причем точка касания должна быть
перебором всех случаев, который не очень их общей вершиной. А теперь эту точку
интересен. «раздвоим» (рис.6; результат раздвоения
– вершины с номерами 1 и 6).
Для восьми звеньев существует краси-
вый пример (рис.5,а). Аналогично можно
построить ломаную, удовлетворяющую

Рис. 5 Рис. 6

условию, с любым четным количеством Аналогично строятся все искомые лома-
звеньев, большим восьми. Как это делает- ные, у которых количество звеньев четное
ся, понятно из примеров для десяти и и больше восьми.
двенадцати звеньев, показанных на ри-
сунках 5,б и 5,в. Сначала мы отмечаем на Возникает вопрос: почему мы начали с
окружности точки, которых на две мень- двух точек пересечения звеньев, а не с
ше, чем нужно, и соединяем их через одной, что, казалось бы, более естествен-
одну. Так как точек четное количество, то но?
получатся две замкнутые ломаные, все
звенья которых пересекаются с другой Дело в том, что такой порядок более
ломаной в двух точках. После этого уда- логичен, так как решение следующей зада-
ляем по одному звену в каждой ломаной чи будет во многом опираться на решение
и соединяем ломаные в одну, используя рассмотренной.

Задача 2. Сколько вершин может быть

у замкнутой ломаной, которая каждое

свое звено пересекает ровно один раз?
Решение. Сразу заметим, что в этом

случае звенья ломаной должны разбивать-
ся на непересекающиеся пары, поэтому у
искомых ломаных четное количество зве-
ньев. Легко проверить, что замкнутая ло-
маная из четырех звеньев условию не
удовлетворяет.

Пример искомой ломаной из шести зве-
ньев можно построить, исходя из следую-

28 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

щих соображений: помимо того, что не ные из рисунка 7,б с общей вершиной и
«раздвоим» ее (рис.9; результат раздвое-
могут пересекаться соседние звенья, не
могут пересекаться и звенья, стоящие че- ния – вершины с номерами 6 и 12).

рез одно. Действительно, в этом случае Понятно, что идея «раздвоения» вершин
образуется треугольник (рис.7,а), в кото-
рый можно будет только «войти», если

пересечь среднее звено, но нельзя будет
«выйти». Поэтому надо пересекать первое

звено с четвертым, второе – с пятым и
третье с шестым (рис.7,б).

Рис. 7 Рис. 9

Пример искомой ломаной из восьми зве- более универсальна. В том числе и потому,
что позволяет комбинировать ломаные с
ньев читателю предлагается построить са- разным количеством звеньев.

мостоятельно (см. задачи в конце статьи). Надеемся, что идеи и приемы, описан-
ные выше, помогут при решении других
А вот пример десятизвенной ломаной мож- задач.

но получить, обратившись к задаче 1. Задачи для самостоятельного решения

Действительно, рассмотрим пример замк- 1. Может ли прямая, не содержащая вершин
замкнутой девятизвенной ломаной, пересечь
нутой пятизвенной ломаной, которая каж- каждое ее звено?

дое свое звено пересекает два раза (см. 2 (В.Произволов). Замкнутая ломаная тако-
ва, что каждые два ее не соседних звена пере-
рис.4). «Сломаем» каждое звено между секаются. Докажите, что у этой ломаной нечет-
ное количество звеньев.
двумя точками
3. Существует ли пятнадцатизвенная лома-
пересечения и ная, пересекающая каждое свое звено ровно
три раза?
получим иско-
4. Постройте восьмизвенную замкнутую ло-
мый пример маную, которая каждое свое звено пересекает
один раз.
(рис.8). Анало-
5 (Д.Калинин, вариация фольклора). Маша
гично, рассмот- нарисовала замкнутую семизвенную ломаную.
Для каждого звена она записала, со сколькими
рев семизвенную звеньями оно пересекается во внутренних точ-
ках. Могла ли она записать в каком-нибудь
ломаную из за- порядке числа 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1?

дачи 1, можно по- 6. Какое наибольшее количество точек само-
пересечения может иметь замкнутая ломаная,
лучить решение в которой 7 звеньев?

Рис. 8 для ломаной, у 7 (Н.Васильев). Рассматриваются всевоз-
которой 14 зве- можные шестизвенные замкнутые ломаные,
все вершины которых лежат на окружности.
ньев; из примера восьмизвенной ломаной
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет
из задачи 1 получим решение для ломаной наибольшее возможное количество точек само-
пересечения.
из 16 звеньев и т.д.
б) Докажите, что большего количества само-
Этот прием не годится только для пост- пересечений такая ломаная иметь не может.

роения двенадцатизвенной ломаной, так

как примера шестизвенной ломаной, кото-

рая каждое свое звено пересекает два раза,

не существует. Но в этом случае можно

использовать другую идею решения зада-

чи 1: «раздвоение». Построим две лома-

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Льем воду… вначале воды

С.ДВОРЯНИНОВ (рис.2). Так будет

при
arctg h d D d 90.q
a

При этом удобно

РАССМОТРИМ ТАКУЮ ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ сначала найти
задачу.
объем оставшейся

Открытый сверху сосуд, имеющий фор- воды. Он равен Рис. 2

му параллелепипеда размером a u b u h , до- Vост S'ADE ˜ b 1 ˜ AD ˜ DE ˜ b
2
верху наполнен водой. Сосуд равномерно и

медленно поворачивают вокруг ребра b. В = 1 ˜ h ˜ h tg 90q D ˜ b 1 h2b ctgD .

некоторый момент вода начинает выте- 22
Стало быть, объем вытекшей воды равен
кать. Объем вытекшей из сосуда воды
зависит от угла поворота: V V D . При
каком значении D abh 1 h2b ctgD .
V D 2
скорость измене-

ния величины Теперь производная, т.е. скорость вытека-

V D , или расход ния воды, такова:
воды, оказывается
h2b
наибольшей? Како- Vc D 2 sin2 D .

ва эта скорость? Очевидно, что эта производная с увеличени-

Сначала обсудим ем угла D убывает, так как знаменатель
дроби растет.
ситуацию, когда

угол наклона сосу- Итак,

Рис. 1 да D такой, что в ­ a2b
сосуде осталось
при 0 d D d arctg h ,
воды больше, чем вытекло (рис.1). При этом Vc D °° 2 cos2 D a
® h2b
объем вытекшей воды равен ° при arctg h d D d 90 .
a
V D S'ABC ˜ b 1 ˜ AB ˜ BC ˜ b ¯° 2 sin2 D
2
Это пример функции, которую иногда назы-
= 1 ˜ a ˜ a tg D ˜ b 1 a2btg D .
22 вают кусочной или кусочно заданной. Она

задана двумя формулами на двух промежут-

Эта формула работает при 0 d tg D d h , т.е. ках изменения аргумента. Заметим, что при

0 d D d arctg h . a D arctg h по первой формуле
при Скорость изменения a
a a2 h2 b
величины V D – производная этой функ- a2b ,
Vc D 2
ции: a2
2
a2b a2 h2
Vc D 2 cos2 .
D по второй формуле

Функция Vc D и определяет скорость выте- Vc D h2b a2 h2 b
.
кания воды при 0 d D d arctg h . С увеличе- 2 h2 2
a
a2 h2
нием угла D эта скорость растет, так как
знаменатель дроби уменьшается. Совпадение двух значений означает, что

Пусть теперь положение сосуда таково, функция Vc D – непрерывная. Отсюда, в
что в нем осталось менее половины налитой
свою очередь, следует, что график функции
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191002
V D – гладкая кривая, без изломов, имею-

щая касательную в каждой своей точке.

30 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Обсудим частные случаи. объект управления – кузов самосвала – и
В самом начале нашего процесса вылива- такой сложный закон управления…

ния воды при D 0 скорость вытекания Давайте попробуем применить «принцип
равна сохранения» – усложним объект управле-
ния, но зато упростим алгоритм управления.
Vc 0 a2 ˜ b ,
Одно из возможных технических решений
2 показано на рисунках 3 и 4. Пусть кузов
в «середине, т.е. при D arctg h , скорость

a
вытекания оказывается наибольшей и рав-

ной

Vc § arctg h · a2 h2 ˜ b ,
¨© a ¹¸ 2

в конце, при D 90q , эта скорость равна

Vc § S · h2 ˜ b . Рис. 3 Рис. 4
©¨ 2 ¸¹ 2
самосвала – это четверть прямого кругового
Теперь рассмотрим практическую задачу, цилиндра. Если кузов поворачивать вокруг
в решении которой может пригодиться рас- оси цилиндра с постоянной угловой скорос-
смотренная выше математическая модель. тью, то расход песка будет постоянным. Все
получается предельно просто: самосвал дви-
Строится дорога. Самосвал высыпает на жется с постоянной скоростью, бункер на-
будущее дорожное полотно песок, причем клоняется-поворачивается с постоянной ско-
не в кучу, чтобы его потом разгребал
грейдер. Желательно, чтобы при движении ростью и при этом его
самосвала с постоянной скоростью песок
высыпался равномерно. Каким должен быть
угол наклона кузова к горизонту?

Будем считать, что кузов самосвала – это

наш параллелепипед и что угол наклона

кузова зависит от времени, т.е. D D t .

Тогда в момент времени t объем высыпав-

шегося песка равен

V t 1 a2 ˜ b ˜ tg D t .

2

Песок высыпается со скоростью

Vc t 2 a2b t ˜ Dc t .
cos2 D

Теперь мы должны выбрать такой закон

изменения угла D t , чтобы производная
Vc t была постоянной. Так, очевидно, бу-

дет, если

Dc t C,
cos2 D t

где С – постоянная. Ясно, что закон управ-

ления углом наклона кузова оказывается
непростым.

Формально, с математической точки зре-
ния, задача решена. Как сильно надо накло-
нять кузов самосвала, мы установили. А вот

с инженерной точки зрения это решение
неудовлетворительно. Имеем такой простой

ОЛИМПИАДЫ

LX Международная
математическая олимпиада

Юбилейная LX Международная математи- М.Пратусевич, К.Сухов (руководил подготов-
ческая олимпиада прошла в июле 2019 года в кой), И.Фролов, Г.Челноков. Благодарим орга-
университете города Бат, расположенного в низации, оказавшие большую помощь в под-
графстве Сомерсет в юго-западной части Анг- готовке команды: Образовательный центр «Си-
лии. Среди достоприме-
чательностей Бата выде- риус» (Сочи), Центр педагогического мастер-
ляются основанное в VII ства (Москва), Президентский физико-мате-
веке аббатство и термы –
наследие Римской Брита- (Продолжение см. на с. 34)
нии. В часе езды от Бата
находятся памятник еще
более древний – загадоч-
ный Стоунхендж и город
Солсбери, знаменитый
своим собором. Все эти
места с интересом посе-
тили участники олимпиа-
ды в свободное от реше-
ния задач время.

В олимпиаде приняли
участие 621 школьник из 112 стран мира – это
очередной рекорд как по общему числу учас-
тников, так и по количеству участвующих стран.

В этом году нашу страну представляли выпус-
кники школы Олег Смирнов, Валерий Кулишов
(оба – Москва), Владимир Петров (Санкт-Пе-
тербург), а также десятиклассники Иван Гайдай-
Турлов (Москва), Алексей Львов (Новосибирск),
Тимофей Ковалев (Астрахань – Москва).

Наши ребята завоевали 2 золотые и 4 сереб-
ряные медали.

По традиции приводим таблицу с баллами
по задачам участников нашей сборной (каж-
дая задача оценивалась из 7 баллов) и резуль-
таты первых десяти стран в командном рейтин-
ге. Полная информация о результатах на меж-
дународных математических олимпиадах име-
ется на официальном сайте олимпиады
www.imo-official.org.

В мероприятиях по подготовке команды были
задействованы А.Антропов, Б.Баев, И.Богда-
нов, С.Берлов, В. Брагин, Н.Власова, А.Гаври-
люк, Р.Газизуллина, А.Гайфуллин, А.Голова-
нов, М.Григорьев, М.Дидин, М.Иванов, Д.Кар-
пов, П.Кожевников, П.Козлов, А.Кузнецов,
Д.Крачун, А.Кушнир, И.Митрофанов, Ф.Петров,

…униженная механика была отделена от гео- Во второй мировой войне было три лучших
метрии. Она стала одним из военных искусств. оружия: английская пушка, немецкий самолет
«Мессершмитт», советский танк Т-34.
Плутарх (об изобретениях Архимеда)
Уинстон Черчилль
Под каким углом следует поставить ствол
пушки, чтобы она стреляла как можно даль- …похоже, что я был единственным, кто видел
ше? взрыв [атомной] бомбы ничем не защищенны-
ми глазами.
Вопрос артиллериста к Никколо Тарталье
Ричард Фейнман
…успехи наполеоновских воин обязаны… мно-
жеству инженеров, строивших мосты, дороги, …я предложил альтернативный проект термо-
фабрики оружия и всякого рода снабжения, ядерного заряда, совершенно отличный... по
пороховые, пушечные, снарядные заводы. происходящим при взрыве физическим про-
цессам и даже по источнику энерговыделения.
Алексей Крылов
Андрей Сахаров

А так ли хорошо знакомы вам

?физика+техника

Увы, известно, что одним из мощных ката- 2. Пуля, вылетевшая из ружья, не может
лизаторов научно-технического прогресса во отворить дверь, но пробивает в ней отвер-
все времена служили военные конфликты. стие, тогда как давлением пальца открыть
История создания самых разных видов ОРУ- дверь легко, но проделать отверстие невоз-
ЖИЯ свидетельствует о все большем включе- можно. Как это объяснить?
нии, особенно в последние столетия, изобре-
тателей, инженеров и ученых в разработку 3. Почему пуля пробивает в тонкостенном
ружей и пушек, пулеметов и танков, истреби- пустом стакане лишь два отверстия, а стакан,
телей и бомбардировщиков, крылатых и бал- наполненный водой, при попадании пули
листических ракет, подводных лодок и авиа- разбивается вдребезги?
носцев… Физика теснейшим образом оказа-
лась переплетена с производством вооруже- 4. Для чего внутри ствола винтовок и
ния, апофеозом чего стало появление в XX пушек делают винтовые нарезки?
веке атомной и водородной бомб.
5. Какую максимальную скорость может
Конечно, эта связь не могла не коснуться приобрести пуля при выстреле? Какие требо-
школы, о чем можно судить по названиям вания следует предъявить к пороху, чтобы
предметов – «гражданская оборона», «на- эта скорость была как можно больше?
чальная военная подготовка» и, как же, лю-
бимые уроки по ОБЖ. Однако больше всего 6. Почему пуля, пущенная из ружья, про-
военной тематики отражено в курсе физики: изводит свист, а брошенная рукой летит
нам было из чего выбирать сегодняшние бесшумно?
сюжеты «Калейдоскопа».
7. Отчего порох, рассыпанный на столе,
Справедливости ради заметим, что множе- сгорает почти бесшумно, а то же количество
ство изобретений и открытий в области обо- пороха при выстреле из ружья создает гром-
роны перекочевало в «гражданку» – и к кий звук?
этому мы еще вернемся в нашей рубрике.
8. Ствол пушки нагревается сильнее при
Вопросы и задачи холостом выстреле, чем при выстреле снаря-
дом. Чем это объясняется?
1. Почему плохо стреляют и слишком туго
и слишком слабо натянутые луки? 9. Наибольшая теоретическая дальность
стрельбы из орудия достигается при угле
наклона ствола в 45 , практически же она
может быть получена при бульших углах. С
чем это связано?

10. Почему сброшенные бомбы, мины и цип действия некоторых древних метатель-
другие подобные снаряды падают на землю ных орудий был положен в основу конструк-
ударником вниз? ции минометов, появившихся в первую миро-
вую войну.
11. Отчего самолет-бомбардировщик вздра-
гивает, освобождаясь от груза подвешенных …головки ракет, снарядов и торпед есте-
к его крыльям бомб? ственно делать круглыми в поперечном сече-
нии. Какой же именно должна быть форма
12. Слышит ли военный летчик звук рабо- самых этих тел вращения, чтобы испытывать
ты реактивного двигателя, если самолет ле- наименьшее сопротивление среды при своем
тит со сверхзвуковой скоростью, а двигатель движении, выяснил, поставив и решив «аэро-
находится позади пилота? динамическую задачу», сам Ньютон.

13. Почему для локации летающих объек- …во время крупных военных сражений,
тов выгоднее использовать электромагнит- включая наполеоновские войны и битвы обе-
ные, а не звуковые волны? их мировых войн, поля боев зачастую пре-
вращались в непролазную грязь из-за дож-
14. Одна из составляющих конструкции дей. Дело в том, что частички пороха после
миноискателей – это генератор электромаг- выстрелов, поднимаясь вверх, служили цен-
нитных колебаний звуковой частоты. Индук- трами конденсации влаги, образуя достаточ-
тивность контура выполнена в нем в виде но крупные для выпадения дождя капли.
проволочного кольца. Когда оно приближа-
ется к мине, в телефонных наушниках высо- …в 1882 году изобретатель телефона Алек-
кий тон сменяется на низкий. Как это полу- сандр Белл создал портативный электромаг-
чается? нитный прибор для безболезненного поиска
пуль и других металлических предметов в
15. Ракета равномерно движется в далеком теле человека. Этот прибор долго и успешно
космосе, на ее сопло надели изогнутую трубу применялся в клиниках, а впоследствии стал
выходным отверстием в сторону движения и прообразом миноискателя.
включили двигатели. Изменилась ли ско-
рость ракеты? …к созданию нового оружия, обладающего
невиданной ранее разрушительной силой,
16. Источником энергии Солнца являются привлекались многие ученые-физики, в том
термоядерные реакции синтеза легких эле- числе и будущие Нобелевские лауреаты. Так,
ментов. Почему Солнце не взрывается подоб- в Манхэттенском проекте по созданию атом-
но водородной бомбе, в которой используют- ной бомбы участвовал Ричард Фейнман, а
ся аналогичные реакции? одним из «отцов» советской водородной бом-
бы стал Андрей Сахаров.
Микроопыт
Что читать в «Кванте» по теме
Давняя школьная забава – стрельба из «Физика+техника» (оружие)
трубочек комочками бумаги. Каков принцип
действия этого «оружия»? (Надеемся, что (публикации последних лет)
при испытаниях вы уже не будете направлять
его на своих одноклассников!) Что с его 1. «Как воздух сопротивляется движению
помощью можно исследовать? тела» – 2015, №1, с.35;

Любопытно, что… 2. «Чуть-чуть физики для настоящего охотни-
ка» – 2015, Приложение №1, с.141;
…первым в письменной истории военно-
техническим достижением является, види- 3. «В тире и рядом» – 2016, №4, с.30;
мо, изобретение кочевыми племенами гиксо- 4. «Как срочно доставить лекарство на воз-
сов боевых колесниц, позволивших им поко- душный шар» – 2017, №11, с.26;
рить в 18 веке до новой эры часть могучего 5. «Как не быть мазилой» – 2018, №7, с.37;
Египета. 6. «Человек-легенда XX века» – 2018, №9,
с.14;
…при обороне Сиракуз искуснейший ин- 7. «Снаряд Тимофея» – 2018, №12, с.32;
женер Архимед строил катапульты, «стре- 8. «Симметрии в несимметричной вселенной
лявшие» камнями массой под 80 килограм- Андрея Сахарова» – 2019, №7, с.2.
мов на одну стадию (один стадий), т.е. на
расстояние около 185 метров. Кстати, прин- Материал подготовил А.Леонович

34 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Слева направо: О.Смирнов, А.Львов, И.Гайдай-Турлов, Т.Ковалев, Перестройки следующего
В.Кулишов, В.Петров. Фото Джессики Ванг (https://facebook.com/ типа производятся последо-
jpwangphotography) вательно, по одной пере-
стройке за раз: выбираются
три пользователя А, В и С
таких, что А дружит и с В и
с С, но В и С не дружат
между собой; после чего В и
С становятся друзьями, но А
теперь не дружит ни с В, ни
с С. Изначально 1010 пользо-
вателей имеют по 1009 дру-
зей, а 1009 пользователей
имеют по 1010 друзей. Дока-
жите, что существует после-
довательность перестроек,
после которой каждый
пользователь будет иметь не
более одного друга.

Хорватия

(Начало см. на с. 31) 4. Найдите все пары k,n целых положи-

матический лицей № 239 (Санкт-Петербург), тельных чисел такие, что
Международный детский центр «КОМПЬЮТЕ-
РиЯ» (Тверская область), Математический ин- k! 2n 1 2n 2 2n 4 … 2n 2n 1 .
ститут РАН (Москва, Санкт-Петербург), РУДН.
ЮАР
Задачи олимпиады
5. Банк города Бат выпускает монеты с
1. Пусть Z – множество всех целых чисел. буквой H на одной стороне и буквой T на
Найдите все функции f: Z o Z такие, что другой стороне. Гарри разложил n таких
для любых целых чисел a и b верно равен- монет в ряд слева направо. Он последова-
ство тельно производит следующую операцию:
если в ряду ровно k > 0 монет лежат буквой
f 2a 2f b f f a b . H кверху, то он переворачивает k-ю слева
монету; иначе все монеты лежат буквой Т
Сальвадор кверху, и он останавливается. Например,
если n = 3 и процесс начинается с конфигу-
2. В треугольнике ABC точка A1 лежит на рации THT, то последовательность опера-
отрезке BC, а точка B1 лежит на отрезке AC. ций выглядит как
Пусть P и Q – точки на отрезках AA1 и BB1
соответственно такие, что прямая PQ парал- ТНТ o ННТ o НТТ o ТТТ
лельна AB. Точка P1 , лежащая на прямой
PB1 , такова, что B1 находится строго между т.е. процесс остановится после трех опера-
P и P1 , причем ‘PP1C ‘BAC . Аналогич- ций.
но, точка Q1 лежащая на прямой QA1 ,
такова, что A1 находится строго между Q и a) Докажите, что при любой начальной
Q1 , причем ‘CQ1Q ‘СBA . Докажите, конфигурации процесс остановится после
что точки P, Q, P1 и Q1 лежат на одной конечного числа операций.
окружности.
б) Для каждой начальной конфигурации
Украина
С через L C обозначим количество опера-
3. В социальной сети 2019 пользователей.
Некоторые пользователи дружат с некоторы- ций, после которых процесс остановится.
ми другими, при этом отношение дружбы
взаимно, т.е. если пользователь A дружит с Например, L THT 3 и L TTT 0 . Най-
пользователем В, то В также дружит с А. дите среднее арифметическое значений L C ,

когда С пробегает все 2n возможных началь-
ных конфигураций.

США

ОЛИМПИАДЫ 35

6. Пусть I – центр вписанной окружности угольников PCE и PBF, пересекаются вто-
рично в точке Q. Докажите, что прямые DI
остроугольного треугольника ABC, в кото- и PQ пересекаются на прямой, проходящей
через A и перпендикулярной AI.
ром AB z AC . Вписанная окружность Z
треугольника ABC касается сторон ВС, СA Индия

и AB в точках D, E и F соответственно. Публикацию подготовили Н.Агаханов,
И.Богданов, М.Григорьев, П.Кожевников,
Прямая, проходящая через D и перпендику-
Ф.Петров, М.Пратусевич, К.Сухов
лярная EF, пересекает Z вторично в точке
R. Прямая AR пересекает Z вторично в
точке P. Окружности, описанные около тре-

L Международная физическая
олимпиада

В этом году Международная олимпиада по которые не входят в школьную программу по

физике (МФО) проходила в Тель-Авиве (Из- физике, но необходимы для участия в МФО.

раиль). В соревновании участвовали 364 школь- Сложившаяся за прошлые годы система подго-

ника из 78 стран. товки включает в себя помимо учебных и

Сборную команду Российской Федерации отборочных сборов участие в международных

представляли: олимпиадах. Возможность попробовать себя в

Григорий Бобков – Москва, школа 1589, «боевых» условиях олимпиады – важный этап

Алексей Шишкин – Москва, школа 1589, психологической подготовки к важному со-

Владимир Малиновский – Москва, школа ревнованию. Ребята участвовали в Междуна-

1589, родной экспериментальной олимпиаде по

Андрей Панферов – Москва, СУНЦ МГУ, физике (IEPhO, ноябрь 2018 г.) и в Азиатской

Елисей Судаков – Вологда, Вологодский олимпиаде по физике (APhO, май 2019 г.).

многопрофильный лицей. Азиатская олимпиада (Аделаида, Австралия)

Команду России возглавили сотрудники Мос- стала последним этапом отбора, по результа-

ковского физико-технического института там которого были выбраны пять участников

(МФТИ) А.А.Воронов (руководитель коман- МФО.

ды), М.Н.Осин, В.А.Шевчен-

ко и Ф.М.Цыбров.

Отбор кандидатов начал-

ся за год до олимпиады, кан-

дидатами в сборную стали

33 победителя и призера зак-

лючительного этапа Всерос-

сийской олимпиады школь-

ников по физике 10 класса.

Подготовка и отбор прохо-

дили в течение года на базе

МФТИ и образовательного

центра «Сириус» (г.Сочи). На

сборах с ребятами занима-

лись преподаватели Лабо-

ратории по работе с одарен-

ными детьми МФТИ, где от-

рабатывались навыки экс-

периментальной работы на Сборная команда России и ее руководители. Слева направо: В.А.-
сложном оборудовании. Так- Шевченко, М.Н.Осин, Е.Судаков, А.Панферов, В.Малиновский, А.Шиш-
же изучались сложные темы, кин, Г.Бобков, А.А.Воронов, Ф.М.Цыбров

36 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

На олимпиаде в Тель-Авиве участникам были Рис. 1. Зависимость силы F от длины пружи-
предложены три теоретические задачи и два ны L
экспериментальных задания. В отличие от трен-
да последних лет готовить задачи в том числе длины L для ПНД, где наклон характеризует
о современных, не школьных разделах физики, жесткость пружины k. ПНД используются в
олимпиадный комитет этого года подготовил сейсмографии и позволяют очень точно изме-
задачи исключительно по «классическим», рять изменения в ускорении свободного па-
хорошо известным школьникам разделам фи- дения g. Здесь и далее мы рассматриваем
зики. Многие руководители команд отметили однородную ПНД, у которой сила тяжести
подборку задач этого года как один из лучших Mg превышает kL0 . Введем безразмерный
комплектов за последние несколько лет.
коэффициент D kL0 Mg 1 , характери-
Максимальное количество баллов, которое
мог набрать каждый школьник, равнялось 50. зующий относительную жесткость пружины.
Члены сборной России показали следующие Игрушка-пружинка «слинки» может являть-
результаты: ся примером такой ПНД (но не обязательно).

В неофициальном командном зачете по сум- Часть A. Статика (3,0 балла)
ме баллов команда России заняла второе ме- А1. Рассмотрим кусочек нерастянутой ПНД
сто. Вот как распределились первые 10 мест: длиной 'l . Пружину растянули силой F в
условиях невесомости. Какова длина 'y
Ниже приводятся условия задач теоретичес- этого кусочка в зависимости от F, 'l и
кого тура олимпиады. параметров пружины? (0,5 балла)
A2. Для кусочка длиной 'l вычислите
Теоретический тур работу 'W , необходимую для его растяже-
Задача 1. Пружина нулевой длины ния от длины 'l до длины 'y . (0,5 балла)

и слинки Далее в этой задаче мы будем обозначать
Пружина эффективной нулевой длины – точки пружины с помощью расстояния l
ПНД – это пружина, у которой сила упруго- ( 0 d l d L0 ), которое измеряется от нижней
сти пропорциональна длине пружины: точки пружины, когда она не растянута. В
F kL для L ! L0 , где L0 – минимальная частности, для каждой точки пружины зна-
длина (длина нерастянутой пружины). На чение l остается неизменным при растяже-
рисунке 1 показана зависимость силы F от нии пружины.

A3. Предположим, что мы удерживаем
пружину за верхний конец так, что пружина
растягивается под собственным весом. Опре-
делите полную длину Н растянутой пружи-
ны в положении равновесия. Выразите ответ
через L0 и D . (2 балла)

Часть B. Динамика (5,5 баллов)
Проведем следующий эксперимент. Пру-
жина подвешена за верхний конец и нахо-
дится в покое. В некоторый момент пружину
отпускают, и она начинает сжиматься, при-
чем сжатие происходит постепенно, сверху
вниз, и нижняя часть остается неподвижной
(рис.2). С течением времени сжатая часть

ОЛИМПИАДЫ 37

(когда существует неподвижная часть) ско-
рость движущейся части описывается выра-

жением vI l Al B. Выразите констан-

тыBА3.иИВспчоелрьеззуяL0п,уgнкит D . (2,5 балла)
B2, найдите мини-

мальную скорость vmin движущейся части
пружины в ходе движения: от момента от-

пускания до падения пружины на землю.

Выразите ответ через L0 , D , А и В.
(0,5 балла)

Рис. 2. Слева: последовательность кадров, сде- Часть C. Энергетическая (1,5 балла)
ланных в ходе падения пружинки. Справа: C1. Найдите механическую энергию Q,
движущаяся часть I и неподвижная часть II при которая перешла в тепло, начиная с момента
свободном падении пружины отпускания пружины и до момента прямо
перед касанием пружины о землю. Выразите
движется, как твердое тело, и собирает ос- ответ через L0 , М, g и D . (1,5 балла)

тальные витки пружины, а неподвижная Задача 2. Физика в микроволновке

часть становится короче. Каждая точка пру- В задаче обсуждается получение микро-
волнового излучения в микроволновке и то,
жины начинает движение только тогда, ког- как оно используется для нагревания еды.
Микроволновое излучение создается магнет-
да движущаяся часть достигнет этой точки. роном. В части A обсуждается работа магнет-
рона, а в части B – поглощение микроволно-
Нижний конец пружины начинает движение вого излучения при нагревании еды.

только тогда, когда пружина полностью со- Часть A. Структура и принцип работы
магнетрона (6,6 балла)
жмется и приобретет длину L0 . После этого
сжатая пружина падает, как твердое тело в Магнетрон – это устройство для создания
микроволнового излучения (в импульсном
поле тяжести. или непрерывном режиме). У магнетрона
есть мода самовозбуждающихся колебаний.
В последующих частях задачи используй- Если на магнетрон подать постоянное (не
переменное) напряжение, то эта мода воз-
те описанную выше модель. Сопротивлени- буждается очень быстро.

ем воздуха можно пренебречь. Пренебрегать Магнетрон в микроволновке представляет
собой медный цилиндрический катод (ради-
L0B1н.елНьазйяд. ите время tc , которое пройдет с усом а) и окружающий его анод (радиусом
момента отпускания пружины до сжатия b). Анод – это толстый цилиндрический
слой, в котором просверлены цилиндричес-
пружины до минимальной длины L0 . От- кие полости. Эти полости называются резо-
вет выразите через L0 , g и D . Посчитайте наторами. Один из резонаторов соединен с
числовое значение tc для пружины с па- антенной, с помощью которой излучение
раметрами k 1,02 Н м , L0 0,055 м и испускается (в задаче антенной можно пре-
M 0,201 кг ; считайте, что g 9,80 м c2. небречь). Считайте, что магнетрон находит-
ся в вакууме. В задаче рассматривается
(2,5 балла) магнетрон с 8 (восемью) резонаторами. Он
B2. В этой части l используется для обо- изображен на рисунке 3,а. На рисунке 3,б
показано, что каждая из восьми полостей
значения конкретной точки пружины, а имен- ведет себя как LC-резонатор с частотой f =
= 2,45 ГГц.
но границы между частью I (см. рис.2;

движущаяся часть) и частью II (неподвиж-

ная часть). В некоторый момент времени,

пока существует неподвижная часть, ее мас-

са равна m lм гноLвl0енMно,йа подвижная часть
движется с скоростью
vI l .

Покажите, что для этого момента времени

38 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

женности постоянного поля. На движение

электронов влияют обе составляющие элек-

трического поля. В процессе движения элек-

троны приобретают некоторую энергию от

постоянного поля. Электроны, достигающие

анода, передают переменному полю около

80% энергии, полученной при ускорении в

постоянном поле. Небольшая часть вылетев-

ших электронов возвращаются на катод и

выбивают новые.

Каждый резонатор можно рассматривать

как конденсатор и катушку. Емкость имеют

плоские части поверхности резонатора, ин-

дуктивность – цилиндрические части (см.

рис.3,б). Считайте, что ток в резонаторе

течет очень близко к поверхности цилиндри-

ческой полости, а создаваемое им магнитное

поле составляет 0,6 поля идеального беско-

нечного соленоида. Геометрические размеры

резонатора приведены на рисунке 3,б. Фи-
1п0о с7тГояннмнысечиHт0айт8е,8з5ад˜ 1а0н н1ы2 мФи.м
зические и
P0 4S ˜
A1. Рассчитайте частоту одиночного ре-

зонатора f1 по параметрам, заданным выше.
(Ваш ответ может отличаться от реального

значения f = 2,45 ГГц. Дальше в задаче

используйте только реальное значение час-

тоты.) (0,4 балла)

В пункте A2 обсуждаются вспомогатель-

ные аспекты движения электрона (не в маг-

нетроне). Рассмотрим электрон, который

Рис. 3. Магнетрон с восемью резонаторами движется в однородном электрическом поле,
направленном против оси у, т.е. E E0 yš ,
Магнетрон находится в постоянном одно- и однородном магнитном поле, направлен-
родном магнитном поле, направленном по н–опмовлдоожлиьтоеслиьzн,ыте.е.поBстояBн0нzšы.еЗ,деxšсь, Eyš0, иzšB0–
его оси. Постоянное напряжение приложено
между анодом (положительный потенциал) единичные орты правой координатной сис-
и катодом (отрицательный потенциал). Элек-
троны, вылетевшие с катода, достигают ано- темы. Скорость электрона в момент времени
да и заряжают его. В результате возбужда-
ется мода колебаний, в которой знаки заря- t обозначим u t . Скорость дрейфа uд
дов любых соседних резонаторов противопо-
ложны. За счет полостей эти колебания электрона – это его средняя скорость движе-
усиливаются. В результате между катодом и
анодом (вдобавок к постоянному полю) со- ния. Обозначим m – массу электрона, е – его
здается переменное электрическое поле с
частотой f = 2,45 ГГц (синие линии на заряд.
рисунке 3,а; постоянное поле не показано). A2. Найдите uд для двух случаев, описан-
В стационарном режиме амплитуда колеба- ных ниже. Нарисуйте на листе ответов тра-
ний напряженности переменного электри-
ческого поля составляет около 1 3 напря- ектории движения электронов (в лаборатор-

ной системе отсчета) в течение интервала

времени 0 t 4Sm , если: 1) в момент
времени t = 0 сeкBо0рость электрона равна

u 0 3E0 B0 xš ; 2) в момент времени
t = 0 скорость электрона равна u 0

3E0 B0 xš . (1,5 балла)

ОЛИМПИАДЫ 39

Вернемся теперь к обсуждению магнетро- ни (силовые линии постоянного поля не
на. Расстояние между катодом и анодом показаны). Положения шести электронов в
15 мм. Пусть также из-за описанных ранее этот момент времени обозначены A, B, C, D,
потерь энергии максимальная кинетическая E и F. Все электроны расположены на
энергия электрона не превышает Kmax = одинаковом расстоянии от катода.
= 800 эВ. Индукция постоянного магнит-
ного поля B0 = 0,3 Тл. Масса и заряд A5. Рассмотрим пары электронов AB, AC,
электрона равны m 9,1 ˜ 10 31 кг и ВС, DE, DF, EF (см. рис.5). Для каждой из
e 1,6 ˜ 10 19 Кл соответственно. пар укажите, как будет влиять дрейф на угол
между векторами, направленными из точки
A3. Рассмотрим электрон в системе отсче- О (центр катода) к точке, где находится
та, в которой его движение можно считать электрон. Будет ли угол увеличиваться или
почти движением по окружности. Оцените уменьшаться в этот момент времени? (1,2
численно максимальный радиус r этой ок- балла)
ружности. Систему отсчета считать инерци-
альной. (0,4 балла) Поведение системы, которое вы обнаружи-
ли в пункте A5, это механизм фокусировки.
A4. На рисунке 4 изображены силовые Электроны концентрируются в пространстве
линии переменного электрического поля между катодом и анодом в сгустки. Такие
сгустки называются «спицами». Одна из
спиц показана на рисунке 6 и обозначена S.

Рис. 4. Пять электронов в переменном электри- Рис. 6. Фокусировка электронов
ческом поле
A6. Нарисуйте на листе ответов остальные
между анодом и катодом в некоторый момент спицы в этот момент времени. Стрелками
времени (силовые линии постоянного поля укажите направление их вращения. Вычис-
не показаны). Положения пяти электронов в лите их угловую скорость Z . (0,8 балла)
этот момент времени обозначены А, B, C, D
и Е. Укажите в листе ответов, какие из этих Пусть полная напряженность электричес-
электронов дрейфуют в сторону анода, ка- кого поля на середине расстояния между
кие в сторону катода, а какие дрейфуют в анодом и катодом равна среднему значению
направлении, перпендикулярном радиусу в напряженности постоянного поля, измерен-
этот момент времени. (1,2 балла) ной вдоль радиуса. Считайте, что спицы
направлены радиально. Радиусы анода и
На рисунке 5 изображены силовые линии катода равны b и а соответственно (см.
переменного электрического поля между рис.6).
анодом и катодом в некоторый момент време-
A7. Оцените, какое постоянное напряже-
Рис. 5. Шесть электронов на одинаковом рас- ние U0 нужно, чтобы магнетрон работал в
стоянии от катода режиме, описанном в этой части задачи.
(Найденное выражение будет соответство-
вать минимальному значения напряжения;

40 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

оптимальное напряжение несколько выше.) ческой величины f t за период Т определя-
(1,1 балла)
ется как f t ³1 t0 T f t dt . (0,5 балла)
Часть B. Взаимодействие микроволново-
го излучения с молекулами воды (3,4 бал- T
ла)
t0
В этой части задачи обсуждается нагрев
еды с помощью микроволнового излучения. Рассмотрим распространение излучения
Электрический диполь представляет собой
два одинаковых по модулю и противополож- сквозь воду. Диэлектрическая проницаемость
ных по знаку заряда q и q, расположенных
на небольшом расстоянии d друг от друга. воды (в обсуждаемых диапазонах частот)
Вектор дипольного момента направлен от
отрицательного заряда к положительному, а равна Hr , соответствующий показатель пре-
его модуль равен р = qd. Пусть одиночный
ломления воды равен n Hr . Мгновенная
диполь p t помещен в переменное электри-
ческое поле E t E t xš . Модуль диполь- плотность энергии электрического поля рав-
ного момента постоянен, т.е. p0 p t . Угол
на 1 HrH0E2 . Усредненные по времени плот-
между векторами дипольного момента и на- 2
ности энергии электрического и магнитного
пряженности поля равен T t .
B1. Найдите модуль момента сил W t , поля равны.
B3. Обозначим усредненную по времени
действующих на диполь со стороны поля.
плотность потока энергии излучения I z
Найдите мгновенную мощность Hi t , со-
(средняя мощность излучения, проходящая
общаемую диполю. Ответы выразите через
через единицу площади). Здесь z – это
p0 , E t , T t и их производные. (0,5
глубина проникновения излучения в воду
балла)
(излучение распространяется вдоль оси z).
Молекулы воды можно представить элек-
трическими диполями. Из-за сильных водо- Найдите зависимость I z . В вашем ответе
родных связей между молекулами воды в
жидкости нельзя считать воду совокупнос- может фигурировать плотность потока энер-
тью независимых диполей. Таким образом,
необходимо использовать вектор поляриза- гии на поверхности воды I 0 . (1,1 балла)

ции P t , который равен среднему диполь- Фазовый сдвиг G обусловлен взаимодей-

ному моменту единицы объема вещества. ствием между молекулами воды. Он зависит

Вектор поляризации P t направлен парал- от безразмерных величин Hl (характеризую-
ет диссипацию) и Hr (диэлектрическая про-
лельно вектору напряженности локально ницаемость). Обе величины зависят от час-
приложенного переменного электрического
тоты излучения Z и температуры. Формула
поля (излучения) E t . Также он осцилли-
для фазового сдвига: tg G Hl Hr . Когда
рует во времени с амплитудой, пропорцио- G достаточно мал, электрическое поле на
нальной амплитуде напряженности этого
электрического поля, но с фазовым сдвигом глубине z рассчитывается следующим об-
G . Локальное электрическое поле в некото- 1
рой точке нагреваемой воды равно разом: E z,t E0 e 2 nk0z tg G sin nk0z Zt ,

E t E0 sin Zt ˜ xš , где Z 2Sf , поляриза- где k0 Z c , c 3,0 ˜ 108 м с – скорость
ция воды равна P t EH0E0 sin Zt G ˜ xš , света в вакууме.
B4. В приближении tg G | sin G найдите
где безразмерная постоянная E определяет-
ся свойствами воды. значение коэффициента E. Ответ выразите

B2. Найдите усредненную по времени мощ- через заданные выше величины. (0,6 балла)

ность H t , поглощаемую единицей объе- На рисунке 7 изображены зависимости Hl
(синие линии) и Hr (красные линии) для
ма воды. Усреднение по времени периоди- чистой (сплошные линии) и соленой (пунк-
тирные линии) воды от частоты при разных
температурах. Обсуждаемая в задаче угло-
вая частота Z 2S ˜ 2,45 ˜ 109 1 c отмечена

жирной черной вертикальной линией. Далее
мы рассматриваем излучение только на этой
частоте.

B5. По данным рисунка 7 ответьте на
следующие вопросы: (0,7 балла)

ОЛИМПИАДЫ 41

Рис. 7. Зависимость величин, характеризующих фазовый сдвиг, от частоты при
разных температурах

1) Найдите глубину проникновения z1 2 в движущихся частей, кроме рабочего потока.
воду при температуре 20 qC . Под глубиной КПД термоакустического двигателя обычно
проникновения здесь понимается такое рас- ниже, чем у других двигателей, но он обла-
стояние, на котором мощность излучения в дает рядом преимуществ при сборке, отладке
единице объема уменьшается в два раза по и обслуживании. В этой задаче мы рассмот-
сравнению с ее значением при z = 0. рим генерацию звуковой энергии в системе.

2) Укажите в листе ответов, как меняется Часть А. Звуковая волна в закрытой
глубина проникновения микроволнового из- трубе (3,7 балла)
лучения в воде при изменении температуры.
Она увеличивается, уменьшается или не Рассмотрим теплоизолированную трубу
изменяется при увеличении температуры? длиной L и площадью поперечного сечения
S. Ось трубы совпадает с осью х. Координа-
3) Укажите в листе ответов, как меняется ты концов трубы х = 0 и х = L. Труба
глубина проникновения микроволнового из- заполнена идеальным газом и закрыта с
лучения в соленой воде при изменении тем- обоих концов. В равновесии температура
пературы. Она увеличивается, уменьшается газа T0 , давление p0 и плотность U0 . Пред-
или не изменяется при увеличении темпе- полагается, что вязкость отсутствует, а дви-
ратуры? жение газа происходит только вдоль гори-
зонтальной оси х. Свойства газа однородны
Задача 3. Термоакустический двигатель в перпендикулярных направлениях у и z.

Термоакустический двигатель превращает A1. Если образуется стоячая волна, пор-
тепловую энергию в акустическую, или в ция газа колеблется в направлении х с цик-
звуковые волны – один из видов механичес- лической частотой Z . Амплитуда колебаний
кой энергии. Как и другие тепловые двигате- зависит от положения равновесия х каждой
ли, он может работать в обратном режиме, порции вдоль трубы. Продольное смещение
став холодильной машиной, т.е. с помощью u каждой порции газа от ее положения в
звука передавать тепло от холодного тела к состоянии покоя х задается формулой
горячему. Так как двигатель функционирует
на высокой частоте, теплопередача уменьша- u x,t a sin kx cos Zt u1 x cos Zt (заме-
ется, также двигателю не требуется изоляция
рабочей камеры. В отличие от других двига- тим, что u описывает смещение рассматрива-
телей, термоакустический двигатель не имеет емой порции газа). Здесь a ≪ L – положи-
тельная постоянная, k 2S O – волновое

42 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

число и O – длина волны. Чему равна ваться небольшим количеством тепла с тру-
максимально возможная длина волны Omax бой. Нагревом, обусловленным вязкостью,
в такой системе? (0,3 балла) можно пренебречь. Для каждой точки A, C
на концах трубы и точки B посередине
Далее в этой задаче обсуждается мода укажите, будет ли температура указанных
точек трубы увеличиваться, уменьшаться
колебаний, соответствующая длине волны или не будет изменяться в течение длитель-
ного времени. (1,2 балла)
O Omax . Рассмотрим порцию газа, находя-
щуюся в состоянии покоя между х и x 'x Часть B. Усиление звуковой волны, выз-
ванное внешним тепловым контактом (6,3
'x ≪ L . В результате волны смещения из балла)
задания A1 порция газа колеблется вдоль оси
Стопка тонких твердых пластин установ-
х. При этом изменяются ее объем и другие лена внутри трубы (рис.8). Пластины в
стопке расположены параллельно оси трубы
термодинамические характеристики. Далее

во всех пунктах считайте, что все рассматри-

ваемые изменения характеристик малы по

сравнению с невозмущенными значениями.

A2. Объем порции газа V x,t колеблется

около равновесного значения V0 S'x со-

гласно формуле V x,t V0 V1 x cos Zt .
Получите выражение для V1 x , выразив

егоA3ч.ерСечзиVта0й,тае,, kи х. (0,5 балла)
что зависимость давления

газа из-за звуковой волны имеет приближен- Рис. 8. Схема системы: A и B обозначают
горячий и холодный резервуары тепла соот-
ный вид p x,t p0 p1 x cos Zt . Рассмат- ветственно, D – стопка пластин

ривая силы, действующие на порцию газа,

вычислите амплитуду p1 x колебаний дав-

ления (первый порядок малости), выразив

ее через координату х, равновесную плот- на расстоянии друг от друга так, что они не

ность U0 , амплитуду смещения а и парамет- мешают потоку газа вдоль трубы. Середина
ры волны k и Z . (0,7 балла)
стопки находится на x0 L 4 , ширина стоп-
При звуковых частотах теплопроводнос- ки l ≪ L вдоль оси трубы; стопка заполняет

тью газа можно пренебречь. Будем считать полностью сечение трубы. Левый край стоп-

процессы расширения и сжатия газа адиаба- ки находится на xH x0 l 2 . С помощью
внешнего теплового резервуара его темпера-
тическими, т.е. выполняется уравнение
pVJ const , где J – показатель адиабаты. тура поддерживается равной TH T0 W 2 .
В то же время правый край стопки находится
A4. Используйте приведенное выше соот-

ношение и результаты предыдущих пунк- на xC x0 l 2 и его температура поддер-
живается равной TC T0 W 2 . Таким обра-
тов, чтобы получить выражение для скорос- зом, между концами пластин поддерживает-

ти звуковых волн c Z k (в первом порядке

малости). Выразите свой ответ через пара- ся постоянная разница температур W . Стоп-
ка пластин обеспечивает продольный гради-
метры равновесного состояния газа p0 , U0 и
показатель адиабаты J . (0,3 балла) ент температуры так, что Tпл x
x x0
A5. Изменение температуры газа в процес- l . Для анализа влияния тепло-

сах адиабатического расширения и сжатия в T0 W

результате воздействия звуковой волны име- вого контакта между стопкой пластин и

ет вид T x,t T0 T1 x cos Zt . Вычислите газом на звуковые волны в трубе предполо-

амплитуду T1 x колебаний температуры, жим следующее:

выразив ее через T0 , J , а, k и х. (0,7 балла) i Все изменения термодинамических вели-
A6. Только в этом пункте рассмотрим чин малы по сравнению с невозмущенными

слабое тепловое взаимодействие между тру- величинами.

бой и газом. Таким образом, стоячая волна i Система работает на основной моде сто-
ячей волны при максимально возможной
остается неизменной, но газ может обмени-

ОЛИМПИАДЫ 43

длине волны. Она очень слабо изменяется тин к порции газа пропорционален разнице
температур между расположенным рядом
из-за наличия стопки пластин. элементом стопки пластин и порцией газа.

i Стопка пластин значительно короче дли-

ны волны, l ≪ Omax , и может быть располо- Приближенно можно записать dQ
жена достаточно далеко от узлов (нулей) dt

смещения и давления, так что смещение EV0 Tст T1 cos Zt , где T1 и Tст – амп-

u x,t | u x0,t и давление p x,t | p x0,t литуды колебаний температуры порции газа

могут считаться постоянными по всей длине и расположенной рядом стопки пластин из

стопки. пунктов A5 и B1 соответственно; E ! 0 –

i Краевыми эффектами, обусловленными некоторая постоянная. Считайте, что при
входящими в стопку пластин порциями газа
рабочих частотах двигателя изменение тем-
и выходящими из нее, можно пренебречь.
пературы газа в результате этого теплового
i Разница температур между краями стоп-
потока несущественно по сравнению как с
ки пластин, т.е. между горячим и холодным
T1B, 4т.акДиляс Tст .
резервуарами, мала по сранению с абсолют- вычисления работы рассмотрим

ной температурой, W ≪ T0 . изменение объема движущейся порции газа
i Теплопроводностью газа, стопки плас-
в результате теплового контакта со стопкой
тин и трубы можно пренебречь. Основными
пластин. Запишем давление и объем порции
процессами теплопередачи являются кон-
газа в виде p p0 pa sin Zt pb cos Zt ,
векция (из-за движения газа) и теплопереда-
V V0 Va sin Zt Vb cos Zt . При заданных
ча между газом и стопкой пластин.
B1. Рассмотрим конкретную порцию газа, pa и pb найдите коэффициенты Va и Vb .
Выразите свой ответ через pa , pb , p0 , V0 ,
первоначально расположенную в x0 L 4 . J , W, Wкр , E , Z , а и l. (1,9 балла)
В процессе движения порции газа внутри B5. Получите выражение для акустичес-

стопки пластин температура ближайшего к кой работы, отнесенной к единице объема,

нему участка стопки пластин изменяется произведенной порцией газа за один цикл.

следующим образом: Tвн t T0 Tсн cos Zt . Найдите полную работу Wпол , совершен-
ную газом за один цикл. Выразите Wпол
Выразите Tсн через а, W и l. (0,4 балла) через J , W , Wкр , E , Z , а, k и S. (0,8 балла)
B2. Выше определенной критической раз- B6. Получите выражение для количества

ницы температур Wкр газ будет передавать теплоты Qпол , переданного за цикл через
тепло от горячего резервуара к холодному. плоскость x x0 слева направо. Выразите
свой ответ через W , Wкр , E , Z , а, S, l.
Выразите Wкр через T0 , J , k и l. (1 балл) (Подсказка. Для потока тепла при конвек-
B3. Получите общее приближенное выра-

жение для потока тепла dQ в малую пор-
dt
цию газа как линейную функцию скоростей ции можно было бы использовать формулу
j Q du .) (0,8 балла)
изменения ее объема и давления. Выразите dt

свой ответ через скорость изменения объема B7. Определите КПД K термоакустичес-
dV dp
dt , скорость изменения давления dt , кого двигателя. КПД определяется как от-
невозмущенные равновесные значения дав-
ношение произведенной акустической рабо-

ления и объема порции газа p0, V0 и показа- ты к количеству теплоты, полученному из
тель адиабаты J . (Вы можете использовать
резервуара. Выразите свой ответ через раз-

выражение для молярной теплоемкости при ницу температур W между горячим и холод-

R , где R – газо- ным резервуарами, критическую разность
J 1
постоянном объеме CV температур Wкр и КПД цикла Карно KК
1 TC TH . (0,6 балла)
вая постоянная.) (0,8 балла)
Публикацию подготовили Ф.Цыбров,
Ограниченный тепловой поток между пор- А.Воронов, М.Осин, В.Шевченко
цией газа и стопкой пластин ведет к сдвигу
фаз между колебаниями давления и объема
порции газа. Это приводит к появлению
работы. Пусть поток тепла от стопки плас-

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Санкт-Петербургский
политехнический университет

Петра Великого

Политехническая олимпиада 6. Найдите количество решений неравен-
школьников
ства 2 sin 3x cos 6x sin 3x sin 9x d 0 на про-
Политехническая олимпиада школьников в
2018/19 учебном году проводилась по четы- межутке >0; S@ .
рем предметам: математике, физике, химии и
информатике. Отборочный тур проходил заоч- 7. Дан квадрат со стороной 20. За преде-
но с применением интернет-технологий. Учас- лами квадрата взята точка, расстояния от
тники выполняли задания тура на официаль- которой до двух смежных вершин квадрата
ном сайте олимпиады. Победители и призеры
отборочного тура были приглашены к участию равны 2 и 3 2 соответственно. Найдите
в заключительном туре, который прошел в
Санкт-Петербургском политехническом уни- расстояние от этой точки до центра квадрата.
верситете в форме очного письменного испы- 8. Из емкости, содержащей 100 л 40%-го
тания.
раствора кислоты отлили 20 л и заменили
Информацию об олимпиаде 2019/20 учеб- водой, затем отлили 20 л нового раствора и
ного года можно получить на сайтах СПбПУ: заменили тем же количеством 40%-го раство-
www.spbstu.ru и olymp.spbstu.ru ра. Найдите окончательную концентрацию.
Ответ округлите до ближайшего целого.
МАТЕМАТИКА Знак % не пишите.

Отборочный тур 9. Две работницы на двух компьютерах
могут подготовить оригинал-макет книги за
1. Решите уравнение 16 часов. Если же при наличии одного ком-
пьютера каждая выполнит половину рабо-
3 2x x 1 4 x . ты, то потребуется 50 часов. За какое время
может справиться с заданием одна работни-
2. Решите неравенство ца с большей производительностью?

x2 4x 3 x2 9x 18 d 0 . 10. Найдите отношение суммы катетов
прямоугольного треугольника к его площа-
В ответе укажите сумму наименьшего и ди, если длина биссектрисы прямого угла
наибольшего положительных решений.
равна 1 2 .
3. Найдите центр симметрии графика фун-
кции y x2 5x 3 . В ответе укажите сум- Заключительный тур

x 1 1. Найдите остаток от деления 3105 5100
му координат этой точки. на 26.

4. В четырех ящиках лежат телефонные 2. Первый и второй работники, работая
аппараты, причем в разных ящиках разное одновременно, могут выполнить задание за
количество аппаратов. Сколько телефонов в 20 часов, второй и третий – за 12 часов,
каждом ящике, если их общее количество первый и третий – за 15 часов. За какое
равно 28, а самое большое число телефонов время они выполнят работу втроем?
в ящике в два раза больше самого маленько-
го количества? 3. Решите уравнение

5. Найдите все значения а, при которых x 2x 1 2 2x 1 x 1 .
произведение корней уравнения x2
4. Числа а, 2, b – последовательные чле-
2a 5 x a2 3a 0 равно 4.
ны арифметической прогрессии. Найдите

сумму коэффициентов многочлена

a 2x3
bx2
.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ 45

5. Найдите сумму кубов всех веществен- ка в момент его максимального удаления от
ных корней уравнения x3 8x 6 0 .
склона. Силами сопротивления пренебречь.
6. В канистре находится раствор кислоты. 3. Дети катаются на санках. Андрей тащит

Если долить в канистру 10 литров воды, то санки с Машей за веревку под углом D 30q

концентрация кислоты станет равной 25%, к горизонту, а Петя толкает такие же санки

если добавить еще 5 литров воды, то концен- с Дашей, направляя силу F 140 H вниз

трация снизится до 20%. Какова была изна- под углом 30q к горизонту. Какую силу

чальная концентрация кислоты? должен прикладывать Андрей, чтобы девоч-
7. Имеется набор предметов, каждый из
ки двигались с одинаковым ускорением?

которых имеет массу не более 1 кг. Общая Масса Маши вместе с санками m1 37 кг ,
масса Даши вместе с санками m2 33 кг .
масса предметов – 50 кг. Нужно уложить эти Коэффициент трения P 0,16 .

предметы в коробки так, чтобы масса каждой 4. Какой минимальной силой можно опро-

коробки была не более 5 кг. Каким наимень-

шим числом коробок можно гарантированно кинуть однородный прямоугольный парал-

обойтись? лелепипед массой m 980 кг с основанием в
8. Равнобедренная трапеция описана око-
форме квадрата со сторо-

ло окружности радиуса 3. Отношение длин ной b 0,8 м и высотой

одного из оснований и боковой стороны h 1,3 м через ребро

равно 8 5 . Найдите меньшее основание тра- (рис.1)? Коэффициент

пеции. трения между горизон-
9. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
тальной поверхностью и
углы между сторонами AB, AD, AA1 равны,
длина каждой из этих сторон равна 2. Най- параллелепипедом таков,

дите полную поверхность параллелепипеда, что скольжения не проис- Рис. 1
ходит.
5. Понтонный мост через реку состоит из
если AC1 15 BD1 .
7 N = 25 сегментов, представленных на рисун-

10. Найдите все значения a, при которых ке 2. Каждый сегмент включает в себя две

уравнение ax 1 min ^ x ; 1 x ` имеет ров-
но два решения.

ФИЗИКА Рис. 2

Отборочный тур пустотелые бочки в форме цилиндра длиной
L = 4,6 м. Найдите ширину реки, если мост
Каждая задача оценивалась в 10 баллов. погружен в воду на половину своего объема,
1. Лыжник, совершая лесную пробежку, а масса каждого сегмента m = 1900 кг.
полчаса двигался ровным шагом со скорос- Плотность воды U0 1000 кг м3 . Размера-
ми и массой связующих элементов моста
тью v1 10 км ч , после чего начался за- пренебречь. Считать, что течение реки на-
тяжной подъем длиной s2 900 м , во вре- правлено вдоль оси цилиндров, из которых
мя которого скорость равномерно уменьша- состоит понтон.
лась и стала равна нулю в верхней точке
подъема. Лыжник во время подъема очень 6. Космический исследовательский корабль
устал и решил посидеть на пеньке и вышел на стационарную орбиту неизвестной
t3 20 мин передохнуть, после чего, нику- планеты Квит. Ученые, высадившись на
да не торопяcь, прошел оставшиеся планету, обнаружили, что тела на экваторе
весят в n = 3,6 раза меньше, чем на ее полюсе.
s4 1,8 км пути со скоростью v4 2,1 км ч . Считая форму планеты шарообразной, опре-
Определить среднюю скорость лыжника за делите высоту корабля на стационарной ор-
время такой прогулки. бите, если радиус планеты R 104 км . Ста-
ционарной орбитой называется круговая
2. Со снежного склона горы мальчик запу-
стил снежок вверх перпендикулярно плоско-
сти склона. Начальная скорость снежка
v0 12 м с. Угол наклона склона D 26q.
Найдите радиус кривизны траектории снеж-

46 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

орбита, двигаясь по которой корабль будет падают в масс-анализатор; в масс-анализато-
находиться над одной и той же точкой эква-
тора. ре ионы оказываются в области однородного

7. Разбился старый ртутный термометр. магнитного поля B , причем скорости частиц
Капельки ртути «бегали» по полу. Две ка-
пельки, двигаясь в перпендикулярных на- перпендикулярны линиям индукции магнит-
правлениях, столкнулись и слились в одну
каплю. Скорость первой капельки перед ного поля; далее через узкую щель ионы
столкновением v1 8 м с , скорость второй
v2 10 м с . Массы капелек считайте одина- попадают в детектор. Заряд ионов, которые
ковыми и равными m = 80 мг. На сколько
нагреются ртутные капельки в результате попадали в детектор в магнитном поле B1 =
такой встречи? Удельная теплоемкость рту- = 30 мТл, равен 3е, где e 1,6 ˜ 10 19 Кл .

ти c 140 Дж к㠘 К . Считая детектор неподвижным относитель-

8. Определите силу тока, текущего через но масс-анализатора, найдите индукцию
сопротивление R1 в электрической схеме,
изображенной на рисунке 3, если на схему магнитного поля B2 такую, чтобы в детектор
попадали ионы той же массы, что и при

магнитном поле B1 , но с зарядом на единицу
большим (в единицах элементарного заря-

да). Учтите при расчете, что скорость ионов

на выходе из источника (до ускорения элек-

трическим полем) пренебрежимо мала.
10. Снежная королева смотрит в круглое

зеркальце, располагая его на уровне глаз на

расстоянии l1 = 25 см, и видит целиком
круглую картину площадью S, висящую на

стене у нее за спиной. Отодвинув зеркало на

l2 = 62 см от глаз, она смогла рассмотреть
в 3 раза меньшую часть картины. На каком

расстоянии от стены стоит Снежная коро-

лева?

Заключительный тур

Рис. 3 1. Мальчик жонглирует 5 мячами, подбра-
сывая очередной пойманный мяч вверх со
подано напряжение U = 30 В. Известно, что скоростью 5 м с в момент, когда другой
рукой ловит следующий. Чему равно рассто-
R19.=Н8а0 рОисму,нкRе2 = 160 Ом, R3 = 240 Ом. яние между вторым и третьим мячами, когда
4 представлена блок-схема мальчик подбрасывает пятый мяч? Проме-
жутки времени между бросками одинако-
простейшего масс-спектрометра. Принцип вые. (10 баллов)

работы данной установки можно описать 2. Два пиратских корабля, находящихся
на экваторе, поделив добычу, стали двигать-
следующим образом. В источнике ионов ней- ся один строго на восток, а второй строго на
запад с одинаковыми по модулю скоростями
тральные атомы или молекулы ионизуются v 20 км ч относительно Земли. Каждому
кораблю досталось ровно по 100 килограм-
электронным ударом; получившиеся ионы мов золота, причем взвешивание производи-
лось на покоящихся относительно Земли
ускоряются разностью потенциалов U и по- кораблях. По прошествии некоторого време-
ни взвешивание повторили уже на движу-
Рис. 4 щихся судах. Определите, на сколько пока-
зания весов будут отличаться на корабле,
движущемся на запад, от показаний весов,
движущихся с кораблем на восток. Считайте
Землю шаром, продолжительность суток Т =
= 24 ч, ускорение свободного падения
g 10 м с2 . (25 баллов)

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ 47

3. На тонкой нити подвешен шарик массой Рис. 6
m. Нить приводят в горизонтальное положе- (рис.6). Найдите скорость изменения индук-
ние и отпускают. Чему равна сила натяже- ции магнитного поля, если заряд батареи
ния нити в тот момент, когда вектор ускоре- конденсаторов Q = 10 нКл. (15 баллов)
ния шарика направлен горизонтально?
(10 баллов) ИНФОРМАТИКА
Отборочный тур
4. Рита и Маруся сварили 2 литра клюк-
венного морса. До прихода гостей остава- 1. В таблице MS Excel (рис.7) содержатся
лось совсем немного времени, а морс все еще данные о количестве двоек, троек, четверок

был теплым (40 °С). Девочки хотели охла- Рис. 7
и пятерок за практическую и лабораторную
дить его побыстрее с помощью 20 пластмас- работы (известно, что их выполняли одни и
те же студенты). Часть значений в таблице
совых шариков со льдом (–20 °С), но поспо- была отфоматирована белым по белому (так
вышло...). На основе данных таблицы со-
рили и разделили морс и шарики между ставлены две диаграммы (рис.8): левая по
собой поровну. Рита положила сразу все
шарики в морс, а Маруся разлила морс в два
одинаковых кувшина и положила шарики в
один из них, подождала, помешивая морс,
пока температуры шариков и морса сравня-
ются, и переложила шарики во второй кув-
шин. Когда температуры снова сравнялись,
Маруся слила морс в один большой кувшин.
Чей морс оказался в итоге холоднее и на
сколько градусов? Масса льда в шарике

20 г. Удельная теплоемкость воды (и морса)

4,2 кДж к㠘 К , удельная теплоемкость
льда 2 кДж к㠘 К , удельная теплота плав-

ления льда 340 кДж кг . (15 баллов)
5. Определите КПД цикла (рис.5), прово-

димого с одноатомным идеальным газом,

Рис. 5 Рис. 8

если известно, что КПД цикла Карно, про- диапазону B2:B5, правая – по C2:C5. Пользу-
водимого в том же диапазоне температур, ясь диаграммами, отметьте истинные выска-
равен 64%, а при изобарном расширении зывания среди перечисленных ниже.
объем газа увеличивается в 2 раза. (25 бал-
лов) А. Получивших две пятерки не больше
двух.
6. Катушка с числом витков N = 100 и
диаметром d = 1 см помещена в однородное Б. Число выполнявших работы делится
магнитное поле, параллельное ее оси. Ин- на 2, 3 и 4.
дукция поля равномерно возрастает со ско-
ростью B0 . Концы катушки замкнуты на В. Наверняка есть хотя бы один студент с
батарею из трех одинаковых конденсаторов, двойками по обеим работам.
каждый из которых имеет емкость С = 1 мкФ
Г. Средний балл за лабораторную работу
выше, чем средний за практическую.

48 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 0

Д. Количество выполнявших работы не щих отношение к вычислительной технике и
меньше 36. информационным технологиям. Отметьте ис-
тинные.
Е. Процент качества (доля оценок 4 и 5 в
общем количестве оценок) за лабораторную А. Ричард Столлман, идеолог концепции
вдвое больше, чем за практическую. свободного программного обеспечения, был
автором идеи праздника «Притяжство», по-
Ж. Не менее 4 студентов получили оценки священного всемирному тяготению и отмеча-
за практическую ниже, чем за лаборатор- емому ежегодно 25 октября.
ную.
Б. Среди 6-значных двоичных чисел па-
2. Найдите значение максимума рекурсив- линдромами являются 4.
ной функции QQ (рис.9)среди точек плос-
В. Для преобразования маленькой буквы
Рис. 9 латиницы в большую в коде ASCII достаточ-
но прибавить к ее ASCII-коду 32.
кости с целочислен-
Г. В экранных системах координат точка
ными координата- (100, 200) ниже и левее точки (200, 100).

ми из области, по- Д. Автор «Паломничества Чайльд-Гароль-
да» приходится отцом автору первой в исто-
казанной на рисун- рии человечества программы для вычисли-
тельной машины.
ке 10 серым цве-
Е. Знаменитый снимок «Безмятежность»,
том (границы ставший классическими обоями Windows
XP, был сделан в окрестностях Палусских
включаются). Тре- лугов.

тий параметр при Ж. Создателем хэштэгов является Джек
Патрик Дорси.
Рис. 10 первом вызове ра-
вен 0. З. Глагол – основанный на русском языке
3. Пусть А и В – байты без знака, AND и язык программирования – отличается дина-
мической типизацией.
OR – поразрядные логические операции.
И. Первый троичный компьютер, сохра-
Известно, что A AND B = 137, а A OR B = нившийся до наших дней, был создан в 1840
году Томасом Фаулером.
= 207. Сколько решений имеет эта система
К. Большинство японских клавиатур име-
уравнений? ют около 2000 клавиш (по количеству ис-
4. Ниже записаны 10 утверждений, имею- пользуемых иероглифов).

5. У вас есть младший брат? Если нет – не
страшно, представьте, что есть. И вот этот
брат вернулся с курсов программирования
на Small Basic (в дворовом подростковом

Рис. 11