2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม "ถ้า...แล้ว" @ "ก็ต่อเมื่อ"

10

3. การเช่ือมประพจนด์ ้วยตวั เชือ่ ม “ถ้า…แลว้ ” (If. . . then) “ ” (Imply)

ให้ p, q เปน็ ประพจน์สองประพจน์ใดๆ “p และ q” เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ “p  q”

แสดงค่าความจริงของกรณตี า่ งๆ ดงั นี้ p  q จะมคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
p q pq เม่อื p (เหตุ) มคี ่าความจรงิ เป็นจริง
TT T แต่ q (ผล) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ
TF F
กรณอี ่ืนๆ เป็นจริง

FT T

FF T

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้ p แทน 3 ∈ {1, 3, 5. 7} , q แทน 3 เปน็ จานวนคี่ จงหาคา่ ความจรงิ ของ p  q

ตวั อยา่ งที่ 2 ขอ้ ความ ถา้ 3 เป็นจานวนคแู่ ล้ว 4 เป็นจานวนคู่ มีค่าความจรงิ เปน็ จริงหรือเท็จ

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปนี้
1. ถ้า 3 + 7 = 10 แลว้ 5 + 2 > 10

2. ถ้า 2 + 4 ≠5 แลว้ 8 – 5 < 10
3. ถา้ 1 > 3 – 2 แล้ว 4 – 3 < 0

ตวั อยา่ งท่ี 4

ให้ p แทน 2 เปน็ จานวนเฉพาะ, q แทน 3 เปน็ จานวนค่ี และ r แทน 0 เปน็ จานวนค่ี
จงหาคา่ ความจรงิ ของ

1. p  q 2. p  r 3. q  r

4. r  q 5. r p 6. q  p

ตัวอยา่ งที่ 5 ถา้ กาหนดคา่ ความจรงิ ของ p, q และ r เปน็ จรงิ , เทจ็ และจรงิ ตามลาดบั จงหา

ค่าความจรงิ ของ (p  q)  (p  r )

11

4. การเชื่อมประพจนด์ ้วยตัวเชือ่ ม “กต็ อ่ เมอ่ื ” (. . . if and only if . . . )

ให้ p, q เปน็ ประพจน์สองประพจน์ใดๆ “p และ q” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “p  q”

แสดงคา่ ความจรงิ ของกรณตี ่างๆ ดังนี้

p q pq p  q จะมีค่าความจริงเป็นจรงิ เมอ่ื
TT T p และ q มีค่าความจริงเหมอื นกัน
TF F กรณอี ื่นๆ เป็นเท็จ

FT F

FF T

ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้ p แทน 3 ∈ {1, 3, 5. 7} , q แทน 3 เปน็ จานวนค่ี จงหาคา่ ความจรงิ ของ p  q

ตัวอยา่ งที่ 2 ขอ้ ความ 3 เปน็ จานวนคู่กต็ อ่ เมื่อ 4 เปน็ จานวนคูม่ คี ่าความจรงิ เป็นจรงิ หรือเท็จ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้
1. 3 + 7 = 10 กต็ อ่ เมือ่ 5 + 2 > 10

2. 2 + 4 ≠5 กต็ อ่ เม่อื 8 – 5 < 10
3. 1 > 3 – 2 กต็ อ่ เมอื่ 4 – 3 < 0

ตวั อยา่ งท่ี 4

ให้ p แทน 2 เปน็ จานวนเฉพาะ, q แทน 3 เป็นจานวนค่ี และ r แทน 0 เปน็ จานวนคี่
จงหาคา่ ความจรงิ ของ

1. p  q 2. p  r 3. q  r

4. r  q 5. r p 6. q  p

ตัวอยา่ งที่ 5 ถา้ กาหนดคา่ ความจรงิ ของ p, q และ r เปน็ จรงิ , เทจ็ และจรงิ ตามลาดับจงหาคา่ ความ
จรงิ ของ (p  q)  (p  r )

12

ความสาคญั ของตวั เชอ่ื ม

ในกรณีท่โี จทยไ์ มใ่ สว่ งเลบ็ มาใหเ้ มือ่ จะใสว่ งเลบ็ จะตอ้ งเรยี งความสาคญั จากน้อยไปมากดังน้ี

1. “  ” 2. “” “” 3. “ ” 4. “  ”
เช่น p q r หมายถงึ p ( q  r)

p  q r หมายถงึ p  (q r)

p q r  sหมายถึง [p (q r)]  s

คา่ ความจริงของประพจน์
1. ค่าความจรงิ เปน็ จริง (True) ใช้ “ T ”
2. ค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ (False) ใช้ “ F ”

สรปุ รูปแบบของประพจนท์ ี่เชือ่ มดว้ ยตวั เชือ่ มตา่ งๆ p q

p q P q P q P q Pq F F
F T
TTTTTT T F
TFFTFF T T
FTFTTF
FFFFTT