แตะเพื่อเพิ่มหัวเรื่อง (1)

คณิตศาสตร์

น.ส.แพรวาห์ เดือนฉาย
ม.6/5 เลขที่ 30

เซต (Set) ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า
กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่า
ในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย
" { } " หรือ
เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "
เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวน
∅สมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่
สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว
เเล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder
form)

หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l
อ่านว่า โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l
เงื่อนไขของ x }

EX

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน
ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มี
จำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดี

แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A

⟷B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า
A=B



สับเซต (Subset)
ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็น

สับเซตของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพ

สัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติ

การถ่ายทอด)

⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมี

ทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B

เเละ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

∅วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, ⊂A B

{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}
หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n
ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น
2^n-1 (2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เรา
สามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซต
ออกมาในรูปแผนภาพได้ดังนี้

เพาเวอร์เซต
(Power Set)

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มี
สมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด
สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A
เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ A}

EX A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติขอ
งเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว

P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A

เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับ

จำนวนสับเซตของ A) P(B)
B)
⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A

เอกภพสัมพัทธ์
(Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลง
ว่าจะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าว

ถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้
สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}



ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้

∈U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับคี่ }
∈B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

(Venn - Euler diagram)

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความ
เกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์
สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพ
สัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B,
C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรี
หรือรูปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปปิดใดๆ ที่แทน
เอกภพสัมพัทธ์

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพ
ภาพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไปนี้



เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
แสดงภาพภาพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดัง

แผนภาพต่อไปนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B
ไม่มีสมาชิกร่วมกัน

แผนภาพจะมี
ลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน
แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้





ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน
(แต่ไม่ทั้งหมด) แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้





⊂ถ้าเซต A B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำ
กันเพื่อให้เกิดเป็นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (Union)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

∪สมาชิกของเซต A หรือ เซต B
เขียนแทนด้วย A B

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A

∩เเละเซต B

เขียนแทนด้วย A B

∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์

แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่

เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้



สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ ที่ควรทราบ

ส ม บั ติ ก า ร ดำ เ นิ น ก า ร บ น เ ซ ต
สมบัติพื้ นฐาน

∪ ∅ ∪1. A = A, A U = U
∩ ∅ ∅ ∩A = , A U = A

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C

∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)

4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

∩5. A - B = A B'

เพิ่มเติม

⊂ ∅ถ้า A B เเล้ว 1. A - B =
∩2. A B = A
∪3. A B = B

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

1. เซตจำกัด 2 เซต
B) = n(A) + n(B) - n(A B)
(B - A)] = n(A) + n(B) - 2[n(A
∪ ∩n(A B)]
∪ ∩n[(A - B)

2. เซตจำกัด 3 เซต

∪ ∪ ∩ ∩ ∩n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(A C) - n(B C)
∩ ∩+ n(A B C)

เลขย กกำลัง

คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆ
จะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n
เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็น
เลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)

EX 25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2
เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5
เป็นเลขชี้กำลัง
และ 25 = 2x2x2x2x2
= 32


สมบัติของ
เลขยกกำลัง
1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a
เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m > n
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำน
วนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ
m, nเป็นจำนวน
เต็มบวกที่ m = n
กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์
และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง

1.) เขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง
เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

2.) เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือ
การหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน

3.) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

การใช้เลขยกกำลัง
แทนจำนวน

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป Ax10nเมื่อ 1≤A<10 และ n
เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×107 และทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มี
ค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10n ได้เช่นเดียวกัน แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น
0.000016 = 1.6×10-5

หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ 1≤A<10 และ n เป็น
จำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อนตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่
ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็น
ลบ
เช่น 75000.0=7.5×104

0.000075 = 7.5×10-5
หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้า
จุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

สรุป
เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณ

ตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็น
ฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…
xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภท
ด้วย

แบบฝึกหัดเรื่องเซต

แบบฝึกหัดเลขยกกำลัง

แบบฝึกหัดเลขยกกำลัง