เอกสารประกอบการสอน วช ิ าความแขง ็ แรงของวส ั ด ุ(30100-0105) แบบทดสอบ ก่อน-หลังเรียน หน่วยที่2.1ความเค้น หน่วยที่2.2 ความเครียด หน่วยที่2.3 ความสัมพันธ์ระหว่าง ความเค้นและความเครียดและจากอุณหภูมิ 2 หน ่ วยท ี ่ 2 ความเค้นและความเครียด
ข ค าน า หน่วยที่ 2 หน่วยที่2ความเค้นและความเครียด วิชาความแข็งแรงของวสัดุเน้ือหาหน่วยที่ 2 กล่าวถึง ความเค้น ความเครียด และ ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด ที่เกิดจากแรงกระทา จากภายนอกมากระทา กบัเน้ือ วสัดุตลอดจนความเคน้และความเครียดที่เกิดจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลง ซ่ึงไดอ้ธิบายถึงวสัดุจะเกิด ความเคน้และความเครียดไดอ้ยา่งไร ตลอดจนแสดงตวัอยา่งการคา นวณและแบบประเมินผลการ เรียนรู้ เพื่อใช้ทบทวนความรู้ความเข้าใจอีกด้วย การเรียบเรียงเน้ือหาบทน้ีตอ้งขอขอบคุณผเู้ขียนตา ราท่านอื่นๆ ดว้ย เนื่องจากเน้ือหาหรือ รูปภาพบางส่วนได้ถูกนา มาใช้ในหนังสือเล่มน้ีและหวงัว่าหนังสือเล่มน้ีจะเป็นประโยชน์แก่ นกัศึกษา ตลอดจนผูท้ี่สนใจทวั่ ไป หากมีขอ้ผิดพลาดหรือมีขอ้เสนอแนะประการใด ผูเ้รียบเรียง ยนิดีนอ้มรับไวเ้พื่อแกไ้ขและพฒันาใหส้มบูรณ์ต่อไป ( นายประดิษฐ์ เลิศโพธาวัฒนา ) ผู้เรียบเรียง
ค สารบัญ หน่วยที่2 ความเค้นและความเครียด หน้า ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1 2.1 ความเค้น ( Stress ) 2 2.1.1 ความเค้นดึง 3 2.1.2 ความเค้นอัด 5 2.1.3 ความเค้นเฉือน 7 แบบฝึกหดัหน่วยที่2.1 ความเคน้ 35 2.2 ความเครียด ( Strain ) 12 2.2.1 ความเครียดดึง 12 2.2.2 ความเครียดอัด 13 2.2.3 ความเครียดเฉือน 14 2.2.4 อตัราส่วนปัวซอง 16 แบบฝึ กหัดหน่วยที่2.2 ความเครียด 38 2.3 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด 17 2.3.1 คุณลักษณะทางกลของวัสดุ 17 2.3.2 กฎของฮุค 20 2.3.3 ค่าความปลอดภยั 25 2.4 ความเค้นและความเครียดทเี่กดิจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลง ( Temperature Stress ) 36 แบบฝึกหดัหน่วยที่2.3 ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด 38 เอกสารอ้างอิง 39
หน่วยที่ 2 ความเค้นและความเครียด เรื่องที่จะศึกษา 2.1 ความเค้น ( Stress ) 2.2 ความเครียด ( Strain ) 2.3 ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด 2.4 ความเคน้ที่เกิดจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลง ( Temperature Stress ) ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1. อธิบายความหมายและคา นวณหาความเคน้ชนิดต่างๆ ไดถู้กตอ้ง 2. อธิบายความหมายและคา นวณหาความเครียดชนิดต่างๆ ไดถู้กตอ้ง 3. อธิบายความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียดไดถู้กตอ้ง 4. อธิบายคุณลักษณะทางกลของวัสดุได้ถูกต้อง 5. อธิบายกฎของฮุดได้ถูกต้อง 6. คา นวณหาค่าความปลอดภยัไดถู้กตอ้ง 7. คา นวณหาค่าความเคน้และความเครียดที่เกิดจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลงไดถู้กตอ้ง 8. มีคุณธรรมและจริยธรรมที่ดีในการเรียน
2 หน่วยที่ 2 ความเค้นและความเครียด ในงานวิศวกรรมจะมีวัตถุหลายชนิด ที่มีการรับภาระ(load)จากภายนอกหรือภาระจาก น้า หนกัของวตัถุเอง โดยภาระหรือแรงจากภายนอกที่มากระทา จะอยใู่นลกัษณะของแรงดึง แรงอดั และแรงเฉือน ซ่ึงภาระดงักล่าวทา ใหว้ตัุเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปทรงไปจากเดิมหรืออาจเกิดการ เสียหายข้ึนหากภาระที่มากระทา เกินค่าที่วตัถุจะรับได้ สิ่งที่ก่อใหเ้กิดผลดงักล่าวอนัเนื่องมาจาก ความเค้นและความเครียดที่เกิดข้ึนภายในวตัถุในขณะที่รับภาระ โดยวตัถุแต่ละชนิดเมื่อมีการ รับภาระอยา่งเดียวกนัแต่ผลที่เกิดแก่วตัถุอาจมีค่าซ่ึงแตกต่างกนัตามคุณสมบตัิของวตัถุนอกจากน้ี อุณหภูมิและคุณสมบตัิในการยดืหดตวัของวตัถุก็มีผลต่อความเคน้และความเครียดเช่นกนัดงัน้นั ในหน่วยน้ีจะเป็นการศึกษาเกี่ยวกบัความเคน้และความเครียด ที่เกิดข้ึนภายในวตัถุเมื่อวตัถุมีการ รับภาระจากภายนอก ภาระจากน้า หนกัของวตัถุเองหรือการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ 2.1 ความเค้น (Stress, ) วตัถุเมื่อไดถู้กแรงกระทา จากภายนอกจะมีผลทา ให้ภายในเน้ือวตัถุน้นัถูกแรงกระทา ดงักล่าว ดว้ย ถา้แรงที่กระทา มากจนกระทงั่เน้ือวตัถุรับไม่ไดก้ ็จะเกิดการแตกหักหรือขาด แต่หากเน้ือ วตัถุสามารถทนแรงกระทา น้นั ไดภ้ายในเน้ือวตัถุก็จะเกิดความเคน้ข้ึน ดงัน้นัความเคน้ภายใน เน้ือวตัถุก็คือ แรงตา้นภายในเน้ือวตัถุที่กระทา ต่อหน่วยพ้ืนที่หน้าตดัของวตัถุซ่ึงจะเกิดข้ึนใน กรณีวตัถุสมดุล (วตัถุมีสภาพคงเดิมไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างหรือขนาด) สามารถเขียนเป็ น ความสัมพนัธ์ไดด้งัน้ี ความเค้น = พ ้ ื นทห ี่นำ ้ ตดัของวตัถ ุ ทถ ีู่ กแรงกระทำ แรงตำ ้ นภำยในเน ้ ื อวตัถ ุ ถา้กา หนดให้ (Sigma) คือ ความเค้น(N/m2 ) A คือ พ้ืนที่หนา้ตดัของวตัถุ ( m 2 ) P คือ แรงต้านภายใน ( N ) สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี = A P (N/m2 ) หมายเหตุ ถ้าวัตถุสมดุลแรงกระท าจากภายนอก = แรงตา้นภายในเน้ือวตัถุ
3 ภาพที่ 2.1 การเกิดความเคน้ภายในเน้ือวตัถุ จากภาพที่ 2.1 ถา้วตัถุสมดุล(วตัถุมีสภาพคงเดิม) แรงกระทา จากภายนอกจะเท่ากบั แรงตา้นภายในเน้ือวตัถุ ดงัน้นั P = F ทา ใหส้ามารถเขียนเป็นสมการใหม่ไดเ้ป็น = F A เมื่อ (Sigma) คือ ความเค้น( N/m2 ) A คือ พ้ืนที่หน้าตัดของวัตถุ ( m 2 ) F คือ แรงกระท าภายนอก ( N ) ความเค้นมีหน่วยดงัน้ี หน่วย FPS ปอนด์ต่อตารางนิ้ว(lbf /in2 ) หรือ Psi หน่วย MKS กิโลกรัมต่อตารางมิลลิเมตร (kgf / mm 2 ) หน่วย SI นิวตนัต่อตารางเมตร(N/m2 ) หรือ ปาสคาล (Pa) ความเคน้ที่กระทา กบัวตัถุสามารถแบ่งออกไดเ้ป็น 3 ชนิด ตามลักษณะของแรงที่กระท า ดงัน้ี 2.1.1 ความเค้นดึง (Tensile Stress) ใช้สัญลักษณ์σt จะเกิดข้ึนเมื่อวตัถุถูกแรงกระทา ที่ อยใู่นแนวเดียวกนัแต่มีทิศทางตรงกนัขา้มในลกัษณะแยกออกจากกนัและอยใู่นสภาพที่สมดุล เมื่อ นา แรงที่กระทา มาคิดต่อพ้ืนที่ที่ถูกกระทา จะเรียกวา่ความเคน้ดึง ดังภาพที่ 2.2 ซึ่งเขียนเป็ น สมการไดด้งัน้ี σt = F A ภาพที่ 2.2แสดงการเกิดความเคน้ดึงในวตัถุ
4 ตัวอย่างที่ 1ลวดขนาดเส้นผ่านศูนยก์ลาง 1.5 mm แขวนวัตถุที่มีมวล 60 kg จงหาค่าความเค้น (Stress) ในเส้นลวด วิธีท า จงหาความเค้นดึงในเส้นลวด ( t ) จากสมการ σt = F A ในที่น้ี F คือ แรงดึง = mg m = 60 kg g = 9.81 m/s 2 A = พ้ืนที่หน้าตัดลวด = π 4 d 2 d = 1.5 mm แทนค่า t = 60 ×9.81×4 π ( 1.5 ) 2 Stress ในลวด = 333.5 N/mm2 , MN/m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 2 จงคา นวณหาขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางของลวดที่อยภู่ายใตแ้รงดึง 150 N มีความเค้น เกิดข้ึน 47.746 N/mm2 วิธีท า จากสมการ σt = F A เมื่อ F = 150 N และ σt = 47.746 N/mm2 แทนค่า 47.746 = 150 4 D2 D 2 = 4 mm 2 D = 2 mm ∴ เส้นลวดมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางเท่ากบั 2 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 3 โลหะสองท่อนติดกนัแน่นที่BB แขวนอยใู่นแนวดิ่ง และถูกกระทา ดว้ยแรงP เท่ากบั 40 kN ดงัภาพ ท่อนบนเป็นเหล็กยาว10 m พ้ืนที่หนา้ตด ั 60 cm2 มีความหนาแน่น 7,810 kg/m3 ท่อนล่างเป็นทองเหลืองมีพ้ืนที่หนา้ตดั 50 cm2 ความหนาแน่น 8,280 kg/m3 ทองเหลือง ยาว6 m จงหาความเคน้ สูงสุดที่เกิดข้ึนในโลหะแต่ละท่อน
5 วิธีท า พ้ืนที่เหล็ก A = 60 cm2 = 60 × 10-4 m 2 เหล็กยาว L = 10 m จากสมการ ρ = m V , m = ρ V m = 7,810 × 60 × 10-4 × 10 = 468.6 kg Fเหล็ก = 468.6 × 9.81 = 4,569.97 N พ้ืนที่ทองเหลือง A = 50 cm2 = 50 × 10-4 m 2 เหล็กยาว L = 6 m จากสมการ ρ = m V , m = ρ V m = 8,280 × 50 × 10-4 × 6 = 248.4 kg Fทองเหลือง = 248.4 × 9.81 = 2,436.804 N จากสมการ σเหล็ก = F A = (40×103)+4,596.97+2,436.804 60×102 N/mm2 = 7.838 N/mm2 ∴ ความเคน้ สูงสุดของเหล็กเท่ากบั 7.838 N/mm2 ตอบ จากสมการ σทองเหลือง = F A = (40×103)+2,436.804 50×102 N/mm2 = 8.487 N/mm2 ∴ ความเคน้ สูงสุดของทองเหลืองเท่ากบั 8.487 N/mm2 ตอบ 2.1.2 ความเค้นอัด (Compressive Stress) ใช้สัญลักษณ์ σc จะเกิดข้ึนเมื่อวัตถุถูกแรง กระทา ที่อยใู่นแนวเดียวกนัแต่มีทิศทางตรงกนัขา้มในลกัษณะเขา้หากนัและอยใู่นสภาพที่สมดุล เมื่อนา แรงที่กระทา มาคิดต่อพ้ืนที่ที่ถูกกระทา จะเรียกวา่ความเคน้อดั ดังภาพที่ 2.3 ซึ่งเขียนเป็ น สมการไดด้งัน้ี σc = F A
6 ภาพที่ 2.3แสดงการเกิดความเคน้อดัในวตัถุ ตัวอย่างที่ 4 เสาคอนกรีตมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 200 mm รับน้า หนกัขนาด 150 kN จงหา ความเคน้อดัที่เกิดข้ึน วิธีท า จากสมการ σc = F A เมื่อ F = 150 × 103 N และ A = 4 × 2002 = 31,415.926 mm2 แทนค่า σc = 150×103 31,415.926 = 4.775 N/mm2 ∴ ความเคน้อดัที่เสาคอนกรีตเท่ากบั 4.775 N/mm2 ตอบ ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนึ่งมีมวล 60 kg นงั่อยบู่นเกา้อ้ีซ่ึงมีสี่ขา แต่ละขารับความเคน้อดัเท่ากบั 0.2373 N/mm2 จงคา นวณหาพ้ืนที่หนา้ตดัของขาแต่ละขา วิธีท า จากสมการ σc = F A เมื่อ F = 60×9.81 4 = 147.15 N และ σc = 0.2373 N/mm2 แทนค่า 0.2373 = 147.15 A A = 620.10 mm 2 ∴ พ้ืนที่หนา้ตดัของขาเกา้อ้ีแต่ละขาเท่ากบั 620.10 mm 2 ตอบ ตัวอย่างที่ 6 เหล็กหล่อกลวงรับแรงในแนวแกน 625 kN โดยมีอตัราส่วนเส้นผา่นศูนยก์ลาง ภายนอกต่อเส้นผา่นศูนยก์ลางภายในเท่ากบั 1.45 และความเคน้อดัที่เกิดข้ึนเท่ากบั 90 N/mm2 จงคา นวณหาเส้นผา่นศูนยก์ลางภายนอกและภายในของเหล็กหล่อน้ี วิธีท า จาก do di = 1.45 ∴ do = 1.45 di และ A = 4 × (do 2 − di 2 ) mm 2 = 4 × ((1.45di ) 2 − di 2 ) = 0.8659 di 2 mm 2 เมื่อ σc = 90 N/mm2 F = 625 × 103 N จากสมการ σc = F A แทนค่า 90 = 625×103 0.8659di 2
7 di 2 = 625×103 0.8659×90 = 8,019.915 mm2 di = 89.554 mm d0 = 1.45 di = 1.45 × 89.554 = 129.853 mm ∴ เส้นผา่นศูนยก์ลางภายนอกเท่ากบั 129.853 mm ตอบ ∴ เส้นผา่นศูนยก์ลางภายในเท่ากบั 89.554 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 7 เสาคอนกรีตมีหนา้ตดัเป็นรูปทรงกลวงมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางภายใน 160 mm รับแรงที่ใชก้ดเท่ากบั 790 kN โดยความเคน้กดหา้มเกิน 40 N/mm2 จงค านวณหาความหนาของ เสาคอนกรีตน้ี วิธีท า do = 160+2t mm และ di = 160 mm และ A = 4 × (do 2 − di 2 ) mm 2 = 4 × ((160 + 2t) 2 − 1602 ) = 4 × (640t + 4t2 ) mm 2 เมื่อ σc = 40 N/mm2 F = 790 × 103 N จากสมการ σc = F A แทนค่า 40 = 790×103 4 (640t+4t 2) 640t+4t2 = 790×103×4 ×40 = 25,146.481 t 2 +160t – 6,286.62 = 0 ∴ t = −b±√b2−4ac 2a = −160±√1602−4×1×(−6,286.62) 2×1 = 32.638 mm , -192.634 mm ∴ เสาน้ีมีความหนาเท่ากบั 32.638 mm ตอบ 2.1.3 ความเค้นเฉือน (Shear Stress) ใช้สัญลักษณ์ อ่านว่า (Thau) จะเกิดข้ึนเมื่อวตัถุ ถูกแรงสองแรงที่มีทิศทางตรงกนัขา้ม ขนานกนักระทา อยคู่นละแนวแกน พยายามดึงวตัถุให้ขาด ออกจากกนัแรงที่เกิดข้ึนในลกัษณะน้ีเรียกว่าแรงเฉือน(Shear force) เมื่อนา แรงน้ีคิดต่อหน่วย พ้ืนที่รับแรงกระทา จะเรียกวา่ ความเค้นเฉือน ดังภาพที่ 2.4 ภาพที่ 2.4 แสดงการเกิดความเคน้เฉือนในวตัถุ
8 ในงานโครงสร้างหรือชิ้นส่วนเครื่องจกัรกล มีการแบ่งความเคน้เฉือนตามแรงเฉือนที่เกิดข้ึนซ่ึง สามารถแบ่งได้2ลกัษณะ ดงัน้ี 1) ความเค้นเฉือนระนาบเดียว(Single Shear Stress) ดังภาพที่ 2.5 ซึ่งเขียนเป็ น สมการไดด้งัน้ี = F A ภาพที่ 2.5ความเค้นเฉือนระนาบเดียว 2) ความเค้นเฉือนสองระนาบ (Double Shear Stress) ดังภาพที่ 2.6 ซึ่งเขียนเป็ นสมการ ไดด้งัน้ี = F 2A ภาพที่ 2.6ความเค้นเฉือนสองระนาบ ข้อสังเกต ความเค้นเฉือน ทิศทางของแรงจะขนานกบัพ้ืนที่ที่ถูกเฉือน ความเค้นดึง, ความเค้นอัด ทิศทางของแรงจะต้งัฉากกบัพ้ืนที่ที่ถูกแรงกระท า ตัวอย่างที่ 8 หมุดย้า ขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 15 mm อยภู่ายใตแ้รงเฉือนชนิดแบบ Single Shear 2 kN จงหาความเคน้เฉือนในหมุดย้า วิธีท า จากสมการ τ = F A เมื่อ F = 2 × 103 N และ A = 4 × 152 = 176.7145 mm2 แทนค่า τ = 2×103 176.7145 = 11.3177 N/mm2 ∴ ความเคน้เฉือนในหมุดย้า เท่ากบั 11.3117 N/mm2 ตอบ
9 ตัวอย่างที่ 9 พูลเลย์ขนาด 750 mm มีแรงกระท าดังภาพ โดยลิ่มใชล้็อคเพลาซ่ึงมีขนาดเส้นผา่น ศูนย์กลาง 50 mm และลิ่มที่ใชม้ีขนาดความกวา้ง b mm ยาว 75 mm ถา้ความเคน้เฉือนไม่เกิน 69 N/mm2 จงหาขนาดของ b วา่มีค่าเท่าใด วิธีท า [∑ M0 = 0] F × 25 = (9 ×1,000×375) - (5.5×1,000×375) ∴ F = 52,500 N จากสมการ τ = F A เมื่อ τ = 69 N/mm2 และ A = 75 × b = 75b mm2 แทนค่า 69 = 52,500 75b b = 10.145 mm ∴ b มีขนาดเท่ากบั 10.145 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 10 แกนของเครื่องมือกลชนิดหน่ึงติดอยกู่บักา้นสา หรับใชใ้นการออกแรงบิดดว้ยลิ่ม สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 8 × 8 × 30 mm ถา้ใหค้วามเคน้เฉือนไม่เกิน 82 N/mm2 จงหาขนาดของ แรงP วิธีท า จากสมการ τ = F A เมื่อ τ = 82 N/mm2 และ A = 8 × 30 = 240 mm2 แทนค่า 82 = F 240 F = 19,680 N [∑ M0 = 0] 19,680 × 35 = P × 75 × 1,000
10 P = 91.84 N ∴ ขนาดของแรง P เท่ากบั 91.84 N ตอบ ตัวอย่างที่ 11 ใชเ้ครื่องปั๊มโลหะPunch ตดัแผน่กลม ขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 22 mm หนา 3 m วสัดุมีค่าความเคน้เฉือนสูงสุด (Shear Strength) 370 MN/m2 จงหา ก ) แรงที่ใช้ในการตัด ข ) ความเค้นอัดที่ Punch วิธีท า ก. หาแรง (F ) ที่ใช้ในการตัด จากสมการ τ = F A หรือ F = τA ในที่น้ี = Shear Strength = 370 × 106 N/m2 A = พ้ืนที่ที่ถูกเฉือน = เส้นรอบวง × ความหนา = πdt d = 22 mm = 0.022 m t = 3 mm = 0.003 m แทนค่า F = ( 370 × 106 ) × π × 0.022 × 0.003 แรงที่ใช้ในการตัด = 76,717.69 N = 76.72 × 103 N ตอบ ข. หาความเค้นอัดที่ Punch จากสมการ σc = F A ในที่น้ี F = 76.72 × 103 N A = พ้ืนที่ที่ถูกอดั = พ้ืนที่วงกลม = π 4 d 2 d = 22 mm = 0.022 m แทนค่า σc = (76.72×103)×4 (22) 2 = 201. 818 × 106 N/mm2 ความเค้นอัดที่ Punch = 201. 818 × 106 N/mm2 = 201. 818 MN/m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 12 ในการตัดเจาะรูแผน่เหล็กที่มีความหนา 2 mm ใหม้ีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 70 mm ถา้ความเคน้เฉือนที่เกิดข้ึนเท่ากบั 358 N/mm2 จงหาแรงที่ใช้ในการตัดและความเค้นอัดที่ใช้ ในการตัดเจาะ วิธีท า ก) จากสมการ τ = F A ดงัน้นั F = τ A
11 เมื่อ τ = 358 N/mm2 และ A = d t = × 70 × 2 = 439.823 mm2 แทนค่า F = 358 × 439.823 = 169,331.855 N = 169.331 kN ∴ แรงที่ใชใ้นการตดัเท่ากบั 169.331 kN ตอบ ข) จากสมการ σc = F A เมื่อ F = 169,331.855 N และ A = 4 × 702 = 3,848.451 mm2 แทนค่า σc = 169,331.855 3,848.451 = 44 N/mm2 ∴ ความเคน้อดัที่ตดัเจาะเท่ากบั 44 N/mm2 ตอบ ตัวอย่างที่ 13 tie rod ดงัภาพมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 40 mm ถูกใชใ้นการยดึติดกบักา แพงเพื่อ รับแรงดึง ถา้ความเคน้ดึงที่เกิดข้ึนใน tie rod ไม่เกิน 60 N/mm2 ก) จงหาขนาดของแหวน D เพื่อใหค้วามเคน้อดัระหวา่งแหวนและกา แพงมีค่าไม่เกิน 1.8 N/mm2 ข) ถ้าแหวนมีความหนา 5 mm จงหาขนาดของหัว tie rod โดยความเคน้เฉือนที่เกิดข้ึนใน วงแหวนไม่เกิน 75 N/mm2 วิธีท า ก) หาแรงที่ใช้ในการดึง tie rod จากสมการ σt = F A เมื่อ σt = 60 N/mm2 และ A = 4 × 402 = 1,256.637 mm2 แทนค่า 60 = F 1,256.637 F = 75,398.223 N ที่วงแหวน จากสมการ σc = F A เมื่อ σc = 1.8 N/mm2 , F = 75,398.223 N และ A = 4 × (D2 -40 2 ) แทนค่า 1.8 = 75,398.223 4 (D2−402)
12 D 2 -40 2 = 54,233.332 D = 232.88 mm ∴ ขนาดแหวน D เท่ากบั 232.88 mm ตอบ ข) หาขนาดของหัว tie rod จากสมการ τ = F A เมื่อ τ = 75 N/mm2 F = 75,398.223 N และ A = dt = 5d mm2 แทนค่า 75 = 75,398.223 5πd d = 75,398.223 5π×75 = 64 mm ∴ ขนาดของหัว tie rod เท่ากบั 64 mm ตอบ 2.2 ความเครียด (Strain, ε) ใช้สัญลักษณ์ ε อ่านวา่ Epsilon (เอฟซิลอน) วัตถุเมื่อได้รับแรงกระท าจากภายนอก วัตถุ จะเกิดความเคน้ข้ึนภายในเน้ือวตัถุตามที่ไดก้ล่าวมาแลว้และขณะเดียวกนั ในเน้ือวตัถุก็จะเกิด ความเครียดไปพร้อมๆกนัดว้ย ลกัษณะการเกิดความเครียดในเน้ือวตัถุเกิดข้ึนจากวัตถุได้รับแรง กระท าจากภายนอก ท าให้เน้ือวตัถุเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาดหรือรูปร่างไปจากเดิม ดงัน้นั ความเครียดของวัตถุ หมายถึงการเปรียบเทียบขนาดเปลี่ยนแปลงไปต่อขนาดเดิมของวัตถุนนั่เอง ซ่ึงสามารถเขียนเป็นความสัมพนัธ์ไดด้งัน้ี ความเครียด = ขนาดที่เปลี่ยนแปลงไป ขนาดความยาวเดิม และเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี ε = δ L เมื่อ ε (Epsilon) คือ ความเครียด (Delta) คือ ขนาดที่เปลี่ยนแปลงไป L คือ ขนาดความยาวเดิม หมายหตุ ความเครียดไม่มีหน่วย ความเครียดแบ่งออกเป็น 3 ชนิด โดยแบ่งตามลกัษณะของแรงที่กระทา คือ 2.2.1 ความเครียดดึง (Tensile Strain) ใช้สัญลักษณ์ εt จะเกิดข้ึนเมื่อวตัถุถูกกระท า ดว้ยแรงดึงตามแนวแกนเพิ่มข้ึนอยา่งชา้ๆจนเท่ากบัแรงที่กา หนด วตัถุน้ีก็จะเกิดการยดืออกที ละน้อยตามขนาดของแรงดึงที่เพิ่มข้ึน และจะสิ้นสุดตามแรงที่กา หนดเช่นกนั โดยขณะที่ท่อน วตัถุยดืออกก็จะเกิดการหดตามแนวดิ่งของท่อนวตัถุน้นัการเปลี่ยนแปลงน้ีทา ใหว้ตัถุเกิด
13 ความเครียดดึงข้ึนดังภาพที่ 2.7 ความเครียดดึงที่เกิดข้ึนมีค่าเท่ากบัขนาดของความยาวที่ เปลี่ยนแปลงไปต่อขนาดความยาวเดิม สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี εt = δ L ภาพที่ 2.7การเกิดความเครียดดึง (Tensile Strain) ตัวอย่างที่ 14ลวดยาว 1 m อยภู่ายใตแ้รงดึง ทา ใหย้ดืออก2.5 mm จงหาความเครียด (Strain) วิธีท า จากสมการ εt = δ L เมื่อ = 2.5 mm และ L = 1 × 103 mm แทนค่า εt = 2.5 1×103 = 0.0025 ความเครียด (Strain)เท่ากบั 0.0025 ตอบ 2.2.2 ความเครียดอัด (Compressive Strain) ใช้สัญลักษณ์ εc จะเกิดข้ึนเมื่อวตัถุถูก กระท าด้วยแรงกดอัดตามแนวแกนเพิ่มข้ึนอยา่งชา้ๆจนเท่ากบัแรงที่กา หนด วตัถุน้ีก็จะเกิดการ หดตัวทีละน้อยตามขนาดของแรงอัด(F)ที่เพิ่มข้ึนและจะสิ้นสุดตามแรงที่กา หนดเช่นกนัทา ใหวัตถุ ้ เกิดการหดตวัตามแนวดิ่งและขยายตัวออกด้านข้างของวตัถุน้นั การเปลี่ยนแปลงน้ีทา ใหว้ตัถุเกิด ความเครียดอัดข้ึน ความเครียดอดัที่เกิดข้ึนมีค่าเท่ากบัขนาดของความยาวที่เปลี่ยนแปลงไปต่อ ขนาดความยาวเดิม ดังภาพที่ 2.8 สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี εc = δ L
14 ภาพที่ 2.8 การเกิดความเครียดอัด (Compressive Strain) ตัวอย่างที่ 15 ท่อนคอนกรีตทรงกระบอกยาว30 cm ขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 10 cm รับแรงอัดตาม แนวแกนขนาด 700 N ทา ใหเ้กิดการหดตวั 0.02 cm จงคา นวณหาค่าความเคน้อดัเฉลี่ยที่เกิดข้ึน บนหนา้ตดัของท่อนคอนกรีตและความเครียด วิธีท า จากสมการ σc = F A เมื่อ F = 700 N และ A = 4 × 0.012 แทนค่า σc = 2 0.01 700 4 = 8,912,676.813 N/m 2 ความเค้นอัดเฉลี่ยเท่ากบั 8.91 MN/m 2 ตอบ จากสมการ εc = δ L เมื่อ = 0.02 cm และ L = 30 cm แทนค่า εc = 30 0.02 = 0.00067 ความเครียดอดัเท่ากบั 0.00067 ตอบ 2.2.3 ความเครียดเฉือน (Shear Strain) ใช้สัญลักษณ์ (Gramma) จะเกิดข้ึนเมื่อวตัถุถูก แรงกระทา ทางดา้นขา้งเกิดการเอียงไปจากแนวแกนเดิม เป็ นระยะ มุม θ ความเครียดเฉือน สามารถหาได้จากระยะที่เคลื่อนที่ไปต่อระยะห่างระหวา่งระนาบ ดังภาพที่ 2.9 เขียนเป็ นสมการ ไดด้งัน้ี = δ L
15 ภาพที่ 2.9การเกิดความเครียดเฉือน (Shear Strain) จากภาพที่ 2.9 จะไดว้า่ tan θ = δ L และ = δ L ดงัน้นั γ = tan θ แต่เนื่องจากมุม θ ที่เอียงไปมีค่าน้อยมากในกรณีวัดเป็ นองศาเรเดียน ดงัน้นั γ = θ เรเดียน เมื่อ คือ ความเค้นเฉือน คือ ระยะที่เคลื่อนไป (m) L คือระยะห่างระหวา่งระนาบ (m) θ คือ มุมที่เปลี่ยนไป (rad) ตัวอย่างที่ 16แท่งโลหะดงัภาพ ถูกแรง 20 kN กระทา ทา ใหเ้กิดการเอียงไป 3 mm จงค านวณหา ความเครียดเฉือนท่อนโลหะและมุมที่เปลี่ยนไป(องศา) วิธีท า จากสมการ = δ L เมื่อ L = 20×10= 200 mm และ = 3 mm แทนค่า = 200 3 = 0.015 ความเครียดเฉือนท่อนโลหะเท่ากบั 0.015 ตอบ จากสมการ γ = tan θ แทนค่า tan θ = 0.015
16 θ = 0.86 องศา หรือจากความสัมพันธ์ γ = θ เรเดียน ดงัน้นั 0.015 เรเดียน = 2 360 0.015 = 0.86 องศา มุมที่เปลี่ยนไป 0.86 องศา ตอบ 2.2.4 อัตราส่วนปัวซอง (Poisson Ratio) ภาพที่ 2.8แสดงการเกิดอตัราส่วนปัวซอง จากภาพที่ 2.8 เมื่อมีแรงมากระท าวัตถุจะเกิดความเครียดท้งั 3 ชนิด โดยขณะที่ ขนาดของวตัถุเกิดการเปลี่ยนแปลงไปจะท าให้ความยาวของวัตถุเปลี่ยนตามไปด้วย ดงัน้นั ความเครียดที่เกิดข้ึนในลักษณะจะเป็ นความเครียดในแนวยาว( εL) แต่ถา้พิจารณาวตัถุที่ไดร้ับ แรงกระท าให้ละเอียด จะพบวา่การเปลี่ยนแปลงขนาดของวตัถุน้นัจะมีการเปลี่ยนแปลงไปพร้อม กนัทุก ๆด้าน นนั่คือนอกจากจะเปลี่ยนแปลงตามแนวยาวแล้วยังมีเปลี่ยนแปลงทางด้านข้างด้วย (Lateral Strain, εd) โดยความสัมพันธ์ของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดข้ึนน้ีเรียกวา่อตัราส่วนปัวซอง มีค่าเท่ากบัความเครียดดา้นขา้งต่อความเครียดตามแนวยาว ซ่ึงเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี อตัราส่วนปัวซอง = ความเครียดด้านข้าง ความเครียดตามแนวยาว = εd εL เมื่อกา หนดให้ คือ อตัราส่วนปัวซอง εd คือ ความเครียดด้านข้าง = δd d εL คือ ความเครียดในแนวยาว = δ L หมายเหตุ ในทางวิศวกรรม ค่า จะมีอยรู่ะหวา่ง 0.25 – 0.33
17 2.3 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด วสัดุใดถา้สามารถกลบัมาอยใู่นสภาพเดิม (ขนาดยาวเท่าเดิม)ไดเ้มื่อปล่อยแรงที่กระทา เรา เรียกวตัถุน้นัวา่วสัดุที่ยดืตวัได้(Elastic Material) 2.3.1 คุณลกัษณะทางกลของวสัดุ(Mechanical Properties of Material) คุณสมบตัิต่างๆ ของวัสดุเป็นสิ่งสา คญั ในการเลือกใชว้สัดุต่างๆที่จะมาท าโครงสร้าง ในงานต่าง ๆทางเครื่องจักรกล เช่น คุณสมบตัิเชิงกลของวสัดุโดยเฉพาะกา ลงัของวสัดุ การ ทดสอบวัสดุที่ส าคัญอันหนึ่งคือการทดสอบโดยใช้แรงดึง(ดังภาพที่2.9) โดยเฉพาะวัสดุเหนียว เช่น เหล็ก จะพบวา่ความเคน้จะเป็นปฏิภาคโดยตรงกบัความเครียดในช่วงระยะหน่ึง แต่เมื่อผา่น ช่วงน้ีไปแลว้ความสัมพนัธ์ดงักล่าวจะไม่เป็นปฏิภาคโดยตรงต่อไปอีก ซึ่งสามารถน ามาเขียนกราฟ แสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้กบัความเครียดทุกระยจนกระทงั่ขาดจากกนั กราฟของวัสดุ เหนียวต่างๆที่ไดจ้ะมีลกัษณะคลา้ยคลึงกนัดงัภาพที่2.10 ภาพที่ 2.9 เครื่องทดสอบความเค้นและความเครียด ภาพที่ 2.10กราฟความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด
18 จากภาพที่ 2.10 กราฟมีจุดที่สา คญัต่างๆ ดงัต่อไปน้ี 1)จาก 0-a กราฟเป็นเส้นตรง แสดงว่า แรงเป็นปฏิภาคโดยตรงกบัส่วนที่ยืดออก หรือ ความเคน้เป็นปฏิภาคโดยตรงกบัความเครียด 2)จุด a เรียกวา่ Proportional limit เป็นจุดสุดทา้ยที่กราฟเป็นเส้นตรงหลงัจากจุดน้ีความ เคน้จะไม่เป็นปฏิภาคโดยตรงกบัความเครียด 3)จุด b เรียกวา่ Elastic limit เป็นจุดสุดทา้ยที่ความยาวของวสัดุจะกลบัมายาวเท่าเดิมเมื่อ ปล่อยแรงจาก0-b วัสดุเป็ นแบบ Elastic 4)จุด c เรียกว่า Yield point เป็นจุดที่วสัดุยืดตวัออกโดยไม่ตอ้งเพิ่มแรงความเคน้ที่จุดน้ี เรียกวา่ Yield stress (y) 5)จุด c-e เป็ นการเปลี่ยนแปลงแบบ Plastic นนั่คือจุดที่วตัถุยืดออกถาวรถา้ปล่อยแรงจะ ไม่หดกลบัมา 6)จาก 0-d การยดืเกิดข้ึนทุกส่วนตลอด Gauge length 7)จาก d-e การยืดเกิดข้ึนอย่างรวดเร็ว เฉพาะบริเวณที่จะหักหรือขาดเท่าน้ันมีคอคอด เกิดข้ึน 8)จุด d เป็ นจุดที่มี Stress สูงสุดเรียกวา่ Tensile Strength ของวสัดุหรือเรียกวา่ Ultimate Tensile ค านวณได้จาก แรงที่จุด d พ้นที่ ืหนา้ตดัเดิม เรียกวา่ u 9)จุด e เรียกวา่ Rupture point หรือ Breaking point เป็ นจุดที่วัสดุขาด จากกราฟ stress – strain จะเห็นวา่มีค่าความเคน้ 2ค่าที่มีความสา คญัที่สุดของวสัดุนนั่คือ yield stress ( y ) และ Tensile strength ( u ) ซ่ึงค่าท้งัสองน้ีของวสัดุต่างๆ ไดม้ีการทดสอบ แลว้ซ่ึงสามารถดูไดจ้ากหนงัสือคู่มือของวสัดุ ส าหรับวัสดุที่เปราะ เช่น เหล็กหล่อ กราฟระหวา่งความเคน้และความเครียดจะผดิไปจาก เหล็กเหนียว เพราะวสัดุเปราะน้ีจะมีส่วนผสมของคาร์บอนในเน้ือเหล็กมาก ท าให้วัสดุมีความแข็ง แต่ขณะที่เดียวกนัก็จะเปราะ กราฟที่ได้จะมีลักษณะดังภาพที่ 2.11 ภาพที่ 2.11กราฟความสัมพนัธ์ระหวา่ง และ
19 วสัดุเปราะน้นัจะยดืตวัไม่ไดม้ากก่อนที่จะขาดออกจากกนั และกราฟไม่แสดงใหเ้ห็นถึง จุดคราก ถา้ตอ้งการที่จะหาจุดที่เทียบกบัจุดน้ีเพื่อใชใ้นการคา นวณ ก็อาจจะกระทา ไดโ้ดยการ ลากเส้น ณ 0.2% ของความเครียดขนานไปกบัส่วนที่เป็นเส้นตรงไปตดักราฟที่จุด f ความเค้น ที่จุด f น้ีเรียกวา่ 0.2% (ความเค้นพิสูจน์) สา หรับค่าความเหนียวของวสัดุโดยมาตรฐานจะวัดเป็ น เปอร์เซ็นต์การยืด (Percentage of Elongation) เราสามารถจะหาไดจ้ากสมการดงัน้ี เปอร์เซ็นต์การยืด = ความยาวหลังสุด−ความยาวเดิม ความยาวเดิม × 100 = Li−L0 L0 × 100 โดยกา หนดให้L0 = ความยาวเดิม และ Li = ความยาวหลังสุด และเปอร์เซ็นต์ของการลดลงของพ้ืนที่หนา้ตดั (Percentage of Area Reduction) จะหาได้จาก สมการดงัน้ี เปอร์เซ็นต์การลดลงของพ้ืนที่หนา้ตดั = พ้ืนที่หนา้ตดัเดิม−พ้ืนที่หนา้ตดัส่วนที่คอด พ้ืนที่หนา้ตดัเดิม × 100 = A0−Ai A0 × 100 โดยกา หนดให้A0 = พ้ืนที่หนา้ตดัเดิม และ Ai = พ้ืนที่หนา้ตดัส่วนที่คอด ค่าเปอร์เซ็นตก์ารยดืและเปอร์เซ็นตก์ารลดลงพ้ืนที่หนา้ตดัน้ีเป็นค่าที่ใชว้ดัความเหนียว ของวัตถุ วสัดุที่เหนียวมากจะมีค่าท้งัสองน้ีสูงเพราะการยดืตวัมากและพ้ืนที่หนา้ตดัลดลงมาก ก่อนที่จะขาดจากกนั สา หรับหลกัโครงสร้างโดยทวั่ ไปเปอร์เซ็นตก์ารลดลงของหนา้ตดัจะอยทู่ ี่ 60 ถึง 70 เปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างที่17 ชิ้นทดลองใชใ้นการทดสอบแรงดึงขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 10 มิลลิเมตร, gauge length 50 มิลลิเมตรผลการทดสอบมีดังน้ี แรงที่จุด yield = 25.3 กิโลนิวตนั แรงสูงสุด = 37.95 กิโลนิวตนั ความยาวสุดทา้ยระหวา่ง Guage Points ตอนขาด = 63.5 มิลลิเมตร ขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางตรงจุดขาด = 7.5 มิลลิเมตร จงหา stress ที่yield point σy, Tensile Strength σu, เปอร์เซ็นต์การยืดตัวและเปอร์เซ็นต์การ ลดลงของพ้ืนที่หนา้ตดั วิธีท า พ้ืนที่หน้าตัดเดิม (A0 ) = πD2 4 = π(10) 2 4 = 78.54 mm 2 ก) yield point σy = 25.3×103 78.54 = 322.1 N/mm2 ,MN/m2 ค่า yield point σy เท่ากบั 322.1 MN/m2 ตอบ
20 ข) Tensile strength σu = 37.95×103 78.54 = 483.2 N/mm2 ,MN/m2 Tensile strength σu เท่ากบั 483.2 MN/m2 ตอบ ค) เปอร์เซ็นต์การยึดตัว= Li−L0 L0 × 100 = 63.5−50 50 × 100 = 27 เปอร์เซ็นตก์ารยดืตวัเท่ากบั 27 ตอบ ง) เปอร์เซ็นต์การลดลงของพ้ืนที่หนา้ตดั = A0−Ai A0 × 100 = (102) 4 − (7.5 2) 4 (102) 4 × 100 = 43.75 เปอร์เซ็นต์การลดลงของพ้ืนที่หนา้ตดัเท่ากบั 43.75 ตอบ 2.3.2กฎของฮุด Young’s Modulus และ Modulus of Rigidity จากภาพที่ 2.10 จะเห็นวา่ช่วง 0- a กราฟจะมีลักษณะเป็ นเส้นตรง และจากการ ทดลองของ Robert Hooke ที่ทดลองดึงสปริงในปี ค.ศ 1678 ได้สรุปเป็ นความสัมพันธ์ดงัน้ีแรง ที่ใชใ้นการดึง(หรืออดั)จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกบัส่วนที่ยืดออก(หรือหดเขา้) เมื่อนา ความสัมพนัธ์ น้ีไปใชก้บัการทดสอบวสัดุดว้ยการดึงดว้ยเครื่องทดสอบดงัภาพที่ 2.10 จะไดว้า่ช่วงของ Elastic Limit (ที่จริงตอ้งเป็นช่วงProportional Limit) จะมีความสัมพนัธ์ดงัน้ี ความเค้น(Stress,σ)จะเป็ น ปฏิภาคโดยตรงกบัส่วนที่ยดืออก(Strain, ε) ซึ่งเป็ นไปตามกฎของ Hooke ’s law ซึ่งเขียนเป็ น ความสัมพันธ์ไดด้งัน้ี stress strain = σ ε = ค่าคงที่ 2.3.2.1 ส าหรับวัตถุที่ได้รับแรงดึง หรือแรงอัด ค่าคงที่น้ีเรียกวา่ โมดูลสัความยดืหยุน่ (Modulus of Elasticity) หรือโมดูลัส ของยัง (Young’s Modulus) ใช้สัญลักษณ์E มีหน่วยเหมือนกบัความเคน้คือ N/m2 , Pa , lbf /in2 หรือ Psi เขียนเป็ นสมการไดด้งัน้ี E = σ ε เมื่อ σ = F A และ ε = δ L แทนค่าจะได ้ E = FL Aδ หรือ = FL AE = σL E 2.3.2.2 ส าหรับวัตถุที่ได้รับแรงเฉือน ค่าคงที่ของวตัถุน้ีเรียกวา่ โมดูลัสของความเฉือน(Modulus of Rigidity) ใช้สัญลักษณ์ G (ส.ป.ส.ความแกร่งของเน้ือวสัดุ)มีหน่วยเหมือนกบัความเคน้คือ N/m2 , Pa , lbf /in2 หรือ Psi เขียนเป็ นสมการไดด้งัน้ี
21 G = τ γ เมื่อ G คือ โมดูลัสของความเฉือน (modulus of rigidity) มีหน่วยเป็น N/m2 τ คือ ความเค้นเฉือน มีหน่วยเป็น N/m2 γ คือความเครียดเฉือน มีหน่วยเป็นเรเดียน 2.3.2.3 สา หรับอตัราส่วน Poisson จากสมการ = εd εL ในที่น้ี εL (ความเครียดในแนวยาว) = δ E (จากกฎของฮุค) แทนค่าจะได้ = εdE δ หรือ εd = νδ E เมื่อ εd คือ ความเครียดด้านข้าง ตัวอย่างที่ 18 เหล็กเส้นกลมขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 20 mm อยภู่ายใตแ้รงดึง 40 kN จงหา ก) Stress ข) Strain ค) ส่วนที่ยดืออกถา้มีความยาว200 mm ให้ E = 200 GN/m 2 วิธีท า ก. หา Stress () จากสมการ σt = F A เมื่อ F = 40 ×103 N, A = 4 2 d และ d = 20 mm แทนค่า σt = 2 3 20 40 10 4 = 127.39 N/mm2 , MN/m2 Stress เท่ากบั 127.39 MN/m2 ตอบ ข. หาStrain () จากสมการ E = σ ε หรือ ε = σ E เมื่อ = 127.39 N/mm2 และ E = 200 ×103 N/mm2 แทนค่า ε = 3 200 10 127.39 = 0.00064 Strain เท่ากบั = 0.00064 ตอบ ค. หาส่วนที่ยดืออก ( ) จากสมการ δ = σL E เมื่อ = 127.39 N/mm2 , L= 200 mm และ E = 200 ×103 N/mm2
22 แทนค่า δ = 127.39×200 200×103 = 0.1273 mm ส่วนที่ยดืออก เท่ากบั = 0.1273 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 19แท่งยางอนัหน่ึงยาว800 mm กว้าง 25 mm และมีความสูง 520 mm ยดึส่วน ดา้นล่างไวแ้น่น ส่วนดา้นบนอยภู่ายใตแ้รง 600 N ซ่ึงกระทา ขนานกบัผวิดา้นบนทา ใหเ้คลื่อนที่ ไป 15 mm เทียบกบัผวิดา้นล่าง จงหาโมดูลัสความเค้นเฉือนของยาง วิธีท า จากสมการ τ = F A เมื่อ F = 600 N และ A = 25 × 520 = 13,000 mm2 แทนค่า τ = 600 13,000 = 0.04615 N/mm2 และ ε = δ L เมื่อ δ = 15 mm และ L = 800 mm ε = 15 800 = 0.01875 และ G = τ ε = 0.04615 0.01875 = 2.461 N/mm2 ∴ ค่าโมดูลสัของความเฉือนเท่ากบั 2.461 N/mm2 ตอบ ตัวอย่างที่ 20แขวนวตัถุชิ้นหน่ึงไวท้ี่ปลายเส้นลวดซ่ึงมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 3 mm ยาว4.5 m ท าให้เส้นลวดยืดออก 2 mm จงหามวลของวตัถุน้ีถา้ให ้ E = 205 GN/m2 วิธีท า จากสมการ δ = FL AE เมื่อ A = 4 (32 )= 7.0685 mm2 L = 4.5 × 1,000 mm และ δ = 2 mm แทนค่า 2 = F×4.5×1,000 7.0685×205×103 F = 644.0188 N และจากสมการ F = mg m = F g = 644.0188 9.81 = 65.6492 kg ∴ มวลของวตัถุน้ีเท่ากบั 65.6492 kg ตอบ ตัวอย่างที่ 21แท่งโลหะขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 25 mm มีแรงดึงในแนวแกน 100 kN ชิ้นงานยาว 200 mm ปรากฏวา่แท่งโลหะน้ียาวเพิ่มข้ึน 0.19×10-3 m ให้หา E ของวัสดุ
23 วิธีท า หาค่า E จากสมการ E = FL Aδ เมื่อ F = 100×103 N, A = 4 2 d ,d = 25 mm L = 200 mm และ = 0.19×10-3 ×103 mm แทนค่า E = 25 0.19 100 10 200 4 2 3 = 214,549.1116 N/mm2 = 214,549.1116 MN/m2 = 214.549 GN/m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 22จากโจทย์เดิมข้อ 20ถา้ตอ้งการการลดน้า หนกั โดยการเจาะรูตรงกลางตามแกนให้ หาขนาดของรูที่เจาะน้ีเพื่อใหส้ามารถรับความเคน้ดึงไดไ้ม่เกิน 240 MN/m2 วิธีท า หาขนาดรูที่เจาะ(d) จากสมการ σt = F A หรือ A = F σt เมื่อ F = 100 ×103 N , t = 240 N/mm2 A = 4 ( D 2 – d 2 ), D = 25 mm แทนค่า 4 ( 252 -d 2 ) = 240 100 103 490.625 – 0.785 d 2 = 416.67 d = 0.785 490.625 416.67 ขนาดของรูที่เจาะ = 9.71 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 23 โจทยต์ ่อเนื่องจากขอ้ 20และข้อ 21 ใหห้าขนาดเส้นผา่นศูนย์กลางภายนอกที่ เปลี่ยนแปลงไป ถา้แรงที่กระทา และความเคน้ สูงสุดยงัเท่าเดิม ใหอ้ตัราส่วนปัวซอง= 0.3 วิธีท า หาขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางภายนอกที่เปลี่ยนไป (การเปลี่ยนแปลงทางด้านข้าง: d ) จากสมการ εd = νδ E และ εd = δd d ดงัน้นั δd = νδd E เมื่อ ν = 0.3, = 0.19 mm, D = 25 mm และ E= 214549.116 N/mm2 แทนค่า δd = 0.3 0.19 25 214549.116
24 ขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางภายนอกที่เปลี่ยนแปลงไป = 6.64 10-6 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 24 เหล็กกลมมีพ้ืนที่หน้าตัด 100 mm2 อยภู่ายใตแ้รงดงัภาพ จงหาขนาดที่ยืดออกถ้า E = 205 GN/m2 วิธีท า หาส่วนที่ยืดออกในท่อน AB จากสมการ δAB = FABLAB AABE เมื่อ FAB = 10 103 N , LAB = 2 103 mm AAB = 100 mm 2 , EAB = 205 103 N/mm2 แทนค่า ท่อน AB ยืดออก = 3 3 3 100 205 10 10 10 2 10 = 0.976 mm หาส่วนที่ยืดออกในท่อน BC จากสมการ δBC = FBCLBC ABCE เมื่อ FBC = 5 103 N , LBC = 1 103 mm ABC = 100 mm 2 , E = 205 10 3 N/mm2 แทนค่า ท่อน BC ยืดออก = 3 3 3 100 205 10 5 10 1 10 = 0.244 mm หาส่วนที่ยดืออกในท่อน CD A B C D 10 kN 8 kN 2 m 1 m 2 m 5 kN 3 kN 5 kN (แรงดึง) A B C 10 kN A 10 kN 10 kN (แรงภายในท่อ AB) (แรงดึง) B
25 จากสมการ δCD = FCDLCD ACDE เมื่อ FCD = 8 103 N, LCD = 2 103 mm ACD = 100 mm 2 , E = 205 103 N/mm2 แทนค่า ท่อน CD ยืดออก = 3 3 3 100 205 10 8 10 2 10 = 0.780 mm ขนาดที่ยดืออกท้งัหมด = 0.976 +0.244 +0.780 = 2 mm ตอบ 2.3.3 ค่าความปลอดภัย (Design Factor or Safety of Factor,N) ค่าความเคน้ สูงสุดที่ได้จากการน าชิ้นงานมาทดสอบด้วยเครื่องทดสอบของวสัดุน้นั ในทางวิศวกรรมไม่สามารถที่จะนา ค่าที่ไดน้ ้นั มาใช้ในการออกแบบหรือค านวณได้เลย เพราะ แรงหรือน้า หนกัที่เกิดข้ึนจริงในโครงสร้างน้นัอาจจะสูงกวา่ค่าที่ใช้ในการทดสอบชิ้นงาน ซึ่ง จะส่งผลท าให้ชิ้นงานหรือโครงสร้างเหล่าน้นัเกิดการชา รุดเสียหายหรือพงัทะลาย ดงัน้นั ในทางปฏิบตัิถา้ใชค้่าความเคน้ที่มีค่าต่า กวา่ค่า Yield Stress มากเท่าไร จะท าให้ชิ้นงานหรือ โครงสร้างน้นัเกิดการชา รุดเสียหายหรือพงัทะลายนอ้ยลง เช่น ถา้วตัถุมีYield Stress เท่ากบั 150 MN/m2 ในการออกแบบอาจจะใชค้่าความเคน้เพียง20 MN/m2 เมื่อน าค่าความเคน้ของวตัถุคือ 150 MN/m2 หารหารดว้ยค่าความเคน้ที่ใชง้านคือ20 MN/m2 ค่าที่ไดคือ เลข ้ 7.5 ซ่ึงค่าน้ีเรียกวา่ตวั ประกอบในการออกแบบ (Design Factor) หรืออาจเรียกวา่ ตัวประกอบความปลอดภัย (Safety of Factor) ซ่ึงสามารถแบ่งไดด้งัน้ี 1) กรณีใชค้่าความเคน้ สูงสุดของวสัดุเป็นเกณฑจ์ะได้ ค่าความปลอดภยั = ค่าความเคน้ สูงสุด ค่าความเคน้ ใชง้าน N = σu σw 2) กรณีใชค้่าความเคน้ครากของวสัดุเป็นเกณฑจ์ะได้ ค่าความปลอดภยั = ค่าความเคน้คราก ค่าความเคน้ ใชง้าน N = σy σw 3) กรณีที่วสัดุไม่มีจุดครากชดัเจน เช่น วัสดุเปราะก็จะใชค้วามเคน้พิสูจน์เป็น เกณฑ์ซ่ึงจะไดว้า่ ค่าความปลอดภยั = ค่าความเคน้พิสูจน์ ค่าความเคน้ ใชง้าน
26 N = σ0.2 σw ตัวอย่างที่25 เหล็กเส้นจะมีขนาดเท่าใด ถา้ความเคน้ดึงสูงสุดมีค่า 435 N/mm2 อยภู่ายใตแ้รงดึง 12 kN โดยค่าความปลอดภยัเท่ากบั 8 วิธีท าจากสมการ σ = F A ดงัน้นั A = F σ เมื่อ F = 12 kN = 12×103 N และ σw = σu N = 435 8 = 54.375 N/mm2 แทนค่า A = 12×103 54.375 πd 2 4 = 220.689 d = 16.762 mm เหล็กเส้นจะมีขนาดเท่ากบั 16.762 mm ตอบ ตัวอย่างที่ 26จงหาขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางของกา้นสูบทา จาก Mild Steel เพื่อรับแรงดึงสูงสุด 560 kN ถ้า Tensile strength ของวัสดุ = 420 MN/m2 กา หนดให้Design Factor = 14 วิธีท า หาขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางของกา้นสูบ (d ) จากสมการ d = u N เมื่อ u = 420 N/mm 2 และ N = 14 แทนค่า d = 14 420 = 30 N/mm 2 จากสมการ t = A F เมื่อ A F = d = 30 N/mm 2 , F= 560 103 N และ A= 4 2 πd แทนค่า 30 = 3 2 560 10 4 d d = 30π 560 10 4 3 ขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางกา้นสูบ = 154.2 mm ตอบ
27 ตัวอย่างที่ 27 เหล็กเส้นกลมยาว 10 m ขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 3 mm อยภู่ายใตแ้รงดึง 600 N จงหา ก)Stress ข) ส่วนที่ยดืออกถา้ Modulus of Elasticity = 210 GN/m2 ค) Design Factor ถ้า Tensile strength = 500 MN/m2 วิธีท า ก) หา Stress จากสมการ σt = F A เมื่อ F = 600 N ,A = 2 d 4 และd = 3 mm แทนค่า σt = 2 π 3 6004 = 84.926 N/mm2 ตอบ ข) หาส่วนที่ยดืออกถา้ Modulus of Elasticity = 210 GN/m2 จากสมการ δ = σL E เมื่อ = 84.926 N/mm2 , L = 10 103 mm และ E = 210 103 N/mm2 แทนค่า (ส่วนที่ยดืออก) = 3 3 84.926 10 10 210 10 = 4.04 mm ตอบ ค) หา Design Factor ( N ) ถ้า Tensile Strength = 500 MN/m2 จากสมการ σd = σu N หรือ N = σu σd เมื่อ σu = 500 N/mm2 และ σd = σt = 84.926 N/mm2 แทนค่า N = 84.926 500 = 5.9 ตอบ 2.4 ความเค้นและความเครียดทเี่กดิจากอณุหภูมเิปลยี่นแปลง (Temperature stress) เมื่อวตัถุไดร้ับอุณหภูมิเพิ่มข้ึนก็จะเกิดการขยายตัว ในขณะเดียวกนัเมื่อวตัถุมีอุณหภูมิ ลดลงก็จะเกิดการหดตัว แต่ถา้หากมีการบงัคบัไม่ใหว้ตัถุขยายตวัหรือหดตวัจะเกิดความเคน้และ ความเครียดข้ึนภายในเน้ือวตัถุ ดังภาพที่ 2.12
28 ก)อุณหภูมิปกติวัตถุยาว = L ข)วตัถุไดร้ับอุณหภูมิเพิ่มข้ึน t ปล่อยใหข้ยายตวัอิสระ= L t ค)วตัถุไดร้ับอุณหภูมิเพิ่มข้ึน t บงัคบัไม่ใหข้ยายตวัวตัถุจึงไดร้ับแรงอดั ภาพที่ 2.12แสดงความเคน้และความเครียดที่เกิดจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลง (Temperature stress) จากภาพที่ 2.12 วัตถุมีความยาวเดิมเท่ากบั L ได้ความร้อนทา ใหม้ีอุณหภูมิเพิ่มข้ึนจาก เดิมเท่ากบั t องศา และ สัมประสิทธ์ิการขยายตัวเชิงเส้น(Linear coefficient of expansion )ของ วัตถุคือ ( ) มีหน่วยเป็น / c ซ่ึงเป็นค่าการยดืหดตวัต่อหน่ึงหน่วยความยาวต่ออุณหภูมิที่ เปลี่ยนแปลงไปหนึ่งองศา ดงัน้นัวัตถุจะเกิดการขยายตัวเท่ากบั L t ถา้บงัคบัไม่ใหว้ตัถุ ขยายตวัความยาวที่เพิ่มข้ึนจากการขยายตวั ( L t) จะเปลี่ยนเป็ นแรงอัดเพื่อท าให้วัตถุมีความยาว เท่าเดิม เมื่อแรงน้ีกระทา ต่อพ้ืนที่หนา้ตดัจะทา ใหเ้กิดความเคน้ข้ึนซ่ึงค่าความเคน้น้ีจะเป็ นความ เค้นอัด (Compressive stress ตวัยอ่ c ) ในขณะเดียวกนัถา้วตัถุถูกลดอุณหภูมิลงและบังคับ ไม่ใหห้ดตวัจะเกิดความเคน้ดึง (Tensile Stress ตวัยอ่ t ) และในขณะที่วัตถุได้รับอุณหภูมิ เพิ่มข้ึนหรือลดลงและบงัคบัไม่ใหข้ยายตวัหรือหดตัว นอกจากจะเกิดความเคน้แลว้ยงัเกิด ความเครียดข้ึนดว้ยซ่ึงสามารถเขียนเป็นสมการความสัมพนัธ์ไดด้งัน้ี ε = δ L เมื่อ = L t และ L = L + L t ความเครียดที่เกิดจากอุณหภูมิ( ε ) = αLt L+αLt = αt 1+αt แต่เนื่องจาก ของวตัถุมีค่านอ้ยมาก ดงัน้นั 1+ αt ≈ 1 ดงัน้นั ε = αt และจากสมการ = E หรือ = ε E ดงัน้นัความเคน้ที่เกิดจากอุณหภูมิเพิ่มข้ึนหรือลดลงหาได้จากสมการ
29 = αt E ตัวอย่างที่ 28 รางรถไฟสายหน่ึงไม่มีStress ในรางเมื่ออุณหภูมิ 25 c จงหาStress ในรางเมื่อ อุณหภูมิลดลงเหลือ 5 c ถา้ยดึรางไวแ้น่นไม่ใหห้ดตวัได้กา หนดให้ส.ป.ส.ของการขยายตัว ตามเส้น ( ) =0.000012 / c และ E = 205 GN/m2 ถ้ามีที่ให้รางหดตัวได้ 5 mm Stressจะมี ค่าเท่าใดที่อุณหภูมิลดลงเหลือ 5 c ถ้ารางยาว 30 m วิธีท า หา stress ในรางเมื่ออุณหภูมิลดลงเหลือ 5 ºc จากสมการ = αt E เมื่อ = 0.000012 / c , t= อุณหภูมิที่เปลี่ยนแปลงไป = 25 – 5= 20 c และ E = 205 103 N/mm 2 = 0.000012 20 205 103 = 49.20 N/mm 2 , MN/m 2 ตอบ หา Stress ในรางถ้าให้หดตัวได้ 5 mm ที่อุณหภูมิลดลงเหลือ 5 ºc ข้อสังเกต ขณะที่อุณหภูมิลดลงเหลือ5 ºc จะเห็นวา่ถา้ใหร้างหดตวัอิสระอาจจะหดตวัมากกวา่ 5 mm ก็ได ้ดงัน้นัตอ้งหาระยะหดตวัที่แทจ้ริง หาระยะหดตัว จากสมการ δ = FL AE หรือ δ = σL E เมื่อ = 49.20 N/mm 2 , L = 30 103 mm และE = 205 103 N/mm 2 (ระยะหดตัว) = 3 3 49.20 × 30 × 10 205 × 10 = 7.20 mm แต่โจทย์ก าหนดให้ หดตัวได้เพียง 5 mm เพราะฉะน้นัภายในรางจะเกิดความเคน้ข้ึนเพราะยงัเหลือ ระยะหดตัว = 7.20 – 5 = 2.20 mm จากสมการ δ = σL E หรือ σ = δ E L เมื่อ = 2.20 mm , L= 30 103 mm และ E= 205 103 mm Stress ในรางเมื่อหดตัวได้เพียง 5 mm = 3 3 2.20 × 205 × 10 30 × 10 = 15.03 N/mm 2 , MN/m 2 ตอบ ตัวอย่างที่ 29 ท่อน้า ร้อนทองแดงยาว 450 mm ใชต้่อชิ้นส่วนสองชิ้นเขา้ดว้ยกนั จงหา Stress ในท่อถา้อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 140 c ถ้ายึดไม่ใหย้ดืไดเ้ลย และถ้าให้ท่อน้า ร้อนยืดได้ 0.8 mm จงหา
30 Stress ใหม่กา หนดให้ส.ป.ส.ของการขยายตัวตามเส้น = 17 10-6 / c และ E = 103 GN/m 2 วิธีท า หาStress ในท่อถา้อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 140ºc จากสมการ = αt E เมื่อ = 17 10-6 / c , t= 140 c และE = 103 103 N/mm 2 stress ในท่อ = 17 10-6 140 103 103 = 245.14 N/mm 2 , MN/m 2 ตอบ หา Stress ใหม่ถ้าให้ยืดได้ 0.8 mm ข้อสังเกต จะตอ้งหาวา่ที่อุณหภูมิ140 c ท่อจะยาวเพิ่มข้ึนจริงเท่าไรก่อนโดยใหข้ยายตวัอิสระ จากสมการ δ = σ L E เมื่อ = 245.14 N/mm 2 , L= 450 mm และ E= 103 103 N/mm 2 ( ระยะยืดตัวจริง ) = 3 245.14 × 450 103 × 10 = 1.071 mm เมื่อโจทยก์า หนดให ้ยืดได้เพียง 8 mm ยังเหลือระยะอีก = 1.071 – 0.8 = 0.271 mm จากสมการ δ = σ L E หรือ σ = δ E L เมื่อ δ = 0.271 mm, E = 103 103 N / mm2 และ L = 450 mm = 3 0.271 × 103 × 10 450 = 62.029 N/mm 2 , MN/m 2 ตอบ Composite bar คือ ท่อนวสัดุที่เกิดจากวสัดุสองชนิดนา มาติดกนัแน่น ท าให้ยืดหรือ หดได้เท่ากันภายใต้Load เมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลงจะเห็นว่าวสัดุแต่ละชนิด ส.ป.ส.การ ขยายตวัตามแนวยาวไม่เท่ากัน ดังน้ันเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลงจะมีStress เกิดข้ึนเสมอ สมมติใหอุ้ณหภูมิเพิ่มข้ึน t องศา เมื่อพิจารณา Composite bar ดังภาพที่ 2.12 ประกอบด้วย ท่อนตนั 1และสวมอยใู่นท่อกลวง 2 ซ่ึงติดกนัแน่นเพื่อใหย้ดืไดเ้ท่ากนัถา้ให้1 > 2 ก) ภาพเริ่มตน้
31 ข) ใหข้ยายตวัอิสระเมื่ออุณหภูมิเพิ่มข้ึน t องศา ค) เมื่อเป็ น Composite bar จะใหย้ดืหรือหดไดเ้ท่ากนั ภาพที่ 2.12แสดงการเกิด Temperature stress in Composite Bar จากภาพที่ 2.12 ค จะเห็นวา่การที่จะทา ให้วสัดุ1 และ 2 ขยายตวัไดย้าวเท่ากนัวสัดุ1 จะ ไดร้ับแรงกดเท่ากบั Fขณะเดียวกนัวสัดุ2 จะได้รับแรงดึงเท่ากบั F ด้วย นนั่คือ แรงดึง = แรงกด จากภาพที่ 2.12 ค เขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี δ1 = F L A1E1 หรือ δ2 = F L A2E2 จากภาพที่ 2.12 ข และค เขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี δ1 + δ2 = (1L t ) - (2L t ) แทนค่า δ1 และ δ2 ลงในสมการ จะได้ [ F L A1E1 ]+ [ F L A2E2 ] = (1L t ) - (2L t ) F L [ 1 A1E1 + 1 A2E2 ] = L t (1 − 2) น ามา L หารตลอด F [ 1 A1E1 + 1 A2E2 ] = t (1 − 2) F = (α1−α2)t ( 1 A1E1 )+( 1 A2E2 ) และความเค้นในวัสดุ 1 และวัสดุ 2 สามารถหาได้จากสมการ 1 = F A1 และ 2 = F A2 P
32 ข้อควรจ า การใช้สมการเพื่อหาแรงกระทา จะตอ้งเอาค่า ส.ป.ส.ของวัสดุที่ขยายตัวได้มากเป็ น วัสดุ 1 เสมอ ตัวอย่างที่ 30 ท่อนเหล็กตนัขนาดเส้นผา่นศูนย์กลาง 80 mm สอดอยใู่นทองเหลืองซ่ึงมีขนาด เส้นผา่ศูนยก์ลางภายใน 80 mm หนา 10 mm ท้งัสองท่อนยาวเท่ากนั ปลายสองขา้งยดึติดกนัแน่น ถา้อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 100 c จงหา Stress ในเหล็กและทองเหลืองกา หนดให้ส.ป.ส.การขยายตัวตาม เส้นของเหล็ก = 11 10-6 / c ของทองเหลือง = 19 10-6 / c Modulus of Elasticity ของเหล็ก = 206 GN/m 2 ของทองเหลือง = 103 GN/m 2 วิธีท า หา แรง ( F ) ที่กระทา กบัท่อนเหล็กและทองเหลือง จากสมการ F = (α1−α2)t ( 1 A1E1 )+( 1 A2E2 ) เมื่อ 1 ทองเหลอ ื ง = 19 10 -6 / c และ 2 เหลก ็ = 11 10 -6 / c 1 ทองเหลอ ื ง A A = 2 2 D d 4 และ 2 เหลก ็ A A = 2d 4 D 100 mm , d 80 mm , 1 ทองเหลอ ื ง E E = 103 103 N/mm 2 2 เหลก ็ E E = 206 103 N/mm 2 , t 100 c 6 6 2 2 3 3 2 19 10 11 10 100 F 1 1 π π 100 80 103 10 80 206 10 4 4 = 6 2 2 3 3 2 19 11 10 100 1 1 π π 100 80 103 10 80 206 10 4 4 = 6 6 2 2 3 3 2 8 100 10 10 π π 100 80 103 10 80 206 10 4 4
33 F = 181,838.4320 N หาความเค้นในทองเหลือง ( ทองเหลอ ื ง ) จากสมการ 1 = F A1 ความเค้นในทองเหลือง = 2 2 100 80 4 π 181838.4320 = 64.312 N / mm2 , MN/m2 ตอบ หาความเค้นในเหล็ก ( เหลก ็ ) จากสมการ 2 = F A2 ความเค้นในเหล็ก = 2 181838.4320 4 80 = 36.2 N / mm2 , MN/m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 31 ท่อนเหล็กกลมอนัหน่ึงมีท่อทองแดงหุม้อยู่ปลายยดึติดกนัแน่นพ้ืนที่หนา้ตดัของ ทองแดง = ครึ่ งหนึ่งของเหล็ก จงหา Stress ในเหล็กและทองแดงถา้อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 100 c กา หนดใหส้ .ป.ส.การขยายตัวตามเส้นของเหล็ก = 12 10-6 / c ของทองแดง = 17 10-6 / c และ Modulus of Elasticity ของเหล็ก= 206 GN/m 2 ของทองแดง = 103 GN/m 2 วิธีท า หาแรง ( F ) ที่เกิดขึ้นในเหล็กและทองแดง จากสมการ F = (α1−α2)t ( 1 A1E1 )+( 1 A2E2 ) เมื่อ 1 ทองแดง = 17 10-6 / c และ 2 เหลก ็ = 12 10-6 / c 1 ทองแดง A A = เหลก ็ 1 2 A = เหลก ็ 0.5A และ 2 เหลก ็ A A 1 ทองแดง E E = 103 103 N/mm2 , 2 เหลก ็ E E = 206 103 N/mm2 t 100 c 6 6 3 3 เหลก็เหลก็ 17 10 12 10 100 F 1 1 0.5A 103 10 A 206 10 6 6 เหลก็เหลก็ 500 10 10 51500A 206000A
34 เหลก ็ เหลก ็ 500 19.417A 4.854A เหลก ็ 500 24.27A แรงที่กระท า = 20.60 เหลก ็ A N หา stress ในเหล็ก จากสมการ 2 = F A2 ความเค้นในเหล็ก เหลก ็ เหลก ็ 20.60A = A = 20.60 N/mm2 , MN/m2 ตอบ หา stress ในทองแดง จากสมการ 1 = F A1 ความเค้นในทองแดง เหลก ็ เหลก ็ 20.60A = 0.5A 2 2 = 41.20 N/mm , MN/m ตอบ
35 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 2.1 ความเค้น ตอนที่ 1 ให้นักศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.ความเคน้ภายในเน้ือวตัถุคือ และเขียนเป็ นสมการคือ 2. ความเคน้ที่เกิดข้ึนในวตัถุมี ชนิด คือ ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. สายเบรคของรถยนตม์ ีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 12 mm เมื่อออกแรงเหยียบเบรคทา ใหเ้กิดแรง ดึงที่สายเบรคเท่ากบั 2 kN จงหาความเค้นดึงที่สายเบรค 2. เสาเหล็กหล่อมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางภายใน 120 mm รับแรงกด 325 kN ความเคน้อดัไม่ เกิน 60 N/mm2 จงคา นวณหาขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางภายนอก 3. ชายคนหนึ่งมีมวล 100 kg นงั่อยบู่นเกา้อ้ีซ่ึงมีสี่ขา แต่ละขามีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 25 mm เกา้อ้ีแต่ละขามีความเคน้เกิดข้ึนเท่าใด 4. เสาคอนกรีตมีหนา้ตดัเป็นรูปทรงกลวงมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางภายนอก 200 mm รับแรงที่ ใชก้ดเท่ากบั 850 kN โดยความเคน้กดหา้มเกิน 50 N/mm2 จงค านวณหาความหนาของเสา คอนกรีตน้ี 5. เพลาและพลูเลยถ์ูกยดึติดกนัดงัภาพ ถา้โมเมนตท์ ี่ใชใ้นการหมุนเพลาเท่ากบั 1,200 N-m และ ลิ่มมีขนาด 12×12×75 mm จงหาความเคน้เฉือนที่เกิดข้ึนในลิ่ม 6. จากภาพมีแรง Fจ านวน 60 kN กระท ากบัแผน่อะลูมิเนียม ซึ่งหนา 6 mm เพื่อที่จะเจาะรู ขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 25 mm จงคา นวณหารค่าความเคน้เฉือนในแผน่อะลูมิเนียม 7. แผน่นิเกิลหนา 2.5 mm ถูกเจาะโดยใชเ้ครื่องตดัเจาะโลหะแผ่น ให้มีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 20 mm โดยมีความเคน้เฉือนเกิดข้ึนเท่ากบั 320 N/mm2 จงหา ก) แรงที่ใช้ในการตัด ข) ความเค้นอัดที่ตัดเจาะ
36 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 2.2 ความเครียด ตอนที่ 1 ใหน้กัศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.ความเครียด หมายถึง 2. ความเครียดที่เกิดข้ึนในวตัถุมี ชนิด คือ 3. ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียดสามารถหาไดโ้ดยใชเ้ครื่อง 4. จากกราฟความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด จุดสุดทา้ยที่วตัถุยืดออกเมื่อผา่นแรง วตัถุสามารถหดกลบัมายาวเท่าเดิมไดอ้ีกเรียกวา่ 5. จากกฎของฮุด ( Hooke ’s law )ไดก้ล่าวถึงความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้และความเครียด คือ ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. ลวดมีความยาว 1.2 m อยภู่ายใตแ้รงดึงซ่ึงทา ใหย้ดืออกไป 4.5 mm จงหาความเครียดที่ เกิดข้ึน 2. แท่งโลหะดงัภาพ ถูกแรงกระท า 45 kN ทา ใหเ้กิดการเอียงไป 3.8 mm จงค านวณหา ความเครียดเฉือนท่อนโลหะและมุมที่เปลี่ยนไป(องศา) 3. ชิ้นทดลองใชใ้นการทดสอบแรงดึงขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 10 มิลลิเมตร, gauge length 50 มิลลิเมตรผลการทดสอบมีดงัน้ี แรงที่จุด yield = 35 กิโลนิวตนั แรงสูงสุด = 39.85 กิโลนิวตนั ความยาวสุดทา้ยระหวา่ง guage points ตอนขาด = 65.5 มิลลิเมตร ขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางตรงจุดขาด = 6.8 มิลลิเมตร จงหา stress ที่yield point σy, tensile strength σu, เปอร์เซ็นต์การยืดตัวและเปอร์เซ็นต์การลดลง ของพ้ืนที่หนา้ตดั 4. เสาเหล็กมีความยาว 1.5 m มีพ้ืนที่หนา้ตดั 250 mm รับแรงได้ 90 kN ถ้า E ของเหล็ก เท่ากบั 205 GN/m2 จงหาวา่เหล็กจะหดลงเท่าใด 5. เหล็กเส้นกลมมีความยาว4 m อยภู่ายใตแ้รงดึง 25 kN โดยระยะยดืตอ้งไม่เกิน 0.4 mm จงหา ความเคน้ดึงและพ้ืนที่หนา้ตดักา หนดให้E ของเหล็กเท่ากบั 205 GN/m2 6. วสัดุท่อนหน่ึงมีความยาว 3.5 m ถูกดึงด้วยแรง 80 GN โดยวสัดุท่อนน้ีมีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็น สี่เหลี่ยมจตุรัส โดยใหค้วามเคน้ดึงไม่เกิน 110 N/mm2 และ E = 205 GN/m2 จงค านวณหาขนาด และส่วนที่ยดืออกของวสัดุท่อนน้ี 7. เหล็กกลมมี พ้ืนที่หนา้ตดั 100 mm2 อยภู่ายใตแ้รงดงัรูป จงหาขนาดที่ยดืออกถา้ E = 210 GN/m2
37 8. แท่งโลหะขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 30 mm มีแรงดึงในแนวแกน 150 kN ชิ้นงานยาว250 mm ปรากฏวา่แท่งโลหะน้ียาวเพิ่มข้ึน 0.25×10-3 m ให้หา E ของวสัดุและใหห้าขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง ภายนอกที่เปลี่ยนแปลงไป ถา้ ใหอ้ตัราส่วนปัวซอง= 0.32
38 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 2.3 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด ตอนที่ 1 ใหน้กัศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.ค่าความปลอดภยั (Design Factoror Safety of Factor,N) หมายถึง........................................... สามารถแบ่งได้......กรณีคือ................................................................................................................ 2. ความเคน้อดัจากอุณหภูมิเปลี่ยนแปลงเกิดจาก............................................................................. 3. ความเครียดที่เกิดจากอุณหภูมิ( c )สมการคือ........................................................................ 4. Composite bar คือ ...................................................................................................................... ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. เหล็กกลมกลวงมีความยาว 6 m มีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางภายนอก 30 mm และเส้นผา่น ศูนย์กลางภายใน 20 mm อยภู่ายใตแ้รงดึง 25 kN จงหา ก) ความเค้นดึง ข) ส่วนที่ยดืออก ถา้ให้E=205 GN/m2 ค)ค่าความปลอดภยัถา้ใหค้วามเคน้ดึงสูงสุดเท่ากบั 450 N/mm2 2 . จงหาขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางของกา้นสูบทา จาก Mild Steel เพื่อรับแรงดึงสูงสุด 660 kN ถ้า Tensile strength ของวัสดุ = 510 MN/m2 กา หนดให้Design Factor = 14 3. ท่อน้า ร้อนทองแดงยาว 480 mm ใชต้่อชิ้นส่วนสองชิ้นเขา้ดว้ยกนัจงหาStress ในท่อถา้ อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 140 c ถา้ยดึไม่ใหย้ดืไดเ้ลยถา้อนุญาตใหย้ดืได้0.7 mm จงหา Stress ใหม่ กา หนดให้ส.ป.ส.ของการขยายตัวตามเส้น = 16 10-6 / c และ E = 108 GN/m2 4. รางรถไฟยาวท่อนละ10 m ถูกวางห่างใหม้ีช่องวา่ง 4.3 mmที่ปลาย ในขณะที่อุณหภูมิเท่ากบั 25 ºc รางรถไฟน้ีจะแตะกนัพอดีที่อุณหภูมิเท่าใด และถา้ไม่มีช่องวา่งระหวา่งราง ความเคน้ที่ เกิดข้ึนจะมีค่าเท่าใด กา หนดให้ E = 205 GN/m2 และ α = 11.2 × 10-6 ต่อºc 5. ท่อนเหล็กตนัขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 100 mm สอดอยใู่นท่อทองเหลืองซ่ึงมีขนาด เส้นผา่ศูนยก์ลางภายใน 100 mm หนา 12 mm ท้งัสองท่อนยาวเท่ากนั ปลายสองขา้งยดึติดกนัแน่น ถา้อุณหภูมิเพิ่มข้ึน 150 c จงหา Stress ในเหล็กและทองเหลืองกา หนดให้ส.ป.ส.การขยายตัวตาม เส้นของเหล็ก = 12 10-6 / c ของทองเหลือง= 18 10-6 / c Modulus of Elasticity ของเหล็ก = 206 GN/m2 ของทองเหลือง = 103 GN/m2
39 เอกสารอ้างอิง ชนะ กสิภาร์, ความแข็งแรงวัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2528 บรรจบ อรชร, กลศาสตร์ของแข็ง, มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้า ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2541 สิริศกัด์ิปโยธรสิริ,กลศาสตร์วสัดุ, มหาวทิยาลยัเทคโนโลยพีระจอมเกลา้ธนบุรี,กรุงเทพฯ, 2544