ธนาภรณ์ 60414

ใบความรู้ วิชา สถิติ
-การแจกแจงปกติและค่ามาตรฐาน

-การทดสอบสมมุติฐาน
-ความสัมพันธ์เชิงฟังชันก์ระหว่างข้อมูล

-อนุกรมเวลา

นางสาวธนาภรณ์ จันทร์บัวลา
ม.6/4 เลขที่ 14

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หนา้ 89

ใบความร้ทู ่ี 27
เรอื่ ง คา่ มาตรฐาน

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวงั
นักเรียนสามารถหาค่ามาตรฐานของข้อมลู และนาํ ไปใช้ได้

คาช้ีแจง ให้นกั เรียนศึกษาข้อความ ตัวอย่าง แลว้ รว่ มกันอภปิ รายซักถาม ถ้าไม่เข้าใจถามครู
คา่ มาตรฐาน

ในการจัดทําข้อมลู ทางสถิติ ในบางครั้งมีการเปรียบเทียบผลทไี่ ด้ระหวา่ งขอ้ มูล 2 กลมุ่ เชน่
นายวสุพลสอบวิชาคณติ ศาสตร์ได้ 60 คะแนน และสอบวิชาภาษาไทยได้ 57 คะแนน จากข้อมูลดังกลา่ วจะ
สรุปวา่ นายวสุพลสอบวิชาคณิตศาสตร์ดีกว่าวิชาภาษาไทยไดห้ รอื ไม่ คาํ ตอบคือไมไ่ ด้ เพราะถ้าคา่ เฉล่ยี เลข
คณิตของวิชาคณิตสาสตรเ์ ท่ากับ 65 คะแนน และค่าเฉลี่ยเลขคณติ วิชาภาษาไทยเท่ากับ 50 คะแนน
แสดงวา่ เขาไมไ่ ดเ้ กง่ วชิ าคณิตศาสตร์ เพือ่ ให้การเปรยี บเทียบดงั กล่าวมคี วามหมายชดั เจนเราจงึ เปลย่ี นข้อมูลให้
เป็นหน่วยเดยี วกันโดยใชค้ ่ามาตรฐาน

เมอื่ Z คอื ค่ามาตรฐานของ x

Z= xi คอื ค่าของขอ้ มลู ท่ีต้องการทําเปน็ ค่ามาตรฐาน
คอื คา่ เฉลย่ี เลขคณติ

S คือ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตวั อย่างท่ี 1 นายศุภณฐั สอบวิชาคณติ ศาสตรไ์ ด้ 51 คะแนน สอบวชิ าเคมไี ด้ 45 คะแนน สอบวชิ า

ภาษาอังกฤษได้ 52 คะแนนโดยแตล่ ะวิชามีคะแนนเตม็ 100 คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณติ และ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของวชิ าคณติ ศาสตร์ เคมี และภาษาองั กฤษ เท่ากบั 48, 42, 48 และ

3, 2, 5 ตามลาํ ดบั จงพิจารณาผลการสอบของนายศุภณัฐ
x-x
วธิ ีทา จาก Z = s

วิชาคณติ ศาสตร์ x = 48 , s = 3 และ x = 51 หาค่ามาตรฐานได้ดงั น้ี
51 - 48
Z1 = 3 =1

วชิ าเคมี x = 42 , s = 2 และ x = 45 หาคา่ มาตรฐานได้ดังน้ี
45 - 42
Z2 = 2 = 1.5

วชิ าภาษาองั กฤษ x = 48 , s = 5 และ x = 52 หาค่ามาตรฐานได้ดงั นี้
52 - 48
Z3 = 5 = 0.8

จากคะแนนมาตรฐานของทัง้ 3 วชิ า จะพบว่า Z2 > Z1 > Z3
แสดงวา่ นายศภุ ณฐั ทําคะแนนวชิ าเคมีได้ดีทีส่ ุด รองลงมาเปน็ วิชาคณิตศาสตรแ์ ละวิชาคณติ ศาสตร์

ตามลาํ ดบั

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 หน้า 90

ตวั อยา่ งที่ 2 ในการสอบคดั เลือกเข้าทํางานแห่งหน่งึ มีวชิ าท่ีต้องสอบ 2 วชิ า ปรากฏวา่ จากผ้สู มคั รทั้งหมด

มผี ู้ไดค้ ะแนนรวมสงู สุดเทา่ กนั 3 คน คอื นายสมชาย นายสมบัติ และนายสมพล ซงึ่ คะแนน

แตล่ ะวชิ าดงั น้ี

วิชาที่ 1 วิชาท่ี 2

นายสมชาย 73 72

นายสมบตั ิ 80 65

นายสมพล 72 73

ค่าเฉลย่ี เลขคณติ 75 70

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 5 10

ถา้ หนว่ ยงานแห่งน้ตี ้องการรับเพยี งคนเดยี ว และสํารองไว้ 1 คน ผู้ใดจะไดร้ บั เลือก

วิธีทา พิจารณาค่ามาตรฐานคะแนนของนายสมชาย
73 - 75
Z1 = 5 = - 0.4

Z2 = 72 - 70 = 0.2
10
- 0.4 0.2
เฉลย่ี คา่ มาตรฐานคะแนนของนายสมชาย = 2 = - 0.1

พจิ ารณาคา่ มาตรฐานคะแนนของนายสมบัติ
80 - 75
Z1 = 5 = 1.0

Z2 = 65 - 70 = - 0.5
10
1.0 0.5
เฉลี่ยคา่ มาตรฐานคะแนนของนายสมบตั ิ = 2 = 0.25

พิจารณาคา่ มาตรฐานคะแนนของนายสมพล
72 - 75
Z1 = 5 = - 0.6

Z2 = 73 - 70 = 0.3
10
-0.6 0.3
เฉลีย่ คา่ มาตรฐานคะแนนของนายสมชาย = 2 = - 0.15

พบว่าคา่ มาตรฐานคะแนนสอบของนายสมบตั มิ ากท่ีสดุ

ดงั นน้ั จงึ เลือกนายสมบตั ิ

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6 หนา้ 91

ใบกิจกรรมท่ี 27
เรื่อง คา่ มาตรฐาน

คาชแี้ จง ให้นักเรียนทาํ โจทย์ตอ่ ไปนี้

1) กําหนดข้อมูลที่มคี า่ เฉล่ยี เลขคณิตเท่ากับ 45.2 และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 10.4 จงหาค่า

มาตรฐานของค่าต่อไปนี้

ข้อ ข้อมูล คา่ มาตรฐาน

1 55

2 41

3 45.2

4 31.5

5 68.4

6 18.9

2) กําหนดข้อมลู ที่มคี า่ เฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กบั 71.8 และความแปรปรวนเทา่ กบั 40.96 จงหาคา่ มาตรฐาน

ของคา่ ต่อไปน้ี

ขอ้ ข้อมูล คา่ มาตรฐาน

1 62.5

2 64.9

3 71.9

4 78.6

5 80.0

6 85.5

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 6 หนา้ 92

ใบกจิ กรรมที่ 28
เร่ือง คา่ มาตรฐาน (2)

คาชีแ้ จง ใหน้ ักเรียนศกึ ษาข้อความ แลว้ รว่ มกนั อภปิ รายซักถาม ถ้าไม่เข้าใจถามครู
สิ่งที่ควรรู้เกีย่ วกบั คา่ มาตรฐาน

1. ค่ามาตรฐานมีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 1
2. ถ้าสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 0 เราไมส่ ามารถหาค่ามาตรฐานของขอ้ มูลชดุ น้ันได้
3. ถา้ เราทราบค่า 3 จํานวนจากค่าต่อไปนี้ Z, x, , s เราจะสามารถหาค่าของอกี จํานวนหน่งึ ได้เสมอ
4. ถา้ x > จะได้ Z > 0 และถา้ x < จะได้ Z < 0
คาสั่ง ให้นักเรียนทําโจทยต์ อ่ ไปนี้
1) ในการสอบวิชาเคมีของนักเรยี นห้องหน่งึ ถ้าธนพรสอบได้ 55 คะแนน คดิ เป็นคะแนนมาตรฐาน

เทา่ กบั 0.5 และถ้าสัมประสิทธข์ิ องการแปรผนั ของนักเรยี นห้องน้ีมคี ่า 20 % จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ
และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

2) ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของการสอบของนักเรยี นห้องหนึง่ เท่ากบั 538 คะแนน สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั
83.2 คะแนน ถ้านายมงคล และนายเฉลมิ ได้คะแนนมาตรฐานตา่ งกนั 0.7 แลว้ คะแนนสอบของนาย
มงคล และนายเฉลิม จะตา่ งกนั อยเู่ ทา่ ใด

3) ในการสอบกลางภาคของนกั เรยี นช้นั ม.5 ผลปรากฏว่า ไดค้ า่ เฉล่ียเลขคณติ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
ของคะแนนสอบของทุกคนเท่ากับ 55 และ 15 คะแนน ตามลําดับ
1. ถา้ ครตู ง้ั เกณฑว์ า่ ผู้ท่สี อบผ่าน จะต้องได้คา่ มาตรฐานของคะแนนไมต่ ่ํากว่า 0.5 ถ้านายดํารงสอบได้
60 คะแนน จงหาวา่ ดํารงสอบผ่านหรอื ไม่
2. ถา้ ครตู งั้ เกณฑ์วา่ ผ้ทู ส่ี อบผ่าน จะต้องไดค้ ะแนนไมต่ ํ่ากว่า 50 คะแนน ถ้านายดเิ รกสอบได้ค่า
มาตรฐาน - 0.5 จงหาวา่ นายดิเรกสอบผ่านหรือไม่

4) จากการสอบถามอายุของนักเรยี นกลมุ่ หน่ึง และหาค่ามาตรฐานของอายุ ผลปรากฏว่าสมชายมีอายุ 16 ปี
8 เดือน มคี ่ามาตรฐานเทา่ กบั และสเุ ทพมอี ายุ 15 ปี 4 เดอื น มคี า่ มาตรฐานเทา่ กับ -2
1. จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของอายขุ องนักเรยี นกลมุ่ น้ี
2. จงหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายุของนักเรียนกลมุ่ น้ี
3. ถ้าสมบตั ิเปน็ นักเรยี นกลมุ่ น้ี และมคี ่ามาตรฐานของอายเุ ท่ากับ 1.25 จงหาอายุของสมบตั ิ
4. ถ้าสมควรเปน็ นกั เรียนกลมุ่ นี้ และมอี ายุ 16 ปี 10 เดอื น จงหาค่ามาตรฐานของอายุของสมควร

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 หนา้ 93

แบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 12
เร่ือง ค่ามาตรฐาน

1) ในการสอบวิชาหน่ึง ปรากฎวา่ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 65 คะแนน ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

เทา่ กับ 10 นักเรียนคนหนงึ่ สอบวิชานไ้ี ด้ 75 คะแนน ถ้าโรงเรยี นตัดสินว่าผทู้ ่สี อบได้ต้องได้คะแนน

มาตรฐานไม่ตาํ่ กว่า 1.5 อยากทราบว่านักเรียนคนนี้สอบผ่านหรือไม่

2) ผลการสอบกลางภาคของวิชาภาษาไทย นายเพียวสอบได้คะแนน 10 คะแนน ซึ่งคดิ เปน็ คะแนน

มาตรฐานเทา่ กับ - 0.75 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของวชิ าภาษาไทยเท่ากับ 4 และคะแนนมาตรฐานของ

คะแนนสอบของนายพลเท่ากับ 1.5 จงหาคะแนนสอบของนายพล

3) ในการสอบวิชาสังคมปรากฎว่าคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 530 คะแนน ถ้าน้อย น้ํา นุ่น เป็น

นักเรยี นในชนั้ น้ี และ น้อยสอบได้ 656 คะแนน ซ่ึงเมอื่ คิดเป็นคะแนนมาตรฐานแลว้ มคี ่าเท่ากบั 1.2

จงหา 1. คะแนนมาตรฐานของนาํ้ ถ้านํา้ สอบได้ 509 คะแนน

2. น่นุ สอบไดค้ ะแนนเท่าใด ถ้านุ่นได้คะแนนมาตรฐานเทา่ กับ 1

4) ในการสอบคดั เลอื กเข้าทํางานของบรษิ ทั แหง่ หนึง่ บริษัทตอ้ งการรับเพยี งคนเดียว แต่มผี ู้เขา้ สอบ 3 คน

คือ นาย ก, ข และ ค และผลสอบปรากฎผลดังตาราง

สังคมศึกษา ภาษาอังกฤษ คณติ ศาสตร์

นาย ก 96 57 76

นาย ข 70 73 86

นาย ค 72 63 94

ค่าเฉลยี่ เลขคณติ 71 65 74

ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 12 4 6

ถ้าทา่ นเปน็ ผตู้ ัดสิน ทา่ นจะเลือกใครเข้าทาํ งาน

5) โรงเรยี นแห่งหน่ึงคดิ คะแนนสอบเปน็ คะแนนมาตรฐาน โดยมคี า่ เฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 550 คะแนน

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 50 คะแนน ถา้ คะแนนเตม็ 1000 คะแนน นายวุธสอบไดค้ ะแนน

มาตรฐานเทา่ กับ 1.5 ถา้ คดิ เปน็ เปอรเ์ ซน็ ต์ นายวธุ สอบได้กเี่ ปอรเ์ ซ็นต์

6) แดงเปน็ นกั เรยี นช้ัน ม.6 ของโรงเรียนแห่งหน่ึง ซง่ึ มีนักเรียนทั้งหมด 84 คน ผลการสอบปรากฏว่า

สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 120 คะแนน ถ้า นฐั สอบได้ 700 คะแนน คิดเป็นคะแนน

มาตรฐานเท่ากบั 0.75

1. จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนในการสอบคร้ังนี้

2. ถ้ามนี กั เรียน 2 คน ไดค้ ะแนนตา่ งกนั 60 คะแนน อยากทราบวา่ คะแนนมาตรฐานของคนท้ัง 2

ต่างกันเท่าใด

3. ถา้ มีนกั เรียน 2 คน ไดค้ ะแนนมาตรฐานต่างกันอยู่ 1 อยากทราบวา่ คะแนนของคนทัง้ 2 ตา่ งกัน

เท่าใด

7) นกั เรียน 2 คน มีผลการสอบดังนี้ คนแรกสอบได้ 88 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน 0.8 คนที่สอง

สอบได้ 64 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน - 0.4 จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตและสว่ นเบ่ียงเบน

มาตรฐานของคะแนนสอบครั้งน้ี

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 หนา้ 94

8) สมศักดิเ์ ป็นนักเรยี นชัน้ ม. 5 ในภาคตน้ เขาสอบคณิตศาสตร์ไดค้ ะแนน 78 คะแนน ในขณะทค่ี ่าเฉลีย่
เลขคณติ และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 62 และ 10 คะแนน ตามลําดับ ในปลายภาคเขาสอบ
คณิตศาสตรไ์ ด้ 84 คะแนน ในขณะท่คี ่าเฉลีย่ เลขคณิตและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 65 และ 12
คะแนน ตามลาํ ดับ จงเปรียบเทยี บความสามารถในการเรียนคณิตศาสตรข์ องนายสมศักดใ์ิ นภาคตน้ และ
ภาคปลาย

9) ตารางตอ่ ไปน้ี แสดงค่าเฉลย่ี เลขคณติ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและ
ภาษาอังกฤษของนักเรยี นหอ้ งหนงึ่

วิชา คา่ เฉล่ยี เลขคณติ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ภาษาไทย 64 12
ภาษาองั กฤษ 72 10

ถา้ ดาราเป็นนักเรยี นในหอ้ งนี้ สอบภาษาไทย และภาษาอังกฤษ ได้คะแนน 84 และ 90 คะแนน
ตามลาํ ดับ จงเปรยี บเทยี บความสามารถในการเรยี นภาษาไทย และภาษาองั กฤษของดารา
10) ในการสอบคดั เลือกเข้าศึกษาต่อในสถาบนั แห่งหนึง่ มีวิชาทีต่ ้องสอบ 3 วชิ า คือ คณติ ศาสตร์
ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ โดยมคี ่าเฉลย่ี เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบ และ
ผลการสอบของ นาย ก นาย ข และนาย ค ดงั ตาราง

นาย ก คณิตศาสตร์ ภาษาองั กฤษ ภาษาไทย
นาย ข
นาย ค 70 70 75
คา่ เฉลี่ยเลขคณิต 75 65 75
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 70 70 70
70 70 80
5 10 5

จงเปรียบเทยี บความสามารถในการเรียนของคนท้งั สาม
11) หา้ งสรรพสนิ คา้ แห่งหน่งึ ให้รางวัลพเิ ศษประจาํ เดือนแก่พนักงาน ทีส่ ามารถทําค่ามาตรฐานของยอดขาย

ประจาํ เดอื น ตั้งแต่ 2.00 ข้ึนไป โดยใหโ้ บนสั พิเศษ 10 % ปรากฏวา่ ในเดอื นมกราคม พนักงานท่ี
ขายไดต้ ํา่ กวา่ 5,000 บาท จะไม่ได้รับโบนัสพเิ ศษ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของยอดขาย ประจาํ เดือน
มกราคม เมือ่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของยอดขายประจําเดอื นมกราคมเทา่ กับ 250 บาท
12) ในการทดสอบเวลาท่ใี ช้ในการวง่ิ ระยะทาง 400 เมตร ของนักเรียนกลุ่มหนึง่ มเี กณฑ์วา่ ผู้ที่ผ่านการ
คัดเลอื ก ตอ้ งได้คา่ มาตรฐานของเวลาท่ีใชใ้ นการว่ิงไมเ่ กิน 1.20 ผลการทดสอบปรากฏว่า นกั กรีฑาท่ี
ใช้ในการวงิ่ มากกวา่ 50 วินาที ไมผ่ า่ นการทดสอบ
1. จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของเวลาทใ่ี ช้ในการวิง่ เม่ือส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของเวลาท่ีใชใ้ นการว่ิง

เทา่ กับ 2.5 วนิ าที
2. จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาทใ่ี ชใ้ นการวิ่ง เมื่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชใ้ นการว่ิง

เท่ากบั 44 วนิ าที

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 หนา้ 95

13) จากการสาํ รวจนํ้าหนกั ของนกั เรยี นห้องหนึง่ พบวา่ ความแปรปรวนของนา้ํ หนักเทา่ กับ 42.25 กิโลกรมั
ถา้ นายนกิ รหนกั 50 กิโลกรมั ซง่ึ คดิ เปน็ ค่ามาตรฐานเท่ากบั 1.50
1. จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตของนา้ํ หนกั ของนักเรียนทั้งห้อง
2. ถา้ นกุ ลู ละนิตยามีน้าํ หนักต่างกนั 6.5 กิโกกรมั จงหาวา่ คา่ มาตรฐานของนํา้ หนักของคนทัง้ สอง
ต่างกันเทา่ ใด
3. ถา้ กนั ยา และกมล มีคา่ มาตรฐานของนํ้าหนักตา่ งกัน 1.20 จงหาว่าน้ําหนกั ของคนทง้ั สองตา่ งกนั
เทา่ ใด

14) ตารางต่อไปนี้ เปน็ คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ จํานวน 4 ครง้ั ของสุพจน์ และ ชาตรี จงเปรยี บเทียบ
ความสามารถในการเรียนวชิ าคณิตศาสตรข์ องคนท้งั สอง

ครง้ั ท่ี คา่ เฉลี่ยเลขคณิต สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน คะแนนของสุพจน์ คะแนนของชาตรี

1 130 22 152 141
70 55
2 75 10 59 38
140 320
3 38 7

4 200 60

15) ขอ้ มลู ชดุ หนึง่ มสี ว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 3.5 มีผลรวมของค่าทกุ คา่ ในขอ้ มูลเทา่ กบั 450 และมี
ผลรวมของกาํ ลงั สองของค่ามาตรฐานของค่าทกุ ค่าเทา่ กับ 15
1. ถา้ x = 37 เป็นคา่ ในข้อมูล จงหาคา่ มาตรฐานของ x
2. จงหาคา่ ในข้อมูลทม่ี คี า่ มาตรฐานเทา่ กบั - 1

16) นักเรยี นหอ้ งหนงึ่ มี 50 คน จากการสอบวิชาภาษาไทย ไดค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนของ
คะแนนนักเรียนทงั้ ช้ันเท่ากับ 62 และ 81 คะแนนตามลําดบั เม่อื ครูหาผลรวมของค่ามาตรฐานของ
คะแนนของนักเรยี นทุกคน ยกเว้นนายสมคิดและนายสมชาย ซึ่งได้คะแนนเท่ากัน ปรากฏว่าได้
ผลรวมเทา่ กบั - 0.80 จงหาคะแนนของสมคิดและของสมชาย

17) ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี น 20 คน มีคะแนนเฉล่ียเท่ากับ 60 สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 10 ถา้ ผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกล่มุ นี้เพียง 19 คน เท่ากบั 2.5 แล้ว
นักเรยี นอกี 1 คน ทเี่ หลือจะสอบได้กีค่ ะแนน

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 หนา้ 96

ใบความรทู้ ่ี 28
เรื่อง การแจกแจงปกติ

ผลการเรียนรู้ท่คี าดหวงั
นักเรียนสามารถอธิบายการแจกแจงปกติของข้อมลู ได้

คาชแี้ จง ใหน้ กั เรียนศกึ ษาข้อความ ตัวอย่าง แลว้ ร่วมกันอภิปรายซักถาม ถา้ ไม่เข้าใจถามครู

ความสัมพันธร์ ะหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจายของข้อมลู
จากเรอ่ื งการแจกแจงความถ่ขี องข้อมูลท่ีกลา่ วมาแลว้ จะเห็นว่าโดยทัว่ ไป เส้นโค้งของความถี่แบ่งออก

ได้ 3 แบบ คอื เสน้ โคง้ ปกติ หรอื รปู ระฆงั ( normal or bell- shaped curve ) เสน้ โคง้ เบล้ าดทางขวา
หรอื ทางบวก ( positively shaped curve ) และ เส้นโคง้ เบล้ าดทางซ้ายหรือทางลบ ( negatively
shaped curve ) ซึง่ เส้นโค้งเหลา่ น้ีจะเกยี่ วข้องกบั คา่ กลางของข้อมลู ดังรปู

เส้นโคง้ ปกติ เสน้ โคง้ เบ้ลาดทางขวา เส้นโค้งเบ้ลาดทางซ้าย

Mod Mod Med Med Mod
Med

โดยทว่ั ไปเส้นโคง้ ปกติจะมคี วามโด่งไม่เหมอื นกนั ทง้ั นข้ี นึ้ อยกู่ บั การกระจายของขอ้ มลู ถา้ ข้อมลู มีการ
กระจายมาก เสน้ โค้งปกติจะมีความโด่งน้อย แต่ถา้ ข้อมูลมีการกระจายน้อย เสน้ โคง้ ปกตจิ ะมคี วามโด่งมาก
ดงั รูป

ขอ้ มลู มีการกระจายน้อย

ขอ้ มูลมีการกระจายมาก

จากเรือ่ งฮสิ โทแกรมได้กลา่ วไว้วา่ พืน้ ที่ของรปู สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรปู ในฮิสโตแกรมแทนความถข่ี องแต่
ละอนั ตรภาคช้นั ถ้าเขยี นรปู หลายเหลีย่ มของความถ่แี ละปรับรูปหลายเหลี่ยมของความถใี่ หเ้ ป็นเส้นโคง้ เรยี บ
จะไดเ้ สน้ โค้งของความถี่ซึ่งพ้ืนท่ีภายใต้เสน้ โค้งของความถี่จะแทนความถข่ี องค่าจากการสงั เกตทัง้ หมด

เส้นโค้งของความถี่ทีพ่ บเสมอๆ มกั เป็นรปู ระฆัง ซ่งึ เราเรยี กว่า เสน้ โคง้ ปกติ การแจกแจงความถีข่ อง
ขอ้ มลู ซึ่งใหเ้ ส้นโคง้ ที่มลี กั ษณะเป็นรูประฆงั เรยี กวา่ การแจกแจงปกติ สมการของสน้ โคง้ น้ีขน้ึ อยกู่ ับคา่ 2 คา่
คือค่าเฉล่ียเลขคณิตและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ถา้ กําหนดคา่ เฉลย่ี เลขคณิตและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานใหจ้ ะ
สามารถหาสมการของเสน้ โค้งปกติได้แต่ยงั ไม่สามารถศกึ ษาไดใ้ นระดับนี้ จึงขอแสดงลักษณะของเสน้ โคง้ ปกติ
ดังน้ี

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 หนา้ 97

1. คา่ เฉล่ียเลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม มีคา่ เท่ากัน และอยู่ ณ ตาํ แหน่งที่เส้นโค้งโด่งท่ีสดุ
2. เสน้ ท่ีลากตั้งฉากกับแกนนอน ณ จดุ ท่ีเป็นค่าเฉลย่ี เลขคณิตเป็นแกนสมมาตร และแกนสมมาตร
ดงั กลา่ วจะแบง่ พนื้ ท่ีภายใตเ้ ส้นโคง้ ปกติออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆกนั

แกนสมมาตร

3. ถ้าเราลากเส้นโค้งปกติให้ห่างจากคา่ เฉลี่ยเลขคณติ มากข้ึนเรื่อยๆ เส้นโคง้ ดังกลา่ วจะเข้าใกล้แกน
นอนมากขนึ้ แต่จะไม่ตดั แกนนอน

4. พืน้ ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกติจะมีค่าเท่ากบั 1 เสมอ หรือ 100 %
ลกั ษณะของเสน้ โคง้ ปกติทค่ี ่าเฉลย่ี เลขคณิตไม่เทา่ กนั แตส่ ่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากนั เสน้ โคง้ ปกติ
ทัง้ สองจะมีลกั ษณะรปู รา่ งเหมอื นกัน จะต่างกันทตี่ ําแหน่งของคา่ เฉล่ียเลขคณติ เท่านนั้

<

ลักษณะของเสน้ โค้งปกติทค่ี ่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กนั2 แตส่ ว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานไมเ่ ท่ากนั เส้นโคง้ ปกติ
ท้ังสองจะมีตาํ แหนง่ ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่เดยี วกนั แต่เส้นโคง้ จะมคี วามโด่งแตกต่างกัน

รปู ท่ี 1 กระจายน้อย มคี วามโด่งมาก
รูปท่ี 2 กระจายมาก มีความโด่งนอ้ ย

ลักษณะของเสน้ โคง้ ปกติท่ีค่าเฉล่ยี เลขคณติ ไม่เท่ากันและสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานไมเ่ ท่ากัน เสน้ โคง้
ปกติทง้ั สองจะมีตาํ แหน่งของค่าเฉล่ยี เลขคณติ คนละที่ และเสน้ โค้งจะมคี วามโด่งแตกต่างกนั

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 หน้า 98

ใบความรูท้ ี่ 29
เรื่อง พืน้ ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติ

ผลการเรยี นรู้ท่คี าดหวงั
นักเรยี นสามารถพนื้ ท่ีใต้เส้นโค้งปกติได้

คาชแ้ี จง ให้นักเรียนศกึ ษาข้อความ ตวั อย่าง แลว้ รว่ มกันอภปิ รายซกั ถาม ถ้าไม่เข้าใจถามครู

พนื้ ทีใ่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ
จากที่กลา่ วมาแลว้ ถ้าเราทราบสมการของเสน้ โค้งปกติ จะหาพืน้ ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกตซิ ึ่งอยู่ระหวา่ งคา่ X

สองค่าใดๆ คือ X = x1 และ ได้โดยใช้วธิ กี ารของแคลคูลัส ซง่ึ คอ่ นข้างยุ่งยาก

X1 0 X2

ในทางปฏบิ ัติ จะหาพ้ืนทใ่ี ต้เส้นโค้งปกตไิ ดโ้ ดยใช้ตารางแสดงพืน้ ท่ีใต้เส้นโคง้ แต่เน่อื งจากเป็นไปไม่ได้

ที่จะสรา้ งตารางหลายๆตารางมาแสดงพน้ื ที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติ ซงึ่ มคี ่าค่าเฉลย่ี เลขคณติ และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
x-x
ตา่ งกัน จึงใชว้ ิธีการแปลงค่า x ใหเ้ ป็นคา่ มาตรฐาน Z โดยใชส้ ูตร Z = s หรือ Z= x -μ
σ
ซึ่งถา้ ทาํ เป็นหน่วยมาตรฐานแลว้ จะมคี ่าเฉลีย่ เลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1

ดงั น้ันตารางท่ีแสดงพนื้ ทใี่ ต้เส้นโค้งปกติ จงึ เป็นตารางที่ข้อมลู ได้ทําเปน็ หน่วยมาตรฐานเรียบรอ้ ยแลว้ เราเรยี ก

เส้นโคง้ ปกตทิ ีม่ ีหนว่ ยเปน็ หน่วยมาตรฐานว่า เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐาน

-3 -2 - 1 0 1 2 3 หนว่ ยมาตรฐาน

สาํ หรบั การหาพน้ื ที่ใตเ้ สน้ โคง้ จากตารางนนั้ พืน้ ทีท่ กี่ ําหนดไวใ้ นตารางจะเป็นพ้ืนที่จาก Z = 0 ไป
ถงึ คา่ มาตรฐานที่ต้องการหาเท่านนั้ เชน่ ถ้านักเรยี นเปิดตารางและดูทีค่ า่ Z = 1.24 จะพบวา่ ในตารางจะบง่
บอกพื้นที่ เทา่ กับ .3925 แสดงว่าพ้นื ที่ต้ังแต่ Z = 0 ถึง Z = 1.24 เท่ากบั .3925 หรอื 39.25

Z=0 Z=1.24

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 หน้า 99

ตวั อย่างที่ 1 จงหาพน้ื ที่ใต้เส้นโค้งปกตริ ะหว่าง Z = -1.45 และ Z = .46
วธิ ที า ควรเขียนรปู เพอื่ ดูพ้นื ที่ทตี่ อ้ งการหา

Z= -1.45 Z=0.46

จากรูปพบวา่ พ้นื ทที่ ีต่ ้องการหาหมายถึงพืน้ ทร่ี ะหวา่ ง z = -1.45 กบั z = 0 รวมกับพนื้ ท่ี ระหวา่ ง
z = 0 กบั z = 0.46

พื้นทีร่ ะหวา่ ง z = -1.45 กับ z = 0 จะเท่ากับพ้ืนทีร่ ะหว่าง z = 0 กับ z = 1.45
ซ่งึ มีพืน้ ที่เท่ากับ 0.4265

พื้นทร่ี ะหวา่ ง z = 0 กบั z = 0.46 เท่ากบั .1772
พื้นทที่ ่ีต้องการเท่ากับ .4265 + .1772 = 0.6037

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 หน้า 100

ใบกจิ กรรมที่ 29
เรอื่ ง พนื้ ทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ

คาชแี้ จง ให้นกั เรยี นทาํ โจทย์ตอ่ ไปนี้

จงหาพื้นทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตริ ะหวา่ งค่ามาตรฐาน 2 ค่าตอ่ ไปนี้

1. Z = .79 และ Z = 1.5 2. Z = .08 และ Z = 1.76

3. Z = -2.45 และ Z = -1.52 4. มากกว่า Z = 1.79

5. มากกว่า Z = -1 .39 6. Z = - 1.93 และ Z = 2.5

7. นอ้ ยกว่า Z = 1.24 8. น้อยกว่า Z = - 1.89

9. Z = -1.45 และ Z = -2.57 10. Z = -1.05 และ Z = 2.47

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6 หน้า 101

ใบความร้ทู ่ี 30
เร่ือง พน้ื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ (2)

ผลการเรยี นร้ทู คี่ าดหวัง
นกั เรียนสามารถหาพน้ื ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกตไิ ด้

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนศึกษาข้อความ ตัวอยา่ ง แล้วร่วมกันอภปิ รายซักถาม ถ้าไม่เข้าใจถามครู

ตวั อย่างที่ 3 ในการสอบครัง้ หน่ึงมคี ่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั 45 คะแนน สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ

10 คะแนน ถ้าการสอบคร้งั นม้ี ีการแจกแจงปกติ จงหาเปอรเ์ ซ็นต์

1) คะแนนสอบระหวา่ ง 27.5 คะแนน กบั 63 คะแนน

2) คะแนนสอบทม่ี ากกวา่ 52.3 คะแนน

3) คะแนนสอบท่ีน้อยกว่า 37.2 คะแนน

4) คะแนนสอบทน่ี ้อยกวา่ 62.7 คะแนน

5) จํานวนนกั เรียนทส่ี อบได้คะแนนระหวา่ ง 32 คะแนนกับ 72 คะแนนมกี ่ีคน ถา้ มีผู้เข้าสอบ

300 คน
27.5- 45
วิธีทํา 1) Z1 = 10 =

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 6 หนา้ 102

ตวั อยา่ งท่ี 4 คะแนนสอบของนักเรยี นกลมุ่ หนงึ่ มีการแจกแจงปกติ มคี า่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากับ 70 คะแนน
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 5 คะแนน ถ้ามีนกั เรยี นเข้าสอบท้งั หมด 200 คน จงหา
1) มีนกั เรยี นกคี่ นท่สี อบไดม้ ากกวา่ 80 คะแนน
2) มนี กั เรยี นกี่คนทีส่ อบได้น้อยกว่า 58 คะแนน
3) นกั เรยี นทส่ี อบได้ 79 คะแนน จะอยใู่ นตาํ แหน่งเปอร์เซน็ ไทล์ใด
4) นกั เรยี นทส่ี อบไดต้ รงกับตําแหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 23 เขาสอบได้กี่ คะแนน

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 หนา้ 103

ใบกจิ กรรมท่ี 30
เรือ่ ง พน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกติ (2)

คาช้แี จง ให้นกั เรยี นทําโจทย์ต่อไปนี้
1) การสอบครั้งหนงึ่ เปน็ การแจกแจงปกติ โดยมีคา่ เฉล่ียเลขคณติ เท่ากบั 60 คะแนน สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน

เทา่ กบั 10 คะแนน จงหา
1) คะแนนตรงกับควอรไ์ ทล์ท่ี 3 ตรงกบั คะแนนใด
2) คะแนนตรงกบั เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 40 ตรงกับคะแนนใด
3) คะแนนตรงกับเดไซลท์ ่ี 8.7 ตรงกับคะแนนใด

2) ผลการสอบตลอดภาคเรียนของนักเรยี นชั้น ม.6 แห่งหน่งึ พบว่าคะแนนสอบของนักเรยี นมีการแจกแจง
ปกติ โดยมคี า่ เฉล่ยี เลขคณิตเทา่ กับ 72 คะแนน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 12.5 คะแนน ครูผูสอน
ตัง้ เกณฑ์ไว้ว่า 8 % ของผทู้ ่ีไดค้ ะแนนสูงสุด จะได้ระดับคะแนน A ถดั มาอีก 20% จะไดร้ ะดบั คะแนน B
ถดั มาอกี 42 % จะไดร้ ะดับคะแนน C ถดั มาอีก 18 % จะได้ระดบั คะแนน D และ 12 % สดุ ทา้ ยจะ
ได้ระดับคะแนน F จงหา
1) คะแนนตํ่าสดุ ของผ้ทู ่ีได้ระดับคะแนน A
2) คะแนนต่ําสุดของผู้ที่ได้ระดบั คะแนน B
3) คะแนนต่ําสดุ ของผทู้ ่ีได้ระดบั คะแนน C
4) คะแนนต่าํ สดุ ของผทู้ จี่ ะสอผา่ นวิชานี้ เม่ือกําหนดให้ผู้ท่สี อบผ่านตอ้ งได้ระดบั คะแนน A หรอื สงู กว่า

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หน้า 104

แบบฝึกทกั ษะชดุ ที่ 13
เร่อื ง พ้ืนทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติ

1) จงหาพืน้ ที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ซ่งึ อยทู่ างขวามือของคา่ Z ตอ่ ไปนี้

1. Z = 0.00 2. Z = 1.50 3. Z = - 2.30

4. Z = 2.98 5. Z = - 1.64 6. Z = 0.23

7. Z = 2.57 8. Z = - 1.45 9. Z = - 2.09

2) จงหาพื้นที่ใต้โค้งปกตมิ าตรฐาน ซงึ่ อยู่ทางซ้ายมอื ของค่า Z ต่อไปนี้

1. Z = 1.60 2. Z = - 1.60 3. Z = - 1.78

4. Z = 0.56 5. Z = 1.05 6. Z = 1.25

7. Z = - 2.95 8. Z = - 0.05 9. Z = - 2.21

3) จงหาพ้นื ท่ีใตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ต่อไปนี้

1. อยทู่ างซ้ายของ Z = - 2.33 หรือ อยู่ทางขวาของ Z = 2.33

2. อยูท่ างซ้ายของ Z = - 0.47 หรือ อยทู่ างขวาของ Z = 0.23

3. อยู่ทางซ้ายของ Z = - 1.5 หรือ อยู่ทางขวาของ Z = 2.5

4. อยู่ทางซ้ายของ Z = 1.85 หรอื อยทู่ างขวาของ Z = 2.3

4) กาํ หนดข้อมลุ ที่มกี ารแจกแจงปกติ โดยท่ี x = 3 และ s = 3 จงหาพื้นที่ใตโ้ คง้ ปกติของข้อมูลนี้ ซง่ึ

1. อยู่ทางซา้ ยของ x = - 1

2. อยู่ระหว่าง x = 0 และ x = 4

3. อยู่ทางขวาของ x = 1.5

5) 4. อยู่ทางซา้ ยของ x = - 3 โดหยรทือ่ี ทxาง=ขว1าขอแงละ x = 6 จงหาพืน้ ท่ีใต้โคง้ ปกติของข้อมูลน้ี ซึ่ง
กาํ หนดข้อมุลท่ีมกี ารแจกแจงปกติ s = 2.5

1. อยู่ทาขวาของ x = 0

2. อยทู่ างซา้ ยของ x = - 1.5

3. อยรู่ ะหวา่ ง x = - 2 และ x = 2

4. อยทู่ างซา้ ยของ x = - 1.5 หรือทางขวาของ x = 7.25

6) กําหนดข้อมลุ ที่มกี ารแจกแจงปกติ โดยท่ี x = 1.5 และ s = 1 จงหาพืน้ ที่ใต้โค้งปกติของข้อมูลนี้ ซง่ึ

1. อยรู่ ะหวา่ ง x = 0 และ x = 1.4

2. อยู่ทางซา้ ยของ x = - 1.5

3. อยทู่ างซ้ายของ x = 1

4. อยทู่ างซ้ายของ x = - 2.5 หรือทางขวาของ x = 1.5

7) จงหาคา่ มาตรฐาน Z ซง่ึ ทาํ ให้

1. พน้ื ที่ใตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ทางขวาของ Z เทา่ กบั 0.2266

2. พน้ื ทใ่ี ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ทางซา้ ยของ Z เทา่ กับ 0.0314

3. พ้นื ทใ่ี ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ระหว่างคา่ มาตรฐาน - 0.23 และ Z เทา่ กบั 0.5722

4. พนื้ ท่ใี ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ระหวา่ งคา่ มาตรฐาน 1.15 และ Z เท่ากับ 0.0730

8) จงหาค่ามาตรฐาน Z ซงึ่ ทาํ ใหพ้ นื้ ทใ่ี ต้โค้งปกติมาตรฐานระหว่าง 0 และ Z เทา่ กบั 40% ของพนื้ ท่ีทงั้ หมด

9) จงหาค่ามาตรฐาน Z ซึง่ ทําให้

1. พ้ืนทีใ่ ต้โค้งปกติมาตรฐานทางซา้ ยของ Z เทา่ กบั 80 % ของพ้นื ทที่ ้ังหมด

2. พ้นื ที่ใตโ้ ค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ Z เทา่ กับ 60 %

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 หนา้ 105

10) จงหาค่ามาตรฐาน 2 ค่าซง่ึ ทําให้

1. 90 % ก่ึงกลางของขอ้ มูลอย่รู ะหวา่ งคา่ สองค่านี้

2. 98 % ก่งึ กลางของข้อมูลอยู่ระหว่างค่าสองค่านี้

11) กาํ หนดขอ้ มูลท่ีมกี ารแจกแจงปกตโิ ดยท่ี x = 40 และ s = 10 จงหาค่า x สองค่า ซ่ึงทาํ ให้

1. 80 % กึ่งกลางของขอ้ มลู อยรู่ ะหว่างคา่ สองค่าน้ี

2. 50 % กง่ึ กลางของข้อมลู อยู่ระหวา่ งคา่ สองคา่ น้ี

12) กาํ หนดข้อมลู ที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยท่ี x = 10 และ s = 2

1. จงหา P40 2. จงหา P25
3. จงหา P70 4. จงหา P90
5. จงหาวา่ คา่ x = 15 อยู่ในตําแหนง่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ทเ่ี ท่าใด

6. จงหาว่าคา่ x = 6 อยใู่ นตําแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ที่เทา่ ใด

13) จงหาพืน้ ที่ภายใต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐานระหวา่ งค่า Z ท่กี าํ หนดใหต้ ่อไปน้ี

1. Z = 0 กบั Z = 2.4 2. Z = 0 กบั Z = 1.67

3. Z = -1.05 กับ Z = 1.05 4. Z = 0.4 กับ Z = 1.4

14) จงหาพน้ื ท่ภี ายใต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐานตามเงื่อนไขต่อไปนี้

1. Z < 1.2 2. Z > - 2.5

3. Z < - 2 4. Z < 1.79

15) ในการสอบประจาํ ภาคเรยี นของนักเรยี นช้นั ม.6 ปรากฏวา่ คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลยี่

เลขคณิตเทา่ กบั 30 คะแนน และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 คะแนน จะมนี กั เรยี นอยู่ก่ี

เปอรเ์ ซ็นต์ที่ได้คะแนนระหว่าง 20 ถึง 32 คะแนน

16) ในการคดั เลอื กทหารเข้าประจาํ การครั้งหน่ึงปรากฏว่าความสูงของผูท้ เ่ี ข้ามารบั การคัดเลือกมกี ารแจกแจง

ปกติโดยมคี า่ เฉลย่ี เลขคณติ ของความสงู เท่ากบั 177 เซนตเิ มตร ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 4

เซนติเมตร จะมีทหารอยกู่ ี่เปอร์เซนต์ท่ีมคี วามสงู อยู่ระหวา่ ง 173 ถึง 181 เซนติเมตร

17) นักเรียนจาํ นวน 500 คน สอบวชิ าคณติ ศาสตร์ไดค้ ่าเฉล่ยี เลขคณิตเทา่ กับ 151 คะแนน สว่ นเบยี่ งเบน

มาตรฐาน เท่ากบั 15 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนประมาณกีค่ นทีไ่ ด้คะแนนระหว่าง 151 ถงึ 166

คะแนน ถ้าการสอบครง้ั น้ีมกี ารแจกแจงปกติ

18) ในการศึกษาค้นคว้าเกีย่ วกับอาหารท่ีใหโ้ ปรตีนสงู กับกระต่ายจาํ นวนหนึง่ ปรากฏวา่ หลงั จากกระต่าย

รับประทานอาหารดงั กล่าวเปน็ เวลา 1 เดือนแลว้ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของน้าํ หนักเท่ากบั 120 กรัม ส่วน

เบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 12 กรัม ถ้าน้ําหนกั ของกระต่ายทใ่ี ช้ทดลองดังกล่าวมกี ารแจกแจงแบบปกติ

จะมกี ระตา่ ยอยูก่ ่ีเปอรเ์ ซ็นตท์ ่มี นี ํ้าหนกั น้อยกวา่ 100 กรัม

19) จากประสบการณว์ งการแพทย์ไทย พบว่านาํ้ หนักของเดก็ ไทยแรกเกิดมีการแจกแจงปกติ ในปี พ.ศ.

2552 คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนํา้ หนักเท่ากบั 3000 กรมั สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 400 กรัม ในปี

พ.ศ. 2553 ค่าเฉล่ียเลขคณิตของนาํ้ หนักเท่ากับ 3200 กรัม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 300 กรัม

จงหา 1. จํานวนเปอรเ์ ซ็นต์ของเด็กไทยแรกเกิดทีม่ ีนาํ้ หนักตั้งแต่ 3800 กรมั ข้นึ ไปในปี พ.ศ. 2552

2. จาํ นวนเปอร์เซน็ ต์ของเด็กไทยแรกเกิดท่มี ีนาํ้ หนักตงั้ แต่ 3800 กรัมขึน้ ไปในปี พ.ศ. 2553

20) บรษิ ทั ผลติ กระป๋องแหง่ หนงึ่ ทําการผลิตกระป๋องเปล่า ซึง่ มคี ่าเฉลี่ยเลขคณิตของนา้ํ หนักเท่ากับ 12.00
กรัม และความแปรปรวนเท่ากับ 0.01 ( กรัม)2 ถา้ การแจกแจงน้าํ หนักกระป๋องเปล่ามกี ารแจกแจง

ปกติ และ W1 เปน็ จํานวนกระป๋องเปล่าทม่ี ีน้ําหนกั น้อยกวา่ 11.88 กรัม

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 หน้า 106

W2 เป็นจาํ นวนกระป๋องเปลา่ ทีม่ นี ้ําหนกั น้อยกวา่ 12.00 กรัม
W3 เปน็ จํานวนกระป๋องเปล่าทีม่ ีนํ้าหนักมากกวา่ 11.88 กรมั
จงเปรยี บเทียบว่า W1 ,W2 ,W3 คา่ ใดมีค่ามากกว่ากัน
21) ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยมีการแจกแจงปกติ มคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั

80 และ 15 คะแนน ตามลาํ ดับ นทมี คี ะแนนสอบวชิ าน้ตี รงกับเดไซลท์ ี่3.3 เขาสอบไดก้ ี่คะแนน

22) คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลมุ่ หน่งึ มีการแจกแจงปกติมีค่าเฉลยี่ เลขคณติ และสว่ นเบย่ี งเบน

มาตรฐานเท่ากบั 60 และ 10 คะแนน ตามลําดบั ครูให้ระดบั คะแนนตามช่วงคะแนน และคิดเป็น

เปอร์เซน็ ตข์ องนักเรยี นทไี่ ดร้ ะดบั คะแนนต่างๆ ดงั ต่อไปนี้ จงหา B + D

ช่วงคะแนน ระดับคะแนน จาํ นวนเปอรเ์ ซ็นต์ของนักเรยี น

80 ขนึ้ ไป 4 A

[70, 80) 3 B

[50, 70) 2 C

[40, 50) 1 D

ต่าํ กวา่ 40 0 F

23) ความสูงของนักเรยี นห้องหนง่ึ มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิตและมัธยฐานเทา่ กนั คือ 120 เซนตเิ มตร สมั ประสิทธิ์

การแปรผันเทา่ กบั 2.5 % และ 40 % ของนักเรยี นห้องนี้มคี วามสูงคิดเปน็ คา่ มาตรฐานไม่ตา่ํ กว่า 1.5

ถ้าเด็กชายต้นน้ําสูง 123 เซนติเมตร จงเปรยี บเทยี บความสงู ของเดก็ ชายตน้ นํ้ากับมัธยฐาน และ

เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 60

24) นํา้ หนกั และส่วนสงู ของนักเรียนหอ้ งหนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยทน่ี ้ําหนกั เฉลี่ยเทา่ กบั 40 กิโลกรัม

สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 2 กิโลกรมั สว่ นสูงเฉลยี่ เทา่ กบั 150 เซนตเิ มตร ส่วนเบย่ี งเบน

มาตรฐานเทา่ กบั 4 เซนตเิ มตร ถ้ามนี กั เรยี น a เปอรเ์ ซน็ ตท์ ส่ี ูงไม่ต่ํากว่า 145 เซนติเมตร และไม่

เกิน 155 เซนตเิ มตร คอื กลุ่มนกั เรยี นท่ีมีนํ้าหนกั ไม่ตาํ่ กวา่ 36 กิโลกรัม และไม่เกิน b กิโลกรัม แลว้

a และ b มีคา่ เทา่ ใด

25) การสอบคร้งั หนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั 60 คะแนน สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เท่ากับ 10 คะแนน จงหาคะแนนที่ตรงกับควอร์ไทล์ท่ี 3

26) คะแนนไอควิ ของนักเรียนกลุ่มหนึง่ มีการแจกแจงปกติ มคี า่ เฉล่ียเลขคณติ เทา่ กับ 90 คะแนน ส่วน

เบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 20 คะแนน กําหนดให้ x เปน็ คะแนนของนักเรียนคนหนึ่ง ถา้ เปอรเ์ ซ็นต์

ของคะแนนระหว่าง x ถงึ 90 คะแนน เท่ากับ 38.30 % แลว้ x มคี า่ เท่าใด (Z = 1.19 , A = 0.3830 )

27) ในการบรรจุกาแฟผงลงในขวดทม่ี ีขนาดน้ําหนกั สทุ ธิ โดยเฉล่ยี 300 กรัม มสี ่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10

กรัม บรษิ ทั กาํ หนดไวว้ ่ากล่องที่มมี าตรฐานจะต้องมีน้ําหนกั เฉลยี่ สุทธิระหวา่ ง 300 m กรมั ในการ

ผลิตแต่ละครง้ั จะต้องได้ของท่ีได้มาตรฐาน 95 % ถ้าการแจกแจงของนาํ้ หนักกาแฟเป็นการแจกแจง

ปกติ จงหาคา่ m ( Z = 1.96 , A = 0.4750 )

28) คะแนนทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 50 คะแนน สว่ นเบย่ี งเบน

มาตรฐานเทา่ กบั 10 คะแนน ถา้ มีนักเรียนสอบคะแนนระหวา่ ง x และ 65 คะแนน มีจาํ นวน 77.45 %

จงหาคะแนน x ( Z = 1.5 , A = 0.4332 และ Z = 1 , A = 0.3413 )

29) คะแนนสอบครั้งหน่งึ มีการแจกปกติ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ เท่ากบั 50 คะแนน สว่ นเบ่ยี งเบน มาตรฐาน

เท่ากบั 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหวา่ ง x และ 40 คะแนน มีจํานวน 13.59 %

จงหาคะแนน x ( Z = 1, A = 0.3431 และ Z = 2 , A = 0.4772 )

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หน้า 107

ใบความรูท้ ี่ 31
เร่ือง แผนภาพการกระจายและความสัมพนั ธ์เปน็ เสน้ ตรง

ผลการเรยี นรูท้ ค่ี าดหวัง
นกั เรียนสามารถเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูลได้
นกั เรียนสามารถสรา้ งความสัมพันธ์ของขอ้ มลู ที่เป็นเสน้ ตรงได้

คาชี้แจง ให้นักเรียนศกึ ษาข้อความ ตัวอยา่ ง แล้วรว่ มกันอภปิ รายซักถาม ถ้าไมเ่ ข้าใจถามครู

ในการวิเคราะห์ข้อมูล บางกรณขี ้อมูลทีร่ วบรวมมาได้อาจประกอบด้วยตัวแปร 2 ตวั ซึง่ ตัวแปรท้งั สอง
น้มี ีความสัมพนั ธ์กนั เช่น สว่ นสงู กับนา้ํ หนัก รายได้กบั รายจา่ ย คะแนนสอบวชิ าครติ ศาสตร์กับคะแนนวชิ า
ฟิสิกส์ เปน็ ตน้ ความสัมพนั ธข์ องตัวแปรทง้ั สองจะเป็นลกั ษณะที่ค่าของตัวแปรหน่ึงขึ้นอยกู่ บั ค่าของอีกตัวแปร
หน่ึง เรยี กตัวแปรท่ีมีค่าเปลีย่ นไปได้โดยอิสระว่า ตวั แปรอิสระ และเรยี กตวั แปรท่มี ีค่าขึ้นอยกู่ บั ตัวแปรอสิ ระ
วา่ ตวั แปรตาม

จุดประสงค์ทส่ี ําคัญของการสร้างความสัมพนั ธฟ์ ังกช์ นั ระหวา่ งข้อมลู กเ็ พื่อใชใ้ นการทาํ นาย ( predict )
เม่อื ทราบคา่ ของตวั แปรตัวหนง่ึ ก็สามารถทาํ นายค่าของอีกตัวแปรหน่งึ ได้

ความสมั พันธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมูลแบง่ เปน็ 2 ชนดิ คอื
1. ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชันทม่ี ีกราฟเป็นเสน้ ตรง มรี ูปสมการของความสัมพนั ธเ์ ป็นดังนี้

y = mx+c y = mx+c
เมือ่ x เป็นตัวแปรอิสระ

y เปน็ ตวั แปรตาม

m, c เป็นคา่ คงตวั

2. ความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันทีม่ กี ราฟไมเ่ ปน็ เสน้ ตรง มีหลายแบบ แตใ่ นที่นจี้ ะกลา่ วเฉพาะ

ความสมั พนั ธท์ ่ีอยู่พาราโบลาและรปู เอกซโ์ พเนนเซียล

2.1 พาราโบลา มีรูปสมการของความสมั พันธ์เปน็ ดังน้ี
y = ax2+bx+c
เมือ่ x เปน็ ตวั แปรอิสระ y = ax2+bx+c

y เปน็ ตัวแปรตาม

a, b, c เปน็ ค่าคงตวั

2.2 รูปเอกซโ์ พเนนเซียล มรี ปู สมการของความสมั พันธเ์ ปน็ ดังน้ี

y = abx y = abx
เมื่อ x เปน็ ตัวแปรอิสระ

y เปน็ ตัวแปรตาม

a, b เป็นค่าคงตวั

แผนภาพการกระจาย ( scatter diagram ) คือกราฟในระบบพิกดั ฉากของตวั แปรสองตัวท่สี ร้างข้ึน
จากข้อมลู ท่รี วบรวมได้

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หน้า 108

ในการศึกษาความสัมพันธร์ ะหวา่ งข้อมลู น้ัน เนื่องจากความสมั พันธ์อาจเกิดขนึ้ ไดห้ ลายรูปแบบ ดังนนั้
เราต้องทราบถงึ รปู แบบของความสมั พันธซ์ งึ่ สามารถดูไดจ้ ากแผนภาพการกระจายของข้อมลู น้นั ๆ ในบางครั้ง
การดูจากแผนภาพการกระจายไม่สมารถบอกได้แน่นอนวา่ รูปแบบของความสมั พันธ์มีแนวโนม้ เป็นแบบใด ใน
กรณีน้ถี ้าผสู้ ร้างความสัมพันธ์มีความร้คู วามชาํ นาญเกยี่ วกับข้อมูลชนิดนนั้ ๆอาจจะบอกได้ว่าควรสรา้ ง
ความสัมพนั ธใ์ ห้อยใู่ นรปู ใดจึงจะเหมาะสมกบั ขอ้ มูลนัน้ ๆมากทสี่ ุด

ต่อไปนี้เป็นตวั อยา่ งแผนภาพการกระจายของความสัมพนั ธ์ในรปู ตา่ งๆ

รูปเส้นตรง รปู พาราโบลา รูปเอกซ์โพเนนเซยี ล

การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้ระเบียบวิธีกาลังสองน้อยที่สุด

เมื่อทราบรปู แบบของความสัมพนั ธจ์ ากแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู วา่ ควรเปน็ รปู แบบใด เปน็ รูป
เสน้ ตรง y = mx+c เป็นรปู พาราโบลา y = ax2+bx+c หรือเปน็ รปู เอกซโ์ พเนนเซยี ล y = abx

แลว้ ประมาณคา่ คงตัว m, a, b, c และเม่ือทราบค่าคงตัวแลว้ จงึ สามารถนําไปใช้ในการทํานายคา่ ตัวแปรตาม

เม่ือทราบค่าตัวแปรอิสระได้

ในการหาค่าคงตวั ทป่ี รากฏอยู่ในสมการทว่ั ไปนน้ั หาได้โดยใช้ระเบยี บวิธีกําลงั สองน้อยที่สุด

( Method of Least squares ) คือ

ถา้ ให้ Yi เปน็ คา่ ของตัวแปรตามทไ่ี ด้จากข้อมลู ทีเ่ กดิ ขน้ึ จริง

Yˆi เป็นคา่ ประมาณของ Yi ทไ่ี ด้จากการสร้างความสัมพันธ์

สมการของความสัมพันธจ์ ะใชไ้ ดด้ เี ม่ือ n Yˆi 2 มีคา่ น้อยทส่ี ดุ โดย n เปน็ จาํ นวนขอ้ มูลทีน่ ํามา

Yi

i1

สร้างความสมั พนั ธ์

เน่อื งจากวิธีการหาค่าน้อยท่ีสุดตอ้ งใช้คณิตศาสตร์ชั้นสูงจงึ ไม่แสดงวิธหี าไว้ในท่นี ี้ แต่จากวธิ ีดงั กลา่ ว

จะได้สมการทีเ่ รยี กวา่ สมการปกติ ( normal equation ) มจี ํานวนสมการเทา่ กับจาํ นวนคา่ คงตัวท่ตี ้องการหา

1. รูปเส้นตรง มีสมการท่วั ไปเปน็ y = mx+c และสมการปกติคือ

n = m n xi + cn

yi i1

i1

n = m n xi2 + c n xi

xi yi i1 i1

i1

เขียนย่อๆไดเ้ ป็น y = m x + cn

xy = m x2 + c x

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 6 หนา้ 109

ตวั อยา่ งท่ี 1 คะแนนวิชาคณิตศาสตรแ์ ละวิชาฟสิ ิกส์ของนกั เรียน 10 คน เป็นดังตารางตอ่ ไปนี้

คณิตศาสตร์(x) 71 77 75 80 87 84 65 68 93 99

ฟิสิกส์(y) 80 74 82 78 91 89 72 72 86 95

จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูลและเขยี นกราฟทใ่ี ช้ประมาณความสมั พันธร์ ะหว่างคะแนนวชิ า

คณติ ศาสตร์และคะแนนวิชาฟสิ ิกส์

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 หนา้ 110

ใบกิจกรรมที่ 31
เร่อื ง แผนภาพการกระจายและความสัมพันธ์เปน็ เส้นตรง

คาชี้แจง ใหน้ ักเรียนทาํ โจทย์ตอ่ ไปน้ี
1) ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั กช์ ันทเี่ ปน็ เส้นตรงของข้อมลู แสดงดงั ตารางต่อไปน้ี

ปริมาณปุ๋ย(กิโลกรัม/ไร่) 1 2 3 4 5
ผลผลิต(กิโลกรัม/ไร่) 8 9 10 12 15
ถา้ ปริมาณปยุ๋ เท่ากับ 3.5 กิโลกรมั ต่อไร่ แลว้ ผลผลติ จะเปน็ เทา่ ใด

2) ข้อมูลต่อไปนเ้ี ปน็ รายได้และรายจา่ ยต่อเดอื นของ 9 ครอบครัว ทร่ี ายได้ตงั้ แต่ 2,000 บาท ถึง 16,000

บาท

ครอบครวั ที่ 123456789

x : รายได้ (พันบาท) 2 4 6 7 9 11 12 14 16

y : รายจา่ ย (พนั บาท) 2 3 4 5 7 8 10 12 12

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูล
2. จงหาสมการทใ่ี ช้ทาํ นายรายจ่าย เมอ่ื ทราบรายได้
3. ถา้ ครอบครัวมีรายได้ 5,000 บาท จงทํานายรายจ่าย
4. จงหาสมการทใ่ี ช้ทํานายรายได้ เมื่อทราบรายจา่ ย
5. ถ้าครอบครัวมีรายจ่าย 9,000 บาท จงทํานายรายได้

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 หน้า 111

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ที่ 14
เร่อื ง ความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันที่เปน็ เสน้ ตรง

1) กําหนดใหค้ วามสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ ันระหวา่ งขอ้ มลู ท่กี ําหนดใหต้ อ่ ไปนี้ เปน็ เสน้ ตรง
x012456
y864330

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2. จงหาสมการของความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ทมี่ ี y เปน็ ตวั แปรตาม
3. จงหาสมการของความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ท่มี ี y เป็นตัวแปรอสิ ระ
4. จงทํานายค่า y เมื่อ x = 3
5. จงทํานายค่า x เมื่อ y = 1

2) กาํ หนดข้อมูลต่อไปน้ี
x79321
y 39 49 19 14 9

ถ้าความสมั พันธ์เชงิ ฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมูลท่ีกําหนดให้เปน็ เสน้ ตรง แล้ว
1. จงทาํ นายค่า y เมื่อ x = 6
2. จงทาํ นายค่า x เมอ่ื y = 25

3) ในข้อมูลตอ่ ไปน้ี กาํ หนดให้
x แทน จาํ นวนวันทน่ี ักเรยี นขาดเรียนวิชาสถติ ิ
y แทน คะแนนสอบวชิ าสถิติของนกั เรยี น
n แทน จาํ นวนนกั เรยี น

จากการสาํ รวจ พบวา่ ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั ระหว่าง x และ y เป็นเสน้ ตรง และได้ข้อมูลดงั น้ี

x = 90 xy = 4,750 x2 = 400

y = n = 30 y2 = 113,000

1,800

1. ถ้านายสมชายขาดเรียน 6 วนั จงทาํ นายคะแนนสอบของสมชาย
2. ถา้ นางสาวปราณไี ดค้ ะแนน 60 คะแนน จงทาํ นายว่านางสาวปราณีขาดเรียนกวี่ นั

4) ขอ้ มลู ต่อไปนเ้ี ป็นข้อมูลเก่ียวกบั ราคาของสนิ คา้ ท่ีผลิต และจาํ นวนสนิ คา้ ทีผ่ ลติ ตอ่ เดือน

ราคาขาย(บาท) 3 9 40 15 33

จาํ นวนท่ผี ลิตตอ่ เดือน( 1,000 หน่วย) 25 20 10 20 15

1. ถ้าในเดอื นมกราคม เขาผลติ สินคา้ 18,000 หน่วย จงทํานายราคาขาย
2. ถ้าในเดือนธันวาคม ราคาขาย เทา่ กบั 60 บาท จงทาํ นายจํานวนสนิ ค้าที่ผลิต

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 หนา้ 112

ใบความรทู้ ่ี 32
เร่ือง ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันท่เี ป็นพาราโบลา

ผลการเรียนรูท้ ่ีคาดหวงั
นกั เรยี นสามารถสร้างความสมั พนั ธ์ของข้อมลู ที่เปน็ พาราโบลาได้

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนศึกษาข้อความ ตัวอยา่ ง แลว้ รว่ มกันอภปิ รายซกั ถาม ถ้าไมเ่ ข้าใจถามครู
รูปพาราโบลา มสี มการทว่ั ไปเป็น y = ax2+bx+c และสมการปกตคิ ือ

n = a n xi2 +b n xi cn

yi i1 i1

i1 = a n xi3 + b n xi2 + c n xi

n i1 i1 i1

xi yi = na +b + cn n

i1 xi3xi4 xi2

n i1 i1 i1

xi2 yi2 y = a x2 + b x + cn

i1

เขียนยอ่ ๆไดเ้ ป็น

xy = a x3 + b x2 + c x

x2y = a x4 + b x3+ c x2

ตัวอยา่ งท่ี 3 ตารางตอ่ ไปนเี้ ป็นความสัมพนั ธร์ ะหว่าง x กับ y
x 1 2 3 5 6 7 9 10
y 46787643

1. จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู และเขยี นกราฟท่ีใช้ประมาณความสัมพนั ธ์
2. จงสรา้ งความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x กับ y โดยให้ x เปน็ ตวั แปรอิสระ
3. จงประมาณคา่ y จากความสัมพันธ์ เมือ่ x = 4

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 หนา้ 113

ใบกิจกรรมที่ 32
เรอ่ื ง ความสัมพันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันทเ่ี ปน็ พาราโบลา

คาช้ีแจง ให้นกั เรยี นทําโจทย์ตอ่ ไปนี้

ข้อมลู ต่อไปน้ี แสดงปริมาณการใชย้ าชนิดหนึง่ สําหรบั ทารกทีม่ ีอายตุ า่ งๆกัน ในการรักษาโรค

อายุ (เดือน) 12345678

ปรมิ าณยา(มลิ ลิกรัม) 1.5 8.5 12.5 15.5 16.5 16.0 12.5 7.5

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการความสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ของข้อมลู ทใ่ี ชท้ ํานายปรมิ าณยา
3. จงทาํ นายปรมิ าณยาทีใ่ ชส้ ําหรบั ทารกท่ีมอี ายุ 6.5 เดือน และ 9 เดือน

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หน้า 114

แบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 15
เร่อื ง ความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันทเี่ ป็นพาราโบลา

1) กําหนดข้อมลู ต่อไปน้ี
x012345 6
y 2.4 2.1 3.2 5.6 9.3 14.6 21.9

1. จงเขียนสมการของความสมั พันธ์เชงิ ฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมูลโดยมี y เปน็ ตวั แปรตาม
2. จงทํานายคา่ y เมื่อกาํ หนดค่า x ตอ่ ไปนี้

2.1 x = 1.5
2.2 x = 7

2) นักเคมคี นหนงึ่ ทําการทดลองสารเคมีชนิดหนง่ึ ลงในน้ํายาเคลอื บเงา เขาพบวา่ จํานวนช่วั โมงท่นี ํ้ายาเคลือบ
เงา แห้ง มีความสัมพันธก์ ับปรมิ าณของสารเคมที ่เี ติมลงไป ถา้ เขาเพิ่มสารเคมีลงไป โดยไดข้ อ้ มูลดังนี้
x: ปรมิ าณสารเคมี(กรมั ) 1 2 3 4 5 6 7 8
y : จํานวนช่วั โมงทนี่ า้ํ ยาแห้ง 7.2 6.7 4.7 3.7 4.7 4.2 5.2 5.7

1. จงเขียนสมการของความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหวา่ งข้อมูลโดยมี y เป็นตวั แปรตาม
2. จงทํานายดูว่า นํา้ ยาเคลือบเงาจะแห้งในเวลากช่ี ่วั โมง ถา้ เขาเติมสารเคมีลงไปเปน็ จาํ นวน

2.1 4.5 กรัม
2.2 6.5 กรมั

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6 หน้า 115

ใบความรู้ที่ 33
เร่อื ง ความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังก์ชันทีเ่ ป็นเอกซโ์ พเนนเซียล

ผลการเรยี นรู้ท่ีคาดหวงั
นักเรียนสามารถสรา้ งความสัมพนั ธข์ องข้อมูลท่เี ป็นเอกซโ์ พเนนเซียลได้

คาช้แี จง ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาข้อความ ตัวอยา่ ง แลว้ รว่ มกันอภปิ รายซกั ถาม ถ้าไมเ่ ข้าใจถามครู

รูปเอกซโ์ พเนนเซียล มีสมการท่ัวไปเป็น y = abx หรอื log y = x log b + log a และสมการปกติคอื

n = log b n xi + n log a

log yi i1

i1 = log b n xi2 + log a n

n xi

xi log yi i1 i1

i1 log y = log b x + n log a

เขียนยอ่ ๆได้เป็น

x log y = log b x2 + log a x

ตวั อยา่ งท่ี 4 ข้อมลู ต่อไปน้ี แสดงการเจริญเตบิ โตของพืชชนิดหนงึ่ จากการสาํ รวจ 7 สัปดาห์ทผี่ ่านมา
x: สัปดาหท์ ี่ 1 2 3 4 5 6 7

y : ความสูง (ซม.) 0.8 1.1 1.7 2.6 3.8 5.7 8.5
log y -0.0969 0.0414 0.2304 0.4150 0.5798 0.7559 0.9294

1. จงเขียนแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการความสัมพนั ธ์เชิงฟงั ก์ชันของขอ้ มูลทีม่ ี y เป็นตวั แปรตาม
3. จงทาํ นายวา่ อีก 5 สปั ดาห์ต่อจากนี้ไป พืชจะสูงก่ีเซนติเมตร

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 หน้า 116

ใบกจิ กรรมท่ี 33
เรอ่ื ง ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันท่ีเป็นเอกซโ์ พเนนเซยี ล

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นทําโจทย์ต่อไปน้ี

ขอ้ มูลต่อไปนี้ แสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งต้นทุนการผลติ สินคา้ ต่อหนว่ ย กับจาํ นวนสนิ คา้ ทผี่ ลิต
x: จาํ นวน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ทผ่ี ลติ
(x100)
y: ตน้ ทุน 80 65 50 40 37 34 32 30 28 26
ต่อหน่วย
(บาท)

log y 1.9031 1.8129 1.6990 1.6021 1.5682 1.5315 1.5052 1.4771 1.4472 1.4150

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชันของข้อมลู ที่ใชท้ าํ นายต้นทนุ การผลิตต่อหน่วย
3. ถา้ ต้องการผลิตสินคา้ 2,000 หน่วย จงทํานายตน้ ทนุ การผลติ ตอ่ หน่วย

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 หนา้ 117

แบบฝึกทกั ษะชดุ ท่ี 16
เร่ือง ความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันท่เี ปน็ เอกซโ์ พเนนเซียล

1) ข้อมูลต่อไปน้ี แสดงจํานวนสมาชิกของสโมสรแห่งหน่งึ ในช่วงเวลา 7 ปี ทผี่ า่ นมา 7
x: ปีท่ี 1 2 3 4 5 6 882

y : จาํ นวนสมาชกิ 304 341 393 457 548 670
1. จงเขยี นสมการของความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ นั ระหว่างข้อมลู โดยมี y เป็นตัวแปรตาม
2. จงทํานายจาํ นวนสมาชกิ ในอีก 5 ปี ขา้ งหน้า

2) ข้อมูลต่อไปน้ี แสดงจาํ นวนเปอร์เซนตข์ องอายกุ ารใช้งานทีเ่ หลอื ของยางเรเดียลทผ่ี ลิตโดยโรงงานแห่ง
หนงึ่ หลงั จากการใชง้ านไปแล้วตามระยะทางท่ีกําหนดให้

x: ระยะท่ีใช้ไปแลว้ (x100 กม.) 1 2 5 10 20 30 40 50

y : เปอรเ์ ซน็ ต์ของอายุยางทเ่ี หลอื 97.2 91.8 82.5 64.4 41.0 29.9 17.6 11.3

1. จงเขียนสมการของความสมั พันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหว่างข้อมลู โดยมี y เป็นตวั แปรตาม
2. จงทํานายเปอรเ์ ซน็ ต์ของอายุการใชง้ านของอายุยางท่ีเหลอื หลงั จากทใ่ี ช้งานไปแล้วเป็นระยะทาง

25,000 กิโลเมตร

3) จากการเพาะเช้ือ เพ่ือดูการเจริญเติบโตของแบคทีเรีย พบข้อมูลดังต่อไปน้ี
x: จํานวนวนั นับจากเร่ิมต้น 2 4 6 8 10

y : จาํ นวนแบคทีเรยี (x100 กม.) 112 148 241 363 585

1. จงเขยี นสมการของความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั ระหว่างข้อมลู โดยมี y เป็นตัวแปรตาม
2. จงทาํ นายจํานวนแบคทีเรีย เมอื่ สน้ิ สดุ วนั ท่ีห้าของการทดลอง

4) ขอ้ มลู ต่อไปน้แี สดงการเจริญเตบิ โตของพชื ชนดิ หนงึ่ จาการสํารวจ 7 สัปดาหท์ ี่ผ่านมา

x : สปั ดาหท์ ่ี 1 2 3 4 5 6 7

Y:ความสงู (ซม.) 0.8 1.1 1.7 2.6 3.8 5.7 8.5

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ทม่ี ี y เป็นตัวแปรตาม
3. จงทํานายว่าอีก 3 สปั ดาห์จากนไ้ี ป พืชชนดิ น้จี ะมคี วามสูงกี่ซม.

5) ขอ้ มลู ต่อไปน้แี สดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างต้นทุน การผลติ สินค้าตอ่ หนว่ ยกับจาํ นวนสินค้าทผี่ ลติ
x:จาํ นวนทผ่ี ลติ ( x 100 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y:ตน้ ทนุ ต่อหน่วย (บาท) 80 65 50 40 37 34 32 30 28 26

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2. จงหาสมการของความสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชันสําหรบั ทํานายต้นทุนตอ่ หนว่ ยการผลติ
3. ถา้ ต้องการผลิตสินค้า 2,000 หน่วย จงทาํ นายตน้ ทุนการผลติ ตอ่ หน่วย

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6 หน้า 118

6) ข้อมลู ต่อไปน้ีแสดงจํานวนสมาชกิ ของสโมสรแหง่ หน่ึงในชว่ ง 7 ปีท่ผี า่ นมา
x : ปที ่ี 1 2 3 4 5 6 7

Y: จํานวนสมาชกิ 304 341 393 457 548 670 882
1. จงหาสมการของความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ท่มี ี y เปน็ ตัวแปรตาม
2. จงทาํ นายจาํ นวนสมาชกิ ในอีก 5 ปี ข้างหน้า

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หน้า 119

ใบความรู้ท่ี 34
เรื่อง ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันทเ่ี ป็นอนกุ รมเวลา

ผลการเรยี นรู้ท่ีคาดหวงั
นกั เรียนสามารถสร้างความสมั พนั ธ์ของข้อมูลทีเ่ ป็นอนุกรมเวลาได้

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนศกึ ษาข้อความ ตวั อย่าง แลว้ รว่ มกันอภปิ รายซักถาม ถ้าไมเ่ ข้าใจถามครู

ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันระหวา่ งข้อมลู ท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา
ข้อมลู ท่ีอยใู่ นรปู อนุกรมเวลา ( time series ) คือข้อมลู ทเี่ ปล่ียนแปลงไปตามกาลเวลา เชน่ ปรมิ าณ

ขา้ วท่ปี ระเทศไทยผลติ ได้ในแตล่ ะปี ปริมาณน้าํ ฝนที่ตกในจังหวัดภูเกต็ ในแตล่ ะเดือน เป็นตน้ ดังนนั้
ความสัมพนั ธ์ท่ีเกิดข้นึ เป็นความสมั พนั ธร์ ะหว่างขอ้ มลู กบั เวลา ซึง่ สามารถเขียนอยู่ในรูป

y = f(x) เมื่อ x แทนเวลาและเป็นตัวแปรอิสระ
y แทนค่าของข้อมูลและเป็นตวั แปรตาม

การกําหนดคา่ x ของช่วงเวลาทีเ่ ท่าๆกัน ซึง่ อาจเป็นวัน เดือน ปี โดยทัว่ ไปมีการกําหนดดังน้ี
1. ถา้ จานวนระยะเวลาท่ีนามาสร้างความสัมพนั ธเ์ ปน็ จานวนค่ี ให้ระยะเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น

0 และระยะเวลาถดั ไปก่อนชว่ งเวลาที่กําหนดให้เปน็ -1, -2, -3, … ตามลาํ ดับส่วนระยะเวลาถัดลงมาซึ่งเปน็
ชว่ งเวลาท่ีเกดิ ขึ้นภายหลังเป็น 1, 2, 3, … ตามลําดับ เชน่ ระยะเวลามี 7 ปี ใหก้ ําหนดคา่ x ดงั น้ี

ปี พ.ศ. 2525 2526 2527 2528 2529 2530 2531
x -3 -2 -1 0 1 2 3

2. ถา้ จานวนระยะเวลาที่นามาสรา้ งความสัมพันธ์เปน็ จานวนคู่ ให้สองระยะเวลาที่อยู่ตรงกลาง
เปน็ -1 กบั 1 แทนระยะเวลาถัดไปก่อนช่วงเวลาท่ีกําหนดให้เป็น -3, -5, -7, … ตามลําดบั ส่วนระยะเวลา
ถดั ลงมาซงึ่ เปน็ ชว่ งเวลาท่ีเกดิ ข้นึ ภายหลังเปน็ 3, 5, 7, … ตามลาํ ดบั เชน่ ระยะเวลามี 6 ปี ใหก้ ําหนดค่า x
ดงั นี้

ปี พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 2531
x -5 -3 -1 1 3 5

ในการกาํ หนดค่า x แทนระยะเวลาดงั กลา่ ว ก็เพ่ือท่ีจะทําให้ x = 0 ทั้งนเ้ี พ่ือให้การหาคา่ คง
ตัวทําให้สะดวกและรวดเรว็

การสมมติคา่ x แทนระยะเวลาน้นั ไม่จําเปน็ ตอ้ งสมมตติ ามหลักทก่ี ลา่ วมาแล้วก็ได้ เพราะผลทไ่ี ด้
จากการคํานวณเหมือนกันแต่หลักการคดิ คาํ นวณมีความยงุ่ ยากมากกวา่

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6 หนา้ 120

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงสรา้ งความสมั พันธ์แบบเอกซโ์ พเนนเซยี ลของจาํ นวนประชากรโดยประมาณของประเทศไทย

ระหว่างปี พ.ศ. 2502 – 2510 ดงั ตารางต่อไปนี้

พ.ศ. 2502 2503 2504 2505 2506 2507 2508 2509 2510

จาํ นวนประชากร(ลา้ นคน) 25.6 26.4 27.2 28.0 28.8 29.7 30.6 31.5 32.5

จงหาจํานวนประชากรในปี พ.ศ.2512

วธิ ีทํา x2

xY log y x log y

- 4 25.6 1.4082 - 5.6328 16

- 3 26.4 1.4216 - 4.2648 9

- 2 27.2 1.4346 - 2.8692 4

- 1 28.0 1.4472 - 1.4472 1

0 28.8 1.4594 0 0

1 29.7 1.4728 1.4728 1

2 30.6 1.4857 2.9714 4

3 31.5 1.4983 4.4949 9

4 32.5 1.5119 6.0476 16

0 13.1397 0.7727 60

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 หน้า 121

ใบกิจกรรมท่ี 34
เร่อื ง ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั ก์ชันทเ่ี ปน็ อนกุ รมเวลา

คาชแ้ี จง ให้นักเรียนทาํ โจทย์ต่อไปนี้

ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันท่เี ป็นเสน้ ตรงของข้อมูลแสดงดงั ตารางตอ่ ไปนี้
พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524

จํานวนเครือ่ งจักรทขี่ ายได้(พันเครื่อง) 1 2 4 5 7
1. จงทาํ นายยอดขายในปี พ.ศ. 2528
2. เฉลีย่ ใน 4 เดือนแรกของปี พ.ศ.2530 มยี อดขายกี่เครอ่ื ง

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 หน้า 122

ใบกิจกรรมท่ี 35
เรอื่ ง ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันท่ีเปน็ อนุกรมเวลา (2)

คาช้แี จง ให้นักเรยี นทําโจทย์ตอ่ ไปนี้
1) ข้อมลู ต่อไปนี้ แสดงเงินเดือนของชายคนหนึง่ ต้ังแต่ พ.ศ. 2525 ถึง พ.ศ. 2535

พ.ศ. 252 252 252 252 252 253 253 253 253 253 253
56789012345

เงินเดือน ( x 1,000 6.0 6.3 6.6 7.0 7.5 8.0 9.0 10.0 11.5 13.0 15.0
บาท)

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างเวลาและเงนิ เดือน
3. จงทาํ นายวา่ ในปี พ.ศ. 2538 ชายผนู้ ้จี ะมเี งนิ เดือนเท่าใด

2) ขอ้ มลู ต่อไปนี้ แสดงปริมาณเนื้อหมูโดยเฉล่ยี (กโิ ลกรมั ) ทีแ่ ตล่ ะคนในท้องท่ีแหง่ หนงึ่ บริโภคต่อปี
ในระหว่างปี พ.ศ.2526 ถงึ พ.ศ.2534
พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 2531 2532 2533 2534
ปริมาณเนื้อหม(ู กิโลกรัม) 6.0 10.5 14.0 14.8 15.0 14.0 13.0 10.0 8.0
1. จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ระหว่างข้อมลู
3. จงทํานายปริมาณเนอ้ื หมโู ดยเฉลีย่ ท่คี นแต่ละคนบริโภคในปี พ.ศ. 2535

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6 หนา้ 123

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 17
เรอ่ื ง ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันท่เี ปน็ อนกุ รมเวลา

1) ขอ้ มูลต่อไปน้ี แสดงยอดขายเครื่องสบู นาํ้ ของบริษัทแหง่ หน่ึง ตงั้ แต่ พ.ศ. 2530 ถึง พ.ศ.2534
พ.ศ. 2530 2531 2532 2533 2534

ยอดขายเคร่ืองสบู นํ้า (x1000 เครอื่ ง) 1 2 4 5 7
1. จงเขียนแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสมั พันธเ์ ชิงฟังกช์ ันระหว่างเวลาและยอดขายเครือ่ งสบู น้ําเพื่อทํานายยอดขาย
3. จงทํานายยอดขายเครอ่ื งสบู นํ้าในปี พ.ศ. 2537
4. จงทาํ นายยอดขายเครอื่ งสูบนํ้า เฉลีย่ ใน 6 เดอื นแรกของปี พ.ศ. 2536
2) มลู คา่ อตุ สาหกรรมสิ่งทอทบ่ี ริษทั แหง่ หนึ่งสง่ ออกไปขายยงั ต่างประเทศ ต้งั แต่ปี พ.ศ. 2520 ถงึ พ.ศ. 2525
เปน็ ดังนี้

พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524 2525
มลู ค่า (ล้านบาท ) 1 3 4 5 7 9
1. จงเขียนแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ระหวา่ งข้อมลู เพื่อทาํ นายมูลค่าการส่งออก
3. จงทํานายมลู ค่าการสง่ ออกในปี พ.ศ. 2530
4. จงทาํ นายมลู คา่ การส่งออกเฉลีย่ ต่อปี ต้ังแต่ปี พ.ศ. 2526 ถงึ พ.ศ. 25330
5. จงทํานายมูลค่าการส่งออกเฉลี่ยใน 3 เดอื นแรกของปี พ.ศ. 2536
3) บริษทั แห่งหนง่ึ ทําสถตเิ กี่ยวกบั คา่ ใช้จ่ายเบ็ดประจาํ ปี ต้ังแตป่ ี พ.ศ. 2526 ถึง พ.ศ. 25332 ดงั นี้

พ.ศ. 2527 2528 2529 2530 2531 2532
คา่ ใชจ้ ่าย (พนั บาท ) 2 6 10 13 16 18
1. จงหาสมการของความสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ ันระหวา่ งเวลา และคา่ ใชจ้ ่ายเบ็ดเตล็ดเพื่อทาํ นายคา่ ใช้จ่าย
เบด็ เตลด็
2. จงทํานายค่าใชจ้ ่ายเบ็ดเตล็ดในปี พ.ศ. 2534
3. จงทํานายค่าใชจ้ ่ายเบ็ดเตลด็ เฉลย่ี ใน 3 เดือนแรกของปี พ.ศ. 2533
4. จงทํานายคา่ ใชจ้ ่ายเบ็ดเตลด็ เฉลยี่ ตอ่ ปขี องค่าใช้จ่ายเบ็ดเตล็ดตั้งแต่ปี พ.ศ. 2533 ถึง พ.ศ. 25336
4) ขอ้ มลู ต่อไปน้ี แสดงอัตราการเพิ่มของประชากรของสหรัฐอเมริกาต่อประชากร 1,000 คน ตัง้ แต่
ค.ศ. 1915 ถงึ ค.ศ. 1955 ชว่ งละ 5 ปี เทา่ ๆกนั

ค.ศ. 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955
อัตราการเพิม่ 25.0 23.7 21.3 18.9 16.9 17.9 19.5 23.6 24.6
1. จงหาสมการของความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมลู เพื่อทาํ นายอัตราการเพ่ิมของประชากร
2. จงทาํ นายอัตราการเพม่ิ ของประชากรในปี ค.ศ. 1960
5) สถติ ิประชากรของเมืองแหง่ หนงึ่ ตงั้ แต่ปี พ.ศ. 2525 ถึง พ.ศ. 2533 ชว่ งละ 2 ปี ดังน้ี

พ.ศ. 2525 2527 2529 2531 2533
จํานวนประชากร( หม่นื คน) 1 3 6 14 41
1. จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมูลเพื่อทํานายจํานวนประชากร
2. จงทํานายจาํ นวนประชากรของเมอื งน้ีในปี พ.ศ. 2535

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพมิ่ 5 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 หน้า 124

แบบฝึกทกั ษะชดุ ท่ี 18
3. จงทํานายจาํ นวนประชาเกรื่อรขงอคงวเมาอืมงสนัมี้ใพนันปธี ์เพช.งิศฟ. งั2ก5์ช3ัน0ที่เปน็ อนกุ รมเวลา (2)

1) ถ้าความสมั พันธ์ระหวา่ งรายได้ (x) และรายจ่าย(y) โดยเฉลย่ี ต่อเดือนของครอบครัวทอ่ี ย่อู าศัยในอําเภอ

หนง่ึ เป็น y = 200 + 0.85x ขอ้ ใดต่อไปน้ีผิด

1. ครอบครวั 2 ครอบครวั ในอาํ เภอน้ีมรี ายได้ต่างกัน1,000 บาท จะมีรายจา่ ยต่างกันประมาณ 850 บาท

2. แตล่ ะครอบครวั มีรายจา่ ยโดยเฉลยี่ ประมาณ 1,900 บาท เม่ือมรี ายได้ประมาณ 2,000 บาท

3. ครอบครัวซง่ึ มีรายไดเ้ ดอื นละ 3,000 บาท จะมีรายจา่ ยโดยเฉล่ยี ประมาณ 2,750 บาท

4. แต่ละครอบครวั จะมีรายไดม้ ากกวา่ รายจา่ ยเสมอ

2) กําหนดให้ y = 20 – 2x เป็นความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนบหุ ร่ีทสี่ บู คิดเปน็ ซองตอ่ วนั (x) กับจํานวนอายุ

ของผ้สู ูบบุหร่คี ดิ เป็น ปี (y) ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง

1. ถ้าเขาสูบบุหร่ีเพม่ิ ขึ้นวันละ 1 ซอง อายุลดลง 2 ปี

2. ถา้ เขาสบู บุหรี่เพ่มิ ขึน้ วันละ 2 ซอง อายุลดลง 2 ปี

3. ถ้าชายคนนัน้ อายุ 20 ปี แสดงวา่ เขาสบู บุหรว่ี นั ละ 15 ซอง

4. ถา้ เขาสูบบหุ รี่ลดลง 1 ซอง อายจุ ะลดลง 2 ปี

3) จากการศึกษาข้อมลู เกยี่ วกบั การพัฒนาความสามารถในการอา่ นของเด็กกลุ่มหน่ึงซึ่งเขา้ โปรแกรมการฝึก

อ่าน พบข้อมลู เกี่ยวกับจํานวนคําโดยเฉล่ียทีอ่ ่านใน 1 นาที ดงั นี้

จํานวนสปั ดาหท์ ่ีเข้าโปรแกรม 2 4 1 3 5 7

จาํ นวนคาํ ทีอ่ า่ นได้ใน 1 นาที 65 90 22 81 132 180

เดก็ คนหนึ่งเข้าโปรแกรมนี้จาํ นวน 8 สปั ดาห์ แล้วเขามีความสามารถอ่านไดป้ ระมาณก่ีคาํ ต่อนาที

1. 173 คํา 2. 171 คาํ 3. 164 คาํ 4. 160 คํา

4) ให้ x เป็นตน้ ทุนการผลิตสินคา้ (หน่วยเป็นพนั บาท) y เปน็ กําไรทไ่ี ดจ้ ากการขายสนิ คา้ (หน่วยเปน็ รอ้ ย

บาท ) โดยท่ี x และ y ความสมั พันธ์เชงิ ฟังก์ชนั ดังน้ี

x (พนั บาท) 1 2 3 4 5

y(รอ้ ยบาท) 2 3 5 6 7

ถ้าลงทนุ ผลิตสนิ ค้าเป็นเงนิ 5,000 บาท จะได้กําไรเท่าใด

1. 500 บาท 2. 554 บาท 3. 650 บาท 4. 647 บาท

5) ข้อมูลต่อไปนีแ้ สดงความตอ้ งการสนิ คา้ ซง่ึ สมั พันธ์กบั ราคาขายของสินคา้ นน้ั โดยสาํ รวจจากจังหวัดต่างๆ

6 จงั หวัดดังนี้

ราคาต่อหน่วย(บาท) 18 10 14 11 16 13

ความตอ้ งการ(พนั บาท) 9 125 57 90 22 79

ถ้าตอ้ งการขาย 15 บาทต่อหนว่ ย คาดวา่ ความต้องการสนิ ค้านัน้ ประมาณเทา่ ใด

1. 42,560 บาท 2. 44,860 บาท 3. 46,750 บาท 4. 48,400 บาท

6) กาํ หนดข้อมูลซึ่งแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ ง xi และ yi โดยที่ 6 = 48.6 , 6= 42 ,
xy x
i 1i i i 1i

6 x2 = 364 , 6 y = 7.8 ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั กช์ ันระหว่างข้อมูลเปน็ เส้นตรงท่ีมีสมการ y = ax + b
i 1i i1i

แลว้ a + b มคี า่ เท่าใด

1. 1.2143 2. 1.4321 3. 1.6842 4. 1.8142

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้ ค33201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ 5 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หนา้ 125

7) ขอ้ มูลต่อไปนีเ้ ปน็ ข้อมูลเก่ียวกับการสง่ั สนิ ค้าเขา้ ภายในประเทศ โดยมหี นว่ ยเปน็ ล้านตนั และมี

ความสมั พันธ์ เชงิ ฟงั ก์ชันเป็นเสน้ ตรง โดยเฉลี่ยแลว้ ในปี 2549 จะมีการสั่งสนิ คา้ เขา้ โดยประมาณ

เท่าใด

พ.ศ. 2542 2543 2544 2545 2546 2547

จาํ นวนสนิ ค้า(ล้านตัน) 2 3 4 6 7 9

1. 12 ลา้ นตัน 2. 13 ลา้ นตัน 3. 13.1 ล้านตัน 4. 12.91 ลา้ นตัน

8) ชายคนหน่ึงออมทรัพยท์ ุกปี โดยมขี อ้ มลู ดงั ตารางทค่ี าดว่าปี 2548 เขาจะออมเงินไดเ้ ทา่ ใด
พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545

จํานวนเงนิ ออม(หมื่นบาท) 1 2 4 5 7
1. 123,500 บาท 2. 123,000 บาท 3. 113,500 บาท 4. 113,000 บาท

9) บรษิ ัทแห่งหน่ึงขายผลติ ภัณฑข์ องเดก็ เล่น ยอดจําหน่าย 5 เดอื นแรก ของปีน้ี มีข้อมูลดังตาราง คาดว่า

ในเดือนมถิ นุ ายน ปเี ดียวกัน ยอดจําหนา่ ยประมาณก่ีชนิ้

เดือน มกราคม กมุ ภาพันธ์ มนี าคม เมษายน พฤษภาคม

ยอดจําหนา่ ย(100 ช้นิ ) 4 2 1 3 5

1. 920 ชิน้ 2. 940 ชนิ้ 3. 960 ชิน้ 4. 980 ชน้ิ

10) สมมุตจิ ํานวนประชากรของประเทศไทยในปี พ.ศ. 2531 – 2535 เป็นดังน้ี

พ.ศ.(x i ) 2531 2532 2533 2534 2535

จาํ นวนประชากร(ลา้ นคน) yi 45.1 46.4 47.5 48 49.1

log yi 1.654 1.667 1.667 1.681 1.691

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนั ระหวา่ งจาํ นวนประชากรกับเวลาเป็นสมการเอ็กซ์โปเนนเซียล จงพยากรณ์

จํานวนประชากรใน ปี พ.ศ. 2540
1. 10 1.4521 ลา้ นคน 2. 10 1.5021 ลา้ นคน 3. 10 1.6011 ล้านคน 4. 10 1.7356 ลา้ นคน