รูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์บางประการกับรูปหลายเหลี่ยม

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 47
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

5 + 7 + 7 = 19 21

5 + 7 + 7 = 19 22

5 + 8 + 3 = 16 18

5 + 8 + 4 = 17 19

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 48
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

5 + 8 + 5 = 18 20

5 + 8 + 6 = 19 21

5 + 8 + 7 = 20 22

5 + 8 + 8 = 21 23

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 49
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 3 + 3 = 12 14

6 + 3 + 4 = 13 15

6 + 3 + 5 = 14 16

6 + 3 + 6 = 15 17

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 50
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 3 + 7 = 16 18

6 + 3 + 8 = 17 19

6 + 4 + 3 = 13 15

6 + 4 + 4 = 14 16

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 51
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 4 + 5 = 15 17

6 + 4 + 6 = 16 18

6 + 4 + 7 = 17 19

6 + 4 + 8 = 18 20

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 52
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 5 + 3 = 14 16

6 + 5 + 4 = 15 17

6 + 5 + 5 = 16 18

6 + 5 + 6 = 17 19

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 53
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 5 + 7 = 18 20

6 + 5 + 8 = 19 21

6 + 6 + 3 = 15 17

6 + 6 + 4 = 16 18

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 54
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 6 + 5 = 17 19

6 + 6 + 6 = 18 20

6 + 6 + 7 = 19 21

6 + 6 + 5 = 20 22

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 55
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 7 + 3 = 16 18

6 + 7 + 4 = 17 19

6 + 7 + 5 = 18 20

6 + 7 + 6 = 19 21

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 56
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6 + 7 + 7 = 20 22

6 + 7 + 8 = 21 23

6 + 8 + 3 = 17 19

6 + 8 + 4 = 18 20

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 57
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

6+8+5=19 21

6+8+6=20 22

6+8+7=23 23

6+8+8=22 24

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 58
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

7+3+3=13 15

7+3+4=14 16

7+3+5=15 17

7+3+6=16 18

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 59
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

7+3+7=17 19

7+3+8=18 20

7+4+3=14 16

7+4+4=15 17

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 60
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

7+4+5=16 18

7+4+6=17 19

7+4+7=18 20

7+4+8=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 61
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
7+5+3=15 สามเหลยี่ ม

17

7+5+4=16 18

7+5+5=17 17

7+5+6=18 20

7+5+7=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 62
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
7+5+8=20 สามเหลย่ี ม

22

7+6+3=16 18

7+6+4=17 19

7+6+5=18 20

7+6+6=19 21

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 63
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลยี่ ม

7+6+7=20 22

7+6+8=21 23

7+7+3=17 19

7+7+4=18 20

7+7+5=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 64
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
7+7+6=20 สามเหลย่ี ม

22

7+7+7=21 23

7+7+8=22 24

7+8+3=18 20

7+8+4=19 21

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 65
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
7+8+5=20 สามเหลยี่ ม

22

7+8+6=21 23

7+8+7=22 24

7+8+8=23 25

8+3+3=14 16

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 66
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+3+4=15 สามเหลย่ี ม

17

8+3+5=16 18

8+3+6=17 19

8+3+7=18 20

8+3+8=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 67
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+4+3=15 สามเหลย่ี ม

17

8+4+4+16 18

8+4+5+17 19

8+4+6=18 20

8+4+7=19 21

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 68
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+4+8=22 สามเหลยี่ ม

22

8+5+3=16 18

8+5+4=17 19

8+5+5=18 20

8+5+6=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 69
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+5+7=20 สามเหลยี่ ม

22

8+5+8=21 23

8+6+3=17 19

8+6+4=18 20

8+6+5=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 70
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+6+6=20 สามเหลยี่ ม

22

8+6+7=21 23

8+6+8=22 24

8+7+3=18 20

8+7+4=19 21

รูปเรขาคณิต ดา้ นของรูปเรขาคณิต 71
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+7+5=20 สามเหลยี่ ม

22

8+7+6=21 23

8+7+7=22 24

8+7+8=23 25

8+8+3=19 21

รูปเรขาคณติ ดา้ นของรูปเรขาคณิต 72
ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
8+8+4=20 สามเหลย่ี ม

22

8+8+5=21 23

8+8+6=22 24

8+8+7=23 25

8+8+8=24 26

73

ให้ p = จานวนด้าน , q = จานวนรปู เหล่ียมภายใน จานวนรูปสามเหลย่ี มทีเ่ กดิ
p-2
จานวนเหลีย่ มภายใน p
0
1 p+2
p+4
2
3 p+6
4 p+8
5
. .
. .
. .
q X

จาก = 1 + ( − 1)
ดงั น้ัน จานวนรูปสามเหล่ยี มภายใน = = ( − 2) + ( − 1)2
= − 2 + 2 − 2
= + (2 − 4)

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) ⋯ + ( + (2 − 4))

จาก = ( 1 + )
เพราะฉะน้นั 2

= [( − 2) + ( + (2 − 4))]
2

= [2 + 2 − 6]
2

= + 2 − 3 = 2 + ( − 3)

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4)) = 2 + ( − 3)

74

กาหนดให้ n เปน็ จานวนนบั ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4)) = 2 + ( − 3)

พิสจู น์ ให้ แทนข้อความ

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4)) = 2 + ( − 3)

Basic Step

เน่อื งจาก p - 2 = 12 + ( − 3)1 = − 2

ดังนนั้ P(k) เป็นจริง

Induction Step

ให้ k เปน็ จานวนนับ

สมมติ P(k) เป็นจริง

จะไดว้ ่า

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4)) = 2 + ( − 3)

จะแสดงว่า P(k) เปน็ จรงิ

เนอื่ งจาก

( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4)) + ( + 2( + 1) − 4)
= k2 + (p − 3)k + (p + 2(k + 1) − 4)

=k2+pk-3k+p+2

= ( 2 + 2 + 1) + − 3 + − 3

= ( + 1)2 + [( − 3) + ( − 3)]
= ( + 1)2 + ( + 3)( + 1)
ดงั นน้ั ( + 1) เป็นจริง โดยอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร์

∀ ∈ , ( − 2) + + ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + ⋯ + ( + (2 − 4))
= 2 + ( − 3)

75

T1 รูปเรขาคณติ สามเหลย่ี มทด่ี ้านหนึ่งเปน็ ดา้ นประกอบของรูปเหลย่ี มรูปนอกสุด

n เหล่ยี ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(1,n,k )
ทบ่ี รรจุ

313

323

333

343

353

363

373

383
...
...
...
3k3

n เหล่ียม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน 76
ทบี่ รรจุ
4 T(1,n,k )
1
4 4
2 4
4
3 4
4 4
4 4
4 4
5 4
4 4
6 .
4 .
7 .
4 4
. 8
. .
. .
4 .
k

77

n เหล่ียม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(1,n,k )
ทบี่ รรจุ
5 5
1 5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
5 5
5
6 5
5
7 5
5 .
. 8 .
. . .
. . 5
5 .
k

78

n เหล่ียม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(1,n,k )
ทบี่ รรจุ
6 6
1
6 6
2
6 6
3
6 6
4
6 6
5
6 6
6
6 6
7
6 6
. 8 .
. . .
. . .
6 . 6
k

79

n เหล่ียม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(1,n,k )
ทบี่ รรจุ
7 7
1 7
7
2 7
7
3 7
7
4 7
7
5 7
7
6 7
7
7 7
7 .
. 8 .
. . .
. . 7
7 .
k

n เหลี่ยม จานวนรปู เรขาคณิตภายในท่ี 80
บรรจุ
8 T(1,n,k )
8 1
8
8 2 8
8
3 8
8 8
8 4
8
8 5 8
8
6 8
. 8
. 7
. .
8 .
8 . .
n .
. 8
k
T(1,n,k) = n
k

81

T2 รูปเรขาคณิตสามเหลยี่ มท่ดี า้ นหนึ่งเป็นดา้ นประกอบของรปู เหลี่ยมรปู ในสดุ

n เหลี่ยม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(2,n,k )
ทบ่ี รรจุ

313

326

339

3 4 12

3 5 15

3 6 18

3 7 21

3 8 24
...
...
...
3 k 3k

82

n เหลย่ี ม จานวนรปู เรขาคณติ ภายใน T(2,n,k )
ที่บรรจุ
4 4
1
4 8
2
4 12
3
4 16
4
4 20
5
4 24
6
4 28
7
4 32
. 8 .
. . .
. . .
4 .
k 4k

83

n เหลย่ี ม จานวนรปู เรขาคณติ ภายใน T(2,n,k )
ที่บรรจุ
5 5
1 10
5
2 15
5 20
3 25
5 30
4 35
5 40
5
5 .
6 .
5
7 5k
5
. 8
. .
. .
5 .
k

84

n เหลี่ยม จานวนรปู เรขาคณติ ภายใน T(2,n,k )
ท่ีบรรจุ
6 6
1 12
6
2 18
6
3 24
6
4 30
6
5 36
6
6 42
6
7 48
6 .
. 8 .
. . .
. .
6 . 6k
k

85

n เหล่ยี ม จานวนรปู เรขาคณิตภายใน T(2,n,k )
ทบี่ รรจุ
7 7
1 14
7
2 21
7
3 28
7
4 35
7
5 42
7
6 49
7
7 56
7 .
. 8 .
. . .
. .
7 . 7k
k

n เหลีย่ ม จานวนรปู เรขาคณติ ภายในที่ 86
บรรจุ
8 T(2,n,k )
8 1
8
8 2 16
8
3 24
8 32
8 4
40
8 5 48
8
6 56
. 64
. 7
. .
8 .
8 . .
n .
. 8k
k T(2,n,k) = n  k

k

87

T3 รปู เรขาคณิตสามเหลยี่ มที่ไมม่ ีดา้ นใดด้านหน่งึ เป็นดา้ นประกอบของรูปเหล่ยี มรูปนอกสดุ /รูปเหลย่ี มรปู ในสดุ

n เหลยี่ ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(3,n,k )
ท่บี รรจุ
3 0
1

322

334

346

358

3 6 10

3 7 12

3 8 14
...
...
...
3 k 2k − 2

88

n เหล่ยี ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน T(3,n,k )
ทบี่ รรจุ
4 0
1 2
4
2 4
4
3 6
4
4 8
4
5 10
4
6 12
4
7 14
4 .
. 8 .
. . .
. .
4 . 2k − 2
k

n เหล่ยี ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน 89
ทบี่ รรจุ
5 T(3,n,k )
1
5 0
2 2
5
3 4
5 6
4 8
5 10
5 12
5 14
6 .
5 .
7 .
5
. 8 2k − 2
. .
. .
5 .
k

n เหล่ยี ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน 90
ทบี่ รรจุ
6 T(3,n,k )
1
6 0
2 2
6
3 4
6 6
4 8
6 10
5 12
6 14
6 .
6 .
7 .
6
. 8 2k − 2
. .
. .
6 .
k

n เหล่ยี ม จานวนรูปเรขาคณติ ภายใน 91
ทบี่ รรจุ
7 T(3,n,k )
1
7 0
2 2
7
3 4
7 6
4 8
7 10
5 12
7 14
6 .
7 .
7 .
7
. 8 2k − 2
. .
. .
7 .
k

92

n เหลี่ยม จานวนรูปเรขาคณิตภายในท่ี T(3,n,k )
บรรจุ
8 0
8 1 2

8 2
8
34
8 46
8
58
8 6 10
8
7 12
.
. 8 14
. ..
..
8 ..
n
k 2k − 2

k T(3,n,k) = 2k − 2

ตัวอยา่ งรปู ดา้ นของรูปเรขาคณิต 93
รูปเรขาคณิต ดา้ นนอก+ดา้ นใน
จานวนรูป
สามเหลย่ี ม

3+3=6 6

3+3+3=9 11

3+3+3+3=12 16

3+3+3+3+3=15 21

การหารปู สามเหลีย่ มท้งั หมด

จาก Triangle = T T = T1 + T2 + T3

94

บทท่ี 5

สรุปผลและขอ้ เสนอแนะ

สรปุ ผลการศกึ ษา

จากการศึกษา เรอื่ ง รูปสามเหลีย่ มท่ีมีความสัมพนั ธ์บางประการกับรูปหลายเหลีย่ ม ซงึ่
คณะ ผู้จดั ท าไดศ้ ึกษารูปเรขาคณติ สามเหล่ียม ส่เี หล่ียม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม เจ็ดเหล่ียม และ
แปดเหลย่ี ม โดยดูความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งจานวนด้านของรูปเหล่ียมภายในและภายนอกกบั รปู
สามเหลยี่ มทีเ่ กดิ ขึน้ จากการลากเสน้ จากจุดเลือกไปยงั เหลย่ี มภายนอกโดยที่เส้นไมท่ ับกัน ท าให้
ไดว้ ่ารูปเรขาคณิตทีไ่ ม่มีรปู เหล่ยี มภายในจะเกดิ รปู สามเหล่ยี มจานวน p −2 รูป รปู เรขาคณติ ทมี่ ี
รูปเหล่ยี มภายใน 1 รปู จะเกดิ รูปสามเหลีย่ มจานวน p รูป รปู เรขาคณติ ทมี่ รี ปู เหลย่ี มภายใน 2 รูป
จะเกดิ รปู สามเหล่ียมจานวน p +2 รูป และเม่ือเพิม่ จานวนรูปเหล่ียมภายในตง้ั แต่ 3 รูปข้ึนไปจะเกิด
รปู สามเหลี่ยมจานวน p+4,p+6,p+8,…,x รปู และสามารถสรา้ งสตู รในการหารูปสามเหลี่ยมทั้งหมดได้
มีรูปสามเหลี่ยมภายนอก รูปสามเหล่ียมภายใน รปู สามเหล่ียมท่ไี มใ่ ช่ทัง้ ภายนอก/ภายใน

ข้อเสนอแนะ

1. การคานวณหารปู สามเหลยี่ มทม่ี คี วามสัมพันธบ์ างประการกบั รปู หลายเหลี่ยม
สามารถคานวณได้ หลายวธิ ี ซง่ึ วิธีการท่นี าเสนอเปน็ เพยี งวิธหี นงึ่ เท่านนั้ ยัง
สามารถทาได้อีกหลายวธิ ี

2. การคิดคานวณสามารถนาความรู้ เรอื่ ง ความนา่ จะเปน็ มาคดิ คน้ นยิ ามหรอื

ประยกุ ต์ใช้ใน การศึกษาความสมั พนั ธ์ของจานวนรูปเหลี่ยมกับสามเหลยี่ มได้

3. การหารูปสามเหลยี่ มท่มี คี วามสมั พันธ์บางประการกับรปู หลายเหลีย่ มสามารถ
นาไปประยกุ ต์ใช้ใน การหามุมภายในได้งา่ ยขึน้

บรรณานุกรม

ฉัตรเพชร สนัน่ พานชิ ย.์ (มปป). คณติ ศาสตรส์ งู เรขาคณติ วเิ คราะห์. พมิ พค์ รั้งที่
6. กรุงเทพฯ : สานักพมิ พ์อกั ษรวัฒนา.

ประสิทธ์ิ ทองแจม่ . (2526). รากฐานเรขาคณติ . สกลนคร : ภาควิชาคณิตศาสตร์
วทิ ยาลยั ครู สกลนคร.

สริ ิวรรณ ตัง้ จติ วัฒนะกุล. (2534). รากฐานเรขาคณิต.กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์
มหาวทิ ยาลยั รามคาแหง.

สุวฒั นา อุทยั รัตน์. (2545). วิธีและเทคนิคการสอนคณิตศาสตรเ์ พอื่ พัฒนาการคิด.
กรุงเทพฯ : โรง พมิ พแ์ ห่งจฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั .

เสริมศกั ด์ิ วิศาลาภรณ์. (2521). รากฐานของเรขาคณติ . พิมพ์ครัง้ ท่ี 2. พษิ ณุโลก :
แผนกเอกสารและ การพิมพ์ มหาวทิ ยาลยั ศรนี ครินทรวโิ รฒ.

วกิ พิ เี ดีย สารานุกรมเสร.ี [เว็บบลอ็ ก]. รปู หลายเหลีย่ ม. (2560). จาก

https://th.wikipedia.org/wiki/รูปหลายเหลย่ี ม

ภาคผนวก