คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 1 คณิตศาสตร์ประยุกต์1(มี.ค. 66) วันอาทิตย์ที่ 19 มีนาคม 2566 เวลา 8.30 - 10.00 น. ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 ค าตอบที่ถูกที่สุด จ านวน 25 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 75 คะแนน 1. ให้() = 3 + ( − 1) 2 − 3 เมื่อ เป็นจ านวนจริงลบ ถ้าเศษเหลือจากการหาร () ด้วย − 3 เท่ากับ 18 แล้วเศษเหลือจากการหาร () ด้วย 2 + 1 เท่ากับเท่าใด 1. 3 2. 18 3. 22 4. 207 8 5. 209 8 2. ให้ = { ∈ ℤ | |2 + 3| < 2| − 5| } และ = { ∈ ℝ | 0 < < 5 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) สมาชิกของเซต ที่มีค่ามากที่สุด คือ 0 ข) − เป็นเซตอนันต์ ค) ∀[ ∈ → ∈ ] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง 3. ให้ , , และ เป็นประพจน์ โดยที่ (~ ∧ ) → [~ → ( ↔ )] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง 1. ~ → 2. ∧ 3. ↔ 4. ∧ 5. ↔ 29 May 2023
2 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) 4. ก าหนด และ เป็นประพจน์ และรูปแบบของประพจน์ ∗ มีค่าความจริง แสดงดังตาราง พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) [( ∗ ) ∧ ] → เป็นสัจนิรันดร์ ข) นิเสธของ ∗ คือ ∗ ~ ค) ∗ สมมูลกับ ( ∧ ~) ∨ (~ ∧ ~) จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ถ้า log1 4 256 + 2 log 625 log 5 = 3 เมื่อ เป็นจ านวนจริง แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. log3 2 2. log3 4 3. log3 33 4 4. log3 10 5. log3 12 6. รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุม A ขนาด 60 องศา ด้านประกอบมุม A ยาวเท่ากัน มุม C เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามมุม A มี ขนาด 120 องศา และด้านประกอบมุม C ยาว 30 และ 50 หน่วย ด้าน AB ยาวกี่หน่วย 1. 80 2. 70 3. 60 4. 50 5. 40 ∗ T T F T F T F T F F F T
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 3 7. tan (arccos ( 5 13 ) + arcsin ( 3 5 )) เท่ากับเท่าใด 1. − 63 16 2. − 7 40 3. 9 8 4. 32 25 5. 63 20 8. ให้ = { −1, 0 , 1 , 2 } เป็นสับเซตของ โดยที่ ≠ ∅ และ 2 ∉ และ เป็นฟังก์ชันจาก ไปทั่วถึง โดยที่ (−1) = 1 และ (1) = −1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ถ้า (2) > 0 แล้ว (2) = 1 ข) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ค) มีฟังก์ชันผกผัน จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 9. ให้ = [ −1 0 3 ] และ = [ −2 0 1 ] เมื่อ เป็นจ านวนจริง ถ้า det( −1) = −6 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. −4 2. −1 3. 1 4. 4 5. 9
4 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) 10. ถ้า 1 ,2 , 3 , … , , … เป็นล าดับอนันต์ โดยที่ = 1 − 1 +2 แล้ว Σ ∞ =1 เท่ากับเท่าใด 1. 0 2. 2 3 3. 1 4. 3 2 5. หาผลบวกไม่ได้ เพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก 11. ก าหนดแบบรูปของแผนภาพบันไดไม้ขีดไฟดังนี้ โดยที่ แทน ไม้ขีดไฟ 1 ก้าน ถ้ามะลิมีไม้ขีดไฟจ านวน 990 ก้าน เพื่อต่อเป็นรูปบันใด 1 รูป แล้วมะลิจะสามารถสร้างบันไดไม้ชีดไฟได้จ านวน ขั้นบันไดมากที่สุดกี่ขั้น 1. 25 2. 29 3. 30 4. 31 5. 33 รูปที่ 1 บันไดไม้ขีดไฟ 1 ขั้น … … รูปที่ 2 บันไดไม้ขีดไฟ 2 ขั้น รูปที่ 3 บันไดไม้ขีดไฟ 3 ขั้น
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 5 12. โต้งกู้เงินจากวินเพื่อการลงทุนจ านวน 200,000 บาท โดยโต้งท าสัญญากับวินว่าจะช าระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมด ในอีก 2 ปีข้างหน้า และวินก าหนดอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปีตาม สัญญา โต้งขอเลื่อนเวลาช าระออกไปอีก 1 ปี โต้งและวินจึงได้ท าสัญญาฉบับใหม่ โดยก าหนดให้เงินกู้พร้อมดอกเบี้ย ทั้งหมดจาก 2 ปีที่ผ่านมาเป็นยอดเงินกู้ในสัญญาฉบับใหม่นี้ และปรับอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น 3% ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เมื่อครบก าหนด 1 ปีตามสัญญาฉบับใหม่ โต้งจะต้องช าระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ย ทั้งหมดกี่บาท 1. 200,000(1.02) 2 (1.015) 2 2. 200,000(1.02) 2 (1.03) 3. 200,000(1.02) 2 (1.03) 2 4. 200,000[(1.02) 2 + (1.015) 2 ] 5. 200,000[(1.02) 2 + (1.03) 2 ] 13. ให้จ านวนเชิงซ้อน = cos 3 + sin 3 และ เป็นรากที่ 3 ของจ านวนเชิงซ้อน cos 2 + sin 2 ถ้าส่วนจริงของ เป็นจ านวนจริงลบ แล้วส่วนจริงของ เท่ากับเท่าใด 1. cos 6 2. cos 5 6 3. cos 5 4 4. cos 4 3 5. cos 3 2 14. ให้ แทนเซตของจ านวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับ อสมการ | − | 2 + | + | 2 < 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ถ้า ∈ แล้ว Re() ∈ ข) ถ้า ∈ แล้ว ̅ ∈ ค) ถ้า ∈ แล้ว 2 ∈ จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง
6 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) 15. ก าหนดเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังนี้ ถ้า ⃑ × ตั้งฉากกับ ⃑ แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. − 21 5 2. −4 3. − 1 3 4. 1 3 5. 1 16. ก าหนดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ที่มีจุด B(1, 1, 0) จุด C(1, 2, 0) และจุด F(0, 1, 2) เมื่อลาก ̅AC̅̅̅ และ CE̅̅̅̅ จะได้ AĈE = ดังรูป ค่าของ sec เท่ากับเท่าใด 1. 1 √10 2. 1 10 3. √10 4. 10 5. √5 √2 17. ให้จุด (, ) เป็นจุดบนวงรี 2 2 + 2 3 = 1 ถ้าระยะห่างระหว่างจุด (, ) กับจุด (0, − 5 4 ) เท่ากับระยะระหว่าง จุด (, ) กับเส้นตรง = − 3 4 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. −3 2. − 3 2 3. − 3 4 4. 3 2 5. 3 ⃑ = 2 − + 2⃑ = − − 2 + 3⃑ ⃑ = 4 + 3 + ⃑ เมื่อ เป็นจ านวนจริง F(0,1,2) B(1,1,0) C(1,2,0) Z X A D Y E G H 0
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 7 18. โฮมสเตย์แห่งหนึ่งมีห้องพักอยู่ 3 ห้อง ประกอบด้วย ห้องขนาดเล็ก เข้าพักได้ไม่เกิน 2 คน ห้องขนาดกลาง เข้าพักได้ไม่เกิน 4 คน ห้องขนาดใหญ่ เข้าพักได้ไม่เกิน 6 คน ถ้ามีลูกค้าติดต่อเพื่อขอจองห้องพักในวันที่ 16 เมษายน 2566 จ านวน 2 กลุ่ม โดยกลุ่มที่ 1 แจ้งว่ามีผู้เข้าพัก 6 คน และกลุ่มที่ 2 แจ้งว่ามีผู้เข้าพัก 3 คน แล้วโฮมสเตย์แห่งนี้จะมีวิธีจัดคนทั้งสองกลุ่มเข้าห้องพักได้ทั้งหมดกี่วิธี โดยผู้เข้าพักที่อยู่ต่างกลุ่มกัน ต้องไม่พักห้องเดียวกัน และผู้เข้าพักที่อยู่กลุ่มเดียวกันสามารถเข้าพักห้องเดียวกันหรือ แยกห้องพักได้ 1. 22 2. 28 3. 37 4. 40 5. 43 19. บริษัทแห่งหนึ่งมีเครื่องถ่ายเอกสารอยู่ 2 เครื่อง คือ เครื่อง A และ เครื่อง B จากข้อมูลการใช้งานเครื่องถ่ายเอกสารทั้ง 2 เครื่องนี้ พบว่า ความน่าจะเป็นที่เครื่อง A เสีย เท่ากับ 0.11 ความน่าจะเป็นที่เครื่อง B เสีย เท่ากับ 0.15 ความน่าจะเป็นที่เครื่อง A หรือ เครื่อง B เสีย เท่ากับ 0.18 ความน่าจะเป็นที่มีเครื่องถ่ายเอกสารไม่เสียอย่างน้อย 1 เครื่อง เท่ากับเท่าใด 1. 0.74 2. 0.82 3. 0.85 4. 0.89 5. 0.92
8 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) 20. ผลการสอบคัดเลือกนักเรียนเพื่อเข้าศึกษาต่อชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ซึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ ทั้งหมด 200 คน แสดงด้วยตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียนทั้งหมด ดังนี้ จากข้อมูล พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ 60 คะแนน ข) ควอไทล์ที่ 2 ของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ 75 คะแนน ค) เมื่อน าคะแนนสอบของนักเรียนทั้งหมดมาเขียนแผนภาพกล่อง พบว่า คะแนนต ่าสุดจากการสอบครั้งนี้ เป็น ค่านอกเกณฑ์ของข้อมูลชุดนี้ (เมื่อค่านอกเกณฑ์ คือ ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 1 − 1.5(3 − 1 ) หรือ ข้อมูลที่มีค่ามากกว่า 3 + 1.5(3 − 1 ) โดยที่ 1 และ 3 แทนควอไทล์ที่ 1 และควอไทล์ที่ 3 ของ ข้อมูล ตามล าดับ) จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง คะแนนสอบ (คะแนน) จ านวนนักเรียน (คน) 50 2 55 10 60 48 65 40 70 24 75 20 80 20 85 16 90 10 95 6 100 4 รวม 200
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 9 21. ศูนย์ดูแลผู้ป่วยติดเตียงแห่งหนึ่งมีจ านวนผู้ป่วยเข้ามาใช้บริการศูนย์แห่งนี้ทั้งหมด 120 คน โดยจ านวนผู้ป่วย เพศชายคิดเป็นร้อยละ 40 ของจ านวนผู้ป่วยทั้งหมด และอายุ (ปี) ของผู้ป่วย จ าแนกตามเพศแสดงด้วย แผนภาพกล่อง ดังนี้ ให้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของผู้ป่วยเพศชาย เท่ากับ 70 ปี และ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของผู้ป่วยเพศหญิง เท่ากับ 55 ปี พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุผู้ป่วยทั้งหมดเท่ากับ 62.5 ปี ข) พิสัยระหว่างควอไทล์ของอายุผู้ป่วยเพศชาย น้อยกว่า พิสัยระหว่างควอไทล์ของอายุผู้ป่วยเพศหญิง ค) ผู้ป่วยที่มีอายุน้อยกว่า 65 ปี มีจ านวนไม่เกิน 50 คน จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 22. จากข้อมูลเกี่ยวกับอาการแพ้วัคซีนชนิดหนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นที่ผู้รับการฉีดวัคซีนแต่ละคนจะมีอาการแพ้ เป็น 0.0002 ถ้านักวิจัยสุ่มผู้รับการฉีดวัคซีนชนิดนี้จ านวน 500 คน ที่เป็นอิสระกัน แล้วความน่าจะเป็นที่ผู้รับการ ฉีดวัคซีนจะมีอาการแพ้ไม่เกิน 1 คน เท่ากับเท่าใด 1. 0.9998499 2. 0.1(0.9998499) 3. 1.0998(0.9998499 ) 4. 0.9998500 5. 0.1(0.9998500) 90 80 70 60 50 40 30 ชาย หญิง
10 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) 23. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน เป็นพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่จุด (2, 4) และ ตัดแกน X ที่จุด (0, 0) และ (4, 0) และกราฟของฟังก์ชัน และ ℎ เป็นเส้นตรง ดังรูป ข้อใดถูกต้อง 1. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = −4∫ 4 2 () 2. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = −3∫ 4 2 () 3. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = 4∫ 4 2 () 4. ′ ()= () และ ∫ 2 0 ℎ() = −4∫ 4 2 () 5. ′ ()= () และ ∫ 2 0 ℎ() = 4∫ 4 2 () −2 0 −2 −4 2 2 4 4 6 6 ℎ X Y
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 11 24. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน และ ดังรูป พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) lim →1 (() ∙ ()) = 1 ข) lim →−1 (() + ()) = 0 ค) + เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2, 4] จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 25. ให้ () = 4 + 3 + 2 + + เมื่อ , , , และ เป็นจ านวนจริง และ ≠ 0 โดยที่ 2 − 1 หาร () ลงตัว (0) = −2 และ ′ (0) = −4 ให้ แทนเซตของจ านวนจริงทั้งหมดที่เป็นค าตอบของสมการ () = 0 ถ้า () = 3 แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต เท่ากับเท่าใด 1. −6 2. −2 3. − 1 3 4. 2 3 5. 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 X Y −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 X Y
12 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลขที่เป็นค าตอบ จ านวน 5 ข้อข้อละ 5 คะแนน รวม 25 คะแนน 26. ก าหนด แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ , เป็นสับเซตของ โดยที่ () = 100 , ( ∩ ) = 35 และ (′ ∩ ′) = 9 ถ้า () ≥ 61 แล้ว () ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด 27. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีการแบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน ดังรูป ถ้ามีสีอยู่ 6 สี และต้องการระบายสีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ทั้ง 4 ส่วน โดยแต่ละส่วนใช้สีเพียงสีเดียวและส่วนที่อยู่ติดกันต้องใช้สีที่แตกต่างกัน แล้วจะมีวิธีระบายสีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ได้แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี 28. ข้อมูลการผลิตเหล็กเส้นของโรงงานแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ “น ้าหนักของเหล็กเส้นที่ผลิตได้มีการแจกแจงปกติ โดยมีน ้าหนักเฉลี่ย เท่ากับ กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ กิโลกรัม ” หากสุ่มเหล็กเส้นจากโรงงานแห่งนี้มา 1 เส้น พบว่า ความน่าจะเป็นที่ได้เหล็กเส้นมีน ้าหนักน้อยกว่า 8.86 กิโลกรัม คือ 0.31 และความน่าจะเป็นที่จะได้เหล็กเส้นมีน ้าหนักมากกว่า 8.90 กิโลกรัม คือ 0.31 ค่าของ + 2 เท่ากับเท่าใด ก าหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังนี้ −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ปกติมาตรฐาน 0.02 0.07 0.16 0.31 0.69 0.84 0.93 0.98 0 0
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 13 29. วงกลม ( − 1) 2 + ( − 2) 2 = 1 มีเส้นสัมผัสที่ผ่านจุดก าเนิด 2 เส้น คือแกน Y และเส้นตรง L ความชันของเส้นตรง L เท่ากับเท่าใด 30. ก าหนดให้ () แทนปริมาณประจุไฟฟ้าในตัวเก็บประจุตัวหนึ่งที่คิดเป็นเปอร์เซ็นต์ (เทียบกับปริมาณประจุไฟฟ้า สูงสุดที่สามารถเก็บได้) เมื่อชาร์จตัวเก็บประจุที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ เป็นระยะเวลา นาที โดยที่ () = 100 (1 − 2 − 20) ถ้าครั้งที่ 1 ธิดาชาร์จตัวเก็บประจุตัวนี้ที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ จนได้ประมาณประจุไฟฟ้าเป็น 50 เปอร์เซ็นต์ และครั้งที่ 2 ธิดาชาร์จตัวเก็บประจุตัวนี้ที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ จนได้ประมาณประจุ ไฟฟ้าเป็น 87.5 เปอร์เซ็นต์ แล้วระยะเวลาที่ใช้ในการชาร์จตัวเก็บประจุครั้งที่ 2 มากกว่าครั้งที่ 1 กี่นาที
14 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) เฉลย 1. 4 7. 1 13. 5 19. 5 25. 3 2. 4 8. 1 14. 5 20. 1 26. 65 3. 4 9. 4 15. 2 21. 2 27. 480 4. 5 10. 4 16. 3 22. 3 28. 8.96 5. 2 11. 3 17. 2 23. 1 29. 0.75 6. 2 12. 1 18. 5 24. 5 30. 40 แนวคิด 1. ให้() = 3 + ( − 1) 2 − 3 เมื่อ เป็นจ านวนจริงลบ ถ้าเศษเหลือจากการหาร () ด้วย − 3 เท่ากับ 18 แล้วเศษเหลือจากการหาร () ด้วย 2 + 1 เท่ากับเท่าใด 1. 3 2. 18 3. 22 4. 207 8 5. 209 8 ตอบ 4 จากทฤษฎีเศษ () ด้วย − 3 จะเหลือเศษเท่ากับ (3) ดังนั้น เมื่อหาร () ด้วย 2 + 1 จะได้เศษเป็นตัวเลขที่ไม่มี (เพราะเศษต้องมีดีกรีน้อยกว่า 2 + 1) → ให้เศษ = จากความสัมพันธ์ 2. ให้ = { ∈ ℤ | |2 + 3| < 2| − 5| } และ = { ∈ ℝ | 0 < < 5 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) สมาชิกของเซต ที่มีค่ามากที่สุด คือ 0 ข) − เป็นเซตอนันต์ ค) ∀[ ∈ → ∈ ] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง ตอบ 4 (3) = 18 3 3 + ( − 1)3 2 − 3 = 18 27 + 9 − 9 − 3 = 18 9 − 3 = 0 (9 − 2 ) = 0 (3 − )(3 + ) = 0 = 0 , 3 , −3 → โจทย์ให้ เป็นลบ ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร + เศษ () = (2 + 1)(ผลหาร) + (− 1 2 ) = (2 (− 1 2 ) + 1) (ผลหาร) + (− 1 2 ) = ( 0 ) (ผลหาร) + (− 1 2 ) = แทน = − 1 2 ให้เกิดค่า 0 ไปคูณกับพจน์ที่ไม่ต้องการ = (− 1 2 ) 3 + ( − 1) (− 1 2 ) 2 − 3 = − 1 8 + (−3 − 1) ( 1 4 ) − (−3) 3 = −1−8+216 8 = 207 8
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 15 แต่ ใน ต้องเป็นจ านวนเต็ม (ℤ) ซึ่งจ านวนเต็มที่น้อยกว่า 7 4 จะมีค่ามากสุดได้เท่ากับ 1 → ก) ผิด จะได้ = { … , −2, −1, 0, 1 } จะเห็นว่า มีจ านวนลบมากมายนับไม่ถ้วน แต่ ไม่มี ดังนั้น − จะมีจ านวนลบมากมายนับไม่ถ้วน จึงเป็นเซตอนันต์ → ข) ถูก และถ้า เป็นลบแล้ว จะอยู่ใน แต่ไม่อยู่ใน ท าให้ ∀[ ∈ → ∈ ] เป็นเท็จ → ค) ถูก 3. ให้ , , และ เป็นประพจน์ โดยที่ (~ ∧ ) → [~ → ( ↔ )] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง 1. ~ → 2. ∧ 3. ↔ 4. ∧ 5. ↔ ตอบ 4 ย้อนหาค่าความจริงของประพจน์ จะได้ จะได้ ≡ F , ≡ T , ≡ F , ≡ T 1. ~F → F ≡ F 2. F ∧ F ≡ F 3. F ↔ T ≡ F 4. T ∧ T ≡ T 5. T ↔ F ≡ F 4. ก าหนด และ เป็นประพจน์ และรูปแบบของประพจน์ ∗ มีค่าความจริง แสดงดังตาราง พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) [( ∗ ) ∧ ] → เป็นสัจนิรันดร์ ข) นิเสธของ ∗ คือ ∗ ~ ค) ∗ สมมูลกับ ( ∧ ~) ∨ (~ ∧ ~) จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น ตอบ 5 |2 + 3| < 2| − 5| |2 + 3| 2 < (2| − 5|) 2 (2 + 3) 2 < (2( − 5)) 2 4 2 + 12 + 9 < 4( 2 − 10 + 25) 4 2 + 12 + 9 < 4 2 − 40 + 100 52 < 91 < 91 52 = 7 4 (~ ∧ ) → [~ → ( ↔ )] F T → F T ∧ T T → F ~F ~F F ↔ T ∗ T T F T F T F T F F F T
16 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) ก) สมมติให้ [( ∗ ) ∧ ] → เป็นเท็จ แล้วย้อนหาค่าความจริงของ และ ดู จะได้ ≡ T และ ≡ F อย่างราบรื่น จึงไม่ใช่สัจนิรันดร์ → ก) ผิด ข) จะหาค่าความจริงของ ∗ ~ แล้วดูว่าตรงข้ามกับ ∗ ทุกกรณี หรือไม่ เนื่องจากตารางที่โจทย์ให้ ใช้ตัวแปร และ จะท าให้สับสนตอนหาค่าความจริงของ ∗ ~ ได้ง่าย จึงขอเขียนตารางที่โจทย์ให้ในรูปแบบใหม่ (แบบเอา และ ออก) ได้ดังนี้ ใช้ข้อมูลรูปแบบใหม่ดังกล่าว ในการหา ∗ ~ จะได้ดังนี้ จะเห็นว่า ∗ ~ ตรงข้ามกับ ∗ ในทุกกรณี → ข) ถูก ค) จัดรูป ( ∧ ~) ∨ (~ ∧ ~) ซึ่งจากตารางที่โจทย์ให้ จะเห็นว่าค่าความจริงของ ∗ เหมือนกับค่าความจริงของ ~ ทุกกรณี → ค) ถูก 5. ถ้า log1 4 256 + 2 log 625 log 5 = 3 เมื่อ เป็นจ านวนจริง แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. log3 2 2. log3 4 3. log3 33 4 4. log3 10 5. log3 12 ตอบ 2 6. รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุม A ขนาด 60 องศา ด้านประกอบมุม A ยาวเท่ากัน มุม C เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามมุม A มี ขนาด 120 องศา และด้านประกอบมุม C ยาว 30 และ 50 หน่วย ด้าน AB ยาวกี่หน่วย 1. 80 2. 70 3. 60 4. 50 5. 40 ตอบ 2 ด้านประกอบมุม A ยาวเท่ากัน → ให้ AB = = AD ด้านประกอบมุม C ยาว 30 และ 50 หน่วย → ไม่รู้ว่าด้านไหน 30 หน่วย ด้านไหน 50 หน่วย แต่ไม่ว่าจะเป็นแบบไหนก็ได้ AB ยาวเท่ากัน → สมมติให้ BC = 30 , CD = 50 ดังรูป ใช้กฏของ cos ใน ∆BCD จะได้ F T → F T ∧ T T ∗ F T ∗ T ≡ F T ∗ F ≡ T F ∗ T ≡ F ~ ∗ ~ F ∗ F ≡ T T T F T T F T F F T F T F F T F ≡ ( ∨ ~) ∧ ~ ≡ T ∧ ~ ≡ ~ ดึง ∧ ~ log1 4 256 + 2 log 625 log 5 = 3 log(2 −2) (2 8 ) + 2 log 5 4 log 5 = 3 8 −2 log2 2 + 8 log 5 log 5 = 3 −4 + 8 = 3 4 = 3 log3 4 = 120° 60° A B C D 30 50 BD2 = 302 + 502 − 2(30)(50) cos 120° BD2 = 302 + 502 − 2(30)(50) (− 1 2 ) = 900 + 2500 + 1500 = 4900 BD = 70
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 17 เนื่องจาก AB = AD ดังนั้น ∆ABD เป็น ∆ หน้าจั่ว และเนื่องจากมุม A = 60° จะได้มุมที่ฐาน = 180°−60° 2 = 60° จะเห็นว่า ∆ABD มีมุมภายในทุกมุม = 60° ดังนั้น ∆ABD เป็น ∆ ด้านเท่า ซึ่งจะได้ AB = AD = BD = 70 7. tan (arccos ( 5 13 ) + arcsin ( 3 5 )) เท่ากับเท่าใด 1. − 63 16 2. − 7 40 3. 9 8 4. 32 25 5. 63 20 ตอบ 1 ให้ = arccos ( 5 13 ) จะได้ cos = 5 13 และให้ = arcsin ( 3 5 ) จะได้ sin = 3 5 เนื่องจาก 5 13 และ 3 5 เป็นบวก ดังนั้น ทั้ง และ มีค่าระหว่าง 0° และ 90° วาดมุม และ ในสามเหลี่ยมที่ cos = 5 13 และ sin = 3 5 พร้อมหาด้านที่เหลือด้วยพีทากอรัสได้ดังรูป ดังนั้น tan (arccos ( 5 13 ) + arcsin ( 3 5 )) 8. ให้ = { −1, 0 , 1 , 2 } เป็นสับเซตของ โดยที่ ≠ ∅ และ 2 ∉ และ เป็นฟังก์ชันจาก ไปทั่วถึง โดยที่ (−1) = 1 และ (1) = −1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ถ้า (2) > 0 แล้ว (2) = 1 ข) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ค) มีฟังก์ชันผกผัน จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น ตอบ 1 ก) เนื่องจาก เป็นฟังก์ชันไปที่ และ ⊂ และ 2 ∉ ดังนั้น (2) ต้องอยู่ใน { −1 , 0 , 1 } เท่านั้น ซึ่งถ้า (2) > 0 แล้ว จะเหลือแค่ (2) = 1 ได้ตัวเดียวเท่านั้น → ก) ถูก ข) จาก (−1) = 1 และ (1) = −1 จะเห็นว่า เพิ่ม แต่ ลด ผิดเงื่อนไขของฟังก์ชันเพิ่ม → ข) ผิด 5 3 = √5 2 − 3 2 = √25 − 9 = √16 = 4 = tan( + ) = tan + tan 1 − tan tan = 12 5 + 3 4 1 − ( 12 5 )( 3 4 ) = 48 + 15 20 20 − 36 20 = 63 20 × 20 −16 = − 63 16 จากรูปสามเหลี่ยม จะได้ tan = 12 5 และ tan = 3 4 5 13 = √132 − 5 2 = √169 − 25 = √144 = 12 เพิ่ม ลด
18 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) ค) เนื่องจาก ⊂ และ 2 ∉ ดังนั้น จะมีจ านวนสมาชิกน้อยกว่า เสมอ ซึ่งจะท าให้ฟังก์ชัน จาก ไป ต้องมีสมาชิกใน หลายตัว ถูกโยงไปที่สมาชิกตัวเดียวกันใน ดังนั้น อินเวอร์สของ จะมีสมาชิกตัวหนึ่งใน ถูกโยงกลับไปสมาชิกหลายตัวใน ซึ่งจะไม่ใช่ฟังก์ชัน จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน → ค) ผิด 9. ให้ = [ −1 0 3 ] และ = [ −2 0 1 ] เมื่อ เป็นจ านวนจริง ถ้า det( −1) = −6 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. −4 2. −1 3. 1 4. 4 5. 9 ตอบ 4 10. ถ้า 1 ,2 , 3 , … , , … เป็นล าดับอนันต์ โดยที่ = 1 − 1 +2 แล้ว Σ ∞ =1 เท่ากับเท่าใด 1. 0 2. 2 3 3. 1 4. 3 2 5. หาผลบวกไม่ได้ เพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก ตอบ 4 Σ ∞ =1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = ( 1 1 − 1 3 ) + ( 1 2 − 1 4 ) + ( 1 3 − 1 5 ) + ( 1 4 − 1 6 ) + ( 1 5 − 1 7 ) +… ตัวลบ จะตัดกับตัวตั้งของสองพจน์ถัดไปได้เสมอ ดังนั้น เมื่อตัดหมดจะเหลือตัวตั้ง 2 ตัวแรก และตัวลบ 2 ตัวสุดท้าย เมื่อ → ∞ จะท าให้ตัวลบ 2 ตัวสุดท้ายอยู่ในรูป 1 ∞ ซึ่งจะเข้าใกล้ 0 จึงเหลือแค่ตัวตั้ง 2 ตัวแรก จึงได้ Σ ∞ =1 = 1 1 + 1 2 = 3 2 11. ก าหนดแบบรูปของแผนภาพบันไดไม้ขีดไฟดังนี้ โดยที่ แทน ไม้ขีดไฟ 1 ก้าน det( −1) = −6 det( −1 ) ∙ det() = −6 1 det() ∙ det() = −6 1 (−2)(1)−()(0) ∙ (()(3) − (0)(−1)) = −6 − 1 2 ∙ 3 = −6 = 4 รูปที่ 1 บันไดไม้ขีดไฟ 1 ขั้น … … รูปที่ 2 บันไดไม้ขีดไฟ 2 ขั้น รูปที่ 3 บันไดไม้ขีดไฟ 3 ขั้น
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 19 ถ้ามะลิมีไม้ขีดไฟจ านวน 990 ก้าน เพื่อต่อเป็นรูปบันใด 1 รูป แล้วมะลิจะสามารถสร้างบันไดไม้ชีดไฟได้จ านวน ขั้นบันไดมากที่สุดกี่ขั้น 1. 25 2. 29 3. 30 4. 31 5. 33 ตอบ 3 สังเกตจ านวนไม้ขีดไฟ ที่ต้องใช้ต่อเพิ่ม ในการสร้างรูปถัดไป จะเพิ่มขึ้นรูปละ 2 ก้าน ดังนั้น จ านวนไม้ขีดไฟที่ต้องใช้ในรูปที่ จะเป็นอนุกรมเลขคณิต ที่มี1 = 4 และ = 2 จากสูตรอนุกรมเลขคณิต จะได้จ านวนไม้ขีดของรูปที่ = = 2 (21 + ( − 1)) 12. โต้งกู้เงินจากวินเพื่อการลงทุนจ านวน 200,000 บาท โดยโต้งท าสัญญากับวินว่าจะช าระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมด ในอีก 2 ปีข้างหน้า และวินก าหนดอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปีตาม สัญญา โต้งขอเลื่อนเวลาช าระออกไปอีก 1 ปี โต้งและวินจึงได้ท าสัญญาฉบับใหม่ โดยก าหนดให้เงินกู้พร้อมดอกเบี้ย ทั้งหมดจาก 2 ปีที่ผ่านมาเป็นยอดเงินกู้ในสัญญาฉบับใหม่นี้ และปรับอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น 3% ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เมื่อครบก าหนด 1 ปีตามสัญญาฉบับใหม่ โต้งจะต้องช าระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ย ทั้งหมดกี่บาท 1. 200,000(1.02) 2 (1.015) 2 2. 200,000(1.02) 2 (1.03) 3. 200,000(1.02) 2 (1.03) 2 4. 200,000[(1.02) 2 + (1.015) 2 ] 5. 200,000[(1.02) 2 + (1.03) 2 ] ตอบ 1 ช่วง 2 ปีแรก ทบต้นทุกปีจะได้ = 2 ดอกเบี้ย = 2% และเงินต้น = 200,000 บาท จะได้มูลค่ารวมเมื่อผ่านไป 2 ปี = (1 + ) = 200,000(1 + 2 100 ) 2 = 200,000(1.02) 2 บาท ช่วง 1 ปีหลัง ทบต้นทุก 6 เดือน = ปีละ 2 ครั้ง → คิดเป็นจ านวนงวด = 2 งวด → ดอกเบี้ย 3% ต่อปี คิดเป็นดอกเบี้ยต่องวด = 3% 2 = 1.5% → เงินต้น = เงินหลังจบ 2 ปีแรก = 200,000(1.02) 2 บาท รูปที่ 1 ใช้ 4 ก้าน รูปที่ 2 ต้องเพิ่ม 6 ก้านจากรูปที่ 1 รวม = 4 + 6 ก้าน รูปที่ 3 ต้องเพิ่ม 8 ก้านจากรูปที่ 2 รวม = 4 + 6 + 8 ก้าน 990 = 2 (2(4) + ( − 1)(2)) 990 = 4 + 2 − 0 = 2 + 3 − 990 0 = ( − 30)( + 33) = 30 , −33
20 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) จะได้เงินรวมตอนสุดท้าย = (1 + ) = 200,000(1.02) 2 (1 + 1.5 100 ) 2 = 200,000(1.02) 2 (1.015) 2 บาท 13. ให้จ านวนเชิงซ้อน = cos 3 + sin 3 และ เป็นรากที่ 3 ของจ านวนเชิงซ้อน cos 2 + sin 2 ถ้าส่วนจริงของ เป็นจ านวนจริงลบ แล้วส่วนจริงของ เท่ากับเท่าใด 1. cos 6 2. cos 5 6 3. cos 5 4 4. cos 4 3 5. cos 3 2 ตอบ 5 หารากที่ 3 → เขียน cos 2 + sin 2 ในรูปเชิงขั้ว จะได้ 1 cis 2 = 1 cis 90° จะได้รากที่ 3 รากแรกคือ √1 3 cis 90° 3 = 1 cis 30° ที่เหลืออีก 2 ราก จะได้จากการเพิ่มมุมทีละ 360° 3 = 120° → จะได้รากที่เหลือคือ 1 cis 150° และ 1 cis 270° ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ คือ 1 cis 30° , 1 cis 150° , 1 cis 270° เขียน ในรูปเชิงขั้ว จะได้ = 1 cis 3 = 1 cis 60° จะได้ค่าที่เป็นไปได้ของ คือ 1 cis 60° 1 cis 30° , 1 cis 60° 1 cis 150° , 1 cis 60° 1 cis 270° = 1 cis 30° , 1 cis(−90°) , 1 cis(−210°) แต่ส่วนจริงของ เป็นลบ แสดงว่า ต้องอยู่ในจตุภาคที่ 2 หรือ 3 ซึ่งจะมีแค่ 1 cis(−210°) เท่านั้น ย้อนกลับหา จะได้ 1 cis(−210°) = 1 cis 60° 1 cis 270° = จะได้ = 1 cis 270° = cos 270° + sin 270° ซึ่งจะมีส่วนจริง = cos270° = cos 3 2 14. ให้ แทนเซตของจ านวนเชิงซ้อน ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับ อสมการ | − | 2 + | + | 2 < 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ถ้า ∈ แล้ว Re() ∈ ข) ถ้า ∈ แล้ว ̅ ∈ ค) ถ้า ∈ แล้ว 2 ∈ จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง ตอบ 5 แทน = + ในอสมการ 1 cis 1 2 cis 2 = 1 2 cis(1 − 2 ) ส่วนจริง (−) ส่วนจริง (+) ส่วนจินตภาพ (+) ส่วนจินตภาพ (−) 2 1 3 4 | − | 2 + | + | 2 < 4 | + − | 2 + | + + | 2 < 4 | + ( − 1)| 2 + | + ( + 1)| 2 < 4 2 + ( − 1) 2 + 2 + ( + 1) 2 < 4 2 2 + 2 − 2 + 1 + 2 + 2 + 1< 4 2 2 + 2 2 < 2 2 + 2 < 1 || 2 < 1 || = √ 2 + 2 ดังนั้น ∈ เมื่อ || 2 < 1 | + | = √ 2 + 2
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 21 ให้ ∈ จะได้ || 2 < 1 …(∗) ก) โจทย์ถามว่า Re() ∈ หรือไม่ → ต้องดูว่า |Re()| 2 < 1 หรือไม่ เนื่องจาก |Re()| 2 ≤ |Re()| 2 + |Im()| 2 ดังนั้น Re() ∈ → ก) ถูก ข) โจทย์ถามว่า ̅ ∈ หรือไม่ → ต้องดูว่า |̅| 2 < 1 หรือไม่ เนื่องจาก |̅| 2 = || 2 < 1 (จาก ∗) จึงท าให้ ̅ ∈ → ข) ถูก ค) โจทย์ถามว่า 2 ∈ หรือไม่ → ต้องดูว่า | 2 | 2 < 1 หรือไม่ จาก (∗) : ดังนั้น 2 ∈ → ค) ถูก 15. ก าหนดเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังนี้ ถ้า ⃑ × ตั้งฉากกับ ⃑ แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. − 21 5 2. −4 3. − 1 3 4. 1 3 5. 1 ตอบ 2 ตั้งฉากกัน จะดอทกันได้ 0 ดังนั้น (⃑ × ) ∙ ⃑ = 0 ⃑ × = [ 2 −1 2 ] × [ −1 −2 3 ] = [ (−1)(3) − (2)(−2) (2)(−1) − (2)(3) (2)(−2) − (−1)(−1) ] = [ 1 −8 −5 ] ดังนั้น (⃑ × ) ∙ ⃑ = [ 1 −8 −5 ] ∙ [ 4 3 ] = (1)(4) + (−8)(3) + (−5) = 0 16. ก าหนดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ที่มี จุด B(1, 1, 0) จุด C(1, 2, 0) และจุด F(0, 1, 2) เมื่อลาก ̅AC̅̅̅ และ CE̅̅̅̅ จะได้ AĈE = ดังรูป ค่าของ sec เท่ากับเท่าใด 1. 1 √10 2. 1 10 3. √10 4. 10 5. √5 √2 ตอบ 3 เป็นมุมระหว่าง ⃑CA⃑⃑⃑ และ CE⃑⃑⃑⃑ → จะใช้สูตร ⃑CA⃑⃑⃑ ∙ CE⃑⃑⃑⃑ = |⃑CA⃑⃑⃑ | |CE⃑⃑⃑⃑ | cos = || 2 < 1 จาก (∗) || 2 < 1 | 2 | < 1 | 2 | 2 < 1 กระจายค่าสัมบูรณ์ในการคูณ หาร ยกก าลังได้ ยกก าลัง 2 ทั้งสองข้าง ⃑ = 2 − + 2⃑ = − − 2 + 3⃑ ⃑ = 4 + 3 + ⃑ เมื่อ เป็นจ านวนจริง −5 = 20 = −4 F(0,1,2) B(1,1,0) C(1,2,0) Z X A D Y E G H 0
22 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) หาพิกัด A → ใช้ B(1, 1, 0) มาลดค่าพิกัด ให้เหลือ 0 จะได้พิกัด A(0, 1 ,0) จากพิกัด C(1, 2, 0) จะได้ ⃑CA⃑⃑⃑ = [ 0 − 1 1 − 2 0 − 0 ] = [ −1 −1 0 ] และ |⃑CA⃑⃑⃑ | = √(−1) 2 + (−1) 2 + 0 = √2 หาพิกัด E → ใช้ F(0, 1, 2) มาเพิ่มค่าพิกัด ขึ้นเท่ากับความยาว BC (= 1) จะได้พิกัด E(0, 2, 2) จากพิกัด C(1, 2, 0) จะได้ CE⃑⃑⃑⃑ = [ 0 − 1 2 − 2 2 − 0 ] = [ −1 0 2 ] และ |CE⃑⃑⃑⃑ | = √(−1) 2 + 0 2 + 2 2 = √5 และจะได้ ⃑CA⃑⃑⃑ ∙ CE⃑⃑⃑⃑ = [ −1 −1 0 ] ∙ [ −1 0 2 ] = (−1)(−1) + (−1)(0) + (0)(2) = 1 แทนใน 17. ให้จุด (, ) เป็นจุดบนวงรี 2 2 + 2 3 = 1 ถ้าระยะห่างระหว่างจุด (, ) กับจุด (0, − 5 4 ) เท่ากับระยะระหว่าง จุด (, ) กับเส้นตรง = − 3 4 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. −3 2. − 3 2 3. − 3 4 4. 3 2 5. 3 ตอบ 2 (, ) เป็นจุดบนวงรี 2 2 + 2 3 = 1 ต้องแทนในสมการวงรีแล้วเป็นจริง ดังนั้น 2 2 + 2 3 = 1 จากสูตร จะได้ระยะจาก (, ) ถึง (0, − 5 4 ) คือ √( − 0) 2 + ( − (− 5 4 )) 2 = √ 2 + ( + 5 4 ) 2 …(1) = − 3 4 เป็นเส้นตรงแนวนอน ดังนั้น ระยะจากจุดใดๆ ไปยัง = − 3 4 หาได้จากผลต่างของพิกัด Y กับ − 3 4 ได้เลย จะได้ระยะจาก (, ) ไปยัง = − 3 4 คือ | − (− 3 4 )| = | + 3 4 | …(2) โจทย์ให้ (1) = (2) : √ 2 + ( + 5 4 ) 2 = | + 3 4 | แต่วงรี 2 2 + 2 3 = 1 เป็นวงรีแนวตั้ง ที่มีจุดยอดคือ (0, ±√3) ดังนั้น จะมีค่าได้ตั้งแต่ −√3 ถึง √3 (ประมาณ −1.732 ถึง 1.732) จึงเหลือ = − 3 2 เท่านั้น ⃑CA⃑⃑⃑ ∙ CE⃑⃑⃑⃑ = |⃑CA⃑⃑⃑ | |CE⃑⃑⃑⃑ | cos 1 = √2 √5 cos 1 √10 = cos √10 = sec sec เป็นส่วนกลับของ cos 2 + ( + 5 4 ) 2 = ( + 3 4 ) 2 2 − 2 2 3 + 2 + 5 2 + 25 16 = 2 + 3 2 + 9 16 − 2 2 3 + + 3 = 0 2 2 − 3 − 9 = 0 (2 + 3)( − 3) = 0 = − 3 2 , 3 = 0 2 = 2 − 2 2 3 …(∗) เมื่อถูกยกก าลังสอง จะเอาค่าสัมบูรณ์ออกได้ จาก (∗) คูณ −3 ตลอด
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 23 18. โฮมสเตย์แห่งหนึ่งมีห้องพักอยู่ 3 ห้อง ประกอบด้วย ห้องขนาดเล็ก เข้าพักได้ไม่เกิน 2 คน ห้องขนาดกลาง เข้าพักได้ไม่เกิน 4 คน ห้องขนาดใหญ่ เข้าพักได้ไม่เกิน 6 คน ถ้ามีลูกค้าติดต่อเพื่อขอจองห้องพักในวันที่ 16 เมษายน 2566 จ านวน 2 กลุ่ม โดยกลุ่มที่ 1 แจ้งว่ามีผู้เข้าพัก 6 คน และกลุ่มที่ 2 แจ้งว่ามีผู้เข้าพัก 3 คน แล้วโฮมสเตย์แห่งนี้จะมีวิธีจัดคนทั้งสองกลุ่มเข้าห้องพักได้ทั้งหมดกี่วิธี โดยผู้เข้าพักที่อยู่ต่างกลุ่มกัน ต้องไม่พักห้องเดียวกัน และผู้เข้าพักที่อยู่กลุ่มเดียวกันสามารถเข้าพักห้องเดียวกันหรือ แยกห้องพักได้ 1. 22 2. 28 3. 37 4. 40 5. 43 ตอบ 5 กรณีกลุ่ม 3 คน แยกห้องกัน : กลุ่ม 3 คนจะต้องพักห้องเล็กกับห้องกลาง และกลุ่ม 6 คนพักห้องใหญ่ ในกลุ่ม 3 คน เลือก 1 คนที่จะแยกพักคนเดียว เลือกได้ 3 แบบ เลือกห้องให้คนที่แยกพักคนเดียว เลือกห้องเล็กหรือห้องกลาง ได้ 2 แบบ อีก 2 คนที่เหลือ เลือกไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องกลางหรือห้องเล็กที่ไม่ถูกเลือก รวมจ านวนแบบได้ 3 × 2 = 6 แบบ (กลุ่ม 6 คน เลือกอะไรไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องใหญ่) กรณีกลุ่ม 3 คน พักห้องเดียวกัน : กลุ่ม 3 คน ต้องพักรวมกันในห้องใหญ่หรือห้องกลางเท่านั้น กรณีกลุ่ม 3 คน พักรวมกันในห้องใหญ่ : กลุ่ม 6 คนต้องแบ่ง 2 คนพักห้องเล็ก และ 4 คนพักห้องกลาง ในกลุ่ม 6 คน เลือก 2 คนที่จะพักห้องเล็ก เลือกได้ ( 6 2 ) = 6×5 2 = 15 แบบ (อีก 4 คนที่เหลือ เลือกไม่ได้แล้ว ต้องพักรวมกันในห้องกลาง) (กลุ่ม 3 คน เลือกอะไรไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องใหญ่) กรณีกลุ่ม 3 คน พักรวมกันในห้องกลาง : กลุ่ม 6 คนจะเลือกพักห้องใหญ่รวมกัน หรือจะแบ่งไปห้องเล็กบ้างก็ได้ กรณีกลุ่ม 6 คน พักรวมกันในห้องใหญ่ : เลือกอะไรไม่ได้ นับเป็น 1 แบบ กรณีกลุ่ม 6 คน แบ่ง 1 คนไปห้องเล็ก : เลือก 1 คนนั้นได้6 แบบ (อีก 5 คนที่เหลือ เลือกไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องใหญ่) กรณีกลุ่ม 6 คน แบ่ง 2 คนไปห้องเล็ก : เลือก 2 คนนั้นได้ ( 6 2 ) = 6×5 2 = 15 แบบ (อีก 4 คนที่เหลือ เลือกไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องใหญ่) (กลุ่ม 3 คน เลือกอะไรไม่ได้ ต้องพักรวมกันในห้องกลาง) รวมจ านวนแบบของทุกกรณี จะได้ 6 + 15 + 1 + 6 + 15 = 43 แบบ 19. บริษัทแห่งหนึ่งมีเครื่องถ่ายเอกสารอยู่ 2 เครื่อง คือ เครื่อง A และ เครื่อง B จากข้อมูลการใช้งานเครื่องถ่ายเอกสารทั้ง 2 เครื่องนี้ พบว่า ความน่าจะเป็นที่เครื่อง A เสีย เท่ากับ 0.11 ความน่าจะเป็นที่เครื่อง B เสีย เท่ากับ 0.15 ความน่าจะเป็นที่เครื่อง A หรือ เครื่อง B เสีย เท่ากับ 0.18 ความน่าจะเป็นที่มีเครื่องถ่ายเอกสารไม่เสียอย่างน้อย 1 เครื่อง เท่ากับเท่าใด 1. 0.74 2. 0.82 3. 0.85 4. 0.89 5. 0.92 ตอบ 5
24 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) จากสูตร “ไม่เสียอย่างน้อย 1 เครื่อง” จะตรงข้ามกับ “เสียทั้ง 2 เครื่อง” ดังนั้น (ไม่เสียอย่างน้อย 1 เครื่อง) = 1 − (เสียทั้ง 2 เครื่อง) = 1 − ( A ∩ B ) = 1 − 0.08 = 0.92 20. ผลการสอบคัดเลือกนักเรียนเพื่อเข้าศึกษาต่อชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ซึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ ทั้งหมด 200 คน แสดงด้วยตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียนทั้งหมด ดังนี้ จากข้อมูล พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ 60 คะแนน ข) ควอไทล์ที่ 2 ของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ 75 คะแนน ค) เมื่อน าคะแนนสอบของนักเรียนทั้งหมดมาเขียนแผนภาพกล่อง พบว่า คะแนนต ่าสุดจากการสอบครั้งนี้ เป็น ค่านอกเกณฑ์ของข้อมูลชุดนี้ (เมื่อค่านอกเกณฑ์ คือ ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 1 − 1.5(3 − 1 ) หรือ ข้อมูลที่มีค่ามากกว่า 3 + 1.5(3 − 1 ) โดยที่ 1 และ 3 แทนควอไทล์ที่ 1 และควอไทล์ที่ 3 ของ ข้อมูล ตามล าดับ) จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง ตอบ 1 ก) คะแนนสอบที่มีจ านวนนักเรียนมากที่สุด (48 คน) คือ 60 คะแนน = ฐานนิยม → ก) ถูก ข) ควอไทล์ที่ 2 จะอยู่ต าแหน่งที่ 2 4 ( + 1) = 2 4 (200 + 1) = 100.5 → ต้องหาคะแนนคนที่ 100.5 หาข้อมูลในต าแหน่งต่างๆ จะต้องใช้ความถี่สะสม → สร้างช่องความถี่สะสมได้ดังตาราง (A ∪ B) = (A) + (B) − (A ∩ B) 0.18 = 0.11 + 0.15 − (A ∩ B) (A ∩ B) = 0.08 คะแนนสอบ (คะแนน) จ านวนนักเรียน (คน) 50 2 55 10 60 48 65 40 70 24 75 20 80 20 85 16 90 10 95 6 100 4 รวม 200
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 25 จะเห็นว่าคนที่ 100 (ซึ่งเป็นคนสุดท้ายของชั้น) ได้ 65 คะแนน และคนที่ 101 (ซึ่งอยู่ในชั้นถัดไป) ได้ 70 คะแนน ดังนั้น คนที่ 100.5 ได้คะแนน = คนที่ 100 + 0.5(คนที่ 101 − คนที่ 100) = 65 + 0.5( 70 − 65 ) = 67.5 → ข) ผิด ค) ควอไทล์ที่ 1 อยู่ต าแหน่งที่ 1 4 ( + 1) = 1 4 (200 + 1) = 50.25 จะเห็นว่าความถี่สะสมเพิ่มเป็น 60 ซึ่งเกิน 50.25 ในชั้นที่ 3 ซึ่งตรงกับชั้น 60 คะแนน → 1 = 60 ควอไทล์ที่ 3 อยู่ต าแหน่งที่ 3 4 ( + 1) = 3 4 (200 + 1) = 150.75 จะเห็นว่าความถี่สะสมเพิ่มเป็น 164 ซึ่งเกิน 150.75 ในชั้น 80 คะแนน → 3 = 80 จะได้ 1 − 1.5(3 − 1 ) = 60 − 1.5(80 − 60) = 30 3 + 1.5(3 − 1 ) = 80 + 1.5(80 − 60) = 110 ดังนั้น ค่านอกเกณฑ์ คือข้อมูลที่น้อยกว่า 30 คะแนน หรือมากกว่า 110 คะแนน ดังนั้น คะแนนต ่าสุด (= 50 คะแนน) จะไม่ใช่ค่านอกเกณฑ์ → ค) ผิด 21. ศูนย์ดูแลผู้ป่วยติดเตียงแห่งหนึ่งมีจ านวนผู้ป่วยเข้ามาใช้บริการศูนย์แห่งนี้ทั้งหมด 120 คน โดยจ านวนผู้ป่วย เพศชายคิดเป็นร้อยละ 40 ของจ านวนผู้ป่วยทั้งหมด และอายุ (ปี) ของผู้ป่วย จ าแนกตามเพศแสดงด้วย แผนภาพกล่อง ดังนี้ ให้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของผู้ป่วยเพศชาย เท่ากับ 70 ปี และ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของผู้ป่วยเพศหญิง เท่ากับ 55 ปี คะแนนสอบ (คะแนน) จ านวนนักเรียน (คน) จ านวนนักเรียนสะสม (คน) 50 2 2 55 10 12 60 48 60 65 40 100 70 24 124 75 20 144 80 20 164 85 16 180 90 10 190 95 6 196 100 4 200 90 80 70 60 50 40 30 ชาย หญิง
26 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุผู้ป่วยทั้งหมดเท่ากับ 62.5 ปี ข) พิสัยระหว่างควอไทล์ของอายุผู้ป่วยเพศชาย น้อยกว่า พิสัยระหว่างควอไทล์ของอายุผู้ป่วยเพศหญิง ค) ผู้ป่วยที่มีอายุน้อยกว่า 65 ปี มีจ านวนไม่เกิน 50 คน จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น ตอบ 2 ก) มีผู้ชาย = 40 100 × 120 = 48 คน และจะเหลือผู้หญิง = 120 − 48 = 72 คน จาก ค่าเฉลี่ยผู้ชาย = 70 ปี จะได้ผลรวมอายุผู้ชาย = 70 × 48 ปี ค่าเฉลี่ยผู้หญิง = 55 ปี จะได้ผลรวมอายุผู้หญิง = 55 × 72 ปี จะได้ค่าเฉลี่ยอายุทั้งหมด = ผลรวมอายุทั้งหมด จ านวนคนทั้งหมด = (70)(48) + (55)(72) 120 = 28 + 33 = 61 ปี → ก) ผิด ข) พิสัยระหว่างควอไทล์ = 3 − 1 ซึ่งจะเท่ากับความสูงของกรอบสี่เหลี่ยมนั่นเอง จากแผนภาพ กรอบของผู้ชายจะเตี้ยกว่า ดังนั้น พิสัยระหว่างควอไทล์ ของชาย จะน้อยกว่า หญิง → ข) ถูก ค) น้อยกว่า 65 ปี จะมี ผู้ชายเกือบๆ 1 กล่อง และ ผู้หญิง 3 กล่องนิดๆ แต่ละกล่องในแผนภาพกล่อง จะมีข้อมูล 25% มีผู้หญิง 72 คน → ผู้หญิง 3 กล่อง = 3 × 25 100 × 72 = 54 คน ดังนั้น น้อยกว่า 65 ปี แค่ผู้หญิงอย่างเดียวก็เกิน 54 คนแล้ว → ค) ผิด 22. จากข้อมูลเกี่ยวกับอาการแพ้วัคซีนชนิดหนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นที่ผู้รับการฉีดวัคซีนแต่ละคนจะมีอาการแพ้ เป็น 0.0002 ถ้านักวิจัยสุ่มผู้รับการฉีดวัคซีนชนิดนี้จ านวน 500 คน ที่เป็นอิสระกัน แล้วความน่าจะเป็นที่ผู้รับการ ฉีดวัคซีนจะมีอาการแพ้ไม่เกิน 1 คน เท่ากับเท่าใด 1. 0.9998499 2. 0.1(0.9998499) 3. 1.0998(0.9998499 ) 4. 0.9998500 5. 0.1(0.9998500) ตอบ 3 แพ้ไม่เกิน 1 คน คือ แพ้ 1 คน หรือไม่แพ้เลย (คือ แพ้ 0 คน) จากสูตรความน่าจะเป็นในการแจกแจงทวินาม ( = ) = ( ) (1 − ) − จะได้ (แพ้1 คน) = ( 500 1 )(0.0002) 1 (1 − 0.0002) 500−1 = 0.1(0.9998499 ) (แพ้ 0 คน) = ( 500 0 )(0.0002) 0 (1 − 0.0002) 500−0 = 0.9998500 ∑ = ∙ ̅ พิสัยระหว่าง ควอไทล์ชาย พิสัยระหว่าง คอวไทล์หญิง 60 50 40 30 หญิง 3 กล่อง
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 27 ดังนั้น (แพ้ไม่เกิน 1 คน) = (แพ้ 1 คน) + (แพ้ 0 คน) = 0.1(0.9998499) + 0.9998500 = (0.1 + 0.99981 )(0.9998499 ) = 1.0998 (0.9998499) 23. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน เป็นพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่จุด (2, 4) และ ตัดแกน X ที่จุด (0, 0) และ (4, 0) และกราฟของฟังก์ชัน และ ℎ เป็นเส้นตรง ดังรูป ข้อใดถูกต้อง 1. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = −4∫ 4 2 () 2. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = −3∫ 4 2 () 3. ′ ()= ℎ() และ ∫ 2 0 ℎ() = 4∫ 4 2 () 4. ′ ()= () และ ∫ 2 0 ℎ() = −4∫ 4 2 () 5. ′ ()= () และ ∫ 2 0 ℎ() = 4∫ 4 2 () ตอบ 1 ดูตัวเลือกแล้ว คงต้องหา () , () , ℎ() ก่อน เป็นเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน และ คือ 2 และ 1 ℎ เป็นเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน และ คือ 2 และ 4 จะมีสมการคือ จะมีสมการคือ เป็นพาราโบลาคว ่าที่มีจุดยอด (ℎ, ) = (2, 4) จะมีรูปสมการคือ = ( − 2) 2 + 4 เมื่อ < 0 พาราโบลาผ่านจุด (0, 0) → แทนในสมการพาราโบลา จะได้ จะได้สมการพาราโบลาคือ −2 0 −2 −4 2 2 4 4 6 6 ℎ X Y ดึงตัวร่วม 0.9998499 2 + 1 = 1 = − 2 + 1 () = − 2 + 1 0 = (0 − 2) 2 + 4 −4 = 4 −1 = = −( − 2) 2 + 4 = −( 2 − 4 + 4) + 4 = − 2 + 4 ดังนั้น () = − 2 + 4 ′ () = −2 + 4 = ℎ() …(∗) 2 + 4 = 1 4 = − 2 + 1 = −2 + 4 ℎ() = −2 + 4
28 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) ∫ 2 0 ℎ() จะหาจากการอินทิเกรตปกติก็ได้ หรือจะหาจากพื้นที่ใต้โค้ง (ซึ่งบังเอิญเป็นรูปสามเหลี่ยม) ก็ได้ พื้นที่สามเหลี่ยม = 1 2 × ฐาน × สูง = 1 2 × 2 × 4 = 4 ดังนั้น ∫ 2 0 ℎ() = 4 ...(1) ∫ 4 2 () จะหาจากการอินทิเกรตปกติก็ได้ หรือจะหาได้จากพื้นที่ระหว่าง กับแกน ตรงช่วง = 2 ถึง 4 ก็ได้ จากความสมมาตร พื้นที่ตรงช่วง = 2 ถึง 4 จะเท่ากับพื้นที่ตรงช่วง = 0 ถึง 2 ซึ่งหาได้จาก 1 2 × ฐาน × สูง = 1 2 × 2 × 1 = 1 แต่พื้นที่ตรงช่วง = 2 ถึง 4 อยู่ใต้แกน จะมีค่าติดลบ ดังนั้น ∫ 4 2 () = −1 …(2) จาก (1) และ (2) จะได้ ∫ 2 0 ℎ() = −4 ∫ 4 2 () ซึ่งเมื่อรวมกับ (∗) จะได้ค าตอบคือข้อ 1 24. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน และ ดังรูป พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) lim →1 (() ∙ ()) = 1 ข) lim →−1 (() + ()) = 0 ค) + เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2, 4] จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น ตอบ 5 ก) จากกราฟ เมื่อ มีค่าใกล้ๆ 1 จะได้ มีค่าประมาณ 4 ดังนั้น lim →1 () = 4 จากกราฟ เมื่อ มีค่าใกล้ๆ 1 จะได้ มีค่าประมาณ 2 ดังนั้น lim →1 () = 2 ดังนั้น lim →1 (() ∙ ()) = 4 ∙ 2 = 8 → ก) ผิด ข) เมื่อ มีค่าใกล้ๆ −1 กราฟของ และ มีค่า ทางซ้าย −1 กับทางขวา −1 ไม่เท่ากัน → ต้องแยกคิดซ้ายขวา 2 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 X Y −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 X Y
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 29 เมื่อ มีค่าน้อยกว่า −1 นิดๆ เมื่อ มีค่ามากกว่า −1 นิดๆ จากกราฟ จะได้ มีค่าประมาณ 0 จากกราฟ จะได้ มีค่าประมาณ 2 จากกราฟ จะได้ มีค่าประมาณ 0 จากกราฟ จะได้ มีค่าประมาณ −2 จะได้ () + () มีค่าประมาณ 0 + 0 = 0 จะได้ () + () มีค่าประมาณ 2 + (−2) = 0 ทางซ้ายและทางขวา = 0 เท่ากัน ดังนั้น lim →−1 (() + ()) = 0 → ข) ถูก ค) ถ้าดูแค่ช่วง (2, 4] จะเห็นว่าเราสามารถลากเส้นกราฟของทั้ง และ ได้ โดยที่ไม่ต้องยกดินสอเลย ดังนั้น ทั้ง และ ต่อเนื่องบน (2, 4] ซึ่งจะท าให้ + ต่อเนื่องบน (2, 4] ด้วย → ค) ถูก 25. ให้ () = 4 + 3 + 2 + + เมื่อ , , , และ เป็นจ านวนจริง และ ≠ 0 โดยที่ 2 − 1 หาร () ลงตัว (0) = −2 และ ′ (0) = −4 ให้ แทนเซตของจ านวนจริงทั้งหมดที่เป็นค าตอบของสมการ () = 0 ถ้า () = 3 แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต เท่ากับเท่าใด 1. −6 2. −2 3. − 1 3 4. 2 3 5. 2 ตอบ 3 () เป็นพหุนามก าลัง 4 ที่หารด้วย 2 − 1 ลงตัว ดังนั้น () เขียนได้ในรูป ( 2 − 1)( 2 + + ) และจากสูตรดิฟผลคูณ = หน้า ∙ ดิฟหลัง + หลัง ∙ ดิฟหน้า แทนค่า และ จะได้ () ดังนั้น ค าตอบของสมการ () = 0 จะมี −1 , 1 และค าตอบที่เหลือจากการแก้สมการ 2 + 4 + 2 = 0 แต่โจทย์บอกว่าสมการนี้มีแค่ 3 ค าตอบ จึงเป็นไปได้ว่าสมการ 2 + 4 + 2 = 0 มีแค่ค าตอบเดียว …(1) หรือมี2 ค าตอบ แต่ค าตอบหนึ่งไปซ ้ากับ −1 หรือ 1 ที่เคยเป็นค าตอบอยู่แล้ว …(2) กรณี (1): 2 + 4 + 2 = 0 มีค าตอบเดียว จะสรุปได้ว่า และจะได้ค าตอบเดียวนั้นคือ − 4 2 = − 4 2(2) = −1 ซึ่งจะซ ้ากับ −1 ที่เคยเป็นค าตอบอยู่แล้ว ท าให้ได้ค าตอบไม่ครบ 3 ตัว → กรณี (1) จึงเป็นไปไม่ได้ กรณี (2): 2 + 4 + 2 = 0 มี 2 ค าตอบ และค าตอบหนึ่งไปซ ้ากับ −1 หรือ 1 แต่ −1 เป็นค าตอบไม่ได้ เพราะถ้าเป็น สมการนี้จะมีค าตอบเดียว (จากที่เคยท าในกรณี (1)) จึงสรุปได้ว่า 1 ต้องเป็นค าตอบ → แทน = 1 เพื่อหาค่า จะได้ โจทย์ถามผลบวกค าตอบ → จะแทน ในสมการ แล้วแก้สมการ เพื่อหาค าตอบมาบวกกันก็ได้ (0) = (0 2 − 1)((0 2 ) + (0) + ) −2 = ( −1 )( ) 2 = โจทย์ก าหนด ′ () = ( 2 − 1)(2 + ) + ( 2 + + 2)(2) ′ (0) = (0 2 − 1)(2(0) + ) + ((0 2 ) + (0) + 2)(2(0)) −4 = ( −1 )( ) + 0 4 = โจทย์ก าหนด = ( 2 − 1)( 2 + 4 + 2) = ( + 1)( − 1)( 2 + 4 + 2) ค าตอบของสมการ 2 + + = 0 คือ −±√ 2−4 2 จะมีค าคอบเดียวเมื่อ 2 − 4 = 0 ซึ่งจะได้ค าตอบคือ − 2 4 2 − 4(2) = 0 16 = 8 2 = (1 2 ) + 4(1) + 2 = 0 = −6
30 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) แต่ใช้สูตรผลรวมค าตอบ = − จะเร็วกว่า → สมการ −6 2 + 4 + 2 = 0 จะมีผลรวมค าตอบ = − 4 −6 = 2 3 ซึ่งเมื่อรวมกับค าตอบ = −1 ที่เหลือจะได้ผลรวม 3 ค าตอบของสมการ () = 0 คือ 2 3 + (−1) = − 1 3 26. ก าหนด แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ , เป็นสับเซตของ โดยที่ () = 100 , ( ∩ ) = 35 และ (′ ∩ ′) = 9 ถ้า () ≥ 61 แล้ว () ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด ตอบ 65 จาก () = 100 แสดงว่าทั้งหมดมี 100 ตัว เนื่องจาก ′ ∩ ′ = ( ∪ ) ′ ดังนั้น ′ ∩ ′ จะเป็นส่วนตรงข้ามของ ∪ โจทย์ให้ ′ ∩ ′ มี 9 ตัว ดังนั้น สมาชิกทีเหลือ 100 − 9 = 91 ตัว จะเป็นของ ∪ นั่นคือ ( ∪ ) = 91 จากสูตร Inclusive – Exclusive : 27. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีการแบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน ดังรูป ถ้ามีสีอยู่ 6 สี และต้องการระบายสีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ทั้ง 4 ส่วน โดยแต่ละส่วนใช้สีเพียงสีเดียวและส่วนที่อยู่ติดกันต้องใช้สีที่แตกต่างกัน แล้วจะมีวิธีระบายสีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ได้แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ตอบ 480 ส่วน (1) เลือกสีไหนก็ได้จาก 6 สี→ เลือกได้ 6 แบบ ส่วน (2) ต้องเป็นสีที่ไม่ซ ้ากับ (1) → เลือกได้ 5 แบบ ส่วน (3) ต้องเป็นสีที่ไม่ซ ้ากับ (1) หรือ (2) → เลือกได้ 4 แบบ ส่วน (4) ต้องเป็นสีที่ไม่ซ ้ากับ (1) หรือ (3) → เลือกได้ 4 แบบ จะได้จ านวนแบบ = 6 × 5 × 4 × 4 = 480 แบบ 28. ข้อมูลการผลิตเหล็กเส้นของโรงงานแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ “น ้าหนักของเหล็กเส้นที่ผลิตได้มีการแจกแจงปกติ โดยมีน ้าหนักเฉลี่ย เท่ากับ กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ กิโลกรัม ” หากสุ่มเหล็กเส้นจากโรงงานแห่งนี้มา 1 เส้น พบว่า ความน่าจะเป็นที่ได้เหล็กเส้นมีน ้าหนักน้อยกว่า 8.86 กิโลกรัม คือ 0.31 และความน่าจะเป็นที่จะได้เหล็กเส้นมีน ้าหนักมากกว่า 8.90 กิโลกรัม คือ 0.31 ค่าของ + 2 เท่ากับเท่าใด ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) 91 = () + () − 35 126 − () = () 126 − () ≥ 61 65 ≥ () โจทย์ก าหนด → จะได้ค่ามากสุดของ () คือ 65 โจทย์ก าหนด (1) (2) (3) (4)
คณิตศาสตร์ประยุกต์1 (มี.ค. 66) 31 ก าหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังนี้ ตอบ 8.96 จากโจทย์ จะได้ ( < 8.86) = 0.31 และ ( > 8.90) = 0.31 หา จากตาราง ที่ได้ความน่าจะเป็นเท่ากัน จะได้ ( < −0.5) = 0.31 และ ( < 0.5) = 0.69 ดังนั้น = −0.5 ตรงกับ = 8.86 และ = 0.5 ตรงกับ = 8.90 → แทนในสูตร = − จะได้ + 2 = 8.88 + 2(0.04) = 8.96 29. วงกลม ( − 1) 2 + ( − 2) 2 = 1 มีเส้นสัมผัสที่ผ่านจุดก าเนิด 2 เส้น คือแกน Y และเส้นตรง L ความชันของเส้นตรง L เท่ากับเท่าใด ตอบ 0.75 เมื่อเทียบกับรูปสมการวงกลม ( − ℎ) 2 + ( − ) 2 = 2 จะได้จุดศูนย์กลาง (ℎ, ) = (1, 2) และรัศมี = 1 ดังรูป เส้นตรง L มีระยะตัดแกน Y ที่ = 0 และสมมติให้เส้นตรง L มีความชัน = แทนในรูปสมการ = + จะได้สมการเส้นตรง L คือ ระยะจาก C(1, 2) ไปยังเส้นตรง L : − = 0 จะต้องเท่ากับรัศมีวงกลม (= 1) ดังนั้น −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ปกติมาตรฐาน 0.02 0.07 0.16 0.31 0.69 0.84 0.93 0.98 0 0 ( < 8.90) = 1 − 0.31 = 0.69 จากสูตรความน่าจะเป็นกรณีตรงข้าม −0.5 = 8.86 − −0.5 = 8.86 − …(1) 0.5 = 8.90 − 0.5 = 8.90 − …(2) (1) + (2) : −0.5 + 0.5 = 8.86 − + 8.90 − 2 = 17.76 = 8.88 0.5 = 8.90 − 8.88 = 0.02 = 0.04 → แทนใน (2) : = 0 = − |(1)+(−1)(2)+0| √2+(−1)2 = 1 | − 2| = √2 + 1 ( − 2) 2 = 2 + 1 2 − 4 + 4 = 2 + 1 3 = 4 0.75 = 3 4 = ระยะจากจุด (, ) ไปยัง เส้นตรง + + = 0 จะเท่ากับ |++| √ 2+2 ยกก าลังสอง เอาค่าสัมบูรณ์ออกได้ C(1, 2) 1 L
32 คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 (มี.ค. 66) หรือจะใช้ตรีโกณท าก็ได้(เหมือนจะคิดเลขน้อยกว่า แต่ต้องจ าสูตรได้) จากสมบัติของเส้นสัมผัส จะได้ CÔA = CÔB (ให้ = ) จะได้ความชันของ L 30. ก าหนดให้ () แทนปริมาณประจุไฟฟ้าในตัวเก็บประจุตัวหนึ่งที่คิดเป็นเปอร์เซ็นต์ (เทียบกับปริมาณประจุไฟฟ้า สูงสุดที่สามารถเก็บได้) เมื่อชาร์จตัวเก็บประจุที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ เป็นระยะเวลา นาที โดยที่ () = 100 (1 − 2 − 20) ถ้าครั้งที่ 1 ธิดาชาร์จตัวเก็บประจุตัวนี้ที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ จนได้ประมาณประจุไฟฟ้าเป็น 50 เปอร์เซ็นต์ และครั้งที่ 2 ธิดาชาร์จตัวเก็บประจุตัวนี้ที่มีปริมาณประจุไฟฟ้าเริ่มต้น 0 เปอร์เซ็นต์ จนได้ประมาณประจุ ไฟฟ้าเป็น 87.5 เปอร์เซ็นต์ แล้วระยะเวลาที่ใช้ในการชาร์จตัวเก็บประจุครั้งที่ 2 มากกว่าครั้งที่ 1 กี่นาที ตอบ 40 ให้ครั้งที่ 1 ใช้เวลาชาร์จ = 1 ได้ประจุ 50% ให้ครั้งที่ 2 ใช้เวลาชาร์จ = 2 ได้ประจุ 87.5% ดังนั้น ครั้งที่ 2 ใช้เวลามากกว่า = 60 − 20 = 40 นาที เครดิต ขอบคุณ ข้อสอบ จาก อ. ปิ๋ง GTRmath และคุณ อดิศักดิ์เอกตาแสง ขอบคุณ เฉลยวิธีท า จากคุณ คณิต มงคลพิทักษ์สุข (นวย) ผู้เขียน Math E-book ขอบคุณ คุณ Chonlakorn Chiewpanich ที่ช่วยตรวจสอบความถูกต้องของเอกสาร C(1, 2) 1 O A B L = tan = tan(90° − 2) = cot 2 = cot2 − 1 2 cot = 2 2−1 2(2) = 3 4 = 0.75 โคฟังก์ชัน สูตรมุม 2 เท่า (หรือหาจาก 1 tan2 ก็ได้) จาก ∆CAO จะได้ cot = OA AC = 2 1 = 2 100(1 − 2 − 1 20) = 50 1 − 2 − 1 20 = 50 100 = 1 2 1 2 = 2 − 1 20 2 −1 = 2 − 1 20 1 = 1 20 20 = 1 100(1 − 2 − 2 20) = 87.5 1 − 2 − 2 20 = 87.5 100 = 7 8 1 8 = 2 − 2 20 2 −3 = 2 − 2 20 3 = 2 20 60 = 2