เมทริกซ์

เมทริกซ์
(Matrix)

จัดทำโดย
นายถามวัต อางนานนท์ ม.4/1 เลขที่ 27

ประเภทของเมทริกซ์

01 02

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) คือ เมทริกซ์แถว (Row matrix) คือ
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เมทริกซ์ที่มีแถวเพียงแถวเดียว
เขียนแทนด้วย 0

ประเภทของเมทริกซ์

03 04

เมทริกซ์หลัก (Column matrix) เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix)
คือ เมทริกซ์ที่มีหลักเพียงหลักเดียว คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจาน
วนหลัก (มีมิติ n´ n)

เมทริกซ์จัตุรัสยังอาจแบ่งประเภท
ย่อยๆได้เป็น

01 02

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular
คือ เมทริกซ์ที่นิยามโดย matrix) คือ เมทริกซ์ซึ่งมีสมาชิกที่อยู่
เหนือหรือใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์
ทั้งหมด

ข้อควรรู้ เส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal)
คือ เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จัตุรัสที่ลากจาก
มุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างของเมทริกซ์

การบวก ลบ และคูณ เมทริกซ์




การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ เราจะนำสมาชิกของเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์มาบวก ลบ
คูณกัน ซึ่งการดำเนินการเหล่านี้มีสมบัติและข้อยกเว้นต่างกันไป เช่น การบวกต้องเอา
สมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน เป็นต้น

การบวกเมทริกซ์
เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำสมาชิกตำแหน่ง
เดียวกันมาบวกกัน
เช่น

การลบเมทริกซ์
การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกัน
จะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะต้องนำมาลบกัน เช่น

สมบัติการบวกเมทริกซ์
1.สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวกกันแล้วผลลัพธ์ยังเป็นเมทริกซ์เหมือน
เดิมและมิติก็เท่าเดิมด้วย
2.สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า A +B = B +A
3.สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B + C)
4.สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ศูนย์
(สมาชิกทุกตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทนด้วย
5.สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆแล้วจะได้ว่า (-A) เป็นเมทริกซ์ผกผัน
ของ A ซึ่งเมื่อนำ A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เมทริกซ์ศูนย์

การคูณเมทริกซ์ ด้วยจำนวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงคือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธีการ
คูณแบบนี้น้องๆสามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไปคูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้อง
คูณทุกตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้ เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ m×n และ c, d เป็นจำนวนจริง

1.(cd)A = c(dA) = d(cA)
2.c(A + B) = cA + cB
3.(c + d)A = cA + dA
4.1(A) = A และ -1(A) = -A


การคูณเมทริกซ์ ด้วยจำนวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงคือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธีการคูณ
แบบนี้น้องๆสามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไปคูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้องคูณทุก
ตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้ เช่น
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้
1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลัง
2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัวหน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง
เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
1.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อกันได้ จะได้ A(BC) = (AB)C
2.) สมบัติการมีเอกลักษณ์
เอกลักษณ์การคูณของเมทริกซ์ คือ
น้องๆสามารถทำความรู้จักกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เพิ่มเติม ได้ที่ >>> เมทริกซ์เอกลักษณ์
**เมทริกซ์ที่มีเอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส
3.) สมบัติการรแจกแจง
(A + B)C = AC + BC
A(B +C) = AB + AC
แต่!! เมทริกซ์จะมีสมบัติการแจกแจง เมื่อ A + B, B + C, AB, AC, BC สามารถหาค่าได้

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส
ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ
โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้า
มากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก
**ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับ
เมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น**
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

หลักการจำคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 จะซซับซ้อนกว่า 2×2 นิดหน่อย แต่ยังใช้หลัก
การเดิมคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น และสิ่งที่เพิ่มมาก็คือ การเพิ่มจำนวนหลักเข้าไปอีก 2
หลัก ซึ่งหลักที่เพิ่มนั้นก็คือค่าของ 2 หลักแรกนั่นเอง

สมบัติเกี่ยวกับ ดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (ทับศัพท์ว่า ทรานสโพส) คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการ
สลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับ
เปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m × n จะเขียนแทนด้วย A*T (บางครั้งอาจพบในรูปแบบ A*t,A*tr,
t*A หรือ A*′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n × m (สลับกัน) นิยามโดย

สำหรับทุกค่าของ i และ j ที่ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m ตัวอย่างเช่น

ส่วนที่ฉันชอบ

คุณสมบัติ
กำหนดให้เมทริกซ์bA,B และ สเกลาร์ c คุณสมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนมีดังนี้
1.เมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนสองครั้งจะได้เมทริกซ์ต้นแบบ

2.การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการบวก เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถ
บวกกันได้

3.การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการคูณ เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถคูณ
กันได้ โปรดสังเกตว่าลำดับของการคูณจะเรียงย้อนกลับ ไม่ว่าจะมีกี่เมทริกซ์ก็ตาม

4.การสลับเปลี่ยนของสเกลาร์ ก็จะได้สเกลาร์ตัวเดิม จึงสามารถดึงตัวร่วมออกมาได้

5.ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีค่าเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

6.ผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์สองคอลัมน์ a กับ b สามารถคำนวณได้จาก

7.เมทริกซ์ผกผันของการสลับเปลี่ยน เท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของการผกผัน

เมทริกซ์แต่งเติม

เมทริกซ์แต่งเติม (อังกฤษ: augmented matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกัน
ของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัว
ผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น
ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

ตัวอย่าง

เมทริกซ์ผกผัน

ระบบจำนวนจริง จำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ย่อมมีอินเวอร์สการคูณ เมทริกซ์ก็มีอินเวอร์ส
การคูณ เช่นกัน สำหรับในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

กฎของคราเมอร์

ระบบจำนวนจริง จำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ย่อมมีอินเวอร์สการคูณ เมทริกซ์ก็มีอินเวอร์
สการคูณ เช่นกัน สาหรับในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์