สรุปสูตร

เรขาคณติ วเิ คราะห์

คานา

หนงั สอื เลม่ นจี้ ดั ทาข้ึนเพอื่ เป็นสว่ นหนง่ึ ของวชิ าคณิ
ศาสตรเ์ พอื่ ให้ไดศ้ กึ ษาหาความรใู้ นเรอ่ื งเรขาคณติ
วเิ คราะหแ์ ละไดศ้ กึ ษาอยา่ งเข้าใจเพอื่ เป็นประโยชนก์ ับ
การเรยี น

ผจู้ ัดทาหวงั วา่ หนงั สอื นจ้ี ะเป็นประโยชนก์ ับผ้อู า่ น หรอื
นกั เรยี น นกั ศกึ ษา ทก่ี าลงั หาขอ้ มลู เรอื่ งนอี้ ยู่ หากมี
ขอ้ แนะนาหรอื ขอ้ ผดิ พลาดประการใด ผจู้ ดั ทาขอนอ้ ม
รบั ไวแ้ ละขออภยั มา ณ ทนี่ ด้ี ว้ ย

ผจู้ ัดทา พรรณพลิ าศ

สารบญั หนา้
1
เรอ่ื ง
เรขาคณติ วเิ คราะห์ 11

จุดและเสน้ ตรง
ความสมั พนั ธเ์ สน้ ตรง

การหาระยะตา่ งๆ

เสน้ ขนาน
สมการเสน้ ตรง

ภาคตดั กรวย

วงกลม
วงรี
พาราโบลา
ไฮเพอรโ์ บลา

เรขาคณติ วิเคราะห์

เรขาคณิตวเิ คราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์
แขนงหนง่ึ ที่กลา่ วถงึ จดุ บนระนาบ (point and plane)
เรขาคณิตวเิ คราะห์จงึ แบง่ ได้ดงั นี ้

1. ระบบพกิ ดั ฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนงึ่ อย่ใู น
แนวนอน เรียกวา่ แกน x อกี เส้นหนงึ่ อย่ใู นแนวตงั้ เรียกวา่ แกน
y ทงั้ สองเส้นนีต้ ดั กนั เป็นมมุ ฉาก และเรียกจดุ ตดั วา่ จดุ กาเนิด
y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่
III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-)

2. การหาระยะทางระหวา่ งจดุ 2 จดุ ถ้า P(x1,y1) และ
P(x2,y2) เป็นจดุ 2 จดุ ในระนาบ ระยะทางระหว่างจดุ P
และจดุ Q หาได้โดย PQ = (x2-x1)2 + (y2-y1) 2

3. จดุ กงึ่ กลางระหวา่ งสองจดุ ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2)
เป็นจดุ 2 จดุ ในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจดุ ก่งึ กลางระหว่าง P
และ Q เราสามารถหาจดุ M ได้ดงั นี ้
จดุ กึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2
4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2)
4.1 ความชนั (slop)=tan=m Q(x1,y1)

ความชนั = m = y2 - y1 x2 - x1

4.2 สมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด (x1,y1) และมีความชนั เท่ากบั m คือ
y - y1 = m(x - x1)
4.3 สมการเสน้ ตรงที่มี y -intercept เท่ากบั b และมีความชนั
เท่ากบั
m คือ y = mx + b
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ
Ax + By + C = 0
วธิ ีการหาความชนั ของ

Ax + By + C = 0
m=-A/B ตวั อยา่ ง จงหาความชนั ของเสน้ ตรง 3x + 4y - 5 = 0
วิธีทา4y = -3x + 5 y = -(-3/4)x +(5/4) ความชนั คือ -3/4
4.5 เสน้ ตรง l1 ขนานกบั l2 กต็ ่อเม่ือ m1=m2 เสน้ ตรง l1 ต้งั ฉาก
กบั l2 กต็ ่อเม่ือ m1m2 = -1
5. การหาระยะทางจากจุดไปยงั เสน้ ตรง กาหนดให้ l เป็นเสน้ ตรงที่มี
สมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยนู่ อกเสน้ l ดงั
รูป

P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0









จดุ ก่ึงกลางระหวา่ งจดุ สองจดุ

จากรูป ลากสว่ นของเส้นตรงจากจดุ P1 ขนานกบั แกน x และลากสว่ นของเส้นตรง
จากจดุ P2 ขนานกบั แกน y ไปตดั กนั ท่ีจดุ Q
จะได้สามเหล่ยี มมมุ ฉาก P1 Q P2 บนสว่ นของเส้นตรง P1 P 2 ให้จดุ
R( x , y) เป็นจดุ กึ่งกลางระหวา่ งจดุ P 1 และจดุ P 2 ลาก
สว่ นของเส้นตรงจากจดุ R( x , y ) ไปตงั้ ฉากกบั P1Q ที่จดุ S(x,y) จะได้
สามเหล่ยี มมมุ ฉากจานวน 2 รูป คือ P1 Q P2 และ P1SR
ซงึ่ เป็นสามเหลย่ี มคล้าย จากคณุ สมบตั ิของสามเหล่ยี มคล้ายจะได้ว่า

เส้นขนาน

ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงกบั จดุ

ตวั อยา่ ง
จงหาระยะทางระหว่างจดุ P(1,2) กบั เส้นตรง x + 2y +5 = 0
วธิ ีทา

สมการเส้นตรง

1. สมการเส้นตรงที่ขนานกบั แกน x

ภาคตดั กรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์
หมายถงึ เส้นโค้งท่ีได้จากการตดั พืน้ ผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาค
ตดั กรวยนีถ้ กู ตงั ้ เป็นหวั ข้อศกึ ษาตงั้ แตส่ มยั 200 ปีก่อนคริสต์ศกั ราชโดย
อพอลโลเนียส แหง่ เพอร์กา ผ้ซู งึ่ ศกึ ษาภาคตดั กรวยและค้นพบสมบตั ิ
หลายประการของภาคตดั กรวย ตอ่ มากรณีการศกึ ษาภาคตดั กรวยถกู
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิ
เลโอ กาลิเลอี พบวา่ ขีปนาวธุ ที่ยิงขนึ ้ ไปในมมุ ทีก่ าหนดมีวถิ ีการเคล่อื นท่ี
โค้งแบบพาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮนั ส์ เคปเลอร์ พบวา่
วงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น