การแปลงทางเรขาคณิต.

เอกสารประกอบการเรียน
วชิ า คณิตศาสตรส์ รา้ งสรรค์ 2

ชอ่ื -สกลุ …………………………………………………………………………………………………..
เลขท…ี่ ……………..ช้ัน ม.2/………….

โดย
อาจารย์ น้าผึ้ง ชเู ลศิ
โรงเรยี นสาธติ มหาวิทยาลัยราชภฏั สวนสนุ นั ทา (ฝ่ายมธั ยม)

โครงการสอน

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์

ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2562

วชิ า คณติ ศาสตร์สรา้ งสรรค์

สัปดาหท์ ่ี กจิ กรรม

1 แนะนำรำยวชิ ำ ขอ้ ตกลงในกำรเขำ้ ชน้ั เรยี น

2 กำรเลือ่ นขนำน (ควำมหมำย,จดุ ที่สมนัยกัน,ด้ำนท่สี มนยั กัน,กำรบอกทศิ ทำง
และระยะทำงของเวกเตอร์)

3 กำรเลอ่ื นขนำน (หำรูปทีเ่ กดิ จำกกำรเล่ือนขนำน,โจทย์ปัญหำ)

4 กำรสร้ำงผลงำนสรำ้ งสรรค์โดย “กำรเล่อื นขนำน” ในโปรแกรม Geometer’s
sketchpad (ใช้ห้องคอม)

5 สอบเกบ็ คะแนน เร่ือง การเลือ่ นขนาน

6 กำรสะท้อน (ควำมหมำย,เสน้ สะท้อน,รูปท่เี กดิ จำกกำรสะท้อน)

7 กำรสะท้อน (โจทยป์ ัญหำ)

8 กำรสรำ้ งผลงำนสรำ้ งสรรค์โดย “กำรสะท้อน” ในโปรแกรม Geometer’s
sketchpad (ใชห้ ้องคอม)

9 สอบเกบ็ คะแนน เรื่อง “การสะทอ้ น”

10 กำรหมุน (ควำมหมำย,จดุ หมุนทเ่ี ป็นจุดศูนย์กำรของวงกลมเดียวกัน,ภำพที่ได้
จำกกำรหมนุ ฯลฯ)

11 กำรหมุน (โจทยป์ ญั หำ)

12 กำรสรำ้ งผลงำนสรำ้ งสรรคโ์ ดย “กำรหมนุ ” ในโปรแกรม Geometer’s
sketchpad (ใชห้ ้องคอม)

13 สอบเก็บคะแนน เร่ือง “การหมุน”

14 การออกแบบลวดลายศิลปะ โดยใช้ความรูเ้ ก่ยี วกบั เลื่อนขนาน การสะทอ้ น
และการหมุน (ใช้ห้องคอม)

15 ออกแบบโลโก้ พรอ้ มท้งั อธิบายความหมายของโลโกน้ ้นั (ใชห้ ้องคอม)

กำรเล่อื นขนำน 1
ชือ่ -สกลุ เลขที่ ชน้ั 2/

การแปลงทางเรขาคณิต

(Geometric transformation)

ในทำงคณิตศำสตร์มกี ำรกล่ำวถึง ควำมเกีย่ วข้องระหวำ่ งรูปเรขำคณติ ก่อนกำรแปลงและหลังกำรแปลงและรูป
เรขำคณติ หลงั กำรแปลง ซึ่งเรียกวำ่ รปู เรขำคณิตก่อนกำรแปลงว่ำ “รปู ต้นแบบ (pre-image)” และเรยี กรปู เรขำคณิตหลังกำร
แปลงรูปต้นแบบว่ำ ภำพท่ีได้จำกกำรแปลง (image)
กำหนดรปู ก เปน็ รูปตน้ แบบ และ รูป ข เป็นภำพท่ีไดจ้ ำกกำรแปลงรูป ก

BB B' B'

PP P' P'

A รปู ก C C A' A' รปู ข C' C'

A

รูปต้นแบบ (pre-image) ภำพที่ได้จำกกำรแปลง (image)

อาจกลา่ วได้วา่ P และ P’ เปน็ จดุ ทสี่ มนยั กนั

ตวั อย่ำงท่ี 1 ใหน้ ักเรยี นพจิ ำรณำรปู ต่อไปน้ี

กำหนดให้ A'B'C' เปน็ ภำพทไี่ ด้จำกกำรแปลง ABC

A A'
C
C'

โดยมี จุด A และ จุด B B'
โดยมี จดุ B และ จุด
โดยมี จุด C และ จดุ เป็นจดุ ทีส่ มนยั กนั โดยมี ̅A̅̅B̅ กับ ̅A̅′̅B̅̅′
เป็นจุดท่ีสมนัยกัน โดยมี ̅B̅̅C̅ กับ B̅̅′̅C̅̅′
เป็นจดุ ทส่ี มนัยกนั โดยมี ̅C̅̅A̅ กับ ̅C̅′̅A̅̅′

กำรเล่ือนขนำน 2

1. การเล่ือนขนาน

กำรเลื่อนขนำนบนระนำบเป็นกำรแปลงทำงเรขำคณติ ที่มีกำรเลือ่ นจุดทุดจดุ ไปบนระนำบตำมแนวเส้นตรงใน
ทศิ ทำงเดยี วกนั และเปน็ ระยะทำงทเ่ี ท่ำกนั ตำมท่กี ำหนด

A A'

รูป ก D' รปู ข

D B'
B

C C'

MN

MN เปน็ เวกเตอร์ของการเลอ่ื นขนาน
เวกเตอร์ เปน็ ตวั กำหนดในกำรบอกทิศทำงและระยะทำงของกำรเล่ือนขนำน (กำรกำหนดเวกเตอร์ของกำรเลื่อนขนำน
อำจใหจ้ ดเรมิ่ ตน้ อยู่บนแบบหรอื อยู่นอกต้นแบบก็ได้)

ตวั อยำ่ งที่ 2

เมือ่ กำหนด PQR และให้ AB เปน็ เวกเตอร์ของเลอื่ นขนำนจะได้ P'Q'R' เปน็ ภำพท่ีไดจ้ ำกกำรเลอื่ นขนำน PQR ดงั
รูป

P'

Q' R'
P B

QR
A

สมบตั ิของการเลือ่ นขนาน

1. รปู ต้นแบบกับภำพท่ไี ด้จำกกำรเลอ่ื นขนำนสำมำรถทบั กันได้สนทิ โดยไมต่ อ้ งพลิกรปู หรอื กล่ำวว่ำรปู
ต้นแบบและภำพท่ีได้จำกกำรเลื่อนขนำนจะเทำ่ กนั ทกุ ประกำร

2. สว่ นของเสน้ ตรงบนรปู ตน้ แบบและภำพท่ีไดจ้ ำกกำรเล่ือนขนำนของส่วนของเส้นตรงนน้ั จะขนำนกนั

กำรเลอ่ื นขนำน 3
ตวั อย่ำงท่ี 3
จงหำภำพทีไ่ ด้จำกกำรเลื่อนขนำน ABCD ด้วย BB'

D

A C
B
B'

การเลื่อนขนานของระบบพกิ ัดฉากขนาน

กำรเลอื่ นขนำนของระบบพิกัดฉำก จุดต่ำง ๆ สำมำรถเขียนได้ (x,y) โดย xคือ ระยะหำ่ งจำกแกน Y และ y คอื
ระยะห่ำงจำกแกน X ทำใหก้ ำรเลื่อนขนำนบนระนำบพิกดั ฉำก แบง่ ออกเปน็ กำรเคลื่อนท่ีสองสว่ น คือ กำรเคลอ่ื นท่ีในแนวนอน
(แกน X) และกำรเคล่ือนทใี่ นแนวตงั้ (แกน Y)

ควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งพิกัดของจุดบนรูต้นแบบ พิกดั ของจดุ บนภำพทเี่ กิดจำกกำรเลอื่ นขนำน และเวกเตอรข์ องกำรเลื่อนขนำน
เป็นดงั นี้

- พกิ ัด x ของจุดบนภาพทเ่ี กดิ จากการเลอื่ นขนาน
พกิ ัด x ของจดุ บนรปู ตน้ แบบ + ควำมยำวของเวกเตอร์ตำมแนวแกน X (โดยคิดทศิ ทำง)

- พิกัด y ของจุดบนภาพทเ่ี กดิ จากการเลือ่ นขนาน
พิกัด y ของจดุ บนรปู ต้นแบบ + ควำมยำวของเวกเตอร์ตำมแนวแกน Y (โดยคิดทิศทำง)

กำรเล่อื นขนำน 4
ตวั อยำ่ งที่ 4
ใหน้ ักเรยี นเลือ่ นขนำนจุด P ดว้ ย MN

ให้จุด A(3,2) และจุด B(1,3) เปน็ จดุ ปลำยของ AB และ ST เป็นเวกเตอร์ของกำรเล่ือนขนำน

1. จงหำภำพท่ไี ดจ้ ำกกำรเลอื่ นขนำน AB ดว้ ย ST

2. พิกัดของจุด A ' และจุด B' ซึ่งเปน็ ภำพท่ีไดจ้ ำกกำรเลื่อนขนำนจุด A และ B ด้วย ST

ตวั อยำ่ งท่ี 5
กำหนด  ABC ให้หำจุด A(2,1), จดุ B(0,3) และ C(3,1) เป็นจดุ ยอดมุม จงเล่ือน  ABC ดว้ ย ST ท่ีกำหนดให้

และหำพิกดั ของจดุ ยอดมุมของ  A'B'C' ซ่งึ เป็นภำพท่ีไดจ้ ำกกำรเล่ือนขนำน  ABC

กำรเลือ่ นขนำน กำหนด  A'B'C' เปน็ ภำพท่ีไดจ้ ำกกำรเล่อื นขนำน  ABC 5
ตัวอย่ำงที่ 6
8 10
C' 4
A'
3
10 8 6 4 2
2
1. จงหำพกิ ัดของจดุ ยอดมมุ ของ  A'B'C'
B'

1

1 2 46

C A B

2
3
4
5

2. จงหำเวกเตอร์ของกำรเลอื่ นขนำน  ABC

เรำอำจนำควำมรู้เกีย่ วกับกำรเลอื่ นขนำนมำชว่ ยในกำรคดิ คำนวณทำงคณิตศำสตร์ เช่น กำรหำพืน้ ที่โดยประมำณของรปู ต่ำง ๆ

กำรเลื่อนขนำน 6
ตวั อยำ่ งท่ี 7
จงหำพ้นื ที่โดยประมำณของรูปท่ีกำหนดใหเ้ ม่ือ BC ขนำนกบั FE และยำวเท่ำกัน

4 ซม. C

B

A D 2 ซม.

F 2 ซม. E

2 ซม.

กำรเลอื่ นขนำน 7

การเลอื่ นขนานในระบบพกิ ัดฉาก

กำรเลือ่ นขนำนระบบพิกดั ฉำก สำมำรถเขยี นลำดบั กำรเล่ือนไดเ้ ปน็ (a,b) หรอื a
b

โดย a หมำยถงึ กำรเลื่อนขนำนในแนวนอน (ตำมแกน X)

b หมำยถงึ กำรเลอ่ื นขนำนในแนวต้งั (ตำมแกน Y)

กำหนดให้

จุด A คอื จุดบนรูปตน้ แบบมีพิกดั (x,y)

จดุ A' คอื ภำพทไ่ี ด้จำกกำรเลื่อนขนำนจุด A บนระบบพกิ ดั ฉำก มีพกิ ัดเปน็ (x',y')

(x',y')  (x,y)  (a,b)  (x a,y b)

ทศิ ทาง เคร่อื งหมาย

 +


 -


เช่น

2 หมำยถงึ เคลื่อนที่ไปทำงขวำ 2 หน่วย และ ขนึ้ บน 4 หนว่ ย
4 เคล่อื นท่ีไปทำงซำ้ ย 2 หนว่ ย และ ขึน้ บน 4 หนว่ ย
เคลอ่ื นที่ไปทำงขวำ 2 หนว่ ย และ ลงล่ำง 4 หนว่ ย
2 หมำยถึง เคลื่อนที่ไปทำงซำ้ ย 2 หนว่ ย และ ขึ้นบน 4 หน่วย
 4 

2 หมำยถึง
4

2 หมำยถงึ
4

กำรเลือ่ นขนำน 8

แบบฝกึ หดั ที่ 1

1. จงเขยี นภำพของจุดท่ีกำหนดใหเ้ กดิ กำรเล่ือนขนำนไปในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

1) A(0,0) เลื่อนขนำนไปตำมแกน X 3 หน่วย A' มีพิกดั เปน็

2) B(0,5) เล่อื นขนำนไปตำมแกน Y -2 หน่วย B' มีพกิ ัดเป็น

3) C(5,2) เล่อื นขนำนไปทำงขวำ 4 หน่วย C' มพี ิกัดเปน็

4) D(1,3) เลื่อนขนำนไปทำงซำ้ ย 2 หน่วย D' มีพิกดั เปน็

5) E(9, 0) เลอ่ื นขนำนไป 2 E' มพี ิกดั เปน็
1

6) F(7, 2) เลือ่ นขนำนไป 2 F' มีพกิ ัดเป็น
 3 

7) G(4, 2) เลือ่ นขนำนไป 1 G' มีพิกัดเป็น
3

8) H(4, 5) เล่ือนขนำนไป 0 H' มีพกิ ดั เปน็
1

9) I( 6, 0) เล่อื นขนำนไป 8 I' มีพิกดั เปน็
2

10) J( 3, 2) เล่อื นขนำนไป 2 J' มพี ิกดั เปน็
3

2. ถ้ำภำยใตก้ ำรเลื่อนขนำน T ทำให้จดุ (3,1) ไปปรำกฏอยู่ท่ี (5,4) จงหำว่ำภำยใตก้ ำรเล่ือนขนำนเดยี วกัน จุดท่ีกำหนดให้

ต่อไปนี้ไปปรำกฏเป็นภำพท่ีตำแหนง่ ใด

1) จุด (2,5)  2) จุด (0,1) 

3) จุด (2,3)  4) จุด (5,0) 

5) จดุ (2,0)  6) จดุ (0,3) 

7) จดุ (5,1)  8) จุด (4,2) 

9) จุด (3,3)  10) จดุ (2,2) 

กำรเล่อื นขนำน 9

3. จงเลื่อนขนำนรูป ดำ้ นขนำน ABCD ทมี่ จี ดุ A(2,1), B(6,1), C(7,4), และ D(3,4) ภำยใตก้ ำรเลอ่ื น 6
3

Y

7 2345 6 7 8 9 10 11 12 13 X
6
5
4
3
2
1

01

4. กำรเลอื่ นขนำนของจุด (3,7) ได้ภำพของกำรเลือ่ นขนำนทจ่ี ุด (1,3) จงหำพกิ ดั จดุ (5,-1) ภำยใต้กำรเล่อื นขนำนแบบ
เดยี วกัน

กำรเลอ่ื นขนำน 10

5. รูปสีเ่ หล่ยี ม ABCD ท่ี A(-2,-1), B(1,1), C(-2,3) และ D(-3,1) ภำยใต้กำรเลื่อน 5 และถำ้ ให้เล่อื นไปอกี ดว้ ยภำยใต้
2

กำรเลอ่ื น 4 รปู กำรเลื่อนขนำนสดุ ท้ำยอยู่ท่ีพิกัดเทำ่ ไร
1

กำรเลอ่ื นขนำน 11

การสารวจสมบัตกิ ารเล่อื นขนานโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

1. สร้ำงรปู เรขำคณิตทตี่ ้องกำรเลือ่ นขนำน

Q

PR

2. เลือกจดุ A เขำ้ เมนู “กำรแปลง”  เลอ่ื นขนำน ให้ระยะทำงเปน็ 5 เซนติเมตร ด้วยมุม 0 องศำ จะได้จุด A '

A A A'

3. เลือกจดุ A และ จดุ A ' เข้ำเมนู “สรำ้ ง”  สว่ นของเส้นตรง

4. ดบั เบ้ิลคลิกจุด A ' เปลี่ยนช่ือเป็นจุด B A A'
A B

5. เลอื กสว่ นของเส้นตรง AB เขำ้ เมนู “สรำ้ ง”  จุดบน ส่วนของเส้นตรง ไดจ้ ดุ C

AC B

6. เลอื กจดุ A และ จุด C ตำมลำดบั เขำ้ เมนู “วดั ”  ระยะทำง

AC B

AC = 1.77ซม.

7. เลือกจดุ A และ จดุ C ตำมลำดับ เขำ้ เมนู “กำรแปลง”  ระบุเวกเตอร์
8. เลือกรูปเรขำคณติ ทสี่ รำ้ งไว้ เขำ้ เมนู “กำรแปลง”  เลือ่ นขนำน กด เล่ือนขนำน

Q

PR

AC B

AC = 3.15ซม.

9. คลิกลำกจุด C แลว้ สำรวจกำรเคลอ่ื นไหวของรปู เรขำคณิตทส่ี ร้ำงไว้

กำรเลื่อนขนำน 12

แบบฝึกหัดที่ 2

โจทย์ จงสรำ้ งรูปสำมเหล่ยี ม DEF และเวกเตอร์ MN ตำมรปู ที่กำหนดให้ และจงเล่ือนขนำนรูปสำมเหลี่ยม DEF

และเวกเตอร์ MN
1. หำทศิ ทำงของกำรเลื่อนขนำน โดยเลอื กจดุ M ตำมด้วยจุด N เขำ้ เมนู “กำรแปลง”  ระบุเวกเตอร์
2. เลอื กรูปสำมเหลย่ี ม DEF เขำ้ เมนู “กำรแปลง”  เลอื่ นขนำน จะได้รปู สำมเหลี่ยม D'E'F'

แล้วตอบคำถำมต่อไปนี้

1. สรำ้ งพื้นทข่ี องรปู สำมเหลยี่ มท้งั สองแลว้ คลิกทบ่ี ริเวณสีของรูปสำมเหล่ียมท้งั สองรปู เขำ้ เมนู “วดั ”  พื้นที่
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. วดั มุมท่ีสมนยั กัน และวัดด้ำนคทู่ ่ีสมนยั กนั ว่ำเท่ำกันหรือไม่

EDF ………………………………….. DFE …………………………………. FED ………………………………….

ED ……………………… DF …………………………… EF ……………………………..

3. สรุปสมบตั ิทีไ่ ด้จำกกำรเล่ือนขนำน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

กำรสะท้อน 13

2. การสะท้อน

การสะท้อน หมำยถึง กำรส่งจุดใด ๆ บนรู้ต้นแบบไปยังจุดบนรูปที่เกิดจำกกำรสะท้อนผ่ำนเส้น
สะท้อน (refection line หรือ mirror line) โดยระยะห่ำงจำกจุดใด ๆ บนรูปต้นแบบไปยังเส้นสะท้อนจะ
เทำ่ กบั ระยะหำ่ งจำกจดุ น้นั ๆ บนภำพที่เกดิ จำกกำรสะทอ้ นไปยังเส้นสะท้อน

ตัวอยำ่ งท่ี 8
กำหนด ABC เปน็ รปู ต้นแบบและ XY เป็นเสน้ สะท้อน จงหำภำพที่ไดจ้ ำกกำรสะท้อน ABC

X
C

B

A
Y

สมบตั ิของการสะท้อน

1. สำมำรถเล่อื นรปู ตน้ แบบทับภำพทไี่ ด้จำกกำรสะท้อนได้สนิทโดยต้องพลิกรปู

2. ส่วนของเส้นตรงบนรปู ตน้ แบบและภำพทไ่ี ด้จำกกำรสะท้อนของสว่ นของเส้นตรงนนั้ ไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งขนำน
กนั ทกุ คู่

3. สว่ นของเสน้ ตรงทเี่ ชื่อมจุดแต่ละจดุ บนรูปตน้ แบบกบั จุดทีส่ มนยั กันบนภำพที่ไดจ้ ำกกำรสะท้อนจะขนำน
กนั และไมจ่ ำเป็นต้องยำวเท่ำกัน

กำรสะท้อน 14

การสะท้อนในระบบพิกดั ฉาก

กำรสะท้อนในระบบพิกัดฉำกกลำ่ วถงึ เฉพำะเสน้ สะท้อนทีเ่ ปน็ แกน X และแกน
กำรสะท้อนขำ้ มแกน X

ใหจ้ ดุ A มีพิกดั (x,y) จะได้วำ่ พิกดั A' ท่เี กิดจำกกำรสะท้อนจุดดว้ ยแกน X จะมีพิกัด (x, y)
กำรสะท้อนขำ้ มแกน Y

ให้จุด B มพี ิกัด (x,y) จะไดว้ ่ำพิกดั B' ท่ีเกดิ จำกกำรสะทอ้ นจดุ ด้วยแกน X จะมีพิกัด (x,y)

ตวั อย่ำงที่ 9

กำหนดส่เี หล่ยี ม ABCD จงเขยี นภำพสะท้อนขำ้ มแกน X และ แกน Y

Y

6

5

4

3

2

1

-7 -6 -5 B-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X
-1
A 7
C
-2

-3

-4

-5

-6

จำกรูปใหน้ กั เรียนเติมคู่อนั ดับลงในช่องวำ่ ง

พกิ ดั บนรปู ต้นแบบ สะท้อนขา้ มแกน X สะทอ้ นขา้ มแกน Y
A (8, 2)
B(4, 1)
C(2, 3)

กำรสะท้อน 15

ตัวอย่ำงที่ 10

กำหนด PQRS และให้แกน Y เป็นเสน้ สะท้อน จงหำ

1. จงหำ P'Q'R'S'ซง่ึ เปน็ ภำพที่ไดจ้ ำกกำรสะท้อน PQRS

Y X

Q
4
3

P R2
1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1

S -2

2. พิกดั ของจดุ P',Q',R' และ S' ซง่ึ เปน็ ภำพที่ได้จำกกำรสะท้อนจดุ P,Q,R และ S

ตวั อยำ่ งท่ี 11

กำหนด ABC และให้แกน X เปน็ เส้นสะท้อน จงหำ

1. A'B'C'ซ่ึงเป็นภำพท่ีได้จำกกำรสะทอ้ น ABC

Y

5
4
A3
2
1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 X
C -1

-2

-3 B
-4

-5

2. พิกดั ของจุด A',B' และ C' ซ่ึงเปน็ ภำพทีไ่ ดจ้ ำกกำรสะท้อนจดุ A,B และ C

กำรสะท้อน 16

ตัวอย่ำงที่ 12

กำหนดจุด A(1,3) และ จุดB(6,3) มีเสน้ ตรง C เป็นเส้นสะท้อนที่ขนำนกับแกน Y และอยู่ห่ำง
จำกแกน Y ไปทำงขวำ 2 หน่วย จงหำพิกดั A'และB' ทีไ่ ดจ้ ำกกำรสะท้อน

Y

-5 -4 -3 -2 -1 4 X
A (1,3)

3
2
1

01 2 3 4 5
-1
-2 B (4,-2)

ตวั อยำ่ งท่ี 13

กำหนดจุด P(-3,3),Q(4,0) และ R(-3,-4) สะทอ้ นขำ้ มเส้นตรง l1 ผำ่ นจุด (-4,-2) และ (1,3) ดงั รูป จง
หำพกิ ัดจดุ P',Q'และR'

Y

P (-3,3) 4 X
-5 -4 -3 -2 -1 3
2
R (-3,-4)
1 Q (4,1)
01 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4

กำรสะท้อน 17

ตวั อย่ำงท่ี 14

กำหนด ABC และให้ MN เป็นเสน้ สะทอ้ น จงหำ
1. A'B'C' ซึ่งเปน็ ภำพที่ได้จำกกำรสะท้อน ABC

YN

5

4

3
2A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 X
B
M
01 2 3 4 5 6 7
-1

-2

-3 C
-4

-5

2. พกิ ัดของจดุ A',B'และC' ซ่ึงเปน็ ภำพท่ีได้จำกกำรสะทอ้ นจุด A,B และ C

ตัวอย่ำงที่ 15

กำหนด ABCDEF ท่ี BC ขนำนกับ FE AD  7.5 เซนติเมตร BF  CE  4 เซนติเมตร และ
BC  2.3 เซนติเมตร จงหำพ้ืนทโี่ ดยประมำณของรูปท่ีกำหนดให้

BC

AD
FE

กำรสะท้อน 18

แบบฝึกหัดท่ี 3

1. จงเขยี นภำพของจดุ ที่กำหนดให้ ทีเ่ กดิ กำรสะท้อนไปในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

1) A(0,0) สะทอ้ นที่แกน X เกิดภำพ A' มีพกิ ดั เป็น

2) B(0,3) สะท้อนท่ีแกน X เกิดภำพ B' มพี ิกดั เป็น

3) C(7,3) สะท้อนท่ีแกน X เกดิ ภำพ C' มพี กิ ัดเป็น

4) D(5,0) สะทอ้ นท่ีแกน Y เกดิ ภำพ D' มพี กิ ดั เปน็

5) E(2,4) สะทอ้ นท่ีแกน Y เกดิ ภำพ E' มีพิกัดเป็น

6) F(2,2) สะทอ้ นท่ีแกน Y เกิดภำพ F' มพี ิกดั เป็น

7) G(5,8) สะท้อนท่ีเสน้ ตรง x  3 เกดิ ภำพ G' มพี กิ ดั เป็น

8) H(3,2) สะทอ้ นที่เส้นตรง x  1 เกิดภำพ H' มีพกิ ดั เป็น

9) I(4,1) สะทอ้ นท่ีเสน้ ตรง y  3 เกดิ ภำพ I' มพี กิ ดั เปน็

10) J(8,0) สะทอ้ นท่ีเส้นตรง y  2 เกดิ ภำพ J' มีพิกัดเปน็

กำรสะท้อน 19

การสารวจสมบตั กิ ารสะท้อนโดยใชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

โจทย์ จงสรำ้ งรูปสำมเหล่ียม PQR ซึง่ เป็นภำพสะท้อนของรปู สำมเหลย่ี ม DEF
1. เข้ำเมนู “กรำฟ” แสดงกรดิ

2. เขำ้ เมนู “กรำฟ” สแนพจุด 8
3. ลงจุดบนระบบพิกดั ฉำก
C6

4

2 B

A

-15 -10 -5 5 10 15

-2

-4

4. เลือกใชแ้ กน X เป็นเสน้ สะทอ้ น ใหห้ ำรปู สำมเหลย่ี ม A'B'C' ซง่ึ เป็นภำพสะท้อนจำกรูปสำมเหลย่ี ม
ABC -6

5. เมือ่ (x', y') เป็นพิกัดของจุดทเี่ กดิ จำกกำรสะ-8ทอ้ นจุด (x, y)

แบบฝกึ หดั ที่ 4

รูปที่ พิกดั ของรปู ตน้ แบบ พิกัดของภาพท่ีเกิดจากการสะท้อนด้วย

แกน X

จุด x y จดุ x' y'
1A
A'
B B'
C C'
1. ถำ้ ลำกส่วนของเส้นตรงเช่ือมตอ่ จุดทีส่ มนัยกนั ส่วนของเส้นตรงดงั กลำ่ วสมั พันธ์กับเสน้ สะท้อนอย่ำงไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กำรหมนุ 20

3. การหมุน

กำรหมุน หมำยถึง กำรแปลงท่เี กดิ จำกกำรจบั คู่แตล่ ะคู่ระหว่ำงรปู ต้นแบบกับรปู ที่ได้จำกกำรหมุน
โดยกำรหมุน โดยกำรหมนุ รอบจุดคงทจี่ ดุ หนงึ่ เรียกว่ำ จดุ หมนุ และหมนุ ไปในทิศทำงและขนำดของมมุ ท่ี
ตอ้ งกำร

ตัวอย่าง กำรหมุนรปู โดยทีจ่ ุด O เป็นจุดหมนุ กรณที ่ี 2 จุดหมุน O ไมอ่ ยบู่ นรปู ตน้ แบบ
กรณีท่ี 1 จดุ หมุน O อย่บู นรปู ต้นแบบ

D A'

D' E' A

E B' C'
B

60 C

O

การกาหนดทศิ ทางของการหมนุ มี 2 ทศิ ทำง คือ 6 O
5 A (2,3)
1. หมนุ ทวนเข็มนำฬกิ ำ
2. หมนุ ตำมเข็มนำฬิกำ 4
3
90 ทวนเข็มนาฬกิ า 2
1
A' (-3,2)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7
-1
A' (-2,-3)
-2 A' (3,-2)
180 ทวนเขม็ นาฬิกา -3

-4 90 ตามเข็มนาฬกิ า

-5

-6

-7

สำหรับกำรหมนุ โดยทัว่ ไปถ้ำไมบ่ อกทิศทำงของกำรหมนุ ถือวำ่ เป็น “กำรหมุนทวนเข็มนำฬกิ ำ”

กำรหมนุ 21
การหมุนในระนาบ

ตวั อย่ำงที่ 16

จงหำภำพที่ไดจ้ ำกกำรหมนุ รูปตอ่ ไปน้ีรอบจุด P ตำมทิศทำงและขนำนของมมุ จำมท่ีกำหนด

1) ทวนเขม็ นำฬิกำ 45 องศำ 2) ตำมเข็มนำฬิกำ 90 องศำ

A B C
B
PC A
D

P

3) ตำมเข็มนำฬิกำ 180 องศำ 4) ทวนเข็มนำฬกิ ำ 60 องศำ

A C
P AP

BC B

กำรหมนุ 22

การหาจุดหมนุ และขนาดของมุมในการหมนุ ฉาก

เมื่อเสน้ ตรงท่ีแบ่งคร่ึงและตั้งฉำกกบั สว่ นของเส้นตรงท่ีเช่อื มระหวำ่ งจดุ บนรูปตน้ แบบกับรูปที่
เกดิ จำกกำรหมนุ ที่สมนยั กันจะผ่ำนจุดหมนุ เสมอ

ขั้นตอนในกำรหำจดุ หมุนและขนำดของมุมในกำรหมนุ

1. ลำกเสน้ เชอ่ื มจดุ 2 จุด ทส่ี มนยั กันแลว้ แบง่ ครง่ึ เสน้ ทีไ่ ดจ้ ำกกำรเช่อื มจุด 2 จดุ
2. ลำกเสน้ ตงั้ ฉำกจำกจดุ แบ่งออก
3. ดำเนนิ กำรลำกเส้น เชื่อมจุดท่ีสมนัยกบั จุดอนื่ แลว้ ลำกเส้นต้งั ฉำกอีก 1 เส้น ซง่ึ จะไปตดั กันท่ีจุด

ซึ่งเปน็ จดุ หมนุ
4. วดั มมุ ที่เกิดจำกจดุ หมุนไปยงั จดุ ทสี่ มนัยกันอกี 2 จดุ

ตัวอย่ำงที่ 17

จงหำจุดหมนุ

C

B

A
D

B'
A'

D' C'

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กำรหมนุ 23
จงหำจุดหมุนและขนำดของมุม
แบบฝกึ หัดที่ 5

C
B

DA

B'
C' A'

D'

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กำรหมนุ 24

การหมนุ ในระบบพิกดั ฉาก

กำรหมนุ ในระบบพิกัดฉำกจะกลำ่ วถงึ เฉพำะ กำรหมุนท่ีมจี ุดหมุนทจ่ี ดุ (0,0) ซึง่ เรยี กวำ่ จุดกำเนิด
โดยขนำดของมมุ ของกำรหมุนทีส่ ำคัญ คือ 90 และ 180

การหมนุ รอบจดุ กาหนดดว้ ยมมุ 90

ถ้ำจุด A มพี ิกดั (x,y) จะได้พกิ ัดของจดุ A' ท่เี กดิ จำกกำรหมุนจุด A รอบจุดกำเนิดด้วยมุม
90 จะมพี ิกดั เปน็ (x,y)

การหมนุ รอบจุดกาหนดดว้ ยมมุ 180

ถำ้ จุด A' มีพิกดั (x,y) จะได้พิกดั ของจุด A' ทเี่ กิดจำกกำรหมุนจดุ A' รอบจดุ กำเนิดดว้ ย
มมุ 180 จะมีพกิ ดั เป็น (x,y)

สมบตั ขิ องการหมุน

1. สำมำรถเลือ่ นรปู ตน้ แบบทับภำพที่ได้จำกกำรหมนุ ได้สนิทโดยไม่ต้องพลิกรปู หรอื กลำ่ ววำ่ รปู ต้นแบบกับ
ภำพทีไ่ ดจ้ ำกกำรหมุนเทำ่ กันทุกประกำร

2. สว่ นของเสน้ ตรงบนรูปตน้ แบบและภำพทไ่ี ด้จำกกำรหมุนส่วนของเส้นตรงนนั้ ไมจ่ ำเป็นต้องขนำนกนั ทุกคู่

กำรหมนุ 25

ตวั อยำ่ งท่ี 18
จงหมุนรปู สำมเหลีย่ ม ABC ที่กำหนดให้รอบจุดกำเนิดดงั น้ี

ก. ตำมเขม็ นำฬิกำ 90 ข. ตำมเข็มนำฬกิ ำ 90

รูปต้นแบบ ก. ตามเข็มนาฬกิ า 90 ข.ทวนเข็มนาฬกิ า 90
จุด A(3,3)
จดุ B(5,3)
จดุ C(5,6)

Y

7
6
5
4
3
2
1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X
-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

แบบฝกึ หัดท่ี 6

2. จงเขยี นภำพของจดุ ทก่ี ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี ท่เี กิดกำรหมุนตำมข้อกำหนดในแตล่ ะข้อ
1) A(0,1) หมนุ ไป 90 รอบจุด O ทศิ ทวนเขม็ นำฬิกำ A' มีพิกดั เปน็
2) B(1,3) หมุนไป 90 รอบจุด O ทศิ ทวนเขม็ นำฬิกำB' มีพกิ ัดเปน็
3) C(2,7) หมนุ ไป 180 รอบจุด (1,1) ทศิ ทวนเข็มนำฬิกำ C' มีพกิ ัดเป็น
4) D(2,3) หมนุ ไป 180 รอบจุด (1,3) ทิศตำมเข็มนำฬิกำ C' มีพกิ ัดเป็น
5) E(5,0) หมุนไป 90 รอบจุด (1,1) ทศิ ทวนเข็มนำฬิกำมี พิกัดของ E' คอื
6) F(4,2) หมุนรอบจดุ (3,5) ไป 90 ทศิ ตำมเขม็ นำฬิกำ พิกดั ของ F' คือ
7) G(4,1) หมุนรอบจุด (1,3) ไป 90 ทศิ ทวนเขม็ นำฬกิ ำ พกิ ดั ของ G' คอื
8) H(0,2) หมุนรอบจุด (1,2) ไป 270 ทศิ ตำมเข็มนำฬิกำ พิกดั ของ H' คอื
9) I(3,0) หมนุ รอบจุด (0,3) ไป 270 ทิศทวนเข็มนำฬกิ ำ พิกัดของ I' คอื
10) J(4,2) หมุนรอบจุด (1,1) ไป 180 ทิศตำมเข็มนำฬกิ ำ พิกัดของ J' คอื

กำรหมนุ 26

การสารวจสมบตั กิ ารหมุนโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

โจทย์ จงสร้ำงรปู สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ABC โดยใช้กำรแปลงทำงเรขำคณติ แบบกำรหมุน
1. ลำกส่วนของเส้นตรง AB ยำวพอสมควร

AB

2. ดบั เบลิ คลิกจุด A เลือกสว่ นของเส้นตรง AB เข้ำเมนู “กำรแปลง”  หมุน ด้วยมุม 60 องศำ

3. จะไดส้ ่วนของเส้นตรง AC

C

AB

4. สรำ้ งส่วนของเส้นตรง BC โดยเลือกจุด B และจดุ C เข้ำเมนู “สรำ้ ง”  สว่ นของเสน้ ตรง
5. จะไดร้ ปู สำมเหลย่ี ม ABC เปน็ รูปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ

C

AB

กำรหมุน 27

แบบฝึกหดั ที่ 7

จงตรวจสอบวำ่ รปู สำมเหล่ียม ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยมดำ้ นเท่ำจริงหรอื ไม่

1. วดั ควำมยำวของด้ำนทกุ ด้ำน โดยเลอื กดำ้ นท้ังสำม เข้ำเมนู “วัด”  ควำมยำว
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. วัดขนำดของมมุ ทุกมมุ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. สรปุ สมบตั ิของกำรหมนุ ท่ีได้จำกกำรสำรวจรปู สำมเหลย่ี ม ABC ดว้ ยโปรแกรม Geometer’s
Sketchpad
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กำรหมุน 28

หลักการสรา้ งรูปหลายเหลยี่ มดา้ นเทา่ มมุ เทา่

จะตอ้ งหำขนำดของมมุ ภำยในแต่ละมมุ ของรูปหลำยเหล่ียมดำ้ นเทำ่ มุมเทำ่ ดังน้ี

รปู สำมเหล่ียมด้ำนเทำ่ มุมเท่ำ มีขนำดของมุมภำยในกำงมมุ ละ (3  2)  180  60 องศำ
รูปส่เี หลีย่ มดำ้ นเท่ำมมุ เท่ำ มขี นำดของมมุ ภำยในกำงมุมละ 3

(4  2)  180  90 องศำ
4

รปู ห้ำเหลี่ยมดำ้ นเทำ่ มุมเท่ำ มีขนำดของมุมภำยในกำงมุมละ (5  2) 180  108 องศำ
5

รปู หกเหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมเท่ำ มขี นำดของมุมภำยในกำงมมุ ละ (6  2) 180  120องศำ
6

รูปแปดเหล่ยี มด้ำนเท่ำมมุ เทำ่ มีขนำดของมมุ ภำยในกำงมุมละ (8  2)  180  135 องศำ
8

รูป n เหล่ียมด้ำนเท่ำมมุ เทำ่ มีขนำดของมมุ ภำยในกำงมมุ ละ (n 2)  180  ... องศำ
n
การสร้างเครือ่ งมอื กาหนดเอง

1. สรำ้ งรปู สำมเหลยี่ มดำ้ นเท่ำมุมเทำ่ โดยกำรหมุน โดยให้มีด้ำนยำวพอสมควรดงั รปู

2. เลอื กรปู สำมเหลยี่ มทง้ั รปู คลิกเครอ่ื งมือกำหนดเองค้ำงไว้ เลอื กสร้ำงเคร่ืองมือใหม่ ตั้งช่ือ เคร่อื งมือ
ใหมว่ ่ำ “สำมเหลี่ยม”

3. สร้ำงรูปหกเหลยี่ มดำ้ นเทำ่ มุมเท่ำ ให้มีดำ้ นยำวพอสมควร ดังรูป

4. เลอื กรูปหกเหลีย่ มทงั้ รปู คลิกเคร่อื งมอื กำหนดเองคำ้ งไว้ เลือกสรำ้ งเครอ่ื งมือใหม่ ตง้ั ช่ือเคร่อื งมือใหม่
ว่ำ “หกเหลยี่ ม”

กำรแปลงแบบผสม 27

4. การแปลงแบบผสม

ตัวอย่ำงที่ 19

1. กำหนดสำมเหลี่ยม A มีจดุ ยอด (1,4),(2,2) และ (3,3) ใหป้ ฏิบัติตำมข้อต่อไปนี้

1) เขยี นระนำบจำนวนท่ีมแี กน X อยใู่ นชว่ ง 3  x  5 และ y อย่ใู นช่วง 3  y  6

2) เขยี นภำพของสำมเหล่ียม A ที่เกิดจำกกำรแปลงเลือ่ นดงั น้ี

1) สำมเหลีย่ ม A หมนุ ไปตำมเข็มนำฬกิ ำ 90 รอบจุด (2,3) เป็นสำมเหลยี่ ม B

2) สำมเหลย่ี ม A หมนุ ไป 180 รอบจุด (3,3) เป็นสำมเหลี่ยม C

3) สำมเหล่ียม A หมุนไปตำมเข็มนำฬกิ ำ 90 รอบจดุ (3,1) เป็นสำมเหล่ยี ม D

4) สำมเหลี่ยม A เล่อื นขนำนไปตำมแกน Y เท่ำกบั -5 หนว่ ย เป็นสำมเหล่ียม E

5) สำมเหลย่ี ม A สะท้อนท่ีแกน Y กลำยเปน็ สำมเหลย่ี ม F

6) สำมเหล่ยี ม A เลือ่ นขนำนไป 4 เป็นสำมเหล่ยี ม G
 2 

กำรแปลงแบบผสม 28

แบบฝกึ หดั ที่ 8

1. จำกรูปใหอ้ ธบิ ำยกำรแปลงเลื่อน 1 ครั้งของYข้อกำหนดต่อไปน้โี ดยละเอยี ด

7

6

5

4

B 3 A
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
E
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X
-1

-2 C D
-3

-4

-5

-6

-7

1) รปู A กลำยเป็น B

………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) รปู A กลำยเปน็ C

………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) รูป C กลำยเปน็ D

………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) รปู E กลำยเป็น B

………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ให้เติมพิกดั ของภำพทเ่ี กิดจำกกำรแปลงเลอื่ นของจุดตอ่ ไปนี้ ตำมข้อกำหนดในแต่ละข้อ

(2, 3), (0, 6), ( 5, 0)

1) สะทอ้ นทีแ่ กน X

………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) สะทอ้ นที่แกน Y

………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) เลอ่ื นขนำนไปตำมแกน X 2

………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) เลอื่ นขนำนไป 3 หนว่ ย ตำมแกน Y

………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) เลอ่ื นขนำนไป 1 หน่วย
4

………………………………………………………………………………………………………………………………….

กำรแปลงแบบผสม 29

3. สำมเหลีย่ ม PQR มีจุดยอดท่ี P(2,1),Q(4,1) และ R(2,4) ถูกแปลงเล่ือนไปเปน็ XYZ โดยกำร
หมุนไป 180 รอบจุดกำเนิด แล้วแปลงเปน็ ABCโดยกำรสะท้อนที่แกน Y
1) ใหเ้ ขยี นภำพของ XYZ และ ABC พรอ้ มทั้งเขียนพิกัดของจดุ ยอด
…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) ถำ้ สำมเหลย่ี ม PQR เกิดกำรแปลงเลื่อนเพยี ง 1 ครง้ั ไปเป็น ABC แสดงว่ำ
เปน็ กำรแปลงเลื่อน
โดย……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………