Spotlight A+1 Tg 4.5 Matematik

Ciri-ciri Ekstra Buku Ini

BAB Fungsi dan Persamaan Kuadratik
dalam Satu Pemboleh Ubah
1

SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka Peta konsep
Surat
skop bestari 1.1 Fungsi dan Kandungan keseluruhan bab
Persamaan • Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik 3 diringkaskan dalam bentuk
Mengandungi Standard Kuadratik dalam satu pemboleh ubah. peta konsep.
Pembelajaran (SP) yang perlu
dicapai dalam setiap bab. • Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan banyak kepada satu, 3
dan seterusnya memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik.

• Menyiasat dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai 4
a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik, f(x) = ax2 + bx + c.

• Membentuk fungsi kuadratik berdasarkan suatu situasi dan 5
seterusnya menghubungkaitkan dengan persamaan kuadratik.

• Menerangkan maksud punca suatu persamaan kuadratik. 5

• Menentukan punca suatu persamaan kuadratik dengan kaedah 6
pemfaktoran.

• Melakar graf fungsi kuadratik. 6

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan kuadratik. 7

Konsep Tg 4

BAB

1

2

Kata Kunci Satu pemboleh ubah, x Kuasa x ialah nombor bulat Kuasa tertinggi x ialah 2 Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

• Fungsi kuadratik/ Quadratic function
• Persamaan kuadratik/ Quadratic equation
• Pemboleh ubah/ Variable
• Hubungan banyak-kepada-satu/ Many-to-one relation
• Titik maksimum/ Maximum point Hubungan banyak Ciri-ciri ungkapan kuadratik Situasi
Tg 4 • Titik minimum/ Minimum point kepada satu ax2 + bx + c kehidupan
Bab 1 Fungsi dan Per••s aUPmujainaacnna g/K aRuroiasod mtraetnikgduafulakm/ HSoartiuzoPnetmalbloinleehteUstbah mengenal pasti berdasarkan
Matematik ialah
Fungsi kuadratik
1BAB Contoh 9 setiap nilai x berikut ialah • Kaedah pemMfeankteonratnu/k Manethpoudnocf afasctuoaritsuatipoenrsamaan mengenal Fungsi dan Persamaan membentuk Persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0
Tentukan sama ada • KPuesnacna pneyrautkab/ua Rhaaedanrl/a rEtoifofketcdt eofncghaanngekaedah pemfaktoran Kuadratik dalam Satu maksud menentukan
•
punca bagi persamaan kuadratik x2 + x – 6 = 0• . Kadar perMubeanhyaenle/ sRaaikteanof pchearsnagme aan kuadratik dengan kaedah Pemboleh Ubah
(a) x = 1 (b) x = 2 (c) x = –3 pemfaktoran.
memerihalkan melakar
Penyelesaian: 1 Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk
ax2 + bx + c = 0.
(a) Apabila x = 1, x2 + x – 6 = 12 + 1 – 6 berdasarkan Punca persamaan kuadratik
= – 4 ≠ 0 2 Faktorkan ax2 + bx + c = 0 dalam bentuk
∴ x = 1 bukan punca persamaan (mx + p)(nx + q) = 0. Ciri-ciri Graf kuadratik f (x) = ax2 + bx + c
1
x2 + x – 6 = 0.
3 Nyatakan mx + p = 0 atau nx + q = 0.
4 Selesaikan dua persamaan linear di 3 untuk
(b) Apabila x = 2, x2 + x – 6 = 22 + 2 – 6 mendapat x = – —mp– atau x = – —nq–. menyiasat kesan
=0 perubahan a, b dan c
∴ x = 2 ialah punca persamaan Bentuk Paksi simetri graf
x2 + x – 6 = 0. melengkung selari dengan paksi-y
(c) Apabila x = –3, x2 + x – 6 = (–3)2 + (–3) – 6 Contoh 10
c=0 b=c=0 b=0
=9–3–6 Tentukan punca setiap persamaan kuadratik Titik maksimum a0
= 0 berikut dengan kaedah pemfaktoran. atau minimum
∴ x = –3 ialah punca persamaan (a) x2 + 5x = 14 a0 a,0 a,0 y a,0 a0
x2 + x – 6 = 0. (b) (3x + 2)(x – 1) = 3x + 13 y y y y
y

Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 1.1 Penyelesaian: Ox O x Ox Ox
(a) x2 + 5x = 14
TIP Bestari x +7 +7x Ox Ox
x2 + 5x – 14 = 0 x –2 –2x
(x + 7)(x – 2) = 0 x2 –14 +5x

x+7=0 atau x–2=0
x = –7 atau x=2
y
y = x2 + x – 6 Graf y = x2 + x – 6 (b) (3x + 2)(x – 1) = 3x + 13
3x2 – 3x + 2x – 2 = 3x + 13
memotong paksi-x pada 3x2 – 4x – 15 = 0 3x +5 +5x
–3 O 2 x x = –3 dan x = 2. Oleh (3x + 5)(x – 3) = 0 x –3 –9x

itu, punca persamaan 3x2 –15 –4x
kuadratik x2 + x – 6 = 0
ialah pintasan-x bagi graf 3x + 5 = 0 atau x – 3 = 0 Tg 4
y = x2 + x – 6.
x = – —35 atau x =3
TIP bestari
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Matematik

Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 1.1 (c) Ungkapan 6t2 + pt – 9 mengandungi dua
1.1 Fungsi dan Persamaan pemboleh ubah p dan t. Maka, 6t2 + pt – 9 BAB
Melakar graf fungsi kuadratik Kuadratik bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
1

Graf fungsi kuadratik berbentuk Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ubah.
1
Tip berguna untuk y = ax2 + c y = ax2 + bx y = a(x + m)2 ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
membantu murid (a) a . 0 (a) a . 0 ubya=ha(px + m)(qx + n) (d) Ungkapan y – 7y 2 mengandungi satu
menyelesaikan masalah (a) a . 0 pemboleh ubah y. Tetapi, kuasa bagi y dalam
y y y 1. (aU)ngak.ap0an kuadratik dalam satu pemboleh 1
ubah iyalah suatu ungkapan algebra berbentuk sebutan 7y 2 bukan suatu nombor bulat. Maka,
ax2 + bx + c, a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan 1
2. Cxpeii–rmail–-mpab–chOoirlpiehemuu–bbnoa–gqn–hlke:ahpxuanbah.kuadratik y – 7y 2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu
c x O – a–b x O –m x dalam satu pemboleh ubah.
O (b) a , 0 (b) a , 0 x
(b) a , 0 (b• )Uang,ka0pan mengandungi hanya satu pemboleh Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 1.1 Portal Spotlight
y y ubahy.
y • Kuasa pemboleh ubah ialah suatu nombor Persamaan kuadratik dalam satu
O –m pemboleh ubah
dalam subtopik berkaitan. c x O – a–b x • Kb–uu–mpl–aaOsta. tert–in–qn–ggi xbagi pemboleh ubah ialah 2. https://bit.ly/3d1ZKeM
O

TIP Bestari
Imbas kod QR untukboleh diwakili oleh huruf-huruf abjad yang lain.
TIP B6
1.1.5 1.1.6 1.1.7 estari
Pemboleh ubah x dalam ungkapan kuadratik juga

Jika p mewakili suatu pemalar, maka 6t2 + pt – 9
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
Contoh 1 ubah, t. melayari laman web atau
video berkaitan subtopik
KALKULATOR Tg 44a2 + b + 3 —r22 – 2r –h2 + 8h – 2 3t2 + —5t Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan yang dipelajari.
banyak kepada satu dan seterusnya
Memaparkan cara Kenal pasti ungkapan kuadratik dalam satu memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik
penggunaan kalkulator Bab 2 Apseams bNoolmehbourbah dMaaritpeamdaatiskenarai ungkapan di atas. 1. Fungsi kuadratik ialah suatu hubungan banyak
saintifik dalam pengiraan
matematik. Contoh 12 2. Nombor Pdeanlaymeleassaaiasn:dua boleh ditukarkan kepada satu.
bkeeprdaadsaanrk—or2a2mn–bjao2drru,da–alhlay2am+nga8sdhaisb–lea2rpi.an dan sebaliknya 2. Ciri-ciri fungsi kuadratik:
Tukar
(a) 150318 1ke1p01ad2 akenpoamdabonrodmablaomr daaslaasmduasaa. s lapan, • Graf berbentuk melengkung.
(b) CubaNsooamlabn o1 rdadlaamlaZmon Formatif 1.1 • Ia mempunyai satu titik maksimum atau satu

BAB titik minimum.
Penyelesaian: 2Coasnatsodhu2a • Paksi simetri graf adalah selari dengan paksi-y.

(a) 10111012 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 tkndBgieaoaughnmaakatikdribgkiei.oigapkKrniaatedndtmdaiagadluarakiu(sT(dimguabduekbii)amt)aianaa-gnntdtsph25iu,uaatiu.mxgsknilt3Buiaaut2n–enn–gr2is9kkxaaamm+pnnGAddaasa+oeebaj1aunpnmnaa0s5sgaitdkbtdkinakiaauofunainnarkanstodadseiymsgesrataeaibailnabattaaidgpimoankriaprgsdunaeddiadntsgtaa.iaagdgllsarsaakiaimtfmlla.aaabpprmaaasdasgannaiitsubepriekmutbioalleahh TIP Bestari
+ 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
Graf fungsi kuadratik y = ax2 + bx + c
= 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1

= 9310 8 93 Baki
= 1358
8 11 … 5
dengan digit(dc)ala6mt2 + pt –d9ua.
8 1… 3 asas lapan ya(ndg) syet–ar7ay. —12

(b) 538 = 5 × 81 + 3 × 80 0… 1
= 40 + 3
2 43 Baki PenNyoemlebsoariadna:lam a.0 a,0 Tg 4
(a) Unagsaksaplaapnan2m2 – 9m + 5 mengandungi satu Bab 1 FungTsitiikdmanakPsiemrusmamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
= 4310 2 21 … 1 Matematik
= 1010112 2 10 … 1 pemboleh ubah m dan kuasa tertinggi bagi m
2 5… 0 ialah 2. Maka, 2m2 – 9m + 5 ialah ungkapan TitikCmoinnitmouhm 11 Contoh 14 BAB
Membuat pengkiruaaadnratyikandgalammesliabtuatpkeamnboleh ubah.
2 2… 1 operasi tam(b)ahUndgaknaptoanlak5xb3 a–g2i xno+m1b0omr engandungi satu Lakar graf bagi setiaPpaksfui snimgestirikuadratik berikut. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. 1
dalam pelbagaipaesmabsoleh ubah x. Tetapi, kuasa tertinggi bagi sime(atr)i y = x2 –2 Tandakan titik-titik di mana graf itu memotong
2 1… 0 x ialah 3. Maka, 5x3 – 2x + 10 bukan ungkapan Paksi paksi-x dan paksi-y.
1. Penambahankausaadsrnatoikmdbaolramdaslaamtu ppeelmbabgoalieahsausb:ah. (a) y = (x – 1)(x – 3)
0… 1 (a) Nombor dalam asas dua (b) y = –x2 + 4 (b) y = –2x2 – 11x – 14
+1.1.102 1.11.22
Kaedah Alternatif 02 02 12 Penyelesaian:
12 12 102 (a) y y = x2 – 2
(a) 10111012 = 001 011 1012 (b) 3 Penyelesaian:
=1 3 58 (b) Nombor dalam asas tiga y
(b) 538 = 5 38 4 y = –x2 + 4 (a) y
3
= 101 0112 Ox y = (x – 1)(x – 3)
–2
Kalkulator Ox

(a) Tekan:  MODE MODE 3 BIN + 03 13 23 Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 1.1 O1 x
3
2 1 0 1 1 1 0 1 = OCT 03 03 13 23
(b) y = –2x2 – 11x – 14
(b) Tekan:  MODE MODE 3 OCT 13 13 23 103 Contoh 12 = –(2x2 + 11x + 14)
= –(2x + 7)(x + 2)
2 5 3 = BIN 23 23 103 113 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. y
Tandakan titik di mana graf itu memotong paksi-x.
Tg 4 (c) Nombor dalam asas empat x
Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 2.1 Matema+tik 0B4 ab 214Asas2N4 omb3o4 r (a) y = x2 + 3x (b) y = –2x2 + 7x – –72 –2 O

Penyelesaian:

TIP Bestari •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• 04 •• •• •• ••04 14 24 394× 8 + 3 (b) Nilai tempat 25 24 (2a3) 22 21 y20 (b) y –14 y = –2x2 – 11x – 14
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• 14 •• •• •• ••14 24 34 1×041 y = –2x2 + 7x
1 1 0 y0= x2 +13x 0 Cuba soalan 14 dalam Zon Formatif 1.1
Digit
24 24 34 104 114
1. Jadual di bawah menunjukkan digit pada •• •• •• •• • • • 34 34 9 l1ap0a4 n 114 124 Nilai tempat bagi digit 0 yang bergaris = 23 x O x
nombor dalam asas lapan yang setara dengan (d) Nombor dadlaanm3 asasas lima –3 O –27
+ 05 sdeikm1uum5 lapulk2a5n 35 Nilai bagi digit 0 = 0 × 23 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
2tiga digit pada nombor dalam asas dua. BAB 05 05 seenba1am5gapiu1l2uh5 35 =0 persamaan kuadratik

Nombor (c) Nilai tempat 72 71 Cuba s7oa0lan 12 dalam Zon Formatif 1.1
dalam 45
asas 0 1 2 3 4 5 6 7 45 Contoh 15

lapan Digit 4 1 C0ontoh 13

Nombor 15 15 edman2p53ats,a1. 3la5pan 45 105 Nilai tempat bagi digit 4 yang bergaris = 72 Dalam rajah di bawah, PQRS ialah sebidang tanah
dalam Nilai bagi digit 4 = 4 × 72 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. berbentuk segi empat tepat. Kawasan berlorek
asas 000 001 010 011 100 101 110 111 •• •• •• •• •• •• •• ••••234555 •• •• ••••243••••555 35 45 1105× 61415 yang ditanami terung mempunyai luas 388 m2.
dua •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• 45 105 11++125513 ××11231855 = 196 Labelkan titik maksimum atau titik minimumnya.
105 115 (a) y = (x + 2)2
(d) Nilai tempat 64 63 (b) 6y2 = –26x12 + 46x0 – 2 S R
•• •• •• •• xm 30 m 20 m

•• •• •• •• • • • Digit 2 0 Pe5nyeles1aian: 1 N

2.1.2 2.1.3 25 Nilai tempat bagi digit 2 ya(na)g bye=rg(xa+ri2s)2= 6y4
Nilai bagi digit 2 = 2 × 64
75 = 1 × 64 + 1 × 8 + 3 × 1 = 2 592 4

Nombor dalam asas lapan untuk mewakili 75 ialah x P M xm Q
1138.
Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 2.1 (–2, 0) O Tentukan nilai x.
Penyelesaian:
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 2.1 (b) y = –2x2 + 4x – 2

tAg ‘Cuba soalan ... dalam 2. Nilai tempat setiap digit bagi nombor dalam Contoh 6 = –2(x2 – 2x + 1)
asas a adalah a kali lebih besar daripada nilai = –2(x – 1)2
Zon Formatif ...’ tempat bagi digit di sebelah kanannya. Rajah di bawah menunjukkan blok asyas nombor S 30 m R
Misalnya, nilai tempat setiap digit dalam xm 20 m
njaodmuablobreri3k2u0t1. 45 adalah ditunjukkan dalam Tyeanngtukmaenwnaokimli bsuoartuitunodmanbowr adkaillakmannaOysaas(d1t,ea0rr)tiesnetgu.ix
nilai nombor. N
–2 (20 – x) m
(a)
CONTOH
Nilai tempat 54 53 52 51 50 y = –2x2 + 4x – 2 P (30 – x) m M x m Q
Luas kawasan berlorek = 388 m2
(b) Cuba soalan 13 dalam Zon Formatif 1.1
Digit 32014

3. Nilai digit dalam suatu nombor xdaigaitdaliathu 1.1.7 1.1.8 7
ditentukan dengan mendarabkan
dengan nilai tempat digitnya yang sepadan. Penyelesaian: Contoh dan penyelesaian
Tag yang terletak di akhir contoh lengkap untuk meningkatkan
membimbing murid untuk Contoh 5 (a) Nilai tempat 61 60 kefahaman murid terhadap
menjawab soalan yang berkaitan bab yang dipelajari.
dalam Zon Formatif. Berdasarkan jadual nilai tempat, tentukan nilai Digit 14
bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor
berikut. 146 = 1 × 61 + 4 × 60
= 6 + 4
= 1010
(a) 15028 (b) 1100102
(c) 4107 (d) 205116 (b) Nilai tempat 52 51 50

Penyelesaian: Digit 322

(a) Nilai tempat 83 82 81 80 3225 = 3 × 52 + 2 × 51 + 2 × 50
= 75 + 10 + 2
1502 = 8710
Digit

Nilai tempat bagi digit 5 yang bergaris = 82 Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 2.1
Nilai bagi digit 5 = 5 × 82

= 320

22 2.1.1

iv

Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Matematik Tg 4

Zon Formatif 1.1 BAB kaedah alternatif

1 Menyediakan penyelesaian alternatif
untuk soalan-soalan tertentu.
1. 9y2 + 16 x2 – 2y2 + 4 6. Rajah di bawah menunjukkan graf y = x2. Pada
—v72– – 20 —15 k2 rajah itu, lukis graf y = x2 + 4 dan y = x2 – 3.
y

Kenal pastikan ungkapan kuadratik dalam satu 8
pemboleh ubah daripada senarai ungkapan di
atas. K1 6

Zon formatif 2. Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut y = x2 4
ialah suatu ungkapan kuadratik dalam satu 2
Soalan untuk menguji pemboleh ubah. Berikan justifikasi anda. K2
pemahaman murid di akhir –2 –1 0 x
setiap subtopik. (a) 7c2 + 3 (b) 1 – 6 –2 12
y2

(c) a2 + 4b2 + 9 (d) 3p2 – 10p + 5 Buat generalisasi tentang kesan perubahan

3. Diberi fungsi kuadratik y = –x2 + 4. K2 nilai c ke atas graf y = x2 + c. K4
(a) Terangkan mengapa fungsi kuadratik itu
ialah satu hubungan banyak kepada satu. 7. Rajah di bawah menunjukkan graf y = x2,
(b) Lakar graf y = –x2 + 4 dengan memerihalkan y = x2 – 6x dan y = x2 + 6x.
ciri-ciri fungsi kuadratik itu.
y = x2 + 6x y y = x2 y = x2 – 6x Tg 4

4. Pada satu gambar rajah, lukis graf y = ax2 Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

bagi a = 1 dan a = – 1 untuk –3  x  3. –6 –3 0 x 1BAB 30 × 20 – —21 (30 – x)(20 – x) – —21 x(20) = 388 Kaedah Alternatif
2 2 36 600 – —12 (600 – 50x + x2) – 10x = 388
Seterusnya, tentukan hubungan antara graf
1 1 y = ax2 + bx + c
2 2 x = 1, y = 0: a + b + c = 0 ................... 
y= x2 dengan y = – x2. K4 Buat generalisasi tentang kesan perubahan x = –5, y = 0: 25a – 5b + c = 0 ................... 

3 nilai b ke atas graf y = x2 + bx. K4 600 – 300 + 25x – —21 x2 – 10x = 388 x = –2, y = –18: 4a – 2b + c = –18 ............... 
2
5. Lukis graf y = x2 dan y = 4x2 pada rajah 8. Dalam rajah di bawah, PQRS ialah sebuah  – , 24a – 6b = 0
berikut. trapezium.
300 + 15x – —21 x2 = 388 4a – b = 0 ............................ 

y —12 x2 – 15x + 88 = 0  – , 3a – 3b = –18
16
SR a – b = –6 .......................... 

x2 – 30x + 176 = 0  – , 3a = 6

14 (x + 5) cm (x – 8)(x – 22) = 0 a=2
x = 8 atau x = 22
12 P Q x –8 –8x Daripada , b=8
x –22 –22x
Daripada , 2 + 8 + c = 0

10 x2 +176 –30x y = 2x2 + 8x – 10 c = –10
Panjang PQ adalah 4 cm lebih daripada RS.
Apabila x = 22, 20 – x = 20 – 22 = –2. Panjang NP Cuba soalan 16 dalam Zon Formatif 1.1
8 K3 ialah suatu kuantiti positif. Maka, x = 8.

6 (a) Bentukkan satu fungsi kuadratik untuk
mewakili luas trapezium PQRS.
4 (b) Seterusnya, cari satu persamaan kuadratik Cuba soalan 15 dalam Zon Formatif 1.1 Contoh 17
2 y = x2 Suatu fungsi kuadratik y = ax2 + bx + c mempunyai
dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, diberi luas TIP Bestari maklumat berikut.
trapezium PQRS ialah 323 cm2.
–2 –1 0 12 x 9. Tentukan sama ada setiap nilai x berikut ialah 1. Wakilkan kuantiti yang ingin dicari dengan • Paksi simetri ialah x = 2.
suatu simbol yang sesuai seperti x. • Graf memotong paksi-x pada x = –1.
Tg 4 Matematik SBeatbe1ruFsunnygas, i dleangPkearpsakmanaangKeunaedraralitsiaksdi alabmerSikauttu PembolephuUnbcaahbagi persamaan kuadratik x2 – 4x – 5 = 0. • Graf mempunyai titik maksimum.
1BAB 10. tentang kesan perubahan nilai a ke atas graf y (a) x = 2 K2 2. Bentukkan satu persamaan kuadratik dalam
sebutan x daripada maklumat yang diberi. Lakarkan graf y = ax2 + bx + c.
Tentukan punca set=iapax2p. ersamKa4an kuadratik 15. Dalam rajah di bawa(hb,) KxLM=N–1ialah sebidang Penyelesaian:
berikut dengan kaedAaphapbeilamfnaiklatioarabn.ertamKb3ah, graf y =taaxn2a_h_b_e__rb_e. ntuk trape(cz)iumx .= 5 3. Selesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah
(a) x2 – 3x – 4 = 0 M pemfaktoran. y
(b) 2x2 + x = 10
(c) (4x + 1)(x – 2) = –5 4. Semak punca-punca persamaan kuadratik untuk
(d) (3x + 4)(x – 2) = 16 – 3x N menentukan nilai x yang mewakili kuantiti itu
dalam masalah.
11. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut.
Soalan KBAT mirip spm(a) y=x2+5 K2 15 m Q 9
(b) y = 3x2 + 4 xm
(c) y = –x2 + 1 Contoh 16
K xm P L Rajah di bawah menunjukkan graf bagi suatu x
fungsi kuadratik. 5
(d) y = –2x2 – 3 Diberi KL = 10 m dan LM = 25 m. Kawasan –1O 2
berlorek ialah sebuah kolam ikan yang y
12. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. mempunyai luas 188 m2. Hitung nilai-nilai x Cuba soalan 17 dalam Zon Formatif 1.1
Tandakan titik di mana graf itu memotong yang mungkin. K5 –5 O 1 x
TIP Bestari
Menyediakan penyelesaian yangpaksi-x. K2 16. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi (–2, –18)
(a) y = x2 – 2x kuadratik y = ax2 + bx + c. Tentukan fungsi kuadratik itu dalam bentuk 1. Titik maksimum adalah terletak pada paksi
(b) y = –x2 – 4x y (2, 48) y = ax2 + bx + c. simetri.
(c) y = 2x2 – x
Penyelesaian: 2. Jarak titik-titik persilangan graf dengan paksi-x
lengkap serta komen pemeriksa(d) y = –4x2 + 8x dari paksi simetri adalah sama.
13. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik y = a(x – 1)(x + 5)
berikut. Labelkan titik maksimum atau titik Apabila x = –2, y = –18,
–2 O x –18 = a(–2 – 1)(–2 + 5)
bagi soalan KBAT mirip SPM.minimumnya. K2 6
(a) y = 3(x – 2)2
(b) y = –(x + 4)2 Tentukan nilai-nilai a, b dan c. K5 –18 = a(–3)(3) TIP Bestari
(c) y = –x2 + 6x – 9 –18 = –9a
(d) y = 4x2 + 24x + 36 a=2
17. Suatu fungsi kuadratik y = ax2 + bx + c y = 2(x – 1)(x + 5) x = 1 ⇒ x – 1 ialah faktor
14. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. mempunyai maklumat berikut. K5 x = –5 ⇒ x + 5 ialah faktor
Tandakan titik-titik di mana graf itu memotong • Titik minimum ialah (–3, –2). = 2(x2 + 4x – 5)
paksi-x dan paksi-y. K4 • Satu pintasan-x graf = 2x2 + 8x – 10
(a) y = –(x – 2)(x + 4) y = ax2 + bx + c ialah –2.
(b) y = (2x – 5)(x – 1) 8 1.1.8
(c) y = 3x2 – 17x + 24
(d) y = –4x2 – x + 18 (a) Lakarkan graf itu. Tg 4
(b) Tentukan nilai-nilai bagi a, b dan c.

Matematik Bab 3 Penaakulan Logik

Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN Zon Sumatif
PEMERIKSA

1. Sebuah akuarium yang berbentuk kuboid mempunyai panjang (x + 9) cm, lebar x cm dan tinggi 50 cm. Kertas 1
Isi padu akuarium itu ialah 31 500 cm3. Hitung nilai x. K3
1. Antara berikut, ayat yang manakah ialah suatu
Komen Pemeriksa: 50 cm K1 pernyataan? B Semua segi tiga Benar
Isi padu = 31 500 BAB A Berapakah nilai bagi 100? mempunyai luas yang Benar
x cm sama. Palsu Zon Sumatif
(x + 9)(x)(50) = 31 500 3 B Kuasa dua bagi 8 ialah 64.
x2 + 9x = 630 C Darab kedua-dua belah ketaksamaan C Sebilangan nombor
–y  –2 dengan –1. genap ialah nombor
x2 + 9x – 630 = 0 D Faktorkan ungkapan kuadratik x2 + 4x – 5. perdana.
(x – 21)(x + 30) = 0
(x + 9) cm 2. I Gandaan sepunya terkecil bagi 3 dan 12 D Sebilangan gandaan
x = 21 atau x = –30 K2 ialah 12. bagi 3 adalah
Oleh kerana x . 0, x = 21. terbahagi dengan 5.
II Faktor-faktor bagi 14 ialah 2 dan 7.
III Tulis rumus luas bagi segi empat selari 6. Antara berikut, yang manakah menunjukkan
K2 suatu pernyataan palsu yang ditukarkan kepada
10 ABCD. pernyataan benar dengan menggunakan
IV Hasil tambah bagi dua nombor ganjil
perkataan “bukan” atau “tidak”? Soalan pelbagai aras
ialah satu nombor genap. A Simbol π ialah suatu nombor nisbah.

Antara berikut, yang manakah ialah pernyataan? Simbol π bukan suatu nombor nisbah.
A I, II dan III B x2 = 8 ialah suatu persamaan kuadratik.
B I, II dan IV kemahiran berfikir yangx2 = 8 bukan suatu persamaan kuadratik.
KERTAS MODEL SPM C I, III dan IV
D II, III dan IV C 20 000 mempunyai satu angka bererti.
20 000 tidak mempunyai satu angka bererti.
3. Antara pernyataan berikut, yang manakah disediakan untuk menilaiD Segi tiga bersudut tegak mempunyai satu
K4 adalah benar? sudut 90°.
A 17 × 10–3 = 0.017 Segi tiga bersudut tegak tidak mempunyai
Kertas 1 / Paper 1 B 38 000 = 3.8 × 103 satu sudut 90°.

Arahan: Jawab semua soalan. Masa: 1 jam 30 minit C 22 + 32 = 52 kefahaman setiap bab.7. Antara pernyataan majmuk berikut, yang
Instruction: Answer all questions. Time: 1 hour 30 minutes 7 3
10 5 K4 manakah adalah benar?
1. Bundarkan 3.04856 betul kepada tiga angka Ungkapkan 2437 sebagai satu nombor dalam D  A 5 – 6 = 1 atau –8 + 3 = –11
asas tiga. B 0 ÷ 1 = 0 atau 1 ÷ 0 = 0
bererti. 5. 4. Tentukan pernyataan yang benar. C 4 × (–2) = –6 atau (–3) × (–1) = –3
K4 A Semua sisi empat mempunyai empat sisi D 32 = 6 atau 23 = 9
Kertas model SPM Round off 3.04856 correct to three significant figures. ABExpre11s01s222114003337 as a number in base three.
A 3.04 C 3.048 C 112210110033 yang sama panjang.
B 3.05 D 3.049 D B Semua persamaan kuadratik mempunyai

2. —56—00.—0×0—710—5 = 6. BA101111110001101211–11122 001102 = dua punca positif. 8. I 0.0028 = 2.8 × 10–2 atau
A 8 × 106 C Sebilangan pecahan wajar adalah lebih besar K4 7.03 × 104 = 70 300
B 8 × 107 C 11111001111122 2
Soalan berformat SPM C 8 × 108 D daripada 1. II 1 : 3 = 2 : 3 atau 40 : 56 = 5 : 8
D 8 × 109 D Sebilangan kuboid mempunyai tapak yang
7. Dalam Rajah 3, QT ialah tangen kepada bulatan III (x – 3)(2x + 1) = 2x2 – 5x – 3
PQR dengan pusat O pada Q. PORT ialah satu berbentuk segi empat sama. atau x2 – 4x + 4 = (x – 2)2
garis lurus.
In Diagram 3, QT is a tangent to the circle PQR with 5. Antara berikut, yang manakah adalah benar? IV 30 ÷ 0.01 = 300 atau 0.006 × 1 000 = 60
centre O at Q. PORT is a straight line.
mengikut format pentaksiran3. Rajah 1 menunjukkan sebatang paip air yang K4 Pernyataan Nilai kebenaran Tentukan pernyataan majmuk yang palsu.
berbentuk silinder dengan jejari 2 m. A I dan III
Diagram 1 shows a cylindrical water pipe with radius Q A Semua sudut cakah Palsu B II dan III
2 m. adalah terletak antara C II dan IV
90° dengan 180° D III dan IV
terbaharu SPM 2021
7m P 27° x° T
Rajah 1/ Diagram 1 O R

merangkumi keseluruhan Hitung isi padu, dalam cm3, bagi paip air itu. Rajah 3/ Diagram 3 58
bab Tingkatan 4 dan 5. Calculate the volume, in cm3, of the water pipe.
Cari nilai x.
3 4Guna/ Use π = —272–
Find the value of x. C 46 Jawapan
A 1.76 × 107 A 27 D 63
B 8.8 × 107 B 36
C 1.76 × 108
D 8.8 × 108 8. Dalam Rajah 4, T ialah titik tengah bagi PQ.

4. Dalam Rajah 2, PQRSTU ialah sebuah heksagon Diberi bahawa kos x° = —53 dan sin y° = —87 .
sekata. PQH dan PRL ialah garis lurus dengan In Diagram 4, T is the midpoint of PQ. It is given that
keadaan PH = PL. cos x° = —35 and sin y° = —87 .
In Diagram 2, PQRSTU is a regular hexagon. PQH R
and PRL are straight lines such that PH = PL.

TS Jawapan yang
lengkap disediakan.
L Imbas Kod QR
yang disediakan
U R 64° K P y° untuk mendapatkan
6 cm x° TQ langkah-langkah
penyelesaian.
x°

PQ H S
Rajah 4/ Diagram 4
Rajah 2/ Diagram 2

Hitung nilai x. Cari panjang, dalam cm, bagi PR.
Find the length, in cm, of PR.
Calculate the value of x. A 12 C 16
A 121 C 133 JAWAPAN
B 129 D 138 B 14 D 20 Jawapan lengkap
https://bit.ly/2JPCgj0

429

TINGKATAN 4 6. y
y = x2 + 4 8
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu
Pemboleh Ubah

09_Spotlight A+ Matematik Tg5.indd 429 05/01/2021 6:59 PM Zon Formatif 1.1 6

Bank Soalan 1. 9y2 +Y1a6; ,S51atku2 pemboleh ubah, c dan kuasa tertinggi y = x2 4
2. (a) 2

bagi c ialah 2. –2 –1 O x
(b) Bukan; Kuasa bagi y bukan suatu nombor bulat. –2 12
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah y = x2 – 3

1. Antara ciri-ciri fungsi kuadratik berikut, yang manakah adalah tidak betul bagi f(x) = x2 + 9? (c) Bukan; Dua pemboleh ubah, a dan b.
A Graf f(x) = x2 + 9 mempunyai satu titik minimum, iaitu (0, 9). (d) Ya; Satu pemboleh ubah, p dan kuasa tertinggi
B f ialah suatu fungsi banyak kepada satu. bagi p ialah 2. Graf y = x2 + 4 ialah translasi bagi graf y = x2 empat
C Paksi simetri graf f(x) = x2 + 9 ialah x = 0. unit ke atas, graf y = x2 – 3 ialah translasi bagi graf y
D Graf memotong paksi-x pada x = ±3. 3. (a) Dua nilai x = –1 dan x = 1 dipetakan kepada satu = x2 tiga unit ke bawah.
nilai y = 3.
7. Paksi simetri x = – b bagi graf y = x2 + bx berubah
(b) y dengan nilai b. 2

2. Antara graf berikut, yang manakah adalah betul tentang nilai a ke atas graf fungsi kuadratik y = ax2? 4 8. (a) (x2 + 12x + 35) cm2
y = –x2 + 4 (b) x2 + 12x – 288 = 0
Ay Cy
2

y = x2 y = 4x2 –3 –2 –1 O x 9. (a) Bukan (b) Ya (c) Ya
y = 3x2 –2 123
5
y = x2 10. (a) x = 4 atau x = –1 (b) x = – 2 atau x=2
(c) (d) x = 8 = –3
–4 x= 3 atau x = 1 3 atau x
4
Bank soalan Titik maksimum (0, 4), paksi simetri x = 0
Ox 4. y 11. (a) y (b) y

Ox

By Dy 4 y = 2–1 x2 5 4
y = x2 y = x2 2 Ox Ox
x
Soalan-soalan latih tubi –3 –2 –1 O 123 (c) y (d) y
yang mempunyai jawapan –2
lengkap diperoleh dengan –4 y =– 12–x2 Ox
mengimbas Kod QR pada –3
kulit buku. x x 1
O O Graf y = 1 x2 dan y = – 1 x2 adalah kongruen dan Ox
2 2
y = – 1–2 x2 y = –5x2

merupakan pantulan pada paksi-x.

5. y 12. (a) y (b) y
O
3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. 16

14 x

(x + 10) cm 12 x –4 O
10 y = 4x2 2
(x + 5) cm

25 cm 8 (c) y (d) y
6 y = 3–2 x2
Berdasarkan maklumat yang diberikan, cari persamaan kuadratik yang boleh dibentuk. 4
A x2 + 15x – 250 = 0 C 2x2 + 15x – 500 = 0 2 y = x2
B x2 + 30x – 500 = 0 D 2x2 + 15x – 750 = 0 x O x
O –21 2

4. Antara berikut, yang manakah bukan suatu persamaan kuadratik? –2 –1 O x
12
x2 + 3 = 4 bertambah lebih curam
A p2 + 8 = 3p C x
451
B k= 10 – 3k2 D 13 + 9w – 3w2 = 0
7
5. Diberi 4 ialah punca bagi persamaan kuadratik ax2 + 14x – 8 = 0, tentukan nilai a.
A –4 C3
B –3 D4

1

v

KANDUNGAN

Rumus viii Perkaitan dan Algebra

TINGKATAN 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Tarikh
Pemboleh Ubah revisi
Perkaitan dan Algebra Tarikh 6.1 Ketaksamaan Linear dalam
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik revisi Dua Pemboleh Ubah 114
6.2 Sistem Ketaksamaan Linear
dalam Satu Pemboleh Ubah 1 dalam Dua Pemboleh Ubah 116
Zon Sumatif 120
1.1 Fungsi dan Persamaan 3 126
Kuadratik 11
Bab 7 Graf Gerakan 137
Zon Sumatif
7.1 Graf Jarak-Masa 139
Nombor dan Operasi 18 7.2 Graf Laju-Masa 142
Zon Sumatif 146
Bab 2 Asas Nombor 20
32 Statistik dan Kebarangkalian 157
2.1 Asas Nombor
Zon Sumatif Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak 159
Terkumpul 161
Matematik Diskret 37 172
8.1 Serakan 181
Bab 3 Penaakulan Logik 39 8.2 Sukatan Serakan
46 Zon Sumatif 183
3.1 Pernyataan 57 185
3.2 Hujah Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa 189
Zon Sumatif 70 Bergabung
194
Bab 4 Operasi Set 72 9.1 Peristiwa Bergabung 198
76 9.2 Peristiwa Bersandar dan
4.1 Persilangan Set 79
4.2 Kesatuan Set 83 Peristiwa Tak Bersandar
4.3 Gabungan Operasi Set 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif
Zon Sumatif 92
dan Peristiwa Tidak Saling
Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf 94 Eksklusif
105 9.4 Aplikasi Kebarangkalian
5.1 Rangkaian Peristiwa Bergabung
Zon Sumatif Zon Sumatif

Nombor dan Operasi 207
209
Bab 10 Matematik Pengguna: 215
Pengurusan Kewangan

10.1 Perancangan dan
Pengurusan Kewangan

Zon Sumatif

vi

TINGKATAN 5 Tarikh Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Tarikh
revisi Trigonometri revisi
Perkaitan dan Algebra
220 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan 346
Bab 1 Ubahan Tangen bagi Sudut q,
1.1 Ubahan Langsung 222 348
1.2 Ubahan Songsang 227 0°  q  360°
1.3 Ubahan Bergabung 230 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus 357
Zon Sumatif 235 369
dan Tangen
Bab 2 Matriks 241 Zon Sumatif
2.1 Matriks
2.2 Operasi Asas Matriks 243 Statistik dan Kebarangkalian 379
Zon Sumatif 246
263 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 381
392
Nombor dan Operasi 7.1 Serakan 400
7.2 Sukatan Serakan
Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Zon Sumatif

3.1 Risiko dan Perlindungan 269 Perkaitan dan Algebra 414
Insurans 271
Bab 8 Pemodelan Matematik 416
Zon Sumatif 279 425
8.1 Pemodelan Matematik
Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 283 Zon Sumatif

4.1 Percukaian 285 Kertas Model SPM 429
Zon Sumatif 297
Jawapan 451

Sukatan dan Geometri 301

Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan 303
Gabungan Transformasi 307
315
5.1 Kekongruenan 323
5.2 Pembesaran 329
5.3 Gabungan Transformasi
5.4 Teselasi
Zon Sumatif

vii

Rumus

NOMBOR DAN OPERASI • Luas lelayang
1
= 2 × hasil darab panjang dua pepenjuru

• am × an = am + n • Luas trapezium

• am ÷ an = am – n = 1 × hasil tambah dua sisi selari × tinggi
2
• (am)n = amn • Luas permukaan silinder = 2pj2 + 2pjt

• m = (am) 1 • Luas permukaan kon = pj2 + pjs
n
an

• Faedah mudah, I = Prt • Luas permukaan sfera = 4pj2

• Faedah kompaun, MV = P(1 + r )nt • Isi padu prisma = luas keratan rentas × tinggi
n
• Isi padu silinder = pj2t
• Jumlah bayaran balik, A = P + Prt
1
PERKAITAN DAN ALGEBRA • Isi padu kon = 3 pj2t

• Isi padu sfera = 4 pj3
3
• Jarak =   (x2–x1)2 +(y2 –y1)2 1
• Isi padu piramid = 3 × luas tapak × tinggi
( )• Titik tengah, (x, y) =
x1 + x2 , y1 + y2 • Faktor skala, k = PA„
2 2 PA
Jumlah jarak
• Laju purata = Jumlah masa • Luas imej = k2 × luas objek

• m = y2 – y1 STATISTIK DAN KEBARANGKALIAN
x2 – x1

• m = – pintasan-y ∑x
pintasan-x N
• Min, x =
 •
A–1 = ad 1 bc d  –b ∑fx
– –c  a f
• Min, x =

SUKATAN DAN GEOMETRI • Varians, s2 = ∑(x – x)2 = ∑x2 – x 2
N N

• Teorem Pythagoras, c2 = a2 + b2 • Varians, s2 = ∑f(x – x)2 = ∑fx2 – x 2
∑f ∑f
• Hasil tambah sudut pedalaman poligon
= (n – 2) × 180°  • Sisihan piawai, s =  
∑(x – x)2 = ∑x2 – x2
N N

• Lilitan bulatan = pd = 2pj  •
Sisihan piawai, s =   ∑f(x – x)2 = ∑fx2 – x 2
∑f ∑f
• Luas bulatan = pj2 n(A)
• P(A) = n(S)
• Panjang lengkok = q
2pj 360° • P(Aʹ) = 1 – P(A)

• Luas sektor = q
pj2 360°

viii

BAB

5 Rangkaian dalam Teori Graf

SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka
Surat
5.1 Rangkaian • Mengenal dan menerangkan rangkaian sebagai graf.
94
• Membanding beza
(i) Graf terarah dengan graf tak terarah. 96
(ii) Graf berpemberat dengan graf tak berpemberat.
97
• Mengenal dan melukis subgraf dan pokok. 100
100
• Mewakilkan maklumat dalam bentuk rangkaian.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan rangkaian.

Kata Kunci

• Rangkaian/ Network
• Graf/ Graph
• Bintik/ Point
• Bucu/ Vertex
• Tepi/ Edge
• Darjah/ Degree
• Graf mudah/ Simple graph
• Graf terarah/ Directed graph
• Graf tak terarah/ Undirected graph
• Gelung/ Loop
• Berbilang tepi/ Multiple edges
• Graf berpemberat/ Weighted graph
• Graf tak berpemberat/ Unweighted graph
• Subgraf/ Subgraph
• Teori graf/ Graph theory

92

Konsep

Rangkaian Graf Graf berbilang Graf Graf tak
jalan raya mudah tepi terarah terarah

mewakilkan ialah mengenal
membandingkan

Rangkaian mengenal Rangkaian dalam Teori Graf mengenal Graf Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf  Matematik

membandingkan

mewakilkan mewakilkan mengenal melukis

Rangkaian Rangkaian Subgraf Graf Graf tak
pengangkutan sosial mengenal melukis berpemberat berpemberat

Pokok

93 Tg 4

BAB

5

Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung  Matematik Tg 4

9.1 Peristiwa Bergabung Contoh 1

Memerihalkan peristiwa bergabung dan Dalam suatu eksperimen, Fahmi memilih satu
menyenaraikan peristiwa bergabung yang nombor secara rawak daripada {1, 3, 4, 6} dan
mungkin Ganan memilih satu nombor secara rawak
daripada {3, 6, 9}. Diberi A ialah peristiwa Fahmi
1. Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang memilih nombor genap dan B ialah peristiwa
dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan Ganan memilih nombor ganjil. Perihalkan
dua atau lebih peristiwa. dalam perkataan dan penyenaraian kesudahan-
kesudahan setiap peristiwa bergabung berikut.
Peristiwa Peristiwa A atau Peristiwa A dan (a) A dan B (b) A atau B
bergabung peristiwa B peristiwa B
Penyelesaian:
Tatatanda A<B A>B A = Peristiwa Fahmi memilih nombor genap
= {(4, 3), (4, 6), (4, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9)}
A berlaku atau Kedua-dua A dan B = Peristiwa Ganan memilih nombor ganjil
B berlaku atau B berlaku = {(1, 3), (1, 9), (3, 3), (3, 9), (4, 3), (4, 9), (6, 3), (6, 9)}
Pengertian kedua-dua A dan (a) Peristiwa bergabung A dan B ialah peristiwa

B berlaku Fahmi memilih nombor genap dan Ganan
memilih nombor ganjil.
xA B ξA B A > B = {(4, 3), (4, 9), (6, 3), (6, 9)}
(b) Perisitwa bergabung A atau B ialah peristiwa
Gambar Fahmi memilih nombor genap atau Ganan
rajah Venn memilih nombor ganjil.
A < B = {(1, 3), (1, 9), (3, 3), (3, 9), (4, 3), (4, 6),

(4, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9)}

Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 9.1

TIP Bestari Contoh 2

Peristiwa bergabung bagi tiga peristiwa A, B dan C. Satu nombor dipilih secara rawak daripada BAB
(a) A < B < C {10, 12, 13, 15, 18, 20, 23, 24}. Diberi A ialah
peristiwa memilih nombor perdana, B ialah 9
ξ B peristiwa memilih nombor gandaan bagi 3 dan
A C ialah peristiwa memilih nombor dengan hasil
tambah digit-digit lebih besar atau sama dengan
5. Senaraikan semua kesudahan bagi setiap
peristiwa bergabung berikut.
(a) A dan C (b) B dan C
(c) A atau C (d) B atau C

C Penyelesaian:
B
A = Peristiwa memilih nombor perdana
(b) A > B > C = {13, 23}
B = Peristiwa memilih nombor gandaan bagi 3
ξ = {12, 15, 18, 24}
A C = Peristiwa memilih nombor dengan hasil tambah

digit-digit lebih besar atau sama dengan 5
= {15, 18, 23, 24}
(a) A dan C = A > C
= {23}
(b) B dan C = B > C
= {15, 18, 24}
C (c) A atau C = A < C
= {13, 15, 18, 23, 24}


(d) B atau C = B < C
= {12, 15, 18, 23, 24}

Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 9.1

9.1.1 183

Tg 4 Matematik   Bab 7 Graf Gerakan Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Laju Laju graf laju-masa
3.

Laju

O Masa O Masa O Masa Contoh 12

Pentafsiran graf jarak-masa Rajah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan
dua zarah P dan Q dalam tempoh 30 saat.

Laju (m s–1)

Kecerunan Kecerunan Kecerunan 20 B
positif sifar mewakili negatif D
mewakili pecutan sifar mewakili 16 C
pecutan (Laju (Laju seragam) nyahpecutan u
semakin (Laju semakin
bertambah) berkurang) A F E Masa (s)
O 18 30

Contoh 11 Graf AB mewakili pergerakan bagi zarah P
manakala graf CDE mewakili pergerakan bagi
Graf laju-masa menunjukkan larian Maria dalam zarah Q.
suatu latihan sukan. (a) Tentukan nilai u.
(b) Dengan nilai u yang didapati di (a), cari
Laju (m s–1)
pecutan bagi zarah Q dalam 18 saat yang
10 A B pertama.
(c) Hitung beza di antara jarak yang dilalui oleh
BAB zarah P dengan zarah Q dalam tempoh 30 saat.
7

O5 C Masa (s) Penyelesaian:
15 18
(a) Kecerunan AD = kecerunan AB
(a) Cari pecutan, dalam m s–2, Maria bagi u 20
(i) 5 s yang pertama, 18 = 30
(ii) tempoh masa dari 5 s hingga 15 s,
(iii) 3 s yang akhir. u = 20 × 18
30
(b) Seterusnya, huraikan larian Maria dalam
tempoh 18 s. = 12
(b) Pecutan = kecerunan CD
Penyelesaian: = – 161–812
= – 148
(a) (i) Pecutan = kecerunan OA
10
= 5 = – 29 m s–2

= 2 m s–2
(ii) Pecutan = kecerunan AB
= 0 m s–2 (c) Jarak yang dilalui oleh zarah P
= luas segi tiga ABE
(iii) Pecutan = kecerunan BC 1
= – 181–015 = 2 × 30 × 20

= 300 m
= – 130 m s–2 Jarak yang dilalui oleh zarah Q
= luas trapezium ACDF + luas segi tiga DEF

TIP Bestari = 1 × (16 + 12) × 18 + 1 × 12 × 12
2 2
Pecutan negatif dikenali sebagai nyahpecutan.
= 252 + 72
= 324 m
(b) Bagi 5 s yang pertama, Maria berlari dari Beza di antara jarak yang dilalui oleh zarah P
0  m  s–1 hingga 10 m s–1 dengan pecutan dengan zarah Q = 324 – 300
2  m  s–2. Selepas itu, dia berlari dengan laju = 24 m
seragam 10 m s–1 selama 10 s dan akhirnya
mengurangkan lajunya sehingga berhenti Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 7.2
dengan nyahpecutan 3 13 m s–2.

Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 7.2

144 7.2.3 7.2.4

Tg 5 Matematik   Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri

6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan (b) y
Tangen bagi Sudut θ, 140°
0° < θ < 360° 140° terletak pada
O x sukuan II.

Membuat dan menentusahkan konjektur (c) y
tentang nilai sinus, kosinus dan tangen bagi
sudut dalam sukuan II, III dan IV dengan
sudut rujukan sepadan

1. Suatu satah Cartes dibahagikan kepada empat 230° 230° terletak pada
bahagian (dikenali sebagai sukuan) oleh paksi-x O x sukuan III.
dan paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan
sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III dan (d) y 310° terletak pada
sukuan IV mengikut lawan arah jam. x sukuan IV.
310°
y O

90°

Sukuan Sukuan 0° x
II I 360°

180° O Sukuan
IV
Sukuan Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 6.1
III

270° 3. y
2. y
P(x, y)

P 1 y
θ
O xQ x

θ x
O

BAB Suatu sudut θ diukur dengan memutarkan garis sin θ = —PO–QP— = —1y– = y

6 OP mengikut lawan arah jam dari paksi-x positif ∴ sin θ = koordinat-y
pada asalan.
kos θ = —OO–QP— = —1x– = x
Contoh 1 ∴ kos θ = koordinat-x
Lakar satu rajah yang berasingan untuk
mewakilkan sudut-sudut (a) 50°, (b) 140°, (c) 230° tan θ = —P–Q— = —xy–
dan (d) 310°. Seterusnya, tentukan sukuan bagi OQ
setiap sudut itu terletak. ∴ tan θ = —kkoo–—oorr—ddii—nnaa—tt--—xy
Penyelesaian:
(a) y TIP Bestari • sin θ = —ABCC––
• kos θ = —AAC–B–
C • tan θ = —ABC–B–

Hipotenus

50° 50° terletak pada Sisi bertentangan
O x sukuan I. θ

AB

Sisi bersebelahan

348 6.1.1

Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah  Matematik Tg 4

1.1 Fungsi dan Persamaan (c) Ungkapan 6t2 + pt – 9 mengandungi dua BAB
Kuadratik pemboleh ubah p dan t. Maka, 6t2 + pt – 9
bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh 1
Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ubah.
ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah 1

1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh (d) Ungkapan y – 7y 2 mengandungi satu
ubah ialah suatu ungkapan algebra berbentuk pemboleh ubah y. Tetapi, kuasa bagi y dalam
ax2 + bx + c, a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan
x ialah pemboleh ubah. 1

2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu sebutan 7y 2 bukan suatu nombor bulat. Maka,
pemboleh ubah:
• Ungkapan mengandungi hanya satu pemboleh 1
ubah.
• Kuasa pemboleh ubah ialah suatu nombor y – 7y 2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu
bulat. pemboleh ubah.
• Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah ialah 2.
Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 1.1

Persamaan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah
https://bit.ly/3d1ZKeM

TIP Bestari TIP Bestari

Pemboleh ubah x dalam ungkapan kuadratik juga Jika p mewakili suatu pemalar, maka 6t2 + pt – 9
boleh diwakili oleh huruf-huruf abjad yang lain. ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah, t.
Contoh 1
Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan
4a2 + b + 3 —r22 – 2r –h2 + 8h – 2 3t2 + —5t banyak kepada satu dan seterusnya
Kenal pasti ungkapan kuadratik dalam satu memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik
pemboleh ubah daripada senarai ungkapan di atas.
1. Fungsi kuadratik ialah suatu hubungan banyak
Penyelesaian: kepada satu.

—r22 – 2r, –h2 + 8h – 2 2. Ciri-ciri fungsi kuadratik:
Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1 • Graf berbentuk melengkung.
• Ia mempunyai satu titik maksimum atau satu
Contoh 2 titik minimum.
Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut ialah • Paksi simetri graf adalah selari dengan paksi-y.
suatu ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah. Berikan justifikasi anda. TIP Bestari
(a) 2m2 – 9m + 5
(b) 5x3 – 2x + 10 Graf fungsi kuadratik y = ax2 + bx + c
(c) 6t2 + pt – 9
(d) y – 7y—12 a.0 a,0
Penyelesaian:
(a) Ungkapan 2m2 – 9m + 5 mengandungi satu Titik minimum Titik maksimum
Paksi simetri
pemboleh ubah m dan kuasa tertinggi bagi m Paksi simetri
ialah 2. Maka, 2m2 – 9m + 5 ialah ungkapan
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(b) Ungkapan 5x3 – 2x + 10 mengandungi satu
pemboleh ubah x. Tetapi, kuasa tertinggi bagi
x ialah 3. Maka, 5x3 – 2x + 10 bukan ungkapan
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.

1.1.1 1.1.2 3

Tg 4 Matematik   Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Contoh 11 Contoh 13
Rajah di bawah menunjukkan graf G.
Rajah di sebelah menunjukkan graf G. D C
Tentukan sama ada setiap yang B D
berikut ialah subgraf bagi G. C
A
(a)
(b) C

DB

BA E

A B D B Graf H mempunyai bucu dan tepi berikut.
(c) C (d) A Tentukan sama ada H ialah subgraf bagi G.
Berikan justifikasi anda.
D (a) Bucu H = {A, B, C, D}
Tepi H = {(A, B), (A, C), (B, C), (C, D)}
BAB (b) Bucu H = {A, B, C, E}
Tepi H = {(A, B), (A, C), (C, E)}
5 A B D
Penyelesaian: Penyelesaian:
(a) Subgraf bagi G. (a) H ialah subgraf bagi G kerana bucu dan tepi
(b) Subgraf bagi G sungguhpun bentuknya
berlainan daripada G tetapi mempunyai bucu bagi H adalah sama dengan G.
{B, C, D} dan tepi {(B, C), (B, D), (C, D)} yang (b) H bukan subgraf bagi G kerana (C, E) bukan
sama.
(c) Bukan subgraf bagi G kerana G tidak tepi bagi G.
mempunyai tepi (A, D).
(d) Subgraf bagi G sungguhpun bentuknya Cuba soalan 13 dalam Zon Formatif 5.1
berlainan daripada G tetapi mempunyai bucu
{A, B, D} dan tepi {(B, D)} yang sama. Contoh 14
Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 5.1
Lukis empat subgraf yang mungkin bagi setiap
Contoh 12 graf G yang berikut.
Rajah di bawah menunjukkan suatu graf terarah G. (a) (b)

D DE
E
D

C FA C
B

B AB E

AC Penyelesaian:

Nyatakan sama ada setiap graf terarah berikut (a)

ialah subgraf bagi G. Berikan justifikasi anda. DD ED ED

(a) A (b)

DB A E C FC FC F
AB B

E (b)

C D DD D

Penyelesaian: CB C C
B
(a) Bukan subgraf bagi G kerana tepi {(C, D)} A
tidak terdapat dalam grafnya.
EE EE
(b) Subgraf bagi G kerana mempunyai bucu {A,
B, D, E} dan tepi {(A, B), (A, E), (D, E), (E, D)} Cuba soalan 14 dalam Zon Formatif 5.1
yang sama dengan graf G.

Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 5.1

98 5.1.3

Bab 2 Asas Nombor  Matematik Tg 4

Menukar nombor daripada satu asas kepada Penyelesaian: BAB
asas yang lain menggunakan pelbagai kaedah
(a) 5710 == 32 + 16 + 8 + 1 2
1. Penukaran nombor daripada satu asas 25 + 24 + 23 + 20
kepada asas sepuluh boleh dilakukan dengan = 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 20
menggunakan nilai tempat.   + 0 × 21 + 1 × 20 1
= 1110012

Contoh 7 Nilai tempat 25 24 23 22 21

Tukar setiap nombor berikut kepada nombor Digit 11100

dalam asas sepuluh. (b) 2 57 Baki
((ca)) 4101301105 2 ((bd)) 16253248 2 28 … 1
2 14 … 0
Penyelesaian: 2
2 7… 0
(a) Nilai tempat 24 23 22 21 20 2 3… 1
1… 1
Digit 11010 0… 1

110102 5710 = 1110012
= 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 Kalkulator
= 2610
Tekan:  MODE MODE 3 DEC
(b) Nilai tempat 42 41 40 2 5 7 = BIN

Digit 123

1234 = 1 × 42 + 2 × 41 + 3 × 40 Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 2.1
= 16 + 8 + 3
= 2710 Contoh 9

(c) Nilai tempat 53 52 51 50 Dengan penggunaan nilai tempat, tukar 6510
kepada nombor dalam
4031 (a) asas lima, (b) asas lapan, (c) asas tiga.
Digit

40315 = 4 × 53 + 0 × 52 + 3 × 51 + 1 × 50 Penyelesaian:
= 500 + 0 + 15 + 1
= 51610 (a) 6510 == 50 + 15
2 × 25 + 3 × 5
= 2 × 52 + 3 × 51 + 0 × 50
(d) Nilai tempat 82 81 80 = 2305

Digit 652 Nilai tempat 52 51 50

6528 == 6 × 82 + 5 × 81 + 2 × 80 Digit 230
384 + 40 + 2
= 42610 (b) 6510 == 64 + 1
82 + 1
= 1 × 82 + 0 × 81 + 1 × 80
Cuba soalan 7 dalam Zon Formatif 2.1 = 1018

2. Penukaran nombor dalam asas sepuluh kepada Nilai tempat 82 81 80
nombor dalam asas lain boleh dilakukan dengan
menggunakan nilai tempat dan pembahagian. Digit 101

(c) 6510 == 54 + 9 + 2 + 2
2 × 27 + 9
= 2 × 33 + 1 × 32 + 0 × 31 + 2 × 30
Contoh 8 = 21023

pTueknagrg5u7n10aaknepada nombor dalam asas dua dengan Nilai tempat 33 32 31 30

(a) nilai tempat, (b) pembahagian. Digit 2102

Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 2.1

2.1.2 23

Tg 4 Matematik   Bab 4 Operasi Set

(b) ●19 ●18 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
kesatuan set
ξ

●6

A

●7 B ●17 Contoh 14
●5 ●10

●8 ●20 ●16 Sebuah kawasan kediaman mempunyai 105 buah
●15 keluarga. Sebanyak 40 buah keluarga memiliki
motosikal. Bilangan keluarga yang memiliki kereta
●9 ●11 ●12 ●13 ●14 sahaja adalah dua kali bilangan keluarga yang
BAB Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.2 memiliki motosikal sahaja. Bilangan keluarga
yang memiliki motosikal dan kereta adalah sama
4 dengan bilangan keluarga yang tidak memiliki
motosikal atau kereta.
Operasi set (a) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk
https://bit.ly/2IRwsBs 
menunjukkan maklumat di atas.
Contoh 13 (b) Seterusnya, tentukan bilangan keluarga yang

Diberi set semesta  = {x : 4 < x , 16, x ialah memiliki motosikal atau kereta.
integer}, P = {x : x ialah kuasa dua sempurna},
Q = {x : x ialah gandaan bagi 3} dan R = {x : x ialah Penyelesaian:
nombor perdana}. (a) j = {keluarga di kawasan kediaman}
(a) Tentukan n[(P  Q  R)]. A = {keluarga yang memiliki motosikal}
(b) Lorekkan rantau yang mewakili (P  Q  R) B = {keluarga yang memiliki kereta}

pada sebuah gambar rajah Venn. ξ B
A

x y 2x
y



Penyelesaian: n(A) = 40
(a)  = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} x + y = 40........ a
P = {4, 9} n(j) = 105
Q = {6, 9, 12, 15} x + y + 2x + y = 105
R = {5, 7, 11, 13} 3x + 2y = 105...... b
P  Q  R = {4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15} a × 2, 2x + 2y = 80........ c
(P  Q  R) = {8, 10, 14}
n[(P  Q  R)] = 3 b – c, x = 25
Daripada a, 25 + y = 40
Kaedah Alternatif
y = 15

n(j) = 12 ξ B
n(P  Q  R) = 9 A

n[(P  Q  R)] = 12 – 9 25 15 50
=3 15
(b)

ξ (b) n(A  B) = 25 + 15 + 50
P = 90
Q
●6 Bilangan keluarga yang memiliki motosikal
atau kereta ialah 90 buah.
●4 ●9 ●12

●15

●8 ●14 Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.2
●5 ●7

●10 ●11
●13 R


Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.2

78 4.2.2 4.2.3

Bab 4 Operasi Set  Matematik Tg 4

Zon Formatif 4.3

1. Gambar rajah Venn menunjukkan unsur-unsur 3. Gambar rajah Venn menunjukkan tiga set A, B,
bagi set A, B, C dan set semesta j. C dan set semesta j.

ξ C B ξA
●c
A ●a BC
●b ●d ●g

●f ●h

●e

Senaraikan unsur-unsur bagi K4 Pada gambar rajah Venn yang berasingan, BAB
(a) A > B  C, lorekkan kawasan yang mewakili K4
(b) (A  C) > B, (a) (A  C > B), (b) [A  (B > C)]. 4
(c) A  B > C, 4. Dalam gambar rajah Venn, j ialah set semesta.
(d) (A > C)  B. P, Q dan R ialah tiga set. Bilangan unsur dalam
setiap set adalah ditunjukkan.
2. Dalam gambar rajah Venn, bilangan unsur bagi
set A, B, C dan set semesta j adalah ditunjukkan. ξQ
P
ξ B x 2 y 26 R
A
x
25 6 7 10 13
4 C
Diberi n(j) = 109 dan n(Q) = 71. K5
5 (a) Cari nilai x dan nilai y.
(b) Seterusnya, tentukan
Tentukan K4
(a) n[(A > C  B)], (b) n{[A  (B > C)]}. (i) n(P > Q  R),
(ii) n[(P > R)  Q].

Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN

PEMERIKSA

1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar Jawapan: C
rajah Venn dengan set semesta j, set P, set Q Tip Pemeriksa:
dan set R. Calon tidak harus meneka jawapan bagi soalan
ini. Sebenarnya, calon perlu melorek kawasan
ξ Q yang mewakili setiap set dalam pilihan.
P R

ξ Q ξ Q
P R P R

Antara berikut, yang manakah mewakili kawasan

berlorek? K4     
(P < Q) > R (Q < R) > P
A (P  Q) > R C (Q > R) > P
B (Q  R) > P D (P > Q)  R ξ
P
Komen Pemeriksa: Q
R
ξ ξ
P Q P Q
R R

(P > Q) < R

Q > R (Q > R) > P

81

Bab 4 Operasi Set  Matematik Tg 4

Zon Sumatif

Kertas 1

1. Diberi set A = {1, 3, 4, 5, 7, 9} dan set 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar BAB
K2 B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. Antara berikut, yang K4 rajah Venn dengan set semesta j = P  Q  R.
4
manakah menghuraikan persilangan set A dan P QR
set B? ●3
A Set integer dari 3 hingga 5. ●1 ●5 ●7 ●2
B Set integer dari 3 hingga 6. ●6
C Set integer antara 3 dengan 5. ●4
D Set integer antara 3 dengan 6.
Senaraikan semua unsur bagi set (P > Q > R).
2. Diberi set A = {5, 7, 11, 13} dan set A {1, 3, 6}
K2 B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Tentukan B {1, 2, 4, 7}
C {2, 3, 4, 6, 7}
A > B dalam tatatanda pembina set. D {1, 2, 3, 4, 6, 7}
A {x : 4 < x , 12, x ialah nombor ganjil}
B {x : 4 < x < 13, x ialah nombor bulat} 7. Sekumpulan 49 orang pelanggan membeli
C {x : 5 < x < 12, x ialah nombor genap} K3 sekurang-kurangnya satu jenis buah daripada
D {x : 5 < x < 13, x ialah nombor perdana}
manggis, cempedak dan rambutan. Gambar
3. Diberi set F = {huruf perkataan KOMPAS} dan rajah Venn menunjukkan bilangan pelanggan
K2 set G = {huruf perkataan PEMBARIS}. Antara yang membeli manggis dan cempedak sahaja.

gambar rajah Venn berikut, yang manakah PR Q

menghuraikan F > G? 10 18

A C
F GF G
●B Diberi P = {pelanggan yang membeli manggis},
●K ●A ●B ●K ●A ●E
●M
●P ●E ●I Q = {pelanggan yang membeli cempedak}
●M ●O ●P ●I
●S ●O ●R ●S ●R dan R = {pelanggan yang membeli rambutan}.

B D Bilangan pelanggan yang membeli manggis dan
cempedak adalah tiga kali bilangan pelanggan
F GF G yang membeli rambutan. Tentukan bilangan
●B
●K ●A ●E ●K ●A ●B pelanggan yang membeli ketiga-tiga jenis buah-
●M
●O ●I ●S
●P ●O ●I ●P buahan itu.
●S ●R ●M ●R ●E
A 5 C 19

4. Diberi set A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, set B 7 D 21

K4 B={1,3,4,6,8,9}danset C={3,4,5,7,8,10,11}.Cari 8. Sebuah sekolah mempunyai 33 orang guru. Satu
K3 temu bual telah dijalankan untuk mengetahui
A > B > C. bilangan guru yang pernah melancong ke
A {4, 8} C {4, 6, 8}
B {6, 8} D {4, 8, 10} Hokkaido di Jepun dan Pulau Jeju di Korea.
Dalam temu bual itu, didapati bahawa setiap
5. Diberi set semesta j = {x : 4 < x < 20, x ialah guru pernah melancong sekurang-kurangnya
K4 nombor genap}, set M = {nombor gandaan bagi di satu tempat pelancongan itu. Seramai 18
orang guru pernah melancong ke Hokkaido dan
4} dan set N = {nombor genap di antara 4 dengan 26 orang guru pernah melancong ke Pulau Jeju.
16}. Tentukan (M > N). Cari bilangan guru yang pernah melancong ke
A {4, 6, 10, 14, 16, 18} Hokkaido dan Pulau Jeju.
B {4, 6, 10, 14, 16, 20} A 8 C 11
C {4, 6, 10, 14, 16, 18, 20} B 9 D 13
D {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20}

83

Tg 4 Matematik   Bab 4 Operasi Set

25. Set semesta j = P  Q  R. Antara kawasan 26. Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan
K4 berlorek dalam gambar rajah Venn berikut, yang K5 hubungan antara tiga set A, B dan C dengan

manakah mewakili [(P  Q) > R]? keadaan set semesta j = A  B  C.
A
AB
P QR C

4 x 5 11
B
QR 15
P
Diberi bahawa n(A) = n(B > C), tentukan
BAB n[(A  C) > B].
QR A 12
4 B 15
C C 23
D 27
P

QR
D

P



Kertas 2

1. Diberi set A = {6, 8, 10, 12, 16, 24} dan set B = {7, 8, 9, 11, 13, 16, 24}. [3 markah]
K2 (a) Huraikan A ∩ B dengan menggunakan

(i) perihalan,
(ii) penyenaraian,
(iii) tatatanda pembina set.

(b) Lengkapkan gambar rajah Venn berikut. B

A

[2 markah]
[1 markah]
[1 markah]
2. Gambar rajah Venn menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C. [1 markah]
K2 [1 markah]
A
●1 ●3 C
●2 B ●4
●5 ●9 ●6
●7 ●12
●16
●10 ●8
●11

Cari
(a) B ∩ C,
(b) A ∪ B,
(c) A ∩ (B ∪ C),
(d) (A ∩ B) ∪ C.

86

KERTAS MODEL SPM

Kertas 1 / Paper 1

Arahan: Jawab semua soalan. Masa: 1 jam 30 minit
Instruction: Answer all questions. Time: 1 hour 30 minutes

1. Bundarkan 3.04856 betul kepada tiga angka 5. Ungkapkan 2437 sebagai satu nombor dalam
bererti. asas tiga.
Round off 3.04856 correct to three significant figures. BAEx pre11s10s222114003337 as
a number in base three.
A 3.04 C 3.048 112210110033
B 3.05 D 3.049 C
D

2. —56—00.—0×0—710—5 = 6. 1BA0 1111101001101211–11122 001102 = C 11111001111122
A 8 × 106 D
B 8 × 107
C 8 × 108 7. Dalam Rajah 3, QT ialah tangen kepada bulatan
D 8 × 109 PQR dengan pusat O pada Q. PORT ialah satu
garis lurus.
3. Rajah 1 menunjukkan sebatang paip air yang
berbentuk silinder dengan jejari 2 m. In Diagram 3, QT is a tangent to the circle PQR with
centre O at Q. PORT is a straight line.
Diagram 1 shows a cylindrical water pipe with radius
2 m. Q KERTAS MODEL SPM

7m P 27° x T
O R
Rajah 1/ Diagram 1
Hitung isi padu, dalam cm3, bagi paip air itu. Rajah 3/ Diagram 3
Calculate the volume, in cm3, of the water pipe.
Cari nilai x.
3 4 Guna/ Use π = —272–
A 1.76 × 107 Find the value of x. C 46°
B 8.8 × 107 A 27° D 63°
C 1.76 × 108 B 36°
D 8.8 × 108
8. Dalam Rajah 4, T ialah titik tengah bagi PQ.
4. Dalam Rajah 2, PQRSTU ialah sebuah heksagon Diberi bahawa kos x = —35 dan sin y = —87 .
sekata. PQH dan PRL ialah garis lurus dengan In Diagram 4, T is the midpoint of PQ. It is given that
keadaan PH = PL. cos x = —35 and sin y = —78 .
R
In Diagram 2, PQRSTU is a regular hexagon. PQH
and PRL are straight lines such that PH = PL.

TS

L

U R 64° K P y
6 cm x TQ

x

PQ H S

Rajah 2/ Diagram 2 Rajah 4/ Diagram 4

Hitung nilai x. Cari panjang, dalam cm, bagi PR.
Find the length, in cm, of PR.
Calculate the value of x. A 12 C 16
A 121° C 133°
B 129° D 138° B 14 D 20

429

Matematik   Kertas Model SPM

Kertas 2 / Paper 2
Masa: 2 jam 30 minit / Time: 2 hours 30 minutes

Bahagian A/ Section A
[40 markah/ 40 marks]

Arahan: Jawab semua soalan dalam bahagian ini.
Instruction: Answer all questions in this section.

1. (a) Gambar rajah Venn dalam Rajah 1.1 pada ruang jawapan menunjukkan set P dan set Q dengan keadaan
set semesta ξ = P  Q. Lorek set Pʹ.

The Venn diagram in Diagram 1.1 in the answer space shows sets P and Q such that the universal set ξ = P  Q.
Shade the set Pʹ.

(b) Gambar rajah Venn dalam Rajah 1.2 pada ruang jawapan menunjukkan set H, set J dan set K dengan
keadaan set semesta ξ = H  J  K. Lorek set (H  J)  K.

The Venn diagram in Diagram 1.2 in the answer space shows sets H, J and K such that the universal set
ξ = H  J  K. Shade the set (H  J)  K .
[4 markah/ 4 marks]

Jawapan/ Answer: (b) H J
(a) P
Q K

KERTAS MODEL SPM Rajah 1.1/ Diagram 1.1 Rajah 1.2/ Diagram 1.2

2. Rajah 2 menunjukkan sebuah gabungan pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah
kuboid.

Diagram 2 shows a composite solid consisting of a right prism and a cuboid.

6 cm

3 cm

4 cm 8 cm

5 cm

Rajah 2/ Diagram 2 [4 markah/ 4 marks]
Hitung isi padu, dalam cm3, bagi gabungan pepejal itu.
Calculate the volume, in cm3, of the composite solid.

Jawapan/ Answer:

436

JAWAPAN Jawapan lengkap
https://bit.ly/3culm84

TINGKATAN 4 6. y = x2 + 4 8 y

Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu
Pemboleh Ubah

Zon Formatif 1.1 6

21.. (9ay)2 +Y1a6; ,S51atku2 pemboleh ubah, c dan kuasa tertinggi y = x2 4 x
bagi c ialah 2. 2 12
y = x2 – 3
(b) Bukan; Kuasa bagi y bukan suatu nombor bulat. –2 –1 O
(c) Bukan; Dua pemboleh ubah, a dan b. –2
(d) Ya; Satu pemboleh ubah, p dan kuasa tertinggi
Graf y = x2 + 4 ialah translasi bagi graf y = x2 empat
bagi p ialah 2. unit ke atas, graf y = x2 – 3 ialah translasi bagi graf
3. (a) Dua nilai x = –1 dan x = 1 dipetakan kepada satu y = x2 tiga unit ke bawah.

nilai y = 3. 7. Paksi simetri x = – b bagi graf y = x2 + bx berubah
(b) y dengan nilai b. 2

4 8. (a) (x2 + 12x + 35) cm2
y = –x2 + 4 (b) x2 + 12x – 288 = 0

2

–3 –2 –1 O x 9. (a) Bukan (b) Ya (c) Ya JAWAPAN TINGKATAN 4
–2 123 5
2
10. (a) x = 4 atau x = –1 (b) x = – atau x=2
(c) (d) x = 8 = –3
–4 x= 3 atau x = 1 3 atau x
4
Titik maksimum (0, 4), paksi simetri x = 0
4. 11. (a) y (b) y
y

4 y = 1–2 x2 5 4
2 Ox Ox
x
–3 –2 –1 O 123 (c) y (d) y
–2
–4 y =– 21–x2 Ox
–3
1
Graf y = 1 x2 dan y = – 1 x2 adalah kongruen dan Ox
2 2
merupakan pantulan pada paksi-x.

5. y 12. (a) y (b) y

16 O

14 x

12 x –4 O
10 y = 4x2 2

8 (c) y (d) y
6 y = –32 x2

4 O x O x
2 y = x2 –12 2

–2 –1 O x
12
bertambah lebih curam

451

Bank Soalan

Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1. Antara ciri-ciri fungsi kuadratik berikut, yang manakah adalah tidak betul bagi f(x) = x2 + 9?
A Graf f(x) = x2 + 9 mempunyai satu titik minimum pada (0, 9).
B f ialah suatu fungsi banyak kepada satu.
C Paksi simetri graf f(x) = x2 + 9 ialah x = 0.
D Graf f(x) = x2 + 9 memotong paksi-x pada x = ±3.

2. Antara graf berikut, yang manakah adalah betul tentang nilai a ke atas graf fungsi kuadratik y = ax2?
C
A y y

y = x2 y = 4x2
y = 3x2
y = x2

Ox Ox

B y D y

y = x2 y = x2

x x
O O

y = – –21 x2 y = –5x2

3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.

(x + 10) cm (x + 5) cm

25 cm

Berdasarkan maklumat yang diberikan, cari persamaan kuadratik yang boleh dibentuk.
A x2 + 15x – 250 = 0 C 2x2 + 15x – 500 = 0
B x2 + 30x – 500 = 0 D 2x2 + 15x – 750 = 0

4. Antara berikut, yang manakah bukan suatu persamaan kuadratik?

A p2 + 8 = 3p C x2 + 3 = 4
x
k= 10 – 3k2 D 13 + 9w – 3w2 = 0
B 7

5. Diberi 4 ialah punca bagi persamaan kuadratik ax2 + 14x – 8 = 0, tentukan nilai a.
A –4 C 3
B –3 D 4

1

Jawapan

1. y 9. a = –1  0
Bentuk
(0, 9) f(x) = 0, 3x – x2 = 0
O x(3 – x) = 0
x = 0 atau x = 3
y

x

Jawapan: D

2. Jawapan: C O x
3
3. (x + 10)2 + (x + 5)2 = 252

x2 + 20x + 100 + x2 + 10x + 25 = 625

2x2 + 30x – 500 = 0 Jawapan: A
10. y = a(x + 4)(x – 1)
x2 + 15x – 250 = 0 = ax2 + 3ax – 4a
Jawapan: A a = 1, y = x2 + 3x – 4
a = 2, y = 2x2 + 6x – 8
4. x2 + 3 =4 a = 3, y = 3x2 + 9x – 12
x Jawapan: D
Kuasa bagi x ialah –1.
11. y
Jawapan: C
y = (x + 3)2
5. x = 4, a(4)2 + 14(4) – 8 = 0
16a + 56 – 8 = 0
16a = –48

a = –3 y = (x – 1)2


Jawapan: B

6. 2x2 – 13x + 15 = 0 1

(2x – 3)(x – 5) = 0 –3 O 1 x
–1
2x – 3 = 0 atau x – 5 = 0
3
x = 2 atau x = 5 –2 y = (x – 1)2 – 2
Jawapan: A

7. (y + 3)2 = 4 12. (a) y

y2 + 6y + 9 = 4 16
y = –x2 + 16
y2 + 6y + 5 = 0

(y + 1)(y + 5) = 0

y = –1 atau y = –5

Jawapan: B

8. x2 + 8x + 16 = 0 –4 O x
(x + 4)2 = 0 4
x = –4 atau x = –4 (sama tanda) (b)
y = x2 + 5x y
x2 + 7x + 6 = 0
(x + 1)(x + 6) = 0
x = –1 atau x = –6 (sama tanda)

x2 – 2x – 8 = 0
(x + 2)(x – 4) = 0
x = –2 atau x = 4 (berlainan tanda)
x2 – 11x + 24 = 0
(x – 3)(x – 8) = 0 –5 O x

x = 3 atau x = 8 (sama tanda)

Jawapan: C

4

Topik
Baharu

BAB Konsep Tg 4

10

208

Simpanan Dana Tetap Tidak tetap M A R Matematik   Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan
tetap kecemasan Measurable Attainable Realistic
Boleh diukur Boleh dicapai Realistik
Aktif Pasif Pinjaman Kad kredit

Pendapatan Simpanan Hutang Perbelanjaan S Konsep T
Specific SMART Time-bound
Khusus Tempoh masa

melibatkan membina Pengurusan Kewangan menghuraikan berpandukan
Pelan kewangan peribadi Proses pengurusan
kewangan yang berkesan
berdasarkan
Matlamat kewangan Menetapkan matlamat kewangan

. 5 tahun , 1 tahun Menilai kedudukan kewangan

Jangka panjang Jangka pendek Mewujudkan pelan kewangan
menilai Melaksanakan pelan kewangan
Mengkaji semula dan menyemak
Kebolehlaksanaan pelan kewangan
dipengaruhi kemajuan

Inflasi, kesihatan, sumber
pendapatan dan perbelanjaan

Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan  Matematik Tg 4

10.1 Perancangan dan Pengurusan Contoh 1
Kewangan Padankan yang berikut.
Membayar ansuran kereta
Menghuraikan proses pengurusan bagi setiap bulan.
kewangan yang berkesan

1. Perancangan kewangan ialah satu proses Memberi enam bulan gaji Keperluan
yang menilai kedudukan kewangan semasa sebagai bonus tahunan. Kehendak
dan masa hadapan seseorang atau organisasi Menyediakan makan tengah
dengan menggunakan sumber pendapatan hari kepada semua pekerja. Keperluan
dan perbelanjaan untuk menentukan aliran Membeli insurans Takaful Kehendak
wang, nilai aset dan pelan kewangan pada masa peribadi.
hadapan. Penyelesaian:
Membayar ansuran kereta
2. Pengurusan kewangan ialah satu proses yang bagi setiap bulan.
melibatkan penggunaan sumber pendapatan Memberi enam bulan gaji
dan aset terhadap perbelanjaan, simpanan, sebagai bonus tahunan.
pelaburan dan perlindungan bagi memenuhi Menyediakan makan tengah
matlamat kewangan seseorang individu atau hari kepada semua pekerja.
organisasi. Membeli insurans Takaful
peribadi.
3. Proses pengurusan kewangan melibatkan lima Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 10.1
langkah utama.

Menetapkan
matlamat
1 kewangan 5Mednagnkmakjeiemsneyamjeumualnaak

kkeedMwueadnniuglkaaiann Proses (b) Menilai kedudukan kewangan.
pengurusan • Kedudukan kewangan semasa boleh
2 kewangan ditentukan berdasarkan penyata aliran
tunai dan penyata nilai aset bersih.
k3ewMapenewglauannjudkan M4elakspkaeenwlaakananngan • Penyata aliran tunai memberikan BAB
maklumat tentang bagaimana sumber
pendapatan diperoleh dan dibelanjakan. 10

(a) Menetapkan matlamat kewangan. TIP Bestari
• Matlamat kewangan biasanya ditetapkan
pada awal tahun. Aliran tunai positif berlaku apabila jumlah pendapatan
• Semasa menetapkan matlamat kewangan, adalah melebihi jumlah perbelanjaan manakala aliran
segala perbelanjaan harus diberikan tunai negatif berlaku apabila jumlah pendapatan
keutamaan kepada keperluan daripada adalah kurang daripada jumlah perbelanjaan.
kehendak.
• Matlamat kewangan boleh dikategorikan Jumlah pendapatan Jumlah pendapatan
sebagai jangka pendek (kurang daripada . jumlah perbelanjaan  jumlah perbelanjaan
satu tahun), jangka sederhana (satu
tahun hingga lima tahun) dan jangka Aliran tunai
panjang (lebih daripada lima tahun).
Aliran tunai positif Aliran tunai negatif

10.1.1 209

Tg 4 Matematik   Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

• Penyata nilai aset memberikan maklumat • Pendapatan pasif ialah pendapatan yang
yang berkaitan dengan aset (harta) dan diterima daripada pelaburan yang mana
liabiliti (hutang) semasa. seseorang itu tidak melibatkan secara aktif.

• Aset merupakan wang tunai dan 2. • Perbelanjaan terdiri daripada perbelanjaan
pelaburan seperti simpanan, saham, tetap (sewa rumah, ansuran kereta, bayaran
amanah saham dan hartanah. insurans) dan perbelanjaan tidak tetap (bil
utiliti, kos perubatan, minyak kereta).
• Liabiliti merupakan pinjaman, hutang
kad kredit, sewa dan bil-bil utiliti. • Perbelanjaan tidak tetap ialah jumlah wang
yang dibelanjakan ke atas suatu item atau
• Kedudukan kewangan perlu diperiksa perkhidmatan yang berubah mengikut
sekurang-kurangnya enam bulan sekali keperluan dan kehendak seseorang.
untuk menyemak pencapaian matlamat
kewangan. • Perbelanjaan tetap ialah jumlah wang
yang dibelanjakan ke atas suatu item atau
Contoh 2 perkhidmatan yang tetap dalam suatu tempoh
masa.
Maklumat di bawah menunjukkan jumlah
pendapatan dan jumlah perbelanjaan Alwi dan • Pelan kewangan biasanya disediakan
Basri dalam suatu bulan. secara bulanan untuk tempoh satu tahun.

Alwi : Jumlah pendapatan = RM2 340 Contoh 3
Jumlah perbelanjaan = RM2 070
Basri : Jumlah pendapatan = RM2 580 Maklumat di bawah menunjukkan pendapatan
Jumlah perbelanjaan = RM2 750 dan perbelanjaan Nasrul pada bulan Mei.

Tentukan aliran tunai bulanan bagi Alwi dan Basri. Pendapatan aktif: RM3 470
Seterusnya, nyatakan individu yang mempunyai Pendapatan pasif: RM650
kedudukan kewangan bulanan yang lebih baik. Perbelanjaan tetap: RM2 860
Beri justifikasi anda. Perbelanjaan tidak tetap: RM1 280

Penyelesaian: (a) Cari
(i) jumlahpendapatanNasrulpadabulanMei,
Aliran tunai bulanan bagi Alwi = 2 340 – 2 070 (ii) jumlah perbelanjaan Nasrul pada bulan
= RM270 Mei.
Aliran tunai bulanan bagi Basri = 2 580 – 2 750
= –RM170 (b) Seterusnya, nyatakan sama ada Nasrul
Aliran tunai bulanan bagi Alwi adalah positif. Oleh adalah seorang yang bijak dalam pengurusan
itu, kedudukan kewangan bulanan Alwi adalah kewangan pada bulan Mei. Beri justifikasi anda.
10BAB lebih baik.
Penyelesaian:
Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 10.1
(a) (i) Jumlah pendapatan = 3 470 + 650
= RM4 120
(c) Mewujudkan pelan kewangan. (ii) Jumlah perbelanjaan = 2 860 + 1 280
• Pelan kewangan merupakan komponen = RM4 140
penting dalam memandu ke arah (b) Pada bulan Mei, jumlah perbelanjaan adalah
pencapaian matlamat kewangan melebihi jumlah pendapatan. Oleh itu, Nasrul
berdasarkan nilai kewangan yang bukan seorang yang bijak dalam pengurusan
dijangka dan nilai kewangan sebenar. kewangan pada bulan Mei.
• Nilai kewangan ditentukan berdasarkan
pendapatan, simpanan, hutang dan Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 10.1
perbelanjaan.
(d) Melaksanakan pelan kewangan.
TIP Bestari • Semasa melaksanakan pelan kewangan,
pembayaran perbelanjaan tetap harus
1. • Pendapatan terdiri daripada pendapatan aktif diberi keutamaan untuk mengelak caj
(gaji, elaun, komisen) dan pendapatan pasif atau faedah tambahan yang perlu dibayar
(sewa, faedah, dividen). ke atas pembayaran lewat.
• Perbelanjaan yang dirancang perlu dibuat
• Pendapatan aktif ialah pendapatan yang perbandingan dengan perbelanjaan
diterima oleh seseorang yang melakukan suatu sebenar bagi satu-satu bulan untuk
pekerjaan yang melibatkan masa dan tenaga. mengawal pembaziran.

210 10.1.1

Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans  Matematik Tg 5

3.1 Risiko dan Perlindungan 10. Ganti rugi yang dibayar oleh syarikat insurans
Insurans adalah berdasarkan prinsip indemniti.
Mengikut prinsip indemniti, syarikat
Menjelaskan maksud risiko dan kepentingan insurans hanya akan memulihkan
perlindungan insurans, dan seterusnya pemegang polisi seperti keadaan asal, iaitu
mengenal pasti jenis insurans hayat dan keadaan sebelum berlakunya kerugian.
insurans am bagi melindungi pelbagai jenis
risiko 11. Ganti rugi boleh dibayar melalui satu daripada
cara yang berikut:
1. Apabila seseorang individu mengalami sesuatu • Bayaran
kejadian atau musibah yang tidak dijangka, • Pemulihan atau penggantian
situasi seperti ini dikenali sebagai risiko.
12. Jenis-jenis insurans
2. Risiko ialah kemungkinan berlakunya musibah BAB
yang tidak dapat dielakkan.
3
3. Antara contoh risiko ialah kemalangan jalan
raya, kecurian di rumah, kebakaran rumah dan Insurans hayat Insurans am
sebagainya.
A Insurans hayat
4. Pengambilan insurans merupakan satu langkah 1. Insurans hayat merupakan polisi insurans yang
untuk melindungi risiko.
memberi perlindungan kepada pemegang polisi
5. Insurans merupakan satu mekanisme ekonomi sekiranya terjadi sesuatu yang tidak diingini
yang memindahkan risiko daripada satu pihak, seperti kematian, penyakit kritikal, hilang upaya
iaitu pemegang polisi insurans kepada satu diri dan dimasukkan ke hospital.
pihak lain, iaitu syarikat insurans.
memindahkan risiko

Pemegang Membayar premium Syarikat 2. Setiap individu digalakkan mengambil polisi
polisi Membayar pampasan insurans insurans hayat bagi tujuan:
(a) perlindungan kewangan kepada ahli
insurans keluarga, setelah pemegang polisi tersebut
meninggal dunia,
6. Kelebihan mengambil insurans kepada (b) pemegang polisi insurans hayat juga akan
pemegang polisi: menerima pampasan, sekiranya beliau
• Menerima pampasan atau ganti rugi apabila mengalami hilang upaya menyeluruh dan
berlakunya risiko yang boleh diinsuranskan. kekal.
• Tidak perlu mengeluarkan wang daripada
dana sendiri untuk melindungi risiko. B Insurans am
1. Insurans am merupakan polisi insurans
7. Jumlah ganti rugi yang dibayar oleh syarikat
insurans adalah bergantung kepada jumlah yang melindungi individu daripada sebarang
amaun insurans yang diambil oleh pemegang kerugian dan kerosakan yang ditanggung
polisi. seperti kerugian harta benda akibat kecurian
atau kebakaran, kematian akibat kemalangan
8. Risiko yang diinsuranskan mesti berlaku dalam atau kecederaan dan liabiliti yang wujud
tempoh insurans itu berkuat kuasa. daripada pihak ketiga disebabkan oleh individu
tersebut.
9. Ganti rugi yang dibayar oleh syarikat insurans 2. Ciri-ciri insurans am:
kepada pemegang polisi bergantung kepada • Perlu diperbaharui setiap tahun
jumlah kerugian sebenar dan tidak melebihi • Menggunakan prinsip indemniti
jumlah kerugian tersebut.

3.1.1 271

Tg 5 Matematik   Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans

3. Jenis-jenis insurans am: 4. Empat jenis polisi insurans motor:
(a) Polisi akta
Insurans – Melindungi liabiliti pihak ketiga atas
motor kematian atau kecederaan anggota badan
(tidak termasuk penumpang)
Insurans Insurans (b) Polisi pihak ketiga
perubatan dan kebakaran – Perlindungan tambahan pada polisi akta
yang memberi perlindungan tambahan
kesihatan kepada pihak ketiga
– Polisi ini melindungi kerugian terhadap
Jenis-jenis harta benda yang dialami oleh pihak
ketiga
insurans (c) Polisi pihak ketiga, kebakaran dan
kecurian
am Insurans – Perlindungan tambahan pada polisi
kemalangan pihak ketiga yang memberi perlindungan
Insurans tambahan kepada pemegang polisi
BAB perjalanan diri – Polisi ini melindungi kerugian terhadap
kenderaan sendiri disebabkan oleh
3 kebakaran yang tidak disengajakan atau
kecurian
Insurans (d) Polisi komprehensif
rompakan – Perlindungan tambahan pada polisi
pihak ketiga, kebakaran dan kecurian
(a) Insurans kebakaran yang memberi perlindungan tambahan
– Memberi perlindungan pada risiko kepada pemegang polisi
kebakaran – Polisi ini melindungi kerugian dan
kerosakan terhadap kenderaan sendiri
(b) Insurans kemalangan diri akibat kemalangan
– Memberi perlindungan kepada
pemegang polisi yang mengalami 5. Insurans berkelompok:
kecederaan anggota badan, kecacatan, • Memberi perlindungan kepada sekumpulan
hilang upaya atau meninggal dunia individu, biasanya pekerja syarikat seperti
berpunca secara langsung daripada pekerja bank atau murid sekolah dan pelajar
kemalangan. Insurans ini adalah berbeza pusat pengajian tinggi
daripada insurans hayat, dan insurans • Pekerja yang dilindungi di bawah polisi ini
perubatan dan kesihatan. mendapat perlindungan kewangan seperti
kematian, hilang upaya, kemasukan hospital
(c) Insurans rompakan dan pembedahan mengikut had tuntutan
– Memberi perlindungan disebabkan oleh yang ditetapkan dalam polisi
rompakan
Mengkaji, mentafsir dan membuat
(d) Insurans perjalanan pengiraan yang melibatkan kadar dan
– Melindungi pemegang polisi terhadap premium insurans
kerugian dalam perjalanan seperti
kematian dan kecacatan kekal, 1. Premium ialah bayaran yang perlu dibayar oleh
kehilangan bagasi, pasport dan duit, pemegang polisi kepada syarikat insurans untuk
belanja perubatan dan lain-lain. melindungi risiko.

(e) Insurans perubatan dan kesihatan 2. Ahli aktuari akan mengambil kira rekod
– Membayar ganti rugi kepada pemegang perangkaan masa lalu yang berkaitan dengan
polisi yang memerlukan rawatan sesuatu risiko dalam pengiraan premium.
kesihatan akibat rawatan kesihatan dan
penyakit

(f) Insurans motor
– Memberi perlindungan terhadap
sebarang kerugian atau kerosakan
berkaitan dengan penggunaan kenderaan
berenjin

272 3.1.1 3.1.2

Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans  Matematik Tg 5

(a) Polisi komprehensif bagi Semenanjung TIP Bestari
Malaysia:
Premium asas Kadar premium bagi polisi pihak ketiga,
= Kadar bagi RM1 000 pertama + RM26 kebakaran dan kecurian ialah 75% daripada
bagi setiap RM1 000 atau sebahagian premium asas polisi komprehensif.
daripada itu bagi nilai yang melebihi
RM1 000 Premium kasar bagi polisi pihak ketiga:

(b) Polisi komprehensif bagi Sabah dan Premium asas RM
Sarawak: Tolak NCD 25% 151.20
Premium asas Premium kasar
= Kadar bagi RM1 000 pertama + 37.80
RM20.30 bagi setiap RM1 000 atau Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 3.1
sebahagian daripada itu bagi nilai 113.40
yang melebihi RM1 000
BAB

3

Contoh 3 TIP Bestari

Encik Hafiz mempunyai sebuah kereta model 1. Klausa Diskaun Tanpa Tuntutan (NCD) akan
X untuk digunakan di Semenanjung Malaysia. diberikan jika tiada tuntutan dibuat terhadap
Maklumat kereta itu adalah seperti yang berikut. insurans motor dalam tempoh perlindungan
sebelum pembaharuan polisi dibuat.
Jumlah yang ingin diinsuranskan : RM94 000
Umur kenderaan : 5 tahun 2. NCD akan mengurangkan jumlah bayaran
Kapasiti enjin : 1 799 cc premium bagi pemegang polisi insurans.
NCD : 25%
3. Kelebihan NCD akan hilang jika pemegang polisi
Hitung premium kasar bagi kereta Encik Hafiz telah membuat tuntutan terhadap kerosakan
untuk polisi komprehensif, polisi pihak ketiga, sendiri atau pihak ketiga.
kebakaran dan kecurian, dan polisi pihak ketiga.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Penyelesaian: insurans termasuk deduktibel dan
Premium kasar bagi polisi komprehensif: ko-insurans

RM1 000 yang pertama RM A Deduktibel
RM26 × RM93 (setiap RM1 000 339.10 1. Deduktibel merupakan satu peruntukan dalam
baki) 2 418.00
Premium asas kontrak insurans yang menghendaki pemegang
Tolak NCD 25% 2 757.10 polisi untuk menanggung sebahagian kecil
Premium kasar 689.28 daripada kerugian yang berlaku.
2. Di bawah peruntukan ini, satu amaun tertentu
2 067.82 yang telah ditetapkan akan ditolakkan daripada
jumlah ganti rugi yang sepatutnya dibayar oleh
TIP Bestari syarikat insurans.
3. Deduktibel merupakan satu peruntukan
—RM—9—4—R0M0—01—–0—R0M0—1—0—00– = RM93 yang wujud dalam insurans perubatan dan
kesihatan serta insurans harta.
Premium kasar bagi polisi pihak ketiga, kebakaran 4. Deduktibel tidak digunakan dalam insurans
dan kecurian: hayat.

Premium asas RM
Tolak NCD 25% 2 067.83

516.96

Premium kasar 1 550.87

3.1.2 3.1.3 275

Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian  Matematik Tg 5

4.1 Percukaian atau penggunaan perkhidmatan tertentu.
Misalnya, cukai rokok.
Menghuraikan tujuan percukaian • Alat pelaksanaan polisi kerajaan.
• Cukai digunakan sebagai alat untuk mengawal
1. Cukai ialah satu kaedah yang digunakan oleh inflasi dan kemelesetan ekonomi.
kerajaan untuk mengumpulkan hasil daripada 5. Sebagai rakyat yang bertanggungjawab, kita
individu, syarikat dan entiti lain untuk disalurkan haruslah membayar cukai yang dikenakan pada
ke dalam projek-projek pembangunan negara masa yang tepat.
di samping menyediakan pelbagai kemudahan 6. Pembayaran cukai bukanlah suatu perkara
awam demi kesejahteraan rakyat. yang membebankan, malah ia dapat membantu
meningkatkan pembangunan negara.
2. Di Malaysia, cukai biasanya dipungut oleh
Lembaga Hasil Dalam Negeri (LHDN), Menghuraikan pelbagai cukai dan
Jabatan Kastam Diraja Malaysia (JKDM) dan seterusnya kesan pengelakan cukai tersebut
juga beberapa jabatan kerajaan yang lain. dari aspek perundangan dan kewangan

3. Cukai biasanya dikumpulkan dalam bentuk
wang berdasarkan syarat-syarat tertentu.

4. Tujuan dan kepentingan cukai yang dikenakan 1. Di Malaysia, kutipan cukai diuruskan oleh dua BAB
oleh kerajaan: agensi utama di bawah Kementerian Kewangan,
• Membantu melicinkan pentadbiran negara iaitu Lembaga Hasil Dalam Negeri (LHDN), 4
dan membantu rakyat melalui projek-projek Jabatan Kastam Diraja Malaysia (JKDM) dan
pembangunan. Eksais Diraja Malaysia.
Cukai
2. Jenis-jenis cukai di Malaysia:

Kerajaan Rakyat Cukai Cukai
– Gaji kepada – Pembinaan pendapatan jalan
Cukai Cukai
pekerja sektor hospital perkhidmatan pintu
awam – Pembinaan
– Perbelanjaan lain Jenis-jenis
bagi menguruskan sekolah cukai
pentadbiran – Buku teks
kerajaan Cukai
percuma tanah

• Cukai
Golongan usahawan jualan
membayar cukai
kepada

Kerajaan

Cukai disalurkan kepada golongan yang A Cukai pendapatan
kurang berkemampuan melalui pelbagai 1. Cukai pendapatan merupakan cukai yang
jenis bantuan
• Cukai yang dibayar digunakan sebagai dibayar oleh individu, syarikat dan entiti lain
perangsang atau penggerak ekonomi. yang memperoleh pendapatan melebihi jumlah
• Cukai boleh dikenakan pada sesuatu tertentu selepas ditolak dengan pengecualian
barangan atau perkhidmatan supaya rakyat cukai dan pelepasan cukai yang dibenarkan oleh
dapat mengurangkan pembelian barangan kerajaan bagi tempoh tahun taksiran berkenaan.

4.1.1 4.1.2 285

Tg 5 Matematik   Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian

2. Tidak D Cukai tanah
Tidak melaporkan memaklumkan 1. Selain cukai pintu, pemilik harta juga perlu
pendapatan layak dikenakan
sebenar di dalam cukai membayar cukai tanah.
Borang Nyata 2. Cukai tanah merupakan cukai yang dikenakan
Cukai Pendapatan
(BNCP) bagi tanah hak persendirian.
3. Cukai tanah ini dibayar oleh pemilik tanah
Cukai pendapatan
kepada Pihak Berkuasa Negeri melalui Pejabat
Denda RM1 000 Denda RM200 Tanah dan Galian.
hingga RM10 000 hingga RM20 000 4. Kesan yang dihadapi oleh pemilik tanah jika
atau penjara atau atau penjara tidak gagal membayar cukai tanah:
kedua-duanya sekali melebihi 6 bulan • Bayaran tunggakan akan dikenakan sebagai
dan penalti 200% atas atau kedua-duanya
cukai terkurang bayar sekali (Akta Cukai tambahan kepada cukai tanah.
(Akta Cukai Pendapatan 1967 • Notis tuntutan akan dikeluarkan. Jika
Pendapatan 1967 (Akta 53) Seksyen
(Akta 53) Seksyen 112(1)) bayaran tidak dijelaskan dalam tempoh 3
4BAB 113(1)(a)) bulan daripada arahan notis, rampasan tanah
akan dilakukan (Kanun Tanah Negara 1965
B Cukai jalan Seksyen 100).
1. Pemilik kenderaan bermotor harus membayar
E Cukai jualan
cukai jalan sebelum kenderaan tersebut 1. Cukai jualan dikenakan terhadap barang akhir
dibenarkan untuk dipandu di jalan raya secara
sah. yang dijual oleh firma dalam negeri dan barang
import dari luar negara.
2. Cukai jualan merupakan cukai tidak langsung
seperingkat yang ditadbir oleh Jabatan Kastam
Diraja Malaysia melalui peruntukan Akta Cukai
Jualan 2018.

2. Pemilik kenderaan 3. Ambangan Pendaftaran Cukai Jualan apabila
Pemilik kenderaan boleh didenda tidak nilai jualan firma melebihi RM500 000 setahun.
bermotor gagal melebihi RM2 000
memperbaharui mengikut Akta 4. Cukai jualan ditetapkan pada pelbagai kadar,
cukai jalan yang Pengangkutan Jalan iaitu 5% atau 10%.
telah tamat tempoh 1987 (Akta 333)
(tiada insurans) Seksyen 23 (1) 5. Namun, bukan semua barang yang dikilangkan
di Malaysia dikenakan cukai jualan.

C Cukai pintu 6. Kesan yang dihadapi oleh firma/syarikat
perniagaan jika mengelak daripada membayar
1. Cukai pintu dikenakan ke atas harta seperti cukai jualan:
perindustrian dan tanah kosong.
Bagi kesalahan pengelakan
2. Cukai pintu juga dikenali sebagai cukai taksiran. cukai kali pertama

3. Harta akan disita Denda minimum 10 kali ganda hingga 20
Pemilik harta tidak atau dilelong kali ganda amaun cukai jualan atau dipenjara
membayar cukai tidak melebihi 5 tahun atau kedua-duanya
pintu (Akta Cukai Jualan 2018 (Akta 806) Seksyen
86(1) dan 86(2)).

286 4.1.2

Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian  Matematik Tg 5

Cukai kena dibayar bagi tahun taksiran 2019 9 231
Tolak: Potongan Cukai Bulanan (PCB) 1 050
Baki cukai tahun taksiran 2019 8 181

Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 4.1

TIP Bestari Rebat
• Rebat cukai ditolak daripada cukai yang
Taksiran cukai berasingan lebih menjimatkan
berbanding dengan cukai bersama. Taksiran dikenakan untuk menentukan cukai kena
bersama hanya akan menghasilkan pengurangan dibayar bagi tahun taksiran.
jumlah cukai yang perlu dibayar sekiranya salah • Terbahagi kepada dua, iaitu rebat cukai
seorang sama ada suami atau isteri mempunyai zakat atau fitrah dan rebat cukai individu
jumlah pendapatan yang rendah. sebanyak RM400 untuk pembayar cukai
yang mempunyai pendapatan bercukai
8. Perbezaan antara pelepasan cukai dengan rebat: tidak melebihi RM35 000.
Pelepasan cukai
9. Pengiraan cukai jalan: BAB
• Perbelanjaan yang dibenarkan untuk • Cukai jalan yang dikeluarkan adalah
ditolak daripada jumlah pendapatan berdasarkan kapasiti enjin kenderaan yang 4
tahunan untuk mengurangkan jumlah dimiliki oleh pemiliknya.
pendapatan yang akan dikenakan cukai. • Semakin tinggi kapasiti enjin kenderaan,
semakin tinggi kadar cukai jalan yang
dikenakan.

Contoh 4
Jadual di bawah menunjukkan kadar cukai jalan bagi kereta persendirian di Semenanjung Malaysia.

Kapasiti enjin Kadar asas Kadar cukai jalan
1 000 cc dan ke bawah RM20.00 Kadar progresif
-

1 001 cc – 1 200 cc RM55.00 -

1 201 cc – 1 400 cc RM70.00 -

1 401 cc – 1 600 cc RM90.00 -

1 601 cc – 1 800 cc RM200.00 + RM0.40 setiap cc melebihi 1 600 cc

1 801 cc – 2 000 cc RM280.00 + RM0.50 setiap cc melebihi 1 800 cc

Encik Yusuf dan isterinya membeli dua buah kereta kegunaan persendirian di Pahang dengan kapasiti enjin
masing-masing ialah 850 cc dan 1 850 cc. Hitung cukai jalan yang dikenakan ke atas kedua-dua kereta
tersebut.

Penyelesaian:
Cukai jalan kereta (850 cc) = RM20.00
Cukai jalan kereta (1 850 cc) = Kadar asas + Kadar progresif
= RM280 + (1 850 – 1 800) × RM0.50
= RM280.00 + RM25
= RM305.00

Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.1

4.1.3 293

Tg 4 Matematik   Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

TIP Bestari 1. Beza antara graf terarah dengan graf tak terarah.
Graf
Dalam graf yang mempunyai gelung dan graf
berbilang tepi, darjah bagi suatu bucu ditentukan Graf terarah Graf tak terarah
dengan cara yang sama seperti graf mudah.
C C

Contoh 7 A BA B
A, B, C dan D ialah empat bucu bagi suatu graf.
Tanpa menggunakan graf, tentukan darjah bagi D D
setiap bucu itu dengan tepi berikut.
(a) {(A, B), (A, D), (B, D), (C, D), (C, D), (C, D)} Setiap tepi bertanda Setiap tepi tidak
(b) {(A, D), (A, D), (B, B), (B, C), (B, C), (B, D), (C, C)} dengan arah. bertanda dengan arah.
Tepi A • • B Tepi A • • B
5BAB Penyelesaian: ditulis dalam ditulis dalam bentuk
(a) Bucu A : 2 tepi {(A, B), (A, D)} pasangan tertib (B, A). (A, B).
º Darjah (A) = 2
Bucu B : 2 tepi {(A, B), (B, D)} (A, B) ≠ (B, A) (A, B) = (B, A)
º Darjah (B) = 2 Tepi-tepi bagi graf Tepi-tepi bagi graf
Bucu C : 3 tepi {(C, D), (C, D), (C, D)} ialah {(A, C), (A, D), ialah {(A, B), (A, C),
º Darjah (C) = 3 (B, A), (B, C), (D, A)} (A, D), (A, D), (B, C)}
Bucu D : 5 tepi {(A, D), (B, D), (C, D), (C, D), (C, D)}
º Darjah (D) = 5 TIP Bestari
(b) Bucu A : 2 tepi {(A, D), (A, D)}
º Darjah (A) = 2 1. Bagi graf terarah, (A, A) mewakili suatu gelung
Bucu B : 4 tepi {(B, B), (B, C), (B, C), (B, D)} yang berarah.
º Darjah (B) = 4
Bucu C : 3 tepi {(B, C), (B, C), (C, C)}   atau  
º Darjah (C) = 3
Bucu D : 3 tepi {(A, D), (A, D), (B, D)} AA
º Darjah (D) = 3
Cuba soalan 7 dalam Zon Formatif 5.1 2. Bagi graf tak terarah, (A, A) mewakili suatu gelung
yang tidak berarah.
TIP Bestari
A
Darjah bagi suatu bucu dicari dengan menentukan
bilangan tepi yang melibatkan bucu itu. Contoh 8
Padankan yang berikut.
Membanding beza (a)
(i) Graf terarah dengan graf tak terarah
(ii) Graf berpemberat dengan graf tak Graf terarah
(b)
berpemberat


(c) Graf tak terarah


96 5.1.1 5.1.2

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf  Matematik Tg 4

Penyelesaian: TIP Bestari
(a)
Berat pada tepi sebuah graf berpemberat mungkin
mewakili jarak, masa, kos, harga dan sebagainya.

Graf terarah Contoh 10
(b)
Nyatakan sama ada setiap graf berikut mewakili
graf berpemberat atau graf tak berpemberat.
(a) (b)

3

5
(c) Graf tak terarah
10 2

7 BAB
(c)
5
2 11

6 54
Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 5.1 2

Contoh 9 3

Suatu graf mempunyai bucu {A, B, C, D} dan tepi Penyelesaian:
{(A, A), (A, B), (A, D), (B, C), (C, A), (C, B)}. (a) Graf berpemberat
(a) Tandakan 3 untuk menunjukkan graf yang (b) Graf tak berpemberat
betul. (c) Graf berpemberat

Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 5.1

Graf terarah    Graf tak terarah Mengenal dan melukis subgraf dan pokok

Berikan justifikasi anda. 1. Subgraf bagi suatu graf ialah graf yang terdiri
(b) Seterusnya, lukis satu rajah untuk mewakili daripada bucu dan tepi tertentu bagi graf yang
asal.
graf itu.
Penyelesaian: TIP Bestari
(a) Graf terarah 3
(B, C) dan (C, B) ialah tepi terarah yang 1. Jika H ialah subgraf bagi graf G, maka
(a) bucu-bucu bagi H juga adalah bucu-bucu
mengaitkan bucu B dan bucu C. bagi G,
(b) (b) tepi-tepi dengan dua bucunya bagi H juga
adalah tepi-tepi dengan dua bucunya bagi G.
C
A 2. Suatu subgraf mungkin mempunyai bentuk yang
berlainan daripada graf asal tetapi bucu-bucu
DB dan tepi-tepinya mesti sama.

Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 5.1 3. Setiap graf ialah subgraf bagi dirinya sendiri.

2. Beza antara graf berpemberat dengan graf tak B CB
berpemberat. AC
Graf BA B
C C

Graf berpemberat Graf tak berpemberat A Subgraf AB
B bagi graf
5 C
2 C B
AB C A
79 B
A A
C

Setiap tepi dikaitkan Setiap tepi tidak CB B A
dengan suatu nombor dikaitkan dengan A C
yang dinamakan berat. suatu nombor. C
5.1.2 5.1.3 A

97

Tg 4 Matematik   Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Mewakilkan maklumat dalam bentuk Penyelesaian:
rangkaian
Langkawi Kota Kinabalu

Contoh 18 Kota Bharu Sibu
Rajah di bawah menunjukkan beberapa jalan raya Pulau Tawau
di suatu kawasan.
Pinang Kuching

Kuala Johor Bahru
Lumpur

Cuba soalan 19 dalam Zon Formatif 5.1

BAB Dengan menggunakan simpang jalan sebagai Contoh 20
Lima orang kawan, iaitu Asiah, Khairul, Natifah,
5 bucu dan jalan sebagai tepi, lukis satu graf tak Roslan dan Zeti melakukan perbualan panggilan
terarah untuk mewakili rangkaian jalan raya itu. video dalam situasi berikut.
Penyelesaian: Asiah panggil Khairul dan Roslan tetapi bukan
Natifah atau Zeti. Zeti pula panggil Roslan dan
Cuba soalan 18 dalam Zon Formatif 5.1 Natifah sahaja. Zeti tidak pernah panggil Khairul
walaupun Khairul selalu panggil Zeti. Kerap kali
Natifah dan Roslan akan panggil antara satu
sama lain seperti Khairul dan Natifah.
Lukis satu graf terarah untuk mewakilkan perbualan
panggilan video yang dihuraikan dalam situasi itu.
Penyelesaian:

Natifah

Khairul

Contoh 19 Zeti

Rajah di bawah menunjukkan beberapa lokasi Roslan Asiah
lapangan terbang di Malaysia.
Cuba soalan 20 dalam Zon Formatif 5.1

Langkawi Kota Kinabalu

Kota Bharu Sibu Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Pulau Tawau rangkaian

Pinang Kuching

Kuala Contoh 21
Lumpur
Johor Bahru Rajah di bawah menunjukkan suatu rangkaian
jalan raya yang menghubungkan lima tempat A,
Sebuah syarikat Air X menjadualkan 10 B, C, D dan E.
penerbangan pada suatu hari seperti berikut.
D
• Pulau Pinang ke Johor Bahru 200
• Kuching ke Tawau
• Tawau ke Kuching B 340 100
• Kuching ke Kuala Lumpur C 270
• Kota Kinabalu ke Kuala Lumpur
• Kuala Lumpur ke Langkawi 400 120
• Langkawi ke Pulau Pinang
• Johor Bahru ke Sibu A E
• Pulau Pinang ke Kota Bharu 350
• Kuala Lumpur ke Kuching
Lukis satu graf terarah untuk mewakili maklumat Berat yang dinyatakan pada setiap tepi mewakili
penerbangan itu. jarak, dalam m, di antara dua tempat. Satu lintasan
ialah laluan di sepanjang tepi-tepi graf dari satu
bucu ke bucu yang lain tanpa mengulangi mana-
mana satu bucu.
Dengan menyenaraikan semua lintasan yang
mungkin, tentukan lintasan terpendek dari A ke C
dan nyatakan panjangnya.

100 5.1.4 5.1.5

Konsep

Pemodelan Matematik
melibatkan

diberi Model linear diberi Model kuadratik Model eksponen
y = mx + c y = ax2 + bx + c y = a(b)x

jika a . 0 dan b . 1 jika a . 0 dan 0 , b , 1

Kecerunan m dan Koordindaant (vxe1,rtye1k)sp(ahd,akp):arabola Fungsi eksponen Fungsi eksponen Model faedah
pintasan-y, c: y = a(x − ℎ)2 + k menunjukkan menunjukkan kompaun
y = mx + c pertumbuhan pereputan

Kecerunan m dan Koordindatan(xp1,iny1t)aspaand-ax:parabola dengan dengan A(t) = P 11 + —nr 2nt, Bab 8 Pemodelan Matematik  Matematik
kyo−oyrd1 i=namt ((xx1−, yx11)): y = a(x − p)(x − q) Model Model pereputan
pertumbuhan eksponen ialah dengan A(t) ialah
Dua kd=oamonrx(dxi+n2,acytd2)(a:xn1, y1) TiSgealeksoaoikrddaaninnta(itgxa(3,xpy1,e3)yr:s1)a,m(xa2a,ny2) eksponen ialah jumlah simpanan
y menggunakan y = ax2 + bx + c y = a(1 + r)t, y = a(1 − r)t, pada tahun ke-t,
y − y1 = m(x − x1) dengan a ialah dengan a ialah P ialah prinsipal, r
nilai awal, r nilai awal, r ialah ialah kadar faedah
ialah kadar kadar pereputan tahunan, n ialah
pertumbuhan dan dan t ialah masa bilangan faedah
t ialah masa dikompaun dalam
setahun dan t ialah
bilangan tahun

BAB Tg 5

8

415

Tg 5 Matematik   Bab 8 Pemodelan Matematik

Situasi ini melibatkan fungsi linear kerana B Pemodelan kuadratik
perbezaan pertama ialah pemalar yang sama, 1. Pemodelan kuadratik adalah berkaitan dengan
iaitu RM39.
Perbezaan pertama ialah kecerunan, m, iaitu fungsi kuadratik. Persamaan asas bagi fungsi
kadar perubahan pada nilai y. kuadratik ialah y = ax2 + bx + c, dengan keadaan
Jadi, y = 39x + c. a ialah pekali pelopor, b ialah pekali di tengah
Apabila (0, 200), dan c ialah pintasan-y.
200 = 39(0) + c 2. Nilai pekali pelopor a dapat menentukan bentuk
c = 200 lengkung bagi suatu parabola.
y = 39x + 200 (a) Apabila a , 0,
Apabila x = 60,
y = 39(60) + 200 • parabola akan terbuka di bawah.
y = 2 540 • fungsi ini mempunyai satu nilai
Maka, jumlah yuran keahlian yang perlu dibayar
selama 5 tahun ialah RM2 540. maksimum yang dikenali sebagai verteks
(h, k).
Cuba soalan 3 & 4 dalam Zon Formatif 8.1
y

10
(0, 6)

5

Contoh 6 –10 –5 0 5 10 x
Graf di bawah menunjukkan jarak perjalanan,
y km, bagi sebuah helikopter untuk x saat. –5

y (km)

8 (2, 7) (b) Apabila a . 0,
6 • parabola akan terbuka di atas.
4 • fungsi ini mempunyai satu nilai minimum
2 yang dikenali sebagai verteks (h, k).

–2 0 y
–2
24 x (s) 15

10

(a) Berdasarkan graf, tulis persamaan yang 5 (0, 1) x
terlibat. –10 –5 0 5 10

(b) Jumlah perjalanan helikopter itu untuk tiba 3. Strategi yang dapat dicadangkan dalam
ke destinasi yang ditetapkan ialah 18 200 km. pembinaan model kuadratik untuk
menyelesaikan suatu masalah:
Berapakah masa yang diperlukan oleh (a) Kenal pasti pemboleh ubah yang terlibat
helikopter itu untuk tiba ke destinasi? berserta unitnya.
(b) Kenal pasti maklumat penting bagi situasi
Penyelesaian: tersebut seperti titik maksimum, titik
(a) m = —xy22—–––yx—11 minimum dan pasangan titik.
m = —72—–– —00 (c) Kenal pasti cara penyelesaian. Lazimnya,
m = 3.5 penyelesaian akan melibatkan penggunaan
Maka, y = 3.5x jadual nilai untuk mendapatkan rumus bagi
fungsi model yang perlu diselesaikan.
(b) y = 3.5x (d) Bina rumus bagi fungsi yang terlibat.
18 200 = 3.5x (e) Selesaikan fungsi itu menggunakan rumus
x = 5 200 yang dibina.
BAB Maka, masa yang diperlukan oleh helikopter

8 itu untuk tiba ke destinasi ialah 5 200 saat.

420 8.1.2

Bab 8 Pemodelan Matematik  Matematik Tg 5

(a) Model pertumbuhan eksponen Guna model yang dibina untuk menyelesaikan
Fungsi eksponen menunjukkan permasalahan.
pertumbuhan jika a . 0 dan b . 1. y = 19 000(1 + 0.15)9
Model pertumbuhan eksponen: = 66 839.6495
y ≈ 66 840
y = a(1 + r)t Maka, bilangan populasi penduduk pada tahun
dengan a = nilai awal ke-9 ialah 66 840 orang.
r = kadar pertumbuhan
t = masa Cuba soalan 7 & 8 dalam Zon Formatif 8.1

y

3 Contoh 12
Nilai sebuah kereta yang berharga RM350 000
2 akan menyusut sebanyak 11% setiap tahun.
(a) Jika y mewakili nilai kereta, dalam RM, bagi t
1
tahun, modelkan situasi tersebut.
–2 –1 0 1 t (b) Berapakah nilai kereta tersebut selepas 9

tahun?
Penyelesaian:
(b) Model pereputan eksponen (a) Nilai awal ialah 350 000, iaitu a = 350 000.
Fungsi eksponen menunjukkan pereputan Kadar pereputan ialah 11%, iaitu r = 0.11.
Maka, model pereputan eksponen ialah
jika a . 0 dan 0 , b , 1. y = 350 000(1 – 0.11)t
Model pereputan eksponen: y = 350 000(0.89)t
(b) y = 350 000(0.89)9
y = a(1 – r)t = 122 624.7413
dengan a = nilai awal y ≈ 122 624.74
r = kadar pereputan Maka, nilai kereta tersebut selepas 9 tahun
t = masa
ialah RM122 624.74.
y Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 8.1

3 8. Model faedah kompaun ialah faedah yang
dikira dengan merujuk kepada prinsipal asal
2 dan juga faedah yang terkumpul dari tempoh
penyimpanan sebelumnya.
1
9. Model faedah kompaun:
–1 0 12 t
1 2A(t) = P 1 + —nr nt

dengan A(t) = jumlah simpanan pada tahun ke-t
Contoh 11 P = prinsipal
Populasi penduduk di sebuah bandar dijangkakan r = kadar faedah tahunan
meningkat sebanyak 15% setiap tahun. Populasi n = b ilangan kali faedah dikompaun
penduduk pada hari ini ialah 19 000 orang.
Nyatakan model yang terlibat dan seterusnya cari dalam setahun
bilangan populasi penduduk pada tahun ke-9. t = bilangan tahun

Penyelesaian: BAB
Nilai awal ialah 19 000, iaitu a = 19 000.
Kadar pertumbuhan ialah 15%, iaitu r = 0.15. 8
Jadi, model pertumbuhan eksponen ialah
y = 19 000(1 + 0.15)t

8.1.2 423