งานคู่ เรื่องเวกเตอร์

E-BOOK

เรื่อง เวกเตอร์

จัดทำ
โดย

นางสาวณฤดี พิร
า เลขที่14
นางสาวพิราวรรณ ชาติเวช เลขที่22

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่5/1

นำสนอ
อาจารย์นงลักษณ์ อ่ำสุพรรณ

คำนำ

งานE-BOOKนี้เกี่ยวกับเรื่อง เวกเตอร์ ในเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
ชั้นมมัธยมศึกษาปีที่5

ภายใน E-BOOK นี้ประกอบเนื้อหาดังนี้ เวกเตอร์เเละสมบัติของเวกเตอร์ ระบบ
พิกัดฉาก เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก ผลคูณเชิงสเกลาร์ เเละผลคูณเชิงเวกเตอร์

ขอขอบคุณอาจารย์นงลักษณ์ อ่ำสุพรรณ ที่กรุณาให้คำปรึกษาในการทำ
E-BOOKครั้งนี้จนทำให้สำเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี เเละถ้าผู้จัดทำต้องขออภัยไว้ ที่นี้
หากงานนี้มีความผิดข้องประการใด

สารบัญ

เรื่อง หน้าที่

เวกเตอร์เเละระบบพิกัดฉาก 1-3
ระบบพิกัดฉากสามมิติ 4-5
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
ผลคูณเชิงสเกลาร์ 6-8
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 9-10
11-12

1

เวกเตอร์เเละสมบัติของเวกเตอร์

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์มีสองประเภท ประเภทหนึ่งใช้บอกเเต่ขนาด เช่น
มวล ความสูงอุณหภูมิ ซึ่งเเสดงขนาดจำนวนด้วยจำนวนเพื่อบอกให้ทราบว่ามากหรือ
น้ อยเพียงใด เช่น กล่องใบหนึ่งมีมวล 20 กรัม ส่วนปริมาณอีกประเภทหนึ่งบอกทั้ง
ขนาดเเละทิศทาง เช่น การกระจัดของการเคลื่อนที่ ความเร็ว ความเร่ง ซึ่งปริมาณ
เหล่านี้จำเป็ นต้องบอกขนาดเเละทิศทาง

ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity)

คือ ปริมาณที่มีเเต่ขนาดเพียงอย่างเดียว

ปริมาณเวกเตอร์(vector quantity)

คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดเเละทิศทาง

ปริมาณสเกลาร์หรือเรียกสั้นๆว่า สเกลาร์ เเสดงด้วยจำนวนจริง ส่วนปริมาณ
เวกเตอร์หรือเรียกสั้นๆว่า เวกเตอร์ เเสดงในเชิงเรขาคณิตได้ด้วยส่วนของ
เส้นตรงที่ระบุทิศทาง(directed line segment or directed segment) โดย
ความยาวของส่วนของเส้นตรงบอกขนาดของเวกเตอร์เเละหัวลูกศรบอก
ทิศทางของเวกเตอร์

2




เรียกAว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์(initial point)
เเละเรียกจุดBว่า จุดสิ้นสุด(terminal point)

ในกรณีที่ต้องการการกล่าวถึงเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ไม่
ต้องการระบุจุดเริ่มต้นเเละจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะใช้

อักษรเดียว เช่น u

เวกเตอร์2เวกเตอร์จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกันหรือทิศทางตรงข้ามกัน
เวกเตอร์2สองเวกเตอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัันเเละทิศทาง
เดียวกัน
นิเสธของเวกเตอร์คืือ เวกเตอร์ที่มีขนาดดันเเต่มีทิศทางตรงกัน
ข้ามกัน

3

การบวกเวกเตอร์




การลบเวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ในการศึกษาเรื่องเวกเตอร์จะใช้อักษร a,b,c,...เเทนสเกลาร์(จำนวนจริง)

4

ระบบพิกัดฉากสามมิติ

ในระบบพิกัดฉากสามมิติจะกำหนดโดยให้เส้นตรง XX',YY' เเละ ZZ' เป็นเส้น
ตรงสามเส้นที่ตั้งฉากซึ่งกันเเละกันที่จุด O ซึ่งเรียกว่า จุดกำเนิด โดยการกำเนิด
ทิศทางของเส้นตรงทั้งสองทั้งสามนั้นจะใช้ระบบมือขวา โดยใช้นิ้วโป้ งเเทนทิศ
ทางทางของบวกของเเกน X นิ้วชี้เเทนทิศทางทางบวกของเเกนY เเละนิ้วกลาง
เเทนทิศทางทางบวกของเเกน Z

ระนาบ XY ระนาบ YZ เเละระนาบ XZ ทั้งสามดังกล่าวจะเเบ่งระบบพิกัดฉากสามมิติออกเป็น 8
บริเวณ คือ เหนือระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ เเละใต้ระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ เรียก
เเต่ละบริเวณว่า อัฐภาค(octant)

เมื่อกำหนดจุด P เป็นจุดใดๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะสามาถระบุพิกัด(coordinate) ของจุดP โดย
ใช้จำนวนจริงสามจำนวนเรียงกันตามลำดับหรือเรียกว่า สามสิ่งอันดับ(ordered triple)

5

ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

ถ้าลากเส้นผ่านจุดP(x,y,z)ให้ขนานกับเเกนZไปตัดระนาบบ XY ได้จุดตัดQ(x,y,0)
เรียกจุดนี้ว่าเป็น ภาพฉาย(projection)ของจุด P ในระนาบ XY ในทำนองเดียวกัน
จะเรียกจุด R(0,y,z) ว่าเป็นภาพฉายของจุด P ในระนาบ YZ เเละเรียกจุดR(0,y,x)
ว่าเป็นภาพกายของจุดPในระนาบYZเเละเรียกจุดS(x,0,z) ว่าเป็นภาพของจุดPใน
ระนาบXZ

6

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ

AB เป็นผลบวกของ u เเละ v โดยที่ u มี
ขนาด3หน่วย เเละมีทิศทางไปตามเเนวเเเกน X ทาง
บวก เเละ v มีขนาด 2 หน่วยเเละมีทิศทางไปตามเเกน
Y ทางบวก

ส่วน OC เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด O (0,0) หรือจุดกำเนิดเเละ OC เป็น
ผลบวกของเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 หน่วย เเละมีทิศทางเป็นไปตามเเกน X ทางลบ
กับเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 หน่วยเเละมีทิศทางเป็นไปตามเเนว Y ทางบวก

เวกเตอร์สองเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์เเรกมีขนาดIaIหน่วย ซึ่งถ้า
a>0 เเล้วเวกเตอร์นี้จะมีทิศทางไปตามเเนวเเกน X ทางบวก เเละถ้า
a<0 เเล้วเวกเตอร์นี้จะมีทิศทางไปตามเเนวเเกนY ทางลบ เเละเวก
เตอร์ที่สองมีขนาด IbI หน่วย ซึ่งถ้า b>0 เเล้วเวกเตอร์จะมีทิศทาง
ไปตามเเนวเเกน Y ทางบวก เเละถ้า b<0 เเล้วเวกเตอร์นี้จะมี
ทิศทางไปตามเเกน Y ทางลบ

7

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

ในเชิงเรขาคณิตที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิดเเละจุดสิ้นสุดที่ (a,b) หรือมีจุดเริ่มต้นที่
(x,y) เเละจุดสิ้นสุดที่(x+,a,y+b) ต่อไปจะขยายเเนวคิดจากเวกเตอร์ในระบบพิกัด
ฉากสองมิติไปสู่เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ โดยใช้ระบบพิกัดฉากสามมิติที่ได้
ศึกษามาเเล้ว ดังนี้

ให้a,b เเละ c เป็นจำนวนจริง เวกเตอร์ ในระบบพิกัดฉากสามมิติที่มีจุดเริ่มต้นที่

กำเนิดเเละจุดสิ้นสุดที่ P(a,b,c)

8

ให้ a,b,c,d,e เเละ f เป็ นจำนวนจริงใดๆ

เวกเตอร์หนึ่ งหน่ วยในระบบพิกัดฉากสองมิติเเละสามมิติ

9

ผลคูณเชิงสเกลาร์

ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการคูณระหว่างเวกเตอร์สอง
เวกเตอร์ที่ได้ผลลัพธ์เป็นเป็นสเกลาร์ ดังบทนิยามต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณเชิงสเกลาร์ มีดังนี้

10

กรณีที่เป็ น u เป็ นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติสามารถพิสูจน์ได้ในทำนอง
เดียวกัน

11

ผลคูณเชิงเวกเตอร์




ในหัวข้อที่เเล้วได้กล่าวถึงผลคูณเชิงสเกลาร์ซึ่งเป็นการคูณสองเวกเตอร์ที่ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ในหัวข้อนี้จะ

กล่าวถึงหารคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์อีกเเบบหนึ่งที่ได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ ซึ่งจะกล่าวถึงเฉพาะเวกเตอร์

ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ดังนี้

12

ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท