เอกสารประกอบการสอน วช ิ าความแขง ็ แรงของวส ั ด ุ(30100-0105) แบบทดสอบก่อน-หลังเรียน 7 หน ่ วยท ี ่ 7 ความเค้นเฉือนในคาน
2 ค าน า หน่วยที่ 7 จากหน่วยที่ 6 ที่กล่าวถึงแรงเฉือนและโมเมนตด์ดัในคาน จะเห็นวา่ โมเมนตด์ดัทา ให้เกิด ความเค้นดัดในคาน ซึ่งได้บรรยายไว้ในบทที่ 7 ส่วนแรงเฉือนที่เกิดข้ึนกบัคานจะมีผลทา ให้เกิด ความเคน้เฉือนในคาน ซ่ึงความเคน้เฉือนที่เกิดข้ึนมีผลทา ให้คานชา รุดได้ดงัน้นัเน้ือหาบทน้ีจะทา ใหท้ราบวา่ คานจะช ารุดที่จุดใดของคาน การเรียบเรียงเน้ือหาบทน้ีตอ้งขอขอบคุณผเู้ขียนตา ราท่านอื่นๆ ดว้ยเนื่องจากเน้ือหาหรือ รูปภาพบางส่วนได้ถูกน ามาใช้ในหนังสือเล่มน้ีและหวงัว่าหนังสือเล่มน้ีจะเป็นประโยชน์แก่ นกัศึกษา ตลอดจนผูท้ี่สนใจทวั่ ไป หากมีข้อผิดพลาดหรือมีข้อเสนอแนะประการใด ผู้เรียบเรียง ยนิดีนอ้มรับไวเ้พื่อแกไ้ขและพฒันาใหส้มบูรณ์ต่อไป ( นายประดิษฐ์ เลิศโพธาวัฒนา ) ผู้เรียบเรียง
3 สารบัญ หน่วยที่ 7 ความเค้นเฉือนในคาน ( Shear Stress in Beam ) หน้า ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1 7.1 ทฤษฎีและการหาค่าความเคน้เฉือน 2 7.2 กราฟความเคน้เฉือนในคานที่มีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็นรูป ผนืผา้ 3 7.3 ความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดกบัคานรูปทรงต่างๆ 5 แบบฝึกหดัหน่วยที่7 ความเคน้เฉือนในคาน ( Shear Stress in Beam ) 17 เอกสารอ้างอิง 19
หน่วยที่ 7 ความเค้นเฉือนในคาน ( Shear Stress in Beam ) เรื่องที่จะศึกษา 7.1 ทฤษฎีและการหาค่าความเคน้เฉือน 7.2 กราฟความเคน้เฉือนในคานที่มีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็นรูป ผนืผา้ 7.3 ความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดกบัคานรูปทรงต่างๆ ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1. อธิบายลกัษณะการเกิดความเคน้เฉือนในคานไดถู้กตอ้ง 2. คา นวณหาความเคน้เฉือนในคานที่เกิดกบัหนา้ตดัรูปทรงต่างๆ ไดถู้กตอ้ง 3. เขียนกราฟความเคน้เฉือนที่เกิดกบัพ้ืนที่หนา้ตดัรูปทรงต่างๆ ไดถู้กตอ้ง 4. มีคุณธรรมและจริยธรรมที่ดีในการเรียน
2 หน่วยที่ 7 ความเค้นเฉือนในคาน (Shear Stress in Beam ) เมื่อคานอยภู่ายใตแ้รงกระทา ในแนวดิ่ง จะเห็นวา่จะเกิดโมเมนตด์ดัและแรงเฉือน โมเมนตด์ดัที่เกิดข้ึนจะทา ใหเ้กิดความเคน้ดดัในคานซึ่งได้ศึกษามาแล้ว ส่วนแรงเฉือน จะทา ใหเ้กิดความเคน้เฉือนในคานซึ่งจะกระท าที่หน้าตัดของคานโดยตรง ดงัน้นัการออกแบบ คานหรือหาขนาดของหนา้ตดัคานจะตอ้งพิจารณาค่าความเคน้เฉือนน้ีด้วย 7.1 ทฤษฎีและการหาค่าความเค้นเฉือน ภาพที่ 7.1 แสดงการหาค่าความเคน้เฉือน จากภาพที่ 7.1 พิจารณาส่วนตดัของคานยาวdx เมื่อต้องการหาความเค้นเฉือนซ่ึงอยู่ ห่างจากแกน NA เป็ นระยะ y1 สมมติหน้าตัดด้าน 2 มีค่าโมเมนตด์ดัมากกวา่หนา้ตดั ด้าน 1 ดงัน้นัดา้นหนา้ตดั 2 จะเกิดแรงอดัมากกวา่ดา้นหนา้ตดั 1 ถา้ใหพ้ ้ืนที่หนา้ตดั ช่วงระยะdx สมดุลจะต้องมีแรงต้านการเฉือน dF F1 + dF = F2 dF = F2 –F1 = C C 2 1 1 1 y y dA - dA จากสูตร M • y = I dF = C C 2 1 1 1 y y M • y M • y I I dA - dA
3 dF = C C 2 1 1 1 y y M M I I y y dA - dA = C 2 1 1 - y M M I y dA จากภาพที่ 7.1 dF = • b dx ; และ M2 – M1 = dM แทนค่า ลงในสมการ dF • b dx = C 1 y dM I y dA = C 1 y dM I•b dx y dA แต่ dM dx = V และ C 1 y y dA = Q = ay = = V • Q V • ay I • b I • b * ในที่น้ี คือ ความเค้นเฉือนในคาน ( N/mm2 ) V คือ แรงเฉือนที่กระทา กบัคาน ( N ) a คือ พ้ืนที่หนา้ตดัเหนือระดบัที่ตอ้งการหาความเคน้ ( mm ) y คือ ระยะจากจุดศูนยก์ลางพ้ืนที่aถึงแกน NA ( mm ) Q คือ โมเมนตข์องพ้ืนที่รอบแกน NA ( m 3 ) b คือ ความกวา้งของพ้ืนที่หนา้ตดัตรงระดบัที่ตอ้งการหา I คือ โมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน NA ( mm 3 ) 7.2กราฟของ Shear Stress ในคานที่มีพื้นที่หน้าตัดเป็ น ผืนผ้า พิจารณาคานที่มีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็น ผนืผา้กวา้ง b หนา h ต้องการหาความเค้นเฉือน ภาพที่ 7.2 แสดงกราฟของ Shear Stress ในคานที่มีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็น ผืนผ้า
4 ตรงระนาบที่ห่างจากแกน NA เป็ นระยะ y1 พ้ืนที่a = b( h 2 − y1) ระยะ y = 1 1 1 h y + - y 2 2 = 1 1 y - 2 h y + 4 = 1 1 2 y y2 h + 4 = 1 1 h + y 2 2 จากสูตร = V • ay I • b แทนค่า ที่ระยะ 1 y = 1 V h 1 h • b - y • + y I • b 2 2 2 = 2 2 1 V h - y 2I 4 แต่ INA = 3 bh 12 แทนค่า INA ที่ระยะ 1 y = 2 2 3 1 12•V h - y 2bh 4 2 2 3 1 6 • V h = - y bh 4 ถ้า y1 = h ± 2 ; = 0 ถ้า y1 = 0 (อยทู่ ี่แกน NA) ; max = = 3 • V 3V 2 bh 2A * นนั่คือ = 0 ที่ผวิบนและล่าง max ที่แกน NA ดงัน้นักราฟของShear Stress Distribution จะเป็นรูปพาลาโบล่า
5 7.3 ความเค้นเฉ ื อนสูงสุดทเี่กดิกบัคานรูปทรงต่างๆ 7.3.1 หน้าตัดรูปสี่เหลยี่มผนืผ้า max 3V = 2bh * ความเค้นเฉือนเฉลี่ย mean V = A max mean = 1.5 ภาพที่ 7.3 แสดงความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดบนหน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 7.3.2 หน้าตัดรูปวงกลมตัน max 4V = 3A * max mean 4 = 3 ภาพที่ 7.4 แสดงความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดบนหน้าตัดรูปวงกลมตัน 7.3.3 หน้าตัดรูปวงแหวน max 2V = A * max mean = 2 ภาพที่ 7.5 แสดงความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดบนหน้าตัดรูปวงแหวน
6 7.3.4 หน้าตัดรูปตัวI max V • Q = I • t * t คือ ความหนาของ web ภาพที่ 7.6 แสดงความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดบนหน้าตัดรูปตัว I จากภาพที่ 7.6 กราฟความเค้นเฉือน จะเห็นวา่ความเคน้เฉือนที่กระจายใน Flanged มี ค่านอ้ยมากในการคา นวณจึงให้web รับแรงเฉือนท้งัหมด ตัวอย่างที่ 1จงหาค่าความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดในคาน ถา้แรงF = 80 kN กระท าตรงกลาง วิธีท า หา max จากสูตร max max 3V = 2bh หา Vmax (แรงเฉือนสูงสุด)ก่อนอื่นตอ้งหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ จากภาพ เมื่อแรงกระทา ที่ก่ึงกลางคาน RA = RB หา RA ( MB = 0 ) 2 RA = 80 1 RA = 80 2 = 40 kN RB = 40 kN หา Vmax (แรงเฉือนสูงสุด) จากภาพ Vmaxจะเกิดที่จุดรองรับ = 40 kN = 40 103 N
7 b = 100 mm h = 200 mm แทนค่า V, b, h ลงในสมการ max max = 3 3 × 40 × 10 2 × 100 × 200 ความเค้นเฉือนสูงสุด = 3 N/mm2 , MN/m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 2แรง W = 6 kNm กระทา กบัคานยาว 4 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด และความ เคน้เฉือนเฉลี่ยที่เกิดในคาน วิธีท า หา RA และ RB หา RA ( MB = 0 ) 4 RA = 6 4 2 RA = 6 × 4 × 2 4 = 12 kN หา RB ( Fy = 0 ) RB = 24 – 12 = 12 kN จากภาพVmaxจะเกิดที่จุดรองรับ Vmax = 12 kN = 12 103 N หา max (ความเค้นเฉือนสูงสุด) จากสูตร max 4V = 3A ในที่น้ี A คือ พ้ืนที่วงกลม = 2 d 4 = 2 (350) 4 mm 2 แทนค่า max = 3 2 4 × 12 × 10 × 4 3 × (350) ความเค้นเฉือนสูงสุด = 0.166 N/mm2 , MN/m2 ตอบ
8 หาความเค้นเฉือนเฉลี่ย mean max mean 4 = 3 mean max 3 = 4 แทนค่า mean 3 = × 0.166 4 = 0.125 N/mm2 , MN/m2 ตอบ ตัวอย่ างที่ 3 Simply Supported Beam อัน ห นึ่ งยาว L m อยู่ภายใต้แรง UDL 2000 N/m พ้ืนที่หนา้ตดัของคานมีขนาดดงัรูป ถา้ Shear Stress สูงสุดห้ามเกิน 3 N/mm2 จงหาความยาว L วิธีท า หาแรงปฏิกริิยาทจีุ่ดรองรับ A, B หา RA ( MB = 0 ) RA L = L 2000 L × 2 RA = 2000 L L × L 2 = 1000 L N หา RB ( Fy = 0 ) RB + RA = 2000 L RB = 2000 L – 1000 L = 1000 L N แรงเฉือนสูงสุด ( Vmax )จะเกิดที่จุดรองรับ = RA Vmax = 1000 L N จากสูตร max = V • ay I • b
9 ในที่น้ี max = 3 N/mm2 Vmax = 1000 L N b = 10 + 10 = 20 mm INA = INA ใหญ่ – INA เล็ก = 3 3 - BH bh 12 12 = 3 3 - 60(80) 40(60) 12 12 = 1840000 mm4 หา ay เนื่องจากพ้ืนที่ ay เป็ นรูปตัว U จะตอ้งแบ่งพ้ืนที่ตวั U ออกเป็ น 3 รูป แล้วหา ay ของ แต่ละรูป จากน้นันา ค่า ay ท้งั 3 ที่หาไดม้ารวมกนั นนั่คือ 1 1 2 2 3 3 a a a a y y y y = + + จากภาพ y1 = 15 mm y2 = 15 mm y3 = 35 mm a1 = 30 10 = 300 mm 2 a2 = 30 10 = 300 mm 2 a3 = 60 10 = 600 mm 2 แทนค่า ay = (300 15) + (300 15) + (600 35) = 30000 mm 3 แทนค่า Vmax, I, b และ ay ลงในสมการ max 3 = 1000 L × 30000 1840000 × 20 L = 3 × 1840000 × 20 30000 × 1000 = 3.68 m ความยาวคาน = 3.68 m ตอบ
10 ตัวอย่างที่ 4 พ้ืนที่หนา้ตดัอนัหน่ึงของ I -beam ขนาดดงัรูป อยภู่ายใตแ้รงเฉือน 10 kN จงหาค่า Shear Stress ที่จุดบนสุดของ webและที่ Neutral Axisแล้วหาค่า Shear Stress เฉลี่ย ถ้า สมมติวา่มีค่าคงที่ใน webและจงหาค่า web รับ Shearing Force ไวก้ี่เปอร์เซ็นต์ วิธีท า หา Shear Stress ทจีุ่ดบนสุดของ web จากสูตร = V • ay I • b ในที่น้ี V = 10 103 N a = 5.5 50 mm 2 y = 54.5 + 5.5 2 = 57.25 mm b = 3.5 mm INA = 3 3 - BH bh 12 12 = 3 3 - 50(120) 2 × 23.25(109) 12 12 = 2181762.625 mm4 แทนค่า V, ay , I และ bลงในสมการ ที่ส่วนบนสุดของ web = 3 10 × 10 × 275 × 57.25 2181762.625 × 3.5 = 20.62 N/mm2 , MN/m2 ตอบ
11 หา Shear Stress ที่ Neutral Axis (แกน NA) จากสูตร = V • ay I • b ในที่น้ี V = 10 103 N INA ของตัวI = 2181762.625 mm4 b = 3.5 mm ay = 1 1 2 2 a a y y + a1 = 50 5.5 = 275 mm 2 a2 = 54.5 3.5 = 190.75 mm 2 1y = 57.25 mm 2 y = 54.5 2 = 27.25 mm แทนค่า ay ay = (275 57.25) + (190.75 27.25) = 20941.69 mm 3 แทนค่า V, ay , I และ b ลงในสมการ max = 3 10 × 10 × 20941.69 2181762.625 × 3.5 = 27.42 N/mm2 , MN/m2 ตอบ หาความเค้นเฉือนเฉลี่ย ( mean ) ที่ web จากสูตร mean V = A ในที่น้ี V = 10 103 N Aที่ web = 3.5 109 = 381.5 mm 2 แทนค่า mean = 3 10 × 10 381.5 = 26.21 N/mm2 , MN/m2 ตอบ หา webรับ Shearing Force กี่เปอร์เซ็นต์
12 จากภาพพิจารณาพ้ืนที่เล็กๆ ที่อยู่ห่างจากแกนเป็น ระยะทาง y พ้ืนที่เล็กๆ = b dy จากสูตร F = A หรือ F = A แรงเฉือนบนพ้ืนที่dA = b dy หรือ dF = b dy dF = 54.5 -54.5 b dy = 54.5 -54.5 F dy b หา (ความเค้นเฉือน) ที่ห่างจากแกน NA เป็ นระยะทาง y จากสูตร = V • ay I • b ในที่น้ี V = 10 103 N INA ของตัวI = 2181762.625 mm4 b = 3.5 mm จากภาพ 1 1 2 2 a a a y y y = + ในที่น้ี a1 = 50 5.5 = 275 mm 2 a2 = (54.5 – y) 3.5 = 190.75 – 3.5y mm 2 1y = 57.25 mm 1
13 2 y = (54.5 - y) y + 2 = y + 27.25 – y 2 = 27.25 + y y - 2 = 27.25 + y 2 แทนค่า ay = (275 57.25) + (190.75 – 3.5y) y 27.25 + 2 = 15743.75 + (5197.94 – 95.38y + 95.38y – 1.75y 2 ) = 15743.75 + 5197.94 – 1.75y 2 = 20941.69 – 1.75y 2 แทนค่า ay , V, I, bลงในสมการ = 3 2 10 × 10 20941.69 - 1.75y 2181762.625 × 3.5 แทนค่า ลงในสมการ Fที่ web = 54.5 3 2 -54.5 10 × 10 20941.69 - 1.75y × 3.5 dy 2181762.625 × 3.5 = 54.5 3 2 -54.5 10 × 10 20941.69 - 1.75y dy 2181762.625 = 54.5 3 -54.5 1.75 0.00458 20941.69y - y 3 = 0.00458 20941.69 × 54.5 - 20941.69 × -54.5 3 3 - 0.583 54.5 - 0.583 -54.5 = 6 6 4 4 0.00458 1.141×10 +1.141×10 - 9.438×10 +9.438 ×10 = 6 5 0.00458 2.282×10 - 1.888×10 F = 9.59 103 N แรงเฉือนที่ web = 9.59 kN แต่แรงเฉือนท้งัหมดบนพ้ืนที่หนา้ตดั = 10 kN แรงเฉือน 10 kN = 100 % 1
14 แรงเฉือน 9.59 kN = 9.59 ×100 10 = 95.9 % นนั่คือ web รับแรงเฉือนไว้ = 95.9 % ตอบ ตัวอย่างที่ 5คานตัว T มีขนาดเช่นในรูป อยู่ภายใต้Shearing Force 200 kN และ Moment 25 kNm จงหา Bending Stress สูงสุด และ Shear Stress สูงสุด จงเขียนกราฟของ Stress Distribution ท้งัสอง กรณี วิธีท า หา Bending Stress สูงสุด (max) จากสูตร max max M • C = I จากสูตรตอ้งหาค่า C, INA หา y (ระยะจุด Centroid ของพื้นที่หน้าตัดตัว T) จากสูตร 1 1 2 2 1 2 a y + a y y = a + a ในที่น้ี a1 = 150 25 = 3750 mm 2 a2 = 150 25 = 3750 mm 2 1y = 150 + 12.5 = 162.5 mm 2 y = 150 2 = 75 mm แทนค่า y = 3750×162.5 + 3750×75 3750 + 3750 = 118.75 mm หา INA ของตัว T
15 จากสูตร NA ตว ั T CG CG 1 2 2 2 1 1 2 2 I = I + a •d + I + a •d ในที่น้ี CG1 I = INA 1 = 3 12 bh = 3 150(25) 12 = 195312.50 mm 4 CG2 I = INA 2 = 3 12 bh = 3 25(150) 12 = 7031250 mm 4 d1 = 1 y - y = 162.5 – 118.75 = 43.75 mm d2 = 2 y -y = 118.75 – 75 = 43.75 mm แทนค่า 2 2 NA ตว ั T I = 195312.50 + 3750(43.75) + 7031250 + 3750(43.75) INA ตัว T = 21.58 106 mm 4 จากภาพ C1 = 175 – 118.75 = 56.25 mm C2 = y = 118.75 mm M = 25 106 Nmm จากสูตร 1 t (max) M • C = I 2 C (max) M • C = I แทนค่า t (max) 6 6 25×10 ×56.25 = 21.58×10 = 65.16 N/mm2 C (max) 6 6 25×10 ×118.75 = 21.58×10 = 137.57 N/mm2 Bending Stress สูงสุด = 137.57 N/mm2 , MN/m2 ตอบ หา Shear Stress สูงสุด (max) จะเกิดที่แกน NA จากสูตร max = V • ay I • b
16 ในที่น้ี V = 200 103 N I NA ตัว T = 21.58 106 mm 4 b = 25 mm 1 1 2 2 ay = a y + a y a1 = 150 25 = 3750 mm 2 a2 = 25 31.25 = 781.25 mm 2 1y = 31.25 + 12.5 = 43.75 mm 2 y = 31.25 2 = 15.625 mm แทนค่า a1 , a2 , 1y และ 2 y ลงในสมการ ay ay = (3750 43.75) + (781.25 15.625) = 176269.53 mm 3 แทนค่า V, ay , I และ bลงในสมการ max max = 3 6 200 × 10 × 176269.53 21.58 × 10 × 25 Shear Stress สูงสุด = 65.35 N/mm2 , MN/m2 ตอบ เขียนกราฟ Stress Distribution แบบประเมินผลการเรียนรู้บทที่7 แบบฝึ กหัด
17 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 7 ความเค้นเฉือนในคาน ( Shear Stress in Beam ) ตอนที่ 1 ใหน้กัศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.ความเคน้เฉือนสูงสุดจะเกิดที่ใดของหนา้ตดัคาน 2. ความเคน้เฉือนต่า สุดจะเกิดที่ใดของหนา้ตดัคาน 3. ay หรือค่า Q คือค่า 4. กราฟของ Shear Stress Distribution จะเป็ นรูปลักษณะใด 5. กราฟความเคน้เฉือนของพ้ืนที่หนา้ตดั ผนืผา้มีลกัษณะอยา่งไร? 6. กราฟความเคน้เฉือนของพ้ืนที่หนา้ตัด มีลกัษณะอยา่งไร? 7. กราฟความเคน้เฉือนของพ้ืนที่หนา้ตัด มีลกัษณะอยา่งไร? 8. กราฟความเคน้เฉือนของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั I มีลกัษณะอยา่งไร?
18 ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. จงหาค่าความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดในคาน ถา้มีแรงกระทา บนคาน 70 kN ดังรูป 2.Simply Supported Beam อันหนึ่งยาว L m อยภู่ายใตแ้รง UDL 1600 N/m พ้ืนที่หนา้ตดัของ คานมีขนาดดังรูป ถ้า Shear Stress สูงสุดหา้มเกิน 4 N/mm2 จงหาความยาว L
19 เอกสารอ้างอิง ชนะ กสิภาร์, ความแข็งแรงวัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2528 บรรจบ อรชร, กลศาสตร์ของแข็ง, มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้า ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2541 สิริศกัด์ิปโยธรสิริ,กลศาสตร์วสัดุ, มหาวทิยาลยัเทคโนโลยพีระจอมเกลา้ธนบุรี,กรุงเทพฯ, 2544