สมดุลกล

30202 2 4 .4

หน่วยการเรียนรู้ที่ ตัวชี้วัด สมดุลกล • อธิบายสมดุลกลของวัตถุ โมเมนต์และผลรวมของโมเมนต์ที่มีต่อการหมุน แรงคู่ควบและผลของ แรงคู่ควบที่มีต่อผลสมดุลของวัตถุ เขียนแผนภาพของแรงที่กระท าต่อวัตถุอิสระเมื่อวัตถุอยู่ใน สมดุลกล และค านวณปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง รวมทั้งทดลองและอธิบายสมดุลของแรงสามแรง • สังเกตและอธิบายสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุ เมื่อแรงที่กระท าต่อวัตถุผ่านศูนย์กลางมวลของวัตถุ และผลของศูนย์ถ่วงที่มีต่อเสถียรภาพของวัตถุ 4

สภาพสมดุล (equilibrium) สภาพสมดุล คือ สภาพที่วัตถุไม่เปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ ซึ่งวัตถุสามารถรักษาสภาพการเคลื่อนที่เดิม ของวัตถุไว้ หากพิจารณาลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุ สามารถแบ่งสภาพสมดุลของวัตถุได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้ สมดุลต่อการเลื่อนที่ สมดุลต่อการหมุน สมดุลสัมบูรณ์ สภาพสมดุล

สมดุลต่อการเลื่อนที่ (translational equilibrium) สมดุลต่อการเลื่อนที่ คือ วัตถุหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ สมดุลประเภทนี้จะเป็นไปตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน สามารถเขียนสมการได้เป็น สมดุลสถิต (static equilibrium) สมดุลจลน์ (kinetic equilibrium) ෍ i=1 n Fi = 0 สมดุลของวัตถุที่อยู่ในสภาพนิ่งและไม่หมุน เช่น บ้านเรือน อาคาร สิ่งของที่วางอยู่นิ่ง เป็นต้น สมดุลของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หรือหมุนด้วย ความเร็วเชิงมุมคงตัว เช่น รถไฟฟ้าที่วิ่งด้วยความเร็วคงที่ วัตถุอยู่ในสภาพสมดุลต่อการเลื่อนที่

กรณีสมดุลของแรงสองแรง เมื่อมีแรงสองแรงโดยที่ผลรวมของแรงทั้งสองเท่ากับศูนย์กระท ากับวัตถุแล้ว วัตถุจะยังคงนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ดังภาพ วัตถุที่มีแรงลัพธ์สองแรงที่เท่ากับศูนย์มากระท า สมดุลของแรงสองแรง จะเกิดขึ้นเมื่อ แรงทั้งสองต้องมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้ามกัน และเกิดขึ้นบนวัตถุเดียวกัน แรงทั้งสองต้องอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ∑Fy = 0 T = mg mg T ∑Fx = 0 F1 = F2 F1 F2 ∑Fy = 0 N = mg mg N ∑F = 0 F = mg sin θ F mg cos θ θ θ mg

จากภาพ (ก) เมื่อแรง และ อยู่ในระนาบเดียวกัน และแรงทั้งสามเกิดสมดุล จะได้ว่า F1 F2 F3 กรณีสมดุลของแรงสามแรง เมื่อมีแรงลัพธ์สามแรงที่เท่ากับศูนย์กระท ากับวัตถุแล้ว วัตถุจะยังคงหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ สมดุลของแรงสามแรง จะเกิดขึ้นเมื่อ แรงทั้งสามต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน เกิดที่วัตถุเดียวกัน แนวแรงของแรงทั้งสามแรงต้องพบกันที่จุดๆ หนึ่ง หรือแนวแรงทั้งสามต้องขนานกันทั้งหมด ผลรวมของแรงสองแรงต้องมีขนาด เท่ากับแรงที่สาม แต่มีทิศตรงกันข้าม ผลรวมของแรงทั้งสามแรง ต้องมีค่าเป็นศูนย์ แรงสามแรงที่ขนานกันกระท าต่อวัตถุ สมดุลของแรงทั้งสามที่ขนานกัน แรงสามแรงที่ไม่ขนานกันกระท าต่อวัตถุ สมดุลของแรงทั้งสามที่ไม่ขนานกัน F1 + F2 + F3 = 0 จากภาพ เมื่อแรง และ อยู่ในระนาบเดียวกัน และแรงทั้งสามเกิดสมดุล จะได้สมการว่า F1 F2 F3 ดังนั้น และเมื่อน าแรงทั้งสามมาต่อแบบหางต่อหัว จะได้รูปสามเหลี่ยมปิด ดังภาพ (ข) F1 + F2 + F3 = 0 F1 + F2 = −F3 F1 F2 F3 (ข) F1 F2 F3 (ก) F1 F2 F3 F12

ทฤษฎีของลามี (Lami’s Theorem) ลามีกล่าวไว้ว่า “ถ้ามีแรงสามแรงมากระท าต่อวัตถุ โดยแรงที่กระท าร่วมกันที่จุด ๆ หนึ่งแล้วท าให้วัตถุอยู่ในสภาพสมดุล จะได้ว่า อัตราส่วนของแรงต่อค่าไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามแรงนั้นย่อมมีค่าเท่ากัน” ซึ่งน ามาพิจารณาสมดุลของแรงสามแรงได้ ดังนี้ กรณีที่ทราบมุมตรงข้ามของแรงทั้งสาม F1 sin α = F2 sin β = F3 sin θ กรณีแรงทั้งสามตั้งฉากกับด้านของสามเหลี่ยม (สามเหลี่ยมตั้งฉากกับแรง) F1 BC = F2 AC = F3 AB กรณีแรงนั้นขนานกับด้านของสามเหลี่ยม (สามเหลี่ยมแทนแรง) F1 AB = F2 BC = F3 AC F1 F2 F3 A B C F1 F2 F3 A B C F1 F2 F3 α β θ

สมดุลต่อการหมุน (rotational equilibrium) สมดุลต่อการหมุน คือ วัตถุไม่เปลี่ยนสภาพการหมุน นั่นคือ วัตถุจะไม่หมุนหรือหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ เช่น ม้าหมุนที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ชิงช้าสวรรค์ที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ เป็นต้น ซึ่งสามารถเขียนสมการได้เป็น ෍ i=1 n Mi = 0 วัตถุอยู่ในสภาพสมดุลต่อการหมุน

โมเมนต์รอบจุดหมุน การหมุนของวัตถุเกิดขึ้นจากการที่มีแรงมากระท าต่อวัตถุแข็งเกร็ง โดยกรณีที่แรงนั้นกระท าต่อวัตถุ ณ ต าแหน่งที่ถูกยึดติดด้วยจุดหมุน หรือแนวแรงที่กระท าผ่านจุดหมุนของวัตถุ วัตถุจะไม่เกิดการหมุน (สมดุลต่อการหมุน) หากแนวแรงที่กระท าต่อวัตถุไม่ผ่านจุดหมุน จะท าให้วัตถุเกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน (rotation motion) ขึ้น การเกิดโมเมนต์รอบจุดหมุนเมื่อมีแรงหลายแรงมากระท าต่อวัตถุ เมื่อผลรวมของโมเมนต์รอบจุดหมุนเป็นศูนย์วัตถุจะไม่หมุนหรือหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงที่ สภาวะนี้เรียกว่า วัตถุสมดุลต่อการหมุน เขียนความสัมพันธ์ได้ ดังนี้ F1 F2 F3 F4 F5 Fn O วัตถุ M1 + M2 + M3 + … + Mn = 0 ෍ i=1 n Mi = 0

โมเมนต์ของแรง โมเมนต์ของแรง (moment of force; M) หรือทอร์ก (torque; τ) คือ ผลรวมของการหมุนรอบจุดหมุนเนื่องจากแรงที่กระท าต่อวัตถุ โดยโมเมนต์ของแรงหรือทอร์ก เป็นสิ่งที่บ่งบอกถึงผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นเมื่อมีแรงมากระท าต่อวัตถุแล้วเกิดการหมุน แรง F กระท าต่อวัตถุ โดยมีแนวแรงห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ l จากภาพเมื่อมีแรง F กระท าต่อวัตถุห่างจากจุดหมุนที่ระยะสามารถค านวณหาโมเมนต์ที่เกิดขึ้นจากแรงได้จากสมการเวกเตอร์ของทอร์ก ดังสมการ F จุดหมุน rറ θ θ l M = Fl M คือ ขนาดของโมเมนต์ของแรง มีหน่วยเป็น นิวตัน เมตร (Nm) F คือ ขนาดของแรงกระท าต่อวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) l คือ ระยะทางจากจุดหมุนไปตั้งฉากกับแนวแรง มีหน่วยเป็น เมตร (m)

โมเมนต์ของแรงคู่ควบ แรงคู่ควบ คือ แรงที่กระท าต่อวัตถุสองแรงที่มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน คานสม่ าเสมอ AB ถูกแรงกระท า โดยแนวแรงตั้งฉากกับ AB ดังนั้น เมื่อวัตถุถูกแรงคู่ควบกระท า วัตถุจะสมดุลต่อการเลื่อนที่แต่จะไม่สมดุลต่อการหมุน โดยโมเมนต์ของแรงคู่ควบสามารถหาได้จากสมการ Mc = Fd Mc คือ โมเมนต์ของแรงคู่ควบ มีหน่วยเป็น นิวตัน เมตร (Nm) F คือ แรงกระท าต่อวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) d คือ ระยะตั้งฉากกับแนวแรงทั้งสอง มีหน่วยเป็น เมตร (m) F1 F2 A B O d1 d2 d

สมดุลสัมบูรณ์ (absolute equilibrium) สมดุลสัมบูรณ์ คือ วัตถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่และสมดุลต่อการหมุนไปพร้อมกัน โดยอาศัยเงื่อนไข ෍ i=1 n ෍ Mi = 0 i=1 n Fi = 0 และ จากภาพ เมื่อพิจารณาโมเมนต์ของแรงรอบจุดหมุน A ได้ว่า โมเมนต์ของแรง หมุนรอบจุด A ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา โมเมนต์ของแรง หมุนรอบจุด A ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ซึ่งวัตถุนี้อยู่ในสภาพสมดุลสัมบูรณ์ Mg mg Mg mg A

ศูนย์กลางมวล (center of mass; cm) ศูนย์กลางมวล คือ จุดที่เปรียบเสมือนศูนย์รวมมวลของวัตถุทั้งก้อน หากออกแรงกระท าต่อวัตถุโดยให้แนวตรงผ่านศูนย์กลางมวล จะท าให้วัตถุไม่หมุน แต่ถ้าออกแรงกระท าไม่ผ่านศูนย์กลางมวล วัตถุจะหมุนในทิศทางตามแรงนั้น ต าแหน่งของศูนย์กลางมวลเมื่อออกแรงกระท าต่อวัตถุในทิศต่างๆ การค านวณหาต าแหน่งของศูนย์กลางมวลของระบบซึ่งอยู่ที่ต าแหน่ง xcm, ycm สามารถหาได้จากสมการ cm = ( ∑mx ∑m , ∑my ∑m ) cm คือ ศูนย์กลางมวล m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg) x คือ ต าแหน่งของศูนย์กลางมวลตามแกน x y คือ ต าแหน่งของศูนย์กลางมวลตามแกน y วัตถุเกิดการหมุน วัตถุไม่เกิดการหมุน F cm F cm F cm

ศูนย์ถ่วง (center of gravity; cg) ศูนย์ถ่วง คือ จุดที่เปรียบเสมือนศูนย์รวมน้ าหนักของวัตถุทั้งก้อน โดยแนวของน้ าหนักของวัตถุทั้งก้อนจะมีทิศผ่านศูนย์ถ่วง ต าแหน่งของศูนย์ถ่วงเมื่อวัตถุวางในลักษณะต่างๆ โดยทั่วไปแล้วศูนย์ถ่วงกับศูนย์กลางมวลจะเป็นต าแหน่งเดียวกันเมื่อวัตถุอยู่ในสนามโน้มถ่วงสม่ าเสมอ นอกจากวัตถุนั้นมีขนาดใหญ่จนแต่ละส่วนของวัตถุอยู่ในสนามโน้มถ่วงที่ไม่เท่ากัน วัตถุอยู่ในสมดุล cg cg cg cg ยังอยู่ในฐาน วัตถุจึงไม่ล้ม cg เลยออกจากฐาน วัตถุจึงล้ม ออกแรงผลัก ออกแรงมากพอ

สมดุลของวัตถุ

เสถียรภาพของสมดุล

คาน คาน คือ เครื่องกลชนิดหนึ่งที่ใช้ในการผ่อนแรงโดยการดีดหรืองัดวัตถุให้เคลื่อนที่รอบจุดหมุน หลักการท างานของคานจะพิจารณาขณะคานอยู่ในสมดุล ดังภาพ ดังนั้นสามารถค านวณได้ ดังสมการ Fout Fin = y x Fout คือ ขนาดของแรงต้านทาน มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) Fin คือ ขนาดของแรงพยายาม มีหน่วยเป็น นิวตัน (N) x คือ ระยะจากแนวแรงต้านทานถึงจุดหมุน มีหน่วยเป็น เมตร (m) y คือ ระยะจากแนวแรงพยายามถึงจุดหมุน มีหน่วยเป็น เมตร (m) Fout Fin จุดหมุน x y

รอก รอก คือ เครื่องกลอย่างง่ายที่ใช้ในการผ่อนแรง หรืออ านวยความสะดวก หลักการท างานของรอกจะพิจารณาขณะรอกอยู่ในสมดุล โดยระบบรอกเดี่ยวจ าแนกได้ 2 ชนิด ได้แก่ จากกฎของนิวตัน การได้เปรียบเชิงกล ดังนั้น รอกเดี่ยวตายตัวไม่ช่วยในการผ่อนแรง แต่ช่วยอ านวยความสะดวกในการท างาน Fin = Fout ∑F ขึ้น = ∑Fลง ∑F = 0 M. A. Fout Fin = = 1 Fin Fout Fin รอกเดี่ยวตายตัว รอกเดี่ยวเคลื่อนที่ ดังนั้น รอกเดี่ยวเคลื่อนที่เกิดแรงยกเป็น 2 เท่า ของแรงพยายาม จึงช่วยในการผ่อนแรง จากกฎของนิวตัน การได้เปรียบเชิงกล 2Fin = Fout ∑F ขึ้น = ∑Fลง ∑F = 0 M. A. Fout Fin = = 2 Fin Fout Fin

ล้อและเพลา ล้อและเพลา คือ เครื่องกลที่ช่วยผ่อนแรง ประกอบด้วย วัตถุทรงกระบอก 2 อันติดกัน ซึ่งพิจารณาเมื่อล้อและเพลาอยู่ในสมดุล จากภาพ ขณะล้อและเพลาอยู่ในสมดุล ෍ และ คิดโมเมนต์รอบจุดหมุน (จุด O) i=1 n Fi = 0 ෍ i=1 n Mi = 0 โดยก าหนดให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ∑Mทวน มีเครื่องหมายบวก และโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา ∑Mตาม มีเครื่องหมายลบ จากสมการข้างต้นพบว่า การท างานของล้อและเพลาจะเหมือนกับการท างานของคาน ෍ i=1 n Mi = 0 Fout x − Fin y = 0 Fout x = Fin y Fout Fin = R r Fout Fin Fin Fout R O r