MODUL 14

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN [3 m /Aras R]

KERTAS 1

a

1. Cari  (2x 1) dx dalam sebutan a .
4
a
Find  (2x 1) dx in term of a .
4

2 [3 m /Aras R]

2. Cari nilai pemalar m jika 4x  m dx  1.
1

2

Find the value of constant m if 4x  m dx  1
1

3. Diberi 3f(x)d,3 cari nilai, [3 m /Aras R]
1
3
Given that f(x)d,3 evaluate,
1
1
(a) f (x) dx
3
3
(b) [2 f (x)  5] dx
1

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 1

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

 3 3

4. Diberi f (x) dx  q dan [2x  pf (x)] dx  18, ungkapkan p dalam sebutan q.
00
 3 3
Given that f (x) dx  q and [2x  pf (x)] dx  18, express p in terms of q .
00
[3 m /Aras S]

25 5

 5. Diberi g(x)dx  4 dan g(x)dx  7 , cari [g(x)  2x]dx
12 1.

25 5

Given that  g(x)dx  4 and  g(x)dx  7 , find [g(x)  2x]dx . [ 3 m /Aras S]

12 1

6. 8 dx  k (3  2x)n  c
Diberi (3  2x)3 , cari nilai k dan nilai n.

Given that 8 dx  k (3  2x)n  c , find the value of k and of n.
(3  2x)3

[ 3 m /Aras S]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 2

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

7. Fungsi kecerunan suatu lengkung adalah dy  2x2  2x dan lengkung melalui asalan.
dx

Tentukan persamaan lengkung itu.
Given that the gradient of a curve is dy  2x2  2x and that the curve passes through

dx
the origin, determine the equation of the curve.

8. Fungsi kecerunan satu lengkung adalah dy  kx  3x2 , dengan keadaan k adalah
dx

pemalar. Diberi bahawa lengkung mempunyai titik pusingan pada titik x  2 dan
3

lengkung melalui titik (1, 2).
The gradient function of a curve is dy  kx  3x2 , where k is a constant. It is given

dx
that the curve has a turning point at x  2 and the curve passes through point (1, 2).

3
Cari

Find

(a) nilai bagi k. [4 m / Aras S]
the value of k.

(b) persamaan lengkung itu.

the equation of the curve.

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 3

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN
9. Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = x(4x). Cari luas kawasan

berlorek.
Diagram shows part of the curve y = x(4x). Find the area of the shaded region.

[3 m / Aras S]

y y = x(4x)

x

10. Rajah menunjukkan sebahagian daripada y y  f (x)
lengkung y = f (x) yang melalui titik (0 , k )
dan(3 , 10) . (0,k) ( 3 , 10 )
Diagram shows part of a curve y  f (x) which O
passes through the points (0 , k ) and (3 , 10) .  x

3 [1 m / Aras R]
[2 m / Aras S]
Diberi  f (x)dx  12 , cari
0

3

Given that  f (x)dx  12 , find
0

3

(a)  2 f (x)dx ,
0

(b) luas kawasan berlorek
the area of the shaded region.

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 4

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

11. Rajah menunjukkan garis lurus y=x+4 yang menyilang lengkung y=(x2)2 pada titik A
dan B.
Diagram shows straight line y=x+4 intersecting the curve y=(x2)2 at the point A dan B.

y

y=x+4

y=(x2)2

x

Diberi 5  2)2 dx  35 , cari luas kawasan yang berlorek

(x
03

Given that 5 (x  2)2 dx  35 , find the area of the shaded region. [3 m /Aras T]

03

12. Diberi y  x dan dy  g(x) , cari nilai 4
1 2x
dx 4g(x) dx .
1

Given y  x dan dy  g(x) , find the value of 4
1 2x [3 m /Aras S]
dx 4g(x) dx .
1

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 5

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

y
y=f(x)

2
1

-2 -1 0 1 2 3 4 x

3

13. Rajah menunjukkan graf garis lurus bagi fungsi y = f(x). Cari nilai f (x) dx
2

Diagram shows the straight line graph of function y = f(x).

3 [2 m /Aras S]

Find the value of  f (x) dx .
2

d  5x   1 5x 3 2 10x
dx  2  (x2 1) 0 (x2 1)
14. dx
Diberi x 1 , cari nilai

d  5x   1 5x 3 2 10x
dx  2  (x2 1) 0 (x2 1)
Given dx
x 1 , find the value of [3 m /Aras S]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 6

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

15. Rajah menunjukkan sebuah bulatan unit dengan persamaan x2 + y2 = 1. Cari nilai bagi

1 (1 x2 dx dalam sebutan .

0

Diagram shows a unit circle with equation x2 + y2 = 1. Find the value of 1 (1 x2 dx

0

in terms of . [3m / Aras T]

y

1

1 O 1x

1

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 7

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

KERTAS 2 ___

1. Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan dy  px  5 dengan keadaan p adalah
dx

pemalar. Tangen kepada lengkung itu pada (2, 2) melalui asalan. Tentukan

A curve is such that dy  px  5 , where p is a constant. The tangent to the curve at (2, 2)
dx

passes through the origin. Determine

(a) nilai p [3 m /Aras S]
value of p. [3 m /Aras S]

(b) persamaan lengkung itu.
the equation of the curve.

2.
y

A(0, 1)

y 1
4x 1

06 x

Rajah di atas menunjukkan sebahagian daripada lengkung y  1 yang
4x 1

melalui titik A(0,1). Satu rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x dan garis
lurus x = 6 dan paksi-y.

Diagram above shows part of the curve y  1 which passes through A(0,1). A
4x 1

region is bounded by the curve, the x-axis, straight line x = 6 and y-axis.

(a) Cari luas rantau berlorek tersebut. [4 m /Aras T]
Find the area of the region.

6 1  1 x dx .
0 4x 1 2
(b) Seterusnya, cari nilai

6 1  1 x dx [3 m /Aras S]
0 4x 1 2
Hence, find the value of

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 8

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

3. Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung dengan keadaan dy  3x2  k .
dx

Diberi lengkung itu mempunyai titik pusingan pada (2, 16).
Digram below shows part of the curve such that dy  3x2  k . The curve has a turning

dx
point at (2, 16).

y

x

(a) Cari nilai k. [2 m /Aras R]
Find the value of k.

(b) Cari persamaan lengkung itu. [3 m /Aras S]
Find the equation of the curve.

(c) Cari koordinat-x bagi titik-titik di mana lengkung itu memintas paksi-x dan

seterusnya cari luas kawasan berlorek seperti ditunjukkan pada rajah.

The x-coordinates of points where the curve meets the x-axis, and hence the area

of the shaded region bounded by the curve and the x-axis as shown in the

diagram. [5 m /Aras T]

4. Rajah menunjukkan lengkung y = 4xx2.

Diagram shows the curve y = 4xx2.

Cari/Find

(a) Luas rantau berlorek

Area of the shaded region. [3 m/Aras S]

(b) Rantau berlorek dikisarkan melalui 360º pada
paksi-x. Cari isi padu yang dijanakan dalam
sebutan .
The region is revolved through 360º about the
x-axis. Find the volume generated, in terms of .

[4 m/Aras T]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14- 9

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

5. Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y  1 (x  4)2 yang melalui

2

titik A(2, 2)
Diagram below shows part of the curve y  1 (x  4)2 which passes through A(2, 2).

y2

A(2, 2)

x
0

(a) Cari persamaan tangen kepada lengkung pada titik A. [ 4 m / Aras S]
Find the equation of the tangent to the curve at the point A

(b) Rantau berlorek dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, dan garis lurus x = 2.
The shaded region is bounded by the curve, the x-axis and the straight line x = 2.
(i) Cari luas rantau berlorek.
Find the area of the shaded region.
(ii) Rantau berlorek dikisarkan melalui 360º pada paksi-x. Cari isi padu yang
dijanakan dalam sebutan .
The region is revolved through 360º about the x-axis. Find the volume
generated, in terms of .
[ 6 m /Aras T]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14-10

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

6. Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = f(x) yang melalui titik A (3,0)
dan garis lurus x + y = 10 .

Diagram below shows part of the curve y = f(x) which passes through point A (3,0) and
the straight line x + y = 10 .

y

y = f(x) x + y = 10

Q P x
0 A (3,0)

Lengkung itu mempunyai fungsi kecerunan –2 x . [3 m /Aras R]
The curve has a gradient function of –2 x .
Cari
Find
(a) persamaan lengkung itu .

the equation of the curve.

(b) luas rantau berlorek P [4 m /Aras S]
the area of shaded region P.

(c) isi padu kisaran, dalam sebutan π , apabila rantau berlorek Q diputarkan 360o pada

paksi-y .
the volume of revolution, in terms of π, when the shaded region Q is revolved

360o about the y-axis. [3 m /Aras T]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14-11

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

7. Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = x3 9x2 + 24x  16 yang
mempunyai dua titik pusingan A dan B. Tangen kepada lengkung pada titik A memintas
lengkung sekali lagi di titk C.
Diagram below shows part of the curve y = x3 9x2 + 24x  16 which has two turning
points A and B. The tangent to the curve at point A meets the curve again at C.

y C
A

0x
B

(a) Cari koordinat titik A. [4 m /Aras S]
Find the coordinates of A.

(b) Tunjukkan koordinat C adalah (5, 4). [2 m /Aras S]
Show that coordinates of C are (5, 4).

(c) Seterusnya, cari luas rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung dan tengen kepada

lengkung pada A.

Hence, find the area of shaded region bounded by the curve and the tangent to the

curve at A. [4 m /Aras T]

8. Rajah menunjukkan suatu lengkung x = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus
3y =2x pada titik A.
Diagram below shows a curve x = y2 – 1 which intersects the straight line 3y =2x at
point A.

y 3y =2x
x = y2 – 1
A


-1 0 x

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14-12

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

(a) Tentukan koordinat bagi titik A. [3 m /Aras S]
Determine the coordinates of point A.

(b) Cari luas rantau berlorek [3 m /Aras S]
Find the area of the shaded region.

(c) Cari isi padu janaan apabila ratau berlorek itu dikisarkan melalui 360 pada paksi-y.
Calculate the volume generated when the shaded region is revolved 360o about the
y-axis.
[4 m /Aras T]

9. Dalam rajah di bawah, garis lurus PQ adalah tangen kepada lengkung x  1 y2 1 pada
2

titik Q(3, 2).

In the diagram, the straight line PQ is a tangent to the curve x  1 y2 1 at Q(3, 2)
2

y

Q(3, 2)

P(0,k) x
0

(a) Tunjukkan bahawa nilai k adalah 1 . [ 3 m /Aras S]

2

Show that the value of k is 1 ,

2

(b) Cari luas rantau berlorek. [ 4 m / Aras T]
Find the area of the shaded region.

(c) Cari isipadu yang dijana, dalam sebutan , apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung
itu, paksi-x dan garis lurus x=3 dikisarkan melalui 360 pada paksi-x.
Find the volume generated, in terms of , when the region bound by the curve, the
x-axis, and the straight line x=3 is revolved through 360º about the x-axis.
[ 4 m / Aras T]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14-13

MODUL 14 /TG5: PENGAMIRAN

10. Rajah menunjukkan suatu lengkung dengan keadaan dy  2x  6 . Titik minimum
dx

lengkung adalah A(3,1). AB adalah garis lurus yang melalui A dan B dengan keadaan B
adalah titik persilangan lengkung dengan paksi-y.
The diagram shows a curve such that dy  2x  6 . The minimum point of the curve is

dx
A(3,1). AB is a straight line passing through A and B where B is the point of
intersection of the curve and y-axis.

y

B

A x

O

Hitung
Calculate

(a) persamaan lengkung itu. [3 m /Aras R]
the equation of the curve.

(b) luas kawasan berlorek [3 m /Aras T]
the area of the shaded region.

(c) isi padu kisaran, dalam sebutan , apabila rantau yang dibatasi oleh garis lurus
AB, kedua-dua paksi dan garis lurus x=3 dikisarkan melalui 360 pada paksi-x.
Calculate the volume of revolution, in term of , when the region bounded by the
line AB, both axes and the line x=3 is rotated through 360o about the x-axis.

[4 m /Aras S]

MODUL SOLAF MATEMATIK TAMBAHAN 2014 M14-14