HEBAT! SPM 2019 Matematik Tambahan Tg 5

Practice 1 Progressions 1
10
Janjang 21
29
Practice 2 Linear Law 39
46
Hukum Linear 51
57
Practice 3 Integration 66
75
Pengamiran 86
A1 – A20
Practice 4 Vectors

Vektor

Practice 5 Trigonometric Functions

Fungsi Trigonometri

Practice 6 Permutations and Combinations

Pilih Atur dan Gabungan

Practice 7 Probability

Kebarangkalian

Practice 8 Probability Distributions

Taburan Kebarangkalian

Practice 9 Motion along a Straight Line

Gerakan pada Garis Lurus

Practice 10 Linear Programming

Pengaturcaraan Linear

Forecast Paper
Answers

PRA 2CTICE Linear Law
Hukum Linear

FORMULAE A SPMnalysis of PAPER ‘11 ‘12 ‘13 ‘14 ‘15 ‘16 ‘17
Questions 1 ✓✓✓✓✓✓✓
2 ✓✓✓✓✓✓✓

1. Gradient (m) of straight lines passing through points A(x1, y1) and B(x2, y2): m = y2 – y1
x2 – x1
y2 – y1
Kecerunan garis lurus (m) yang melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2): m = x2 – x1

2. Linear equation : y = mx + c

Persamaan linear : y = mx + c

PAPER 1

Lines of Best Fit The diagram shows the line of best fit obtained
by plotting y against x. The line passes through
2.1 Garis Lurus Penyuaian Terbaik (2, 2) and (6, 10). Find the equation of the line
of best fit.
1. y Rajah menunjukkan garis lurus penyuaian
(4, 16)
terbaik yang diperoleh dengan memplot y
4
melawan x. Garis itu melalui (2, 2)
Ox dan (6, 10). Cari persamaan garis lurus
penyuaian terbaik itu.
The diagram above shows the line of best fit
obtained by plotting y against x. 3. y Graph of y against x
Rajah di atas menunjukkan garis lurus 40 Graf y melawan x
penyuaian terbaik yang diperoleh dengan
memplot y melawan x. 30
(a) Find the equation of the line of best fit.
Cari persamaan garis lurus penyuaian 20
terbaik itu.
(b) Determine the value of y when x = 4.5. 10
Tentukan nilai y apabila x = 4.5.
0x
2. y 10 20 30

(6, 10) The diagram above shows the line of best fit
obtained by plotting the values of y against x.
(2, 2) x Determine the gradient and the y-intercept of
O the line. Hence, find the equation of the line of
best fit.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
10

Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law 

Rajah di atas menunjukkan satu garis lurus 8. log2 y
penyuaian terbaik yang diperoleh dengan
memplot nilai y melawan x. Tentukan kecerunan B(3, 8)
dan pintasan-y garis itu. Seterusnya, cari
persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. A(1, 2)

Application of Linear Law to Non- Ox

2.2 linear Relations The diagram above shows the graph of log2 y
Mengaplikasikan Hukum Linear kepada against x where points A(1, 2) and B(3, 8) lie
Hubungan Tak Linear on the graph. Given the values of x and y are
related by the equation y = 2px + q, where p and
4. Convert the equation y = 3x3 + 2x to the linear q are constants. Find the values of p and of q.
form of Y = mX + c. State the quantities to be
plotted on the Y-axis and the X-axis. Rajah di atas menunjukkan graf log2 y
Tukar persamaan y = 3x3 + 2x kepada bentuk melawan x dengan titik A(1, 2) dan B(3, 8)
linear Y = mX + c. Nyatakan kuantiti yang terletak pada graf itu. Diberi nilai x dan y
diplotkan pada paksi-Y dan paksi-X. dikaitkan dengan persamaan y = 2px + q, dengan
p dan q ialah pemalar. Cari nilai p dan nilai q.
5. Express the equation y = 4x q + 1 in the linear
form Y = mX + c. State the quantities to be 9. log10 y
plotted on the Y-axis and the X-axis.
Ungkapkan persamaan y = 4xq + 1 dalam bentuk (2, 2.2)
linear Y = mX + c. Nyatakan kuantiti yang
diplotkan pada paksi-Y dan paksi-X. 1

6. Explain how a straight line can be drawn from Ox
the equation y = —xh2– + kx, where h and k are
constants. The variables x and y are related by the
equation y = abx, where a and b are constants.
Terangkan bagaimana satu garis lurus boleh A line of best fit is obtained by plotting log10 y
dilukis daripada persamaan y = —xh2– + kx, against x as shown in the diagram above. Find
dengan h dan k ialah pemalar. the values of a and of b.
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
7. log10 y persamaan y = abx, dengan a dan b ialah
pemalar. Satu garis lurus penyuaian terbaik
3 diperoleh dengan memplot log10 y melawan x
seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas.
O x+1 Cari nilai a dan nilai b.
4
10. The variables x and y are related by the
The straight line in the diagram above is
the line of best fit when the graph of log10 y equation y = hABx + —kx , where h and k are
against (x + 1) is plotted. Find the value of y
when x is 7. constants. By plotting xy against x—32 , a straight
Garis lurus dalam rajah di atas ialah garis line passing through the points (8, 4) and
(12, 18) is obtained. Determine the value of h
lurus penyuaian terbaik apabila graf log10 y and of k.
melawan (x + 1) diplotkan. Cari nilai y Diketahui pemboleh ubah x dan y dihubungkan
apabila x ialah 7.
oleh persamaan y = hABx + —xk , dengan h dan k

ialah pemalar. Dengan memplot xy melawan x —32 ,
satu garis lurus yang melalui titik (8, 4) dan
(12, 18) diperoleh. Tentukan nilai h dan nilai k.

11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law

11. log10 y xy

(5, 8) B (3,5)

(3, 2) x2 A
O O —1x

Based on the line of best fit in the diagram (a) Find the coordinates of point A.
above, form an equation that relates the Cari koordinat titik A.
variable x to the variable y. (b) Express y in terms of x.
Ungkapkan y dalam sebutan x.
Berdasarkan garis lurus penyuaian terbaik (c) Find the value of y when x = 2.
dalam rajah di atas, dapatkan satu persamaan Cari nilai y apabila x = 2.
yang menghubungkan pemboleh ubah x 14. y
dengan pemboleh ubah y.
(2, 8)
12. log10y

(n, 8)

(0, 2) log10x (1, 1)
0 x

The diagram above shows a straight line graph 0
plotted which represents non-linear equation Diagram (a) / Rajah (a)
y = ax3, where a is a constant.
y
Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus x
yang diplotkan bagi mewakili persamaan tak
linear y = ax3, dengan keadaan a ialah pemalar. 0 x
(a) Based on the graph, express the equation (0, p)
y = ax3 in linear form.
Berdasarkan graf tersebut, ungkapkan Diagram (b) / Rajah (b)
persamaan y = ax3 dalam bentuk linear.
Diagram (a) shows part of a curve y = ax2 +
(b) Find
Cari bx, where a and b are constants.
(i) log10 a,
(ii) n. Rajah (a) menunjukkan sebahagian lengkung

bagi graf y = ax2 + bx, dengan a dan b adalah

pemalar.

13. The following diagram shows the graph of xy (a) Calculate the values of a and b.
against —1x . Point A lies on the xy-axis and the
length of AB is 5 units. HOTS Hitung nilai a dan nilai b.

Rajah berikut menunjukkan graf bagi xy (b) If the equation is reduced to the linear
melawan —1x . Titik A terletak pada paksi-xy dan y
panjang AB ialah 5 unit. form x = mx + c, a straight line graph

is obtained as shown in Diagram (b). Find

the value of p.

Jika persamaan tersebut ditukar kepada
y
bentuk linear, x = mx + c, satu graf garis

lurus diperoleh seperti Rajah (b). Cari

nilai p.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12

Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law 

15. log10 y linear yang menghubungkan pemboleh ubah
A x kepada pemboleh ubah y diberi oleh
log10 y = m log10 x + c. Lakar satu garis lurus
C (2 , 3) untuk persamaan itu.

O B (4,0) log10 x y

The diagram above shows the graph of log10 y (1, 10)
against log10 x. Point A lies on the log10 y-axis
and point B lies on the log10 x-axis. HOTS (5, 2)
Given that the distance of AC = distance of BC. Ox
Rajah di atas menunjukkan graf log10 y melawan
log10 x. Titik A terletak pada paksi-log10 y dan 18. Two variables, x and y are related by the
titik B terletak pada paksi-log10 x. Diberi jarak equation y = p–x, where p is a positive constant.
AC = jarak BC.
(a) Find the coordinates of point A. Dua pemboleh ubah, x dan y, dihubungkan
Cari koordinat titik A. oleh persamaan y = p–x, dengan keadaan p
(b) State log10 y in terms of log10 x and hence, ialah pemalar positif. HOTS
(a) Sketch the graph of y = p–x.
express y in terms of x. Lakarkan graf y = p–x.
Nyatakan log10 y dalam sebutan log10 x dan (b) Convert y = p–x to the linear form. Sketch

seterusnya, ungkapkan y dalam sebutan x. the straight line graph and explain how the
(c) Find the value of y when x = 100. value of p can be obtained given that the
Cari nilai y apabila x = 100. gradient is –2.
16. –y1 Tukar y = p–x kepada bentuk linear. Lakar
graf garis lurus dan terangkan bagaimana
(4, 61)
nilai p boleh diperoleh diberi bahawa

kecerunannya ialah –2.

(1, 13) –x1 19. The variables x and y are related by the equation
O y2 = px3 + qx, where p and q are constants.
The equation is reduced to the linear form of
Variables x and y are related by the equation Y = mX + c as shown in the table below. HOTS
y = —a +—x b—x , where a and b are constants.
A line of best fit is obtained by plotting —1y Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
against —1x . Find the values of a and of b. persamaan y2 = px3 + qx, dengan p dan q ialah
pemalar. Persamaan itu ditukar kepada bentuk
linear Y = mX + c seperti yang ditunjukkan
dalam jadual di bawah.

Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh X Y= y2
x
persamaan y = —a +—x b—x , dengan a dan b ialah
pemalar. Satu garis lurus penyuaian terbaik 15
—1y —1x .
diperoleh dengan memplot melawan 3 13
Cari nilai a dan nilai b.
(a) State the quantities to be plotted on the
17. The following diagram shows part of the graph X-axis.

of y against x. The linear equation that relates Nyatakan kuantiti yang diplot pada paksi-X.
(b) Hence, find the value of
the variable x to the variable y is given by Seterusnya, cari nilai bagi
(i) p, (ii) q.
log10 y = m log10 x + c. Sketch a straight line (c) The line of best fit Y = mX + c passes
graph for the equation.
HOTS through point (5, n). Find the value of n.
Garis lurus penyuaian terbaik Y = mX + c
Rajah berikut menunjukkan sebahagian
melalui titik (5, n). Cari nilai n.
daripada graf y melawan x. Persamaan

13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law

PAPER 2

1. The table below shows some experimental data of two related variables x and y.
Jadual di bawah menunjukkan beberapa data eksperimen bagi dua pemboleh ubah x dan y.

x 1 1.6 2 2.5 3 3.4
y 7.1 14.9 24.0 42.1 70.8 99.9

(a) Draw a graph of y against x3 using a scale of 2 cm to 5 units on the x3-axis and 2 cm to 10 units on the
y-axis.

Lukis graf y melawan x3 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-x3 dan 2 cm
kepada 10 unit pada paksi-y.

(b) Form an equation to show the relation between x and y.
Bentuk satu persamaan untuk menunjukkan hubungan antara x dengan y.
(c) Calculate the approximate value of y when x = 8.
Hitung anggaran nilai y apabila x = 8.

2. An experiment was carried out to study the changes of the concentration, K mole dm–3, of a solution with
respect to time, t seconds. The results were recorded in the table below.

Satu eksperimen dijalankan untuk mengkaji perubahan kepekatan, K mol dm–3 bagi satu larutan terhadap
masa, t saat. Keputusan eksperimen direkod dalam jadual di bawah.

t (s) 100 200 300 400 500 600

K(mole dm–3) 0.048 0.038 0.031 0.027 0.023 0.0206

It is expected that the values of P and t are related by the equation K = bt a 1, where b is a constant and
a is the initial concentration. +

Nilai P dan nilai t dihubungkan oleh persamaan K = bt a 1 , dengan keadaan b ialah pemalar dan a ialah
kepekatan awal. +

(a) Based on the table above, construct a table for the values of —K1 .
Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai —K1 .
(b) Plot —K1 against t, using a scale of 2 cm to 100 units on the t-axis and 2 cm 5 units on —K1 -axis.

Hence, draw the line of best fit.

Ppalodta—K1pakmsei-la—K1w.aSnett,ermuesnngygau, nluakkiasngsakraislalu2rucsmpeknepyuaadiaan10t0erubnaiitk.pada paksi-t dan 2 cm kepada 5 unit

(c) Find the values of a and b.
Cari nilai a dan b.

3. The table below shows some of the experimental values of the variables x and y. Given the variables x and
y are related by an equation y = hkx3, where h and k are constants.
Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi pemboleh ubah x dan y. Diberi pemboleh
ubah x dan y adalah dihubungkan oleh persamaan y = hkx3, dengan h dan k ialah pemalar.

x 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y 33.5 85.5 284.8 1 280.1 8 023.0 72 511.8

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14

Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law 

(a) Plot a graph of log10 y against x3 using a scale of 2 cm to 2 units on the x3-axis and 2 cm to 0.5 unit
on the log10 y-axis. Hence, draw a line of best fit.

Plot graf log10 y melawan x3 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x3 dan 2 cm
kepada 0.5 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.

(b) By using the graph obtained in (a), determine the values of h and of k.
Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (a), tentukan nilai h dan nilai k.

4. The table below shows some of the experimental values of variables x and y.
Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi pemboleh ubah x dan y.

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

y 5.0 6.6 10.0 17.8 30.2 69.1

(a) Plot a graph of log10 y against x2 using a scale of 2 cm to 2 units on the x2-axis and 2 cm to 0.2 unit
to the log10 y-axis. Hence, draw a line of best fit.

Plot graf log10 y melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x2 dan 2 cm
kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Express y in terms of x.
Ungkapkan y dalam sebutan x.
(c) Calculate the value of x when y = 1 000.
Hitung nilai x apabila y = 1 000.

5. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and
y are related by the equation y = pk – x, where p and k are constants.

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu
eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pk – x, dengan keadaan p dan k

adalah pemalar.

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

y 31.62 16.60 9.55 4.57 2.19 1.26

(a) Plot log10 y against x, using a scale of 2 cm to 0.5 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the
log10 y-axis. Hence, draw the line of best fit.

Plot log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2 cm
kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Use your graph in (a) to find the value of
Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai

(i) p,
(ii) k,
(iii) y when x = 0.3.
y apabila x = 0.3.

6. The table below shows some experimental values of two variables x and y which are related by an equation
a
y= b3x2 + 1 , where a and b are constants.

Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi dua pemboleh ubah x dan y yang
a
dihubungkan oleh persamaan y = b3x2 + 1 , dengan a dan b ialah pemalar.

x 0.1 0.2 0.4 0.5 0.8 0.9

y 1.867 1.512 0.662 0.356 0.024 0.007

15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law

(a) Explain how a straight line can be drawn from the equation. Hence, by using a scale of 2 cm to 0.5
unit on both axes, draw a line of best fit.

Terangkan bagaimana satu garis lurus penyuaian terbaik boleh dilukis daripada persamaan itu.
Seterusnya, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada kedua-dua paksi, lukis satu garis
lurus penyuaian terbaik.

(b) By using the graph obtained in (a), determine the values of a and of b.
Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (a), tentukan nilai a dan nilai b.

7. The table below shows some of the experimental values of two variables x and y. HOTS
Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi pemboleh ubah x dan y.

x 1.6 2.1 2.5 4.6 5.0 6.0

y 5.01 0.83 0.51 0.16 0.14 0.11

(a) Plot a graph of 1 against (x + 1) and draw a line of best fit by using a scale of 2 cm to 1 unit on the
(x + y
1
1)-axis and 2 cm to 2 units on the y -axis.

Plot graf —1y melawan (x + 1) dan lukis satu garis lurus penyuaian terbaik dengan menggunakan skala
2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x + 1) dan 2 cm
kepada 2 unit pada paksi- 1 .
y

(b) By using the graph obtained in (a),

Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (a),

(i) find the value of y when x = 0.5,
cari nilai y apabila x = 0.5,

(ii) find tkheecegrruandaienndt aanndpitnhteas—1yan-i-n—1yterucnetputkfogrrathf eitugrdaapnh and hence, express y in terms of x. x.
cari seterusnya, ungkapkan y dalam sebutan

(c) Calculate the value of y when x = 25.
Hitung nilai y apabila x = 25.

8. It is found that the values of variables x and y are related by the equation py2 + qx2 = x. The following table
shows the corresponding values of x and y. HOTS

Didapati bahawa nilai-nilai pemboleh ubah x dan y adalah dihubungkan oleh persamaan py2 + qx2 = x.
Jadual berikut menunjukkan beberapa nilai yang sepadan bagi x dan y.

x 0.4 0.7 0.9 1.2 1.3 1.4
y 1.10 1.35 1.41 1.34 1.30 1.19

(a) Plot a graph of —yx2– against x by using a scale of 2 cm to 0.2 unit on the x-axis and 2 cm to 0.5 unit
on the Hence, draw a line of best fit.
y2  -axis.
x
Pkelpoat dgara0f.5—yxu2–nimt pelaadwaapnaxksdi-eynx2g a. nSemteernugsgnuyan,akluaknissksaatlua
2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-x dan 2 cm
garis lurus penyuaian terbaik.

(b) One of the values of y has been wrongly recorded. Identify the incorrect value of y and determine its

correct value.

Salah satu daripada nilai y salah direkod. Kenal pasti nilai y itu dan tentukan nilai yang betul.

(c) From the graph, find the values of p and of q.
Daripada graf itu, cari nilai p dan nilai q.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16

Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law 

1PAPER xy shows the straight line MN obtained by plotting
y against x2.
1. (4, k) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
persamaan xy = 9x – 3x3. Rajah di atas
SPM menunjukkan garis lurus MN yang diperoleh
dengan memplot y melawan x2.
CLONE (a) Express the equation xy = 9x – 3x3 in its
2016
linear form used to obtain the straight line
1 x2 graph shown in the diagram above.
O Ungkapkan persamaan xy = 9x – 3x3
dalam bentuk linear yang digunakan
The variables x and y are related by the equation
y = —px + 3x, where p is a constant. A straight untuk memperoleh graf garis lurus seperti
line is obtained by plotting xy against x2, as
shown in the diagram above. Find the value of ditunjukkan dalam rajah di atas.
p and of k.
(b) State
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh Nyatakan
persamaan y = —px + 3x, dengan keadaan p ialah
pemalar. Satu garis lurus diperoleh dengan (i) the gradient of the straight line MN,
memplotkan xy melawan x2, seperti ditunjukkan kecerunan bagi garis lurus MN,
dalam rajah di atas. Cari nilai p dan nilai k. (ii) the coordinates of M.
[3 marks / 3 markah] koordinat M.

[3 marks / 3 markah]

2. y+x 4. The variables x and y are related by the equation
4 m
SPM SPM y= x+ x2 , where m is a constant. A straight
line
CLONE CLONE
2015 2013

is obtained by plotting (y – x) against 1 ,
x2
as shown in the diagram below.
x2
O 6 Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh
m
The diagram above shows the straight line persamaan y = x + x2 dengan keadaan m ialah
graph obtained by plotting ( y + x) against x2.
Express y in terms of x. pemalar. Satu garis lurus diperoleh dengan

Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus yang memplot (y – x) melawan 1 seperti yang
diperoleh dengan memplot ( y + x) melawan x2. x2
Ungkapkan y dalam sebutan x. ditunjukkan dalam rajah di bawah.
[3 marks / 3 markah]
(y – x)

3. y ( –2k , 5t )
M O x–12
SPM

CLONE
2014

ON x2 Express k in terms of t and m.
Ungkapkan k dalam sebutan t dan m.
The variables x and y are related by the
equation xy = 9x – 3x3. The diagram above [3 marks / 3 markah]

17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law

2PAPER

1. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. The variables x
p
SPM and y are related by the equation y = x + 2kx, where p and k are constants.

CLONE
2013

SPM Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu
p
CLONE x
2016

eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = + 2kx, dengan p dan k ialah

pemalar.

x1 2 3 4 5 6

y 8.50 4.70 3.63 3.25 3.14 3.17

(a) Based on the table, construct a new table for the values of x2 and xy. [2 marks / 2 markah]
Berdasarkan jadual itu, bina jadual baru untuk nilai-nilai x2 dan xy.

(b) Plot xy against x2, using a scale of 2 cm to 5 units on the x2-axis and 2 cm to 2 units on the xy-axis.

Hence, draw a line of best fit.
Plot xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-x2 dan 2 cm kepada

2 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. [3 marks / 3 markah]

(c) Use the graph in (b) to find the value of
Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
(i) p,         
(ii) k.

[5 marks / 5 markah]

2. The following table shows some of the experimental values of two variables x and y. The variables x and
y are related by the equation —py = qx + 1, where p and q are constants.
SPM

CLONE
2015

Jadual yang berikut menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi dua pemboleh ubah x dan y. Pemboleh
ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan —py = qx + 1, dengan p dan q ialah pemalar.

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

y 4.012 2.498 1.754 1.429 1.178 1.021

(a) Based on the table, construct a new table for the values of —1y  .
Berdasarkan jadual itu, bina jadual baru untuk nilai-nilai —1y  .
[1 mark / 1 markah]

(b) Plot —1y   against x, using a scale of 2 cm to 0.1 unit on both axes. Hence, draw a line of best fit.

Plot —1y   melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada kedua-dua paksi.

Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. [3 marks / 3 markah]

(c) Use the graph in (b) to find the value of
Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
(i) y when x = 0.24,                 
y apabila x = 0.24,
(ii) p,
(iii) q.

[6 marks / 6 markah]

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18

Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law 

3. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and
h
SPM y are related by the equation y = kx , where h and k are constants.

CLONE
2014

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu
h
eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = kx , dengan h dan k ialah pemalar.

x 4 6 8 10 12 14

y 3.69 3.07 2.54 2.10 1.73 1.42

(a) Based on the table, construct a table for the values of log10 y. [1 mark / 1 markah]
Berdasarkan jadual itu, bina jadual untuk nilai-nilai log10 y.

(b) Plot log10 y against x, using a scale of 2 cm to 2 units on the x-axis and 2 cm to 0.1 unit on the
log10 y-axis. Hence, draw a line of best fit.
Plot log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x dan 2 cm
kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.
[3 marks / 3 markah]

(c) Use the graph in (b) to find the value of
Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
(i) y when x = 5,                
y apabila x = 5,

(ii) h,

(iii) k.

[6 marks / 6 markah]

4. Table below shows the values of two variables, x and y which are obtained from an experiment. The
p = —pxq , where p and q are constants.
SPM variable x and y are related by the equation y –

CLONE
2010

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu

eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y – p = —pxq , dengan keadaan p dan
q ialah pemalar.

x 1.5 2.0 3.5 4.5 5.0 6.0
y 4.5 5.25 5.5 6.3 6.34 6.5

(a) Plot xy against x by using a scale 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 5 units on the xy-axis.
Hence, draw the line of best fit.

Plot xy melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada
paksi-xy. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
[4 marks / 4 markah]

(b) Using the graph in 4(a), find
Menggunakan graf di 4(a), cari
(i) the value of p and q,
nilai p dan q,

(ii) the correct value of y if one of the values of y has been wrongly recorded during the experiment.
nilai y yang betul jika satu daripada nilai-nilai y telah tersalah catat semasa eksperimen

dijalankan.
[6 marks / 6 markah]

19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Practice 2 Linear Law

5. The variables u and v are related by an equation —hv = 1 ­–­ —uk , where h and k are constants. The following
table shows the corresponding values of u and v.
SPM Pemboleh ubah u dan v adalah dihubungkan oleh persamaan —hv = 1 –­­ —uk , dengan h dan k ialah pemalar.

CLONE
2011

Jadual yang berikut menunjukkan nilai-nilai u dan v yang sepadan.

u 50 40 25 20 15 12.5
v 12.5 13.3 16.1 20.1 30.0 50.2

(a) Based on the table, construct a new table for the values of —1u and —1v . [2 marks / 2 markah]
Berdasarkan jadual itu, bina satu jadual baru untuk nilai-nilai —1u dan —1v .
(b) Plot —1v against —u1 by using a scale of 2 cm to 0.01 unit on both axes. Hence, draw the line of best fit.
Plot —1v melawan —1u dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.01 unit pada kedua-dua paksi.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [3 marks / 3 markah]

(c) Use the graph obtained in (b) to find the value of
Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
(i) h,
(ii) k.

[5 marks / 5 markah]

The table below shows the values of variables x and y which are obtained from an experiment. The variables

x and y are related by the equation y = px + r , where p and r are constants.
px

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu

eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + r , dengan keadaan p dan r adalah
px
pemalar.

x123456
y 5.9 4.2 4.3 4.6 5.1 5.9

(a) Plot xy against x2 by using a scale of 2 cm to 5 units on both axes. Hence, draw the line of best fit.
Plotkan xy melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya,

lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

(b) Based on your graph, find the value of
Berdasarkan graf anda, cari nilai bagi

(i) p,
(ii) r,
(iii) y when x = 35.

y apabila x = 35.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

PRA 1CTICE Progressions 2. (a) RM1 875
Janjang (b) Year / Tahun 2007
(c) RM15 607

PAPER 1 3. (a) —12

1. (a) 4 (b) 860 (b) (i) 9th rectangle / Segi empat tepat ke-9
2. (a) 9; 6 (b) 153 (ii) 6 400 cm2

3. d = 5 (b) T17 = 69 4. (a) a = —21 r p, d = – —91 r p
(b) (i) 15p cm
4. (a) k = 4 (ii) 125p cm
(c) n = 51
5. (a) d = –16 cm (b) 84 cm
5. 27, 30, 33
6. (a) a = 100; d = –4 (c) 408 cm
7. –737
8. (a) 19 (b) –380 6. (a) r = —13 , a = 81; r = – —13 , a = 162
9. 12 (b) 1 007
1 2(b) Tn = 162 – —31 n – 1; Tn = 35 – n

(c) 121—12

10. (a) a = –5 (b) m = 14 7. (a) 6
(b) 4.713 cm
11. 456 cm
12. (a) a = 81, r = —23 (b) 243 8. (a) The length of the rectangles form a geometric
13. (a) 8 (b) 788—81 progression with common ratio —12 ;
(b) 48
14. (a) 546—34 (b) 426—6441– Panjang segi empat tepat masing-masing
15. (a) —1 0–52–4– membentuk janjang geometri dengan nisbah
sepunya —21 ;
16. (a) r = – —23 , a = – —8641–
(b) –102—6334– The height of the rectangles form a geometric
progression with common ratio 2.
17. (a) a = —41 , r = 2 (b) 255—43
Tinggi segi empat tepat masing-masing
membentuk janjang geometri dengan nisbah
sepunya 2.

(b) (i) n = 4
(ii) 5 125 cm

18. (a) a = 729, r = – —32 1PAPER (b) —83
(b) 437—52 1. (a) 4

19. (a) —32 (b) —56 2. (a) m = 0, m = 1, m = –1

20. (a) r = 2 (b) —23
(b) T14 = 24 576
3. Amirul won the prize.
21. (a) —49 (b) —161– Amirul memenangi hadiah itu.

22. RM1 023 4. 567

27 5. a = 99, d = –11
23. q = p2
6. Tn = —123 – 3n
PAPER 2 7. (a) Arithmetic progression / Janjang aritmetik

1. (a) a = –21, d = 6 (b) 40°
(b) 45 (c) 360°
(c) 32
8. Syarikat Arif; RM102 598

A1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

2PAPER 18. (a) y
1. RM2 950
(ii) 4563 cm
2. (a) (i) 164 cm
(b) n = 46, Green y = p–x
1
O x

1. (a) 29 (b) 210 (b) log10 y = (–log10 p)x,
(c) 30 (b) 500 cm log10 y
2. (a) n = 6
(c) 12.58°PRA Linear Law
Hukum Linear
CTICE Ox
y = (– log10 p ) x
2

PAPER 1

1. (a) y = 3x + 4 (b) 17.5 Given m = –log10 p, compare with m = –2 to
obtain the value of p. Hence, p = 100.
2. y = 2x – 2
Diberi m = –log10 p, bandingkan dengan m = –2
3. 1.21, 2; y = 1.21x + 2 untuk memperoleh nilai bagi p. Maka, p = 100.
4. —xy = 3x 2 + 2; —yx , x 2
19. (a) x 2 (ii) q = 1
5. log10 y = (q + 1) log10 x + log10 4; log10 y, log10 x (b) (i) p = 4
(c) n = 21
6. Plotting a graph of x 2y against x 3
Memplot satu graf x2y melawan x3 PAPER 2

7. y = 0.001 1. (a)

8. p = 3, q = –1 y
110
9. a = 10, b = 3.981 Graph of y against x3
100 Graf y melawan x3
10. h = 3.5, k = –24

11. y = 103x 2 – 7

12. (a) log10 y = log10 a + 3 log10 x 90
(b) (i) log10 a = 2
(ii) n = 2

13. (a) A(0, 1) (b) y = —34x– 2 + —1x 80

(c) 5 70
6

14. (a) a = 3, b = –2 60

(b) p = –2

15. (a) A(0, 6) 50

(b) log10 y = – 3 log10 x + 6, y = 1 000 000 40
(c) 1 000 2
3

x2

16. a = 16, b = –3 30

17. log y 20
10

1 10

05 x3
5 10 15 20 25 30 35 40

O log x (b) y = 2.425x3 + 5
1 10 (c) 1 247

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A2

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

2. (a) t(s) 100 200 300 400 500 600 4. (a) log10 y
20.83 26.32 32.26 37.04 43.48 48.54 2.0
1 GGrarpahf loogf 1lo0 gy1m0 yealagwaainnsxt 2x2
K
(b) 1.8

60 Graph of —K1 against t 1.6
55 Graf —K1 melawan t
1.4

50 1.2

45 1.0

40 0.8

35

0.6

30

25 0.4

20 0.2

15 0 x2
2 4 6 8 10 12 14

10 (b) y = 100.102x 2 + 0.6
(c) 4.851
5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 t(s) 5. (a) log y

(c) a = 0.067 2.2 Graph of log y against x
b = 0.0037 10
2.0 Graf log y melawan x
1.9 10

3. (a) 1.8

log10 y

GGrarpahf loogf 1lo0 gy1m0 yealagwaainnsxt 3x3 1.6

5.0 1.4

4.5 1.2

4.0 1.0

0.8

3.5

0.6

3.0 0.4

2.5 0.2

2.0 0 0.3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 x
4.0

1.5 (b) (i) p = 117.49

1.0 (ii) k = 3.631
(iii) y = 79.43

0.5 0.7 x3
8 10 12 14
0
246

(b) h = 5.01, k = 2.02

A3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

6. (a) Plot a graph of log10 y against (3x 2 + 1) 8. (a) –yx2
Lukis graf log10 y melawan (3x 2 + 1)
4.5 Graph of –xy2 against x
log10 y GGrarpahf loogf 1lo0 gy1m0 yealagwaainns(t3(x32x+2 +1)1) 4.25 Graf –xy2melawan x
2.0
1.5 1.3 4.0

1.0 3.5 3.3
3.0

0.5 2.5
0
3x2 + 1 2.0
–0.5 3.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.5

–1.0 1.0

–1.5 0.5

–2.0 0x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

–2.5 (b) 1.10; 1.15 (c) p = 0.235; q = 0.5385

(b) a = 20; b = 10 1PAPER 2
1. p = 1, k = 13 3
2. y=– x2 – x + 4

7. (a) 3. (a) y = –3x2 + 9

–y1 (b) (i)  –3 (ii) M(0, 9)

12 Graph of –y1 against (x + 1) 4. k= 10t
Graf –y1 melawan (x + 1) 2 m
PAPER

10 1. (a) x2 1 4 9 16 25 36
9.40 10.89 13.00 15.70 19.02
8 xy 8.50

6 (b) xy

20

4

18

2 16

0 x+1 14
1 2 3 4 5 67

–1.8
–2

12

–4 10
–6 –5

(b) (i) –0.56 8
8.2
(ii) 2, –5; y = —2x—1–—3–
(c) 0.0213 6

4

2

0 x2
5 10 15 20 25 30 35 40

(c) (i) p = 8.2 (ii) k = 0.15

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A4

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

2. (a) x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 4. (a) x 1.5 2.0 3.5 4.5 5.0 6.0
—y1 0.249 0.400 0.570 0.700 0.849 0.979 y 4.5 5.25 5.5 6.3 6.34 6.5
xy 6.75 10.50 19.25 28.35 31.70 39.00

(b) –1y GGrarpahf –1yofm–1yealagwaainnsxt x xy Graph of xy against x
40 Graf xy melawan x
1.0
35
0.9

0.8 30

25

0.7

20

0.6 15

0.5 10

0.4 5

0.3 x
0 1234567
0.2 –5 –4
(b) (i) p = 51.41, q = –0.078
0.1 (ii) 6

0 x 5. (a) —u1 —v1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.02 0.08
0.025 0.075
(c) (i) 2.17 (ii) p = 10 0.04 0.062
(iii) q = 15 0.05 0.05
0.067 0.033
3. (a) x 4 6 8 10 12 14 0.08 0.02

log10 y 0.57 0.49 0.40 0.32 0.24 0.15

(b) log10 y (b)

0.8 –v1 Graph of –v1 against –u1
0.74 0.10 Graf –v1 melawan u–1

0.7 0.09

0.6 0.08
0.53
0.5

0.4 0.07 0.0665
0.06
0.3

0.2 0.05

0.1 0.04

0 2 4 56 x 0.03
8 10 12 14
(c) (i) 3.39
(ii) h = 5.5 0.02
(iii) k = 1.1
0.01 0.058
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 –u1

A5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers 18. —4110–
19. 9 unit2
(c) (i) h = 10
(ii) k = 10 20. 14—43 unit2
21. —43 unit2
(a) xy 22. 3 unit2
40 23. 72—43 unit2
24. a = 3
35
25. p = 4
30

25

20

15 26. q = 3
27. 4—21 p unit3
10 28. 91—115–p unit3

5 29. 2p unit3

x2
0 5 10 15 20 25 30 35 40

(b) (i) p = 0.84 (ii) r = 4.2 30. 6—52 p unit3
(iii) y = 5.832

31. (a) P(1, 1)

3CTICE Integration (b) 1 1 unit2
Pengamiran 12
PRA

(c) 169 p unit3
320

PAPER 1 32. 75—51 p unit3

1. (a) x 3 + c (b) – —x1 4– + c PAPER 2

2. (a) x 3 – —4x + c (b) —31 x 3 – —21 x 2 – 6x + c 1. k = 3

3. (a) —312–(4x – 3)8 + c (b) x 3 – —4x + c 2. (a) E(2, 12)
(b) 4—23 unit2
4. y = —23 x2 – 2x + 9 (c) f = 2
5. y = 8x – —12 x 4 – 3
3. (a) A(2, 4), B(5, 1)

6. 2(4x + 5)4 + c, where c is a constant. (b) (i) 3 unit2 (ii) 6—35 p unit3

dengan c ialah suatu pemalar. 4. (a) 2—32 unit2 (b) k = 3

7. k = 6, y = 3x2 – 8x – 2

8. a = –1, n = –4 (c) 10—125–p unit3

9. (a) 9 (b) 123 5. (a) h = –2, k = 2

10. (a) 274.5 (b) 61.5 2
3
11. —52 (b) (i) 10 unit2 (ii) 8p unit3

12. m=– 3 , 6 6. 9—13 p unit3
2

13. a = 4

14. k = 3

15. (a) 7 (b) 5 1PAPER 2
3
16. (a) –4 (b) m = 2 1. 2,

17. a = 2, b = –3 2. (a) p = –1 (b) 16

q=5

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A6

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

3. p = – —12 , m = 6 (b) 1 unit2 14. (a) –5~i + 12~j
2PAPER 4 (b) 13 units / unit

1. (a) a = –9, b = –6 (b) 1112 (c) —113–(–5~i + 12~j ) (b) k = ± 91
(b) h = —251–
(c) –1.2 15. (a) 7~i + 7~j
(b) 5 units / unit
2. (a) Q(2, –10)
(c) –10 16. (a) k = –4

3. (b) 4 000p cm3 17. (a) h = 15
18. 9~i – —269~j
(a) A(–2, 0), B(2, 0) (b) 21 1 unit2 19. p = 5, q = 2
(c) k = 4 3 20. p = 4, q = 3

PAPER 2

PRA CTICE Vectors 1. (a) (i) – 4a~ + 10b~ (ii) 4a~ + 2b~
Vektor (iii) 8b~
4
2. (a) (i) 6~i + 3~j (ii) –A1—B5 (2~i +~j)
PAPER 1
(b) (i) 5~i + 7~j
1. (a), (b)
Q (ii) collinear / segaris
P 3. (a) R→A   = 3~x – 2y~, P→B   = 3~x + —34 ~y
→ (b) (i) R→C   = 3hx~ – 2hy~
(ii) R→C   = 3(1 – k)x~ – —32 (1 + 2k)y~
–2PQ –21 P→Q

(c) h = —35 , k = —25
2. k = –2, h = —23
(b) D→C 4. (a) (i) R→S   = 2a~ – 10b~
3. h = – —145–, k = —38 (ii) P→T   = —38 a~ + —230–b~
4. (a) A→D
(b) h = 3
(c) A→D
5. (a) (i) S→Q = ~x – 3y~
(ii) P→T = —23 ~x + ~y
5. ((ba)) cA→oBllin=e5a~ar /+s5eb~g,arA→isC = 6a~ + 6b~
(b) h = —32 , k = —23
6. h = 2, 14

7. 18.76 units / unit 6. (a) (i) q~ – p~

8. (a) 3~x + —25 ~y (b) —25 ~y – x~ (ii) 3 n n p ~ + 3 3 n q~
9. h = 6 + +

(b) n = 4

10. (a) 3~x + 2~y (b) ~x + 2~y 7. (a) R→S   = 2a~ – 10b~ , P→T   = 4a~ + 5b~
(b) h = —25 , k = —45
1 2 11. (a) –~i – 11~j (b) ––111
(c) 50 units / unit
12. (a) –6~i + 4~j 1 2(b) –6
4 8. (a) (i) 6a~ – 5b~
(ii) —158–a~ + 2b~
13. (a) 8~i + 3~j

(b) AB7B3 units / unit

A7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

(b) (i) T→S   = —1h 1—158–a~ + 2b~2

(ii) T→S   = 1k – —158–2a~ + 3b~ ((ba)) R((→iii)Wi ) =––x~x~1++O→~2yP~ y or / atau O→P = 2R(→iWi) 12 (x~ + ~y)
2
(c) h = —23 , k = 9
5CTICE Trigonometric Functions
9. (a) (i) 2x~ + 3y~ (ii) –2~x + y~ Fungsi Trigonometri

(b) (i) 2mx~ + 3 my~ (ii) (2 – 2n)~x + ny~ PRA

(c) Q→B = 1 A→C or / atau A→C = 3 Q→B
3

1PAPER → PAPER 1 (b)

1. (a) SU 1. (a) y

y

(b) 1 (q~ – p~)
5
x
2. (a) 3x~ – 2~y –85° x

(b) – 23 x~ – 1 –225°
2
y~

3. m = 3(n – 6) Fourth quadrant Second quadrant
n+2 Sukuan keempat (d) Sukuan kedua
y
4. (a) –3a~ (b) 6a~ – 5b~ (c)
5. (a) 10 units / unit (b) –8
y

6. m = 5 x – –47 π rad
– –89 π rad
1 2 7. (a) 1   –4 (b) k = 8 x
5 3

8. (a) 5 unit Third quadrant First quadrant
(b) (i) b~ – a~ Sukuan ketiga Sukuan pertama
(ii) 2b~ – a~
2. (a) Second quadrant / Sukuan kedua
9. –10~i –~j (b) First quadrant / Sukuan pertama
(c) Fourth quadrant / Sukuan keempat
2PAPER (d) Fourth quadrant / Sukuan keempat

1. (a) (i) 6x~ – 9~y (ii) 2x~ + 6~y 3. (a) – 3 (b) 21
2
3
(b) m= 8 4. (a) —153– (b) —1132–

n= 3 (c) – —153– (d) – —152–
4

(c) h = 3

2. (a) (i) a~ – 2b~ (ii) 41 (a~ – 6b~) 5. (a) h (b) AB1B–BBhB 2

(b) 3 37 units / unit (c) —AB1—Bh–B—Bh—B 2 (d) h

4 2 1 6. (a) 8.44°, 171.56°
5 10 (b) 192.91°, 347.09°
(c) m= , n = (c) 62.80°, 297.20°
(d) 151.81°, 208.19°
3. (a) (i) 1–8a~ + 6b~ (ii) 16a~ + 6b~ (e) 60.80°, 240.80°
(b) k = 3 (f) 146.26°, 326.26°

4. (a) (i) –10u~ + 15~v 7. (a) 7.37°, 82.63°, 187.37°, 262.63°
(ii) 4u~ + 9~v (b) 53.91°, 96.09°, 233.91°, 276.09°
(c) 337.03°
(b) PT : TR = 1 : 2

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A8

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

(d) 5°, 65°, 185°, 245° PAPER 2
(e) 150°, 240°
1. (a), (b)
8. (a) y
y
2 y = 2 sin 2x y = sin 2x
1

0 90° 180° 270° x 0 –2π π 3–2π x
–2 360° 2π
–1
y = –21 ΂1 – –πx ΃

(b) 5 solutions / 5 penyelesaian

y y = –12 cos 2x 2. (a) (i), (ii)
y = –12 kos 2x y
0.5
y=2– x
y = 1 – sin 2x
2π
x
0
90° 180° 270° 360° 1
–0.5
0 π x
(c) y 2π

3 solutions / 3 penyelesaian

y = |tan x| 3. (b) & (c)

y

2

1

0 x O 1π πx
2
90° 180° 270° 360° 1
π
2 + sin 2x (b) y = utan 1 xu y=1+ x
2
9. (a) y= cos x – 2 – 1 2 solutions / 2 penyelesaian
(c) y=
4. (a) 19° 28ʹ, 90°, 160° 32ʹ, 270°
y = kos x – 2 (b) y

10. 146.31°, 153.43°, 326.31°, 333.43°
x
11. (a) 0 rad, p rad, 2p rad y = 3 – sin 2x y = 2 – 2x
(b) —16 p rad, —65 p rad, —76 p rad, —161–p rad π
3
(c) —12 p rad, —32 p rad 2
(d) —12 p rad, —32 p rad
(e) p rad 0π π
2

–3

12. (a) – 112690 (b) 5665 3 solutions / 3 penyelesaian
5. (a), (b)
13. (a) —6136– (b) —AB13—0B
y y = 2 |cos 2x|
(c) 1—623– (d) —1116–99– 2 y = 2 |kos 2x| y = –21 + 5–4π x

14. 169
119
1

15. (a) 0—67 rpadra, d—32, p—1116r–apd,rapdrad, —43 p rad, 2p rad
(b)
0 –2π π 3–2π 2π x

(c) —16 p rad, —12 p rad, —56 p rad, —23 p rad
—490p– rad, —130p– rad, —170p– rad, —343–0p– rad, —223–0p– rad, —118–p– rad,
(d) p rad.
(e) 0 rad, 2p rad
—85p– rad

A9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

4. (b) y
2
1PAPER

1. 45°, 75°58ʹ

2. –  —177– O 2π x
–2
3. 30°, 90°, 150°, 270° 4 solutions / 4 penyelesaian

4. (a) —1k (b) 2kAB1B–BkB 2B

5. (a) AB1B–BrB 2B (b) —–—1 —–

2rAB1B–BrB 2B

6. (a) (i) n = 3 (b) 0°, 65.91°, 114.09°, 180°, 245.91°
(i) q = 2 (c) y

(b) 1 solution / 1 penyelesaian 2 y = 1 + sin x

2PAPER
1. (b), (c)

y 1 y=2– x
y = | – tan 2θ | π

y = 1 – –πx– 0 π 2π x
3 solutions / 3 penyelesaian

x PRA 6CTICE Permutations and Combinations
0 –4π –2π 3–4π π Pilih Atur dan Gabungan

4 solutions / 4 penyelesaian

2. (a) (ii) 52°15ʹ, 127°46ʹ, PAPER 1
232°15ʹ, 307°46ʹ
1. 24
(b) y 2. 5 040
3. (a) 24
1 y = – cos 2x 4. 40 320 (b) 15 120
y = – kos 2x 5. (a) 48
x 6. 120 (b) 48
7. 1 080
0 –2π π 3–2π 2π 8. (a) 1 440 (b) 840
–1 9. (a) 120 (b) 72
10. (a) 362 880
3. (a), (b) (b) 103 680
(b) 80 640 (b) 462
y 11. (a) 479 001 600 (b) 369 600
3 12. (a) 210 (b) 35
2 y = tan 2x − 1 13. (a) 34 650 (b) 35
14. (a) 35
1 15. (a) 21 (b) 80
16. 840 (b) 350
0 x 17. 4 (b) 371
–1 —8π —4π 3—8π —2π 5—8π 3—4π 7—8π π 18. (a) 210
– 2 y = − —2πx− 1 19. (a) 1 400
20. (a) 140
–3

3 solutions / 3 penyelesaian

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A10

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

PAPER 2 14. (a) 72 (b) 7407

1. (a) 40 320 (b) 1 440 15. 5
2. (a) 17 280 (b) 1 555 200 18
3. (a) 72 (b) 48
(b) 42 16. (a) 1112 (b) 116
(c) 36 (b) 462
4. (a) 15 120 17. —785–
(b) 4 320
(c) 1 008 (b) 480 18. 0.07
5. (a) 1 716 (b) 217
19. 0.243
(c) 308 20. —273–41–

1PAPER PAPER 2
1. (a) 40 320
2. (a) 560 1. (a) —83 (b) —116–
3. (a) 210
2. (a) —1252– (b) —1235–

3. (a) —2535– (b) —2101–72–

1. (a) 5 005 (b) 6 435 4. (a) 0.504 (b) 0.054
2. 240 (b) 315
3. (a) 1 716 5. (a) —51 (b) —54

6. (a) —5687– (b) —143–34–

7CTICE Probability
Kebarangkalian
PRA 1PAPER
PRA
PAPER 1 1. (a) 1253 (b) 13265

1. —21 2. 2544
2. —14 3125
3. —52
4. n = 5 3. (a) 13 (b) 59
5. (a) 516 (b) 43 4. (a) 2410 (b) 4109
6. y = 10
1. (a) 1 (b) 83
4
7. (a) 625265 (b) 3 11625 81
2. 125

8. (a) 0.0625 (b) 0.1406

9. (a) 0.7 (b) 0.1 8CTICE Probability Distributions
Taburan Kebarangkalian
10. 1
11. —1113– PAPER 1

12. 2 1. 0.02842
3 2. 4, 2.4, 1.549
3. 0.1115
13. (a) 32 (b) 310 4. 0.6563

(c) 7
10

A11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

5. 0.6230 (b) n = 3 1PAPER
6. (a) 0.2416 (b) 0.0006554
7. (a) 0.2787 1. (a) {(E, E), (E, F), (F, E), (F, F)}
8. P(X = 0) = 0.216, (b) 0, 1, 2

P(X = 1) = 0.432, 2. (a) —23 (b) 20
P(X = 2) = 0.288, 3. (a) 1.2 (b) 37.556
P(X = 3) = 0.064
4. (a) (i) 0
P(X = x) (ii) 1
(b) 0.4772
0.5

0.4 5. (a) 1.697 (b) 0.9978

0.3 6. 0.4202
7. (a) e + f – —4396– (b) p = 0.5879

0.2 2PAPER
1. (a) 0.2150
0.1 (ii) 65
(b) (i) 0.5769
0.0 x (ii) 0.6778
0123 2. (a) (i) p = 0.2 (ii) 50.10
(b) (i) 0.2595
(b) 19.5
9. n = 90, k = 1 (b) 0.3829 3. (a) (i) 0.3115 (ii) 0.6329
3 (b) 0.3384 (b) (i) 0.1239 (ii) k = 3.29

10. (a) –2 (b) 0.1359
(b) 53.28%
11. (a) 0.1151 (b) 0.9938
(b) x = 56.208
12. (a) 0.8944 1. (a) (i) 0.1762 (ii) 0.8658
(b) (i) 0.6304 (ii) 3.774 kg
13. 0.8427
2. (a) (i) n = 24 (ii) 0.03077
14. (a) 1
(b) (i) 0.1587

15. (a) 2.28% (ii) 1 417 or / atau 1 418

16. (a) 2.5

17. (a) k = –1.264 PRA 9CTICE Motion along a Straight Line
Gerakan pada Garis Lurus
18. 60

PAPER 2 PAPER 1

1. (a) 0.6083 (ii) 0.02275 1. (a) 13 m
(b) (i) 2.275% (b) 4 m

2. (a) (i) p = 0.025, n = 3000 2. (a) 30 m
(b) t = 1.732
(ii) 0.0000022

(b) (i) 0.9772 (ii) 53 g

3. (a) (i) n = 3 040 (ii) 0.00385 3. (a) 12 m
(b) 29.02% (b) 50 m

4. (a) (i) 0.3456 (ii) 300 4. t (s) 0 1 2 3 4 5
(b) (i) 0.0099 (ii) m = 2.3428
s (m) 0 3 4 3 0 –5
5. (a) (i) 0.01622 (ii) 375; 9.682
(b) (i) 0.2149 (ii) 0.3962
t=0 t=1

6. (a) 0.09935 (ii) 64 t=5 t = 2 s (m)
(b) (i) 0.02275 234
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
7. (a) (i) 0.3364 (ii) 0.8840 t=4 t=3
(b) 253

8. (a) 0.9192 (ii) 246.8 5. (a) t = 1, 3
(b) (i) 32 (b) 2 m to the left of O. / 2 m ke kiri O.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A12

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

6. (a) s = t2 – 4t + 5 22. (a) –17 m s–1
(b) –15.5 m s–1
s (m)
17 23. (a) s = —23 t 2 – —31 t 3 + 4t
(b) 18—23 m to the right of O.
5 18—32 m ke kanan O.

1 t (s) 24. (a) 6 m to the right of O.
O2 6 6 m ke kanan O.
(b) 9 m to the right of O.
(b) 20 m 9 m ke kanan O.

7. (a) v = 2t – 4 (b) v = 1 – 4t – 9t 2

(c) v = t 2 + 8t (d) v = t – 3t 2 PAPER 2
(e) v = 10t – —41
8. v = 6t 2 – 6t 1. (a) 27
(b) –24.5 m s–1
v (m s–1) (c) –36 m s–2
36
v = 6t2 – 6t 2. (a) –15 m s–1
(b) –16—31 m s–1
(c) 36 m to the left of O. / 36 m ke kiri O.

0 t (s) 3. (a) h = 6
–1.5 0.5 1 3 (b) t = 1, 3
(c) 8 m

9. (a) v = 6t 2 – 3 (b) –3 m s–1 4. (a) 16 m s–1 (b) 36 m

(c) 21 m s–1, 147 m s–1 (c) 6 s (d) t > 4

10. (a) 2t – 9 (b) –1 m s–1 5. (a) (i) –1 m s–1 (ii) 43 m
(c) t = 4.5
(b) v
11. (a) s = 2t 2 + 3t
(b) s = t 3 – 3t 2 + 2t 15

(c) s = 6t – 2t 3 – —52 t 2
(d) s = 2t 3 – 7t
(e) s = —14 t 2 – —13 t 3

12. (a) 24 m to the left of O. 8
24 m ke kiri O.
(b) 13.5 m to the right of O.
13.5 m ke kanan O.

13. (a) 105 m to the right of O. t
105 m ke kanan O.
(b) 29 m

14. (a) 9 m s–1 (b) 20 m 0 24 7
(3, –1)
15. (a) a = 10t (b) a = 4 – 6t
(c) a = 6(2t – 7)2 3  t  7

16. (a) a = 36t – 10 (b) a = –24t 6. (a) –8 m s–2
(c) a = 18t – 4 (b) 16 m s–1
(c) 90—23 m
17. (a) 14 m s–2 (b) 4 m s–2

18. (a) 20 m s–2 (b) 8 m s–2 7. (a) —21 , t , 3

19. (a) –6 m s–2 (b) —2174– m to the right of O at t = —12 ;
(b) –12 m s–2, 12 m s–2 —2174– m ke kanan O pada t = —21 ;

20. (a) 24 m s–2 (b) 18 m s–2

21. (a) v = t 2 – 12t + 12
(b) –24 m s–1

A13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers

4—12 m to the left of O at t = 3. PRA 10CTICE Linear Programming
4—12 m ke kiri O pada t = 3. Pengaturcaraan Linear
(c) –2 m s–1
PAPER 1
(d) 5—1112– m
1.
y
8. (a) p = 3 (b) 3 m s–1
(c) y = 2x – 3

v (m s–1)

O x

3 v = –3t2 + 6t

O t (s)
1 23
2. y

–9 y = 5 – 2x
Ox
(d) 8 m

2PAPER 3. y

1. (a) 1 (b) 0 , t , 6 O 2y = x + 10
(c) t = 12 (d) 108—13 m
y=x–3
2. (a) 12 m s–1 (b) t = 4 x

(c) 12.25 m s–1 (d) 51—31 m x+y=8

3. (a) –1 m s–1

(b) 22 m 4. y , x + 2, y + x , 6

(c) Particle X = 2 m 5. 2y , 3x + 4
Particle Y = 2 m

6. y – 4x < 2, y + x . –2

7. 3y < 2x + 9, y + x < 3

1. (a) (i) 4 m s–1 (ii) t = 4 s 8. y
(b) (i) v 10
y=x+4
y = 10

4

0 2 45t O 4 x
x=4
2y + 5x = 20

9.

–5 y
8 3y – 4x = 12
(ii) 13 m
2. (a) 10 1 m s–1 (b) 9 5 m 4 5y + 8x = 40
6 –3 O x
8
(c) 247 s (d) 9 s 5
2

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A14

10. y y=8 Additional Mathematics  Form 5  Answers 

8 (6, 8) 2. (a) x + y > 50;
y – x > 10;
y = 2x – 4 4x + 3y < 300
3 (b) y

100

O 2 2y + 3x = 6 x 90

11. y < 6, 2y + x > 8, y > 2x – 12 80
4x + 3y = 300
12. (a) x , y (b) y < 2x y – x = 10
(c) 2x + 3y < 30
70

13. (a) x < 50 (b) y > 20 60
(c) x + y > 100 R

14. (a) x + y < 200 (b) x < 60 50
(c) y > 50
40
15. (a) x + y < 80 000 (b) x < 2y y = 40
(c) y > 40 000

16. The objective function is a set of lines which is 30
parallel to 20x + 35y.
20
Fungsi objektif adalah satu set garis lurus yang selari
dengan 20x + 35y.

17. 54 10

PAPER 2 x + y = 50

1. (a) x + 2y < 100; 0 x
10 20
30 40 50 60 70
(c) (i) 30
2y > —53 x; (ii) 10 < x < 30

x < 30 3. (a) 4x + 5y < 200;
(b) y > 8;
y > x – 10
y
(b)
50
y
x + 2y = 100
45 k = 2x + y 40

40 x = 30
y = 40

35 (30, 35) 35
4x + 5y = 200

30

30 25
R
20 y = x – 10
25 R

20 15

15 16x + 15y = 360
10
10
y=8
5 2y = –35 x 5

0x 0 26 x
5 10 15 20 25 30 35 5 10 15 20 25 30 35

(c) (i) 95 (c) (i) 26 units / unit
(ii) x = 20 (ii) 15 units / unit

A15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers III : y > 40 x
100
4. (a) 8x + 18y > 720;
5x + 8y < 800; (b)
8y < 5x
y
(b) y

100 x

90 100 x = 35
90 4x + 5y = 500
80 5x + 8y = 800
70 8y = 5x 80

60 70

50 (80, 50)
40 = 782x0+ 18y
30 60

Region R
50

20 R 40 y = 40 x
30 100
10 k = 10x + 30y
k = 40x + 30y
x
0 20 40 60 80 100 120 140 160 20 y = 14

(c) (i) maximum / maksimum = 120 10
minimum = 40 x + y = 45
(ii) RM2 300
0x
5. (a) x + y < 9; 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y > —12 x;
5x + 2y < 30 (c) (i) 14
(ii) RM4 310
(b) y
2PAPER
9 1. (a) x + 2y < 60; y < 2x
k = 1200x + 600y
(b) The number of badminton rackets is not more
8 than 5 times the number of tennis rackets.

7 Bilangan raket badminton tidak boleh melebihi
5x + 2y = 30 5 kali bilangan raket tenis.

6 (c) y

5 (4, 5) 30 y = 2x

k=x+y
25

4R x+y=9
3
20

2 15
R

10 (42, 9) x = 5y

1 x 5 x + 2y = 60
y = –12 x
0x
0 12 3 45 67 10 20 30 40 50 60

(c) (i) 4 lorries / buah lori (d) (i) 10
(ii) 7 800 kg (ii) 51

6. (a) I : 80x + 100y < 10 000 or 4x + 5y < 500
II : x + y > 45

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A16

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

2. (a) x + y . 40; (b) y
6x + 5y < 900;
3y > 5x 1000 400x + 200y = 200 000
(b) 900
y 800
700
180 600
500
160 400
300
140 200 y = 500
100
120 3y = 5x 100x + 50y = 30 000R
100 k = 5x + 3y x = 2y

80

60 6x + 5y = 900

40 x

20 k = 5x + 3y 0 100 200 300 400 500
x + y = 40
x (c) (i) 400 pairs / pasang
0 20 40 60 80 100 120 140 160 (ii) RM50 000

(c) 150 , P < 625 2. (a) x + y < 240;

x < 40;

3. (a) x + y < 100; y > 3x
y < 2x;
3x + 5y > 200 (b) y

(b) y 240 x = 40
(40, 200)
y = 3x
80 y = 2x 200

70 160 R x + y = 240
(34, 66) 120
80
60

k = 60x + 100y
50

40 k = 80x + 40y
40
30
22 R x
0 40 80 120 160 200 240
20 x + y = 100
(c) (i) 40 wooden chairs / kerusi kayu
3x + 5y = 200 x 200 plastic chairs / kerusi plastik
80 100 120 (ii) RM11 200

10 1PAPER

x = 30 1. (a) 16
0 (b) 4

20 40 60 2. (a) p = –1

(c) (i) 22 units / unit
(ii) RM8 640

(b) 0

3. (a) g(x) = 5x – 4 or g(x) = 4 – 5x
–2 2
1. (a) 400x + 200y < 200 000;
(b) p = – —52
100x + 50y  30 000;

x < 2y

A17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

  Additional Mathematics  Form 5  Answers 5. (a) (0, 2)
(b) (12, –6)
4. b = –5, and c = –3 (c) 2y = 3x + 4

5. h < –3, h > 5 6. (a) mode = 62.5
6. q = —p82
7. x = – —23 Students
8. x = –3 Pelajar

9. 3m + n – 3 18

10. n = 18 16
11. s∞ = —12
12. p = —61 , and q = 16 14
13. y = – —43 x + —78
14. (10, —129 ) 12
15. h = 7
10
16. —7~—iAB+5—B32~—j
8
17. –19
18. —(2–x—–(x—1)–—2(14—)x2 —– 5—) 6
19. —ddxy– = –8
20. 43 4
21. h = 3
22. k = 2 2 Mass
Berat
23. 19.47°, 90°, 160.53° 0
50.5 55.5 60.5 65.5 70.5 75.5
24. (a) q = 1.712 rad 62.5
(b) 34.30
(b) 62.72
25. (a) x = 5
(b) 14 7. (a) log x 0.18 0.30 0.48 0.60 0.65 0.78
log y 0.66 0.84 1.08 1.26 1.33 1.52
2PAPER
1. x = 2, – —45 log10y GGrarpahf loogf 1lo0yg1m0yealagwaainnsltolgo1g01x0x
1.8
or
y = 3; – —72 1.6
2. (a) t = —4u—3–—2–
(b) 12 1.4 (0.65, 1.33)

3. (a) h = 2 or k = –6 1.2
(b) y = x3 – 3x2 + 7
1.0
4. 5 0.8 (0.3, 0.84)

2 0.6
0.4 0.42

0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8log10x

– 1 π π 3π 2π (b) (i) m = 2.63
2 22 (ii) n = 1.4

4 solutions / 4 penyelesaian

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A18

Additional Mathematics  Form 5  Answers 

8. (a) (i) → = 12~y – 8~x 14. (a) x + y > 30
AB = 8~x + 16~y y < 2x
(ii) O→Q = h(8~x + 16~y) 80x + 60y < 3 600
= (8 – 8k)~x + 12k~y
(b) (i) → '(b) y
OP
60 y = 2x
(ii) O→P
50
(c) h = —37 , k = —47

9. (a) —43 π or 4.189 rad 40

(b) 50.27 cm 30
(c) 134.05 cm2
(d) 122.5 cm2 20 80x + 60y = 3600
10 y = 12
10. (a) (i) a = 2
b = –8 x = 18

(ii) —332 unit2 0 10 20 30 40 50 60 x
(b) 27π –10 k = 80x + 60y

11. (a) (i) 8 –20
(ii) 1.88 x + y = 30
(b) (i) 0.2373
(ii) 0.1035 –30

12. (a) x = 110, y = RM3.40, z = RM49.50 (c) (i) Maximum x = 36, Minimum x = 18
(b) 109.85 (ii) 2 000
(c) RM24 716.25
(d) 115.34 15. (a) 48.85°
(b) 13.75
13. (a) 3 (c) 17.66°
(b) 4 (d) 41.08 cm2
(c) t , –1 and t . 3

(d) —539 m

A19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

NOTES

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. A20