เอกสารประกอบการสอน วช ิ าความแขง ็ แรงของวส ั ด ุ(30100-0105) แบบทดสอบก่อน-หลังเรียน 6 หน ่ วยท ี ่ 6 ความเค้นดัดในคาน
ข ค ำน ำ หน่วยที่ 6 ควำมเค้นดัดในคำน ( Bending Stress in Beam ) จากหน่วยที่ 5 ที่กล่าวถึง แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคาน จะเห็นว่าคานเมื่อถูกแรง กระท าจากภายนอก โมเมนต์ดัดที่เกิดขึ ้นจะส่งผลท าให้คานเกิดการงอ ท าให้ผิวด้านบนของคาน เกิดเป็ นความเค้นอัด ส่วนผิวด้านล่างของคานจะเกิดเป็ นความเค้นดึง ความเค้นที่เกิดขึ ้นนี ้รวม เรียกว่า ความเค้นดัดในคาน ( Bending Stress in Beam ) ความเค้นดัดในคานมีผลต่อการ ออกแบบโครงสร้ างหรือชิ ้นส่วนเครื่องจักรกล เพราะท าให้สามารถเลือกพื ้นที่หน้าตัดคานให้ เหมาะสมกับงาน เพื่อลดต้นทุนในการผลิต การเรียบเรียงเนื ้อหาบทนี ้ ต้องขอขอบคุณผู้เขียนต าราท่านอื่นๆ ด้วย เนื่องจาก เนื ้อหา หรือรูปภาพบางส่วนได้ถูกน ามาใช้ในหนังสือเล่มนี ้ และหวังว่าหนังสือเล่มนี ้จะเป็ นประโยชน์แก่ นักศึกษา ตลอดจนผู้ที่สนใจทั่วไป หากมีข้อผิดพลาดหรือมีข้อเสนอแนะประการใด ผู้เรียบเรียง ยินดีน้อมรับไว้เพื่อแก้ไขและพัฒนาให้สมบูรณ์ต่อไป ( นายประดิษฐ์ เลิศโพธาวัฒนา ) ผู้เรียบเรียง
ค สำรบัญ หน่วยที่ 6 ควำมเค้นดัดในคำน ( Bending Stress in Beam ) หน้ำ ผลกำรเรียนรู้ท่ีคำดหวัง 1 6.1 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้น, รัศมีความโค้งของคาน 1 และระยะจาก Neutral Axis ไปยังจุดที่ต้องการหาความเค้น 6.2 ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัดและความเค้นดัด 4 6.3 ค่า Second Moment of Area ( INA ) ของพื ้นที่หน้าตัดรูปทรงต่างๆ 5 6.4 การหาต าแหน่ง Neutral Axis และค่า INA ของพื ้นที่รูปทรงไม่สมมาตร 6 6.5 Section Modulus ( Z ) และการเลือกหน้าตัดคานที่ประหยัดที่สุดและดีที่สุด 11 แบบฝึ กหัดหน่วยที่ 6 ความเค้นดัดในคาน ( Bending Stress in Beam) 19 เอกสารอ้างอิง 21
หน่วยที่ 6 ความเค้นดัดในคาน ( Bending Stress in Beam ) เรื่องที่จะศึกษา 6.1 ความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้,รัศมีความโคง้ของคาน และระยะจาก Neutral Axis ไปยังจุดที่ต้องการหาความเค้น 6.2 ความสัมพนัธ์ระหวา่งโมเมนตด์ดัและความเคน้ดดั 6.3 ค่าSecond Moment of Area ( INA ) ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปทรงต่างๆ 6.4 การหาตา แหน่ง Neutral Axisและค่า INA ของพ้ืนที่รูปทรงไม่สมมาตร 6.5 Section Modulus ( Z )และการเลือกหน้าตัดคานที่ประหยัดที่สุดและดีที่สุด ผลการเรียนรู้ทคี่าดหวงั 1. อธิบายความหมายของการเกิดความเคน้ดดัในคานไดถู้กตอ้ง 2. คา นวณหาตา แหน่ง Neutral Axis ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปทรงต่างๆ ไดถู้กตอ้ง 3. คา นวณหาค่าSecond Moment of Area ( I ) ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปทรงต่างๆ ท้งัรูปทรง สมมาตรและไม่สมมาตรไดถู้กตอ้ง 4. มีคุณธรรมและจริยธรรมที่ดีในการเรียน
2 หน่วยที่ 6 ความเค้นดัดในคาน ( Bending Stress in Beam ) จากเรื่องแรงเฉือนและโมเมนต์ดดัในคาน จะเห็นวา่ โมเมนตด์ดัที่เกิดข้ึน จะทา ให้เกิด ความเคน้ดดัข้ึนในคาน ความเคน้ที่เกิดข้ึนในคาน ถา้พิจารณาที่ผวิดา้นบนของคานจะมีลกัษณะ เป็นความเคน้อดัส่วนที่ผิวดา้นล่างของคานจะมีลกัษณะเป็นความเคน้ดึงในการพิจารณาหาค่า ความเคน้ดดัในคาน ก่อนอื่นจะตอ้งต้งัขอ้สมมติฐาน ดงัต่อไปน้ี 1)วสัดุคานจะตอ้งมีเน้ือสม่า เสมอและเป็นวสัดุชนิดเดียวกนัตลอดความยาว 2) หน้าตัดคานต้องมีขนาดคงที่ตลอดความยาวของคาน 3)ก่อนใส่แรงคานจะตอ้งตรง 4) ภาคตดัคานที่เป็นระนาบก่อนคานงอ ยังคงเป็ นระนาบเดิมเมื่อคานงอ 5)ค่าโมดูลสัของความยดืหยนุ่สามารถใชไ้ดท้ ้งัความเคน้ดึงและความเคน้อดั 6.1 ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้น, รัศมีความโค้งของคาน และระยะจาก Neutral Axis ไปยงัจุดทตี่้องการหาความเค้น ภาพที่ 6.1 แสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งความเคน้ , รัศมีความโค้งของคาน และระยะจาก Neutral Axis ไปยังจุดที่ต้องการหาความเค้น
3 จากภาพที่ 6.1 จะเห็นวา่เมื่อคานเกิดโมเมนต์ดดัผิวดา้นบนจะอยภู่ายใตแ้รงอดัทา ให้ ระยะ mและp หดเขา้ ส่วนผวิดา้นล่างจะอยภู่ายใตแ้รงดึง ทา ใหร้ะยะ nและqขยายตัวออก แต่ในแนว a – bความยาวยงัคงเท่าเดิม ทา ใหไ้ม่เกิดความเคน้ที่แนว a – b ถ้าให้ R คือ รัศมีความโคง้ของคานเมื่อเกิดโมเมนต์ดดั ( M ) ต้องการหาความเค้นที่ ห่างจากแกนสะเทิน (Neutral Surface) เป็ นระยะทาง y ทา ไดโ้ดยวธิีการหาค่าความเครียดก่อน ก่อนคานงอ ระยะ ab = cd = R d หลังคานงอ ระยะ cd เปลี่ยนเป็ น cd = ( R + y ) d ระยะที่ยืดออก ( ) = ( R + y ) d - R d = R d + y d - R d = y d จากสูตร δ ε = L ในที่น้ี L = ความยาวเดิม = R d = ระยะยืดออก = y d แทนค่า y = = R y d ε R d จากสูตร σ E ε = = E แทนค่า = y ε R ลงในสมการ y • E σ = R * หรือ σ E = y R แต่ค่า E และ R เป็นค่าคงที่ดงัน้นัความเคน้จะเป็นปฏิภาคโดยตรงกบัระยะ y นนั่คือ ความเคน้ สูงสุดจะเกิดที่ผวินอกของหนา้ตดัคาน ซ่ึงสามารถเขียนเป็นกราฟได้ดงัน้ี
4 ภาพที่ 6.2 แสดงการเกิดความเคน้ สูงสุดจะเกิดที่ผวินอกของหนา้ตดัคาน ข้อควรจ า แกน NA (Neutral Axis)จะเป็นเส้นที่ลากผา่นจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่หนา้ตดั 6.2 ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัด ( M )และความเค้นดัด () จากภาพที่ 6.3 พ้ืนที่เล็กๆ dA อยู่ห่างจากแกน NA เป็ นระยะทาง yอยภู่ายใตค้วามเคน้ ( ) ภาพที่ 6.3 แสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งโมเมนตด์ดั ( M ) และความเค้นดัด () จากสูตร F = σ • A ดงัน้นัแรงบน dA = dF = dA แทนค่า = E σ • y R ลงในสมการ dF dF = E • y • dA R Take Moment ของแรง E • y • dA R ที่กระทา บนพ้ืนที่เล็กๆ รอบแกน NA 2 A 2 A E dM = • y dA • y R E dM = y • dA R E M = y dA R
5 แต่ 2 A y dA คือค่า I (Second Moment of area) ของพ้ืนที่หนา้ตดัรอบแกน NA M = E • I R หรือ σ = = y M E I R * หรือ M • y σ = I ** ในที่น้ี max M • C σ = I ** M = โมเมนต์ดัด ( Nm ) I = Second Moment of Area รอบ NA ( m4 ) = ความเค้นดัด ( N/m2 ) y = ระยะจากแกน NA ไปยังระดับที่ต้องการหาความเค้น E = Modulus of Elasticity ( N/m2 ) R = รัศมีความโค้งของ Neutral Surface ( m ) C = ระยะจากแกน NA ถึงผวิบนหรือผวิล่างของหนา้ตดัคาน 6.3 ค่า Second Moment of Area ( I ) ของพน ื้ทหี่น้าตัดรูปทรงต่างๆ 6.3.1. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง b หนา h NA อยตู่รงกลาง ดงัน้นั C1 = C2 = h 2 NA 3 bh I = 12 Z1 = Z2 = I C = 3 6 bh 6.3.2 พื้นที่หน้าตัดวงกลม NA อยตู่รงกลาง ดงัน้นั C1 = C2 = D 2 NA 4 π D I = 64 Z1 = Z2 = I C = D 4 32
6 6.3.3 พื้นที่หน้าตัดวงแหวน NA 4 4 D π I = ( - d ) 64 หมายเหตุ ค่า INA นอกเหนือจากที่กล่าวไว้สามารถหาดูไดใ้นภาคผนวก ตารางที่2คุณสมบัติ ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปต่างๆ หนา้ 440 – 442 จากหนังสือความแข็งแรงของวัสดุ ของ ดร.ชนะ กสิภาร์ สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ 6.4 การหาต าแหน่ง Neutral Axis ของพน ื้ทหี่น้าตัดรูปทรงไม่สมมาตร รูปทรงไม่สมมาตร หมายถึงวตัถุที่จุดศูนยก์ลางไม่ไดอ้ยกู่่ึงกลางของพ้ืนที่หนา้ตดัเช่น วัตถุรูปทรงตัว T, U เป็นตน้ดงัน้นัการที่จะหาจุดศูนยก์ลาง (Centroid)ของพ้ืนที่หนา้ตดัเหล่าน้ี สามารถท าได้โดย 1) สร้างแกนอ้างอิง (Datum Line) ตวัยอ่ D/L 2)แบ่งพ้ืนที่หนา้ตดัเดิมใหเ้ป็นรูป หลายๆ รูป 3)กา หนดหมายเลขลงในพ้ืนที่ที่แบ่ง 4)ลากเส้นทแยงมุมของ แต่ละรูป เพื่อหาจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่แต่ละรูป 5)กา หนดระยะ 1 2 3 y , y , y , ...... ข้ึนอยวู่า่แบ่ง ออกเป็นกี่รูป โดยระยะดงักล่าวจะ คิดจากจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่ที่แบ่งถึงแกนอา้งอิง 6) เอาระยะต่างๆ แทนค่าลงในสมการ สมการ 1 1 n n 1 n A • y + A • y y = A + A ** ในที่น้ี y คือ ระยะจากแกนอา้งอิงถึงจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่หนา้ตดั ( mm ) y1 คือ ระยะจากจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่ ที่แบ่งถึงแกนอา้งอิง ( mm ) n y คือ ระยะจากจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่รูปถดัไป แลว้แต่วา่ จะแบ่งออกเป็นกี่รูปถึงแกนอา้งอิง ( mm ) A1 คือ พ้ืนที่ของ ที่แบ่งรูปที่หน่ึง ( mm2 ) An คือ พ้ืนที่ของ ที่แบ่งในลา ดบัถดัไป ข้ึนอยกู่บัวา่แบ่งออก เป็นกี่รูป ( mm2 )
7 การหาค่า INA ของพนื้ทหี่น้าตัดทมี่ีรูปทรงไม่สมมาตร หลงัจากหาจุดศูนยก์ลางของพ้ืนที่หนา้ตดัไดแ้ลว้เส้นที่ลากผา่นจุดศูนยก์ลาง คือ Neutral Axis (แกน NA) การหาค่า I รอบ NA สามารถท าได้โดยใช้ สูตร 1 n 2 2 INA = I I CG 1 1 CG n n + A • d + + A • d ** ในที่น้ี n คือ จา นวน ที่แบ่งลงในพ้ืนที่หนา้ตดัเดิม CG1 I คือ ค่า NA I ของ รูปที่ 1 CGn I คือ ค่า NA I ของ รูปที่ 2, 3,……, n รูป 1 d คือ ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงแกน NA ของ รูปที่ 1 n d คือ ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงแกน NA ของ รูปที่ 2, 3,……, n รูป แลว้แต่วา่แบ่งพ้ืนที่ลงในพ้ืนที่หนา้ตดัเดิมกี่รูป ตัวอย่างที่ 1จงหา I ซึ่งมีขนาดดังรูป ถ้า BM กระท าใน Plane Cy และ BM กระท าใน Plane Cz
8 วิธีท า หา I ที่ BM กระท าในระนาบ Cy จากภาพขวามือจะเห็นวา่พ้ืนที่จะหมุนรอบแกน z จากสูตร NA 3 bh I = 12 ในที่น้ี INA = Tz = ? b = 50 mm h = 100 mm แทนค่า 3 z 50 (100) I = 12 = 4,166,666.67 mm4 ตอบ หา I ที่ BM กระท าในระนาบ Cz จากภาพขวามือจะเห็นวา่พ้ืนที่จะหมุนรอบแกน y จากสูตร NA 3 bh I = 12 ในที่น้ี INA = Ty = ? b = 100 mm h = 50 mm แทนค่า 3 y 100 (50) I = 12 = 1,041,666.67 mm4 ตอบ ตัวอย่างที่ 2จงหาตา แหน่ง Neutral Axis ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั T ซึ่งมีขนาด ดังรูป
9 วิธีท า หาต าแหน่ง Neutral Axis ( y ) ถ้าลากแกนอ้างอิงไว้ที่ด้านล่างของรูป จากสมการ 1 1 n n 1 n A • y + A • y y = A + A ในที่น้ี y1 = 75 mm 2 y = 35 mm A1 = 10 100 = 1000 mm2 A2 = 10 70 = 700 mm2 แทนค่า 1000 • 75 700 • 35 1000 + 700 y = + = 58.53 mm ตอบ ถ้าลากแกนอ้างอิงไว้ที่ด้านบนของรูป โดยใช้โจทย์เดิม ในข้อที่ 1 จากสูตร 1 1 n n 1 n A • y + A • y y = A + A ในที่น้ี y1 = 5 mm 2 y = 45 mm A1 = 1000 mm2 A2 = 700 mm2 แทนค่า 1000 • 5 700 • 45 1000 + 700 y = + = 21.47 mm ตอบ * สรุป ตอ้งต้งัแกนอา้งอิงใหช้ดัเจน จะต้งัแบบใดก็ได้ผลลพัธ์จะเท่ากนั ตัวอย่างที่ 3จงหาค่า INA ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั I ซึ่งมีขนาดดังรูป
10 วิธีท า หา INA ของรูปตัว I ทา ไดโ้ดยการเอาพ้ืนที่ ใหญ่– พ้ืนที่ เล็ก 2รูป โดย ท้งั 3รูปมี แกน NA ร่วมกบัพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั I INA ของตัว I = INA ใหญ่ – INA เล็ก 2รูป INA ของตัว I = 3 BH 12 – 3 12 2bh ในที่น้ี B = 120 mm b = 55 mm H = 180 mm h = 160 mm แทนค่า INA ของตัว I = 3 120 (180) 12 – 3 12 2 (55)(160) = 58320000 – 37546666.67 = 31726666.67 mm 4 ตอบ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่า INA ของพ้ืนที่หนา้ตดัรูป H ซึ่งมีขนาดดังรูป
11 วิธีท า หา INA ของรูปตัว H ทา ไดโ้ดย แบ่งพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั H ออกเป็ น 3 รูป โดยให้ ทุก รูปมีแกน NA ร่วมกบัรูปตวั H ดังภาพ INA ของตัว H = INA รูปต้งั 2 รูป + INA นอน 1 รูป INA ของตัว H = 3 12 2bh + 3 BH 12 ในที่น้ี B = 160 mm b = 10 mm H = 10 mm h = 120 mm แทนค่า INA ของตัว H = 3 12 2 (10)(120) + 3 160 (10) 12 = 2880000 + 13333.333 = 2893333.33 mm 4 ตอบ 6.5Section Modulus (Z) การเปรียบเทียบคานสองอันที่ทา จากวสัดุชนิดเดียวกนัเพื่อใหร้ับความเคน้ สูงสุดไดเ้ท่ากนั สามารถทา ไดโ้ดยดารเปรียบเทียบค่า Z นนั่คือ อตัราส่วนของการรับโมเมนตด์ดั = อตัราส่วนของ Z หรือ 2 1 2 1 Z Z M M *
12 รูปร่างของพ้ืนที่หนา้ตดัของคานที่ประหยดัที่สุดและดีที่สุด การเลือกวัสดุที่มาท าเป็ นคาน สามารถพิจารณาได้ 2 ลักษณะคือ 1) พิจารณาด้านความแข็งแรงของวัสดุ 2) พิจารณาดา้นพ้ืนที่หนา้ตดัและน้า หนกั พจิารณาด้านความแข็งแรงของวสัดุ 1) วตัถุที่สามารถรับแรงดึงและแรงอัดได้เท่ากันเช่นเหล็กกล้า เหล็กเหนียว ควรเลือก พ้ืนที่หนา้ตดัที่มีแกน NA ผา่นก่ึงกลางของพ้ืนที่หนา้ตดัเช่นเป็นพ้ืนที่รูป สี่เหลี่ยม, I, H 2) วตัถุที่รับแรงดึงและแรงอดัไดไ้ม่เท่ากนัเช่นวสัดุเปราะคือเหล็กหล่อคอนกรีต สามารถ รับแรงอดัไดม้ากกวา่แรงดึง พ้ืนที่หนา้ตดัที่ดีที่สุดคือให้ระยะ C1 และ C2 มีอัตราส่วน = อตัราส่วนของความเคน้ที่ผวิบนและผวิล่าง เช่น หนา้ตดัรูปตวั T, U พิจารณาด้านพื้นที่หน้าตัดและน ้าหนัก 1) ถา้ค่า Z คงที่น้า หนกัของคานจะเป็นปฏิภาคโดยตรงกบัพ้ืนที่หน้าตดัหมายความว่า ถา้ พ้ืนที่หนา้ตดัลดลง น้า หนกัของคานก็จะลดลงดว้ยแต่ความสูงของหนา้ตดัคานจะเพิ่มข้ึน 2) ถา้เปรียบเทียบหน้าตดัคาน 2อนัที่มีค่า Z เท่ากนัอนัที่มีพ้ืนที่น้อยกว่าก็จะเบากว่าและ ประหยดักวา่ 3) พิจารณาพ้ืนที่หน้าตดั2 อนัที่มีรูปทรงต่างกนัแต่มีพ้ืนที่เท่ากนั ในขณะเดียวกนัค่า Z ต่างกนัพ้ืนที่หนา้ตดัที่ดีที่สุดคือ พ้ืนที่หนา้ตดัที่มีค่า Z สูงกวา่ ข้อสังเกต พ้ืนที่หนา้ตดัที่มีค่า NA I มากก็จะสามารถรับโมเมนตด์ดั (M) ได้มากตามไปด้วย พ้ืนที่หน้าตดัที่รับโมเมนต์ดดัได้ดีคือ หน้าตดัรูปตวั I ที่มีปีกกวา้ง ซ่ึงเรียกว่า Wide Flanged I-beam ตวัย่อ WF ซ่ึงปีกด้านบนและด้านล่างใช้รับ Tensile และ Compressive Stress ส่วน Web ใช้รับ Shear Stress ( )
13 ตัวอย่างที่ 5 จงเปรียบเทียบความแข็งแรง (หรือ BM) ระหว่างคานสองอนัที่ทา จากวสัดุชนิด เดียวกนัมีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็นรูปสี่เหลี่ยมอนัหน่ึง กวา้ง 30 mm หนา 60mm อีกอันกว้าง 60 mm หนา 30 mm หน้าตัดคานอันที่ 1 หน้าตัดคานอันที่ 2 วิธีท า หาอัตราส่วนของ BM จากสูตร อตัราส่วน BM = 2 1 Z Z ในที่น้ี Z1 คือ Section Modulus ของคานอันที่ 1 Z2 คือ Section Modulus ของคานอันที่ 2 จากสูตร C I Z 1 1 1 C I Z และ 2 2 2 C I Z คานอันที่ 1 สูตร 12 3 bh I NA และ 2 1 1 h C ในที่น้ี b = 30 mm h = 60 mm 1 I = 12 30(60) 3 = 540000 4 mm C1 = 2 60 = 30 mm แทนค่า 1 I และ C1 ลงในสมการ Z1
14 Z1 = 30 540000 = 18,000 3 mm คานอันที่ 2 จากสูตร 12 3 bh I NA และ 2 2 2 h C ในที่น้ี b = 60 mm h = 30 mm แทนค่า 2 I = 12 60(30) 3 = 13,5000 4 mm C2 = 2 30 = 15 mm แทนค่า 2 I และ C2 ลงในสมการ Z2 Z2 = 15 135000 = 9000 3 mm แทนค่า Z1 และ Z2 ลงในสมการ BM อตัราส่วน BM = 9000 18000 = 2 นนั่คือ คานอันที่ 1 รับ BM ได้ 2 เท่าของคานอนัที่2 ตอบ ตัวอย่างที่ 6 Simply Support Beam อันหนึ่งยาว 1.6 m มีพ้ืนที่หนา้ตดัเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผา้กวา้ง 64 mm หนา 100 mm มีแรง 10 kN กระท าตรงกลาง จงหาความเค้นสูงสุดในคาน วิธีท า หาแรงปฏิกิริยาทจีุ่ดรองรับ A และ B จากรูป A R และ B R = 5 kN (เพราะวา่แรงกระทา ที่ก่ึงกลางคาน) หาความเค้นดัดสูงสุด max ( ) จากสูตร max M C I
15 ในที่น้ี M max จะเกิดบริเวณไม่เกินก่ึงกลางคาน ซ่ึงจะเกิดในช่วงหนา้ตดั 0 x 0.8m z A M R x แทนค่า x = 0.8 m M max = 5 0.8 = 4 kN m max t = M C max 1 I และ max c = M C max 2 I แทนค่า I , M max , C1 และ C2 ลงในสมการ max t และ max c max t = 60351372.59 20 10 145.88 6 = 48.34 2 N mm max c = 60351372.59 20 10 94.12 6 = 31.19 2 N mm โมเมนต์ดัดสูงสุดในคาน = 48.34 2 N mm , MN m2 ตอบ ตัวอย่างที่ 7 I-beam มีขนาด Depth 240 mm ปี กตัวบนมีขนาดกว้าง 80 mm หนา 20 mm ตวัล่าง กว้าง 160 mm หนา 20 mm web หนา 10 mm คานยาว 5 m Simply Supported ที่ปลายสองข้าง และอยู่ภายใต้แรงสองแรงขนาด 20 kN เท่ากนักระทา ที่จุดห่างจากปลายสองขา้ง 1 m จงหา Bending Stress สูงสุดในคาน วิธีท า หา RA ( 0) MB 5RA = (4 20) (201)
16 RA = 5 100 = 20 kN หา RB ( 0) Fy RB = 20 + 20 – 20 = 20 kN หาระยะ Neutral Axis (y) จากสูตร y = 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A A A A y A y A y ในที่น้ี A1 = 80 20 = 1600 2 mm A2 = 200 10 = 2000 2 mm A3 = 160 20 = 3,200 2 mm 1 y = 230 mm 2 y = 120 mm 3 y = 10 mm แทนค่า y = 1600 2000 3200 (1600 230) (2000 120) (3200 10) = 94.12 mm หาค่า I รอบแกน NA จากสูตร INA ของตัว I = 1 2 3 2 2 2 CG CG CG 1 1 2 2 3 3 (I A d ) (I A d ) (I A d )
17 ในที่น้ี 1 CG I = 12 3 bh = 12 80(20) 3 = 53333.33 4 mm 2 CG I = 12 3 bh = 12 10(200) 3 = 6666666.67 4 mm 3 CG I = 12 3 bh = 12 160(20) 3 = 106666.67 4 mm A1 = 80 20 = 1600 2 mm A2 = 10 200 = 2000 2 mm A3 = 160 20 = 3200 2 mm 1 d = y y 1 = 230 – 94.12 = 135.88 mm d2 = y y 2 = 120 – 94.12 = 25.88 mm d3 = 3 y y = 94.12 – 10 = 84.12 mm แทนค่า INA ของ I = (5333.331600(135.88) ) (6666666.67 2 2000(25.88) ) (106666.67 3200(84.12) ) 2 2 INA ของ I = 29594732.37 + 8006215.47 + 22750424.75 = 60351372.59 4 mm หาโมเมนต์ดัดสูงสุด max ( ) M จากภาพ M max น่าจะเกิดในช่วงหนา้ตดั 1 m < x < 4 m Mx = 20 x 20(x 1) แทนค่า x = 1 m M1m = 20 kN m แทนค่า x = 4 m M4m = (20 4) 20(4 1) = 20 kN m Mmax = 20 kN m = 6 20 10 N mm จากภาพ C1 = 240 y = 240-94.12 = 145.88 mm C2 = y = 94.12 mm จากสูตร max max M C I แต่คานมีลกัษณะไม่สมมาตร ดงัน้นั 1 2 C C
18 จึงตอ้งหาค่า c = max และ t = max แล้วน ามาเปรียบเทียบ จากสูตร 1 c M C I และ 2 t M C I แทนค่า Mmax , C1 , C2 และ INA ลงในสมการ c และ t c = 6 20 10 145.88 60351372.59 = 48.34 2 N mm t = 6 20 10 94.12 60351372.59 = 31.19 2 N mm ความเค้นดัดสูงสุด = 48.34 2 N mm ตอบ
19 แบบฝึ กหัด หน่วยที่ 6 ความเค้นดัดในคาน ( Bending Stress in Beam ) ตอนที่ 1 ให้นักศึกษาตอบคา ถามลงในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง 1.ระหวา่งแรงเฉือนและโมเมนตด์ดัค่าใดที่มีผลทา ใหเ้กิดความเคน้ดดัในคาน 2. โมเมนตด์ดัที่เกิดข้ึนจะส่งผลทา ใหค้านมีลกัษณะรูปร่างอยา่งไรใหเ้ขียนรูป 3. ถา้คานเกิดการงอหรือโคง้ลงผวิดา้นบนของคานจะเกิดความเคน้ชนิดใด 4. จากโจทยข์อ้3.ผวิดา้นล่างของคานจะเกิดความเค้นชนิดใด 5. Neutral Surface หมายถึง 6. Neutral Axis หมายถึง 7. ความเคน้ดดัสูงสุดจะเกิดข้ึนที่บริเวณใดของหนา้ตดัคาน 8. ที่แกน Neutral Axisความเคน้ดดัที่เกิดข้ึนจะมีค่าเท่าใด 9. การเลือกหน้าตัดคานที่ประหยัดและดีที่สุด ต้องค านึงถึงอะไรบ้าง 10.รูปทรงไม่สมมาตร หมายความวา่อะไร ตอนที่ 2จงคา นวณหาค่าต่างๆ ใหถู้กตอ้ง 1. หาตา แหน่ง Neutral Axisของพ้ืนที่หนา้ตดัรูปตวั T ดังรูป
20 2. จงหาค่า NA I ของพ้ืนที่ดงัรูป 3. จงเปรียบเทียบความแข็งแรง (หรือ BM) ระหว่างคานสองอนัที่ทา จากวสัดุชนิดเดียวกัน มี พ้ืนที่หน้าตดัเป็ นรูปสี่เหลี่ยมอันหนึ่ง กว้าง 40 mm หนา 80 mm อีกอันกว้าง 80 mm หนา 40 mm
21 เอกสารอ้างอิง ชนะ กสิภาร์, ความแข็งแรงวัสดุ, สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้า พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ, 2528 บรรจบ อรชร, กลศาสตร์ของแข็ง, มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้า ธนบุรี, กรุงเทพฯ, 2541 สิริศกัด์ิปโยธรสิริ,กลศาสตร์วสัดุ, มหาวทิยาลยัเทคโนโลยพีระจอมเกลา้ธนบุรี,กรุงเทพฯ, 2544