เฉลยแบบฝึกทักษะเรื่อง การแปลงทางเรขาคณิต

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง การแปลงทางเรขาคณติ

ช่ือ-สกุล...................................................................................................................
เลขท่.ี ..................................ช้ัน...............................................................................
โรงเรียน..................................................................................................................
ครปู ระจำวิชา..........................................................................................................

ก

คำนำ

แบบฝกึ ทกั ษะรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร์ เร่อื ง การแปลงทางเรขาคณิต จดั ทำขึ้นเพอื่ ใชป้ ระกอบการ
จัดกิจกรรมการเรียนรู้เพื่อให้นักเรียนฝึกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสอดคล้องกับหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ.2560)
ระดับชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 รหสั วิชา ค22101 ในการสรา้ งแบบฝกึ ทักษะเลม่ นี้ มที ัง้ หมด 3 ตอน ดงั น้ี

ตอนท่ี 1 เรือ่ ง การเลื่อนขนาน
ตอนท่ี 2 เรอ่ื ง การสะทอ้ น
ตอนที่ 3 เรื่อง การหมนุ
ในการจัดทำแบบฝกึ ทักษะรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ เร่อื ง การแปลงทางเรขาคณิต สำหรับนกั เรียน
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 ผูจ้ ัดทำขอขอบคณุ ผูเ้ ช่ียวชาญทุกท่านท่ใี หก้ ารอนุเคราะห์ตรวจสอบคุณภาพ พร้อมทั้งให้
คำแนะนำ ผู้จัดทำหวังว่าแบบฝึกทกั ษะฉบับน้ีจะเปน็ ประโยชน์ต่อการพัฒนานกั เรียนในการที่จะทำให้ผู้เรยี น
บรรลุตามจดุ ม่งุ หมายของหลักสูตรต่อไป

ญาณศิ า บุญเสริม

สารบญั ข

เร่ือง หนา้

คำนำ ก
สารบัญ ข
คำแนะนำสำหรบั “คร”ู ค
คำแนะนำสำหรับ “นกั เรยี น” ค
แบบทดสอบวัดทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (กอ่ นเรียน) 1
การแปลงทางเรขาคณิต 4
7
การเลอื่ นขนาน 15
การสะท้อน 22
การหมนุ 34
แบบทดสอบวดั ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (หลงั เรยี น) 37
บนั ทกึ ความรู้
บรรณานกุ รม

ค

คำแนะนำสำหรบั “คร”ู

1. ศึกษาเนื้อหา เรื่อง การแปลงทางเรขาคณิต และทำความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการใช้แบบฝึกทักษะ
ข้ันตอนการดำเนินกจิ กรรม การใชส้ อื่ และอปุ กรณ์ รวมทัง้ วธิ ีวดั และประเมนิ ผลของแบบฝึกทกั ษะให้ชดั เจน

2. แจกแบบฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง การแปลงทางเรขาคณติ ใหน้ ักเรยี นศกึ ษาและแนะนำวธิ ีใชแ้ บบฝกึ ทักษะ
เพ่ือนกั เรียนจะไดป้ ฏิบตั ิได้อยา่ งถกู ต้อง

3. ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน เพ่ือประเมินความรูเ้ ดมิ ของนักเรยี น
4. ดำเนนิ การสอนตามกิจกรรมการเรียนรทู้ กี่ ำหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรยี นรู้
5. ในขณะท่นี กั เรียนทำแบบฝกึ ทกั ษะ ควรให้คำแนะนำกรณที ่ีนักเรยี นไม่เขา้ ใจ และต้องพยายาม
กระตุ้นใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกจิ กรรมด้วยตนเองมากท่สี ุด
6. ให้นักเรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรียน เพื่อประเมินความรู้หลังจากทีเ่ รียนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะ

คำแนะนำสำหรับ “นักเรียน”

1. อ่านคำแนะนำการใช้แบบฝึกทักษะสำหรับนักเรยี นใหเ้ ขา้ ใจ
2. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน จำนวน 15 ข้อ โดยใช้เวลา 30 นาที เพื่อประเมินความรู้เดมิ ของนกั เรยี น
3. ศกึ ษาแบบฝึกทักษะ ตามขน้ั ตอนทีร่ ะบุไวใ้ นแบบฝกึ ทักษะ
4. ทำแบบทดสอบหลงั เรียน จำนวน 15 ขอ้ โดยใช้เวลา 30 นาที เพอื่ ประเมนิ ความรู้หลงั จากที่เรียน
โดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
5. ในการทำกจิ กรรมตามแบบฝกึ ทกั ษะ ขอใหน้ กั เรยี นทำด้วยความตัง้ ใจ ใหค้ วามร่วมมอื และมคี วาม
ซอ่ื สัตย์ ตอ่ ตนเองให้มากที่สดุ

1

เฉลยแบบทดสอบวดั ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (กอ่ นเรียน)

เร่ือง การแปลงทางเรขาคณติ วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ค22101 ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2

จำนวน 15 ขอ้ คะแนนเต็ม 15 คะแนน เวลา 30 นาที

ตวั ชว้ี ัด ค 2.2 ม.2/3 เข้าใจและใชค้ วามรเู้ กี่ยวกบั การแปลงทางเรขาคณิตในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหา

ในชวี ิตจริง

คำชีแ้ จง : ใหน้ กั เรียนเลือกคำตอบทีถ่ กู ที่สดุ และทำเครอ่ื งหมาย X ลงบนกระดาษคำตอบ

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

1. นักเรยี นจะสามารถอธิบายผลที่เกดิ จากการเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุนรูปตน้ แบบบนระนาบ

2. นกั เรยี นจะสามารถอธิบายสิง่ ทเ่ี กิดข้นึ หรือภาพท่ีได้จากการแปลงว่าเกดิ จากการเลื่อนขนาน การสะท้อน

หรอื การหมนุ

3. นักเรียนจะสามารถนำการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน มาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจรงิ

1. สถานการณ์ในข้อใดต่อไปนส้ี ัมพนั ธก์ ับการเล่ือนขนาน 5. กำหนดให้จุด P มีพิกัด (3, -2) พิกัดของจุด P ซ่ึง

ก. ล้อรถ เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนของจุด P ข้ามเส้น

ข. เข็มวินาทีของนาฬิกา สะท้อนแกน Y คอื ข้อใด

ค. คนกำลงั ลงบันไดเล่ือน ก. (-3, -2) ข. (3, 2)

ง. เงาของต้นไมใ้ นน้ำ ค. (-2, -3) ง. (2, 3)

2. สถานการณ์ในขอ้ ใดต่อไปนีส้ ัมพันธก์ ับการหมนุ 6. จากรปู ท่กี ำหนดให้ บรเิ วณที่แรเงามีพื้นท่ีประมาณ
ก. ภาพเงาในกระจก กต่ี ารางหน่วย
ข. เขม็ วนิ าทขี องนาฬกิ า
ค. คนกำลังลงบันไดเลื่อน
ง. เงาของตน้ ไมใ้ นน้ำ

3. สถานการณใ์ นข้อใดตอ่ ไปนีส้ มั พนั ธก์ ับการสะทอ้ น หมายเหตุ. จาก หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์
ก. ชงิ ช้าสวรรค์ เลม่ 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 (หนา้ 210), โดย สถาบนั
ข. เข็มวนิ าทขี องนาฬกิ า ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564,
ค. คนกำลงั ลงบันไดเลอ่ื น กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว
ง. เงาของตน้ ไมใ้ นน้ำ
ก. 3 ตารางหน่วย
4. ถา้ เลอื่ นจุด (1, 4) ไปทางขวา 5 หนว่ ย จะเปน็ จุดใด ข. 4 ตารางหนว่ ย
ค. 5 ตารางหนว่ ย
ก. (6, 4) ข. (9, 1) ง. 6 ตารางหน่วย

ค. (-4, 4) ง. (1, -1)

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

2

7. ถ้ารปู ตน้ แบบคอื แลว้ ภาพที่เกดิ จากการสะท้อน 11. จงหาพ้ืนท่โี ดยประมาณของรูปท่กี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี
โดยมแี กน X เปน็ เสน้ สะท้อนคอื ข้อใด

ก. ข.
ค. ง.

8. การแปลงทางเรขาคณิตชนิดใดที่มีเวกเตอร์เป็น

ตวั กำหนดทิศทางและระยะ

ก. การหมุน หมายเหตุ. จาก หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์
ข. การขยาย เล่ม 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 (หน้า 210), โดย สถาบนั
ค. การสะท้อน ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564,
ง. การเล่ือนขนาน กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว

9. ถ้ารูปตน้ แบบคอื ภาพท่ีได้จากการเลือ่ นขนาน ก. 90 ตารางหนว่ ย
คอื ขอ้ ใด ข. 60 ตารางหนว่ ย
ข. ค. 45 ตารางหนว่ ย
ก. ง. ง. 30 ตารางหนว่ ย
ค.

10. ถ้าเริ่มต้นทีจ่ ุด F วิ่งรอบสนามในทิศตามเข็มนาฬิกา 12. ขอ้ ใดถกู ต้อง

เป็นมมุ 210 องศา จะไปหยุดท่ตี ำแหนง่ ใด ก. รูปตน้ แบบกับภาพทีไ่ ด้จากการสะทอ้ นไม่เทา่ กัน

A H ทุกประการ
B ข. รูปต้นแบบกบั ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นทับกนั

ไดส้ นิท โดยไมต่ ้องพลิกรปู

ค. รปู ต้นแบบกับภาพท่ีไดจ้ ากการเล่ือนขนาน
C G ไม่เท่ากนั ทกุ ประการ

ง. รูปต้นแบบกบั ภาพทไ่ี ด้จากการเลอ่ื นขนานทบั กนั

DE F ได้สนทิ โดยไม่ตอ้ งพลิกรปู

ก. A 13. รูปเรขาคณิตที่พับแบ่งครึ่งรูปออกเป็นสองส่วน
ข. B และนำมาทบั กนั ได้สนิทตามรอยพับ เปรยี บเสมอื นเป็น
ค. C การแปลงทางเรขาคณิตแบบใด
ง. D
ก. การหมุน
ข. การขยาย

ค. การสะท้อน

ง. การเลอ่ื นขนาน

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

3
14. รูปในข้อใดเปน็ การแปลงทางเรขาคณิตแบบการหมุน 15. รปู ทกี่ ำหนดให้เปน็ การแปลงทางเรขาคณิตแบบใด
ของรูปส่ีเหลี่ยม ABCD ซึ่งหมุนรอบจุด O ตามทิศทาง
ตามเขม็ นาฬกิ า และทำมุม 90 องศา จากตำแหนง่ เดิม
ก.

ก. การหมนุ
ข. การขยาย
ค. การสะท้อน
ข. ง. การเลอื่ นขนาน

ค.

ง.

หมายเหต.ุ จาก https://www.scribd.com/A1-2-63

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

4

บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

4.1 การเล่อื นขนาน
4.2 การสะทอ้ น
4.3 การหมนุ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1. นกั เรียนสามารถอธบิ ายผลท่ีเกดิ จากการเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รูปต้นแบบบนระนาบ
2. นักเรยี นสามารถอธบิ ายสง่ิ ทีเ่ กดิ ขนึ้ หรือภาพทไ่ี ดจ้ ากการแปลงว่าเกิดจากการเลื่อนขนาน การสะท้อน หรอื

การหมนุ
3. นักเรียนสามารถนำการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ มาประยกุ ตใ์ ช้ในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

และปัญหาในชวี ิตจรงิ

การแปลงเป็นเรื่องที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงขนาด รูปร่าง ตำแหน่ง หรือทิศทางของวัตถุ
สิ่งสำคัญของการแปลงคือ จุดทุกจุดของวัตถุที่อยู่ที่เดิม (หรือขนาดเดิม) จะต้องมีการส่งไปยังวัตถุ
ท่ีตำแหนง่ ใหม่ (หรอื ขนาดใหม่) ทุกจดุ จุดต่อจุด

ในทางเรขาคณิตก็มีการแปลงที่กล่าวถึงความเกี่ยวข้องกันระหว่างรูปเรขาคณิตก่อนการแปลงและ
รูปเรขาคณิตหลังการแปลง เราเรียกรูปเรขาคณิตก่อนการแปลงว่า รูปต้นแบบ (pre-image) เรียกรูป
เรขาคณติ หลังการแปลงรูปต้นแบบว่า ภาพท่ไี ดจ้ ากการแปลง (image) และเรยี กชอื่ การแปลงว่า การแปลง
ทางเรขาคณติ (geometric transformation)

กำหนดรปู ก เปน็ รูปต้นแบบ และรปู ข เป็นภาพทีไ่ ด้จากการแปลงรูป ก

..

รูป ก รูป ข
รูปตน้ แบบ ภาพที่ได้จากการแปลง

จากรูป ถ้าจดุ P เป็นจุดจดุ หนึง่ บนรูป ก จดุ P (อา่ นว่า พีไพร์ม) เป็นภาพที่ได้จากการแปลงจุด P
เรากล่าวว่า จดุ P และจุด P เป็นจดุ ทสี่ มนัยกัน

คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

5
เมื่อกำหนดการแปลงให้ แต่ละจุด P บนรูป ก จะมีจุด P บนรูป ข เพียงจุดเดียวที่สมนัยกันกับ
จดุ P และแตล่ ะจุด P บนรูป ข จะมีจุด P บนรูป ก เพียงจุดเดยี วทส่ี มนัยกันกับจดุ P

สัญลกั ษณ์ A (อ่านว่า ไพรม์ ) ปรากฏอยู่ จะแทนจดุ ทไ่ี ดจ้ ากการแปลง
เช่น จดุ A เปน็ จดุ ทีไ่ ดจ้ ากการแปลงจดุ A

 ใหน้ กั เรียนพจิ ารณารปู ตอ่ ไปน้ี
กำหนดให้สามเหลยี่ ม ABC เป็นภาพที่ไดจ้ ากการแปลง รปู สามเหลี่ยม ABC

โดยมี จุด A และจดุ A เป็นจดุ ที่สมนัยกนั
จดุ B และจดุ B เปน็ จดุ ท่ีสมนัยกัน

และ จุด C และจดุ C เป็นจุดที่สมนยั กัน

จะไดว้ า่ AB กบั AB เปน็ ดา้ นที่สมนยั กัน ABˆ C กับ ABˆ C เปน็ มมุ ที่สมนัยกัน

..B...C......ก..บั.......B...C......เ.ป...น็...ด..า้..น...ท..ี่ส...ม..น...ยั ..ก..นั...............B...Cˆ..A.......ก...บั ......B...C.ˆ...A......เ..ป..็น...ม..ุม...ท...่สี ..ม..น...ยั ..ก...นั ......

...C...A......ก..บั......C....A......เ..ป..็น...ด..้า..น...ท..่ีส...ม..น...ยั ..ก...ัน.............C...A.ˆ..B......ก..บั......C....A.ˆ...B......เ.ป...น็ ..ม...มุ ..ท...ส่ี ..ม...น..ยั...ก..นั.......

 ตอ่ ไปจะกล่าวถึงการแปลงทางเรขาคณติ 3 แบบ ได้แก่ การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน
ซงึ่ ภาพทไี่ ดจ้ ากการแปลงทางเรขาคณิตท้งั 3 แบบน้ีจะมรี ปู ร่างและขนาดเดียวกนั กบั รูปตน้ แบบหรือ
กลา่ วไดว้ า่ เป็นรปู ทเี่ ทา่ กันทกุ ประการ

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

6

ตวั อยา่ ง การแปลงทเี่ ป็นการเลือ่ นขนาน

การแปลงทเี่ ปน็ การสะทอ้ น

การแปลงทีเ่ ปน็ การหมนุ

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 145), โดย
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564, กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

7

การเลอ่ื นขนาน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1. บอกความหมายและสมบตั ิของการเลื่อนขนานบนระนาบได้
2. หาภาพท่ไี ดจ้ ากการเลอื่ นขนานรปู ต้นแบบได้
3. บอกได้วา่ รปู คู่ใดเป็นรปู ตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการเลื่อนขนาน เมอ่ื กำหนดรปู เรขาคณติ ท่เี ทา่ กนั

ทุกประการให้ได้
4. ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกับการเล่ือนขนานในการแกป้ ญั หาได้

นกั เรยี นสามารถเห็นการเคล่ือนที่ ทเี่ ปรยี บเสมือนการเลอื่ นขนาน (translation) ไดใ้ นชีวติ ประจำวนั
ตัวอย่างการเลอ่ื นขนาน

การเคลอื่ นที่ของรถยนตบ์ นพื้นราบ การเดินขน้ึ บันได

หมายเหตุ. จาก หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 การแปลงทางเรขาคณิต (หน้า 6), เฉลิมพงศ์ วรวรรณโณทัย และ
วรกฤษณ์ ศุภพร, 2562, กรงุ เทพฯ: บริษทั เลิรน์ เอ็นดูเคช่ัน จำกดั .

การเลือ่ นขนานบนระนาบเปน็ การแปลงทางเรขาคณติ ทีม่ ีการเลอ่ื นจุดทกุ จุดไปบนระนาบตามแนว
เสน้ ตรงในทศิ ทางเดยี วกนั และเป็นระยะทางเท่ากันตามทก่ี ำหนด

สมบตั ิการเลือ่ นขนาน
1. รูปตน้ แบบและภาพท่ไี ด้จากการเลอ่ื นขนานสามารถทบั กนั ไดส้ นิทโดยไม่ตอ้ งพลกิ รูป หรือ

กล่าวว่ารปู ต้นแบบและภาพทไี่ ด้จากการเลื่อนขนานเทา่ กันทุกประการ
2. ส่วนของเสน้ ตรงทีเ่ ช่อื มระหวา่ งจุดที่สมนัยกนั แตล่ ะคู่ จะขนานกันและยาวเทา่ กันทุกเสน้
3. ส่วนของเส้นตรงบนรปู ต้นแบบและภาพท่ไี ดจ้ ากการเล่ือนขนานส่วนของเส้นตรงนน้ั

จะขนานกนั และยาวเทา่ กัน

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

8

สรุปความรู้
...........................1....ร..ปู...ท...เ่ี .ล..่ือ..น...ข..น...า..น..เ..ห..ม...ือ..น...ก..ับ...ต..น้...ฉ..บ...บั ..........................................................................................
...........................2....จ..ุด...แ..ต...่ล..ะ..จ..ุด...ข..อ...ง.ร..ูป...จ..ะ..ส...ม..น...ัย..ก...ัน....แ..ล..ะ..ม...รี ..ะ..ย..ะ...ห..่า..ง..เ.ท...า่ ..ก..นั...........................................................
...........................3.....ก..า..ร..เ..ล..ือ่ ..น...ข..น...า..น..จ...ะ..ไ.ม...ท่ ..ำ..ใ..ห..ร้..ูป...ร..่า..ง..แ..ล...ะ..ข..น...า..ด..ข..อ...ง..ร..ปู ..ต...้น..แ...บ..บ...เ.ป...ล..่ยี..น...แ..ป...ล..ง...............................

การบอกทิศทางและระยะทางในการเลอื่ นขนานจะใชเ้ วกเตอร์ (vecter) เป็นตวั กำหนด ดังรปู

3 ซม. 1.5 ซม.
เลอ่ื นข้นึ ไปตามแนวต้งั 3 เซนติเมตร เลอื่ นลงไปตามแนวต้งั 1.5 เซนติเมตร

2.5 ซม. 4 ซม.
เลอื่ นขนานไปทางซา้ ย 2.5 เซนตเิ มตร เลื่อนขนานไปขวา 4 เซนตเิ มตร

การเล่ือนขนานด้วยเวกเตอร์

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาภาพท่ไี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน รปู หา้ เหลี่ยม ABCDE ดว้ ย DD

B B C
A
C

A

D D

E E

วธิ ที ำ การหาภาพทีไ่ ดจ้ ากการเล่อื นขนาน ทำได้ดังน้ี
1. ลาก AA , BB , CC และ EE ให้มีทศิ ทางเดยี วกับ DD และยาวเท่ากับขนาดของ DD
2. ลาก AB , BC , CD , DE และ EA

จะได้ รปู ห้าเหล่ยี ม ABCDE เป็นภาพท่ไี ด้จากการเลื่อนขนานรูปห้าเหลีย่ ม ABCDE ด้วย DD

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

9

1. จงหาภาพทไี่ ด้จากการเลอื่ นขนานรูปส่ีเหล่ยี ม WXYZ ดว้ ย MN Y
Y
M WX
Z

N W X
Z

2. จงหาภาพทไ่ี ด้จากการเล่อื นขนานรูปสามเหลยี่ ม ABC ด้วย RS B

SR

B
A A

C C

3. จงหาภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานรปู สามเหลี่ยม VIP ดว้ ย OT

OV

T I
P V

I

คณิตศาสตร์พื้นฐาน P

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

10

เวกเตอรข์ องการเลอ่ื นขนาน
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาเวกเตอรข์ องการเลือ่ นขนาน จากรูปทกี่ ำหนดให้

A ตอบ เวกเตอรม์ ที ิศทางไปทางขวาตามแนวนอน 6 หน่วย
A และลงไปตามแนวตัง้ 2 หน่วย
DB
D หรือเวกเตอร์มีทิศทางลงไปตามแนวตัง้ 2 หน่วย และ
ไปทางขวาตามแนวนอน 6 หน่วย
C
B

C

1. จงหาเวกเตอรข์ องการเลือ่ นขนาน จากรปู ที่กำหนดให้

MA M A
T
ตอบ เวกเตอร์มที ิศทางไปทางขวาตามแนวนอน 6 หน่วย

T

E H E H

2. จงหาเวกเตอร์ของการเล่ือนขนาน จากรปู ท่กี ำหนดให้

P

TQ ตอบ เวกเตอร์มีทศิ ทางไปทางขวาตามแนวนอน 5 หนว่ ย

P และลงไปตามแนวตง้ั 5 หนว่ ย
SR หรือเวกเตอร์มีทศิ ทางลงไปตามแนวตง้ั 5 หนว่ ย และ

T Q ไปทางขวาตามแนวนอน 5 หน่วย

S R

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

11

การเลอ่ื นขนานบนระนาบพกิ ดั ฉาก

ตวั อย่างที่ 3 จงหาพิกดั ของจดุ P ซงึ่ เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการเล่ือนขนานจุด P ด้วย MN ดงั รปู

NY วธิ ีทำ จากรปู จุด P มพี ิกัดเปน็ (2, -2)

.4 พิจารณา ซึง่ มจี ดุ เรม่ิ ต้นท่ีจดุ M และมีจุดสิน้ สดุ ท่ีจุด N

2 P(5, 2) จะได้ว่า จดุ N อยทู่ างขวาของจุด M ตามแนวแกน X
3 หน่วย และอยู่เหนอื ข้นึ ไปตามแนวแกน Y 4 หนว่ ย
M .0 2 4 6 X ดงั นัน้ เมื่อเล่ือนจุด P(2, -2) ดว้ ย MN
-6 -4 -2
-2 P(2, -2) จะได้ พกิ ัดของจุด P เปน็ (5, 2)
ตอบ พกิ ดั ของจดุ P เป็น (5, 2)

1. จงหาพกิ ดั ของจุด G ซ่ึงเป็นภาพท่ไี ด้จากการเลือ่ นขนานจุด G ด้วย AB ดงั รูป

.A Y .G
4G

B2

-6 -4 -2 02 4 6X
-2
ตอบ ....พ...ิก..ัด...ข..อ..ง..จ..ดุ.....G.....เ.ป...น็ ....(.6..,..1...)...................

2. จงหาพกิ ัดของจดุ K ซ่ึงเปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานจดุ K ด้วย SP ดังรปู

PY

.4
K2 

S .0 2 4 6 X
-6 -4 -2
-2

K ตอบ .พ...กิ ..ดั...ข..อ..ง..จ..ดุ.....K.....เ.ป...็น....(.0..,...2..)......................

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

12

จากตัวอย่างที่ 3 เราสามารถเขียนความสัมพันธร์ ะหว่างพกิ ัดของจุดบนรูปต้นแบบ (จุด A) พิกัดของ
จุดบนภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนานจุดนนั้ (จุด A ) และเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานไดด้ ังนี้
พิกัดทหี่ นึง่ (x) ของจุด A = พกิ ัดทห่ี น่ึง (x) ของจุด A + ระยะท่ีเลือ่ นจุด A ไปตามแนวแกน X (โดยคิดทิศทาง)
พิกัดทีส่ อง (y) ของจุด A = พิกัดที่สอง (y) ของจุด A + ระยะท่ีเลอื่ นจุด A ไปตามแนวแกน Y (โดยคิดทิศทาง)

YY

XX

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 157), โดย
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2564, กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

ตวั อย่างที่ 4 กำหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC มีจดุ A(-2, -4), จุด B(-1, -1) และจดุ C(2, -2) เป็นจดุ ยอด
จงเลอื่ นขนานรปู สามเหลยี่ ม ABC ด้วย OE และหาพิกัดของจดุ ยอดของรปู สามเหลีย่ ม ABC

EY A ( X , Y ) = A(-2, -4) + (2, 4)
4 จะได้ A ( X , Y ) = A (0, 0)
B

2 C B ( X , Y ) = B(-1, -1) + (2, 4)

O -4 A 2 4 จะได้ B ( X , Y ) = B (1, 3)
-6 -2 B 0 6 X C ( X , Y ) = C(2, -2) + (2, 4)

-2 C จะได้ C ( X , Y ) = C (4, 2)

A -4 น่นั คอื รปู สามเหล่ยี ม ABC เป็นภาพทีไ่ ดจ้ าก
การเลอื่ นขนานรปู สามเหลีย่ ม ABC ด้วย OE

วิธีทำ 1. จากจุด A(-2, -4) เลอื่ นจดุ A ไปทางซา้ ยตามแนว..แ..ก..น....X.....2...ห...น...ว่ ..ย...แ...ล..ะ..เ.ล...ื่อ..น...ข..ึ้น...ไ.ป...ต..า..ม...แ..น...ว..แ..ก..น....Y..
..............................................................................
4 หน่วย จะได้จุด A (0, 0)
2. ในทำานองเดยี วกัน เมือ่ เลื่อนจุด B(-1, -1) และจ.ุด...C. (2, -2) จะไดจ้ ุด B (1, 3) และจุด C (4, 2)
..............................................................................
3. ลาก AB , BC และ CA

จะได้ รูปสามเหลยี่ ม ABC เป็นภาพทไี่ ดจ้ ากการเล่อื นขน..า..น...ร..ูป...ส..า..ม..เ..ห..ล..ย่ี...ม....A...B...C....ด..ว้..ย.....O..E.....ด..ัง..ร..ปู...............

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ..... บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต
..............................................................................

..............................................................................

13

1. กำหนด TU มีจดุ T(3, -4), และจุด U(1, -1) จงเลื่อนขนานTU ดว้ ย MN และหาพกิ ัดของจดุ บน TU

N Y T ( X , Y ) = T(3, -4) + (2, 4)
M จะได้ T ( X , Y ) = T (5, 0)
4 U
2 U ( X , Y ) = U(1, -1) + (2, 4)
จะได้ U ( X , Y ) = U (3, 3)
T

-6 -4 -2 0 2 4 6 X นนั่ คอื TU เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเล่อื นขนาน

U-2 TU ด้วย MN

-4
T

2. กำหนดรปู สามเหล่ยี ม PQR มจี ดุ P(3, -4), จุด Q(5, -3) และจดุ R(2, -2) เป็นจุดยอด
จงเล่ือนขนานรปู สามเหลี่ยม PQR ดว้ ย AB และหาพิกัดของจดุ ยอดของรูปสามเหล่ยี ม PQR

BY P ( X , Y ) = P(3, -4) + (-3, 3)
4 จะได้ P ( X , Y ) = P (0, -1)

A2 Q ( X , Y ) = Q(5, -3) + (-3, 3)
จะได้ Q ( X , Y ) = Q (2, 0)
Q 6 X R ( X , Y ) = R(2, -2) + (-3, 3)
จะได้ R ( X , Y ) = R (-1, 1)
-6 -4 -2 02 4

P -2 R

Q น่นั คือ รปู สามเหลย่ี ม PQR เป็นภาพทไี่ ดจ้ าก
-4 การเลือ่ นขนานรูปสามเหลีย่ ม PQR ดว้ ย AB

P

..................................................................................

...............................................................................

..................................................................................

...............................................................................

..................................................................................

...............................................................................

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

14

ตัวอยา่ งที่ 5 จงใชก้ ารเล่อื นขนานในการหาพ้ืนทโี่ ดยประมาณของรปู ที่กำหนดให้ต่อไปน้ี

ตอบ พ้ืนท่ีโดยประมาณของรูปเป็น 3 × 5 = 15 ตารางเซนติเมตร
1. จงใชก้ ารเลือ่ นขนานในการหาพ้ืนที่โดยประมาณของรปู ที่กำหนดให้ต่อไปน้ี

ตอบ พืน้ ท่ีโดยประมาณของรปู เปน็ .....2...×....4....=....8...ต...า.ร..า..ง..เ..ซ..น...ต..เิ.ม...ต..ร..................................................
2. จงใช้การเลอ่ื นขนานในการหาพน้ื ทีโ่ ดยประมาณของรปู ทกี่ ำหนดให้ต่อไปนี้

ตอบ พน้ื ทโ่ี ดยประมาณของรปู เปน็ ....3...×....4....=....1..2...ต...า..ร..า..ง..เ.ซ..น...ต..ิเ.ม...ต..ร.................................................

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

15

การสะท้อน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกความหมายและสมบตั ขิ องการสะทอ้ นบนระนาบได้
2. หาภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนรปู ต้นแบบได้
3. บอกไดว้ ่ารูปคใู่ ดแสดงการสะท้อน เม่ือกำหนดรปู เรขาคณิตทเี่ ทา่ กันทุกประการให้ได้
4. ใชค้ วามรู้เก่ียวกับการสะทอ้ นในการแก้ปญั หาได้

นักเรียนสามารถเหน็ การแปลงที่มีลักษณะเปน็ ภาพท่ีเสมอื นภาพจรงิ เชน่ เงาของวัตถุที่เกิดข้ึนบนผิว
นำ้ หรือบนกระจก ซ่งึ ภาพทไ่ี ด้จากการแปลงจะมีรปู ร่างและขนาดเทา่ กันกับรปู ตน้ แบบเสมอ

การแปลงในลักษณะนี้เรียกวา่ การสะทอ้ น (reflection)

ตวั อยา่ งการสะท้อน

ภาพสะทอ้ นของโบสถ์ Karlskirche ภาพสะทอ้ นในกระจก

หมายเหตุ. จาก หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 การแปลงทางเรขาคณิต (หน้า 17), เฉลิมพงศ์ วรวรรณโณทัย และ
วรกฤษณ์ ศุภพร, 2562, กรงุ เทพฯ: บริษทั เลิร์น เอน็ ดเู คชัน่ จำกัด.

การสะท้อนบนระนาบ เปน็ การแปลงทางเรขาคณิตท่ีมีการพลกิ รูป โดยมีเสน้ ในแนวตรงเสน้ หน่งึ เป็น
เส้นสะทอ้ น (line of reflection หรอื mirror line)

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

16

การสะทอ้ นรูปเรขาคณิตเปน็ การแปลงทางเรขาคณติ อกี แบบหน่งึ ซึง่ มขี ้อกำหนดดงั นี้

การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตท่มี เี ส้นตรง ท่ีตรงึ เสน้ หนึง่ เปน็ เส้นสะท้อน
แตล่ ะจุด P บนระนาบจะมีจุด P เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นจดุ P โดยท่ี

1. ถ้าจดุ P ไม่อยบู่ นเสน้ สะทอ้ น แลว้ เสน้ สะท้อน 2. ถา้ จดุ P อยบู่ นเส้นสะท้อน แล้วจุด P
จะแบง่ ครึ่งและตง้ั ฉากกับ PP และจดุ P เป็นจดุ เดยี วกัน

สมบัตขิ องการสะทอ้ น

1. รปู ตน้ แบบและภาพท่ีได้จากการสะท้อน สามารถทับกันไดส้ นทิ โดยตอ้ งพลิกรปู ตน้ แบบ
หรือพลิกภาพท่ีได้จากการสะท้อนอย่างหน่ึงอย่างใด หรือกล่าวว่า รูปต้นแบบและ
ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะท้อนเท่ากันทกุ ประการ

2. จดุ ที่สมนยั กันแตล่ ะค่จู ะอยูห่ ่างจากเส้นสะทอ้ นเทา่ กนั หรือเสน้ สะทอ้ นจะแบง่ ครงึ่ และ
ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้
จากการสะท้อน

3. ส่วนของเสน้ ตรงทีเ่ ช่อื มระหว่างจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการสะทอ้ น
จะขนานกัน

สรุปความรู้

1...ร..ปู ..ต...้น..แ...บ..บ...ก..บั...ภ...า.พ...ท...่ไี .ด...จ้ ..า..ก..ก...า..ร..ส..ะ..ท...้อ..น...ส..า..ม...า..ร..ถ..ท...ับ..ก...นั ..ไ..ด..้ส...น..ิท....โ..ด..ย..ม...กี ..า..ร..พ...ล..กิ...ร..ูป.................................................

2. ส...่ว..น..ข..อ..ง..เ.ส..น้...ต..ร.ง..ท...เ่ี .ช..ื่อ..ม..จ...ดุ ..แ..ต..ล่..ะ..จ...ดุ ..บ..น...ร..ูป..ต...้น..แ..บ..บ...ก..ับ...ส..่ว..น..ข..อ..ง..เ.ส..น้...ต..ร..ง.ท...เี่.ก..ิด..บ...น..ภ...า.พ...จ..ะ..ส..ม..น...ัย..ก..ัน....แ..ล..ะ..ต..้งั..ฉ..า..ก..ก..ับ...เ.ส..้น..ส...ะ..ท..อ้ น
3..ส..ว่..น...ข..อ...ง.เ.ส...้น..ต...ร..ง.ท...เ่ี.ช..ือ่...ม..ร..ะ..ห...ว..า่ ..ง.จ...ุด..ท...สี่ ..ม..น...ัย..ก...นั ..จ..ะ..ข...น..า..น...ก..นั......................................................................................

จะขนานกัน

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

17
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด ABCD เปน็ รปู ตน้ แบบ และ XY เป็นเส้นสะทอ้ น จงหาภาพทีไ่ ด้จากการสะทอ้ น

ABCD

แนวคิด หาจุด A , B , C และ Dซ่งึ เป็นภาพ
ท่ีไดจ้ ากการสะท้อนจุด A, B, C และ D ตาม
ลำดับ ดว้ ยเส้นสะท้อน XY

วิธที ำ 1. ลาก AP , BQ , CR และ DS ตงั้ ฉากกับ XY ทจ่ี ุด P, Q, R และ S ตามลำดับ
2. สร้างจดุ A , B , C และ D บน AP , BQ , CR และ DS ตามลำดบั
โดยให้ AP = PA , BQ = QB , CR = RC และ DS = SD
3. ลาก AB , BC , CD และ DA

จะได้ ABCD เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น ABCD ดว้ ยเสน้ สะท้อน XY

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

18

จงเขยี นภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนรูปตน้ แบบ ผ่านเสน้ สะทอ้ น L ทีก่ ำหนดให้
1. A

C B
C
เส้นสะท้อน
A
B

2. N N M
P
M O O

P เส้นสะท้อน

3.

Y X

Z X
Y
Z
บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ
เสน้ สะท้อน

คณติ ศาสตร์พื้นฐาน

19

ตัวอย่างที่ 2 จงหาเสน้ สะท้อนเม่อื กำหนดรปู สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปตน้ แบบ และรปู สามเหลีย่ ม ABC
เป็นภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อนรปู สามเหลี่ยม ABC

วิธที ำ การหาเส้นสะท้อน ทำได้โดยลากเสน้ ตรงผ่านจดุ กง่ึ กลางของสว่ นของเสน้ ตรง
ท่ีเช่ือมระหวา่ งจดุ ที่สมนัยกนั 2 คู่

1. สังเกตวา่ จุด A กับจุด A และจุด C กับจดุ C
เป็นจุดท่ีสมนัยกัน

2. ลาก AA และ CC และหาจุด E และจุด F
ซ่งึ เป็นจุดกึ่งกลางของ AA และ CC ตามลำดับ

3. ลาก XY ผ่านจุด E และ F
จะได้ XY เป็นเส้นสะท้อน

จงหาเสน้ สะทอ้ นของรูปที่กำหนดให้ 2.
1. รปู ตน้ แบบ

เสน้ สะท้อน รปู ต้นแบบ
เสน้ สะทอ้ น ภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ น
ภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น
บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต
คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน

20

ตัวอยา่ งที่ 3 กำหนด ∆ABC และให้เส้นตรง ซงึ่ ขนานกับแกน X เปน็ เส้นสะทอ้ น จงหา
1) พกิ ัดของจดุ A , B และ C ซง่ึ เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการสะท้อนจดุ A, B และ C
2) ∆ ABC ซงึ่ เป็นภาพท่ีได้จากการสะทอ้ น ∆ABC

Y วิธที ำ 1. จากสมบตั ิของการสะท้อน จุดที่สมนัยกันแตล่ ะคู่

C (2, 5)

B (-2, 4) 4 จะอยหู่ ่างจากเส้นตรง L เทา่ กัน

-6 -4 -2 2 (1, 2) L จากรูป จุด A มีพกิ ัดเปน็ (1, 0)
A จุด B มพี ิกดั เป็น (-2, -2) และจุด C มพี กิ ัดเป็น (2, -3)
B(-2, -2) A(1, 0) จะได้ จุด A มพี ิกัดเป็น (1, 2) จุด B มีพกิ ดั เปน็ (-2, 4)
02 4 6 X

-2 และจุด C มีพกิ ดั เป็น (2, 5)
2. ลาก AB , BC และ CA จะได้ ∆ ABC
-4 C(2, -3)
เป็นภาพท่ไี ด้จากการสะท้อน ∆ABC ดว้ ยเสน้ สะทอ้ น L

 กำหนดเส้นตรง เปน็ เสน้ สะท้อน จงหาภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น ABCD ในแต่ละข้อต่อไปน้ี พรอ้ มทัง้
หาพกิ ัดของจดุ ยอดของภาพน้ัน

1. Y

4

C 2 จดุ A มพี กิ ัดเป็น......(.-.1..,...-.2..)...........

DB จุด B มพี กิ ัดเปน็ .....(.1...,..-.3...)............

-6 -4 -2 A 0 2 4 6 X จุด C มีพกิ ัดเป็น.....(..-.1..,...-.4..)...........
A -2 L
D B จุด D มพี ิกัดเป็น......(.-.3...,..-.3..)...........

C -4

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

21

2. Y

B B

4

A A จดุ A มีพกิ ัดเป็น....(.2..,...3..)...............
C C 2

จุด B มีพกิ ดั เป็น...(..0..,..5..)................
02 6 X จุด C มีพิกัดเปน็ ....(.-.1..,...2..)..............
-6 -4 -2 4 จดุ D มีพกิ ดั เปน็ ....(.0..,...-.1..)..............

D D-2
L

-4

3. Y

-6 A-4 4A B
B
2 จุด A มีพิกัดเปน็ .....(.-..4..,..-..1..)...........
D C จดุ B มีพิกัดเป็น....(.-..4..,..-..4..)............
-2 D 0 2 4 6 X จุด C มพี ิกดั เปน็ .....(.-.1..,...-.4..)............
-2
จุด D มีพิกัดเป็น.....(.-.1...,..-.1..)............
C -4
L

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

22

การหมนุ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกความหมายและสมบัติของการหมุนบนระนาบได้
2. หาภาพทไี่ ด้จากการหมุนรูปตน้ แบบได้
3. บอกได้วา่ รูปคใู่ ดเปน็ รูปต้นแบบและภาพทไี่ ด้จากการหมุนได้ เมอ่ื กำหนดรปู เรขาคณิต
ท่เี ท่ากันทุกประการให้ได้
4. ใช้ความรเู้ กีย่ วกบั การหมุนในการแก้ปัญหาได้

นักเรยี นสามารถเหน็ การเคลื่อนทเี่ ปน็ แนวส่วนโค้งของวงกลมไดใ้ นชวี ิตประจำวนั เชน่ การเคลือ่ นที่
ของกระเช้าในชิงชา้ สวรรค์ การเคลือ่ นท่ีของใบพัดในพดั ลม การเคล่อื นทข่ี องเข็มนาฬกิ า เป็นตน้

การแปลงลกั ษณะการเคล่ือนท่เี ชน่ นี้เปรยี บเสมอื นการหมนุ (rotation)

ตัวอย่างการหมุน

ชงิ ช้าสวรรค์ เข็มของนาฬิกา

หมายเหตุ. จาก หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 การแปลงทางเรขาคณติ (หนา้ 17), เฉลิมพงศ์ วรวรรณโณทัย และ
วรกฤษณ์ ศุภพร, 2562, กรุงเทพฯ: บรษิ ัทเลริ น์ เอ็นดูเคชั่น จำกัด.

ในทางคณิตศาสตรก์ ารหมนุ เป็นการแปลงทางเรขาคณิตอกี แบบหน่งึ ซง่ึ กำหนดไวด้ งั นี้

การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ท่ีตรึงจุดหนึ่งเป็น จุดหมุน หรือ
จุดศูนยก์ ลางของการหมนุ (center of rotation) แตล่ ะจุด P บนระนาบ มีจดุ P เปน็ ภาพทีไ่ ด้
จากการหมนุ จุด P รอบจุด O ตามทิศทางท่กี ำาหนดดว้ ยมมุ ทีม่ ขี นาด k องศา โดยท่ี OP = OP

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

23

สมบัตขิ องการหมุน
1. รปู ต้นแบบและภาพทีไ่ ด้จากการหมุน สามารถทบั กันไดส้ นิทโดยไมต่ อ้ งพลกิ รปู หรอื กลา่ วว่า

รูปต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการหมุนเท่ากนั ทุกประการ
2. จุดแต่ละจุดบนรปู ต้นแบบและภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ จุดน้นั จะอยบู่ นวงกลมเดยี วกันทม่ี จี ุดหมนุ

เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางแต่วงกลมทั้งหลายเหลา่ นีไ้ มจ่ ำเป็นต้องมีรศั มียาวเทา่ กัน
3. เสน้ ตรงท่ีแบ่งครึ่งและตงั้ ฉากกบั ส่วนของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มระหว่างจดุ บนรปู ต้นแบบและภาพท่ไี ด้

จากการหมนุ จดุ น้ันจะผ่านจุดหมุนเสมอ

สรุปความรู้
...1.....ก..า..ร..ห...ม..นุ...ส..า..ม...า.ร..ถ...เ.ล..่อื...น..ร..ูป...ต..น้...แ..บ...บ...ท..ับ...ภ...า..พ..ท...ี่ไ.ด...จ้..า..ก..ก...า..ร..ห..ม...นุ ..ไ..ด..้ส...น..ิท....โ..ด..ย..ไ..ม..่ต...อ้ ..ง..พ...ล..กิ..ร...ูป.................................
...2......จ..ดุ...ท..่ีเ.ก...ิด..ข...้ึน..ใ..ห..ม...่ .ร..ะ..ย...ะ..ร..ะ..ห...ว..่า..ง.จ...ุด..ไ..ม..จ่..ำ..เ..ป..็น...ต..อ้...ง.ข...น..า..น...ก..ัน................................................................................
.............................................................................................................................................................................

ทิศทางตามเขม็ นาฬิกา ทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ า
ทศิ ทางตามเข็มนาฬกิ ามีทิศทางวนขวา ทิศทางทวนเขม็ นาฬิกามที ิศทางวนซ้ายซึ่ง
ตามลักษณะการหมนุ ของเข็มนาฬกิ า ตรงกันขา้ มกับทศิ ทางหมุนของเข็มนาฬกิ า

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

24
ตวั อย่างท่ี 1 จงหาจุด P จากการหมุนจดุ ตน้ แบบ P ทกี่ ำหนดให้รอบจุดหมนุ O เป็นมมุ ขนาด 30 องศา
ในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา

วธิ ที ำ ลาก OP แลว้ สรา้ ง POˆ P ใหม้ ีขนาด 30 องศา ในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ า โดยให้ OP = OP
จะไดว้ า่ จุด P เป็นจุดทไ่ี ดจ้ ากการหมุนจุดตน้ แบบ P รอบจดุ หมุน O เป็นมุมขนาด 30 องศา
ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ดังรูป

จงหาจดุ M จากการหมุนจุดต้นแบบ M ทกี่ ำหนดใหร้ อบจุดหมุน O เปน็ มมุ ขนาด 45 องศา ในทิศทาง
ทวนเขม็ นาฬิกา

M

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

25

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ AB รอบจุดหมนุ O เปน็ มมุ ขนาด 90 องศา ในทิศทาง
ตามเข็มนาฬิกา

วิธีทำ 1. ลาก OA แลว้ สรา้ ง AOˆ A ใหม้ ขี นาด 90 องศา ในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ า โดยให้ OA = OA
2. ลาก OB แล้วสรา้ ง BOˆ B ให้มีขนาด 90 องศา ในทศิ ทางตามเข็มนาฬกิ า โดยให้ OB = OB
3. ลาก AB
เนือ่ งจาก จุดที่สมนัยกันมรี ะยะหา่ งจากจุด O เท่ากันทกุ คู่ และขนาดของมมุ ที่ใช้หมุนจดุ บนรูป

ตน้ แบบแตล่ ะมมุ มีขนาดเทา่ กันเท่ากับ 90 องศา
จะได้ว่า AB เปน็ ภาพที่ได้จากการหมุน AB รอบจดุ หมนุ O เปน็ มุมขนาด 90 องศา ในทิศทาง

ตามเข็มนาฬิกา ดงั รูป

จงหาภาพที่ไดจ้ ากการหมุน AB รอบจดุ หมนุ O เป็นมมุ ขนาด 60 องศา ในทิศทางตามเข็มนาฬกิ า

A
B

B

A 60°

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

26

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดใหจ้ ุด A เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการหมุนจุด A(2, 3) รอบจุดกำเนดิ O
จงหาพกิ ัดของจุด A เม่อื กำหนดขนาดของมมุ และทศิ ทางทใ่ี ช้ในการหมุนดังน้ี
1) 90° ตามเขม็ นาฬิกา
2) 90° ทวนเข็มนาฬิกา
3) 180° ทวนเขม็ นาฬกิ า

วิธีทำ

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2 (หน้า 202), โดย
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2564, กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

1) พกิ ดั ของจุด A ท่ีเกิดจากการหมนุ จุด A ดว้ ยมุม 90° ตามเข็มนาฬกิ า คือ (3, -2)
2) พกิ ัดของจุด A ท่เี กิดจากการหมนุ จดุ A ด้วยมุม 90° ทวนเขม็ นาฬิกา คอื (-3, 2)
3) พิกดั ของจุด A ทเ่ี กิดจากการหมุนจุด A ดว้ ยมุม 180° ทวนเข็มนาฬกิ า คือ (-2, -3)

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

27

กำหนดใหจ้ ดุ เป็นภาพท่ีได้จากการหมุนจดุ A(3, 2) รอบจุดกำเนดิ O จงหาพกิ ดั ของจดุ
เมื่อกำหนดขนาดของมมุ และทิศทางที่ใชใ้ นการหมุน ดังนี้

1) 90° ตามเข็มนาฬกิ า
2) 90° ทวนเข็มนาฬิกา
3) 180° ตามเขม็ นาฬิกา

วิธีทำ

A (-2, 3) Y A(3, 2)

4
2

-6 -4 -2 02 4 6X

A (-3, -2) -2

A (2, -3)

-4

1) พกิ ดั ของจุด A ที่เกดิ จากการหมนุ จุด A ดว้ ยมุม 90° ตามเข็มนาฬกิ า คอื (2, -3)
2) พกิ ัดของจุด A ท่ีเกดิ จากการหมนุ จดุ A ด้วยมุม 90° ทวนเข็มนาฬกิ า คือ (-2, 3)
3) พกิ ัดของจดุ A ท่เี กิดจากการหมนุ จุด A ดว้ ยมุม 180° ตามเขม็ นาฬกิ า คอื (-3, -2)

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

28

ตวั อยา่ งท่ี 4 ถ้ารูปสามเหลยี่ ม ABC เป็นภาพที่ได้จากการหมุนรปู สามเหลี่ยม ABC ท่กี ำหนดให้
รอบจุดกำเนิด O ดว้ ยมมุ 90° ตามเขม็ นาฬิกา จงหา
1) พกิ ัดของจดุ A , B และ C
2) รปู สามเหลยี่ ม ABC

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 203), โดย
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564, กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

วิธีทำ จากรปู สามเหล่ียม ABC มจี ุดยอดเปน็ A(-4, 1), B(-2, 2) และ C(-2, 5)
เมอ่ื หมนุ รอบจุดกำเนดิ O ด้วยมุม 90° ตามเข็มนาฬิกา หาพกิ ดั ของจุด A , B และ C

1. ลาก OA แล้วสรา้ ง OP ให้ตั้งฉากกบั OA
2. ใช้ O เปน็ จุดศูนยก์ ลาง รศั มี OA เขียนสว่ นโค้งตัด OP ไดจ้ ุด A (1, 4)
หาจุด B และ C ในทำานองเดียวกนั กบั การหาจดุ A
จะได้ จุด B (2, 2) และจดุ C (5, 2)
นัน่ คอื จุด A , B และ C มพี กิ ัดเปน็ (1, 4), (2, 2) และ (5, 2) ตามลำดับ
ลาก AB , BC และ CA
จะได้ รปู สามเหล่ยี ม ABC เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากหมนุ รปู สามเหล่ียม ABC
รอบจุดกำเนิด O ด้วยมุม 90° ตามเขม็ นาฬกิ า

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

29

จงหา ABCD ซึ่งเปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการหมนุ ABCD รอบจุด O ดว้ ยมมุ ทก่ี ำหนด และหาพกิ ดั ของ
จุด A , B , C และ D

1) 90° ตามเขม็ นาฬิกา

จากรูปจะได้ ABCD เปน็ ภาพ
ที่ได้จากการหมุน ABCD และ
มีพกิ ัดดงั นี้

A (-1, -1)
B (-2, -2)
C (-1, -4)
D (1, -2)

2) 90° ทวนเขม็ นาฬิกา จากรปู จะได้ ABCD เป็นภาพ
ที่ได้จากการหมุน ABCD และ
คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน มีพกิ ดั ดังน้ี

A (1, 1)
B (2, 2)
C (1, 4)
D (-1, 2)

บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

30

จากรปู ทก่ี ำหนดให้ บรเิ วณท่แี รเงามพี น้ื ที่ประมาณกีต่ ารางหน่วย
1.

ตอบ บรเิ วณทีแ่ รเงามีพ้ืนท่ี 8 ตารางหน่วย
2.

ตอบ บริเวณทแี่ รเงามีพืน้ ท่ี.......1....ต..า..ร..า..ง..ห..น...่ว..ย.........................................................
3.

ตอบ บรเิ วณทแ่ี รเงามพี ้นื ท่ี.....4....ต..า..ร..า..ง..ห..น...ว่..ย...........................................................

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 145), โดย
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2564, กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

31

สรุปความรู้

การแปลงเป็นเรือ่ งที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของวัตถุ โดยอาจมีการเปลี่ยนแปลงขนาด รูปร่าง
ตำแหนง่ หรือทศิ ทางของวัตถุ ส่ิงสำคญั ของการแปลงคอื จดุ ทุกจดุ ของวตั ถุทอ่ี ยูท่ เ่ี ดมิ (หรือขนาดเดมิ ) จะต้อง
มีการส่งไปยังวตั ถุทต่ี ำแหน่งใหม่ (หรือขนาดใหม)่ ทุกจุด จุดตอ่ จดุ

การแปลงทางเรขาคณิตที่รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการแปลงมีรูปร่างเหมือนกันและขนาด
เทา่ กนั เสมอ ไดแ้ ก่ การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การเปดิ –ปดิ ประตูเหลก็ เปน็ การเลอื่ นขนาน
ลายผ้า เป็นการสะทอ้ น

ไกวชิงช้า เป็นการหมุน

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรยี นรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2 (หน้า 159-205), โดย
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2564, กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

32

การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบ
ตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดยี วกนั และเปน็ ระยะทางเทา่ กนั ตามที่กำหนด สมบตั ขิ องการเลื่อนขนานมีดงั น้ี

1. รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานสามารถทับกันได้สนิทโดยไม่ต้องพลิกรูป หรือ
กลา่ ววา่ รปู ต้นแบบและภาพที่ได้จากการเล่ือนขนานเทา่ กนั ทกุ ประการ

2. ส่วนของเสน้ ตรงทีเ่ ช่อื มระหว่างจดุ ที่สมนยั กันแตล่ ะคู่ จะขนานกนั และยาวเท่ากนั ทกุ เสน้
3. สว่ นของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพท่ีไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานสว่ นของเสน้ ตรงนั้น จะขนานกนั

และยาวเทา่ กนั

การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง l ที่ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อน
แต่ละจุด P บนระนาบจะมีจุด P เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนจุด P โดยเมื่อจุด P ไม่อยู่บนเส้นสะท้อน
จะไดว้ ่า จดุ P และจุด P จะอย่หู า่ งจากเสน้ สะท้อนเป็นระยะทางเท่ากัน แต่ในกรณีทจี่ ดุ P อยู่บนเส้นสะท้อน
จดุ P และจุด P จะเปน็ จุดเดยี วกัน สมบตั ิของการสะท้อนมีดงั นี้

1. รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อน สามารถทับกันได้สนิทโดยต้องพลิกรูปต้นแบบหรือ
พลิกภาพท่ีได้จากการสะทอ้ นอย่างหนงึ่ อยา่ งใด หรือกล่าววา่ รูปตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการ
สะทอ้ นเท่ากันทุกประการ

2. จุดท่ีสมนยั กนั แต่ละคจู่ ะอย่หู ่างจากเสน้ สะทอ้ นเท่ากนั หรอื เส้นสะท้อนจะแบง่ คร่งึ และต้ังฉาก
กบั ส่วนของเสน้ ตรงทเี่ ชอ่ื มระหว่างจดุ ท่สี มนยั กนั บนรูปตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น

3. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อน
จะขนานกัน

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 213), โดย
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564, กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณิต

33

การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตทีม่ ีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเป็นจุดหมนุ แต่ละจุด P
บนระนาบ มีจดุ P เป็นภาพท่ีได้จากการหมุนจดุ P รอบจุด O ตามทิศทางท่กี ำาหนดดว้ ยมมุ ทีม่ ขี นาด k องศา
โดยที่ OP = OP สมบัตขิ องการหมนุ มดี ังน้ี

1. รปู ต้นแบบและภาพทีไ่ ด้จากการหมนุ สามารถทบั กันได้สนิทโดยไมต่ อ้ งพลกิ รปู หรอื กล่าวว่า
รูปตน้ แบบและภาพท่ีไดจ้ ากการหมนุ เท่ากันทกุ ประการ

2. จุดแตล่ ะจุดบนรปู ต้นแบบและภาพทีไ่ ด้จากการหมุนจดุ นน้ั จะอยูบ่ นวงกลมเดยี วกนั ทม่ี จี ุดหมุน
เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง แต่วงกลมทั้งหลายเหลา่ นไ้ี ม่จำาเปน็ ต้องมรี ศั มยี าวเทา่ กัน

3. เส้นตรงที่แบง่ คร่งึ และตัง้ ฉากกับสว่ นของเสน้ ตรงท่เี ชอ่ื มระหวา่ งจุดบนรูปตน้ แบบและภาพทีไ่ ด้
จากการหมนุ จดุ นน้ั จะผ่านจุดหมนุ เสมอ

หมายเหตุ. จาก หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 (หน้า 213), โดย
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2564, กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

เมื่อมีรูปเรขาคณิตสองรูปที่เท่ากันทุกประการและเกิดการแปลงทางเรขาคณิตที่เป็น การเลื่อนขนาน
การสะท้อนหรือการหมุนแบบหนึ่งแบบใด ถ้าต้องการจะหาว่ารูปสองรูปนั้นเป็นผลจากการแปลงแบบใด
ใหพ้ จิ ารณาดังน้ี

1. ถา้ ตอ้ งมีการพลกิ รูปหน่ึงไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท การแปลงนนั้ เปน็ การสะทอ้ น
2. ถ้าสามารถเลื่อนรูปหน่ึงไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท โดยไม่ต้องพลิกรูปแล้ว ให้พิจารณาว่าเป็นการ

เลอ่ื นขนานหรอื ไม่ ถา้ ไม่ใช่การเลือ่ นขนาน การแปลงนัน้ เปน็ การหมุน

ในกรณีที่รูปเรขาคณิตแต่ละรูปเป็นจุดเพยี งจุดเดยี ว จะสามารถกล่าวได้ว่า การแปลงนั้นเป็นผล
จากการเล่ือนขนาน การสะท้อน หรือการหมุน แบบหนึ่งแบบใดก็ได้

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

34

เฉลยแบบทดสอบวัดทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (หลังเรยี น)

เร่อื ง การแปลงทางเรขาคณิต วิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ค22101 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2

จำนวน 15 ขอ้ คะแนนเต็ม 15 คะแนน เวลา 30 นาที

ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/3 เขา้ ใจและใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกับการแปลงทางเรขาคณติ ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหา

ในชีวิตจริง

คำช้ีแจง : ให้นกั เรยี นเลือกคำตอบทถี่ กู ที่สดุ และทำเครือ่ งหมาย X ลงบนกระดาษคำตอบ

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1. นักเรียนจะสามารถอธิบายผลที่เกิดจากการเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมุนรปู ตน้ แบบบนระนาบ

2. นักเรียนจะสามารถอธิบายสิ่งทีเ่ กดิ ขึน้ หรือภาพทีไ่ ด้จากการแปลงวา่ เกิดจากการเลื่อนขนาน การสะท้อน

หรือการหมุน

3. นักเรียนจะสามารถนำการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน มาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจรงิ

1. ขอ้ ใดถูกตอ้ ง 4. ถ้ารูปต้นแบบคือ แล้วภาพที่เกิดจากการ

ก. รูปตน้ แบบกับภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นไม่เทา่ กนั สะท้อนโดยมแี กน X เป็นเส้นสะทอ้ นคอื ขอ้ ใด

ทกุ ประการ ก. ข.

ข. รูปตน้ แบบกบั ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นทับกัน ค. ง.

ได้สนิท โดยไมต่ ้องพลิกรูป 5. การแปลงทางเรขาคณิตชนิดใดที่มีเวกเตอร์เป็น

ค. รูปต้นแบบกบั ภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน ตวั กำหนดทิศทางและระยะ

ไม่เทา่ กนั ทุกประการ
ง. รปู ต้นแบบกบั ภาพทไี่ ด้จากการเล่ือนขนานทับกนั ก. การหมนุ
ข. การขยาย
ไดส้ นทิ โดยไมต่ อ้ งพลิกรูป
ค. การสะท้อน
2. รูปเรขาคณิตที่พับแบ่งครึ่งรูปออกเป็นสองส่วนและ ง. การเล่ือนขนาน
นำมาทับกันได้สนิทตามรอยพับ เปรียบเสมือนเป็นการ

แปลงทางเรขาคณติ แบบใด 6. กำหนดให้จุด P มีพิกัด (3, -2) พิกัดของจุด P ซ่ึง

ก. การหมุน เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนของจุด P ข้ามเส้น

ข. การขยาย สะท้อนแกน Y คอื ข้อใด

ค. การสะทอ้ น ก. (-3, -2) ข. (3, 2)

ง. การเลื่อนขนาน ค. (-2, -3) ง. (2, 3)

3. ถา้ รปู ตน้ แบบคือ ภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนาน 7. ถา้ เล่ือนจุด (1, 4) ไปทางขวา 5 หนว่ ย จะเปน็ จุดใด
คอื ขอ้ ใด
ข. ก. (6, 4) ข. (9, 1)
ก. ง.
ค. ค. (-4, 4) ง. (1, -1)

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

35

8. สถานการณ์ในข้อใดตอ่ ไปนีส้ ัมพันธ์กับการเลื่อนขนาน 12. จากรูปที่กำหนดให้ บรเิ วณท่ีแรเงามพี ้ืนท่ปี ระมาณ
ก. ลอ้ รถ ก่ีตารางหน่วย
ข. เขม็ วนิ าทีของนาฬิกา
ค. คนกำลงั ลงบนั ไดเลอ่ื น
ง. เงาของตน้ ไมใ้ นน้ำ

9. สถานการณ์ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีสมั พันธก์ ับการหมนุ หมายเหตุ. จาก หนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร์
ก. ภาพเงาในกระจก เลม่ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 (หนา้ 210), โดย สถาบนั
ข. เข็มวนิ าทีของนาฬิกา ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564,
ค. คนกำลงั ลงบันไดเลอ่ื น กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว
ง. เงาของต้นไม้ในน้ำ

10. สถานการณ์ในข้อใดตอ่ ไปนส้ี ัมพนั ธ์กบั การสะท้อน ก. 3 ตารางหน่วย
ก. ชิงช้าสวรรค์ ข. 4 ตารางหน่วย
ข. เข็มวนิ าทขี องนาฬิกา ค. 5 ตารางหนว่ ย
ค. คนกำลังลงบนั ไดเลอ่ื น ง. 6 ตารางหน่วย
ง. เงาของตน้ ไม้ในน้ำ
13. จงหาพนื้ ท่ีโดยประมาณของรูปทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี
11. รูปทีก่ ำหนดให้เป็นการแปลงทางเรขาคณิตแบบใด

ก. การหมนุ หมายเหตุ. จาก หนงั สอื เรยี นรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร์
ข. การขยาย เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 (หนา้ 210), โดย สถาบัน
ค. การสะทอ้ น ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2564,
ง. การเล่ือนขนาน กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ก. 90 ตารางหนว่ ย
ข. 60 ตารางหนว่ ย
ค. 45 ตารางหนว่ ย
ง. 30 ตารางหน่วย

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

36

14. รปู ในข้อใดเป็นการแปลงทางเรขาคณิตแบบการหมุน 15. ถ้าเริ่มต้นที่จุด F วิ่งรอบสนามในทิศตามเข็ม

ของรูปส่ีเหลี่ยม ABCD ซึ่งหมุนรอบจุด O ตามทิศทาง นาฬกิ าเปน็ มมุ 210 องศา จะไปหยุดทต่ี ำแหนง่ ใด

ตามเข็มนาฬิกา และทำมุม 90 องศา จากตำแหนง่ เดมิ A
ก. BH

CG

ข. D E F

ก. A
ข. B
ค. C
ง. D
ค.

ง.

หมายเหต.ุ จาก https://www.scribd.com/A1-2-63

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณติ

37

บันทึกความรู้

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

หมายเหตุ. จาก https://www.nationtv.tv/lifestyle/378553022

คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ

38

บรรณานุกรม

เฉลิมพงศ์ วรวรรณโณทัย, วรกฤษณ์ ศุภพร. (2562). หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 การแปลงทางเรขาคณิต.
กรงุ เทพฯ: บริษทั เลิรน์ เอน็ ดูเคชัน่ จำกดั .

นุสรา ดาราพงษ์, สุเทพ อ่วมเจริญ. (2556). การพัฒนาผลการเรียนรู้เรื่อง การแปลงทางเรขาคณิตของ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ด้วยการจัดการเรียนรู้แบบเน้นภาระงาน.วารสารศิลปากร
ศกึ ษาศาสตร์วิจัย. ปีท่ี 5. (ฉบับท่ี 1), 169-179. สืบค้นจาก https://so05.tci-thaijo.org/index.php
/suedureasearchjournal/article/view/28456/24468

น้ำผง้ึ ชูเลศิ . (2562). การแปลงทางเรขาคณติ . สืบคน้ 18 กรกฎาคม พ.ศ.2565, จาก http://elsd.ssru.
ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/239/course/summary/%E0

สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2564). หนังสือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 1
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2. พิมพค์ รั้งที่ 2. กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว

JeenanAom Sadangrit. สอบการแปลง ม.2 63. สืบค้น 18 กรกฎาคม พ.ศ.2565, จาก https://www.
scribd.com/A1-2-63

Nation Online. (2560).อรสิ โตเตลิ นกั ปรชั ญาชาวกรกี โบราณ. สบื ค้น 18 กรกฎาคม พ.ศ.2565, จาก
https://www.nationtv.tv/lifestyle/378553022

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน บทท่ี 4 การแปลงทางเรขาคณติ