จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน นาย ด นา ฒนา /ม 5 า 1 ลบ 18
.

ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพื่มจำนวน i ซึ่งให้สมการ j2 | = 0 เป็นจริง และหลังจานั้น
+

เพิ่มสมาชิกตัวการคูณ จำนวนเชิงซ้อน Z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป × + iy โดยที่ × และ y เป็นจำนวนจริง โดยเรา

โดยเรา เรียก ✗ และ y ว่าส่วนจริง และ ส่วนจินตภาพ ของ = ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ C จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซต

ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนเราสามารถบวก ลบ คูณ หาร สมาชิกสองตัวใดๆ ของเซต

จำนวนเชิงซ้อนได้และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้น ในทางคณิตเราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อน

เป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

จะมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า เชิงซ้อน ถูกใช้เป็นคำศัพท์ที่มีความหมายว่า ฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของ

จำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน,พหุนามเชิงซ้อน,แมทริกซ์เชิงซ้อน,และพีชคณิตตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

่ีทัวำ่คำทัช

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน C ประกอบด้วยเซตคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดโดยบวกและคูณ โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้ให้

(a,b) และ (c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (a,b) x (c,d) = (ac -bd,ad + bc )
(a,b) + (c,d) = (a + c,d +d)

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริงเซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการ

ทั้งสองสมบัติเป็นฟีลด์กล่าวคือ
การบวกและคูณมีสมบติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่มและแจกแจง มีเอกลักษณ์การบวกคือ(0,0)

เอกลักษณ์การคูณคือ (1,0) มีอินเวอร์สการบวกของz = (a,b) ถ้าหาก z=(a,b)ไม่เท่ากับ(0,0)อินเวอร์สการคูณ z คือ

a ง b

Ci + b. -

+|

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อน

แทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

Cla b) เ น(b) b)(= c a. ใดb) เ นนวนจ ง และ
,
(= c เอc Ca นวนเ ง อน
a, , ๆ

้ซิชำจ็ปิรำจ็ป่ืม้ว้ผ

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้า Z = a + bi เราเรียก a ว่า ส่วนจริง ของ Z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ]2 (2) และเราเรียก b ว่า ส่วนจินตภาพของ Z เขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ ](2) เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ

สังยุคเชิงซ้อน
ถ้า Z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของ Z คือ a-bi เราเขียนแทนสังยุคของ Z ด้วย Z สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติ

1. Z , + Zz = +I

2. 7,22 = I I
3. zaz = 212(2)

4. IZ - = 2 JCZ )

เ อ เ น2,2 i. 7. นวน เ ง อนใด ๆ
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน Z=a+bi เขียนแทนด้วย l z l คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ b+ 2 เราอาจแปลความหมายของจำนวน

เชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจุด (0,0)ไปยังจุด(a,b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติ

1. 14 = | 51

2,12. / Z = lz llz |
, , ,

3. / z + z / E | 2,1 + | 22 /
,,

4. / 7- zdz | 171 - /1 221

เ อ5. IZ / = o อ z ะ0

่ืม่ต้ผ้ซิชำจ็ป่ืมุ้ย