เอกสารประกอบการสอน วช ิ าความแขง ็ แรงของวส ั ด ุ(30100-0105) แบบทดสอบก่อน-หลังเรียน 8 หน ่ วยท ี ่ 8 การแอ ่ นตว ั ของคาน
ข ค ำน ำ หน่วยที่ 8 การแอ่นตัวของคาน เมื่อคานอยู่ภายใต้การรับแรงหรือน ้าหนักในแนวตั ้งฉาก นอกจากจะเกิดโมเมนต์ดัดและ แรงเฉือนแล้ว คานยังเกิดการแอ่นตัวหรือโก่งงอไปจากแนวนอนด้วย คานที่ดีจะต้องแอ่นตัวได้ไม่ มากเมื่อถูกแรงหรือน ้าหนักกระท า ถ้าคานแอ่นตัวมากเกินไปอาจจะท าให้เกิดการแตกร้าว หรือมี ผลกระทบต่อส่วนอื่นๆ ของโครงสร้างได้ ดังนั ้นการออกแบบคานจึงจ าเป็ นต้องให้ความส าคัญใน เรื่องการรแอ่นตัวของคานด้วย การค านวณหาระยะแอ่นตัวของคานมีหลายวิธี แต่ในหน่วยนี ้จะ กล่าวถึงวิธีโมเมนต์พื ้นที่เท่านั ้น การเรียบเรียงเนื ้อหาบทนี ้ ต้องขอขอบคุณผู้เขียนต าราท่านอื่นๆ ด้วย เนื่องจาก เนื ้อหา หรือรูปภาพบางส่วนได้ถูกน ามาใช้ในหนังสือเล่มนี ้ และหวังว่าหนังสือเล่มนี ้จะเป็ นประโยชน์แก่ นักศึกษา ตลอดจนผู้ที่สนใจทั่วไป หากมีข้อผิดพลาดหรือมีข้อเสนอแนะประการใด ผู้เรียบเรียง ยินดีน้อมรับไว้เพื่อแก้ไขและพัฒนาให้สมบูรณ์ต่อไป ( นายประดิษฐ์ เลิศโพธาวัฒนา ) ผู้เรียบเรียง
ค สำรบัญ หน่วยที่ 8 กำรแอ่นตัวของคำน ( Deflection of Beam ) หน้ำ ผลกำรเรียนรู้ท่ีคำดหวัง 1 8.1 สาระประจ าหน่วย 2 8.2 วิธีการหาระยะแอ่นตัวของคาน 3 8.3 การหาระยะแอ่นตัวของคานด้วยวิธี Moment of Area 3 แบบฝึ กหัดหน่วยที่ 8 การแอ่นตัวของคาน ( Deflection of Beam ) 10 เอกสารอ้างอิง 11
หน่วยที่ 8 การแอ่นตัวของคาน ( Deflection of Beam ) เรื่องที่จะศึกษา 8.1 สาระประจา หน่วย 8.2 วธิีการหาระยะแอ่นตวัของคาน 8.3 การหาระยะแอ่นตวัของคานดว้ยวธิีMoment of Area ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1. บอกขอ้สมมติฐานในการหาระยะการแอ่นตวัของคานไดถู้กตอ้ง 2. คา นวณหาค่าความลาดชนัและระยะการแอ่นตวัของคานโดยวธิี Moment of Area ได้ถูกต้อง 3. มีคุณธรรมและจริยธรรมที่ดีในการเรียน
2 หน่วยที่ 8 การแอ่นตัวของคาน ( Deflection of Beam ) 8.1 สาระประจ าหน่วย คานเป็นส่วนของโครงสร้างที่รับโมเมนตด์ดัและแรงเฉือน ซ่ึงอาจเกิดจากแรงภายนอก ที่มากระทา หรือจากน้า หนกับรรทุกบนคานน้นัมีผลทา ใหค้านเกิดการแอ่นตวัลงหรือโก่งงอ ไม่อยใู่นแนวตรงเหมือนในตอนแรงที่ยงัไม่มีแรงมากระทา หรือยงัไม่ไดร้ับน้า หนกัดงัน้นั ใน การออกแบบและคา นวณเกี่ยวกบัคาน วิศวกรจึงจ าเป็ นที่จะตอ้งพิจารณาถึงการโก่งที่จะเกิด ข้ึนกบัคานดว้ย เพื่อใหค้านหรือชิ้นส่วนของเครื่องจกักลต่าง ๆ สามารถท างานได้ดีตามที่ ตอ้งการ หรือไม่ก่อให้เกิดการเสียหายก่อนกา หนดระยะเวลาอนัสมควร ภาพที่ 8.1 การโก่งของคานเมื่อมีแรงมากระทา จากภาพที่ 8.1 แสดงเกี่ยวกบัระยะโก่งของคานและความหมายของคา ต่างๆดงัน้ี 1) เส้นโค้งอีลาสติก (Elastic Curve) เป็นเส้นที่อยใู่นแนวแกนสะเทินของคาน ซึ่ง แสดงลกัษณะการโก่งของคานเมื่อมีแรงภายนอกหรือน้า หนักบรรทุกกระท าบนคาน โดย ในขณะที่คานไม่ไดร้ับแรงภายนอกหรือน้า หนกับรรทุก เส้นโคง้อีลาสติกน้ีจะเป็นเส้นตรง และอยใู่นแนวเดียวกนักบัแนวของแกนสะเทิน และเมื่อมีแรงหรือน้า หนกัมากระทา เส้นโคง้ อีลาสติกก็จะแอ่นหรือโก่งไปจากตา แหน่งเดิม โดยลักษณะการโก่งของคานจะข้ึนอยกู่บัค่า ของโมเมนตด์ดัที่เกิดข้ึนในคานน้นั 2) ความลาดเอียงของคาน (Slope) หมายถึง มุมระหวา่งแนวเดิมของคานกบัเส้นสัมผสั ซ่ึงสัมผสักบัเส้นโคง้อีลาสติกที่จุดน้นั 3) ระยะโก่งหรือระยะแอ่นของคาน (Deflection) หมายถึงระยะในแนวดิ่งที่จุดน้นับน เส้นโคง้อีลาสติกที่เคลื่อนที่ไปจากตา แหน่งเดิม (ก่อนการรับน้า หนกั) 8.1.1ขอ้สมมติฐานในการหาระยะแอ่นของคาน 1) ก่อนที่คานจะรับแรงหรือน้า หนกัคานจะตอ้งอยใู่นแนวตรงไม่เกิดการแอ่นตวั 2) การแอ่นตวัของคานจะคิดจากโมเมนตด์ดัเพียงอยา่งเดียว
3 3) ความเคน้ที่เกิดข้ึนเนื่องจากแรงหรือน้า หนกัที่มากระทา จะตอ้งไม่เกินขีดจา กดั ยดืหยนุ่ 4) หนา้ตดัของคานก่อนและหลงัรับโมเมนตด์ดัจะตอ้งไม่เปลี่ยนแปลง 5) การแอ่นตวัของคานที่เกิดข้ึนจะมีค่านอ้ยมากเมื่อเทียบกบัความยาวของคาน\ 8.2 วิธีการหาระยะแอ่นตัวของคาน วธิีการคา นวณหาระยะแอ่นตวัของคาน มีอยหู่ลายวธิี แต่ที่นิยมใชใ้นการหาระยะ โก่งและค่าความลาดเอียงของคานมีเพียง 3 วิธีคือ 8.1 Double Integration เป็นวธิีการหาระยะโก่งและค่าความลาดเอียง ตลอดจนเส้น โคง้อีลาสติกตลอดความยาวของคานน้นั โดยการใชว้ธิีอินทิเกรตสองคร้ัง ซึ่งจะได้เส้นโค้ง อีลาสติกและค่าต่างๆตลอดความยาวของคาน 8.2 Moment of Area เป็ นวิธีการหาแบบ Simigraphical method ท าให้สามารถหา ค่าความลาดเอียงและระยะโก่ง ณ ตา แหน่งใดๆบนเส้นโคง้อิลาสติกของคานได้ โดยถ้า ตอ้งการที่จะทราบค่าเพียงความลาดเอียงหรือระยะโก่งของเส้นโค้งอีลาสติกเพียงสองหรือสาม ตา แหน่ง วธิีน้ีจะมีความสะดวกและรวดเร็วกวา่วธิีDouble Integration 8.3 Superposition เป็ นวิธีที่ใช้หาค่าความลาดเอียงและระยะโก่งของคานที่รับน้า หนกับรรทุกต่างๆหลายชนิดและหลายแบบ ซึ่งถ้าใช้วิธี Double Integration และ Moment of Area จะทา ให้เกิดความยงุ่ยากและเสียเวลา ดงัน้นัเพื่อช่วยใหก้ารแกป้ ัญหาต่างๆง่าย ข้ึนจึงควรใชว้ธิี Superposition โดยมีวธิีการหาดงัน้ีคือ จะแยกน้า หนกับรรทุกต่างๆที่โจทย์ กา หนดใหอ้อกเป็นส่วนๆ ซ่ึงแต่ละส่วนของน้า หนกัที่แยกออกน้ีสามารถคา นวณหาค่ามุม หรือความลาดเอียงและระยะโก่งของคานไดท้นัที โดยหาจากสูตรหรือตารางส าเร็จของคาน แบบต่างๆที่รับน้า หนกัในลกัษณะต่างๆ โดยใชห้ลกัการที่วา่ค่าของมุมหรือการโก่งที่จุดใด จุดหน่ึงบนเส้นโคง้อีลาสติกเนื่องจากน้า หนกับรรทุกท้งัหมด เกิดจากผลรวมค่าของมุมหรือ การโก่งที่จุดน้นับนเส้นโคง้อีลาสติกเนื่องจากน้า หนกัของแต่ละส่วนที่กระทา จากวิธีการคา นวณหาระยะแอ่นตวัของคานท้งั 3 วธิีที่กล่าวมา ในหน่วยน้ีจะกล่าวถึง การหาระยะแอ่นตวัของคานโดยวธิีMoment of Area เท่าน้นั 8.3การหาระยะแอ่นตัวด้วยวิธี Moment of Area วธิีน้ีสามารถหาความลาดชนั (Slope)และระยะแอ่น (ระยะโก่ง) ตวั (Deflection)ของ คานไดจ้ากพ้ืนที่แผนภาพของโมเมนตด์ดั (BMD) ซึ่งการหาระยะแอ่นของคานโดยวธิี Moment of Area เหมาะกบัวธิีดงัต่อไปน้ี 1) Cantilever Beams ซึ่งมี Slope เป็นศูนยท์ ี่ปลายยดึแน่น
4 2) Simply Supported Beams อยู่ภายใต้Symmetrical Loads ดังน้ัน Slope เป็นศูนยท์ ี่จุดก่ึงกลางของคาน 3) Built–in Beams (คานปลายถูกยึด) ซึ่ง Slope เป็ นศูนย์ที่ปลายยึดสองข้าง ภาพที่ 8.2แสดงการหาระยะแอ่นตวัดว้ยวธิีMoment of Area จากภาพที่ 8.2 ให้ AB เป็นส่วนหน่ึงของคานอยภู่ายใตแ้รง ทา ใหค้านโคง้เช่นในภาพที่ 8.2 และเกิดโมเมนตด์ดัดงัภาพล่าง เส้น AB เป็ นเส้นสัมผัสที่จุด A เส้น BA เป็ นเส้นสัมผัสที่ จุด B เส้นสัมผสัสองเส้นน้ีตดักนัทา มุม ซ่ึงตามปกติจะมีค่านอ้ยมาก พิจารณาช่วงคานส้ันๆ ช่วงหน่ึงยาว dsลากเส้นสัมผัสสองเส้นที่ระยะ ds น้ีจะตดักนั ท ามุม d ลากเส้นต้ังฉากกับเส้นสัมผสั ds จะได้จุดศูนย์กลาง O ของคานโค้ง dsและมุม ระหวา่งรัศมีความโคง้จะเท่ากบั d 8.3.1 การหาความลาดชัน ( ) จากภาพที่ 8.2 ds = R d หรือ = dθ 1 ds R แต่ = M E I R (จากหน่วยที่ 5 เรื่องความเค้นดัดในคาน) = 1 M R EI จากภาพที่ 8.2 ds dx หรือ = dθ M dx EI = M dθ EI • dx BMD
5 จากภาพที่ 8.2 BMD M dx คือ พ้ืนที่ของ BMD ในช่วงยาวdx B A = M dθ EI • dx B A = M θ EI • dx สูตร ความลาดชัน ( ) = พ้ืนที่ของ BMD จาก A ถึง B หน่วย rad * EI 8.3.2 การหาระยะแอ่น (ระยะโก่ง) (y) จากภาพที่ 8.1 การหาระยะ y หาได้จากผลรวมของ x d B A y = x dθ แทนค่า = M dθ EI • dx ลงในสมการ B A = M y EI x dx สูตร ระยะแอ่น (y)max = (พ้ืนที่ของ BMD จาก A ถึง B)(ระยะจากจุด CG ของพ้ืนที่ไปยงัจุด B) EI สูตร y max = พ้ืนที่BMD x หน่วย mm * EI ข้อสังเกต ถ้ากราฟ BMD มีจุดดัดกลับ (Point of Inflection) เช่นดงัภาพที่8.3การหาค่า ความลาดชัน ( ) และระยะแอ่น ( y )จะต้อง C B A C ¾.· .BMD ¾.· .BMD EI EI θ = และ C B 1 2 A C ¾.· .BMD ¾.· .BMD EI EI y = • x • x ภาพที่ 8.3แสดงกราฟ BMD มีจุดดัดกลับ (Point of Inflection) ข้อควรจ า ส าหรับคานที่อยภู่ายใตแ้รงกระจายกราฟ BMD จะเป็ นรูป Parabola พ้ืนที่และระยะ Centroid หาไดด้งัน้ี พ.ท. พ.ท. พ.ท. พ.ท.
6 bh A = 3 2bh A = 3 ภาพที่ 8.4แสดงกราฟ BMD ที่เป็ นรูป Parabola พ้ืนที่และระยะ Centroid ข้นัตอนการหาระยะแอ่นตวัของคาน 1) ค านวณหาแรงปฏิกริยาที่จุดรองรับในกรณีคานแบบมีจุดรองรับ 2) คา นวณหาค่าโมเมนตด์ดัและเขียนกราฟโมเมนตด์ดัและกา หนด M EI ลงในกราฟ โมเมนต์ดัด 3) เขียนเส้นโค้งอีลาสติก (Elastic)แสดงลกัษณะการแอ่นตวัของคาน 4) ลากเส้นสัมผัสจุดที่ต้องการหาความลาดชนัและระยะแอ่นตวัเช่น ที่จุดรองรับ หรือจุดที่โจทยก์า หนดมาให้ 5) คา นวณหาความลาดชนัและระยะแอ่นตวัของคาน ตัวอย่างที่ 1 คานแบบ Cantilever อยู่ภายใตแ้รงแบบ UDL ดงัรูป กา หนดให้หน้าตดัคานเป็น กว้าง 20 mm สูง 50 mm ค่า E ของวัสดุ = 205 GN/m 2 จงหาความลาดชนัและระยะโก่งของ คาน
7 วิธีท า หาค่าโมเมนต์ดัดและเขียนกราฟ BMD ที่หน้าตัด 0< x < 4 m Mx = -10x 2 แทนค่า x = 0 m MA = -10 (0) 2 = 0 kNm แทนค่า x = 4 m MB = -10 (4) 2 = -160 kNm หาความลาดชัน ( ) ทจีุ่ด A จากสูตร B A A พ.ท. BMD = EI ในที่น้ีพ.ท. BMD = bh 3 b = 4 m h = 160 10 3 Nm E = 205 10 9 N/m 2 I = 3 bh 12 ( b = 0.05 m, h = 0.150 m ) แทนค่า 3 A 9 3 4 × 160 × 10 × 12 = 3 × 205 × 10 × 0.05 0.15 = 0.074 Rad ความลาดชัน ( ) = 0.074 rad ตอบ หาระยะโก่งคาน (ระยะแอ่น) ymax จากสูตร max พ.ท. BMD • y = EI x ในที่น้ี x คือ ระยะจากจุด CG ของพ้ืนที่จากจุด A ไปหาจุด B = 3b 4 b = 4 m พ.ท. BMD EI = = 0.074 แทนค่า
8 0.222 m 4 0.074 3 4 y max ระยะแอ่นตวั = 222 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 2 จงหาระยะแอ่นคานและมุมลาดเอียงของคาน Simple Support Beam ยาว 6 m มี แรงกระทา ที่จุดก่ึงกลางคาน ดงัรูป โดยวิธีโมเมนต์พ้ืนที่กา หนดให้E วัสดุ = 205 GN/m 2 คานมีหน้าตัดเป็ นรูปตัว I มีขนาดดังภาพ วิธีท า หาแรงปฏิกริยาทจีุ่ดรองรับ RA และ RB จากภาพโจทย์แรงกระทา ที่ก่ึงกลางคาน ดงัน้นั RA = RB = 15 kN โมเมนต์ดัดสูงสุดจะ เกิดที่ก่ึงกลางคาน ที่หน้าตัด 3< x < 6 m Mx = 15x – 30(x – 3) แทนค่า x = 3 m Mmax = (15 3) = 45 kNm = 45 10 3 Nm
9 หาความลาดชัน จากภาพโจทย์ A B = จากสูตร B B A พ.ท. BMD = EI ในที่น้ีพ.ท. BMD จะเป็ นรูปสมาเหลี่ยม = 1 2 ฐาน สูง ฐาน = 3 m สูง = 45 10 3 Nm E = 205 10 9 N/m 2 INA ของ I = 3 3 BH 2bh 12 12 B = 150 mm = 0.150 m b = 130 2 m = 65 mm = 0.065 m H = 120 mm = 0.12 m h = 80 mm = 0.08 m แทนค่า B 3 3 3 9 3 × 45 × 10 = 0.15 0.12 0.065 0.08 2 × 205 × 10 2 6 = 0.0015 Rad ความลาดชัน ( ) = 0.0015 Rad ตอบ หาระยะโก่งคาน (ระยะแอ่น) ymax จากสูตร B A max • พ.ท. BMD y = x EI ในที่น้ี x = 2b 3 b = 3 m พ.ท. BMD EI = B = 0.0015 Rad แทนค่า max 2 y = 0.0015 × × 3 3 = 0.003 m ระยะแอ่นตวั = 3 mm ตอบ
10 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 8 การแอ่นตัวของคาน ( Deflection of Beam ) ตอนที่ 1 ใหน้กัศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.การหาระยะการแอ่นตวัของคาน ความเคน้ที่เกิดข้ึนเนื่องจากแรงหรือน้า หนกัที่มากระทา จะตอ้ง ไม่เกินค่าใด 2. การหาระยะความลาดชนัของคานจะใชพ้ ้ืนที่กราฟใดมาคา นวณ 3. การหาระยะการแอ่นตวัของคาน จะตอ้งใชพ้ ้ืนที่กราฟใดมาคา นวณ 4. สูตรการหาความลาดชัน คือ 5. สูตรการหาระยะการแอ่นตวัของคาน คือ ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. Cantilever อยู่ภายใตแ้รงดงัรูป จงหาความลาดชันและระยะแอ่นตวัของคาน กา หนดให้ค่า E ของวัสดุคาน =205 GN/m 2 คานมีขนาดพ้ืนที่หนา้ตดัดงัรูป 2. คานแบบ Cantilever อยู่ภายใตแ้รงแบบ UDL ดงัรูป กา หนดให้หน้าตดัคานเป็น กวา้ง 100 mm สูง 200 mm ค่า E ของวัสดุ = 210 GN/m 2 จงหาความลาดชนัและระยะโก่งของคาน
11 เอกสารอ้างอิง ชนะ กสิภาร์, ความแข็งแรงวัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2528 บรรจบ อรชร, กลศาสตร์ของแข็ง, มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้า ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2541 สิริศกัด์ิปโยธรสิริ,กลศาสตร์วสัดุ, มหาวทิยาลยัเทคโนโลยพีระจอมเกลา้ธนบุรี,กรุงเทพฯ, 2544 ชาญ ถนัดงาน, กลศาสตร์วัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2523 สุรเชษฐ์รุ่งวฒันพงษ,์กลศาสตร์ของแขง็, บริษทัซีเอด็ยเูคชนั่จา กดั(มหาชน),กรุงเทพฯ, 2544 พิสิทธ์ิพฒันาอนุสรณ์และเดชยัด่านวรรณกิจ,ความแข็งแรงของวสัดุ1, พิมพค์ร้ังที่1, เอมพันธ์, กรุงเทพฯ, 2541 สุวรรณ ใจเที่ยง,ความแขง็แรงของวสัดุ, พิมพค์ร้ังที่1, เอมพันธ์, กรุงเทพฯ, 2548