ใบความรู้บทที่ 2

ใบความรู้

บทที่ 2 เรื่อง เลขฐานในระบบคอมพวิ เตอร์

ระบบตวั เลขที่มนุษยใ์ ชม้ ากที่สุดและรู้จกั กนั มากที่สุด ก็คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 รวม 10 ตวั ตวั เลขท้งั 10
ตวั น้ี เราใชเ้ ป็ นเครื่องมือหลกั ในการนบั จานวนท้งั หลายตามตอ้ งการ เราจึงกาหนดมาตรฐานของระบบตวั เลขน้ี
วา่ เลขฐานสิบ (Decimal Number) เพราะมีสัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนค่าตวั เลขจานวนตา่ งๆ น้นั มีอยู่ 10 แบบไมซ่ ้ากนั แต่
จะมีเพียง 1 ตาแหน่ง

ระบบจานวนตวั เลขตา่ งๆ ท่ีมีใชใ้ นเลขฐานใดๆ จะมีนอ้ ยกวา่ ฐานน้นั ๆ อยู่ 1 เสมอ

การหาคาตอบจากเลขยกกาลังมวี ธิ ีการหา ดังตวั อย่าง

ตัวเลข กระจาย ค่าทไี่ ด้
10 1 1
20 1 1
11 1 1
21 2 x 1 2
12 1 x 1 1
22 2 x 2 4

1. จานวนใด ๆ ยกกาลงั 0 แลว้ จะได้ 1 เสมอ

2. จานวนใด ๆ ยกกาลงั 1 แลว้ จะไดเ้ ทา่ กบั จานวนน้นั ๆ เสมอ

พจิ ารณาเลขฐานต่างๆ จากตารางข้างล่าง

ระบบตัวเลขต่างๆ ฐาน ตัวเลขทใี่ ช้

ฐานสอง (Binary) 2 01
ฐานสาม (Ternary) 3 012
ฐานส่ี(Quarternary) 4 0123
ฐานหา้ (Quinary) 5 01234
ฐานหก(senary) 6 012345
ฐานเจด็ (Septenary) 7 0123456
ฐานแปด(Octenary) 8 01234567
ฐานเกา้ (Nonary) 9 012345678
ฐานสิบ(Denary) 10 0123456789
ฐานสิบเอด็ (Undenary) 11 0123456789A
ฐานสิบสอง(Duodenary) 12 0123456789AB
ฐานสิบสาม(Tredenary) 13 0123456789ABC
ฐานสิบสี่(Quatuordenary) 14 0123456789ABCD
ฐานสิบหา้ (Quidenary) 15 0123456789ABCDE
ฐานสิบหก(Hexadenary) 16 0123456789ABCDEF

1. ระบบเลขฐานสิบ ( Decimal Number System)

ระบบเขฐานสิบ เป็นระบบเลขที่ใชก้ นั มากในชีวติ ประจาวนั ประกอบดว้ ยเลข 10 ตวั คือ
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

ระบบเลขฐานสิบเป็ นตวั เลขที่เราใชก้ นั เป็ นประจาในชีวติ ประจาวนั โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ทางอารบิก –
อินเดียน ( Arabic - Indian) หรือท่ีเราเรียกวา่ เลขโดด (Digit) รวม 10 ตวั เขียนแทนดว้ ยเลขโดดตา่ งๆ คือ
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ตามลาดบั ค่านอ้ ยไปมาก เลขโดดในระบบใดๆ เราเรียกวา่ ฐาน (Base of radix) ของเลขน้นั
ในระบบเลขฐานสิบมีเลขโดดอยสู่ ิบตวั ซ่ึงเรียกวา่ เลขฐานสิบ เลขโดดแต่ละตวั จะมีค่าประจาของเลขน้นั ๆ ใน
กรณีที่มีเลขโดดหลายตวั มาประกอบกนั กจ็ ะมีคา่ สาหรับแตล่ ะตวั ซ่ึงเราเรียกวา่ ค่าประจาหลกั (Positional

weight) เลขโดดท่ีอยทู่ างขวาสุดจะมีคา่ เป็นหน่ึง หรือ เราเรียกวา่ หน่วย และเลขโดดตวั ถดั ไปทางซา้ ยจะมีคา่
ประจาหลกั เป็นสิบเทา่ ของตาแหน่งขวาสุด เช่น 58 หมายถึง เลขโดด 8 มีคา่ ประจาหลกั เป็น 1 ดงั น้นั 8 ใน 58 จึง
มีค่าเป็น 8 X 1 = 8 และ เลข 5 ท่ีอยทู่ างซา้ ยมือของ 8 มีคา่ ประจาหลกั เป็น 10 ดงั น้นั เลข 5 ใน 58 จึงมีคา่ เป็น 5 x
10 = 50 นน่ั คือ 58 จึงมีคา่ เป็ น 50 + 8 = 58 หน่วย เป็นตน้

ในการเขียนแสดงค่าประจาหลกั น้นั เน่ืองจากค่าของหลกั จะเพ่มิ เป็นสิบเท่าของค่าหลกั ท่ีอยทู่ างซา้ ยมือ
ทุกคร้ัง เราจึงอาจเขียนคา่ ประจาหลกั ดว้ ยเลขยกกาลงั ของสิบ ดงั น้ี

หลกั ... พนั ร้อย สิบ หน่วย
ค่าประจาหลกั 103 =1000 102 =100 101 =10 100 =1

จะเห็นวา่ ทุกๆ คร้ังที่เลื่อนเลขโดยไปทางซา้ ยมือ ค่ายกกาลงั ของสิบจะเพ่ิมข้ึน 1 ทุกคร้ัง

ข้อสังเกต ถา้ เอาเลข 10 มายกกาลงั ดูที่คา่ ของเลขยกกาลงั ถา้ ยกกาลงั สอง กใ็ หเ้ ติม 0 ทางขวามือของเลข 1 สอง
ตวั เช่น 102 = 100

สาหรับค่าท่ีไม่ใช่เลขจานวนเตม็ ท่ีเรียกวา่ เป็นเศษส่วน หรือทศนิยม (คา่ ที่นอ้ ยกวา่ 1 ) ในกรณีน้ีมีจุด
ระหวา่ งเลขจานวนเตม็ และทศนิยมน้นั เพื่อแยกเลขเป็นสองชุด คา่ ประจาหลกั หลงั จุดทศนิยมกย็ งั คงยดึ หลกั การ
เดียวกนั คือ แตล่ ะหลกั ที่ถดั ไปทางขวาจะมีเลขช้ีกาลงั ขวา 10 ลดลงไป 1

ตวั อย่าง 2.1 3.75 = (0x100) + (3x10-1) + (7x10-2) + (5x10-3)
= 0 + 3/5 + 7/100 + 5/1000

ซ่ึงหากเราหารอกมาแลว้ นามาบวกกนั จะใหค้ า่ 0.375 ดงั น้ี
= 0.3 + 0.07 + 0.005
= 0.375

2. ระบบเลขฐานสอง (Binary number system)

ระบบเลขฐานสอง ประกอบดว้ ยเลข 2 ตวั คือ 0 , 1
ระบบเลขฐานสอง หรือ การแทนลกั ษณะขอ้ มูลดว้ ยสภาวะ 2 สถานะ เนื่องจากภาษาเคร่ือง
คอมพวิ เตอร์ ใชไ้ มเ่ หมือนกบั ภาษามนุษยท์ ี่ใชก้ นั โดยทว่ั ไป อาทิเช่น ภาษาองั กฤษ ภาษาจีน ฯลฯ ดว้ ยเหตุการณ์
น้ีขอ้ มูลที่ใชก้ บั ระบบคอมพิวเตอร์จะตอ้ งเปล่ียนรูป หรือเขา้ รหสั เป็นภาษาเคร่ืองก่อน
เพราะเลขฐานใดๆ จะมีคา่ ต่ากวา่ ฐานอยู่ 1 ดงั น้นั เลขฐานสองมีสัญลกั ษณ์ท่ีเป็นเลขโดด อยู่ 2 ตวั คือ 0
และ 1 คา่ ประจาหลกั กจ็ ะเพิ่มจากทางขวามือมาทางซา้ ยมือเช่นเดียวกนั แต่การเพิ่มข้ึนน้นั จะเป็นเลขยกกาลงั
ของ 2 โดยเร่ิมจากเลขโดดตวั ขวาสุดท่ีมีค่าประจาหลกั = 20 หรือ = 1 ในเลขฐานสิบและเลขโดดในตาแหน่ง
ถดั ไปจะมีคา่ ประจาหลกั เป็น 21 = 2 ในเลขฐานสิบ และ 22 = 4 ในเลขฐานสิบสาหรับตวั ถดั ไปจะเพ่ิมข้ึนใน
ลกั ษณะน้ีไปเรื่อยๆ

ตัวอย่าง 2.2 (101)2 อ่านวา่ หน่ึง ศนู ย์ หน่ึง ฐานสอง
(10011)2 อา่ นวา่ หน่ึง ศูนย์ ศูนย์ หน่ึง หน่ึง ฐานสอง

ตวั เลข 0 และเลข 1 น้ีเราเรียกวา่ บิต (bit) ซ่ึงยอ่ มาจากคาวา่ Binary digits จากตวั เลขเพียงสองตวั น้ีเรา
สามารถนามาจดั เป็ นระบบเลขฐานสองแสดงความหมายแทนแคแรคเตอร์ ซ่ึงไดแ้ ก่ ตวั อกั ษร ตวั เลข และ
เคร่ืองหมายพเิ ศษต่างๆ ไดต้ ามตอ้ งการ

3. ระบบเลขฐานแปด
เลขฐานแปด ประกอบดว้ ยตวั เลข 8 ตวั คือ 0,1,2,3,4,5,6,7
เลขฐานแปดเป็นอีกระบบหน่ึง ท่ีมีความสาคญั ในการศึกษาวงจรดิจิตอล เป็นระบบที่มีเลขฐาน = 8

สัญลกั ษณ์ที่ใชม้ ี 8 ตวั ท่ีมีคา่ ต่างกนั หน่ึงหน่วยเรียงตามกนั ตามลาดบั ตวั เลขโดดท่ีมีคา่ สูงสุดในระบบน้ีคือ 7
และตวั เลขโดดท่ีมีคา่ ต่าสุดคือ 0 หลงั จาก 7 จะตอ้ งเป็นเลขสญั ลกั ษณ์ 2 หลกั ดงั น้นั ค่า 8 ในฐานสิบ จะมีคา่ = 10
ในฐานแปด เราอ่าน 10 วา่ หน่ึง ศูนย์ ไม่อา่ นวา่ สิบ ตามที่อ่านในเลขฐานสิบ

การนบั เลขในเลขฐานแปด
0,1,2,3,4,5,6,7
10,11,12,13,14,15,16,17
:
70,71,72,73,74,75,76,77

4. ระบบเลขฐานสิบหก

เลขฐานสิบหกประกอบดว้ ยสัญลกั ษณ์ 16 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F โดยท่ี A

แทน 10 , B แทน 11 , C แทน 12 , D แทน 13 , E แทน 14 , F แทน 15

การลดความยงุ่ ยากในการเอาเลขฐานแปกดมาแทนเลขฐานสอง คือ เลขฐานแปด 1 ตวั แทนดว้ ย

เลขฐานสองได้ 3 หลกั เช่น 68 = 1102 ส่วนเลขฐานสิบหก 1 ตวั สามารถแทนดว้ ยเลขฐานสอง ได้ 4 หลกั เช่น
616 = 01102

เลขฐานสิบหกมีประโยชนม์ าก เพราะในระบบดิจิตอลน้นั มกั จะมีการประมวลผลขา่ วสาร เลขฐานสอง

ในขนาด 8 บิต 16 บิต 32 บิต 64 บิต 128 บิต เป็นตน้ ซ่ึงข่าวสารเหล่าน้ี หากนาเลขฐานสิบหกมาเขียนแทนกจ็ ะ

ทาใหส้ ะดวกมากข้ึน

ตารางแสดงการเปรียบเทยี บเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก

0000

1111

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 6 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

30 11110 36 1E
31 11111 37 1F

5. เลขฐานอืน่ ๆ
นอกจากเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก แลว้ ยงั มีเลขฐานอื่นๆ อีก เช่น เลขฐานสาม เลขฐาน

ส่ี เลขฐานหา้ เป็ นตน้ แต่เลขฐานเหล่าน้ีไม่นิยมนามาใชก้ บั ระบบคอมพิวเตอร์ ซ่ึงในระบบคอมพิวเตอร์จะนา
เลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก มาใชใ้ นการเขา้ รหสั

ซ่ึงหลกั การทางานของเลขฐานอ่ืนๆ ที่กล่าวมาก็จะมีหลกั การจดั การ เหมือนกนั กบั เลขฐานสิบ ฐานสอง
ฐานแปด ฐานสิบหก เพยี งแต่แตกต่างกบั ตกการหอ้ ยของเลขฐาน จะเปลี่ยนไปตามฐานน้นั ๆ

ข้อสังเกต 1. เลขฐานใดๆ จะมีตวั เลขนอ้ ยกวา่ ฐานน้นั ๆ อยู่ 1 เสมอ

2. ถา้ เลขฐานใดๆ มีค่าเทา่ กบั เลขฐานน้นั ๆ จะผดิ ทนั ที

6. การแทนลกั ษณะข้อมูลในคอมพวิ เตอร์

การแทนขอ้ มลู ดว้ ยเลขฐานสอง(Binary) การแทนดว้ ยระบบเลขฐานแปด (Octal) และแทนดว้ ยขอ้ มลู
ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal) เพราะระบบตวั เลขท้งั สาม นามาใชก้ บั ระบบคอมพวิ เตอร์ปัจจุบนั กนั เป็น
ส่วนมาก

โดยปกติมนุษยค์ ุน้ เคยอยกู่ บั การคานวณเลขฐานสิบ (Decimal number) คือ ระบบที่ใชเ้ ลขจานวนสิบตวั
ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ ในบทตน้ ๆ สาหรับสญั ลกั ษณ์ท่ีใชก้ นั โดยทวั่ ไปในทางเอกสาร มนุษยเ์ ราน้นั นอกจากจะ
ประกบไปดว้ ยตวั อกั ษร และเครื่องหมายพอเศษต่างๆ แลว้ ยงั มีตวั เลขฐานสิบอีกดว้ ย ไมว่ า่ จะนาขอ้ มลู เขา้ สู่
เคร่ืองคอมพวิ เตอร์ และการแสดงผลอกมาในรูปภาษามนุษยท์ ่ีสามารถอ่านเขา้ ใจได้ แต่สาหรับภายในเครื่อง
คอมพิวเตอร์แลว้ มีความจาเป็ นตอ้ งใชภ้ าษาของเครื่องคอมพิวเตอร์โดยเฉพาะ ดงั น้นั ตวั อกั ษร ตวั เลข และ
เคร่ืองหมายพิเศษตา่ งๆ จึงตอ้ งลงรหสั (Encode) หรือภาษาของเคร่ืองคอมพิวเตอร์ไวใ้ ห้เป็นท่ีแน่นอน เพื่อใชใ้ น
การแสดงลกั ษณะขอ้ มูล (Data representation) ส่วนเลขฐานสิบไม่เหมาะท่ีจะนามาใชใ้ นการทางานภายในเครื่อง
คอมพวิ เตอร์อิเล็กทรอนิกส์ไดต้ ามตอ้ งการได้

รหสั ทางคอมพวิ เตอร์มีหลายรหสั ในที่น้ีขอยกตวั อยา่ งรหสั ที่มีความสาคญั ตอ่ ระบบติจิตอลคือ รหสั
แบบ BCD , EBCDIC , ASCII เป็นตน้