eBook BT Mate Ting 5

Tingkatan 5













































MATEMATIK Tingkatan 5











RM9.50 MATEMATIK
ISBN 978-967-2907-93-0




KSSM
FT085001 KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH









Cover BTeks Math Tkt 5 (BM Version).indd 1 27/10/2020 3:52 PM

RUKUN NEGARA

Bahawasanya Negara Kita Malaysia
mendukung cita-cita hendak;


Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;


Memelihara satu cara hidup demokrasi;


Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;


Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;


Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;


MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan
seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:


KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN


(Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH






MATEMATIK






TINGKATAN 5








Penulis
Ng Seng How
Neo Geok Kee
Goh Jia Haur




eDiTOR

Toh Shee Ying
Nurshamimi binti Jaafar



PeReKA BenTuK
Lim Ah Hong




ilusTRATOR
Zaidi bin Sabran












Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

2020

NO. SIRI BUKU: 0109 PENGHARGAAN

KPM2020 ISBN 978-967-2907-93-0
Cetakan Pertama 2020 Penerbitan buku teks ini melibatkan
© Kementerian Pendidikan Malaysia kerjasama banyak pihak. Sekalung
penghargaan dan terima kasih ditujukan
Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan kepada semua pihak yang terlibat:
dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan
semula, disimpan dalam cara yang boleh • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf
dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan Muka Surat, Bahagian Sumber dan
dalam sebarang bentuk atau cara, baik Teknologi Pendidikan, Kementerian
dengan cara elektronik, mekanikal, Pendidikan Malaysia.
penggambaran semula mahupun dengan
cara perakaman tanpa kebenaran terlebih • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah
dahulu daripada Ketua Pengarah Pelajaran Sedia Kamera, Bahagian Sumber dan
Malaysia, Kementerian Pendidikan Teknologi Pendidikan, Kementerian
Malaysia. Perundingan tertakluk kepada Pendidikan Malaysia.
perkiraan royalti atau honorarium.

Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan • Pegawai-pegawai Bahagian Sumber
Malaysia oleh: dan Teknologi Pendidikan dan
PENERBITAN PELANGI SDN. BHD. Bahagian Pembangunan Kurikulum,
66, Jalan Pingai, Taman Pelangi, Kementerian Pendidikan Malaysia.
80400 Johor Bahru,
Johor Darul Takzim • Pengerusi serta ahli panel penilaian
Tel: 07-3316288 dan peningkatan mutu.
Emel: [email protected]
Laman web: www.pelangibooks.com • Bahagian Editorial dan Bahagian
Produksi, terutamanya ilustrator dan
Reka Letak dan Atur Huruf: pereka bentuk.
PENERBITAN PELANGI SDN. BHD.
Muka taip teks: Times New Roman • International GeoGebra Institute
Saiz muka taip teks:11 poin
Dicetak oleh: • Freepik.com
Comtech Marketing Sdn. Bhd.
16, Jalan Bukit 2, • Semua pihak yang terlibat secara
Kawasan MIEL, langsung atau tidak langsung dalam
Bandar Seri Alam, penerbitan buku ini.
81750 Masai, Johor Darul Ta’zim.

Kandungan








Pendahuluan v
Simbol dan Rumus vii




BAB Ubahan 1

1 1.1 Ubahan Langsung 17
2
1.2 Ubahan Songsang
26
1.3 Ubahan Bergabung





BAB
Matriks 34
2
2.1 Matriks 36

2.2 Operasi Asas Matriks 42






BAB Matematik Pengguna: Insurans 72

3 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 74










BAB

Matematik Pengguna: Percukaian 94
4
4.1 Percukaian 96






iii iii iii
KPM
KPM
KPM

Kekongruenan, Pembesaran
BAB dan Gabungan Transformasi 122

5 5.1 Kekongruenan 124

5.2 Pembesaran
133
5.3 Gabungan Transformasi
149
5.4 Teselasi 161






Nisbah dan Graf Fungsi BAB
Trigonometri 172

6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi 174 6
Sudut θ, 0° < θ < 360°
6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 184






BAB Sukatan Serakan Data Terkumpul 196

7 7.1 Serakan 198



7.2 Sukatan Serakan
211





BAB
Pemodelan Matematik 226
8

8.1 Pemodelan Matematik 228






Jawapan 244
Glosari 261

Rujukan 263

Indeks 264



iv iv
KPM
KPM

Pendahuluan






Buku Teks Matematik Tingkatan 5 KSSM ini telah ditulis berdasarkan Dokumen
Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP). Buku ini menepati matlamat Kurikulum
Standard Sekolah Menengah (KSSM) bagi mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran
matematik agar murid berupaya menangani cabaran dalam kehidupan harian, selaras dengan
perkembangan sains dan teknologi, dan cabaran abad ke-21.
Struktur buku ini memberikan penekanan kepada KBAT, STEM, EMK dan
penggunaan teknologi digital dalam memfokus kepada pendekatan Pembelajaran Berasaskan
Inkuiri dan Pembelajaran Berasaskan Projek bagi merangsang minda dan intelektual murid
supaya mampu bersaing di peringkat global.
Buku ini merangkumi 8 bab untuk diterokai dan setiap bab mengandungi Halaman
Rangsangan, Kandungan dan Akhiran yang mempunyai ciri-ciri istimewa.

HALAMAN RANGSANGAN

Apakah yang akan anda pelajari?
Mengandungi Standard Kandungan yang
terdapat dalam setiap bab. BAB Kekongruenan, Pembesaran
5 dan Gabungan Transformasi
Maslahat Bab Ini Apakah yang akan anda pelajari?
• Kekongruenan
Mendedahkan murid kepada aplikasi • Pembesaran
• Gabungan Transformasi
pembelajaran dalam kehidupan • Teselasi
Maslahat Bab Ini
sebenar dan kerjaya yang berkaitan. Ahli astronomi menggunakan teleskop untuk memerhati permukaan sesuatu planet.
Permukaan planet yang jauh kelihatan diperbesarkan dengan menggunakan teleskop.
Akan tetapi imej yang dihasilkan adalah songsang dengan objek asalnya. Pantulan
diaplikasikan untuk mendapat gambaran yang sebenar.
Tahukah Anda?
Tahukah Anda? 5 Johannes Kepler (1571-1630) merupakan seorang ahli 5
matematik dan astronomi Jerman yang telah membuat
BAB dokumentasi tentang kajian teselasi pada tahun 1619. BAB
Beliau menggunakan konsep teselasi untuk meneroka
Memaparkan sejarah perkembangan serta menjelaskan struktur emping salji.
matematik serta sumbangan tokoh Untuk maklumat lanjut:
matematik sebagai pengetahuan tambahan bit.do/TahukahAndaBab5
kepada murid.
GERBANG ISTILAH
faktor skala scale factor
kekongruenan congruency Jambatan Angkat Terengganu yang terletak di Kuala Terengganu merupakan
Gerbang Istilah keserupaan similarity suatu mercu tanda baru bagi Negeri Terengganu pada tahun 2019. Jambatan
reflection
pantulan
angkat ini merupakan jambatan yang terpanjang di dunia dengan kepanjangannya
enlargement
pembesaran
638 meter, menghubungkan Kuala Terengganu dan Kuala Nerus di muara Sungai
putaran
teselasi rotation Terengganu. Keistimewaan jambatan ini ialah boleh diangkat pada bahagian
tessellation
tengah untuk memudahkan laluan kapal-kapal besar di bawahnya. Perhatikan
Senarai kata kunci yang akan dipelajari transformasi transformation struktur jambatan tersebut, bahagian manakah kongruen?
translation
translasi
berserta terjemahan dalam Bahasa Inggeris. KPM KPM 123 123
122
122
KPM
KPM
KANDUNGAN
MobiLisasi Minda Projek Latih Kendiri
Menerangkan konsep Membolehkan Menguji pemahaman
pembelajaran melalui murid mengaplikasi murid terhadap konsep
penglibatan murid secara pengetahuan yang yang dipelajari.
aktif dan menggalakkan telah dipelajari kepada
komunikasi secara masalah secara realiti dan Merupakan soalan
matematik melalui membentangkan hasil KBAT untuk menguji
kemahiran berfikir
perbincangan. semasa pembelajaran. aras tinggi murid.
v v
KPM
KPM

Aplikasi
Kotak
Buletin Ilmiah
Memori Bu letin Il mia h & Kerjaya
Mendedahkan
Membantu murid Mengandungi Memberikan tip
untuk mengingat informasi atau panduan penggunaan konsep
rumus atau konsep matematik sebagai yang berkesan dan yang dipelajari
yang pernah pengetahuan bermanfaat. dalam kehidupan
dipelajari. tambahan berkaitan sebenar dan kerjaya
dengan bab. yang berkaitan.

Medan
Medan
Interaktif
Minda Kritis i – Teknologi Interaktif
Minda Kritis
Memberikan Menggalakkan
Menerangkan sejarah Mengutarakan panduan perbincangan
yang berkaitan soalan yang kepada murid antara guru dengan
dengan tajuk merangsang minda menggunakan alat murid dan murid
sebagai pengetahuan murid berfikir di teknologi dalam dengan murid.
tambahan. luar kotak. pembelajaran.



gk
Lan
ah
Seronoknya Semak Langkah
Jawapan
Matematik! Alternatif
Alternatif
Menggalakkan Memberikan Menunjukkan Mendedahkan
pengetahuan
pembelajaran panduan kepada penyelesaian yang berkaitan
matematik yang murid untuk menggunakan jalan dengan tajuk dan
menyeronokkan. menyemak kira lain. perkembangan
jawapan.
Malaysia.

AKHIRAN

Arena Rumusan
Mengandungi perkaitan Latih Ekstensif
antara konsep dalam Berbentuk penilaian sumatif yang
peta pemikiran.
terdiri daripada Faham, Masteri
dan Cabar.

Terokai Matematik
Refleksi Aktiviti penerokaan konsep
Membantu murid yang menyeronokkan dan santai.
mengukur tahap
penguasaan Projek Mini
topik dalam bab. Mempertingkatkan
kefahaman murid
secara menyeluruh.



vi vi
KPM
KPM

Simbol dan Rumus









 sama dengan sin sinus
 tidak sama dengan kos kosinus
 hampir sama dengan tan tangen
 lebih besar daripada ° darjah
> lebih besar daripada atau sama dengan  minit (sudut)
 kurang daripada  hasil tambah
< kurang daripada atau sama dengan x min
 segi tiga  2 varians
 sudut  sisihan piawai
 berubah secara langsung dengan






Nilai muka polisi Kadar premium PA
Premium = × 1 2 Faktor skala, k =
RMx per RMx PA
Luas imej = k × Luas objek
2
Jumlah insurans yang harus dibeli ∑ fx
–
Min, x =
Peratusan Nilai boleh insurans ∑ f
= 1 2 1 2
×
ko-insurans harta ∑ fx 2
Varians,  = ∑ f – x
2
– 2
1 d –b
A = 3 4 ∑ fx 2
–1
ad – bc –c a Sisihan piawai,  = – x
– 2
∑ f
Panduan Mengakses Bahan Digital dalam Buku Ini
Muat turun aplikasi percuma imbasan kod QR ke peranti mudah alih pintar
anda. Imbas kod QR atau layari http://bukutekskssm.my/Matematik/T5/Indeks.
html untuk mengakses bahan-bahan digital seperti:
• Lembaran kerja
• Fail GeoGebra
• Video
Kemudian, muat turun bahan-bahan tersebut untuk kegunaan luar talian.

Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma untuk
membuka fail yang berkenaan http://www.geogebra.org/



vii vii
KPM
KPM

1
BAB BAB
1 Ubahan









Apakah yang akan anda pelajari?
• Ubahan Langsung
• Ubahan Songsang
• Ubahan Bergabung


Maslahat Bab Ini
Konsep ubahan banyak digunakan dalam kehidupan seharian kita dan meluas dalam
bidang sains dan matematik. Misalnya, mencari jarak yang dilalui dengan laju dalam masa
tertentu, mengkaji hubungan antara kedalaman laut dengan tekanan air dan lain-lain.


Tahukah Anda?
Simbol ∝ diperkenalkan oleh William Emerson (1701-1782),
seorang ahli matematik Inggeris, pada tahun 1768 dalam
karyanya The Doctrine of Fluxions.


Untuk maklumat lanjut:


bit.do/TahukahAndaBab1














GERBANG ISTILAH


pemalar constant
pemboleh ubah variable
ubahan bergabung combined variation
ubahan langsung direct variation
ubahan songsang inverse variation
ubahan tercantum joint variation

Ubahan



























































Dalam kajian saintifik, juruelektrik menjalankan eksperimen untuk mengkaji
hubungan antara dua atau lebih pemboleh ubah. Sebagai contoh, dalam suatu
eksperimen mengenai arus elektrik, jika nilai voltan meningkat, maka nilai arus
yang mengalir melalui litar juga meningkat dan sebaliknya. Berbeza pula, jika
nilai rintangan berkurang, maka nilai arus bertambah dan sebaliknya. Tahukah
anda bagaimana hubungan antara arus (I), voltan (V) dengan rintangan (R) berkait
antara satu sama lain?


1 1
KPM
KPM

1
BAB 1.1 Ubahan Langsung


Apakah maksud ubahan langsung?


Menerangkan maksud
ubahan langsung.



5 cawan beras untuk
10 hidangan. 10 cawan
beras untuk 20 hidangan.










Seorang tukang masak perlu menentukan bahan yang digunakan mengikut bilangan hidangan.
Jika bahan yang digunakan bertambah, maka bilangan hidangan turut bertambah. Sebaliknya,
jika bahan yang digunakan berkurang, maka bilangan hidangan turut berkurang.

Dalam kehidupan seharian, kita sering berdepan dengan situasi yang melibatkan
hubungan perubahan kuantiti. Contohnya, jarak perjalanan dengan tambang teksi, jumlah
faedah yang diperoleh mengikut tempoh dengan kadar faedah tertentu.


MobiLisasi Minda 1 Individu
Tujuan: Menerangkan maksud ubahan langsung.

Langkah:
1. Dengan melayari laman sesawang Bank Negara Malaysia, dapatkan kadar
pertukaran mata wang Ringgit Malaysia (RM) kepada Dolar Singapura ($), Baht
Thailand (B | ) dan Yen Jepun (¥) yang terbaharu.

2. Dengan menggunakan kadar pertukaran tersebut, hitung nilai mata wang Ringgit
Malaysia kepada Dolar Singapura, Baht Thailand dan Yen Jepun yang berikut.

Ringgit Malaysia (RM) 10 20 30 40 50


Dolar Singapura ($)

Baht Thailand (B | )

Yen Jepun (¥)




2
KPM

BAB 1 Ubahan

Perbincangan: 1
1. Nyatakan perubahan BAB
(a) pada Dolar Singapura, Baht Thailand dan Yen Jepun apabila Ringgit Malaysia
bertambah,
(b) pada Dolar Singapura, Baht Thailand dan Yen Jepun apabila Ringgit Malaysia
dibahagi dengan empat,
(c) pada Dolar Singapura, Baht Thailand dan Yen Jepun apabila Ringgit Malaysia
bertambah dua kali ganda,
(d) pada Dolar Singapura, Baht Thailand dan Yen Jepun apabila Ringgit Malaysia
berkurang 50%.
2. Apakah hubungan antara nilai Ringgit Malaysia dengan nilai Dolar Singapura, Baht
Thailand dan Yen Jepun?



Hasil daripada Mobilisasi Minda 1, didapati bahawa perubahan dalam jumlah Ringgit Malaysia,
RM yang ditukar menyebabkan perubahan yang sepadan dalam jumlah Dolar Singapura, $,
Baht Thailand, B | , dan Yen Jepun, ¥. Nilai RM bertambah apabila nilai $, B | dan ¥ bertambah,
dan nilai RM berkurang apabila nilai $, B | dan ¥ berkurang.

Hubungan ini dinamakan ubahan langsung. Secara umumnya,

Ubahan langsung menerangkan perkaitan antara dua pemboleh ubah, dengan keadaan
apabila satu pemboleh ubah y bertambah maka pemboleh ubah x juga bertambah pada
kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan ini juga ditulis sebagai y berubah secara
langsung dengan x.


Contoh 1

Jumlah gaji seorang pekerja sambilan sebagai jurujual berubah secara langsung dengan bilangan
jam dia bekerja. Nyatakan perubahan pada
(a) jumlah gaji jika bilangan jam bertambah dua kali ganda,
(b) jumlah gaji jika bilangan jam berkurang sebanyak 40%,
(c) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima adalah separuh daripada gaji asal.

Penyelesaian:
(a) Jumlah gaji bertambah dua kali ganda.
(b) Jumlah gaji berkurang sebanyak 40%.
(c) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada bilangan jam asal bekerja.


Latih Kendiri 1.1a
1. Nilai rintangan bagi seutas dawai berubah secara langsung dengan nilai suhunya. Nyatakan
perubahan pada
(a) nilai rintangan jika nilai suhunya bertambah 10%,
(b) nilai rintangan jika nilai suhunya berkurang separuh daripada suhu asal,
(c) nilai suhu jika nilai rintangan berkurang 1 daripada nilai rintangan asal.
4

3
KPM

2. Puan Wardina ingin membeli kacang hijau yang dijual pada harga RMx sekilogram.
1
Nyatakan harga kacang hijau jika Puan Wardina membeli
BAB (a) 500 g kacang hijau,
(b) 2 kg kacang hijau.

3. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara masa dengan bilangan botol jem yang
dihasilkan di sebuah kilang.

Masa (minit) 5 10 15 20 25
Bilangan botol 10 20 30 40 50

Nyatakan perubahan pada bilangan botol jem yang dihasilkan apabila
(a) masa bertambah sebanyak dua kali ganda lebih lama,
(b) masa dikurangkan separuh.



Apakah hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu
ubahan langsung?
Menentukan hubungan
MobiLisasi Minda 2 Berkumpulan antara dua pemboleh
Tujuan: Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah ubah bagi suatu ubahan
langsung.
bagi suatu ubahan langsung.
Langkah:

1. Bahagikan murid kepada 6 kumpulan.
2. Setiap kumpulan memilih satu jenis kadar daripada senarai di bawah.
(a) Kadar tambang teksi mengikut jarak
(b) Kadar tempat letak kereta mengikut jam
(c) Kadar denyutan jantung mengikut minit
(d) Kadar tol mengikut jarak
(e) Kadar muat turun data (Mbps)
(f) Kadar faedah mudah simpanan setahun

3. Dengan melayari Internet, dapatkan maklumat bagi kadar yang dipilih dan lengkapkan
jadual seperti di bawah.
Misalnya, kadar tambang teksi ialah RM1.20 per km.

Jarak yang dilalui, x (km) 2 4 6 8 10
Tambang, y (RM)

y
x


4. Lukis graf y melawan x dengan skala yang sesuai berdasarkan jadual yang diperoleh.
5. Jawab soalan dalam Perbincangan.
6. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda kepada kelas.




4
KPM

BAB 1 Ubahan

Perbincangan: 1
y
1. Berdasarkan nilai x , apakah kesimpulan yang boleh dibuat? BAB
2. Nyatakan bentuk graf yang terhasil.

3. Apakah hubungan antara pemboleh ubah y dengan pemboleh ubah x?




Hasil daripada Mobilisasi Minda 2, didapati bahawa bagi
suatu ubahan langsung,
y Graf y melawan x ialah
(a) nilai x ialah pemalar, y graf dengan pemboleh
(b) graf y melawan x ialah satu garis lurus ubah y mewakili paksi
mencancang dan
yang melalui asalan, pemboleh ubah x
(c) pemboleh ubah y berubah secara O x mewakili paksi mengufuk.
langsung dengan pemboleh ubah x.


Dalam ubahan langsung, kuantiti y dikatakan berubah secara Buletin Ilmiah
Il
Bu
letin
h
mia
langsung dengan x jika dan hanya jika y ialah satu pemalar, Pemalar ialah nilai
x
dikenali sebagai pemalar perkadaran, k. sesuatu kuantiti yang
tetap atau tidak berubah.
Perkaitan antara nilai k Perkaitan antara nilai k
dengan konsep perkadaran: dengan kecerunan garis lurus
yang melalui asalan:
y y 1 y 2 y 3 y 4 y
x x x x x Kecerunan, y 1
y
1 2 3 4 m = x 1 Adakah semua nilai
y y y y 1 kecerunan mewakili nilai
perkadaran, k? Bincangkan.
k = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = k O x x
1 2 3 4 1
Perkaitan ini hanya benar jika
garis lurus melalui asalan.

Hubungan ubahan
Apabila y berubah secara langsung dengan x, maka hubungan langsung yang ditulis
ini ditulis sebagai y ∝ x. Daripada hubungan ini, nilai pemalar sebagai ‘y berubah secara
perkadaran k dapat ditentukan, iaitu langsung dengan x’ juga
y boleh ditulis sebagai ‘x
k = x . dan y adalah berkadaran
langsung’.

Bagi suatu ubahan langsung, y berubah secara langsung
dengan x boleh ditulis sebagai
y ∝ x (hubungan ubahan)
y = kx (bentuk persamaan) Simbol ∝ merujuk kepada
‘adalah berkadaran
dengan keadaan k ialah pemalar. dengan’.



5
KPM

MobiLisasi Minda 3
1 Berkumpulan
BAB Tujuan: Menentukan hubungan antara pemboleh ubah y dengan x bagi suatu ubahan
2
langsung.
Langkah:
1. Diberi satu bulatan dengan jejari, x cm, dan luas, y cm .
2
22
2. Dalam kumpulan, secara bergilir-gilir, lengkapkan jadual di bawah. (Guna π = )
7
Jejari, x (cm) 3.5 7.0 10.5 14.0 17.5
Luas bulatan, y (cm )
2
Kuasa dua jejari, x (cm )
2
2
Kuasa tiga jejari, x (cm )
3
3
y
x 2
y
x 3
3. Lukis graf y melawan x dan graf y melawan x , dengan menggunakan nilai
3
2
penghampiran.
Perbincangan:
y y
1. Bandingkan nilai-nilai bagi dan . Apakah kesimpulan yang boleh dibuat?
x 2 x 3
2. Graf yang manakah ialah graf garis lurus yang melalui asalan?
3. Apakah hubungan antara pemboleh ubah y dengan pemboleh ubah x ?
2


Hasil daripada Mobilisasi Minda 3, didapati bahawa bagi suatu ubahan langsung,
y y y
(a) nilai ialah pemalar. Oleh itu, k = ,
x 2 x 2
(b) graf y melawan x ialah satu garis lurus yang melalui asalan,
2
(c) pemboleh ubah y berubah secara langsung dengan pemboleh ubah x . x 2
2
O
Secara umumnya,

Bagi suatu ubahan langsung, y berubah secara langsung
dengan x , boleh ditulis sebagai Dalam Mobilisasi Minda 3,
n
apakah perkaitan antara
dengan keadaan nilai π dengan y ?
n
y ∝ x (hubungan ubahan) 1 1 x 2
n = 1, 2, 3, , dan
y = k x (bentuk persamaan) 2 3
n
k ialah pemalar.
Graf y melawan x ialah satu garis lurus yang melalui asalan y ∝ x adalah benar jika
n
dengan k ialah kecerunan garis lurus. dan hanya jika n = 1.

6
KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 2 1
Sebuah kereta mainan bergerak daripada keadaan pegun. Jarak BAB
yang dilalui oleh kereta mainan itu, y, berubah dengan masa, t,
seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.
Apabila y = 3x , y tidak
2
Masa, t (s) 2 4 6 8 10 12 berubah secara langsung
dengan x. Bincangkan.
Jarak, y (cm) 14 28 42 56 70 84

Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan t atau t . Seterusnya, tuliskan
2
hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Penyelesaian:
t 2 4 6 8 10 12

y 14 28 42 56 70 84
y 14 28 42 56 70 84
t 2 = 7 4 = 7 6 = 7 8 = 7 10 = 7 12 = 7
y 14 28 42 56 70 84
t 2 2 2 = 3.50 4 2 = 1.75 6 2 = 1.17 8 2 = 0.88 10 2 = 0.70 12 2 = 0.58
y
y berubah secara langsung dengan t kerana nilai t ialah pemalar. Maka, y ∝ t.

y tidak berubah secara langsung dengan t kerana nilai y bukan pemalar.
2
t 2
Contoh 3
(a) Dengan melukis graf y melawan x, (b) Dengan melukis graf y melawan x ,
2
tentukan sama ada y berubah secara tentukan sama ada y berubah secara
langsung dengan x atau tidak. langsung dengan x atau tidak.
2
x 0.4 0.8 1.2 x 2 3 4 5

y 1.5 2.0 2.5 y 8 18 32 50

Penyelesaian:
(a) y (b) y
x 2 y
2.5 50
2.0 40 4 8
1.5 Garis lurus 30 9 18
1.0 tidak melalui 20 16 32
asalan.
0.5 10 25 50
x x 2
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 O 5 10 15 20 25

Garis lurus melalui asalan.
Maka, y tidak berubah secara
langsung dengan x. Maka, y berubah secara langsung
2
dengan x .
7
KPM

Contoh 4
1
BAB Diberi m = 0.8 apabila n = 0.125. Ungkapkan m dalam sebutan
n jika Dalam graf Contoh 3(a),
(a) m berubah secara langsung dengan n, mengapakah y tidak berubah
(b) m berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga n. secara langsung dengan x?
Penyelesaian:
3 
(a) m ∝ n Tuliskan hubungan (b) m ∝ n
dalam bentuk
3 
m = kn persamaan. m = k n (i) y berubah secara
langsung dengan x,
3 
0.8 = k (0.125) Gantikan nilai m 0.8 = k (0.125) y ∝ x
dan nilai n ke dalam
k = 0.8 persamaan untuk k = 0.8 (ii) y berubah secara
langsung dengan
0.125 mendapatkan nilai k. 3  kuasa dua x,
0.125
= 6.4 y ∝ x 2
= 1.6 (iii) y berubah secara
Maka, m = 6.4n Maka, m = 1.6 n langsung dengan
3 
kuasa tiga x,
y ∝ x
3
Contoh 5 (iv) y berubah secara
Pemanjangan spring, x cm, berubah secara langsung dengan langsung dengan
punca kuasa dua x,
jisim pemberat, w g, yang ditanggungnya. Diberi bahawa y ∝ x 
pemanjangan spring ialah 3 cm apabila diletakkan pemberat (v) y berubah secara
sebanyak 200 g. Ungkapkan x dalam sebutan w. langsung dengan
punca kuasa tiga x,
Penyelesaian: y ∝ x
3 
x ∝ w
x = kw Tuliskan hubungan dalam bentuk persamaan.
3 = k (200)

k = 3 Gantikan nilai x dan nilai w ke dalam
200 persamaan untuk mendapatkan nilai k. Robert Hooke (1635-1703),
= 0.015 seorang saintis British telah
Maka, x = 0.015w memperkenalkan Hukum
Hooke pada tahun 1676
yang menyatakan bahawa
Contoh 6 pemanjangan suatu
bahan kenyal adalah
Diberi y berubah secara langsung dengan x. Jika y = 0.14 berkadar langsung dengan
apabila x = 0.2, hitung nilai daya regangan yang
(a) y apabila x = 5, (b) x apabila y = 0.875 . bertindak, selagi tidak
melepasi had kenyal.
Penyelesaian:
y ∝ x (a) Apabila x = 5, (b) Apabila y = 0.875,
y = kx y = 0.7(5) 0.875 = 0.7x
0.14 = k (0.2) = 3.5 x = 0.875

k = 0.14 0.7
0.2 = 1.25
= 0.7
Maka, y = 0.7x


8
KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 7 1
Luas, L cm , satu semi bulatan berubah secara langsung 2.8 cm d cm BAB
2
dengan kuasa dua diameternya, d cm. Diberi luas semi 3.08 cm 2
bulatan itu ialah 3.08 cm apabila diameternya ialah 19.25 cm 2
2
2.8 cm. Hitung nilai d apabila L = 19.25 .

Penyelesaian:
L ∝ d
2
L = kd 2 Langkah Alternatif:
3.08 = k (2.8) Menggunakan konsep perkadaran:
2
1
1
2
k = 3.08 Diberi L = 3.08, d = 2.8 dan L = 19.25
(2.8) 2 L 1 = L 2
= 11 (d ) 2 (d ) 2
1
2
28 3.08 19.25
Maka, L = 11 d 2 2.8 2 = (d ) 2
28 2 2
2
Apabila L = 19.25, (d ) = 19.25 × 2.8
3.08
2
11
19.25 = d 2 d = 49

28 2
19.25 × 28 = 7 cm
d =
2
11

d = 49
= 7 cm
Contoh 8
Tempoh ayunan, A saat, bagi satu bandul ringkas berubah secara langsung dengan punca
kuasa dua panjang benang, p cm. Diberi bahawa satu bandul ringkas dengan panjang
benangnya ialah 9 cm mempunyai tempoh ayunan sebanyak 1.2 saat. Hitung tempoh ayunan
dalam saat, jika panjang benang ialah 25 cm.

Penyelesaian:

A ∝ p

A = kp Langkah Alternatif:
Menggunakan konsep perkadaran:

1.2 = k9 Diberi A = 1.2, p = 9 dan p = 25
1
1
2
k = 1.2 A 1 A 2

9 p = p


1
= 0.4 1.2 A 2
2

Maka, A = 0.4p 9 = 25



Apabila p = 25, 1.2 × 25
A =


A = 0.425 2 9
= 2 saat = 2 saat
9
KPM

1 Latih Kendiri 1.1b
BAB 1. Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y.

(a) Tentukan sama ada y berubah (b) Tentukan sama ada y berubah
secara langsung dengan x atau secara langsung dengan x atau

x . Kemudian, tuliskan hubungan x. Kemudian, tuliskan hubungan
3
tersebut dalam bentuk ubahan. tersebut dalam bentuk ubahan.
x 1 2 3 4 5 x 4 9 25 36 49

y 2.5 5 7.5 10 12.5 y 0.6 0.9 1.5 1.8 2.1

2. Spring digantung dengan beban. Jadual
di sebelah menunjukkan jisim beban, x g Jisim beban, x (g) 5 10 15 25 30
dengan pemanjangan spring, p cm. Dengan Pemanjangan spring,
melukis graf p melawan x, tentukan sama p (cm) 1 2 3 5 6
ada p berubah secara langsung dengan x
atau tidak.

3. Diberi p = 32 apabila q = 4. Ungkapkan p dalam sebutan q jika
(a) p berubah secara langsung dengan q ,
3
(b) p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q.
4. Gaji, RMx, yang diperoleh seorang pekerja berubah secara langsung dengan jumlah masa
bekerja, t jam. Diberi bahawa seorang pekerja telah menerima gaji sebanyak RM112
selepas bekerja selama 14 jam. Tuliskan persamaan yang menghubungkan x dengan t.

5. Diberi y = 1.8 apabila x = 0.6, hitung nilai y apabila x = 5 jika
(a) y ∝ x,
(b) y ∝ x .
2
1
—
3
6. Diberi s berubah secara langsung dengan t . Jika s = 1.2 apabila t = 27, hitung nilai
(a) s apabila t = 64,
(b) t apabila s = 0.28.
7. Bilangan patah perkataan yang ditaip, a, oleh Saiful berubah secara langsung dengan
masa menaip, t minit. Jika Saiful menaip 270 patah perkataan dalam masa 6 minit,
hitung masa yang digunakan olehnya untuk menaip 675 patah perkataan.

8. Sebuah objek jatuh dari ketinggian, h m, berubah secara langsung dengan kuasa dua
masanya, t s di planet Q. Diberi bahawa objek itu jatuh dari ketinggian 5 m dalam masa
2 s, hitung masa yang diambil dalam saat, oleh objek itu jatuh pada ketinggian 45 m di
planet itu.

9. Diberi isi padu cat, x liter, berubah secara langsung dengan luas dinding, d m . Jika 3 liter
2
cat boleh mengecat 36 m dinding,
2
(a) ungkapkan persamaan dalam sebutan x dan d,
(b) hitung isi padu cat dalam liter, yang diperlukan untuk mengecat dinding dengan
tinggi 9 m dan lebar 5 m.


10
KPM

BAB 1 Ubahan

Apakah hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum? 1
BAB

Faedah mudah,
I = Prt Apakah hubungan
dengan keadaan pemboleh ubah I Menentukan hubungan
P = prinsipal dengan pemboleh antara tiga atau lebih
r = kadar ubah P, r dan t ? pemboleh ubah bagi
faedah suatu ubahan tercantum.
t = masa






Semasa di Tingkatan 3, anda telah mempelajari pengiraan faedah mudah, I yang melibatkan
pemboleh ubah P, r dan t. Situasi di atas merujuk kepada satu daripada contoh hubungan
bagi ubahan tercantum. Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu
pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain.


MobiLisasi Minda 4 Individu
Tujuan: Menentukan hubungan antara tiga pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum.
Langkah:
1. Rajah di sebelah menunjukkan satu segi empat tepat dengan z cm
panjang, x cm, dan lebar, z cm. Diberi luas segi empat tepat
itu ialah y cm . Lengkapkan jadual di bawah. x cm
2
(A) Jika z ialah pemalar (C) Jika x, z dan y ialah pemboleh ubah
Panjang, x (cm) 2 3 4 5 Panjang, x (cm) 2 3 4 5
Lebar, z (cm) 6 6 6 6 Lebar, z (cm) 8 6 3 2
Luas, y (cm ) Luas, y (cm )
2
2
y
(B) Jika x ialah pemalar xz
Panjang, x (cm) 2 2 2 2
Lebar, z (cm) 6 5 4 3
Luas, y (cm )
2
Perbincangan:
1. Apakah hubungan antara y dengan x jika z ialah pemalar?
2. Apakah hubungan antara y dengan z jika x ialah pemalar?
3. Apakah hubungan antara y, x dan z jika ketiga-tiganya ialah pemboleh ubah?



Hasil daripada Mobilisasi Minda 4, didapati bahawa y berubah secara langsung dengan x,
dan y berubah secara langsung dengan z. Maka, y berubah secara tercantum dengan x dan
z, iaitu y ∝ xz.

11
KPM

Secara umumnya,
1
BAB Bagi suatu ubahan tercantum, y berubah secara tercantum y ∝ xz ialah cantuman
dengan x dan z boleh ditulis sebagai dua hubungan y ∝ x dan
n
m
dengan keadaan y ∝ z.
y ∝ x z (hubungan ubahan) m = 1, 2, 3, 1 , 1 ,
m n
2 3
y = k x z (bentuk persamaan) n = 1, 2, 3, 1 , 1 dan
m n
2 3 Bincangkan hubungan
k ialah pemalar. bagi persamaan faedah
mudah, I = Prt.


Contoh 9

Tuliskan hubungan dengan menggunakan simbol ∝ dan y ∝ xz boleh dibaca
persamaan bagi setiap yang berikut. sebagai
• y berubah secara

(a) p berubah secara langsung dengan q dan r . langsung dengan x dan z
(b) y berubah secara langsung dengan kuasa dua w dan kuasa • y berubah secara
tiga x. tercantum dengan x
(c) Isi padu prisma, V berubah secara langsung dengan luas dan z
keratan rentas, A dan tingginya, h. • y berkadaran secara
tercantum terhadap x
(d) Jisim, w bagi sebatang besi berbentuk silinder berubah dan z
secara langsung dengan panjang, p dan kuasa dua diameter
tapaknya, d.
Penyelesaian:


(a) p ∝ qr p ∝ q dan p ∝ r (c) V ∝ Ah V ∝ A dan V ∝ h

p = kqr V = k Ah

(b) y ∝ w x y ∝ w dan y ∝ x 3 (d) w ∝ pd w ∝ p dan w ∝ d
2
2 3
2
2
y = k w x w = k pd 2
2 3
Contoh 10
Diberi bahawa x ∝ y z, ungkapkan x dalam sebutan y dan z jika x = 6 apabila y = 3 dan z = 5.
2
Penyelesaian:
x ∝ y z
2
x = k y z Tuliskan hubungan dalam bentuk persamaan.
2

6 = k (3) (5) Gantikan nilai-nilai x, y dan z ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai k.
2
6
k =
(3) (5)
2
2
=
15
Maka, x = 2 y z
2
15
12
KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 11 Bu letin Il mia h 1
Buletin Ilmiah
Tenaga keupayaan graviti, E Joule, bagi suatu objek berubah (i) Tenaga keupayaan BAB
secara langsung dengan jisimnya, m kg, pecutan graviti, graviti ialah tenaga
g m s dan kedudukannya pada ketinggian, h m. Diberi bahawa yang tersimpan di
–2
E = 197 Joule apabila m = 4 kg, g = 9.81 m s dan h = 5 m, dalam sebuah objek
–2
tuliskan satu persamaan yang menghubungkan E, m, g dan h. disebabkan oleh
kedudukannya.
Penyelesaian: (ii) Pecutan graviti, g,
E ∝ mgh ialah suatu pemalar.
E = kmgh Tuliskan hubungan dalam bentuk persamaan. Tenaga disimpan
disebabkan oleh
197 = k (4)(9.81)(5) Gantikan nilai-nilai E, m, g dan h ke dalam tarikan graviti Bumi
197 persamaan untuk mendapatkan nilai k. terhadap objek. Nilai
k = g berbeza di setiap
(4)(9.81)(5) jasad cakerawala.
= 1 Misalnya, nilai g di
Bumi ialah 9.81 m s –2
Maka, E = mgh dan di bulan ialah
1.62 m s .
–2
Contoh 12
Tiga kuantiti, S, T dan U S 6 x 50
berubah seperti yang Langkah Alternatif:
ditunjukkan dalam jadual di T 0.8 1.2 40 Menggunakan konsep perkadaran:
sebelah. Diberi bahawa S Diberi S = 6, T = 0.8, U = 27
1
1
1
berubah secara langsung U 27 125 y dan S = x, T = 1.2, U = 125

2
2
2
dengan T dan punca kuasa tiga S S
2
1
U. Hitung nilai x dan nilai y. 3  = 3 
T U T U
Penyelesaian: 6 1 1 2 x 2
3 
S ∝ T U (0.8)(  27 ) = (1.2)( 125 )
3 
3 
3 
S = kT U (6)(1.2)( 125 )
3 
S = 6 apabila T = 0.8 dan U = 27, x = (0.8)(  27 )
3 
3 
6 = k(0.8)(  27 )
6 = 15
k =
3 
(0.8)(  27 ) Diberi S = 6, T = 0.8, U = 27
1
1
1
= 2.5 dan S = 50, T = 40, U = y

3 
Maka, S = 2.5T U 2 S 2 S 2
1
2
Apabila T = 1.2 dan U = 125, T U = T U
3 
3 
3 
x = 2.5(1.2)( 125 ) 1 1 2 2
50
6
= 15 (0.8)(  27 ) = (40)(y )
3 
3 
Apabila S = 50 dan T = 40, 3 
3 
50 = 2.5(40)(y ) 3  (50)(0.8)(  27 )
y =
(40)(6)
3  50
y =
(2.5)(40) = 0.5
= 0.5 y = 0.5 3
y = 0.5 3 = 0.125
= 0.125
13
KPM

1 Latih Kendiri 1.1c
BAB 1. Tuliskan hubungan dengan menggunakan simbol ∝ bagi setiap yang berikut.

(a) s berubah secara langsung dengan t dan u.
(b) v berubah secara langsung dengan w dan x.
2
(c) a berubah secara langsung dengan kuasa tiga b dan punca kuasa dua c.
(d) Luas permukaan melengkung, L cm , sebuah silinder berubah secara langsung
2
dengan jejari tapaknya, j cm dan tingginya, h cm.

2. Hitung pemalar, k bagi setiap yang berikut.
1
—
3
(a) p berubah secara langsung dengan q dan r . Diberi p = 5.184 apabila q = 1.2 dan
3
r = 216.
1 1
(b) p berubah secara langsung dengan q, r dan kuasa dua s. Diberi p = apabila q = ,
3
5
3 1
r = dan s = .
2 3
3. Diberi y = 6 apabila x = 0.64 dan z = 5, ungkapkan y dalam sebutan x dan z jika

(a) y berubah secara langsung dengan x dan z,
(b) y berubah secara langsung dengan x dan kuasa dua z.
4. Harga bagi sebatang rod besi, RMx, berubah secara langsung dengan panjang, p cm
dan kuasa dua jejari, j cm. Jika sebatang rod besi dengan panjang 150 cm dan jejari
3 cm dijual pada harga RM27, tuliskan satu persamaan yang menghubungkan x dengan
p dan j.

5. Diberi G berubah secara langsung dengan H dan punca kuasa dua M. Jika G = 42
apabila H = 7 dan M = 16, hitung
(a) nilai G apabila H = 4 dan M = 81,
(b) nilai M apabila G = 18 dan H = 20.

6. Jadual di bawah menunjukkan perubahan tiga kuantiti. Diberi P berubah secara langsung
dengan kuasa tiga Q, dan R. Hitung nilai x dan nilai y.
P 86.4 x 1.215
Q 1.2 2 y

R 10 0.4 9

7. Tenaga kinetik, E Joule, sebuah objek berubah secara langsung dengan jisim, w kg dan
kuasa dua laju, v m s , objek itu. Diberi bahawa tenaga kinetik sebuah objek dengan
–1
jisim 3 kg bergerak dengan kelajuan 12 m s ialah 216 Joule. Hitung laju dalam m s ,
–1
–1
objek itu jika jisim dan tenaga kinetik masing-masing ialah 5 kg dan 640 Joule.
8. Isi padu sebuah kon, V cm , berubah secara langsung dengan tinggi, h cm, dan kuasa
3
dua jejari tapaknya, j cm. Sebuah kon dengan tinggi 21 cm dan jejari 6 cm mempunyai
isi padu 792 cm . Hitung isi padu dalam cm , kon dengan tinggi 14 cm dan jejari
3
3
15 cm.

14
KPM

BAB 1 Ubahan

Bagaimanakah menyelesaikan masalah yang melibatkan 1
ubahan langsung? BAB
Menyelesaikan masalah
Contoh 13 yang melibatkan ubahan
langsung.
Hukum Charles menyatakan bahawa bagi satu jisim gas yang
tetap, isi padu, V cm , gas itu berkadar langsung dengan suhu
3
mutlaknya, T Kelvin, jika tekanan gas itu adalah tetap. Diberi
bahawa sebuah bekas mengandungi 30 cm gas pada suhu 30°C.
3
(a) Ungkapkan V dalam sebutan T. Hubungan antara isi padu
(b) Hitung isi padu dalam cm , gas itu jika suhu berubah dengan suhu suatu jisim
3
kepada –11°C. gas yang tetap pada
[Rumus penukaran suhu dalam darjah Celsius kepada Kelvin: tekanan yang tetap telah
x°C = (273 + x) K] dikaji pertama kali
oleh Jacques Charles.
Penyelesaian:


Memahami masalah Merancang strategi
(a) Tuliskan ubahan langsung dalam bentuk
V ∝ T
persamaan.
V = 30 apabila T = (273 + x) K (b) Gantikan nilai T ke dalam persamaan dan
kemudian, hitung isi padu gas itu.



Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi
10 (a) V ∝ T 10
(a) V = T (b) V = T
101 V = kT 101
(b) V = 25.94 cm 3 V = k (273 + x) V = 10 (273 – 11)
30 = k (273 + 30) 101
k = 30 = 25.94 cm 3
303
10
=
101
10
V = T
101


Contoh 14

Puan Soon menyimpan wangnya dalam akaun simpanan. Diberi bahawa faedah, I yang
diterima berubah secara langsung dengan jumlah prinsipal, p dan tempoh dalam tahun, t
wang yang disimpan. Puan Soon menerima faedah sebanyak RM200 apabila dia menyimpan
RM4 000 selama dua tahun.
(a) Hitung tempoh simpanan yang diperlukan supaya Puan Soon dapat menerima faedah
RM650 dengan prinsipal RM5 200.
(b) Puan Soon ingin mendapatkan jumlah faedah yang sama tetapi mengurangkan tempoh
simpanan di (a). Adakah dia perlu menambahkan atau mengurangkan nilai prinsipalnya?
Jelaskan jawapan anda.

15
KPM

Penyelesaian:
1
BAB Memahami masalah Merancang strategi

I ∝ pt (a) Tulis ubahan langsung dalam bentuk persamaan dan
hitung nilai t apabila I = 650 dan p = 5 200.
I = 200 apabila p = 4 000 (b) Memahami perubahan bagi setiap pemboleh ubah
dan t = 2 dalam persamaan.



Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi
(a) 5 tahun. (a) I = kpt (b) Untuk mengekalkan
(b) Prinsipal perlu 200 = k(4 000)(2) nilai I dalam
ditambahkan untuk 200 persamaan I = 0.025pt,
mendapat jumlah k = (4 000)(2) • apabila p berkurang,
faedah yang sama = 0.025 t bertambah
jika tempoh simpanan \ I = 0.025pt • apabila p bertambah,
dikurangkan. Hal ini t berkurang
kerana jumlah faedah Apabila I = 650 dan
berkadar langsung p = 5 200,
dengan hasil darab 650 = (0.025)(5 200)t
prinsipal dan tempoh. t = 650
(0.025)(5 200)
= 5 tahun



Latih Kendiri 1.1d
1. Lee mengisi air ke dalam sebuah tangki dengan menggunakan hos getah pada pukul
8:00 pagi. Pada pukul 11:00 pagi, Lee mendapati bahawa tangki itu telah diisi dengan
48% air.
(a) Tuliskan satu persamaan yang menghubungkan isi padu air, V, yang diisi ke dalam
tangki dengan masa yang diambil, t.
(b) Pada pukul berapakah tangki itu akan diisi penuh dengan air?

2. Aminah ingin menggunting beberapa bentuk segi tiga daripada sekeping kad. Diberi luas
segi tiga yang digunting, L cm , berubah secara langsung dengan tapak, x cm, dan tinggi,
2
y cm. Pada mulanya, dia menggunting satu segi tiga dengan L = 14, x = 7 dan y = 4.
(a) Tuliskan hubungan antara L dengan x dan y.
(b) Aminah merancang untuk menggunting segi tiga kedua dengan nilai tapak
bertambah 20% dan nilai tinggi berkurang 10%. Berapakah peratusan perubahan
untuk luas segi tiga kedua ini?

3. Sebuah kedai piza menjual tiga saiz piza dengan
harga berbeza seperti yang ditunjukkan dalam rajah
30 cm
15 cm
23 cm
di sebelah. Adakah harga piza, RMp, berubah secara 15 cm 23 cm 30 cm
langsung dengan luas permukaan, A cm , piza itu? Jika
2
RM12
tidak, saiz piza yang manakah lebih berbaloi dengan RM12 RM25
RM25
RM35
harganya? RM35
16
KPM

BAB 1 Ubahan


1
1.2 Ubahan Songsang
BAB

Apakah maksud ubahan songsang?
Semasa berada di atas jongkang-jongket, seseorang yang
lebih berat akan berada di bawah manakala seseorang yang
lebih ringan akan berada di atas. Tahukah anda bagaimana Menerangkan maksud
ubahan songsang.
menyeimbangkan jongkang-jongket tersebut?
Bagi menyeimbangkan sebuah jongkang-jongket, w kg
seseorang yang lebih berat perlu duduk lebih dekat 35 kg
dengan fulkrum jongkang-jongket tersebut, atau
seseorang yang lebih ringan perlu duduk lebih jauh Fulkrum
dari fulkrum. Perhatikan rajah di sebelah. Hubungan 1.1 m d m
antara jisim pemain, w, dengan jarak antara pemain dan
fulkrum, d, dikatakan berubah secara songsang. Apabila
w bertambah, d berkurang dan sebaliknya.

MobiLisasi Minda 5 Individu

Tujuan: Menerangkan maksud ubahan songsang.
Langkah:
1. Fahami situasi berikut dan kemudian jawab soalan dalam Perbincangan.
Dewan sebuah sekolah mempunyai beberapa buah pintu. Jadual di bawah
menunjukkan hubungan antara bilangan pintu yang dibuka, x, dengan masa yang
diambil, y, bagi sekumpulan murid untuk keluar dari dewan.
Bilangan pintu yang dibuka, x 2 3 4 5 6

Masa yang diambil, y (minit) 24 16 12 9.6 8
Perbincangan:

1. Jika bilangan pintu yang dibuka semakin bertambah, adakah masa yang diambil
oleh murid untuk keluar semakin bertambah atau berkurang?
2. Jika bilangan pintu yang dibuka semakin berkurang, adakah masa yang diambil
oleh murid untuk keluar semakin bertambah atau berkurang?
3. Apakah hubungan antara bilangan pintu yang dibuka dengan masa yang diambil
oleh murid untuk keluar dari dewan?


Hasil daripada Mobilisasi Minda 5, didapati bahawa apabila bilangan pintu yang dibuka
semakin bertambah, masa yang diambil oleh murid untuk keluar dari dewan semakin
berkurang. Begitu juga, apabila bilangan pintu yang dibuka semakin berkurang, masa
yang diambil oleh murid untuk keluar semakin bertambah. Perubahan yang berlaku pada
bilangan pintu yang dibuka menghasilkan implikasi yang bertentangan dengan masa yang
diambil oleh murid untuk keluar dari dewan.



17
KPM

Hubungan ini dinamakan ubahan songsang. Secara umumnya,
1
BAB Dalam ubahan songsang, pemboleh ubah y bertambah apabila pemboleh ubah x
berkurang pada kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan ini juga ditulis sebagai y
berubah secara songsang dengan x.



Contoh 15
Chia Ming mengambil bahagian dalam satu larian maraton dengan jarak 42 km. Jadual di bawah
menunjukkan hubungan antara masa yang diambil oleh Chia Ming dengan laju puratanya.

Masa, t (jam) 4 5 6 7 8
Laju purata, v (km/j) 10.50 8.40 7.00 6.00 5.25


Nyatakan perubahan pada laju purata jika masa yang diambil
(a) bertambah dua kali ganda,
(b) berkurang 1.5 kali ganda.
Penyelesaian:

(a) (b)
t v t v
4 10.50 6 7.00
× 2 ÷ 2 ÷ 1.5 × 1.5
8 5.25 4 10.50

Apabila masa bertambah dua kali ganda, Apabila masa berkurang 1.5 kali ganda,
maka laju purata berkurang dua kali maka laju purata bertambah 1.5 kali
ganda. ganda.


Latih Kendiri 1.2a

1. Jadual di sebelah menunjukkan hubungan Bilangan pekerja Bilangan hari
antara bilangan pekerja dengan bilangan hari
yang diperlukan untuk memasang jubin di 2 12
sebuah rumah. Nyatakan perubahan pada 4 6
bilangan hari jika bilangan pekerja 6 4
(a) didarabkan dengan dua,
(b) berkurang separuh. 8 3


2. Cikgu Farid mempunyai sejumlah wang untuk membeli hadiah untuk pemenang kuiz
Matematik. Jika harga sebuah hadiah ialah RM10, maka Cikgu Farid boleh membeli
10 buah hadiah. Nyatakan hubungan bilangan hadiah yang boleh dibeli jika harga sebuah
hadiah
(a) bertambah dua kali ganda,
(b) berkurang 50%.



18
KPM

BAB 1 Ubahan

Apakah hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu 1
ubahan songsang? BAB
Menentukan hubungan
MobiLisasi Minda 6 Berkumpulan antara dua pemboleh
ubah bagi suatu ubahan
Tujuan: Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi songsang.
suatu ubahan songsang.
Langkah:
Sekeping kadbod mempunyai luas 1.44 m . Kadbod itu akan digunting kepada y keping
2
kad segi empat sama yang kecil dengan luas setiap kad kecil itu ialah x m .
2
1. Buka lembaran aktiviti dengan mengimbas kod QR.








Imbas kod QR atau
layari bit.do/LKBab1
2. Masukkan nilai luas kad kecil, x = 0.04 dalam cell untuk mendapatkan
berwarna dan tekan ‘Enter’. Ulangi langkah yang sama lembaran aktiviti.
untuk nilai x bersamaan 0.09, 0.16 dan 0.36. Perhatikan
1
nilai-nilai y, xy dan x bagi setiap nilai x.
1
3. Lukis graf y melawan x dan graf y melawan x mengikut skala yang sesuai
berdasarkan nilai yang diperoleh.

Perbincangan:
1. Bandingkan nilai xy. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat tentang nilai xy?
2. Apakah bentuk kedua-dua graf yang diperoleh?
3. Apakah hubungan antara y dengan x?





Hasil daripada Mobilisasi Minda 6, didapati bahawa bagi suatu ubahan songsang,
(a) nilai xy ialah pemalar. Oleh itu, k = xy,
(b) graf y melawan x ialah hiperbola dan graf y y
1
y melawan x ialah satu garis lurus yang
bermula daripada asalan, 1
x
O x O
(c) y berubah secara songsang dengan x.

Apabila pemboleh ubah y berubah secara songsang dengan pemboleh ubah x, nilai xy ialah
satu pemalar yang diwakili dengan k.


19
KPM

1 Perkaitan antara nilai k Perkaitan antara nilai k
BAB dengan konsep perkadaran: dengan kecerunan garis lurus
y y y y y yang bermula daripada asalan Hubungan ubahan
1 2 3 4 1 songsang yang ditulis
x x 1 x 2 x 3 x 4 bagi graf y melawan x : sebagai ‘y berubah secara
Kecerunan, y songsang dengan x’ juga
k = x y = x y = x y = x y m = y 1 1 y 1 boleh ditulis sebagai
‘x dan y berkadaran
1 1
3 3
2 2
4 4
x 1 songsang’.
= x y O 1 1 x
1 1
= k x 1
Perkaitan ini hanya benar jika
garis lurus bermula daripada
asalan.
Maka, kita boleh menghubungkan dua pemboleh ubah x dan y dalam bentuk persamaan, iaitu
xy = k
k
y = x .


Bagi suatu ubahan songsang, y berubah secara a
songsang dengan x boleh ditulis sebagai y = x , x ≠ 0 ialah fungsi
1 y salingan dengan graf
y ∝ x (hubungan ubahan) berbentuk hiperbola.
k y
y = x (bentuk persamaan) O x
dengan keadaan k ialah pemalar. y
(a) Graf y melawan x ialah hiperbola. O x
1
(b) Graf y melawan x ialah graf garis lurus O 1
x
yang bermula daripada asalan (x ≠ 0).


MobiLisasi Minda 7 Berkumpulan
Tujuan: Menentukan hubungan antara pemboleh ubah y dengan x bagi suatu ubahan
2
songsang.
Langkah:
1. Diberi isi padu sebuah kuboid dengan tapak segi empat sama ialah 180 cm . Jadual
3
di bawah menunjukkan hubungan antara panjang sisi tapak dengan tinggi kuboid.
Lengkapkan jadual di bawah.

Panjang sisi tapak, x (cm) 2 3 4 5 6
Tinggi, y (cm) y cm
xy
x y
2
1 x cm
x 2 x cm



20
KPM

BAB 1 Ubahan

1 1
2. Lukis graf y melawan x dan graf y melawan mengikut skala yang sesuai berdasarkan
x 2
jadual. BAB

Perbincangan:
1. Bandingkan nilai-nilai xy dan x y. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat?
2
2. Graf yang manakah ialah graf garis lurus yang bermula daripada asalan?
3. Apakah hubungan antara y dengan x ?
2



Hasil daripada Mobilisasi Minda 7, didapati bahawa bagi suatu ubahan songsang,
(a) nilai x y ialah pemalar. Oleh itu, k = x y, y
2
2
1
(b) graf y melawan ialah satu garis lurus yang bermula daripada asalan,
x 2
(c) y berubah secara songsang dengan x . O 1 x 2
2


Secara umumnya,

Bagi suatu ubahan songsang, y berubah secara songsang
dengan x boleh ditulis sebagai 1
n
Apabila y = x 2 , y tidak
1 dengan keadaan berubah secara langsung
y ∝ x n (hubungan ubahan) n = 1, 2, 3, 1 , 1 dan dengan x. Bincangkan.
k 2 3
y = (bentuk persamaan)
x n k ialah pemalar.
1
Graf y melawan ialah satu garis lurus yang bermula
x n y ∝ 1 adalah benar jika
daripada asalan (x ≠ 0) dengan k ialah kecerunan garis lurus. x
dan hanya jika n = 1.



Contoh 16

Diberi masa, t, yang diperlukan untuk menyiapkan kerja pemasangan perabot berubah secara
songsang dengan bilangan pekerja, x. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara x
dengan t.

Bilangan pekerja, x 2 3 4 5 6

Masa diperlukan, t (minit) 180 120 90 72 60



Dengan mengira nilai xt dan x t, tentukan sama ada t berubah secara songsang dengan x atau
2
x . Kemudian, tuliskan hubungan tersebut dengan menggunakan simbol ∝.
2
21
KPM

Penyelesaian:
1
BAB x 2 3 4 5 6
t 180 120 90 72 60

xt 2(180) = 360 3(120) = 360 4(90) = 360 5(72) = 360 6(60) = 360
x t 2 (180) = 720 3 (120) = 1080 4 (90) = 1440 5 (72) = 1800 6 (60) = 2160
2
2
2
2
2
2
Nilai xt ialah pemalar, manakala nilai x t bukan pemalar. Maka, t berubah secara songsang
2
1
dengan x, iaitu t ∝ .
x
Contoh 17 x
Dua kuantiti, x dan y, berubah mengikut jadual di 2 4 5 10
sebelah. Menggunakan skala yang sesuai, lukis graf y 8 4 3.2 1.6
1
y melawan dan tunjukkan bahawa y berubah secara y
x
songsang dengan x. 10
8
Penyelesaian:
6
1 0.5 0.25 0.2 0.1 4
x 2
y 8 4 3.2 1.6 1
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x
1
Graf y melawan x menunjukkan satu garis lurus yang
bermula daripada asalan. Maka, y berubah secara songsang
dengan x.
(i) y berubah secara
songsang dengan x,
Contoh 18 y ∝ 1
x
Diberi x = 0.25 apabila y = 3. Ungkapkan y dalam sebutan x jika (ii) y berubah secara
(a) y berubah secara songsang dengan x, songsang dengan
(b) y berubah secara songsang dengan punca kuasa dua x. kuasa dua x,
y ∝ 1 2
x
Penyelesaian: (iii) y berubah secara
1 1
(a) y ∝ (b) y ∝ songsang dengan
x x kuasa tiga x,

Tuliskan hubungan y ∝ 1
k k x 3
y = dalam bentuk persamaan. y =

x x (iv) y berubah secara
songsang dengan
k Gantikan nilai y k
3 = dan nilai x ke 3 = punca kuasa dua x,
0.25 0.25 1

dalam persamaan y ∝ 
k = 3(0.25) untuk mendapatkan k = 3(0.25 ) x

= 0.75 nilai k. = 1.5 (v) y berubah secara
songsang dengan
0.75 punca kuasa tiga x,
Maka, y = 1.5
x Maka, y = y ∝ 1

x 3 
x
22
KPM

BAB 1 Ubahan

Contoh 19 1
Tarikan graviti, F, berubah secara songsang dengan kuasa dua BAB
jarak di antara dua buah objek, d. Diberi tarikan graviti di
antara dua buah objek ialah 15 N apabila jarak di antaranya Sir Isaac Newton
ialah 1.2 cm. Tuliskan satu ungkapan F dalam sebutan d. (1642-1727), seorang ahli
fizik Inggeris yang terkenal
Penyelesaian: telah menerbitkan Hukum
1 Graviti Newton dalam
F ∝ bukunya Philosophiae
d 2 Naturalis Principia
k Tuliskan hubungan antara F dengan Mathematica pada
F = d dalam bentuk persamaan.
d 2 tahun 1687.
15 = k Gantikan nilai F dan nilai d ke dalam
(1.2) 2
persamaan untuk mendapatkan nilai k.
k = 15(1.2)
2
= 21.6
Maka, F = 21.6
d 2



Contoh 20
Diberi p berubah secara songsang dengan q. Jika p = 2
apabila q = 7, hitung nilai p apabila q = 1.6 . Langkah Alternatif:
Menggunakan konsep perkadaran:
Penyelesaian:
Diberi p = 2, q = 7, q = 1.6
1
2
1
1 14
p ∝ q Maka, p = q p q = p q
1 1
2 2
k 2 × 7 = p × 1.6

2
p = q Apabila q = 1.6, 2 × 7
k p = 14 p = 1.6
2
2 = 1.6
7 = 8.75 = 8.75
k = 2(7)
= 14

Latih Kendiri 1.2b
1. Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y.

(a) Tentukan sama ada y berubah secara (b) Tentukan sama ada y berubah secara
songsang dengan x. Jika ya, tuliskan songsang dengan x . Jika ya, tuliskan
2
hubungan dalam bentuk ubahan. hubungan dalam bentuk ubahan.
1 1
x 1 1 2 2 3 x 1 2 3 4 5
2 2
y 6 4 3 2 1 y 3.6 0.9 0.4 0.225 0.144




23
KPM

2. Jadual di bawah menunjukkan nilai arus, I (Ampere, A) yang mengalir melalui litar, dengan
1
nilai rintangannya, R (Ohm, Ω).
BAB Rintangan, R (W) 42 35 30 21 15

Arus, I (A) 5 6 7 10 14

1
Dengan melukis graf I melawan menggunakan skala yang sesuai, tentukan sama ada
R
I berubah secara songsang dengan R.

3. Diberi bahawa g = 0.15 apabila h = 8. Ungkapkan g dalam sebutan h jika
(a) g berubah secara songsang dengan h,
(b) g berubah secara songsang dengan h ,
2
(c) g berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga h.

4. Diberi y = 0.5 apabila x = 16, hitung nilai y apabila x = 0.04 jika
1 1
(a) y ∝ x (b) y ∝ x 3

1 1
(c) y ∝ (d) y ∝
1
x
— 3 
x 2
5. Hitung nilai s dan nilai t bagi setiap hubungan berikut.
(a) y berubah secara songsang dengan x. (b) y berubah secara songsang dengan
punca kuasa dua x.
x 3 s 5
x 9 s 0.04
y 2 1.5 t 4
y 8 2.4 t




6. Sebuah syarikat mencetak sejumlah buku setiap hari. Jadual di bawah menunjukkan
bilangan buah mesin, M yang beroperasi dan masa yang diperlukan, T untuk mencetak
buku-buku tersebut. Diberi T berubah secara songsang dengan M.

M 6 8 q

T 10 p 4

(a) Ungkapkan T dalam sebutan M.
(b) Tentukan nilai p dan nilai q.


7. Tempoh ayunan, T, bagi suatu bandul ringkas berubah secara songsang dengan punca
kuasa dua pecutan graviti, g. Dalam satu ekpserimen, tempoh ayunan ialah 1.01 saat
apabila pecutan graviti sebanyak 9.85 m s . Ungkapkan T dalam sebutan g.
–2



24
KPM

BAB 1 Ubahan

Bagaimanakah menyelesaikan masalah yang melibatkan 1
ubahan songsang? BAB
Menyelesaikan masalah
Contoh 21 yang melibatkan ubahan

Berdasarkan Hukum Boyle, tekanan gas, p, bagi satu jisim gas songsang.
berkadar songsang dengan isi padu gas, V, jika suhu
gas itu adalah tetap. Rajah di sebelah menunjukkan gas
terperangkap di dalam sebuah silinder. Apabila isi padu p kPa
di dalam silinder itu ialah 80 cm , maka tekanan gas
3
menjadi 190.25 kPa. Hitung isi padu gas dalam cm , V cm 3
3
apabila tekanan gas di dalam silinder itu ialah 121.76 kPa.
Penyelesaian:

Memahami masalah Merancang strategi
• p berkadaran songsang dengan V Tentukan hubungan antara p dengan V dalam
• Apabila V = 80 cm , bentuk persamaan. Kemudian, hitung nilai V
3
p = 190.25 kPa apabila p = 121.76 kPa.


Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi
Apabila p ∝ 1 Maka, p = 15 220
p = 121.76 kPa, V V
k
V = 125 cm 3 p = V Apabila p = 121.76,
Apabila V = 80, p = 190.25, 121.76 = 15 220
k V
190.25 =
80 V = 15 220
k = 190.25 × 80 121.76
= 15 220 = 125 cm 3



Latih Kendiri 1.2c
1. Jadual di sebelah menunjukkan rintangan Rintangan, R (Ω) 1 4 9 16
bagi seutas dawai yang berubah dengan Jejari keratan
keratan rentas jejari. rentas, j (mm) 1.2 0.6 0.4 0.3
(a) Tentukan sama ada rintangan, R, bagi
dawai ini berubah secara songsang dengan j .
2
(b) Hitung jejari dawai dalam mm, jika rintangannya ialah 25 Ω.
2. Bilangan kubus, b, yang dihasilkan daripada sejumlah kuantiti logam yang tetap berubah
secara songsang dengan kuasa tiga sisinya, p cm. Jika b = 16 apabila p = 1.5, hitung
nilai p apabila b = 250.
3. Bilangan ayunan, A bagi satu bandul ringkas berubah secara songsang dengan punca
kuasa dua panjang bandul, p cm dalam suatu tempoh yang tetap. Diberi bahawa bilangan
ayunan ialah 9 apabila panjang bandul ialah 36 cm, hitung panjang bandul ringkas jika
bilangan ayunan ialah 15.

25
KPM

1
BAB 1.3 Ubahan Bergabung


Apakah hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah
bagi suatu ubahan bergabung?
Menentukan hubungan
antara tiga atau lebih
pemboleh ubah bagi
suatu ubahan bergabung.
Cikgu, apakah
maksud ubahan
bergabung? Ubahan bergabung
melibatkan gabungan
ubahan langsung atau
ubahan tercantum, dan
ubahan songsang.


MobiLisasi Minda 8 Berkumpulan
Tujuan: Menentukan hubungan antara tiga pemboleh ubah bagi suatu ubahan bergabung
yang melibatkan ubahan langsung dan ubahan songsang.
Langkah:
1. Anda telah mengetahui bahawa rumus bagi isi padu sebuah y cm
silinder ialah hasil darab luas tapak dan tingginya. Jika x, y
dan z masing-masing mewakili isi padu, tinggi dan luas tapak z cm 2
silinder, lengkapkan jadual di bawah.
(A) Jika z adalah tetap (C) Jika x, y dan z ialah pemboleh ubah
Isi padu, x (cm ) 100 200 300 400 Isi padu, x (cm ) 80 180 320 500
3
3
Tinggi, y (cm) Tinggi, y (cm)
Luas tapak, z (cm ) 50 50 50 50 Luas tapak, z 20 30 40 50
2
x (cm )
2
y yz
(B) Jika x adalah tetap x

Isi padu, x (cm ) 120 120 120 120
3
Tinggi, y (cm)
Luas tapak, z (cm ) 40 60 80 100
2
yz
Perbincangan:
1. Apakah nilai x ? Seterusnya, nyatakan hubungan antara y dengan x jika z ialah pemalar.
y
2. Apakah nilai yz? Seterusnya, nyatakan hubungan antara y dengan z jika x ialah pemalar.
yz
3. Apakah nilai x ? Seterusnya, nyatakan hubungan antara y, x dan z jika ketiga-tiganya
ialah pemboleh ubah.


26
KPM

BAB 1 Ubahan


Hasil daripada Mobilisasi Minda 8, didapati bahawa, y berubah secara langsung dengan x, 1
dan y berubah secara songsang dengan z. Maka, y adalah berubah secara langsung dengan BAB
x
x dan secara songsang dengan z, iaitu y ∝ .
z

Secara umumnya,

Bagi suatu ubahan bergabung, y berubah secara langsung dengan x dan secara
m
songsang dengan z , boleh ditulis sebagai
n
x m
y ∝ (hubungan ubahan) dengan keadaan
z n 1 1 1 1
m = 1, 2, 3, , , n = 1, 2, 3, , dan
k x m 2 3 2 3
y = (bentuk persamaan) k ialah pemalar.
z n



Contoh 22

Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan kuasa dua x
dan secara songsang dengan punca kuasa dua z. Jika y = 8 (i) y berubah secara
apabila x = 4 dan z = 36, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. langsung dengan w
dan kuasa tiga x,
Penyelesaian: dan secara songsang
x 2 dengan punca kuasa
y ∝ tiga z,

z y ∝ wx 3
3 
k x 2 z
y = Tuliskan hubungan antara y, x dan z (ii) y berubah secara

z dalam bentuk persamaan. langsung dengan

2
k (4) 2 hasil darab w dan x,
8 = Gantikan nilai-nilai y, x dan z ke dalam dan secara songsang

36 persamaan untuk mendapatkan nilai k. dengan z ,
3

2 
836 w x
k = y ∝ 3
4 2 z
= 3
3x 2
Maka, y =

z
Contoh 23
Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara P, Q dan R. Diberi P berubah secara
langsung dengan kuasa tiga Q dan secara songsang dengan R. Hitung nilai x dan nilai y.
P 4 3.6 0.081

Q 2 6 y

R 0.6 x 2.7


27
KPM

Penyelesaian:
1
Q 3 Apabila P = 3.6, Q = 6 Apabila P = 0.081, Q = y
BAB P ∝ R dan R = x, dan R = 2.7,
kQ 3
P = 3Q 3 3Q 3
R P = P =
k (2) 3 10R 10R
4 = 3(6) 3 3(y) 3
0.6 3.6 = 0.081 =
4(0.6) 3 10x 10(2.7)
k = = 3(6) 3
2 3 10 x = 10(3.6) 3 0.081(10)(2.7)
3Q 3 y = 3
Maka, P = = 18
10R = 0.9

Latih Kendiri 1.3a
1. Tuliskan setiap ubahan bergabung berikut dalam bentuk ubahan dan bentuk persamaan.
(a) w berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga v dan secara songsang dengan
kuasa dua x.

(b) F berubah secara langsung dengan G dan H , dan secara songsang dengan t .
3
(c) Pecutan bagi sebuah objek, A berubah secara langsung dengan jarak yang dilalui, j,
dan secara songsang dengan kuasa dua masa yang diambil, t, oleh objek itu.
2. Masa yang digunakan, t jam, untuk menyusun kerusi di dewan berubah secara langsung
dengan bilangan kerusi, c buah, dan secara songsang dengan bilangan pekerja yang
terlibat, p orang. Diberi bahawa 5 orang pekerja menggunakan masa 2 jam untuk
menyusun 1 000 buah kerusi. Ungkapkan t dalam sebutan c dan p.
3. Diberi M berubah secara langsung dengan kuasa dua N dan secara songsang dengan P.
Jika M = 4.8 apabila N = 6 dan P = 1.5, hitung
(a) nilai P apabila M = 0.8 dan N = 2.4,
(b) nilai N apabila M = 19 dan P = 3.8.
4. Jadual di sebelah menunjukkan perubahan tiga kuantiti, T, T 5 a 0.256
e dan f. Diberi T berubah secara songsang dengan punca
kuasa dua e dan kuasa tiga f. Hitung nilai a dan nilai b. e 1.44 36 b
f 2 0.4 5

Bagaimanakah menyelesaikan masalah yang melibatkan
ubahan bergabung?

Contoh 24 Menyelesaikan masalah
Tekanan, p N m , pada roda kereta sorong berubah secara yang melibatkan ubahan
–2
bergabung.
langsung dengan jisim kereta sorong, m kg, dan secara songsang
dengan luas permukaan sentuhan roda dengan tanah, l m . Diberi
2
bahawa tekanan roda ialah 45 000 N m apabila jisim kereta
–2
sorong ialah 90 kg dan luas permukaan sentuhan roda dengan
tanah ialah 0.02 m .
2
(a) Hitung nilai p apabila m = 120 dan l = 0.5.
(b) Apakah yang boleh dilakukan supaya tekanan pada roda
berkurangan jika jisim kereta sorong adalah tetap?

28
KPM

BAB 1 Ubahan

Penyelesaian: 1

Memahami masalah Merancang strategi BAB
(a) Tentukan hubungan antara p dengan m dan l
• p berubah secara langsung dengan dalam bentuk persamaan. Kemudian,
m dan secara songsang dengan l gantikan nilai m = 120 dan l = 0.5 ke dalam
• Apabila m = 90 dan l = 0.02, persamaan untuk menghitung nilai p.
p = 45 000 (b) Memahami perubahan bagi setiap pemboleh
ubah dalam persamaan.



Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi
(a) p = 2 400 N m –2 m Apabila m = 120, l = 0.5,
(b) Gunakan roda yang (a) p ∝ l (10)(120)
lebih lebar kerana p = km p = 0.5
tekanan pada l = 2 400 N m –2
roda berkurangan k(90) (b) Jika nilai m adalah
apabila luas 45 000 = 0.02 tetap,
permukaan (0.02)(45 000) • p berkurang, apabila
sentuhan roda k = 90 l bertambah
bertambah dengan = 10 • p bertambah, apabila
keadaan jisim 10m l berkurang
adalah tetap. Maka, p = l



Latih Kendiri 1.3b
1. Encik Kamal ingin memasang jubin berbentuk segi empat tepat di bilik tidurnya.
Bilangan jubin yang diperlukan, J, berubah secara songsang dengan panjang, p m dan
lebar, l m, jubin yang digunakan. Encik Kamal memerlukan 120 keping jubin jika jubin
berukuran panjang 0.4 m dan lebar 0.5 m digunakan.
(a) Hitung bilangan jubin yang diperlukan jika panjang ialah 0.2 m dan lebar ialah 0.3 m.
(b) Jika luas jubin bertambah, apakah perubahan yang akan berlaku pada bilangan jubin
yang diperlukan?
2. Purata bilangan panggilan telefon harian, C, di antara dua buah bandar berubah secara
langsung dengan populasi kedua-dua buah bandar, P dan P , dan secara songsang
2
1
dengan kuasa dua jarak, j, di antara dua buah bandar tersebut. Jarak di antara bandar A
dengan bandar B ialah 210 km. Purata bilangan panggilan telefon harian di antara dua
buah bandar itu ialah 15 750 dan populasi bandar A dan bandar B masing-masing ialah
105 000 penduduk dan 220 500 penduduk. Dengan memberikan jawapan kepada nombor
bulat terhampir, hitung
(a) jarak di antara bandar P dengan bandar Q jika populasi masing-masing ialah
83 400 penduduk dan 62 000 penduduk dan purata bilangan panggilan telefon
harian ialah 19 151,
(b) populasi penduduk bandar J jika populasi penduduk bandar K ialah 1 100 000
penduduk dengan jarak di antara dua bandar tersebut ialah 351 km. Purata bilangan
panggilan telefon harian di antara bandar J dengan bandar K ialah 18 857.

29
KPM

Arena Rumusan
1
BAB

UBAHAN




Ubahan Langsung Ubahan Songsang
y berubah secara langsung dengan x , y berubah secara songsang dengan x ,
n
n
1 1 1 1
bagi n = 1, 2, 3, , bagi n = 1, 2, 3, ,
2 3 2 3
• y ∝ x n • y ∝ 1 n
• y = k x dengan keadaan k ialah x
n
pemalar dan k = y • y = k dengan keadaan k ialah
x n x n
• Graf y melawan x ialah satu garis pemalar dan k = yx n
n
lurus yang melalui asalan 1
y • Graf y melawan x n ialah satu garis
lurus yang bermula daripada asalan
(x ≠ 0)
x n y
O y



Ubahan Tercantum O x n O x 1 n
Satu ubahan langsung dengan keadaan satu
pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab y berubah secara songsang
dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. dengan x n
• y berubah secara tercantum dengan x
m
1 1
dan z , bagi m = 1, 2, 3, 2 , 3 dan
n
1 1
n = 1, 2, 3, ,
2 3
• y ∝ x z
m n
• y = k x z dengan keadaan k ialah
m n
y
pemalar dan k = x z
m n

Ubahan Bergabung
Melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang.
1 1 1 1 1 1
• Bagi p = 1, 2, 3, 2 , 3 , q = 1, 2, 3, 2 , 3 dan r = 1, 2, 3, 2 , 3
p q
(i) y ∝ x p q (ii) y ∝ w x
z
z
r
k x p kw x
p q
y = y =
z q z r
dengan keadaan k ialah pemalar.
30
KPM

BAB 1 Ubahan


1
BAB

Pada akhir bab ini, saya dapat

menerangkan maksud ubahan langsung.
menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung.

menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan
tercantum.
menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung.

menerangkan maksud ubahan songsang.
menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan songsang.

menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang.
menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan
bergabung.
menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan bergabung.





PROJEK MINI
PROJEK MINI
PROJEK MINI
Bahan: Lampu suluh, kertas A4, tali ukur
Langkah:
1. Lakukan projek ini secara berkumpulan. Tampal kertas A4 dan letakkan lampu
suluh tegak menghala ke kertas seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Lakukan dalam kelas yang gelap.






d cm
j cm
Lampu suluh
Kertas A4

2. Dengan jarak lampu suluh dari kertas A4, j, yang berbeza seperti 10 cm, 20 cm,
30 cm, ... , rekod diameter imej cahaya lampu, d, yang terhasil pada kertas
tersebut. Bina satu jadual untuk merekod data anda.
3. Wakilkan data yang diperoleh menggunakan graf garis yang sesuai.
4. Tulis satu rumus yang menunjukkan hubungan antara d dengan j. Kemudian,
nyatakan satu kesimpulan tentang diameter imej cahaya lampu yang terhasil
dengan jarak lampu suluh dari kertas.
5. Bagaimanakah kajian ini boleh diaplikasikan dalam kehidupan seharian anda?



31
KPM

1
Imbas kod QR atau layari
BAB bit.do/Kuiz01 untuk kuiz interaktif

FAHAM
1. Tulis hubungan ubahan bagi setiap yang berikut.
(a) w berkadaran langsung dengan kuasa tiga x.
(b) a berubah secara langsung dengan b dan secara songsang dengan kuasa tiga c.
(c) p berubah secara langsung dengan q dan punca kuasa dua r.
(d) Jarak yang dilalui, s m oleh sebuah basikal berubah secara langsung dengan
pecutannya, a m s dan kuasa dua masa yang diambil, t s.
–2
1
2. Rajah di sebelah menunjukkan graf y melawan 3  . Tuliskan hubungan y
x
3 
antara y dengan x menggunakan simbol ∝.
1
O 3 x
3. Tuliskan hubungan ubahan berikut dalam bentuk ayat.
1 3  pq 2
q
(a) y ∝ xz (b) e ∝ (c) p ∝ (d) n ∝
f r r

4. Nyatakan sama ada setiap yang berikut mempunyai hubungan y berubah secara langsung
dengan x atau tidak.
(a) x – y = 0 (b) y + 3 = x (c) xy = 10 (d) x = 0.5
y

MASTERI
5. Hitung pemalar, k bagi setiap yang berikut.
(a) L berubah secara langsung dengan kuasa tiga m. L = 16.384 apabila m = 3.2 .
(b) h berubah secara langsung dengan a dan kuasa dua b. h = 96 apabila a = 18 dan
b = 4 .
3 
(c) P berubah secara langsung dengan q dan r, dan secara songsang dengan s .
2
P = 17.01 apabila q = 4.5, r = 9 dan s = 3 375 .
6. Diberi m berubah secara songsang dengan n dan p. Jika m = 6 apabila n = 0.4 dan
p = 5, tuliskan satu persamaan yang menghubungkan m, n dan p.

7. Diberi f ∝ g h dan f = 24 apabila g = 4 dan h = 5. Hitung nilai g apabila f = 5.88 dan
2
h = 10 .
8. Jadual di sebelah menunjukkan perubahan tiga kuantiti. Diberi y 4 m 51
y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang
dengan punca kuasa dua z. Hitung nilai m dan nilai n. x 0.3 6 1.7
z 3.24 225 n
CABAR

9. P berubah secara songsang dengan Q dan Q = 3R – 2. Diberi P = 0.02 apabila R = 4.
(a) Ungkapkan P dalam sebutan Q.
(b) Hitung nilai R apabila P = 5 .

32
KPM

BAB 1 Ubahan
10. Arus elektrik, I (Ampere) berubah secara langsung dengan kuasa, P (Watt) dan secara 1
songsang dengan voltan, V (Volt) bagi suatu peralatan elektrik. Diberi bahawa sebuah
pengering rambut dengan kuasa 550 W dan voltan 240 V menggunakan arus elektrik BAB
2.2 A. Hitung arus elektrik yang digunakan oleh sebuah kipas dengan kuasa 75 W dan
voltan 240 V.

11. Luas permukaan melengkung, L cm , sebuah kon berubah secara
2
langsung dengan jejari tapaknya, j cm, dan tinggi condong, s cm.
Diberi L = 88 cm apabila j = 3.5 cm dan s = 8 cm. s cm
2
(a) Hitung nilai L apabila j = 5 cm dan s = 9.8 cm.
(b) Apakah perubahan pada luas permukaan melengkung jika
tinggi condongnya berkurang dan jejari tapak adalah tetap? j cm

12. Diberi Y berubah secara langsung dengan X dan secara songsang dengan W. Jika Y = 0.9
apabila X = 18 dan W = 5, hitung
(a) nilai W apabila Y = 20 dan X = 6,
(b) peratusan ubahan bagi Y apabila X bertambah sebanyak 10% dan W berkurang
sebanyak 20%.

13. Kelajuan, S, sebuah basikal berubah secara langsung
dengan bilangan putaran pedal basikal per minit, P, Gear depan
dan bilangan gigi gear depan, d, dan secara songsang
dengan bilangan gigi gear belakang, b. Santhami
menunggang sebuah basikal pada kelajuan 26.4 km
per jam. Putaran pedal basikalnya ialah 75 putaran
per minit dengan bilangan gigi gear depan ialah 40
dan gear belakang ialah 20. Huraikan perubahan laju
basikal Santhami jika dia meningkatkan putaran pedal Gear belakang Pedal
basikalnya kepada 90 putaran per minit.




Terokai
Terokai Matematik
Terokai
Matematik
Matematik
Terokai Matematik
Konsep ubahan banyak digunakan dalam bidang sains. Antaranya adalah seperti berikut:
Hukum Kegravitian
Hukum Ohm Hukum Pembiasan Hukum Boyle Semesta Newton
sin i
V = IR sin r = pemalar PV = pemalar F = G m m 2
1
d 2


Secara berkumpulan, cari maklumat di Internet berkaitan kuantiti yang diwakili
pemboleh ubah bagi rumus di atas dan bagaimana hukum-hukum tersebut
menggunakan konsep ubahan. Tuliskan penggunaan rumus tersebut secara ringkas.
Kemudian, lakukan kajian dengan lebih lanjut tentang aplikasi konsep ubahan dalam
bidang kewangan, alam sekitar, dan sains sosial secara ringkas. Bentangkan hasil
dapatan kumpulan anda untuk berkongsi maklumat antara kumpulan lain.



33
KPM

BAB
2 Matriks









Apakah yang akan anda pelajari?
• Matriks
• Operasi Asas Matriks

Maslahat Bab Ini
Matriks digunakan dalam bidang matematik untuk mewakili dan menyelesaikan masalah
dalam algebra, statistik dan geometri. Dalam kehidupan harian, seorang pengurus belian
boleh mencatat jumlah inventori dalam perniagaan.

Tahukah Anda?

Arthur Cayley (1821-1895) seorang ahli matematik Inggeris yang
membangunkan teori matriks dari aspek algebra dalam karyanya
A Memoir on the Theory of Matrices. Cayley mencipta matriks
semasa membuat kajian tentang teori transformasi. Dua orang ahli
matematik Amerika Syarikat, Benjamin Peirce (1809-1880) dan
Charles S. Peirce (1839-1914) turut bersama-sama Cayley dalam
pembangunan matriks algebra.

Untuk maklumat lanjut:



bit.do/TahukahAndaBab2









GERBANG ISTILAH
matriks matrix
matriks baris row matrix
matriks identiti identity matrix
matriks lajur column matrix
matriks segi empat sama square matrix
matriks segi empat tepat rectangular matrix
matriks sifar zero matrix
matriks songsang inverse matrix
pendaraban skalar scalar multiplication
penentu determinant
peringkat order
unsur element
34
34
KPM
KPM

Matriks




2
BAB













































Mengikut Laporan Digital 2018, jumlah pengguna Internet mencatatkan 25.08
juta orang iaitu 79% penduduk di Malaysia. Masyarakat kini lebih cenderung
menjalani urusan seharian seperti membeli-belah, membuat bayaran perkhidmatan
dan sebagainya melalui Internet. Pelbagai data telah dihasilkan dalam proses ini
dan menyokong pertumbuhan Data Raya (Big Data).
Data Raya merujuk kepada data yang bersaiz sangat besar, kompleks dan
sukar diproses dengan pengurusan pangkalan data biasa. Koleksi data ini dapat
membantu pihak pengurusan pelbagai bidang untuk membuat keputusan yang lebih
bijak. Dalam bidang perniagaan, data raya dianalisis untuk mengurangkan kos dan
masa, membangunkan produk baharu serta menyusun langkah-langkah perniagaan
yang strategik. Proses menganalisis data ini banyak melibatkan matriks.

35
35
KPM
KPM

2.1 Matriks



Bagaimanakah mewakilkan maklumat situasi sebenar
dalam bentuk matriks?
Kedai Elektrik Sinar Jaya mencatatkan jualan tiga jenis kipas
2 Mewakilkan maklumat
BAB angin dengan menggunakan hamparan elektronik. Rajah di bawah situasi sebenar dalam
bentuk matriks.
menunjukkan jualan kipas angin di kedai dan dalam talian bagi
bulan Mac hingga Mei. Bagaimanakah data ini boleh disusun?


















Data bulan Mac yang diwakilkan dalam bentuk jadual boleh juga diwakilkan dalam bentuk
matriks seperti yang ditunjukkan di bawah.

Kipas Angin 16 18 11
Berdiri Siling Dinding baris 3 5 10 4 4

Di kedai 16 18 11
lajur
Dalam talian 5 10 4
Bentuk jadual Bentuk matriks


Matriks ialah nombor-nombor yang disusun dalam baris
dan lajur untuk membentuk satu tatasusun segi empat tepat
atau segi empat sama.



Matriks lazimnya diwakili dengan
huruf besar dan ditulis dalam
tanda kurung [ ] atau ( ).
Salina
James Joseph Sylvester
(1814-1897) merupakan
ahli matematik yang
pertama kali menggunakan
istilah matriks pada
tahun 1850.



36
KPM

BAB 2 Matriks

Contoh 1
Wakilkan maklumat berikut dalam bentuk matriks.
(a) Jadual di bawah menunjukkan keperluan kalori harian bagi perempuan mengikut kategori.
Kanak-kanak Remaja Dewasa Warga Emas

Keperluan kalori
harian (kcal) 1 700 2 100 2 000 1 800 2
BAB
(b) Jadual di bawah menunjukkan pungutan pingat oleh kontinjen
Malaysia untuk tiga acara dalam Temasya Sukan SEA ke-29. Buletin Ilmiah
Bu
letin
Il
mia
h
Emas Perak Gangsa Kalori ialah ukuran nilai
tenaga dalam makanan.
Acara Terjun 13 5 1 Kandungan kalori suatu
Pencak Silat 10 2 4 makanan bergantung
pada kandungan
Olahraga 8 8 9 karbohidrat, protein dan
lemak di dalamnya.
(c) Dalam Ujian 1, Samad telah mendapat 76 markah untuk Misalnya, 1 g protein
Bahasa Melayu, 82 markah untuk Matematik dan 72 bersamaan 4 kcal.
markah untuk Sejarah. Hamid pula telah mendapat 80
markah untuk Bahasa Melayu, 88 markah untuk Matematik
dan 70 markah untuk Sejarah.

Penyelesaian:
1700
(a) baris 1 [1700 2100 2000 1800] atau 2100
2000 Dalam Temasya Sukan
Ini matriks baris. Matriks baris 1800 SEA ke-29 yang
mempunyai hanya satu baris. diadakan di Kuala
lajur 1 Lumpur pada tahun
2017, kontinjen Malaysia
Ini matriks lajur. Matriks lajur mempunyai hanya satu lajur. berjaya menjadi juara
keseluruhan dengan
pencapaian 145 pingat
4
3
baris 1 13 5 1 13 10 8 emas.
(b) baris 2 3 10 2 4 atau 5 2 8 4
baris 3 8 8 9 1 4 9

lajur 1 lajur 2 lajur 3
Adakah [6] merupakan
Ini matriks segi empat sama. Matriks segi empat sama mempunyai matriks segi empat sama?
bilangan baris dan bilangan lajur yang sama. Jelaskan jawapan anda.

4
baris 1 76 80 76 82 72 Ini matriks segi empat tepat.
4
baris 1
(c) baris 2 3 82 88 atau 3 80 88 70 Matriks segi empat tepat
baris 2
baris 3 72 70 mempunyai bilangan baris dan
bilangan lajur yang berbeza.
lajur 1 lajur 2 lajur 3
lajur 1 lajur 2
37
KPM

Latih Kendiri 2.1a

1. Suatu pameran teknologi mudah alih generasi kelima (5G) telah
dikunjungi oleh 857 orang remaja, 3 180 orang dewasa dan 211
orang warga emas. Wakilkan maklumat tersebut dalam bentuk
matriks.
2
2. Jadual di sebelah menunjukkan purata Isnin Selasa Rabu
BAB bacaan Indeks Pencemaran Udara (IPU)
di Putrajaya, Jerantut dan Sandakan Putrajaya 53 52 50
selama tiga hari. Wakilkan maklumat Jerantut 20 21 20
tersebut dalam bentuk matriks. Sandakan 47 48 46


3. Jadual di bawah menunjukkan purata bilangan buku yang dibaca oleh murid dalam
Program Nilam di SMK Setia bagi tahun 2019.
Tingkatan 3 Tingkatan 4 Tingkatan 5

Bahasa Melayu 20 18 15
Bahasa Inggeris 12 10 11

Wakilkan maklumat di atas dalam bentuk matriks.



Bagaimanakah menentukan peringkat matriks dan
seterusnya mengenal pasti unsur tertentu dalam matriks?

Menentukan peringkat
Peringkat matriks boleh ditentukan dengan menulis bilangan matriks dan seterusnya
baris dan bilangan lajur matriks itu. Misalnya, mengenal pasti unsur
tertentu dalam suatu
baris 1 3 16 18 11 4 Matriks ini mempunyai 2 matriks.
baris 2 5 10 4 baris dan 3 lajur. Jadi, ini
2 × 3
ialah matriks peringkat 2 × 3
lajur 1 lajur 2 lajur 3 dan dibaca sebagai “matriks
2 dengan 3”.


Matriks dengan m baris dan n lajur mempunyai peringkat m × n dan dibaca sebagai
“matriks m dengan n”.


Setiap nombor dalam matriks dikenali sebagai unsur matriks itu. Misalnya, unsur pada

baris ke-2 dan lajur ke-3 bagi matriks 3 16 18 11 4 ialah 4.
4
5 10
Huruf besar digunakan untuk mewakili suatu matriks, misalnya A = 3 16 18 11 4 , dan
4
5 10
unsur pada baris ke-2 dan lajur ke-3 boleh diwakili dengan a , misalnya a = 4.
23 23

38
KPM

BAB 2 Matriks
Secara umumnya, unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j dalam
mia
h
Il
letin
Bu
matriks A boleh diwakili oleh Buletin Ilmiah
a a dibaca sebagai “a dua
21
ij satu”
baris ke-i lajur ke-j
a 11 a 12 … a 1n Buletin Ilmiah
Bu
letin
Il
mia
h
a a … a 2
maka, A = 21 22 2n Matriks baris mempunyai
  …  peringkat 1 × n manakala BAB
a a … a matriks lajur mempunyai
m1 m2 mn
peringkat m × 1.
Contoh 2 1 5 –2 0
4
8
2
3
7
. Tentukan
Diberi tiga matriks, P = [3 –7 9], Q = 3 4 dan R = – 4 11 6
1
5
(a) peringkat setiap matriks itu, 9 3 –1 5
(b) unsur

(i) baris pertama dan lajur ke-3 matriks P, p ,
13
(ii) baris ke-2 dan lajur pertama matriks Q, q ,
21
(iii) baris ke-3 dan lajur ke-4 matriks R, r .
34
Penyelesaian: baris 1 → [ 3 –7 9 ]
↑ ↑ ↑
(a) Peringkat matriks P ialah 1 × 3. lajur 1 lajur 2 lajur 3
Peringkat matriks Q ialah 2 × 1. Matriks ini mempunyai 1 baris dan 3 lajur.
Peringkat matriks R ialah 4 × 4.
(b) (i) p bagi matriks P ialah 9.
13
(ii) q bagi matriks Q ialah 5.
21
(iii) r bagi matriks R ialah 1.
34
Contoh 3
–2
5
3 4
Diberi matriks D = 0 4 , tentukan
1 9
(a) peringkat matriks, (b) unsur d , d dan d . Cuthbert Edmund Cullis
11 21 32
(1875-1954) ialah seorang
Penyelesaian: ahli matematik Inggeris
(a) 3 × 2 yang memperkenalkan
kurungan untuk matriks
(b) d = –2 d ialah unsur pada baris pertama dan lajur pertama. pada tahun 1913. Cullis
11 11
menggunakan tatatanda
d = 0 d ialah unsur pada baris ke-2 dan lajur pertama. A = [a ] untuk mewakili
21 21 ij
unsur pada baris
d = 9 d ialah unsur pada baris ke-3 dan lajur ke-2.
32 32 ke-i dan lajur ke-j
dalam matriks.

39
KPM

Latih Kendiri 2.1b

1. Tentukan peringkat bagi matriks-matriks berikut.

6
0
2
(a) [15 –8] (b) 3 4 (c) 3 4 –1 7 4 (d) 3 12 9 1 4
8
9 5 11 3 5 10 7
2
2. Untuk setiap matriks berikut, tentukan
BAB (i) peringkat matriks,
(ii) unsur pada baris ke-2 dan lajur ke-2,
(iii) unsur pada baris ke-3 dan lajur pertama.
3 1 5 4 3 2 –3 5 4
(a) – 6 12 (b) –1 16 0
0
9
9
1
8
2
3. Diberi matriks F = 3 –8 14 –5 4 , tentukan peringkat matriks F. Kemudian, kenal pasti
3
7
unsur f , f dan f .

13 22 11
1
4. Diberi matriks B = 3 20 –16 4 , hitung nilai b + b .
4
12
21
Bagaimanakah menentukan sama ada dua matriks
adalah sama? Menentukan sama ada
dua matriks adalah sama.
Perhatikan dua matriks di bawah.

Apakah syarat supaya
matriks M sama
dengan matriks N?














Didapati matriks M dan matriks N mempunyai peringkat yang sama iaitu 2 × 2 dan jika
setiap unsur sepadannya adalah sama, iaitu a = 1, b = 2, c = 3 dan d = 4, maka matriks M
dan matriks N adalah sama dan boleh ditulis sebagai M = N.

M = N jika dan hanya jika kedua-dua matriks mempunyai peringkat yang sama dan
setiap unsur sepadannya sama.


40
KPM