เอกสารประกอบการสอน วช ิ าความแขง ็ แรงของวส ั ด ุ(30100-0105) แบบทดสอบก่อน-หลังเรียน 4 หน ่ วยท ี ่ 4 การบิดของเพลา (Torsion of Beam)
ข ค ำน ำ หน่วยที่ 4 กำรบิดของเพลำ ( Torsion of Beam ) เครื่องจักรกลทุกชนิดจะท ำงำนได้ จะต้องมีเครื่องต้นก ำลัง เช่น มอเตอร์ หรือ เครื่องยนต์ จำกเครื่องต้นก ำลังก็จะส่งถ่ำยแรงบิดผ่ำนเพลำและข้อต่อต่ำงๆ เพื่อท ำให้เกิดงำน ดังนั ้น เนื ้อหำ ในหน่วยนี ้จึงอธิบำยถึง แรงบิดที่เกิดกับเพลำกลมตันและเพลำกลมกลวง กำรหำค่ำควำมเค้นเฉือน , แรงบิด และมุมบิด ที่เกิดกับเพลำที่มีขนำดเท่ำกันและเพลำที่มีกำรลดขนำด ตลอดจนกำรต่อ เพลำด้วยหน้ำแปลน กำรเรียบเรียงเนื ้อหำบทนี ้ ต้องขอขอบคุณผู้เขียนต ำรำท่ำนอื่นๆ ด้วย เนื่องจำก เนื ้อหำ หรือรูปภำพบำงส่วนได้ถูกน ำมำใช้ในหนังสือเล่มนี ้ และหวังว่ำหนังสือเล่มนี ้จะเป็ นประโยชน์แก่ นักศึกษำ ตลอดจนผู้ที่สนใจทั่วไป หำกมีข้อผิดพลำดหรือมีข้อเสนอแนะประกำรใด ผู้เรียบเรียง ยินดีน้อมรับไว้เพื่อแก้ไขและพัฒนำให้สมบูรณ์ต่อไป ( นำยประดิษฐ์ เลิศโพธำวัฒนำ ) ผู้เรียบเรียง
ค สำรบัญ หน่วยที่ 4 กำรบิดของเพลำ ( Torsion of Beam ) หน้ำ ผลกำรเรียนรู้ท่ีคำดหวัง 1 4.1 กำรบิดของเพลำกลมตันและเพลำกลมกลวง 2 4.1.1 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงควำมเค้นเฉือน, ควำมเครียดเฉือน และมุมบิด 2 4.1.2 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงแรงบิดและควำมเค้นเฉือน 4 4.1.3 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงแรงบิดและก ำลัง 5 4.2 ชนิดของกำรต่อเพลำ 9 4.2.1 กำรต่อเพลำด้วยหน้ำแปลน 9 4.2.2 กำรต่อเพลำที่มีขนำดเส้นผ่ำศูนย์กลำงไม่เท่ำกัน 12 แบบฝึ กหัดหน่วยที่ 4 กำรบิดของเพลำ ( Torsion of Beam ) 21 เอกสำรอ้ำงอิง 22
หน่วยที่ 4 การบิดของเพลา ( Torsion of Beam ) เรื่องที่จะศึกษา 4.1 การบิดของเพลากลมตันและเพลากลมกลวง 4.1.1 ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้เฉือน,ความเครียดเฉือน และมุมบิด 4.1.2 ความสัมพนัธ์ระหวา่งแรงบิดและความเคน้เฉือน 4.1.3 ความสัมพนัธ์ระหวา่งแรงบิดและกา ลงั 4.2 ชนิดของการต่อเพลา 4.2.1 การต่อเพลาดว้ยหนา้แปลน 4.2.2 การต่อเพลาที่มีขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางไม่เท่ากนั ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1. อธิบายความหมายของแรงบิดได้ถูกต้อง 2. อธิบายความหมายของกา ลงังานไดถู้กตอ้ง 3. คา นวณหาค่าความเคน้เฉือน, ความเครียดเฉือน และมุมบิดไดอ้ยา่งถูกตอ้ง 4. คา นวณหาค่าแรงบิดและกา ลงังานไดอ้ยา่งถูกตอ้ง 5. คา นวณหาจา นวนของสลกัเกลียวที่ต่อเพลาดว้ยหนา้แปลนไดอ้ยา่งถูกตอ้ง 6. คา นวณหาค่าความเคน้เฉือน, แรงบิด และมุมบิดที่เกิดจากเพลาลดขนาดไดอ้ยา่งถูกตอ้ง 7. มีคุณธรรมและจริยธรรมที่ดีในการเรียน
2 หน่วยที่ 4 การบิดของเพลา ( Torsion of Beam ) 4.1 การบิดของเพลากลมตันและเพลากลงกลวง เมื่อเพลาเกิดการหมุนและส่งกา ลงัไปฉุดชิ้นงาน จะทา ใหเ้กิดการบิดข้ึนในเพลา ดงัน้นั การที่พยายามบิดเพลาเพื่อให้เกิดการหมุน บางคร้ังอาจเรียกวา่ (Torque) แรงบิดน้ีส่งผลใหเ้กิด ความเคน้เฉือนและความเครียดเฉือนเกิดข้ึนในเน้ือวสัดุของเพลา ก่อนการหาค่าต่างๆที่เกิดจากแรงบิดจะตอ้งต้งัขอ้สมมติฐานไว้ดงัต่อไปน้ี 1) เพลาจะตอ้งตรงและมีพ้ืนที่หนา้ตดัโตเท่ากนัตลอดความยาวเพลา 2)แรงบิดต้องคงที่ตลอดความยาวเพลา 3) เส้นรัศมีของเพลาก่อนบิดเป็นเส้นตรง หลงัเกิดการบิดก็ยงัเป็นเส้นตรง 4)ค่าความเคน้เฉือนที่เกิดข้ึนตอ้งไม่เกินค่าความเคน้ที่จุด Proportional Limit (ช่วงที่ กราฟเป็ นเส้นตรง) 4.1.1 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นเฉือน( ) ความเครียดเฉือน( )และมุมบิด( ) รูป ก. รูป ข. ภาพที่ 4.1แสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้เฉือน( ) ความเครียดเฉือน( ) และมุมบิด( ) จากภาพที่ 4.1 พิจารณาเพลากลมหน้าตัดเพลามีรัศมี rยาว L อยภู่ายใตแ้รงบิด T ท าให้ จุด E และ E เลื่อนไปอยทู่ ี่F และ F ตามลา ดบัทา ใหเ้กิดมุมบิดข้ึน = ถา้พิจารณาจุดเล็กๆ ในเน้ือวสัดุแลว้ขยายออกเป็น จัตุรัส ABCD หนา 1 หน่วยจะ มี Shear Stress เกิดข้ึนที่ผิว AD เมื่อมี Shear Stress เกิดข้ึน 1 ตัว จะต้องมีอีก 3 ตวัที่มีค่าเท่ากนั กระท าที่ผิวที่เหลืออีก 3ผิวทนัทีถึงจะสมดุล ความเคน้แต่ละตวัเรียกวา่ Complementary Shear Stress ดังภาพที่ 4.2
3 การหาค่าความเคน้เฉือนจะตอ้งหาค่าความเครียดเฉือน ก่อน เพราะการเปลี่ยนแปลงรูปร่างสามารถวดัได้ ภาพที่ 4.2แสดงแสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้เฉือน( ) ความเครียดเฉือน( ) และมุมบิด( ) พิจารณา รูป ก. และรูป ข. ในภาพที่ 4.1 EF tan γ = L หรือ EF = L • tan γ แต่เนื่องจากมุม มีค่านอ้ยมาก ดงัน้นั tan = EF = L ส่วนระยะ EF = r L = r r • θ γ = L แต่ τ γ = G แทนค่า ลงในสมการ r • θ τ = L G τ G • θ = r L * เมื่อเพลาบิดไปเป็ นมุม และคงที่แลว้จะเห็นวา่ค่า G ของวัสดุ และความยาวของวัสดุ ( L ) ก็ยงัคงที่ดว้ย ดงัน้นั τ r = ค่าคงที่ หรือ = r ค่าคงที่ 1 1
4 ดังน้ัน ถ้าเขียนกราฟแรงเฉือน (Stress Distribution) ในเพลา ค่าความเค้นเฉือนจะ เปลี่ยนแปลงไปตามรัศมีของเพลา สรุป ที่จุดศูนย์กลางเพลา (r = 0) เพราะฉะน้นัความเคน้เฉือน = 0 และที่ผิวนอกของ เพลา (r มากที่สุด) เพราะฉะน้นัความเคน้เฉือนจะมีค่าสูงสุด (max) ภาพที่ 4.3แสดงการเกิดความเคน้เฉือนสูงสุด (max) 4.1.2 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงบิด( T ) และความเค้นเฉือน( ) จากภาพที่ 4.4 แสดงภาคตัดของเพลากลมอยู่ ภายใต้แรงบิด T พิจารณาวงแหวนหนา dr อยู่ ห่างจากจุดศูนย์กลางของพ้ืนที่หน้าตดั = rอยู่ ภายใต้แรงเฉือน พ้ืนที่วงแหวน (dA) = 2r dr ภาพที่ 4.4 แสดงภาคตัดของเพลากลม อยภู่ายใตแ้รงบิด T จากสูตร F = A dF = dA แต่ T = F r dT = dF • r แทนค่า dFลงในสมการ dT 2 2 G • θ dT = • r dA • r L G • θ = • r dA L G • θ dT = • r dA L
5 แต่G, , L เป็นค่าคงที่ 2 A G • θ T = r dA L แต่ 2 A r dA คือ Polar second moment of area ตวัยอ่ J G • θ T = • J L T G • θ τ = = J L r * ในที่น้ี T = แรงบิด ( Nm ) J = Polar second moment of area ( m4 ) = ความเค้นเฉือน ( N/m2 ) r = รัศมีของจุดที่ต้องการหาความเค้นเฉือน ( m ) G = Modulus of Rigidity ( N/m2 ) = มุมบิด ( rad ) L = ความยาวเพลา ( m ) ข้อควรจ า 1. ส ำหรับเพลำกลมตัน π 4 J = d 32 หรือ 4 π r J = 2 2. ส ำหรับเพลำกลวง π 4 4 J = D - d 32 หรือ π 4 4 J = R - r 32 3. มุมบิด ( )วัดเป็ นเรเดียน 360° = 2π เรเดียน 4.1.3 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงบิด( T ) และก าลัง( P ) ภาพที่ 4.5ความสัมพนัธ์ระหวา่งแรงบิด( T ) และกา ลงั( P )
6 พิจารณาแรง F กระทา กบัเพลาหมุนดว้ยความเร็วรอบ n รอบต่อนาทีขณะที่เพลาหมุน 1 รอบ ระยะทางเคลื่อนที่ = 2r จากสูตร งาน = แรง ระยะทาง งานที่ท าให้เพลาหมุน 1รอบ = F 2r ถ้าเพลาหมุน nรอบต่อนาที งานที่เพลาหมุน nรอบต่อนาที = F 2r n จากสูตร กา ลงั ( P ) = งาน เวลา P = F 2r n แต่(โอเมกา้)คือความเร็วเชิงมุม = 2π n r a d 60 s และ T = F r * P = T • ω N • m ; J / s ; W a t t s ตัวอย่างที่ 1 จงหา Torque ที่จะทา ใหเ้พลากลมตนัขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 125 mm ยาว 1.8 m บิดไป 0.5 องศากา หนดให้Modulus of rigidity ( G ) ของวัสดุท าเพลา = 93 GN/m2 วิธีท า หาแรงบิด ( T ) จากสูตร T G • θ = J L หรือ G • θ T = • J L ในที่นี่ G = 93 109 N/m2 0.5 × 2π = 360 rad L = 1.8 m D = 125 mm = 0.125 m Jเพลาตัน π 4 = D 32 แทนค่า T 9 4 93 × 10 × 0.5 × 2π × π × 0.125 = 1.8 × 360 × 32 = 10794.06 Nm แรงบิด = 10.79 kNm ตอบ
7 ตัวอย่างที่ 2 เพลากลวงอนัหน่ึงขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางภายนอก 400 mm และภายใน 250 mm ส่ง แรงบิดได้ 480 kNm จงหา Shear Stress ในวัสดุ และมุมบิด ถ้าเพลายาว 7.5 m กา หนดให้G = 92.5 GN/m2 วิธีท า หา Shear Stress ( ) จากสูตร τ T = r J หรือ T • r τ = J ในที่น้ี T = 480 103 Nm r = 400 2 = 200 mm = 0.2 m Jเพลากลวง= π 4 4 D - d 32 D = 400 mm = 0.40 m d = 250 mm = 0.25 m แทนค่า ลงในสมการ = 4 4 3 (0.4 - 0.25 ) 480 × 10 × 0.2 × 32 π = 45176470 N/m2 = 45.17 MN/m2 หามุมบิด ( ) จากสูตร τ G • θ = r L หรือ τ • L θ = G • r ในที่น้ี G = 92.5 109 N/m2 L = 7.5 m = 45176470 N/m2 r = 0.2 m แทนค่า 9 45176470 × 7.5 = 92.5 × 10 × 0.2 = 0.0183 rad แต่ 2 rad = 360 องศา 0.0183 rad 360 × 0.0183 = 2π มุมบิด ( ) = 1.05 องศา ตอบ ตอบ
8 ตัวอย่างที่ 3ขณะที่เพลาตนัอนัหน่ึงส่งกา ลงั 7.5 MW Shear Stress ที่เกิดข้ึน = 50 MN/m2 และ Torque = 750 kNm จงหาขนาดของเพลาและความเร็วรอบ วิธีท า หาขนาดของเพลา ( D ) จากสูตร τ T = r J หรือ τ • J r = T ในที่น้ี = 50 106 N/m2 T = 750 103 Nm Jเพลาตัน π 4 = D 32 r = D 2 แทนค่า D 2 = 6 4 3 50 × 10 × π D 750 × 10 × 32 D 3 = 3 6 750 × 10 × 32 50 × 10 × 2π = 0.07645 D = 3 0.07645 = 0.4242 m ขนาดของเพลา ( D ) = 424.2 mm ตอบ หาความเร็วรอบ ( n ) จากสูตร P = T • ω ในที่น้ี = 2πn 60 rad s P = 7.5 106 W, N • m s T = 750 103 Nm แทนค่า 7.5 106 = 750 103 2πn 60 N = 6 3 60 × 7.5 × 10 750 × 10 × 2π ความเร็วรอบของเพลา = 95.54 รอบ/นาที ตอบ
9 4.2 ชนิดของการต่อเพลา 4.2.1 การต่อเพลาด้วยหน้าแปลน (Coupling) ภาพที่ 4.6แสดงลักษณะการต่อเพลาดว้ยหนา้แปลน (Coupling) การต่อเพลาโดยใชห้นา้แปลนโดยทวั่ ไปจะยึดติดดว้ย สลักเกลียว และส่งก าลังไปขับ Generator Turbine และเพลากลางรถยนต์ ภาพที่ 4.7แสดงลกัษณะการเกิดแรง, แรงบิด และมุม เมื่อการต่อเพลาดว้ยหนา้แปลน (Coupling) กา หนดให้ n คือ จ านวนสลักเกลียวบนหน้าแปลน r คือ รัศมีจากจุดก่ึงกลางของคปั ปลิ้งไปยงัจุดก่ึงกลางของสลกั เกลียว d คือ เส้นผา่ศูนยก์ลางของสลกัเกลียว คือ ความเค้นเฉือนเนื่องจากการบิด F คือ แรงตา้นทานต่อการบิดของสลกัเกลียวแต่ละตัว จากสูตร T = F • r จากรูป มีสลักเกลียวจ านวน n ตัว T = F r n จากสูตร F = τ • A แทนค่า Fลงในสมการ 1 1
10 T = A r n แต่A คือ พ้ืนที่หน้าตัดของสลักเกลียวซึ่งเป็ นวงกลม = 2 πd 4 2 π d T = n • τ • • r 4 * ตัวอย่างที่ 4คปั ปลิ้งใชต้่อเพลาตนัขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 90 mm กบัเพลากลวงขนาด เส้นผา่ศูนยก์ลางภายใน 90 mm และภายนอก 100 mm กา หนดความเคน้เฉือนใชง้าน 60 MPa ตอ้งใชส้ลกัเกลียวขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางขนาด 10 mm แนวยดึมีเส้นผา่ศูนยก์ลาง 200 mm ใน การออกแบบจะตอ้งใหค้ ปั ปลิ้งมีความแขง็แรงเท่ากบั เพลาที่มีความแข็งแรงน้อยที่สุด จงหา จ านวนสลักเกลียวที่ใช้ยึด วิธีท า หาจ านวนสลักเกลียว ( n ) จากสูตร 2 π d T = n • τ • • r 4 หรือ 2 4T n = π d • τ • r ในที่น้ี T = ? d = 10 mm = 0.01 m = 60 106 N/m2 r = 200 2 = 100 mm = 0.1 m แทนค่า จ านวนสลักเกลียว ( n ) = 2 6 0.01 4 T π × 60 × 10 × 0.1 จะตอ้งหาค่าแรงบิด ( T ) ซ่ึงโจทยก์า หนดวา่ ในการออกแบบจะตอ้งให้คปั ปลิ้งมีความ แขง็แรงเท่ากบัเพลาที่มีความแขง้แรงนอ้ยที่สุด นนั่คือจะใชค้่า T ที่มีค่านอ้ยที่สุด 1
11 หา T ด้านเพลาตัน จากสูตร T τ = J r หรือ τ • J T = r ในที่น้ี = 60 106 N/m2 r = 90 2 = 45 mm = 0.045 m Jเพลาตัน = π 4 ( D ) 32 D = 90 mm = 0.09 m แทนค่า T เพลาตัน = 6 4 60 × 10 ×π ( 0.09 ) 0.045 × 32 = 8588.33 Nm หา T ด้านเพลากลวง ในที่น้ี = 60 106 N/m2 r = 100 2 = 50 mm = 0.05 m Jเพลากลวง = π 4 4 ( D - d ) 32 D = 100 mm = 0.1 m d = 90 mm = 0.09 m แทนค่า T เพลากลวง = 6 4 4 60 × 10 ×π (0.1 - 0.09 ) 0.05 × 32 = 4121.25 Nm เอาค่า Tเพลากลวง แทนลงในสมการ n = 2 6 0.01 4 × 4121.25 π × 60 × 10 × 0.1 = 8.75 จ านวนสลักเกลียว = 9 ตัว ตอบ 1
12 4.2.2 เพลาขนาดไม่เท่ากัน การออกแบบเพลาที่มีขนาดต่างกนัที่ทา จากวสัดุชนิดเดียวกนัลกัษณะการใช้งานจะ พิจารณาเป็ น 2 ลักษณะ คือ 1) ปลายเพลาท้งัสองขา้งเป็นอิสระหรืออยใู่นแบริ่ง ภาพที่ 4.8 แสดงลักษณะของปลายเพลาท้งัสองขา้งเป็นอิสระหรืออยใู่นแบริ่ง จากภาพที่ 4.8 ถ้าเพลาสองขา้งขนาดไม่เท่ากนัจะมีแรงบิดที่ปลายท้งัสอง เท่ากบั T นนั่คือ แรงบิดรวม ( Ttotal ) = แรงบิดเพลา = แรงบิดเพลา แต่มุมบิดแต่ละเพลาจะไม่เท่ากนั นนั่คือ มุมบิดรวม ( total ) = 1 + 2 จากสูตร T G • θ = J L หรือ G • θ • J T = L 1 1 1 1 1 G • θ • J T = L * 2 2 2 2 2 G • θ • J T = L * ตัวอย่างที่ 5 เพลาต่อสองช่วงทา จากเหล็กกลาซึ่งประกอบด้วยเพลากลวงยาว ้ 2 m ซึ่งมี เส้นผา่ศูนยก์ลางภายใน 70 mm และภายนอก 100 mm ส่วนเพลาอีกช่วงหน่ึงเป็นเพลาตนัยาว 1.5 m และเส้นผา่ศูนยก์ลาง 70 mm จงหาทอร์กสูงสุดที่เพลาสามารถรับไดโ้ดยไม่เกินความเคน้ เฉือน 70 MPa หรือมุมบิด 2.5 องศา ในความยาว 3.5 m และกา หนดใหใ้ช้G = 83 GPa 1 2
13 A B = 100mm = 70mm TAC TBC 2 m 1 m C วิธีท า หา Tmax โดยการเปรียบเทียบระหว่าง TAC และ TBC จะใช้ค่า T ทตี่ ่าสุดเป็นค าตอบ หา TAC จากสูตร AC AC AC AC AC G • θ • J T = L ในที่น้ี GAC = 83 109 N/m2 LAC = 2 m AC = ? JAC = Jเพลากลวง = π 4 4 ( D - d ) 32 D = 100 mm = 0.10 m d = 70 mm = 0.07 m แทนค่า TAC = 9 4 4 AC 83×10 π × θ × ( 0.1 - 0.07 ) 2 32 AC AC T = 309486.25 θ หา TBC จากสูตร BC BC BC BC BC G • θ • J T = L ในที่น้ี GBC = 83 109 N/m2 LBC = 1.5 m BC = ? JBC = Jเพลาตัน = π 4 ( D ) 32 1
14 D = 70 mm = 0.07 m แทนค่า TBC = 9 4 BC 83×10 π × θ × ( 0.07 ) 1.5 32 BC BC T = 130364.296 θ หามุม AC และ BC total AC BC θ = θ + θ จากสูตร τ G • θ = r L หรือ τ • L θ = G • r AC AC AC AC AC τ • L θ = G • r และ BC BC BC BC BC τ • L θ = G • r ในที่น้ี AC = BC = 70 106 N/m2 rAC = 100 2 = 50 mm = 0.05 m rBC = 70 2 = 35 mm = 0.035 m แทนค่า AC = 6 9 70 × 10 × 2 83 × 10 × 0.05 = 0.0337 rad และ BC = 6 9 70 × 10 × 1.5 83 × 10 × 0.035 = 0.0361 rad แทนค่า AC ลงในสมการ TAC = 309486.25 0.0337 = 10429.686 Nm = 10.43 kNm 2 1
15 แทนค่า BC ลงในสมการ TBC = 130364.296 0.0361 = 4706.151 Nm = 4.706 kNm ทอร์กสูงสุดที่เพลารับได้= 4.706 kNm ตอบ ตัวอย่างที่ 6 มอเตอร์ขับเพลา AB ด้วยทอร์ก 50 Nm ใช้เฟื อง E รัศมี 50 mm ขับเฟื อง Fรัศมี 125 mm จุดรองรับท้งัหมดใชแ้บริ่ง ทา ใหเ้พลาหมุนอิสระจงหา ก. ทอร์กที่เพลา CD ข. ความเค้นเฉือนสูงสุดที่เพลา AB และ CD วิธีท า จากภาพจุดรองรับเพลาใชแ้บริ่ง ดงัน้นั T = 1+ 2 ก. หาทอร์กที่เพลา CD ( TCD ) แนวคิด จะต้องหาแรง ( F ) ที่กระทา กบัเพลา CD ก่อน โดยโจทยใ์ห้ค่าแรงบิด ( T ) ที่ กระทา กับเพลา AB ซึ่ งเป็ นเพลาขับ และรู้รัศมีเฟื อง E ซ่ึงติดกับเพลา AB ตลอดจนรู้ว่าเฟือง E จะขับเฟื อง F นนั่คือถา้รู้แรงที่กระทา ก็จะรู้แรงที่กระทา กบัเฟืองF จากสูตร AB E E T = F • r หรือ AB E E T F = r ในที่นี่ TAB = 50 Nm 2
16 rE = รัศมีเฟื อง E = 50 mm 1 m 1000 mm = 0.05 m แทนค่า FE = 50 0.05 = 1,000 N จากสูตร CD F F T = F • r ในที่นี่ FF = 1000 N rF = 125 mm 1 m 1000 mm = 0.125 m แทนค่า TCD = 1000 0.125 ทอร์กที่เพลา CD= 125 Nm ตอบ ข. หาความเค้นเฉือนสูงสุดทเี่พลา AB และ CD ( AB และ CD ) จากสูตร τ T = r J หรือ • J T r τ = AB AB AB AB • J T r τ = และ CD CD CD CD • J T r τ = ในที่น้ี TAB = 50 Nm TCD = 125 Nm rAB = 30 2 = 15 mm 1 m 1000 mm = 0.015 m rCD = 35 2 = 17.5 mm 1 m 1000 mm = 0.0175 m 4 AB AB π ( ) D J = 32 และ 4 CD CD π ( ) D J = 32 DAB = 30 mm 1 m 1000 mm = 0.03 m DCD = 35 mm 1 m 1000 mm = 0.035 m แทนค่า AB = 4 0.03 50 × 0.015× 32 π ( ) = 9,436,187.78 N/m2 ตอบ
17 = 9.436 MN/m2 และ CD = 4 0.035 125 × 0.0175× 32 π ( ) = 14,855,805.83 N/m2 = 14.856 MN/m2 2) ปลายเพลาสองขา้งยดึแน่น ภาพที่ 4.9แสดงลักษณะของปลายเพลาสองขา้งยดึแน่น จากภาพที่ 4.9 ลกัษณะน้ีแรงบิดแต่ละเพลาจะไม่เท่ากนั นนั่คือ แรงบิดรวม (Ttotal ) = T1+ T2 แต่ G • θ • J T = L Ttotal = 1 1 1 1 G • θ • J L + 2 2 2 2 G • θ • J L แต่ total = 1+ 2 และ T • L θ = G • J เมื่อ 1= 2 1 1 2 2 1 1 2 2 T • L T • L = G • J G • J * ตัวอย่างที่ 7 เพลา AC, CD และ DB ยดึแน่นดงัรูป ค่า GBr= 35 GPa, GAl= 28 GPa และ Gst= 83 GPa จงหาความเคน้เฉือนสูงสุดที่เกิดในเพลาแต่ละช่วง ตอบ
18 วิธีท า พิจารณา ท่อน AC ( บรอนซ์ ) พิจารณา ท่อน CD ( อลูมิเนียม ) พิจารณา ท่อน DB ( เหล็ก ) หามุมบิด ( ) ในแต่ละท่อน (Al= Br - st ) จากสูตร G • θ T = L J หรือ T • L θ = G • J นนั่คือ Br Br Br Br Br = T • L θ G • J ในที่น้ี TBr = TA Nm LBr = 1.5 m GBr = 35 109 N/m2 JBr = 4 Br π ( D ) 32 DBr = 25 mm 1 m 1000 mm = 0.025 m Al Al Al Al Al = T • L θ G • J ในที่น้ี TAl = TA – TC = TA – 300 Nm
19 LAl = 2 m GAl = 28 109 N/m2 JAl = 4 Al π ( D ) 32 DAl = 50 mm 1 m 1000 mm = 0.05 m st st st st st = T • L θ G • J ในที่น้ี Tst = TA – (300 + 700) Nm Lst = 2.5 m Gst = 83 109 N/m2 Jst = 4 st π ( D ) 32 Dst = 25 mm 1 m 1000 mm = 0.025 m แทนค่า ลงในสมการ Br , Alและ st Br = A 9 4 0.025 T × 1.5× 32 35 × 10 π ( ) = 1.1175 10-3 TA rad Al = A 9 4 0.05 ( T - 300 ) × 2 × 32 28 × 10 π ( ) = ( TA – 300 ) 0.116 10-3 = 0.116 10-3 TA – 0.0349 rad st = A 9 4 0.025 ( 1000 - T ) × 2.5 × 32 83 × 10 π ( ) = ( 1000 – TA ) 0.785 10-3 = 0.785 – 0.785 10-3 TA rad แต่เนื่องจาก Al= Br – st 0.116 10-3 TA – 0.0349 = 1.1175 10-3 TA – (0.785 – 0.785 10-3 TA ) 0.116 10-3 TA – 0.0349 = 1.9025 10-3 TA – 0.785 0.116 10-3 TA – 1.9025 10-3 TA = – 0.785+ 0.0349 – 1.7865 10-3 TA = – 0.7501
20 TA = -3 - 0.7501 - 1.7865 × 10 = 419.37 Nm จากภาพเมื่ออยใู่นสภาวะสมดุล TA + TB = TC + TD นนั่คือ TA + TB = 1000 แทนค่า TA ลงในสมการ TB = 1000 – 419.37 = 580.13 Nm หาค่าความเค้นเฉือนที่เกิดในเพลาแต่ละช่วง ( Br , Alและ st ) จากสูตร τ T = r J หรือ • J T r τ = นนั่คือ Br Br Br Br • J T r τ = , Al Al Al Al • J T r τ = และ st st st st • J T r τ = ในที่น้ี rBr = 0.025 m 2 = 0.0125 m TBr = TA = 419.87 Nm rAl = 0.05 m 2 = 0.025 m TAl = TA – 300 = 419.87 – 300 = 119.87 Nm r st = 0.025 m 2 = 0.0125 m Tst = 1000 – TA = 1000 – 419.87 = 580.13 Nm แทนค่า Br = 4 0.025 419.87 × 0.0125 × 32 π ( ) = 136,856,342.4 N/m2 = 136.856 MN/m2 ตอบ Al = 4 0.05 119.87 × 0.025 × 32 π ( ) = 4,883,943.175 N/m2 = 4.88 MN/m2 ตอบ st = 4 0.025 580.13 × 0.0125 × 32 π ( ) = 189,092,981 N/m2 = 189.09 MN/m2 ตอบ 1 1
21 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 4 การบิดของเพลา ( Torsion of Beam ) ตอนที่ 1 ใหน้กัศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.แรงบิด ( Torque ) หมายถึง 2. โมเมนต์บิด ( Twisting Moment ) หมายถึง 3. กา ลงังาน หมายถึง 4. สูตรความสัมพนัธ์ที่เกิดจากแรงบิด,ความเคน้เฉือน และมุมบิด คือ 5. Polar moment of Inertia ( J ) หมายถึง ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1.จงหา Torque ที่จะท าให้เพลากลมตนัขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลาง 50 mm ยาว 1.5 m บิดไป 2.5องศา กา หนดให้Modulus of rigidity ( G ) ของวัสดุท าเพลา = 80 GN/ m 2 2. เพลากลวงอันหนึ่งขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางภายนอก50 mm เส้นผา่ศูนยก์ลางภายใน 25 mm ยาว 3 m หมุนด้วยความเร็วรอบ 180 rpm ทา ใหเ้กิดมุมบิด 0.5 องศาจงคา นวณหากา ลงัที่ส่งไปยงัเพลา กา หนดใหModulus of Rigidity ้ของเพลา = 90 GN/m2 3.จงหาขนาดเส้นผา่ศูนยก์ลางของสลกัเกลียว ซ่ึงต่อเพลาดว้ยหนา้แปลนมีจา นวนสลกัเกลียว4 ตัว ยดึห่างจากจุดศูนยก์ลางของเพลาเป็นระยะทาง 78 mm และรับแรงบิด 3.2 kNm ให้ความเค้นเฉือน สูงสุด 85 GN/ m 2 4.ท่อนวสัดุทรงกระบอกกลมตนัท่อนหน่ึงมีขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลางไม่เท่ากนัรับโมเมนตบ์ ิด กระทา ตามรูป ถา้ความเคน้เฉือนสูงสุดไม่เกิน 75 N/ mm 2 จงหามุมบิดท้งัหมดที่เกิดข้ึนที่ปลาย C ให้ G เท่ากบั 83 GN/ m 2 A B C 80 mm 40 mm 2T T 1500 mm 2500 mm
22 เอกสารอ้างอิง ชนะ กสิภาร์, ความแข็งแรงวัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2528 บรรจบ อรชร, กลศาสตร์ของแข็ง, มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้า ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2541 สิริศกัด์ิปโยธรสิริ, กลศาสตร์วสัดุ, มหาวิทยาลยัเทคโนโลยีพระจอมเกลา้ ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2544