Spotlight A+ Tg 4 & 5 MATEMATIK KSSM

©PAN ASIA PUBLICATIONS

Ciri-ciri Ekstra Buku Ini






BAB
1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik
dalam Satu Pemboleh Ubah
Peta konsep
SKOP Bestari
Standard Pembelajaran yang Penting
skop bestari • Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik Muka 3
Surat
dalam satu pemboleh ubah.
• Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan banyak kepada satu, Kandungan keseluruhan bab
dan seterusnya memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik. 3
• Menyiasat dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai 4 diringkaskan dalam bentuk
1.1 Fungsi dan
a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik, f(x) = ax 2 + bx + c.
Mengandungi Standard Persamaan • Membentuk fungsi kuadratik berdasarkan suatu situasi dan
Kuadratik
seterusnya menghubungkaitkan dengan persamaan kuadratik. 5 peta konsep.
Pembelajaran (SP) yang perlu • Menerangkan maksud punca suatu persamaan kuadratik. 5
• Menentukan punca suatu persamaan kuadratik dengan kaedah
pemfaktoran. 6
©PAN ASIA PUBLICATIONS
dicapai dalam setiap bab. • Melakar graf fungsi kuadratik. 6 7
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan kuadratik.
Konsep 1 BAB Tg 4
2
Kata Kunci
• Fungsi kuadratik/ Quadratic function Satu pemboleh ubah, x Kuasa x ialah nombor bulat Kuasa tertinggi x ialah 2 Matematik
• Persamaan kuadratik/ Quadratic equation
• Pemboleh ubah/ Variable
• Hubungan banyak-kepada-satu/ Many-to-one relation
• Titik maksimum/ Maximum point Hubungan banyak Ciri-ciri ungkapan kuadratik Situasi
Tg 4 • Titik minimum/ Minimum point kepada satu ax 2 + bx + c kehidupan
• Ujian garis mengufuk/ Horizontal line test
Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
• Punca/ Root ialah mengenal pasti berdasarkan
Menentukan punca suatu persamaan
BAB Contoh 9 • Kaedah pemfaktoran/ Method of factorisation
1 Tentukan sama ada setiap nilai x berikut ialah • Punca nyata/ Real root Fungsi kuadratik mengenal Fungsi dan Persamaan membentuk Persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0
kuadratik dengan kaedah pemfaktoran
• Kesan perubahan/ Effect of change
Kuadratik dalam Satu
Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah
punca bagi persamaan kuadratik x 2 + x – 6 = 0. • Kadar perubahan/ Rate of change Pemboleh Ubah
(a) x = 1 (b) x = 2 (c) x = –3 pemfaktoran. memerihalkan melakar maksud menentukan
Penyelesaian: 1 Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
(a) Apabila x = 1, x 2 + x – 6 = 1 2 + 1 – 6 ax 2 + bx + c = 0.
= –4 ≠ 0 2 Faktorkan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk Ciri-ciri berdasarkan Graf kuadratik f (x) = ax 2 + bx + c Punca persamaan kuadratik
∴ x = 1 bukan punca persamaan (mx + p)(nx + q) = 0. 1
x 2 + x – 6 = 0. 3 Nyatakan mx + p = 0 atau nx + q = 0.
(b) Apabila x = 2, x 2 + x – 6 = 2 2 + 2 – 6 4 Selesaikan dua persamaan linear di 3 untuk
= 0 mendapat x = – p —– atau x = – q menyiasat kesan
∴ x = 2 ialah punca persamaan m —–. n Bentuk Paksi simetri graf perubahan a, b dan c
x 2 + x – 6 = 0. melengkung selari dengan paksi-y
(c) Apabila x = –3, x 2 + x – 6 = (–3) 2 + (–3) – 6 Contoh 10 c = 0 b = c = 0 b = 0
= 9 – 3 – 6 Tentukan punca setiap persamaan kuadratik Titik maksimum
= 0 berikut dengan kaedah pemfaktoran. atau minimum a  0 a , 0 a , 0 a  0 a , 0 a  0
∴ x = –3 ialah punca persamaan (a) x 2 + 5x = 14
x 2 + x – 6 = 0. (b) (3x + 2)(x – 1) = 3x + 13 y y y y y y
Penyelesaian: x O x
Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 1.1 O O x
(a) x 2 + 5x = 14 x +7 +7x O x O x O x
x 2 + 5x – 14 = 0 x –2 –2x
(x + 7)(x – 2) = 0 x 2 –14 +5x
TIP Bestari x + 7 = 0 atau x – 2 = 0
x = –7 atau x = 2
y
(3x + 2)(x – 1) = 3x + 13
y = x 2 + x – 6 Graf y = x 2 + x – 6 (b) 3x 2 – 3x + 2x – 2 = 3x + 13
memotong paksi-x pada 3x 2 – 4x – 15 = 0 3x +5 +5x
x
–3 O 2 x = –3 dan x = 2. Oleh (3x + 5)(x – 3) = 0 x –3 –9x
itu, punca persamaan 3x 2 –15 –4x
kuadratik x 2 + x – 6 = 0
ialah pintasan-x bagi graf 3x + 5 = 0 atau x – 3 = 0 Tg 4
TIP bestari Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 1.1 1.1 Fungsi dan Persamaan (c) Ungkapan 6t 2 + pt – 9 mengandungi dua BAB
y = x 2 + x – 6.
x = – 5 —
x = 3
atau
3


Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Matematik
Melakar graf fungsi kuadratik
Kuadratik pemboleh ubah p dan t. Maka, 6t 2 + pt – 9 1
bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
Graf fungsi kuadratik berbentuk ubah. 1
Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri (d) Ungkapan y – 7y 2 mengandungi satu
ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh pemboleh ubah y. Tetapi, kuasa bagi y dalam
y = a(x + m) 2
Tip berguna untuk (a) a . 0 (a) a . 0 (a) a . 0 ubah y = a(px + m)(qx + n) sebutan 7y 2 bukan suatu nombor bulat. Maka,
y = ax 2 + bx
y = ax 2 + c
1
(a) a . 0
1
y y y 1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh y – 7y 2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu
y
ubah ialah suatu ungkapan algebra berbentuk
pemboleh ubah.
membantu murid ax 2 + bx + c, a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 1.1
x ialah pemboleh ubah.
x
O
n
m
c x O b x O –m x 2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu
– –– q
– –– p


O – – a pemboleh ubah:
menyelesaikan masalah (b) a , 0 y (b) a , 0 y (b) a , 0 y (b) a , 0 y Portal Spotlight
• Ungkapan mengandungi hanya satu pemboleh
ubah.
• Kuasa pemboleh ubah ialah suatu nombor Persamaan kuadratik dalam satu
bulat.
x
c
pemboleh ubah
dalam subtopik berkaitan. O x O b x O –m • Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah ialah 2. https://bit.ly/3d1ZKeM
x
m O
n
– –– p
– –– q
– – a
TIP Bestari
6 1.1.5 1.1.6 1.1.7 Imbas kod QR untuk
Pemboleh ubah x dalam ungkapan kuadratik juga TIP Bestari
boleh diwakili oleh huruf-huruf abjad yang lain.
Jika p mewakili suatu pemalar, maka 6t 2 + pt – 9
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
Contoh 1 r 2 ubah, t. melayari laman web atau
4a 2 + b + 3
2
KALKULATOR Bab 2 Asas Nombor — – 2r –h 2 + 8h – 2 Tg 4 3t 2 + 5 — t Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan video berkaitan subtopik
banyak kepada satu dan seterusnya
Kenal pasti ungkapan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah daripada senarai ungkapan di atas.

Matematik
memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik
Penyelesaian:
kepada nombor dalam asas lapan dan sebaliknya
r 2
— – 2r, –h 2 + 8h – 2
kepada satu.
berdasarkan jadual yang diberi.
2
Tukar Contoh 12 2. Nombor dalam asas dua boleh ditukarkan 1. Fungsi kuadratik ialah suatu hubungan banyak yang dipelajari.
(a) 1011101 2 kepada nombor dalam asas lapan,
(b) 53 8 kepada nombor dalam asas dua. Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1 2. Ciri-ciri fungsi kuadratik:
Nombor dalam
• Graf berbentuk melengkung.
Memaparkan cara (a) 1011101 2 = 1 × 2 6 + 0 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 Bahagikan digit-digit Contoh 2 Gantikan setiap digit bagi BAB 2 • Ia mempunyai satu titik maksimum atau satu
asas dua
Penyelesaian:
titik minimum.
Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut ialah
+ 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 nombor dalam asas nombor dalam asas lapan • Paksi simetri graf adalah selari dengan paksi-y.
suatu ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
dua kepada kumpulan
= 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1
dengan tiga digit dalam
ubah. Berikan justifikasi anda.
penggunaan kalkulator = 93 10 8 8 93 11 … Baki 5 tiga digit dari kanan asas dua yang setara. TIP Bestari
(a) 2m 2 – 9m + 5
ke kiri. Kemudian,
Abaikan sebarang sifar di
(b) 5x 3 – 2x + 10
= 135 8
depan nombor dalam asas
gantikan tiga digit itu
(c) 6t 2 + pt – 9
8 1 … 3 dengan digit dalam 1 — dua. Graf fungsi kuadratik y = ax 2 + bx + c
asas lapan yang setara.
saintifik dalam pengiraan (b) 53 8 = 5 × 8 1 + 3 × 8 0 0 … 1 (d) y – 7y 2
Penyelesaian:
Nombor dalam
= 40 + 3 2 2 43 21 … Baki 1 (a) Ungkapan 2m 2 – 9m + 5 mengandungi satu a . 0 a , 0 Tg 4
asas lapan
matematik. = 43 10 2 2 10 … 1 0 pemboleh ubah m dan kuasa tertinggi bagi m Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Matematik BAB
Titik maksimum
= 101011 2
ialah 2. Maka, 2m 2 – 9m + 5 ialah ungkapan
5 …
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
Contoh 11
Contoh 14
Titik minimum
2 2 … 1 Membuat pengiraan yang melibatkan Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. 1
(b) Ungkapan 5x 3 – 2x + 10 mengandungi satu
operasi tambah dan tolak bagi nombor
2 1 … 0 dalam pelbagai asas Paksi simetri (a) y = x 2 – 2 Paksi simetri Tandakan titik-titik di mana graf itu memotong
pemboleh ubah x. Tetapi, kuasa tertinggi bagi
0 … 1 x ialah 3. Maka, 5x 3 – 2x + 10 bukan ungkapan (b) y = –x 2 + 4 paksi-x dan paksi-y.
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
Kaedah Alternatif 1. Penambahan asas nombor dalam pelbagai asas: Penyelesaian: (a) y = (x – 1)(x – 3)
(a) Nombor dalam asas dua
(a) 1011101 2 = 001 011 101 2 + 1.1.1 0 2 1.1.2 1 2 (a) y (b) y 3 (b) y = –2x 2 – 11x – 14
= 1 3 5 8 y = x 2 – 2 4 y = –x 2 + 4 Penyelesaian:
(b) 53 8 = 5 3 8 0 2 0 2 1 2 (a) y y = (x – 1)(x – 3)
x
= 101 011 2 O 3
1 2 1 2 10 2 x
Kalkulator –2 O
(b) Nombor dalam asas tiga
(a) Tekan:  MODE MODE 3 BIN + 0 3 1 3 2 3 Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 1.1 O 1 3 x
2 1 0 1 1 1 0 1 = OCT
0 3 0 3 1 3 2 3 (b) y = –2x 2 – 11x – 14
(b) Tekan:  MODE MODE 3 OCT
1 3 1 3 2 3 10 3 Contoh 12 = –(2x 2 + 11x + 14)
2 5 3 = BIN = –(2x + 7)(x + 2)
2 3 2 3 10 3 11 3 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. y
Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 2.1 Tg 4 (c) Nombor dalam asas empat Tandakan titik di mana graf itu memotong paksi-x. –2 O x
(a) y = x 2 + 3x
(b) y = –2x 2 + 7x
Matematik + Bab 2 Asas Nombor 3 4 Penyelesaian: 7 – – 2
2 4
1 4
0 4
• • • • • • • • • • • • 0 4 • • • • • • • • 0 4 1 4 2 4 3 4 9 × 8 + 3 (b) Nilai tempat 2 5 2 4 (a) 2 3 2 2 2 1 y 2 0 (b) y –14 y = –2x 2 – 11x – 14
TIP Bestari • • • • • • • • • • • • • • • • 1 4 • • • • • • • • 1 4 2 4 3 4 10 4 × 1 Digit 1 1 0 y = x 2 + 3x 1 0 y = –2x 2 + 7x Cuba soalan 14 dalam Zon Formatif 1.1
• • • •
• • • •
0
1. Jadual di bawah menunjukkan digit pada • • • • • • • • • • • • 2 4 2 4 3 4 10 4 11 4 x
• • • •
nombor dalam asas lapan yang setara dengan • • • • ••• Nilai tempat bagi digit 0 yang bergaris = 2 3 O x O 7 – 2
Nilai bagi digit 0 = 0 × 2 3
–3
tiga digit pada nombor dalam asas dua. BAB 3 4 3 4 9 lapan 11 4 12 4 = 0 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
10 4
dan 3 sa
Nombor 2 (d) Nombor dalam asas lima Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 1.1 persamaan kuadratik
dikumpulkan
dalam 0 1 2 3 4 5 6 7 + 0 5 semula 2 5 3 5 4 5 (c) Nilai tempat 7 2 7 1 7 0
asas sebagai 1
1 5
0
lapan 0 5 0 5 enam puluh 2 5 3 5 4 5 Digit 4 1 Contoh 13 Contoh 15
1 5
empat, 1 lapan
Nombor 1 5 1 5 dan 3 sa. 3 5 4 5 10 5 Nilai tempat bagi digit 4 yang bergaris = 7 2 Dalam rajah di bawah, PQRS ialah sebidang tanah
2 5
Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut.
dalam 000 001 010 011 100 101 110 111 Nilai bagi digit 4 = 4 × 7 2 berbentuk segi empat tepat. Kawasan berlorek
asas • • • • • • • • • • • • 2 5 • • • • 2 5 3 5 4 5 10 5 1 × 64 11 5 = 196 Labelkan titik maksimum atau titik minimumnya. yang ditanami terung mempunyai luas 388 m 2 .
(a) y = (x + 2) 2
dua • • • • • • • • • • • • 3 5 • • • • 3 5 4 5 10 5 11 5 + 1 × 8 12 5 30 m
6 1
6 2
6 0
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4 5 • • • • • • • • 4 5 10 5 11 5 12 5 + 3 × 1 13 5 (d) Nilai tempat 6 4 6 3 (b) y = –2x 2 + 4x – 2 x m S R
• • • •
Penyelesaian: 1
5
• • • • Digit 2 0 (a) y = (x + 2) 2 1 N 20 m
2.1.2 2.1.3 • • • • ••• 25 Nilai tempat bagi digit 2 yang bergaris = 6 y 4
75 = 1 × 64 + 1 × 8 + 3 × 1 Nilai bagi digit 2 = 2 × 6 4 4
Nombor dalam asas lapan untuk mewakili 75 ialah = 2 592 P M x m Q
113 8 . Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 2.1 (–2, 0) O x Tentukan nilai x.
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 2.1 (b) y = –2x 2 + 4x – 2 Penyelesaian:
tAg ‘Cuba soalan ... dalam 2. Nilai tempat setiap digit bagi nombor dalam Rajah di bawah menunjukkan blok asas nombor x m S 30 m R
= –2(x 2 – 2x + 1)
Contoh 6
= –2(x – 1) 2
y
asas a adalah a kali lebih besar daripada nilai
yang mewakili suatu nombor dalam asas tertentu.
tempat bagi digit di sebelah kanannya.
(1, 0)
O
Misalnya, nilai tempat setiap digit dalam Tentukan nombor itu dan wakilkannya dari segi x (20 – x) m N 20 m
nilai nombor.
–2
Zon Formatif ...’ jadual berikut. 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 y = –2x 2 + 4x – 2 P (30 – x) m M x m Q CONTOH
nombor 32014 5 adalah ditunjukkan dalam
(a)
Nilai tempat
Digit 3 2 0 1 4 (b) Cuba soalan 13 dalam Zon Formatif 1.1 Luas kawasan berlorek = 388 m 2
3. Nilai digit dalam suatu nombor x a adalah 1.1.7 1.1.8 7
ditentukan dengan mendarabkan digit itu Penyelesaian:
Tag yang terletak di akhir contoh dengan nilai tempat digitnya yang sepadan. (a) Nilai tempat 6 1 6 0 Contoh dan penyelesaian
Contoh 5
Digit 1 4
membimbing murid untuk Berdasarkan jadual nilai tempat, tentukan nilai 14 6 = 1 × 6 1 + 4 × 6 0 lengkap untuk meningkatkan
bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor
= 6 + 4
berikut.
(a) 1502 8 (b) 110010 2 = 10 10
menjawab soalan yang berkaitan (c) 410 7 (d) 20511 6 (b) Nilai tempat 5 2 3 5 1 2 5 0 2 kefahaman murid terhadap
Digit
Penyelesaian:
dalam Zon Formatif. (a) Nilai tempat 8 3 1 8 2 5 8 1 0 8 0 2 322 5 = 3 × 5 2 + 2 × 5 1 + 2 × 5 0 bab yang dipelajari.
= 75 + 10 + 2
Digit
= 87 10
Nilai tempat bagi digit 5 yang bergaris = 8 2 Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 2.1
Nilai bagi digit 5 = 5 × 8 2
= 320
22 2.1.1
iv

Tg 4
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Matematik
Z on Formatif 1.1 BAB 1 kaedah alternatif
1. 9y 2 + 16 x 2 – 2y 2 + 4 6. Rajah di bawah menunjukkan graf y = x 2 . Pada
rajah itu, lukis graf y = x 2 + 4 dan y = x 2 – 3.
7
—– – 20 1 — k 2 5
v 2 y
Kenal pastikan ungkapan kuadratik dalam satu 8
pemboleh ubah daripada senarai ungkapan di
atas. K1 6 Menyediakan penyelesaian alternatif
4
Zon formatif ialah suatu ungkapan kuadratik dalam satu –2 –1 2 0 1 2 x untuk soalan-soalan tertentu.
2. Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut
y = x 2
pemboleh ubah. Berikan justifikasi anda. K2
(a) 7c 2 + 3
(b) 1 – 6
y 2
(c) a 2 + 4b 2 + 9 (d) 3p 2 – 10p + 5 –2
Buat generalisasi tentang kesan perubahan
3. Diberi fungsi kuadratik y = –x 2 + 4. K2 nilai c ke atas graf y = x 2 + c. K4
(a) Terangkan mengapa fungsi kuadratik itu
Soalan untuk menguji (b) Lakar graf y = –x 2 + 4 dengan memerihalkan 7. Rajah di bawah menunjukkan graf y = x 2 ,
ialah satu hubungan banyak kepada satu.
y = x 2 – 6x dan y = x 2 + 6x.
ciri-ciri fungsi kuadratik itu. y = x 2 + 6x y y = x 2 y = x 2 – 6x Tg 4
pemahaman murid di akhir 4. Pada satu gambar rajah, lukis graf y = ax 2 x BAB Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
bagi a = 1 dan a = – 1 untuk –3  x  3.
Kaedah Alternatif
2
2
2
2
Seterusnya, tentukan hubungan antara graf –6 –3 0 3 6 1 30 × 20 – 1 —(30 – x)(20 – x) – 1 —x(20) = 388 y = ax 2 + bx + c
setiap subtopik. y = 1 x 2 dengan y = – 1 x 2 . K4 Buat generalisasi tentang kesan perubahan 600 – 1 —(600 – 50x + x 2 ) – 10x = 388 x = 1, y = 0: 25a – 5b + c = 0 ...................
a + b + c = 0 ...................
2
2
x = –5, y = 0:
2
nilai b ke atas graf y = x 2 + bx.
K4
2
5. Lukis graf y = 3 x 2 dan y = 4x 2 pada rajah 600 – 300 + 25x – 1 —x 2 – 10x = 388 x = –2, y = –18: 4a – 2b + c = –18 ...............
 – ,
24a – 6b = 0
berikut. 2 8. Dalam rajah di bawah, PQRS ialah sebuah 300 + 15x – 1 —x 2 = 388 4a – b = 0 ............................
trapezium.
y 2  – , 3a – 3b = –18
S R 1 —x 2 – 15x + 88 = 0 a – b = –6 ..........................
16 2  – , 3a = 6
14 (x + 5) cm x 2 – 30x + 176 = 0 a = 2
x (x – 8)(x – 22) = 0
12 –8 –8x x = 8 atau x = 22 Daripada , b = 8
P Q x –22 –22x Daripada , 2 + 8 + c = 0
10 Panjang PQ adalah 4 cm lebih daripada RS. x 2 +176 –30x c = –10
8 K3 Apabila x = 22, 20 – x = 20 – 22 = –2. Panjang NP y = 2x 2 + 8x – 10
©PAN ASIA PUBLICATIONS
6 (a) Bentukkan satu fungsi kuadratik untuk ialah suatu kuantiti positif. Maka, x = 8. Cuba soalan 16 dalam Zon Formatif 1.1
mewakili luas trapezium PQRS.
4 (b) Seterusnya, cari satu persamaan kuadratik Cuba soalan 15 dalam Zon Formatif 1.1
2 y = x 2 dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, diberi luas Contoh 17
trapezium PQRS ialah 323 cm 2 .
Tg 4 –2 –1 0 1 2 x 9. Tentukan sama ada setiap nilai x berikut ialah TIP Bestari Suatu fungsi kuadratik y = ax 2 + bx + c mempunyai
maklumat berikut.
punca bagi persamaan kuadratik x 2 – 4x – 5 = 0.
Seterusnya, lengkapkan generalisasi berikut
Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1. Wakilkan kuantiti yang ingin dicari dengan • Paksi simetri ialah x = 2.
tentang kesan perubahan nilai a ke atas graf y (a) x = 2 K2 suatu simbol yang sesuai seperti x.
BAB 10. Tentukan punca setiap persamaan kuadratik 15. Dalam rajah di bawah, KLMN ialah sebidang 2. Bentukkan satu persamaan kuadratik dalam • Graf memotong paksi-x pada x = –1.
(b) x = –1
K4
= ax 2 .
• Graf mempunyai titik maksimum.
1 berikut dengan kaedah pemfaktoran. K3 tanah berbentuk trapezium. sebutan x daripada maklumat yang diberi.
Apabila nilai a bertambah, graf y = ax 2 ______.
(c) x = 5
(a) x 2 – 3x – 4 = 0 M 3. Selesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah Lakarkan graf y = ax 2 + bx + c.
(b) 2x 2 + x = 10 pemfaktoran. Penyelesaian:
(c) (4x + 1)(x – 2) = –5 4. Semak punca-punca persamaan kuadratik untuk
(d) (3x + 4)(x – 2) = 16 – 3x N menentukan nilai x yang mewakili kuantiti itu y
dalam masalah.
Soalan KBAT mirip spm K2 15 m K x m P L Q x m 9 Contoh 16
11. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut.
(a) y = x 2 + 5
(b) y = 3x 2 + 4
(c) y = –x 2 + 1
fungsi kuadratik.
(d) y = –2x 2 – 3 Diberi KL = 10 m dan LM = 25 m. Kawasan Rajah di bawah menunjukkan graf bagi suatu –1 O 2 5 x
y
berlorek ialah sebuah kolam ikan yang
12. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. mempunyai luas 188 m 2 . Hitung nilai-nilai x
Tandakan titik di mana graf itu memotong yang mungkin. K5 –5 O 1 x Cuba soalan 17 dalam Zon Formatif 1.1
paksi-x. K2
Menyediakan penyelesaian yang 16. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi (–2, –18)
(a) y = x 2 – 2x
kuadratik y = ax 2 + bx + c.
(b) y = –x 2 – 4x
(c) y = 2x 2 – x y (2, 48) Tentukan fungsi kuadratik itu dalam bentuk TIP Bestari
y = ax 2 + bx + c.
lengkap serta komen pemeriksa y = a(x – 1)(x + 5) 1. Titik maksimum adalah terletak pada paksi
(d) y = –4x 2 + 8x
Penyelesaian:
13. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik
simetri.
berikut. Labelkan titik maksimum atau titik –2 O 6 x Apabila x = –2, y = –18, 2. Jarak titik-titik persilangan graf dengan paksi-x
minimumnya. K2
–18 = a(–2 – 1)(–2 + 5)
bagi soalan KBAT mirip SPM. Tentukan nilai-nilai a, b dan c. K5 –18 = a(–3)(3) TIP Bestari dari paksi simetri adalah sama.
(a) y = 3(x – 2) 2
–18 = –9a
(b) y = –(x + 4) 2
(c) y = –x 2 + 6x – 9
(d) y = 4x 2 + 24x + 36 17. Suatu fungsi kuadratik y = ax 2 + bx + c a = 2 x = 1 ⇒ x – 1 ialah faktor
y = 2(x – 1)(x + 5)
mempunyai maklumat berikut. K5 = 2(x 2 + 4x – 5) x = –5 ⇒ x + 5 ialah faktor
14. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut. • Titik minimum ialah (–3, –2). = 2x 2 + 8x – 10
Tandakan titik-titik di mana graf itu memotong
paksi-x dan paksi-y. K4 • Satu pintasan-x graf
(a) y = –(x – 2)(x + 4) y = ax 2 + bx + c ialah –2. 8 1.1.8
(b) y = (2x – 5)(x – 1) (a) Lakarkan graf itu.
(c) y = 3x 2 – 17x + 24 (b) Tentukan nilai-nilai bagi a, b dan c.
(d) y = –4x 2 – x + 18 Tg 4
Matematik Bab 3 Penaakulan Logik
Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN Z on Sumatif
PEMERIKSA
1. Sebuah akuarium yang berbentuk kuboid mempunyai panjang (x + 9) cm, lebar x cm dan tinggi 50 cm. Kertas 1
Isi padu akuarium itu ialah 31 500 cm 3 . Hitung nilai x. K3
1. Antara berikut, ayat yang manakah ialah suatu
Komen Pemeriksa: K1 pernyataan? B Semua segi tiga Benar
Isi padu = 31 500 BAB A Berapakah nilai bagi 100? mempunyai luas yang
(x + 9)(x)(50) = 31 500 3 B Kuasa dua bagi 8 ialah 64. sama.
x 2 + 9x = 630 50 cm C Darab kedua-dua belah ketaksamaan C Sebilangan nombor Benar
x 2 + 9x – 630 = 0 –y  –2 dengan –1. genap ialah nombor
(x – 21)(x + 30) = 0 D Faktorkan ungkapan kuadratik x 2 + 4x – 5. perdana.
x = 21 atau x = –30 x cm D Sebilangan gandaan Palsu Zon Sumatif
Oleh kerana x . 0, x = 21. (x + 9) cm 2. I Gandaan sepunya terkecil bagi 3 dan 12 bagi 3 adalah
K2 ialah 12. terbahagi dengan 5.
II Faktor-faktor bagi 14 ialah 2 dan 7.
III Tulis rumus luas bagi segi empat selari 6. Antara berikut, yang manakah menunjukkan
ABCD.
10 IV Hasil tambah bagi dua nombor ganjil K2 suatu pernyataan palsu yang ditukarkan kepada
pernyataan benar dengan menggunakan
ialah satu nombor genap. perkataan “bukan” atau “tidak”?
Simbol π bukan suatu nombor nisbah. Soalan pelbagai aras
Antara berikut, yang manakah ialah pernyataan? A Simbol π ialah suatu nombor nisbah.
A I, II dan III
B I, II dan IV B x 2 = 8 ialah suatu persamaan kuadratik.
x 2 = 8 bukan suatu persamaan kuadratik.

C I, III dan IV C 20 000 mempunyai satu angka bererti. kemahiran berfikir yang
KERTAS MODEL SPM 3. Antara pernyataan berikut, yang manakah D Segi tiga bersudut tegak mempunyai satu
D II, III dan IV
20 000 tidak mempunyai satu angka bererti.
sudut 90°.
K4 adalah benar? Segi tiga bersudut tegak tidak mempunyai disediakan untuk menilai
Kertas 1 / Paper 1 A 17 × 10 –3 = 0.017
Arahan: Jawab semua soalan. Masa: 1 jam 30 minit B 38 000 = 3.8 × 10 3 satu sudut 90°.
Instruction: Answer all questions. Time: 1 hour 30 minutes C 2 2 + 3 2 = 5 2 7. Antara pernyataan majmuk berikut, yang
D 10 7  3 5 K4 manakah adalah benar? kefahaman setiap bab.
5. Ungkapkan 243 7 sebagai satu nombor dalam
1. Bundarkan 3.04856 betul kepada tiga angka
A 5 – 6 = 1 atau –8 + 3 = –11
Kertas model SPM bererti. C 3.048 asas tiga. C 12010 3 4. Tentukan pernyataan yang benar. B 0 ÷ 1 = 0 atau 1 ÷ 0 = 0
Round off 3.04856 correct to three significant figures.
C 4 × (–2) = –6 atau (–3) × (–1) = –3
A Semua sisi empat mempunyai empat sisi
Express 243 7 as a number in base three.
K4
A 10210 3
A 3.04
D 3 2 = 6 atau 2 3 = 9
yang sama panjang.
B 11210 3
D 3.049
B 3.05
dua punca positif.
560 × 10 5
C Sebilangan pecahan wajar adalah lebih besar
7.03 × 10 4 = 70 300
2. ————— = 6. 1011101 2 – 100110 2 = D 12110 3 B Semua persamaan kuadratik mempunyai 8. K4 I 0.0028 = 2.8 × 10 –2 atau
0.007
A 101111 2
C 110111 2
daripada 1.
A 8 × 10 6 B 110011 2 D 111011 2 D Sebilangan kuboid mempunyai tapak yang II 1 : 2 = 2 : 3 atau 40 : 56 = 5 : 8
3
Soalan berformat SPM B 8 × 10 7 7. Dalam Rajah 3, QT ialah tangen kepada bulatan 5. Antara berikut, yang manakah adalah benar? III (x – 3)(2x + 1) = 2x 2 – 5x – 3
berbentuk segi empat sama.
C 8 × 10 8

atau x 2 – 4x + 4 = (x – 2) 2
PQR dengan pusat O pada Q. PORT ialah satu
D 8 × 10 9
IV 30 ÷ 0.01 = 300 atau 0.006 × 1 000 = 60
garis lurus.
3. Rajah 1 menunjukkan sebatang paip air yang
mengikut format pentaksiran In Diagram 3, QT is a tangent to the circle PQR with K4 A Semua sudut cakah Nilai kebenaran Tentukan pernyataan majmuk yang palsu.
Pernyataan
berbentuk silinder dengan jejari 2 m.
centre O at Q. PORT is a straight line.
Palsu
A I dan III
Diagram 1 shows a cylindrical water pipe with radius
2 m. Q adalah terletak antara B II dan III
terbaharu SPM 2021 7 m P 27° O R x° T 90° dengan 180° C II dan IV
D III dan IV
Rajah 1/ Diagram 1
merangkumi keseluruhan Hitung isi padu, dalam cm 3 , bagi paip air itu. Cari nilai x. Rajah 3/ Diagram 3 58
Calculate the volume, in cm 3 , of the water pipe.
3 Guna/ Use π = 22 4
—–
7
bab Tingkatan 4 dan 5. A 1.76 × 10 7 Find the value of x. C 46
B 8.8 × 10 7
A 27
D 63
C 1.76 × 10 8
B 36
D 8.8 × 10 8 Jawapan
4. Dalam Rajah 2, PQRSTU ialah sebuah heksagon 8. Dalam Rajah 4, T ialah titik tengah bagi PQ.
sekata. PQH dan PRL ialah garis lurus dengan Diberi bahawa kos x° = 3 — 5 dan sin y° = 7 — 8 .
keadaan PH = PL. In Diagram 4, T is the midpoint of PQ. It is given that
In Diagram 2, PQRSTU is a regular hexagon. PQH cos x° = 3 — and sin y° = 7 —.
and PRL are straight lines such that PH = PL. 5 8 R
T S
L Jawapan yang
R K y°
U 64° P Q
T
x° 6 cm x° lengkap disediakan.
P Q H
S
Rajah 2/ Diagram 2 Rajah 4/ Diagram 4
Hitung nilai x. Cari panjang, dalam cm, bagi PR. Imbas Kod QR
Calculate the value of x. Find the length, in cm, of PR.
A 121 C 133 A 12 C 16 JAWAPAN Jawapan lengkap
B 129 D 138 B 14 D 20 https://bit.ly/2JPCgj0
429 yang disediakan
TINGKATAN 4
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu 6. y = x 2 + 4 8 y
Pemboleh Ubah untuk mendapatkan
09_Spotlight A+ Matematik Tg5.indd 429 05/01/2021 6:59 PM Z on Formatif 1.1 6
Bank Soalan 1. 9y 2 + 16, 1 k 2 5 y = x 2 4
2. (a) Ya; Satu pemboleh ubah, c dan kuasa tertinggi 2 langkah-langkah
bagi c ialah 2. O x
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah (b) Bukan; Kuasa bagi y bukan suatu nombor bulat. –2 –1 –2 1 2
(c) Bukan; Dua pemboleh ubah, a dan b.
y = x 2 – 3
1. Antara ciri-ciri fungsi kuadratik berikut, yang manakah adalah tidak betul bagi f(x) = x 2 + 9? (d) Ya; Satu pemboleh ubah, p dan kuasa tertinggi Graf y = x 2 + 4 ialah translasi bagi graf y = x 2 empat penyelesaian.
A Graf f(x) = x 2 + 9 mempunyai satu titik minimum, iaitu (0, 9). bagi p ialah 2.
B f ialah suatu fungsi banyak kepada satu. 3. (a) Dua nilai x = –1 dan x = 1 dipetakan kepada satu unit ke atas, graf y = x 2 – 3 ialah translasi bagi graf y
C Paksi simetri graf f(x) = x 2 + 9 ialah x = 0. nilai y = 3. = x 2 tiga unit ke bawah.
D Graf memotong paksi-x pada x = ±3. (b) y 7. Paksi simetri x = – b bagi graf y = x 2 + bx berubah
4 2
2. Antara graf berikut, yang manakah adalah betul tentang nilai a ke atas graf fungsi kuadratik y = ax 2 ? y = –x 2 + 4 dengan nilai b.
A y C y 2 8. (a) (x 2 + 12x + 35) cm 2
(b) x 2 + 12x – 288 = 0
y = x 2 y = 4x 2 –3 –2 –1 O 1 2 3 x 9. (a) Bukan (b) Ya (c) Ya
–2
y = x 2
y = 3x 2 –4 10. (a) x = 4 atau x = –1 (b) x = – 5 atau x = 2
2
Bank soalan O x x 4. Titik maksimum (0, 4), paksi simetri x = 0 11. (a) 4 y (b) 3 y
(c) x = 3 atau x = 1 (d) x = 8 atau x = –3
y
O
4
5 4
B y D y 2 y = x 2 1 – 2 O x O x
y = x 2 y = x 2 O x
Soalan-soalan latih tubi –3 –2 –1 –2 1 2 y =– x 2 3 1 – 2 (c) y (d) y
x –4 1 O x
O O x x –3
yang mempunyai jawapan y = – x 2 1 – 2 y = –5x 2 Graf y = 1 x 2 dan y = – 1 x 2 adalah kongruen dan O
2
2
merupakan pantulan pada paksi-x.
5. 16 y 12. (a) y (b) y
lengkap diperoleh dengan 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. 14
x x
12 –4 O
(x + 10) cm (x + 5) cm y = 4x 2 O 2
mengimbas Kod QR pada 10
25 cm 8
6 y = x 2 3 – 2 (c) y (d) y
kulit buku. A x 2 + 15x – 250 = 0 C 2x 2 + 15x – 500 = 0 4 x O x
Berdasarkan maklumat yang diberikan, cari persamaan kuadratik yang boleh dibentuk.
B x 2 + 30x – 500 = 0
D 2x 2 + 15x – 750 = 0
y = x 2
O
2
1 – 2 2
4. Antara berikut, yang manakah bukan suatu persamaan kuadratik? –2 –1 O 1 2 x
A p 2 + 8 = 3p C x 2 + 3 = 4 bertambah lebih curam 451
x
B k = 10 – 3k 2 D 13 + 9w – 3w 2 = 0
7
5. Diberi 4 ialah punca bagi persamaan kuadratik ax 2 + 14x – 8 = 0, tentukan nilai a.
A –4 C 3
B –3 D 4
1
v

KANDUNGAN






Rumus viii Perkaitan dan Algebra
TINGKATAN 4 Tarikh
revisi
Perkaitan dan Algebra Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua 114
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Tarikh Pemboleh Ubah
revisi
6.1 Ketaksamaan Linear dalam 116
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 1 Dua Pemboleh Ubah
dalam Satu Pemboleh Ubah 6.2 Sistem Ketaksamaan Linear 120
1.1 Fungsi dan Persamaan 3 dalam Dua Pemboleh Ubah
Kuadratik Zon Sumatif 126
Zon Sumatif 11
Bab 7 Graf Gerakan 137
Nombor dan Operasi 7.1 Graf Jarak-Masa 139
7.2 Graf Laju-Masa 142
Bab 2 Asas Nombor 18 Zon Sumatif 146
2.1 Asas Nombor 20 Statistik dan Kebarangkalian
Zon Sumatif 32
Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak 157
Matematik Diskret Terkumpul
8.1 Serakan 159
Bab 3 Penaakulan Logik 38
8.2 Sukatan Serakan 161
3.1 Pernyataan 40 Zon Sumatif 172
3.2 Hujah 47 Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa 181
Zon Sumatif 58 Bergabung

Bab 4 Operasi Set 70 9.1 Peristiwa Bergabung 183
9.2 Peristiwa Bersandar dan 185
4.1 Persilangan Set 72 Peristiwa Tak Bersandar
4.2 Kesatuan Set 76 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif 189
4.3 Gabungan Operasi Set 79 dan Peristiwa Tidak Saling
Zon Sumatif 83 Eksklusif
9.4 Aplikasi Kebarangkalian 194
Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf 92 Peristiwa Bergabung
Zon Sumatif 198
5.1 Rangkaian 94
Zon Sumatif 105 Nombor dan Operasi
Bab 10 Matematik Pengguna: 207
Pengurusan Kewangan

10.1 Perancangan dan 209
Pengurusan Kewangan
Zon Sumatif 215


vi

TINGKATAN 5

Perkaitan dan Algebra Tarikh
revisi
Tarikh Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi 346
revisi
Bab 1 Ubahan 220 Trigonometri
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan 348
1.1 Ubahan Langsung 222 Tangen bagi Sudut q,
1.2 Ubahan Songsang 227 0°  q  360°
1.3 Ubahan Bergabung 230 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus 357
Zon Sumatif 235 dan Tangen
Zon Sumatif 369
Bab 2 Matriks 241
2.1 Matriks 243 Statistik dan Kebarangkalian
2.2 Operasi Asas Matriks 246 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 379
Zon Sumatif 263
7.1 Serakan 381
7.2 Sukatan Serakan 392
Nombor dan Operasi
Zon Sumatif 400
Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans 269

3.1 Risiko dan Perlindungan 271 Perkaitan dan Algebra
Insurans Bab 8 Pemodelan Matematik 414
Zon Sumatif 279
8.1 Pemodelan Matematik 416
425
Zon Sumatif
283
Matematik Pengguna: Percukaian
Bab 4 ©PAN ASIA PUBLICATIONS
4.1 Percukaian 285 Kertas Model SPM 429
Zon Sumatif 297
Jawapan 451
Sukatan dan Geometri

Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan 301
Gabungan Transformasi

5.1 Kekongruenan 303
5.2 Pembesaran 307
5.3 Gabungan Transformasi 315
5.4 Teselasi 323
Zon Sumatif 329















vii

Rumus







• Laju = perubahan jarak • Suatu set data tak terkumpul ditukar secara
perubahan masa seragam dengan mendarab pemalar, c.
= kecerunan graf jarak-masa (a) Julat bagi set data baharu
= c × julat bagi set data asal
• Jarak yang dilalui = luas di bawah graf laju-masa (b) Julat antara kuartil bagi set data baharu
= c × julat antara kuartil bagi set data asal
• Luas trapezium (c) Sisihan piawai bagi set data baharu
1
= × jumlah panjang sisi yang selari × tinggi = c × sisihan piawai bagi set data asal
2
• Pecutan = perubahan laju (d) Varians bagi set data baharu
2
perubahan masa = c × varians bagi set data asal
= kecerunan graf laju-masa n(A)
• P(A) = n(S)
• Purata laju = jarak yang dilalui
masa yang diambil • P(Aʹ) = 1 – P(A)
• Min, x = hasil tambah nilai data • Peristiwa A dan B tak bersandar

bilangan data
hasil tambah (nilai titik P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Min, x = tengah kelas × kekerapan) • Peristiwa A dan B tidak saling eksklusif

hasil tambah kekerapan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• Julat = nilai data terbesar – nilai data terkecil • Peristiwa A dan B saling eksklusif
n
• Jika ialah suatu integer, s, maka kuartil pertama, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4 ©PAN ASIA PUBLICATIONS
• Pendapatan bersih bulanan
s
Q = x + x s + 1 . = jumlah pendapatan bulanan – jumlah
2
1
n
• Jika bukan suatu integer tetapi berada di antara perbelanjaan bulanan – simpanan tetap bulanan
4
s dengan s + 1, maka kuartil pertama, Q = x . • Premium
1 s + 1 Nilai muka polisi
= × (kadar premium per RMx)
• Kuartil kedua, Q = median RMx
2
• Jika 3n ialah suatu integer, s, maka kuartil ketiga, • Jumlah insurans yang harus dibeli
4 = (Peratusan ko-insurans) × (Nilai boleh insurans
s
Q = x + x s + 1 . harta)
3 2
d –b

1

–1
• Jika 3n bukan suatu integer tetapi berada di antara • A = ad – bc –c a 
4
s dengan s + 1, maka kuartil ketiga, Q = x s + 1 .
3
• Faktor skala, k = PAʹ
• Julat antara kuartil = Q – Q PA
3 1 • Luas imej = k × luas objek
2
x
• Varians, σ = ∑(x – ) 2 atau σ = ∑x 2 –  2
x
2
2
N N

x

x
2
• Sisihan piawai, σ = ∑(x – ) 2 atau σ = ∑x 2 – 
N
N
• Bagi data tak terkumpul dalam jadual kekerapan,
x
 atau σ =
varians, σ = ∑f(x – x) 2 2 ∑fx 2 –  ,
2
2
N N
∑fx
∑f(x – x)
2
2
sisihan piawai, σ =   2
–  .
 atau σ =
x
N
N
viii

BAB
1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik


dalam Satu Pemboleh Ubah




SKOP Bestari


Muka
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Standard Pembelajaran yang Penting
Surat
• Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik 3
dalam satu pemboleh ubah.

• Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan banyak kepada satu, 3
dan seterusnya memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik.
• Menyiasat dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai
1.1 Fungsi dan a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik, f(x) = ax + bx + c. 4
2
Persamaan
Kuadratik • Membentuk fungsi kuadratik berdasarkan suatu situasi dan 5
seterusnya menghubungkaitkan dengan persamaan kuadratik.

• Menerangkan maksud punca suatu persamaan kuadratik. 5
• Menentukan punca suatu persamaan kuadratik dengan kaedah
pemfaktoran. 6
• Melakar graf fungsi kuadratik. 6
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan kuadratik. 7











Kata Kunci


• Fungsi kuadratik/ Quadratic function
• Persamaan kuadratik/ Quadratic equation
• Pemboleh ubah/ Variable
• Hubungan banyak-kepada-satu/ Many-to-one relation
• Titik maksimum/ Maximum point
• Titik minimum/ Minimum point
• Ujian garis mengufuk/ Horizontal line test
• Punca/ Root
• Kaedah pemfaktoran/ Method of factorisation
• Punca nyata/ Real root
• Kesan perubahan/ Effect of change
• Kadar perubahan/ Rate of change






1

Tg 4

Matematik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
BAB
1 x



Situasi kehidupan Persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 menentukan Punca persamaan kuadratik a  0 y O




Kuasa tertinggi x ialah 2 berdasarkan maksud b = 0 a , 0 y x O
©PAN ASIA PUBLICATIONS







membentuk b = c = 0 a  0 y x O







Konsep Kuasa x ialah nombor bulat Ciri-ciri ungkapan kuadratik ax 2 + bx + c mengenal pasti Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah menyiasat kesan perubahan a, b dan c a , 0 a , 0 y x O x














mengenal Graf kuadratik f (x) = ax 2 + bx + c c = 0 y O x
Satu pemboleh ubah, x Hubungan banyak kepada satu ialah Fungsi kuadratik melakar berdasarkan Paksi simetri graf selari dengan paksi-y a  0 y O













memerihalkan Ciri-ciri Titik maksimum atau minimum







Bentuk melengkung






2

Tg 4
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Matematik
1.1 Fungsi dan Persamaan (c) Ungkapan 6t + pt – 9 mengandungi dua BAB
2
2
Kuadratik pemboleh ubah p dan t. Maka, 6t + pt – 9 1
bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah.
Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri (d) Ungkapan y – 7y 2 mengandungi satu
1
ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh pemboleh ubah y. Tetapi, kuasa bagi y dalam
ubah 1
sebutan 7y bukan suatu nombor bulat. Maka,
2
1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh y – 7y 2 bukan ungkapan kuadratik dalam satu
1
ubah ialah suatu ungkapan algebra berbentuk pemboleh ubah.
2
ax + bx + c, a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan
©PAN ASIA PUBLICATIONS
x ialah pemboleh ubah. Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 1.1
2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah:
• Ungkapan mengandungi hanya satu pemboleh
ubah.
• Kuasa pemboleh ubah ialah suatu nombor Persamaan kuadratik dalam satu
bulat. pemboleh ubah
• Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah ialah 2. https://bit.ly/3d1ZKeM


TIP Bestari
TIP Bestari
Pemboleh ubah x dalam ungkapan kuadratik juga
boleh diwakili oleh huruf-huruf abjad yang lain.
2
Jika p mewakili suatu pemalar, maka 6t + pt – 9
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
Contoh 1 ubah, t.
r 2 5
4a + b + 3 — – 2r –h + 8h – 2 3t + —
2
2
2
2 t Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan
Kenal pasti ungkapan kuadratik dalam satu banyak kepada satu dan seterusnya
pemboleh ubah daripada senarai ungkapan di atas. memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik
Penyelesaian:
1. Fungsi kuadratik ialah suatu hubungan banyak
r 2
— – 2r, –h + 8h – 2 kepada satu.
2
2
Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1 2. Ciri-ciri fungsi kuadratik:
• Graf berbentuk melengkung.
Contoh 2 • Ia mempunyai satu titik maksimum atau satu
titik minimum.
Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut ialah
suatu ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh • Paksi simetri graf adalah selari dengan paksi-y.
ubah. Berikan justifikasi anda.
(a) 2m – 9m + 5 TIP Bestari
2
(b) 5x – 2x + 10
3
(c) 6t + pt – 9 Graf fungsi kuadratik y = ax + bx + c
2
2
1
—
(d) y – 7y 2
Penyelesaian: a . 0 a , 0
(a) Ungkapan 2m – 9m + 5 mengandungi satu
2
pemboleh ubah m dan kuasa tertinggi bagi m Titik maksimum
ialah 2. Maka, 2m – 9m + 5 ialah ungkapan
2
kuadratik dalam satu pemboleh ubah. Titik minimum
(b) Ungkapan 5x – 2x + 10 mengandungi satu
3
pemboleh ubah x. Tetapi, kuasa tertinggi bagi Paksi simetri Paksi simetri
x ialah 3. Maka, 5x – 2x + 10 bukan ungkapan
3
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
1.1.1 1.1.2 3

Tg 4
Bab 2 Asas Nombor Matematik
Menukar nombor daripada satu asas kepada Penyelesaian:
asas yang lain menggunakan pelbagai kaedah (a) 57 = 32 + 16 + 8 + 1
5
10 = 2 + 2 + 2 + 2 0
4
3
1. Penukaran nombor daripada satu asas = 1 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2
5
4
2
3
kepada asas sepuluh boleh dilakukan dengan + 0 × 2 + 1 x 2 0
1
menggunakan nilai tempat. = 111001 BAB
2 2
Contoh 7 Nilai tempat 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
Digit 1 1 1 0 0 1
Tukar setiap nombor berikut kepada nombor
dalam asas sepuluh. (b) 2 57 Baki
(a) 11010 (b) 123 4 2 28 … 1
2
(c) 4031 (d) 652
5 8 2 14 … 0
Penyelesaian:
2 7 … 0
(a) Nilai tempat 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 3 … 1
2 1 … 1
Digit 1 1 0 1 0
0 … 1
11010
2 57 = 111001
3
4
2
1
= 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 0 10 2
= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 Kalkulator
= 26
10
Tekan:  MODE MODE 3 DEC
(b) Nilai tempat 4 2 4 1 4 0
2 5 7 = BIN
Digit 1 2 3
1
2
123 = 1 × 4 + 2 × 4 + 3 × 4 0 Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 2.1
4
= 16 + 8 + 3
= 27 Contoh 9
10
Dengan penggunaan nilai tempat, tukar 65
5
5
(c) ©PAN ASIA PUBLICATIONS 10
5
5
2
0
1
3
Nilai tempat
kepada nombor dalam
Digit 4 0 3 1 (a) asas lima, (b) asas lapan, (c) asas tiga.
4031 = 4 × 5 + 0 × 5 + 3 × 5 + 1 × 5 0 Penyelesaian:
2
3
1
5
= 500 + 0 + 15 + 1 (a) 65 = 50 + 15
= 516 10
10 = 2 × 25 + 3 × 5
= 2 × 5 + 3 × 5 + 0 × 5 0
2
1
(d) Nilai tempat 8 2 8 1 8 0
= 230 5
Digit 6 5 2 Nilai tempat 5 2 5 1 5 0
1
2
652 = 6 × 8 + 5 × 8 + 2 × 8 0 Digit 2 3 0
8
= 384 + 40 + 2 (b) 65 = 64 + 1
= 426 10
2
10 = 8 + 1
= 1 × 8 + 0 × 8 + 1 × 8 0
1
2
Cuba soalan 7 dalam Zon Formatif 2.1 = 101
8
Nilai tempat 8 2 8 1 8 0
2. Penukaran nombor dalam asas sepuluh kepada
nombor dalam asas lain boleh dilakukan dengan Digit 1 0 1
menggunakan nilai tempat dan pembahagian. (c) 65 = 54 + 9 + 2
10
= 2 × 27 + 9 + 2
1
2
3
Contoh 8 = 2 × 3 + 1 × 3 + 0 × 3 + 2 × 3 0
= 2102 3
Tukar 57 kepada nombor dalam asas dua dengan Nilai tempat 3 3 3 2 3 1 3 0
10
penggunaan
(a) nilai tempat, (b) pembahagian. Digit 2 1 0 2
Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 2.1
2.1.2 23

Tg 4
Matematik Bab 4 Operasi Set
(b) Menyelesaikan masalah yang melibatkan
kesatuan set
ξ
●6 ●19 ●18
A
●7 B ●17
●10 Contoh 14
●5
●8 ●20
●15 ●16 Sebuah kawasan kediaman mempunyai 105 buah
keluarga. Sebanyak 40 buah keluarga memiliki
●9
●11 ●12 ●13 ●14 motosikal. Bilangan keluarga yang memiliki kereta
sahaja adalah dua kali bilangan keluarga yang
●8©PAN ASIA PUBLICATIONS
BAB Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.2 memiliki motosikal sahaja. Bilangan keluarga
4 yang memiliki motosikal dan kereta adalah sama
dengan bilangan keluarga yang tidak memiliki
motosikal atau kereta.
(a) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk
menunjukkan maklumat di atas.
Operasi set (b) Seterusnya, tentukan bilangan keluarga yang
https://bit.ly/2IRwsBs memiliki motosikal atau kereta.
Penyelesaian:
(a)  = {keluarga di kawasan kediaman}
Contoh 13 A = {keluarga yang memiliki motosikal}
B = {keluarga yang memiliki kereta}
Diberi set semesta  = {x : 4 < x , 16, x ialah
integer}, P = {x : x ialah kuasa dua sempurna}, ξ
Q = {x : x ialah gandaan bagi 3} dan R = {x : x ialah A B
nombor perdana}. x y 2x
(a) Tentukan n[(P  Q  R)]. y
(b) Lorekkan rantau yang mewakili (P  Q  R)
pada sebuah gambar rajah Venn.
n(A) = 40
Penyelesaian: x + y = 40 ....... a
(a)  = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} n() = 105
P = {4, 9} x + y + 2x + y = 105
Q = {6, 9, 12, 15} 3x + 2y = 105 ..... b
R = {5, 7, 11, 13} a × 2, 2x + 2y = 80 ....... c
P  Q  R = {4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15}
(P  Q  R) = {8, 10, 14} b – c, x = 25
n[(P  Q  R)] = 3 Daripada a, 25 + y = 40
y = 15
Kaedah Alternatif
ξ
n() = 12 A B
n(P  Q  R) = 9
n[(P  Q  R)] = 12 – 9 25 15 50
= 3 15
(b)
ξ (b) n(A  B) = 25 + 15 + 50
P Q = 90
●6
●4 ●9 ●12 Bilangan keluarga yang memiliki motosikal
●15 atau kereta ialah 90 buah.
●14 Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.2
●5 ●7
●10 ●11
●13 R

Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.2





78 4.2.2 4.2.3

Tg 4
Bab 4 Operasi Set Matematik
Z on Formatif 4.3


1. Gambar rajah Venn menunjukkan unsur-unsur 3. Gambar rajah Venn menunjukkan tiga set A, B,
bagi set A, B, C dan set semesta . C dan set semesta .
ξ ξ A
A B
●b C ●c B C
●f ●a
●d ●g
●e
●h Pada gambar rajah Venn yang berasingan, BAB
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Senaraikan unsur-unsur bagi K4 lorekkan kawasan yang mewakili K4 4
(a) A > B  C, (a) (A  C > B), (b) [A  (B > C)].
(b) (A  C) > B, 4. Dalam gambar rajah Venn,  ialah set semesta.
(c) A  B > C, P, Q dan R ialah tiga set. Bilangan unsur dalam
(d) (A > C)  B. setiap set adalah ditunjukkan.
2. Dalam gambar rajah Venn, bilangan unsur bagi ξ
set A, B, C dan set semesta  adalah ditunjukkan. Q
P
R
ξ x 2 y 26
A B
x
13
25 6 7 10
C
5 Diberi n() = 109 dan n(Q) = 71. K5
4 (a) Cari nilai x dan nilai y.
Tentukan K4 (b) Seterusnya, tentukan
(a) n[(A > C  B)], (b) n{[A  (B > C)]}. (i) n(P > Q  R),
(ii) n[(P > R)  Q].


Soalan KBAT Mirip SPM
KOMEN
PEMERIKSA

1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar Jawapan: C
rajah Venn dengan set semesta , set P, set Q Tip Pemeriksa:
dan set R. Calon tidak harus meneka jawapan bagi soalan
ξ ini. Sebenarnya, calon perlu melorek kawasan
P Q yang mewakili setiap set dalam pilihan.
R
ξ ξ
P Q P Q
R R

Antara berikut, yang manakah mewakili kawasan
berlorek? K4
A (P  Q) > R C (Q > R) > P (P  Q) > R (Q  R) > P
B (Q  R) > P D (P > Q)  R
ξ
Komen Pemeriksa: P Q
R
ξ ξ
P Q P Q
R R

(P > Q)  R

Q > R (Q > R) > P


81

Tg 4
Bab 4 Operasi Set Matematik

Z on Sumatif





Kertas 1
1. Diberi set A = {1, 3, 4, 5, 7, 9} dan set 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar
K2 B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. Antara berikut, yang K4 rajah Venn dengan set semesta  = P  Q  R.
manakah menghuraikan persilangan set A dan R
©PAN ASIA PUBLICATIONS
set B? P Q BAB
A Set integer dari 3 hingga 5. ●3 ●1 ●5 ●7 ●2 4
B Set integer dari 3 hingga 6. ●6 ●4
C Set integer antara 3 dengan 5.
D Set integer antara 3 dengan 6. Senaraikan semua unsur bagi set (P > Q > R).
A {1, 3, 6}
2. Diberi set A = {5, 7, 11, 13} dan set B {1, 2, 4, 7}
K2 B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Tentukan C {2, 3, 4, 6, 7}
A > B dalam tatatanda pembina set. D {1, 2, 3, 4, 6, 7}
A {x : 4 < x , 12, x ialah nombor ganjil}
B {x : 4 < x < 13, x ialah nombor bulat} 7. Sekumpulan 49 orang pelanggan membeli
C {x : 5 < x < 12, x ialah nombor genap} K3 sekurang-kurangnya satu jenis buah daripada
D {x : 5 < x < 13, x ialah nombor perdana} manggis, cempedak dan rambutan. Gambar
rajah Venn menunjukkan bilangan pelanggan
3. Diberi set F = {huruf perkataan KOMPAS} dan yang membeli manggis dan cempedak sahaja.
K2 set G = {huruf perkataan PEMBARIS}. Antara P Q
gambar rajah Venn berikut, yang manakah R
menghuraikan F > G? 10 18
A C
F G F G
●K ●A ●B ●K ●A ●B Diberi P = {pelanggan yang membeli manggis},
●P ●E ●I ●M ●E Q = {pelanggan yang membeli cempedak}
●M
●P
●I
●S ●O ●R ●O ●S dan R = {pelanggan yang membeli rambutan}.
●R Bilangan pelanggan yang membeli manggis dan
B D cempedak adalah tiga kali bilangan pelanggan
F ●B G F G yang membeli rambutan. Tentukan bilangan
●K ●A ●E ●K ●A ●B
●M ●O ●I ●S pelanggan yang membeli ketiga-tiga jenis buah-
●P ●O ●I ●P buahan itu.
●S ●R ●M ●R ●E
A 5 C 19
B 7 D 21
4. Diberi set A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, set
K4 B = {1, 3, 4, 6, 8, 9} dan set C = {3, 4, 5, 7, 8, 10, 11}. Cari 8. Sebuah sekolah mempunyai 33 orang guru. Satu
A > B > C. K3 temu bual telah dijalankan untuk mengetahui
A {4, 8} C {4, 6, 8} bilangan guru yang pernah melancong ke
B {6, 8} D {4, 8, 10} Hokkaido di Jepun dan Pulau Jeju di Korea.
Dalam temu bual itu, didapati bahawa setiap
5. Diberi set semesta  = {x : 4 < x < 20, x ialah guru pernah melancong sekurang-kurangnya
K4 nombor genap}, set M = {nombor gandaan bagi di satu tempat pelancongan itu. Seramai 18
4} dan set N = {nombor genap di antara 4 dengan orang guru pernah melancong ke Hokkaido dan
16}. Tentukan (M > N). 26 orang guru pernah melancong ke Pulau Jeju.
A {4, 6, 10, 14, 16, 18} Cari bilangan guru yang pernah melancong ke
B {4, 6, 10, 14, 16, 20} Hokkaido dan Pulau Jeju.
C {4, 6, 10, 14, 16, 18, 20} A 8 C 11
D {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20} B 9 D 13


83

Tg 4
Matematik Bab 4 Operasi Set
25. Set semesta  = P  Q  R. Antara kawasan 26. Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan
K4 berlorek dalam gambar rajah Venn berikut, yang K5 hubungan antara tiga set A, B dan C dengan
manakah mewakili [(P  Q) > R]? keadaan set semesta  = A  B  C.
A
R A B
P Q C
4 x 5 11

B 15
R
P Q Diberi bahawa n(A) = n(B > C), tentukan
©PAN ASIA PUBLICATIONS
BAB n[(A  C) > B].
4 A 12
C B 15
R C 23
P Q D 27


D
R
P Q




Kertas 2

1. Diberi set A = {6, 8, 10, 12, 16, 24} dan set B = {7, 8, 9, 11, 13, 16, 24}. Lengkapkan rajah berikut.
K2
Perwakilan
A > B



(a) Perihalan (b) Penyenaraian (c) Tatatanda pembina (d) Gambar rajah Venn
set









2. Gambar rajah Venn menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C.
K2
A C
●2 B ●1 ●3
●5 ●4 ●6
●7 ●9 ●12
●10 ●8 ●16
●11
Tandakan 3 atau 7 bagi setiap persilangan set berikut.
(a) A > B
{x : 5 < x < 7, x ialah nombor ganjil}
(b) A > C
Set bagi kuasa dua sempurna
(c) B > C
f


86

BAB
5 Rangkaian dalam Teori Graf








SKOP Bestari


Standard Pembelajaran yang Penting Muka
Surat
©PAN ASIA PUBLICATIONS
• Mengenal dan menerangkan rangkaian sebagai graf. 94
• Membanding beza
(i) Graf terarah dengan graf tak terarah. 96
5.1 Rangkaian (ii) Graf berpemberat dengan graf tak berpemberat.
• Mengenal dan melukis subgraf dan pokok. 97

• Mewakilkan maklumat dalam bentuk rangkaian. 100
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan rangkaian. 100












Kata Kunci

• Rangkaian/ Network
• Graf/ Graph
• Bintik/ Point
• Bucu/ Vertex
• Tepi/ Edge
• Darjah/ Degree
• Graf mudah/ Simple graph
• Graf terarah/ Directed graph
• Graf tak terarah/ Undirected graph
• Gelung/ Loop
• Berbilang tepi/ Multiple edges
• Graf berpemberat/ Weighted graph
• Graf tak berpemberat/ Unweighted graph
• Subgraf/ Subgraph
• Teori graf/ Graph theory














92

Tg 4
Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf Matematik




Graf tak terarah membandingkan Graf tak berpemberat






Graf terarah membandingkan

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Graf berpemberat

Graf
Graf berbilang tepi mengenal melukis B AB
BAB
5 5






Konsep Graf mudah mengenal mengenal Subgraf melukis mengenal Pokok




Rangkaian dalam Teori Graf




ialah









mengenal

mewakilkan Rangkaian sosial









Rangkaian jalan raya mewakilkan Rangkaian Rangkaian pengangkutan

mewakilkan










93
93

Tg 4
Matematik Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
1. Beza antara graf terarah dengan graf tak terarah.
TIP Bestari Graf
Dalam graf yang mempunyai gelung dan graf
berbilang tepi, darjah bagi suatu bucu ditentukan
dengan cara yang sama seperti graf mudah. Graf terarah Graf tak terarah
C C


A B A B
Contoh 7
A, B, C dan D ialah empat bucu bagi suatu graf.
berpemberat ©PAN ASIA PUBLICATIONS
Tanpa menggunakan graf, tentukan darjah bagi D D
setiap bucu itu dengan tepi berikut.
(a) {(A, B), (A, D), (B, D), (C, D), (C, D), (C, D)} Setiap tepi bertanda Setiap tepi tidak
(b) {(A, D), (A, D), (B, B), (B, C), (B, C), (B, D), (C, C)} dengan arah. bertanda dengan arah.
BAB Penyelesaian: Tepi A • • B Tepi A • • B
5 (a) Bucu A : 2 tepi {(A, B), (A, D)} ditulis dalam ditulis dalam bentuk
º Darjah (A) = 2 pasangan tertib (B, A). (A, B).
Bucu B : 2 tepi {(A, B), (B, D)} (A, B) ≠ (B, A) (A, B) = (B, A)
º Darjah (B) = 2 Tepi-tepi bagi graf Tepi-tepi bagi graf
Bucu C : 3 tepi {(C, D), (C, D), (C, D)} ialah {(A, C), (A, D), ialah {(A, B), (A, C),
º Darjah (C) = 3 (B, A), (B, C), (D, A)} (A, D), (A, D), (B, C)}
BucuD : 5 tepi {(A, D), (B, D), (C, D), (C, D), (C, D)}
º Darjah (D) = 5 TIP Bestari
(b) Bucu A : 2 tepi {(A, D), (A, D)} 1. Bagi graf terarah, (A, A) mewakili suatu gelung
º Darjah (A) = 2
yang berarah.
Bucu B : 4 tepi {(B, B), (B, C), (B, C), (B, D)}
º Darjah (B) = 4 atau

Bucu C : 3 tepi {(B, C), (B, C), (C, C)} A A
º Darjah (C) = 3 2. Bagi graf tak terarah, (A, A) mewakili suatu gelung
yang tidak berarah.
Bucu D : 3 tepi {(A, D), (A, D), (B, D)}
º Darjah (D) = 3 A
Cuba soalan 7 dalam Zon Formatif 5.1

Contoh 8
Padankan yang berikut.
TIP Bestari (a)

Darjah bagi suatu bucu dicari dengan menentukan
bilangan tepi yang melibatkan bucu itu.

Graf terarah
Membanding beza (b)
(i) Graf terarah dengan graf tak terarah
(ii) Graf berpemberat dengan graf tak


(c) Graf tak terarah








96 5.1.1 5.1.2

Tg 4
Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf Matematik
Penyelesaian:
(a) TIP Bestari
Berat pada tepi sebuah graf berpemberat mungkin
mewakili jarak, masa, kos, harga dan sebagainya.

Graf terarah Contoh 10
(b)
Nyatakan sama ada setiap graf berikut mewakili
graf berpemberat atau graf tak berpemberat.
(a) (b)
3
©PAN ASIA PUBLICATIONS
5
10
(c) Graf tak terarah 2
7
(c) BAB
2 11
5
6 5 4
Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 5.1 2
3
Contoh 9 Penyelesaian:
(a) Graf berpemberat
Suatu graf mempunyai bucu {A, B, C, D} dan tepi (b) Graf tak berpemberat
{(A, A), (A, B), (A, D), (B, C), (C, A), (C, B)}. (c) Graf berpemberat
(a) Tandakan 3 untuk menunjukkan graf yang
betul. Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 5.1
Graf terarah Graf tak terarah
Mengenal dan melukis subgraf dan pokok
Berikan justifikasi anda.
(b) Seterusnya, lukis satu rajah untuk mewakili 1. Subgraf bagi suatu graf ialah graf yang terdiri
graf itu. daripada bucu dan tepi tertentu bagi graf yang
Penyelesaian: asal.
(a) Graf terarah 3 TIP Bestari
(B, C) dan (C, B) ialah tepi terarah yang
mengaitkan bucu B dan bucu C. 1. Jika H ialah subgraf bagi graf G, maka
(b) (a) bucu-bucu bagi H juga adalah bucu-bucu
C bagi G,
(b) tepi-tepi dengan dua bucunya bagi H juga
A
adalah tepi-tepi dengan dua bucunya bagi G.
2. Suatu subgraf mungkin mempunyai bentuk yang
berlainan daripada graf asal tetapi bucu-bucu
D B dan tepi-tepinya mesti sama.
Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 5.1 3. Setiap graf ialah subgraf bagi dirinya sendiri.

2. Beza antara graf berpemberat dengan graf tak
berpemberat. B C B
Graf A C B
B A C
C Subgraf A
Graf berpemberat Graf tak berpemberat bagi graf B
A
5 B C
B
2 C A
C
7 9 A B
A B C
C B B A
Setiap tepi dikaitkan Setiap tepi tidak A C C
dengan suatu nombor dikaitkan dengan A
yang dinamakan berat. suatu nombor. A

5.1.2 5.1.3 97

Tg 4
Matematik Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
Contoh 11 Contoh 13
D C
Rajah di sebelah menunjukkan graf G. Rajah di bawah menunjukkan graf G.
Tentukan sama ada setiap yang
berikut ialah subgraf bagi G. D
A B C
(a) (b)
C
D
B
B A E

A B D Graf H mempunyai bucu dan tepi berikut.
Penyelesaian: ©PAN ASIA PUBLICATIONS
Tentukan sama ada H ialah subgraf bagi G.
(c) (d) A Berikan justifikasi anda.
D C B
(a) Bucu H = {A, B, C, D}
Tepi H = {(A, B), (A, C), (B, C), (C, D)}
BAB (b) Bucu H = {A, B, C, E}
5 A B D Tepi H = {(A, B), (A, C), (C, E)}
Penyelesaian: Penyelesaian:
(a) Subgraf bagi G. (a) H ialah subgraf bagi G kerana bucu dan tepi
(b) Subgraf bagi G sungguhpun bentuknya bagi H adalah sama dengan G.
berlainan daripada G tetapi mempunyai bucu (b) H bukan subgraf bagi G kerana (C, E) bukan
{B, C, D} dan tepi {(B, C), (B, D), (C, D)} yang tepi bagi G.
sama.
(c) Bukan subgraf bagi G kerana G tidak Cuba soalan 13 dalam Zon Formatif 5.1
mempunyai tepi (A, D).
(d) Subgraf bagi G sungguhpun bentuknya
berlainan daripada G tetapi mempunyai bucu
{A, B, D} dan tepi {(B, D)} yang sama. Contoh 14
Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 5.1
Lukis empat subgraf yang mungkin bagi setiap
graf G yang berikut.
Contoh 12 (a) (b)
Rajah di bawah menunjukkan suatu graf terarah G. D E
D D
E C
C F A B
A B E
B
Penyelesaian:
A C
(a)
Nyatakan sama ada setiap graf terarah berikut
ialah subgraf bagi G. Berikan justifikasi anda. D D E D E D
(a) A (b)
A C C
D B E F C F F
A B B
E
(b)
C D D D D
C C C
B
(a) Bukan subgraf bagi G kerana tepi {(C, D)} A B
tidak terdapat dalam grafnya. E E E E
(b) Subgraf bagi G kerana mempunyai bucu {A,
B, D, E} dan tepi {(A, B), (A, E), (D, E), (E, D)} Cuba soalan 14 dalam Zon Formatif 5.1
yang sama dengan graf G.
Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 5.1


98 5.1.3

Tg 4
Matematik Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
Mewakilkan maklumat dalam bentuk Penyelesaian:
rangkaian Langkawi Kota Kinabalu
Kota Bharu
Sibu
Contoh 18 Pulau Tawau
Pinang Kuching
Rajah di bawah menunjukkan beberapa jalan raya
di suatu kawasan. Kuala
Lumpur Johor Bahru
Cuba soalan 19 dalam Zon Formatif 5.1

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Contoh 20
Lima orang kawan, iaitu Asiah, Khairul, Natifah,
Roslan dan Zeti melakukan perbualan panggilan
BAB Dengan menggunakan simpang jalan sebagai video dalam situasi berikut.
5 bucu dan jalan sebagai tepi, lukis satu graf tak Asiah panggil Khairul dan Roslan tetapi bukan
terarah untuk mewakili rangkaian jalan raya itu.
Natifah atau Zeti. Zeti pula panggil Roslan dan
Penyelesaian: Natifah sahaja. Zeti tidak pernah panggil Khairul
walaupun Khairul selalu panggil Zeti. Kerap kali
Natifah dan Roslan akan panggil antara satu
sama lain seperti Khairul dan Natifah.
Lukis satu graf terarah untuk mewakilkan perbualan
panggilan video yang dihuraikan dalam situasi itu.
Penyelesaian:
Natifah
Cuba soalan 18 dalam Zon Formatif 5.1 Khairul

Zeti
Contoh 19
Roslan
Rajah di bawah menunjukkan beberapa lokasi Asiah
lapangan terbang di Malaysia.
Cuba soalan 20 dalam Zon Formatif 5.1
Langkawi Kota Kinabalu
Kota Bharu
Sibu Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Pulau Tawau rangkaian
Pinang Kuching
Kuala Contoh 21
Lumpur Johor Bahru
Rajah di bawah menunjukkan suatu rangkaian
Sebuah syarikat Air X menjadualkan 10 jalan raya yang menghubungkan lima tempat A,
penerbangan pada suatu hari seperti berikut. B, C, D dan E.
D
• Pulau Pinang ke Johor Bahru 200
• Kuching ke Tawau B 340 100
• Tawau ke Kuching C 270
• Kuching ke Kuala Lumpur 400 120
• Kota Kinabalu ke Kuala Lumpur E
• Kuala Lumpur ke Langkawi A 350
• Langkawi ke Pulau Pinang Berat yang dinyatakan pada setiap tepi mewakili
• Johor Bahru ke Sibu jarak, dalam m, di antara dua tempat. Satu lintasan
• Pulau Pinang ke Kota Bharu ialah laluan di sepanjang tepi-tepi graf dari satu
• Kuala Lumpur ke Kuching bucu ke bucu yang lain tanpa mengulangi mana-
mana satu bucu.
Lukis satu graf terarah untuk mewakili maklumat Dengan menyenaraikan semua lintasan yang
penerbangan itu. mungkin, tentukan lintasan terpendek dari A ke C
dan nyatakan panjangnya.

100 5.1.4 5.1.5

Tg 4
Matematik Bab 7 Graf Gerakan
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Laju Kecerunan positif graf laju-masa
mewakili pecutan (Laju
semakin bertambah)
Contoh 12
O Masa
Kecerunan Rajah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan
Laju sifar dua zarah P dan Q dalam tempoh 30 saat.
Pentafsiran mewakili –1
graf pecutan Laju (m s )
jarak-masa sifar (Laju 20 B
O Masa
©PAN ASIA PUBLICATIONS
seragam) 16 C
Laju D
u
Kecerunan negatif
mewakili nyahpecutan A
O Masa (Laju semakin berkurang) O F E Masa (s)
18 30
Contoh 11 Graf AB mewakili pergerakan bagi zarah P
manakala graf CDE mewakili pergerakan bagi
Graf laju-masa menunjukkan larian Maria dalam zarah Q.
suatu latihan sukan. (a) Tentukan nilai u.
–1
Laju (m s ) (b) Dengan nilai u yang didapati di (a), cari
10 A B pecutan bagi zarah Q dalam 18 saat yang
BAB pertama.
7 (c) Hitung beza di antara jarak yang dilalui oleh
zarah P dengan zarah Q dalam tempoh 30 saat.
C Penyelesaian:
O Masa (s)
5 15 18
(a) Kecerunan AD = kecerunan AB
(a) Cari pecutan, dalam m s , Maria bagi u 20
–2
(i) 5 s yang pertama, 18 = 30
(ii) tempoh masa dari 5 s hingga 15 s, u = 20 × 18
(iii) 3 s yang akhir. 30
(b) Seterusnya, huraikan larian Maria dalam = 12
tempoh 18 s. (b) Pecutan = kecerunan CD
Penyelesaian: = – 16 – 12
(a) (i) Pecutan = kecerunan OA = – 4 18
= 10 18
5 2 –2
= 2 m s –2 = – m s
9
(ii) Pecutan = kecerunan AB (c) Jarak yang dilalui oleh zarah P
= 0 m s –2 = luas segi tiga ABE
(iii) Pecutan = kecerunan BC = 1 × 30 × 20
= – 10 2
18 – 15 = 300 m
10
= – m s –2 Jarak yang dilalui oleh zarah Q
3 = luas trapezium ACDF + luas segi tiga DEF
TIP Bestari = 1 × (16 + 12) × 18 + × 12 × 12
1
2 2
Pecutan negatif dikenali sebagai nyahpecutan. = 252 + 72
= 324 m
(b) Bagi 5 s yang pertama, Maria berlari dari Beza di antara jarak yang dilalui oleh zarah P
0 m s hingga 10 m s dengan pecutan dengan zarah Q = 324 – 300
–1
–1
2 m s . Selepas itu, dia berlari dengan laju = 24 m
–2
–1
seragam 10 m s selama 10 s dan akhirnya Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 7.2
mengurangkan lajunya sehingga berhenti
1
dengan nyahpecutan 3 m s .
–2
3
Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 7.2
144 7.2.3 7.2.4

Tg 4
Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung Matematik
9.1 Peristiwa Bergabung Contoh 1

Memerihalkan peristiwa bergabung dan Dalam suatu eksperimen, Fahmi memilih satu
nombor secara rawak daripada {1, 3, 4, 6} dan
menyenaraikan peristiwa bergabung yang Ganan memilih satu nombor secara rawak
mungkin daripada {3, 6, 9}. Diberi A ialah peristiwa Fahmi
memilih nombor genap dan B ialah peristiwa
1. Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang Ganan memilih nombor ganjil. Perihalkan
dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dalam perkataan dan penyenaraian kesudahan-
dua atau lebih peristiwa. kesudahan setiap peristiwa bergabung berikut.
(a) A dan B (b) A atau B
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Peristiwa Peristiwa A atau Peristiwa A dan Penyelesaian:
bergabung peristiwa B peristiwa B A = Peristiwa Fahmi memilih nombor genap
= {(4, 3), (4, 6), (4, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9)}
Tatatanda A < B A > B B = Peristiwa Ganan memilih nombor ganjil
A berlaku atau = {(1, 3), (1, 9), (3, 3), (3, 9), (4, 3), (4, 9), (6, 3), (6, 9)}
B berlaku atau Kedua-dua A dan (a) Peristiwa bergabung A dan B ialah peristiwa
Pengertian Fahmi memilih nombor genap dan Ganan
kedua-dua A dan B berlaku memilih nombor ganjil.
B berlaku A > B = {(4, 3), (4, 9), (6, 3), (6, 9)}
(b) Perisitwa bergabung A atau B ialah peristiwa
x ξ
A B A B Fahmi memilih nombor genap atau Ganan
Gambar memilih nombor ganjil.
rajah Venn A < B = {(1, 3), (1, 9), (3, 3), (3, 9), (4, 3), (4, 6),
(4, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9)}
Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 9.1

Contoh 2
TIP Bestari
Satu nombor dipilih secara rawak daripada
Peristiwa bergabung bagi tiga peristiwa A, B dan C. {10, 12, 13, 15, 18, 20, 23, 24}. Diberi A ialah
(a) A < B < C peristiwa memilih nombor perdana, B ialah BAB
ξ peristiwa memilih nombor gandaan bagi 3 dan 9
A B C ialah peristiwa memilih nombor dengan hasil
tambah digit-digit lebih besar atau sama dengan
5. Senaraikan semua kesudahan bagi setiap
peristiwa bergabung berikut.
(a) A dan C (b) B dan C
(c) A atau C (d) B atau C
Penyelesaian:
C
A = Peristiwa memilih nombor perdana
(b) A > B > C = {13, 23}
B = Peristiwa memilih nombor gandaan bagi 3
ξ = {12, 15, 18, 24}
A B C = Peristiwa memilih nombor dengan hasil tambah
digit-digit lebih besar atau sama dengan 5
= {15, 18, 23, 24}
(a) A dan C = A > C
= {23}
(b) B dan C = B > C
= {15, 18, 24}
C (c) A atau C = A < C
= {13, 15, 18, 23, 24}
(d) B atau C = B < C
= {12, 15, 18, 23, 24}
Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 9.1


9.1.1 183

Tg 4
Matematik Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan







R Realistic Realistik T Time-bound Tempoh masa






©PAN ASIA PUBLICATIONS
A Attainable Boleh dicapai Konsep SMART berpandukan Proses pengurusan kewangan yang berkesan Menetapkan matlamat kewangan Menilai kedudukan kewangan Mewujudkan pelan kewangan Melaksanakan pelan kewangan Mengkaji semula dan menyemak kemajuan






Measurable S Specific Khusus
M Boleh diukur menghuraikan


Konsep Tidak tetap Pengurusan Kewangan










Tetap Perbelanjaan



BAB Kad kredit
10 Hutang membina



Pinjaman melibatkan berdasarkan , 1 tahun Jangka pendek



Dana kecemasan Simpanan Pelan kewangan peribadi Matlamat kewangan menilai dipengaruhi




Simpanan tetap . 5 tahun Jangka panjang Kebolehlaksanaan pelan kewangan Inflasi, kesihatan, sumber pendapatan dan perbelanjaan



Pasif Pendapatan



Aktif






208

Tg 4
Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan Matematik
10.1 Perancangan dan Pengurusan Contoh 1
Kewangan Padankan setiap yang berikut.

Menghuraikan proses pengurusan Membayar ansuran kereta
kewangan yang berkesan bagi setiap bulan.

1. Perancangan kewangan ialah satu proses Memberi enam bulan gaji Keperluan
yang menilai kedudukan kewangan semasa sebagai bonus tahunan.
dan masa hadapan seseorang atau organisasi
dengan menggunakan sumber pendapatan Menyediakan makan tengah Kehendak
dan perbelanjaan untuk menentukan aliran hari kepada semua pekerja.
wang, nilai aset dan pelan kewangan pada masa
hadapan. Membeli insurans Takaful
peribadi.
2. Pengurusan kewangan ialah satu proses yang
melibatkan penggunaan sumber pendapatan Penyelesaian:
dan aset terhadap perbelanjaan, simpanan,
pelaburan dan perlindungan bagi memenuhi Membayar ansuran kereta
matlamat kewangan seseorang individu atau bagi setiap bulan.
organisasi.
Memberi enam bulan gaji
3. Proses pengurusan kewangan melibatkan lima sebagai bonus tahunan. Keperluan
langkah utama.
Menyediakan makan tengah Kehendak
Menetapkan hari kepada semua pekerja.
matlamat
1 kewangan 5 Membeli insurans Takaful
peribadi.
kedudukan
Menilai ©PAN ASIA PUBLICATIONS
kewangan
Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 10.1
Proses
kemajuan
Mengkaji semula
dan menyemak
kewangan
• Kedudukan kewangan semasa boleh
2 pengurusan (b) Menilai kedudukan kewangan. BAB
ditentukan berdasarkan penyata aliran
Melaksanakan • Penyata aliran tunai memberikan
3 tunai dan penyata nilai aset bersih. 10
pelan
maklumat tentang bagaimana sumber
Mewujudkan
pelan
4 kewangan pendapatan diperoleh dan dibelanjakan.
kewangan
TIP Bestari
(a) Menetapkan matlamat kewangan.
• Matlamat kewangan biasanya ditetapkan Aliran tunai positif berlaku apabila jumlah pendapatan
pada awal tahun. adalah melebihi jumlah perbelanjaan manakala aliran
• Semasa menetapkan matlamat kewangan, tunai negatif berlaku apabila jumlah pendapatan
segala perbelanjaan harus diberikan adalah kurang daripada jumlah perbelanjaan.
keutamaan kepada keperluan daripada Jumlah Aliran tunai
kehendak. pendapatan positif
• Matlamat kewangan boleh dikategorikan . jumlah
sebagai jangka pendek (kurang daripada perbelanjaan
satu tahun), jangka sederhana (satu Aliran tunai
tahun hingga lima tahun) dan jangka Jumlah
panjang (lebih daripada lima tahun). pendapatan
, jumlah Aliran tunai
perbelanjaan negatif




10.1.1 209

Tg 4
Matematik Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan
• Penyata nilai aset memberikan maklumat • Pelan kewangan biasanya disediakan
yang berkaitan dengan aset (harta) dan secara bulanan untuk tempoh satu tahun.
liabiliti (hutang) semasa.
• Aset merupakan wang tunai dan Contoh 3
pelaburan seperti simpanan, saham, Maklumat di bawah menunjukkan pendapatan
amanah saham dan hartanah. dan perbelanjaan Nasrul pada bulan Mei.
• Liabiliti merupakan pinjaman, hutang
kad kredit, sewa dan bil-bil utiliti. Pendapatan aktif: RM3 470
• Kedudukan kewangan perlu diperiksa Pendapatan pasif: RM650
sekurang-kurangnya enam bulan sekali Perbelanjaan tetap: RM2 860
Perbelanjaan tidak tetap: RM1 280
untuk menyemak pencapaian matlamat
©PAN ASIA PUBLICATIONS
kewangan. (a) Cari
(i) jumlah pendapatan Nasrul pada bulan Mei,
Contoh 2 (ii) jumlah perbelanjaan Nasrul pada bulan
Mei.
Maklumat di bawah menunjukkan jumlah (b) Seterusnya, nyatakan sama ada Nasrul
pendapatan dan jumlah perbelanjaan Alwi dan adalah seorang yang bijak dalam pengurusan
Basri dalam suatu bulan. kewangan pada bulan Mei. Beri justifikasi anda.
Alwi : Jumlah pendapatan = RM2 340 Penyelesaian:
Jumlah perbelanjaan = RM2 070 (a) (i) Jumlah pendapatan = 3 470 + 650
Basri : Jumlah pendapatan = RM2 580 = RM4 120
Jumlah perbelanjaan = RM2 750 (ii) Jumlah perbelanjaan = 2 860 + 1 280
Tentukan aliran tunai bulanan bagi Alwi dan Basri. = RM4 140
Seterusnya, nyatakan individu yang mempunyai (b) Pada bulan Mei, jumlah perbelanjaan adalah
kedudukan kewangan bulanan yang lebih baik. melebihi jumlah pendapatan. Oleh itu, Nasrul
Beri justifikasi anda. bukan seorang yang bijak dalam pengurusan
kewangan pada bulan Mei.
Penyelesaian:
Aliran tunai bulanan bagi Alwi = 2 340 – 2 070 Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 10.1
= RM270 (d) Melaksanakan pelan kewangan.
Aliran tunai bulanan bagi Basri = 2 580 – 2 750 • Semasa melaksanakan pelan kewangan,
= –RM170 pembayaran perbelanjaan tetap harus
Aliran tunai bulanan bagi Alwi adalah positif. Oleh
itu, kedudukan kewangan bulanan Alwi adalah diberi keutamaan untuk mengelak caj
BAB lebih baik. atau faedah tambahan yang perlu dibayar
10 Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 10.1 ke atas pembayaran lewat.
• Perbelanjaan yang dirancang perlu dibuat
perbandingan dengan perbelanjaan
(c) Mewujudkan pelan kewangan. sebenar bagi satu-satu bulan untuk
• Pelan kewangan merupakan komponen mengawal pembaziran.
penting dalam memandu ke arah • Sekiranya pendapatan bersih bulanan
pencapaian matlamat kewangan adalah lebihan, wang itu boleh digunakan
berdasarkan nilai kewangan yang
dijangka dan nilai kewangan sebenar. untuk simpanan dan sekiranya
• Nilai kewangan ditentukan berdasarkan kurangan, perbelanjaan bulan itu perlu
pendapatan, simpanan, hutang dan dikaji untuk bulan berikutnya.
perbelanjaan. Contoh 4
Cik Wong ialah seorang guru sekolah menengah
TIP Bestari yang menerima gaji bersih RM3 500 sebulan.

1. Pendapatan terdiri daripada pendapatan aktif Beliau mengendalikan kelas tuisyen dan
(gaji, elaun, komisen) dan pendapatan pasif memperoleh pendapatan RM980 sebulan. Cik
(sewa, faedah, dividen). Wong juga mendapat komisen bulanan sebanyak
2. Perbelanjaan terdiri daripada perbelanjaan tetap RM560 daripada jualan produk langsung. Setiap
(sewa rumah, ansuran kereta, bayaran insurans) bulan, Cik Wong membelanjakan RM750 ke atas
dan perbelanjaan tidak tetap (bil utiliti, kos makanan, RM1 000 ke atas sewa rumah, RM300
perubatan, minyak kereta). ke atas minyak kereta dan RM200 ke atas telefon
bimbit. Cari pendapatan bersih bulanan Cik Wong.

210 10.1.1

Tg 5
Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Matematik
3.1 Risiko dan Perlindungan 10. Ganti rugi yang dibayar oleh syarikat insurans
Insurans adalah berdasarkan prinsip indemniti.
Mengikut prinsip indemniti, syarikat
Menjelaskan maksud risiko dan kepentingan insurans hanya akan memulihkan
perlindungan insurans, dan seterusnya pemegang polisi seperti keadaan asal, iaitu
mengenal pasti jenis insurans hayat dan keadaan sebelum berlakunya kerugian.
insurans am bagi melindungi pelbagai jenis
risiko 11. Ganti rugi boleh dibayar melalui satu daripada
cara yang berikut:
1. Apabila seseorang individu mengalami sesuatu • Bayaran
©PAN ASIA PUBLICATIONS
kejadian atau musibah yang tidak dijangka, • Pemulihan atau penggantian
situasi seperti ini dikenali sebagai risiko. 12. Jenis-jenis insurans
2. Risiko ialah kemungkinan berlakunya musibah
yang tidak dapat dielakkan. BAB

3. Antara contoh risiko ialah kemalangan jalan Insurans hayat Insurans am 3
raya, kecurian di rumah, kebakaran rumah dan
sebagainya.
4. Pengambilan insurans merupakan satu langkah A Insurans hayat
untuk melindungi risiko. 1. Insurans hayat merupakan polisi insurans yang
5. Insurans merupakan satu mekanisme ekonomi memberi perlindungan kepada pemegang polisi
yang memindahkan risiko daripada satu pihak, sekiranya terjadi sesuatu yang tidak diingini
iaitu pemegang polisi insurans kepada satu seperti kematian, penyakit kritikal, hilang upaya
pihak lain, iaitu syarikat insurans. diri dan dimasukkan ke hospital.

memindahkan risiko 2. Jenis insurans
hayat Penerangan
Membayar premium Insurans hayat Premium perlu dibayar
Pemegang Syarikat seumur hidup selagi pemegang polisi
polisi masih hidup.
insurans insurans
Membayar pampasan Insurans hayat Premium perlu dibayar
endowmen oleh pemegang polisi untuk
6. Kelebihan mengambil insurans kepada tempoh masa tertentu dan
pemegang polisi: akan dipulangkan semula
• Menerima pampasan atau ganti rugi apabila kepada pemegang polisi
berlakunya risiko yang boleh diinsuranskan. setelah mencapai tempoh
• Tidak perlu mengeluarkan wang daripada matang berserta bonus
dana sendiri untuk melindungi risiko. yang dikumpul.
7. Jumlah ganti rugi yang dibayar oleh syarikat Insurans hayat Premium perlu dibayar
insurans adalah bergantung kepada jumlah sementara oleh pemegang polisi
amaun insurans yang diambil oleh pemegang untuk tempoh masa
polisi.
tertentu tetapi tidak
8. Risiko yang diinsuranskan mesti berlaku dalam mempunyai nilai matang.
tempoh insurans itu berkuat kuasa.
9. Ganti rugi yang dibayar oleh syarikat insurans B Insurans am
kepada pemegang polisi bergantung kepada
jumlah kerugian sebenar dan tidak melebihi 1. Insurans am merupakan polisi insurans
jumlah kerugian tersebut. yang melindungi individu daripada sebarang
kerugian dan kerosakan yang ditanggung



PB 3.1.1 271

Tg 5
Matematik Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans
seperti kerugian harta benda akibat kecurian (f) Insurans motor
atau kebakaran, kematian akibat kemalangan – Memberi perlindungan terhadap
atau kecederaan dan liabiliti yang wujud sebarang kerugian atau kerosakan
daripada pihak ketiga disebabkan oleh individu berkaitan dengan penggunaan kenderaan
tersebut. berenjin
2. Ciri-ciri insurans am: 4. Empat jenis polisi insurans motor:
• Perlu diperbaharui setiap tahun (a) Polisi akta
• Menggunakan prinsip indemniti – Melindungi liabiliti pihak ketiga atas
kematian atau kecederaan anggota badan
3. Jenis-jenis insurans am:
(tidak termasuk penumpang)
kematian ©PAN ASIA PUBLICATIONS
(b) Polisi pihak ketiga
– Perlindungan tambahan pada polisi akta
Insurans yang memberi perlindungan tambahan
motor kepada pihak ketiga

BAB Insurans Insurans – Polisi ini melindungi kerugian terhadap
3 perubatan dan harta benda yang dialami oleh pihak
kesihatan kebakaran ketiga
Jenis-jenis (c) Polisi pihak ketiga, kebakaran dan
insurans kecurian
am – Perlindungan tambahan pada polisi
Insurans Insurans pihak ketiga yang memberi perlindungan
tambahan kepada pemegang polisi
perjalanan kemalangan – Polisi ini melindungi kerugian terhadap
diri
Insurans kenderaan sendiri disebabkan oleh
kebakaran yang tidak disengajakan atau
rompakan kecurian
(d) Polisi komprehensif
– Perlindungan tambahan pada polisi
(a) Insurans kebakaran pihak ketiga, kebakaran dan kecurian
– Memberi perlindungan pada risiko yang memberi perlindungan tambahan
kebakaran
kepada pemegang polisi
(b) Insurans kemalangan diri – Polisi ini melindungi kerugian dan
– Memberi perlindungan kepada kerosakan terhadap kenderaan sendiri
pemegang polisi yang mengalami akibat kemalangan
kecederaan anggota badan, kecacatan,
hilang upaya atau meninggal dunia 5. Insurans berkelompok:
berpunca secara langsung daripada • Memberi perlindungan kepada sekumpulan
kemalangan. Insurans ini adalah berbeza individu, biasanya pekerja syarikat seperti
daripada insurans hayat, dan insurans pekerja bank atau murid sekolah dan pelajar
perubatan dan kesihatan. pusat pengajian tinggi
(c) Insurans rompakan • Pekerja yang dilindungi di bawah polisi ini
– Memberi perlindungan disebabkan oleh mendapat perlindungan kewangan seperti
rompakan kematian, hilang upaya, kemasukan hospital
(d) Insurans perjalanan dan pembedahan mengikut had tuntutan
– Melindungi pemegang polisi terhadap yang ditetapkan dalam polisi
kerugian dalam perjalanan seperti
dan kecacatan kekal, Mengkaji, mentafsir dan membuat
kehilangan bagasi, pasport dan duit, pengiraan yang melibatkan kadar dan
belanja perubatan dan lain-lain.
(e) Insurans perubatan dan kesihatan premium insurans
– Membayar ganti rugi kepada pemegang
polisi yang memerlukan rawatan 1. Premium ialah bayaran yang perlu dibayar oleh
kesihatan akibat rawatan kesihatan dan pemegang polisi kepada syarikat insurans untuk
penyakit melindungi risiko.

272 3.1.1 3.1.2 273

Tg 5
Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Matematik
(a) Polisi komprehensif bagi Semenanjung
Malaysia: TIP Bestari

Premium asas Kadar premium bagi polisi pihak ketiga,
= Kadar bagi RM1 000 pertama + RM26 kebakaran dan kecurian ialah 75% daripada
bagi setiap RM1 000 atau sebahagian premium asas polisi komprehensif.
daripada itu bagi nilai yang melebihi
RM1 000
Premium kasar bagi polisi pihak ketiga:
(b) Polisi komprehensif bagi Sabah dan RM
Sarawak: Premium asas 151.20
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Tolak NCD 25% 37.80
Premium asas Premium kasar 113.40
= Kadar bagi RM1 000 pertama +
RM20.30 bagi setiap RM1 000 atau Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 3.1
sebahagian daripada itu bagi nilai BAB
yang melebihi RM1 000 3

TIP Bestari
Contoh 3

Encik Hafiz mempunyai sebuah kereta model 1. Klausa Diskaun Tanpa Tuntutan (NCD) akan
X untuk digunakan di Semenanjung Malaysia. diberikan jika tiada tuntutan dibuat terhadap
Maklumat kereta itu adalah seperti yang berikut. insurans motor dalam tempoh perlindungan
sebelum pembaharuan polisi dibuat.
Jumlah yang ingin diinsuranskan : RM94 000 2. NCD akan mengurangkan jumlah bayaran
Umur kenderaan : 5 tahun premium bagi pemegang polisi insurans.
Kapasiti enjin : 1 799 cc 3. Kelebihan NCD akan hilang jika pemegang polisi
NCD : 25% telah membuat tuntutan terhadap kerosakan
sendiri atau pihak ketiga.
Hitung premium kasar bagi kereta Encik Hafiz
untuk polisi komprehensif, polisi pihak ketiga,
kebakaran dan kecurian, dan polisi pihak ketiga.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan
Penyelesaian:
Premium kasar bagi polisi komprehensif: insurans termasuk deduktibel dan
ko-insurans
RM
RM1 000 yang pertama 339.10 A Deduktibel
RM26 × RM93 (setiap RM1 000 2 418.00
baki) 1. Deduktibel merupakan satu peruntukan dalam
Premium asas 2 757.10 kontrak insurans yang menghendaki pemegang
Tolak NCD 25% 689.28 polisi untuk menanggung sebahagian kecil
daripada kerugian yang berlaku.
Premium kasar 2 067.82
2. Di bawah peruntukan ini, satu amaun tertentu
TIP Bestari yang telah ditetapkan akan ditolakkan daripada
jumlah ganti rugi yang sepatutnya dibayar oleh
RM94 000 – RM1 000
——————————– = RM93 syarikat insurans.
RM1 000
3. Deduktibel merupakan satu peruntukan
Premium kasar bagi polisi pihak ketiga, kebakaran yang wujud dalam insurans perubatan dan
dan kecurian: kesihatan serta insurans harta.
RM 4. Deduktibel tidak digunakan dalam insurans
Premium asas 2 067.83 hayat.
Tolak NCD 25% 516.96
Premium kasar 1 550.87


274 3.1.2 3.1.3 275

Tg 5
Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian Matematik
4.1 Percukaian atau penggunaan perkhidmatan tertentu.
Misalnya, cukai rokok.
Menghuraikan tujuan percukaian • Alat pelaksanaan polisi kerajaan.
• Cukai digunakan sebagai alat untuk mengawal
1. Cukai ialah satu kaedah yang digunakan oleh inflasi dan kemelesetan ekonomi.
kerajaan untuk mengumpulkan hasil daripada 5. Sebagai rakyat yang bertanggungjawab, kita
individu, syarikat dan entiti lain untuk disalurkan haruslah membayar cukai yang dikenakan pada
ke dalam projek-projek pembangunan negara masa yang tepat.
di samping menyediakan pelbagai kemudahan
awam demi kesejahteraan rakyat. 6. Pembayaran cukai bukanlah suatu perkara
yang membebankan, malah ia dapat membantu
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2. Di Malaysia, cukai biasanya dipungut oleh meningkatkan pembangunan negara.
Lembaga Hasil Dalam Negeri (LHDN),
Jabatan Kastam Diraja Malaysia (JKDM) dan
juga beberapa jabatan kerajaan yang lain. Menghuraikan pelbagai cukai dan
seterusnya kesan pengelakan cukai tersebut
3. Cukai biasanya dikumpulkan dalam bentuk dari aspek perundangan dan kewangan
wang berdasarkan syarat-syarat tertentu.
4. Tujuan dan kepentingan cukai yang dikenakan 1. Di Malaysia, kutipan cukai diuruskan oleh dua
oleh kerajaan: agensi utama di bawah Kementerian Kewangan,
• Membantu melicinkan pentadbiran negara iaitu Lembaga Hasil Dalam Negeri (LHDN),
dan membantu rakyat melalui projek-projek Jabatan Kastam Diraja Malaysia (JKDM) dan
pembangunan. Eksais Diraja Malaysia. BAB

Cukai 2. Jenis-jenis cukai di Malaysia: 4


Cukai
Kerajaan Rakyat pendapatan
– Gaji kepada – Pembinaan
pekerja sektor hospital Cukai
awam – Pembinaan perkhidmatan Cukai
– Perbelanjaan lain sekolah jalan
bagi menguruskan – Buku teks
pentadbiran percuma Jenis-jenis
kerajaan cukai

• Cukai Cukai
Golongan usahawan
jualan pintu
membayar cukai
kepada
Cukai
Kerajaan tanah



Cukai disalurkan kepada golongan yang
kurang berkemampuan melalui pelbagai A Cukai pendapatan
jenis bantuan 1. Cukai pendapatan merupakan cukai yang
dibayar oleh individu, syarikat dan entiti lain
• Cukai yang dibayar digunakan sebagai yang memperoleh pendapatan melebihi jumlah
perangsang atau penggerak ekonomi. tertentu selepas ditolak dengan pengecualian
• Cukai boleh dikenakan pada sesuatu cukai dan pelepasan cukai yang dibenarkan oleh
barangan atau perkhidmatan supaya rakyat kerajaan bagi tempoh tahun taksiran berkenaan.
dapat mengurangkan pembelian barangan


4.1.1 4.1.2 285

Tg 5
Matematik Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian
2. D Cukai tanah
Tidak melaporkan Denda RM1 000 1. Selain cukai pintu, pemilik harta juga perlu
pendapatan hingga RM20 000 membayar cukai tanah.
sebenar di dalam atau penjara atau
Borang Nyata kedua-duanya 2. Cukai tanah merupakan cukai yang dikenakan
Cukai Pendapatan sekali dan penalti bagi tanah hak persendirian.
(BNCP) 200% atas cukai
terkurang bayar 3. Cukai tanah ini dibayar oleh pemilik tanah
(Akta Cukai kepada Pihak Berkuasa Negeri melalui Pejabat
Pendapatan 1967 Tanah dan Galian.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
(Akta 53) Seksyen 4. Kesan yang dihadapi oleh pemilik tanah jika
113(1)(a)) gagal membayar cukai tanah:
Cukai
pendapatan • Bayaran tunggakan akan dikenakan sebagai
tambahan kepada cukai tanah.
Denda RM200 • Notis tuntutan akan dikeluarkan. Jika
Tidak hingga RM20 000 bayaran tidak dijelaskan dalam tempoh 3
memaklumkan atau penjara bulan daripada arahan notis, rampasan tanah
layak dikenakan tidak melebihi akan dilakukan (Kanun Tanah Negara 1965
cukai 6 bulan atau Seksyen 100).
kedua-duanya
sekali (Akta Cukai
BAB Pendapatan 1967 E Cukai jualan
4 (Akta 53) Seksyen 1. Cukai jualan dikenakan terhadap barang akhir
112(1)) yang dijual oleh firma dalam negeri dan barang
import dari luar negara.

B Cukai jalan 2. Cukai jualan merupakan cukai tidak langsung
seperingkat yang ditadbir oleh Jabatan Kastam
1. Pemilik kenderaan bermotor harus membayar Diraja Malaysia melalui peruntukan Akta Cukai
cukai jalan sebelum kenderaan tersebut Jualan 2018.
dibenarkan untuk dipandu di jalan raya secara
sah. 3. Ambangan Pendaftaran Cukai Jualan apabila
nilai jualan firma melebihi RM500 000 setahun.
2.
Pemilik kenderaan Pemilik kenderaan 4. Cukai jualan ditetapkan pada pelbagai kadar,
boleh didenda tidak
bermotor gagal iaitu 5% atau 10%.
memperbaharui melebihi RM2 000
mengikut Akta
cukai jalan yang 5. Namun, bukan semua barang yang dikilangkan
telah tamat tempoh Pengangkutan Jalan di Malaysia dikenakan cukai jualan.
1987 (Akta 333)
(tiada insurans)
Seksyen 23 (1) 6. Kesan yang dihadapi oleh firma/syarikat
perniagaan jika mengelak daripada membayar
cukai jualan:
C Cukai pintu Bagi kesalahan pengelakan
1. Cukai pintu dikenakan ke atas harta seperti cukai kali pertama
perindustrian dan tanah kosong.
Denda minimum 10 kali ganda hingga 20
2. Cukai pintu juga dikenali sebagai cukai taksiran. kali ganda amaun cukai jualan atau dipenjara
3. tidak melebihi 5 tahun atau kedua-duanya
(Akta Cukai Jualan 2018 (Akta 806) Seksyen
Pemilik harta tidak Harta akan disita 86(1) dan 86(2)).
membayar cukai atau dilelong
pintu



286 4.1.2

Tg 5
Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian Matematik

Cukai kena dibayar bagi tahun taksiran 2019 9 231
Tolak: Potongan Cukai Bulanan (PCB) 1 050
Baki cukai tahun taksiran 2019 8 181
Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 4.1



TIP Bestari Rebat

• Rebat cukai ditolak daripada cukai yang
Taksiran cukai berasingan lebih menjimatkan
©PAN ASIA PUBLICATIONS
berbanding dengan cukai bersama. Taksiran dikenakan untuk menentukan cukai kena
bersama hanya akan menghasilkan pengurangan dibayar bagi tahun taksiran.
jumlah cukai yang perlu dibayar sekiranya salah • Terbahagi kepada dua, iaitu rebat cukai
seorang sama ada suami atau isteri mempunyai zakat atau fitrah dan rebat cukai individu
jumlah pendapatan yang rendah. sebanyak RM400 untuk pembayar cukai
yang mempunyai pendapatan bercukai
tidak melebihi RM35 000.
8. Perbezaan antara pelepasan cukai dengan rebat:
Pelepasan cukai 9. Pengiraan cukai jalan:
• Cukai jalan yang dikeluarkan adalah
• Perbelanjaan yang dibenarkan untuk berdasarkan kapasiti enjin kenderaan yang
ditolak daripada jumlah pendapatan dimiliki oleh pemiliknya. BAB
tahunan untuk mengurangkan jumlah • Semakin tinggi kapasiti enjin kenderaan, 4
pendapatan yang akan dikenakan cukai. semakin tinggi kadar cukai jalan yang
dikenakan.

Contoh 4

Jadual di bawah menunjukkan kadar cukai jalan bagi kereta persendirian di Semenanjung Malaysia.

Kadar cukai jalan
Kapasiti enjin
Kadar asas Kadar progresif
1 000 cc dan ke bawah RM20.00 -
1 001 cc – 1 200 cc RM55.00 -
1 201 cc – 1 400 cc RM70.00 -
1 401 cc – 1 600 cc RM90.00 -
1 601 cc – 1 800 cc RM200.00 + RM0.40 setiap cc melebihi 1 600 cc
1 801 cc – 2 000 cc RM280.00 + RM0.50 setiap cc melebihi 1 800 cc
Encik Yusuf dan isterinya membeli dua buah kereta kegunaan persendirian di Pahang dengan kapasiti enjin
masing-masing ialah 850 cc dan 1 850 cc. Hitung cukai jalan yang dikenakan ke atas kedua-dua kereta
tersebut.
Penyelesaian:
Cukai jalan kereta (850 cc) = RM20.00
Cukai jalan kereta (1 850 cc) = Kadar asas + Kadar progresif
= RM280 + (1 850 – 1 800) × RM0.50
= RM280.00 + RM25
= RM305.00

Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.1



4.1.3 293

Tg 5
Matematik Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan (b) y
Tangen bagi Sudut θ,
0° < θ < 360° 140° 140° terletak pada
x sukuan II.
O
Membuat dan menentusahkan konjektur
tentang nilai sinus, kosinus dan tangen bagi
sudut dalam sukuan II, III dan IV dengan (c) y
sudut rujukan sepadan

©PAN ASIA PUBLICATIONS
1. Suatu satah Cartes dibahagikan kepada empat 230° 230° terletak pada
bahagian (dikenali sebagai sukuan) oleh paksi-x O x sukuan III.
dan paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan
sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III dan
sukuan IV mengikut lawan arah jam. y
y (d)
90°
310° terletak pada
310° sukuan IV.
Sukuan Sukuan O x
II I
0°
x
O
180° 360°
Sukuan Sukuan Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 6.1
III IV
270° 3. y
2. y
P(x, y)
1
P y
θ
O x Q x
θ
x
O
y
PQ
sin θ = —–— = —– = y
OP 1
BAB Suatu sudut θ diukur dengan memutarkan garis ∴ sin θ = koordinat-y
6 OP mengikut lawan arah jam dari paksi-x positif kos θ = —–— = —– = x
x
OQ
pada asalan. OP 1
∴ kos θ = koordinat-x
Contoh 1 PQ y
tan θ = —–— = —–
Lakar satu rajah yang berasingan untuk OQ x
mewakilkan sudut-sudut (a) 50°, (b) 140°, (c) 230° koordinat-y
dan (d) 310°. Seterusnya, tentukan sukuan bagi ∴ tan θ = —–—————
koordinat-x
setiap sudut itu terletak.
Penyelesaian: TIP Bestari
(a) y C • sin θ = —––
BC
Hipotenus AC
AB
50° terletak pada Sisi bertentangan • kos θ = —––
50° sukuan I. θ AC
BC
O x A B • tan θ = —––
Sisi bersebelahan AB


348 6.1.1

Tg 5
Bab 8 Pemodelan Matematik Matematik



Model faedah kompaun r A(t) = P 1 1 + —2 nt , n dengan A(t) ialah jumlah simpanan pada tahun ke-t, P ialah prinsipal, r ialah kadar faedah tahunan, n ialah bilangan faedah dikompaun dalam setahun dan t ialah bilangan tahun


jika a . 0 dan 0 , b , 1






©PAN ASIA PUBLICATIONS
Model eksponen y = a(b) x Fungsi eksponen menunjukkan pereputan dengan Model pereputan eksponen ialah y = (1 − r) t , dengan a ialah nilai awal, r ialah kadar pereputan dan t ialah masa



jika a . 0 dan b . 1 dengan







Konsep Fungsi eksponen menunjukkan pertumbuhan Model pertumbuhan eksponen ialah y = (1 + r) t , dengan a ialah nilai awal, r ialah kadar pertumbuhan dan t ialah masa





Pemodelan Matematik melibatkan Model kuadratik y = ax 2 + bx + c Koordinat (x 1 , y 1 ) pada parabola dan verteks (h, k): y = a(x − h) 2 + k Koordinat (x 1 , y 1 ) pada parabola dan pintasan-x: y = a(x − p)(x − q) Tiga koordinat (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) dan (x 3 , y 3 ): Selesaikan tiga persamaan menggunakan y = ax 2 + bx + c
















diberi







Model linear y = mx + c Kecerunan m dan pintasan-y, c: y = mx + c Kecerunan m dan koordinat (x 1 , y 1 ): y − y 1 = m(x − x 1 ) Dua koordinat (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ): y = mx + c dan y − y 1 = m(x − x 1 )









diberi BAB
8




PB 415

Tg 5
Matematik Bab 8 Pemodelan Matematik

Situasi ini melibatkan fungsi linear kerana B Pemodelan kuadratik
perbezaan pertama ialah pemalar yang sama, 1. Pemodelan kuadratik adalah berkaitan dengan
iaitu RM39.
Perbezaan pertama ialah kecerunan, m, iaitu fungsi kuadratik. Persamaan asas bagi fungsi
2
kadar perubahan pada nilai y. kuadratik ialah y = ax + bx + c, dengan keadaan
Jadi, y = 39x + c. a ialah pekali pelopor, b ialah pekali di tengah
dan c ialah pintasan-y.
Apabila (0, 200),
200 = 39(0) + c 2. Nilai pekali pelopor a dapat menentukan bentuk
c = 200 lengkung bagi suatu parabola.
y = 39x + 200 (a) Apabila a , 0,
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Apabila x = 60, • parabola akan terbuka di bawah.
y = 39(60) + 200 • fungsi ini mempunyai satu nilai
y = 2 540 maksimum yang dikenali sebagai verteks
Maka, jumlah yuran keahlian yang perlu dibayar (h, k).
selama 5 tahun ialah RM2 540. y
Cuba soalan 3 & 4 dalam Zon Formatif 8.1
10
(0, 6)
5
Contoh 6 x

Graf di bawah menunjukkan jarak perjalanan, –10 –5 0 5 10
y km, bagi sebuah helikopter untuk x saat. –5
y (km)
(b) Apabila a . 0,
8
(2, 7) • parabola akan terbuka di atas.
6 • fungsi ini mempunyai satu nilai minimum
4 yang dikenali sebagai verteks (h, k).
y
2
x (s) 15
–2 0 2 4
–2
10
(a) Berdasarkan graf, tulis persamaan yang 5
terlibat. (0, 1)
(b) Jumlah perjalanan helikopter itu untuk tiba –10 –5 0 5 10 x
ke destinasi yang ditetapkan ialah 18 200
km. Berapakah masa yang diperlukan oleh
helikopter itu untuk tiba ke destinasi? 3. Strategi yang dapat dicadangkan dalam
pembinaan model kuadratik untuk
Penyelesaian: menyelesaikan suatu masalah:
y – y (a) Kenal pasti pemboleh ubah yang terlibat
2
1
(a) m = ——–— berserta unitnya.
x – x
2 1
7 – 0 (b) Kenal pasti maklumat penting bagi situasi
m = ———
2 – 0 tersebut seperti titik maksimum, titik
m = 3.5 minimum dan pasangan titik.
Maka, y = 3.5x (c) Kenal pasti cara penyelesaian. Lazimnya,
penyelesaian akan melibatkan penggunaan
(b) y = 3.5x
18 200 = 3.5x jadual nilai untuk mendapatkan rumus bagi
x = 5 200 fungsi model yang perlu diselesaikan.
BAB Maka, masa yang diperlukan oleh helikopter (d) Bina rumus bagi fungsi yang terlibat.
8 itu untuk tiba ke destinasi ialah 5 200 saat. (e) Selesaikan fungsi itu menggunakan rumus
yang dibina.

420 8.1.2 421

Tg 5
Bab 8 Pemodelan Matematik Matematik
(a) Model pertumbuhan eksponen Guna model yang dibina untuk menyelesaikan
Fungsi eksponen menunjukkan permasalahan.
pertumbuhan jika a . 0 dan b . 1. y = 19 000(1 + 0.15) 9
Model pertumbuhan eksponen: = 66 839.6495
y ≈ 66 840
y = a(1 + r) t
Maka, bilangan populasi penduduk pada tahun
dengan a = nilai awal ke-9 ialah 66 840 orang.
r = kadar pertumbuhan Cuba soalan 7 & 8 dalam Zon Formatif 8.1
t = masa
y
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Contoh 12
3
Nilai sebuah kereta yang berharga RM350 000
2
akan menyusut sebanyak 11% setiap tahun.
(a) Jika y mewakili nilai kereta, dalam RM, bagi t
1
tahun, modelkan situasi tersebut.
t (b) Berapakah nilai kereta tersebut selepas 9
–2 –1 0 1 tahun?

(b) Model pereputan eksponen Penyelesaian:
Fungsi eksponen menunjukkan pereputan (a) Nilai awal ialah 350 000, iaitu a = 350 000.
jika a . 0 dan 0 , b , 1. Kadar pereputan ialah 11%, iaitu r = 0.11.
Model pereputan eksponen: Maka, model pereputan eksponen ialah
y = 350 000(1 – 0.11) t
y = a(1 – r) t y = 350 000(0.89) t

dengan a = nilai awal (b) y = 350 000(0.89) 9
r = kadar pereputan = 122 624.7413
y ≈ 122 624.74
t = masa
Maka, nilai kereta tersebut selepas 9 tahun
y ialah RM122 624.74.

Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 8.1
3
2
8. Model faedah kompaun ialah faedah yang
1 dikira dengan merujuk kepada prinsipal asal
dan juga faedah yang terkumpul dari tempoh
t
–1 0 1 2 penyimpanan sebelumnya.
9. Model faedah kompaun:

r
1
Contoh 11 A(t) = P 1 + — 2 nt
n
Populasi penduduk di sebuah bandar dijangkakan
meningkat sebanyak 15% setiap tahun. Populasi dengan A(t) = jumlah simpanan pada tahun ke-t
penduduk pada hari ini ialah 19 000 orang. P = prinsipal
Nyatakan model yang terlibat dan seterusnya cari r = kadar faedah tahunan
bilangan populasi penduduk pada tahun ke-9. n = bilangan kali faedah dikompaun
dalam setahun
Penyelesaian: t = bilangan tahun
Nilai awal ialah 19 000, iaitu a = 19 000.
Kadar pertumbuhan ialah 15%, iaitu r = 0.15.
Jadi, model pertumbuhan eksponen ialah BAB
y = 19 000(1 + 0.15) t
8



422 8.1.2 423

KERTAS MODEL SPM





Kertas 1 / Paper 1
Arahan: Jawab semua soalan. Masa: 1 jam 30 minit
Instruction: Answer all questions. Time: 1 hour 30 minutes

1. Bundarkan 3.04856 betul kepada tiga angka 5. Ungkapkan 243 sebagai satu nombor dalam
7
bererti. asas tiga.
Round off 3.04856 correct to three significant figures. Express 243 as a number in base three.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
7
A 3.04 C 3.048 A 10210 C 12010 3
3
B 3.05 D 3.049 B 11210 D 12110
3 3
560 × 10 5 6. 1011101 – 100110 =
2. ————— = 2 2
0.007 A 101111 C 110111 2
2
A 8 × 10 6 B 110011 D 111011 2
2
B 8 × 10 7
C 8 × 10 8 7. Dalam Rajah 3, QT ialah tangen kepada bulatan
D 8 × 10 9 PQR dengan pusat O pada Q. PORT ialah satu
garis lurus.
3. Rajah 1 menunjukkan sebatang paip air yang In Diagram 3, QT is a tangent to the circle PQR with
berbentuk silinder dengan jejari 2 m. centre O at Q. PORT is a straight line.
Diagram 1 shows a cylindrical water pipe with radius Q
2 m.


27° x°
7 m P O R T
Rajah 1/ Diagram 1 KERTAS MODEL SPM
Hitung isi padu, dalam cm , bagi paip air itu.
3
Calculate the volume, in cm , of the water pipe.
3
22
3 Guna/ Use π = —– 4 Cari nilai x. Rajah 3/ Diagram 3
7
A 1.76 × 10 Find the value of x.
7
B 8.8 × 10 7 A 27 C 46
C 1.76 × 10 8 B 36 D 63
D 8.8 × 10 8
8. Dalam Rajah 4, T ialah titik tengah bagi PQ.
4. Dalam Rajah 2, PQRSTU ialah sebuah heksagon 3 7
sekata. PQH dan PRL ialah garis lurus dengan Diberi bahawa kos x° = — dan sin y° = —.
8
5
keadaan PH = PL. In Diagram 4, T is the midpoint of PQ. It is given that
7
3
In Diagram 2, PQRSTU is a regular hexagon. PQH cos x° = — and sin y° = —.
and PRL are straight lines such that PH = PL. 5 8 R
T S
L
R K y°
U 64° P Q
T
6 cm
x° x°
P Q H
S
Rajah 2/ Diagram 2 Rajah 4/ Diagram 4
Hitung nilai x. Cari panjang, dalam cm, bagi PR.
Calculate the value of x. Find the length, in cm, of PR.
A 121 C 133 A 12 C 16
B 129 D 138 B 14 D 20

429

Matematik Kertas Model SPM
Kertas 2 / Paper 2

Masa: 2 jam 30 minit / Time: 2 hours 30 minutes

Bahagian A/ Section A
[40 markah/ 40 marks]
Arahan: Jawab semua soalan dalam bahagian ini.
Instruction: Answer all questions in this section.
1. (a) Gambar rajah Venn dalam Rajah 1.1 pada ruang jawapan menunjukkan set P dan set Q dengan keadaan
©PAN ASIA PUBLICATIONS
set semesta ξ = P  Q. Lorek set Pʹ.
The Venn diagram in Diagram 1.1 in the answer space shows sets P and Q such that the universal set ξ = P  Q.
Shade the set Pʹ.
(b) Gambar rajah Venn dalam Rajah 1.2 pada ruang jawapan menunjukkan set H, set J dan set K dengan
keadaan set semesta ξ = H  J  K. Lorek set (H  J)  K.
The Venn diagram in Diagram 1.2 in the answer space shows sets H, J and K such that the universal set
ξ = H  J  K. Shade the set (H  J)  K .
[4 markah/ 4 marks]

Jawapan/ Answer:
(a) (b)
P Q H J
K
KERTAS MODEL SPM Rajah 1.1/ Diagram 1.1 Rajah 1.2/ Diagram 1.2








kuboid.
2. Rajah 2 menunjukkan sebuah gabungan pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah
Diagram 2 shows a composite solid consisting of a right prism and a cuboid.



6 cm

3 cm
8 cm
4 cm
5 cm
Rajah 2/ Diagram 2
Hitung isi padu, dalam cm , bagi gabungan pepejal itu.
3
Calculate the volume, in cm , of the composite solid.
3
[4 markah/ 4 marks]
Jawapan/ Answer:












436 437

JAWAPAN Jawapan lengkap

https://bit.ly/2JPCgj0


TINGKATAN 4
6. y
Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu y = x + 4
2
Pemboleh Ubah 8
Z on Formatif 1.1 6

1 2 4
1. 9y + 16, k 2 y = x
2
5
2. (a) Ya; Satu pemboleh ubah, c dan kuasa tertinggi 2
bagi c ialah 2. x
(b) Bukan; Kuasa bagi y bukan suatu nombor bulat. –2 –1 O 1 2
(c) Bukan; Dua pemboleh ubah, a dan b. –2 2
(d) Ya; Satu pemboleh ubah, p dan kuasa tertinggi y = x – 3
bagi p ialah 2. Graf y = x + 4 ialah translasi bagi graf y = x empat
2
2
2
3. (a) Dua nilai x = –1 dan x = 1 dipetakan kepada satu unit ke atas, graf y = x – 3 ialah translasi bagi graf y
2
nilai y = 3. = x tiga unit ke bawah.
b
(b) y 7. Paksi simetri x = – bagi graf y = x + bx berubah
2
4 dengan nilai b. 2
y = –x + 4 2 2
2
2 8. (a) (x + 12x + 35) cm
(b) x + 12x – 288 = 0
2
x
–3 –2 –1 O 1 2 3 9. (a) Bukan (b) Ya (c) Ya
–2 5
10. (a) x = 4 atau x = –1 (b) x = – atau x = 2
–4 3 8 2
(c) x = atau x = 1 (d) x = atau x = –3
4 3
Titik maksimum (0, 4), paksi simetri x = 0 11. (a) y (b) y JAWAPAN TINGKATAN 4
y
4. ©PAN ASIA PUBLICATIONS
4 5
1
–
y = x 2 x 4
2 2 O O x
x
–3 –2 –1 O 1 2 3
1
–2 y =– x 2 (c) y (d) y
–
2
–4 1 O x
–3
x
1 1 O
Graf y = x dan y = – x adalah kongruen dan
2
2
2 2
merupakan pantulan pada paksi-x.
5. y
16 12. (a) y (b) y
14
x
x O
12 O 2 –4
y = 4x 2
10
8
3
–
6 y = x 2 (c) y (d) y
2
4
x
2 y = x 2 O 1 – x O 2
2
x
–2 –1 O 1 2
bertambah lebih curam
451

Bank Soalan





Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
2
1. Antara ciri-ciri fungsi kuadratik berikut, yang manakah adalah tidak betul bagi f(x) = x + 9?
2
A Graf f(x) = x + 9 mempunyai satu titik minimum, iaitu (0, 9).
B f ialah suatu fungsi banyak kepada satu.
2
C Paksi simetri graf f(x) = x + 9 ialah x = 0.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
D Graf memotong paksi-x pada x = ±3.
2. Antara graf berikut, yang manakah adalah betul tentang nilai a ke atas graf fungsi kuadratik y = ax ?
2
A y C y
y = 4x 2
y = x 2
y = x 2
y = 3x 2



x
O
x
O
B y D y

y = x 2 y = x 2



x x
O O
y = –5x 2
1
y = – x 2
–
2
3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.


(x + 10) cm
(x + 5) cm

25 cm
Berdasarkan maklumat yang diberikan, cari persamaan kuadratik yang boleh dibentuk.
2
2
A x + 15x – 250 = 0 C 2x + 15x – 500 = 0
B x + 30x – 500 = 0 D 2x + 15x – 750 = 0
2
2
4. Antara berikut, yang manakah bukan suatu persamaan kuadratik?
2
A p + 8 = 3p C x + 3 = 4
2
x
2
B k = 10 – 3k 2 D 13 + 9w – 3w = 0
7
2
5. Diberi 4 ialah punca bagi persamaan kuadratik ax + 14x – 8 = 0, tentukan nilai a.
A –4 C 3
B –3 D 4
1

Jawapan





1. y 9. a = –1  0
Bentuk
2
f(x) = 0, 3x – x = 0
x(3 – x) = 0
x = 0 atau x = 3
(0, 9)
y
x
O
Jawapan: D
2. Jawapan: C O 3 x
3. (x + 10) + (x + 5) = 25 2
2
2
x + 20x + 100 + x + 10x + 25 = 625
2
2
2x + 30x – 500 = 0 Jawapan: A
2
x + 15x – 250 = 0
2
Jawapan: A 10. y = a(x + 4)(x – 1)

2
= ax + 3ax – 4a
2
x + 3 2
4. = 4 a = 1, y = x + 3x – 4
x a = 2, y = 2x + 6x – 8
2
Kuasa bagi x ialah –1. a = 3, y = 3x + 9x – 12
2
Jawapan: C Jawapan: D
5. x = 4, a(4)2 + 14(4) – 8 = 0 11.
16a + 56 – 8 = 0 y
16a = –48 y = (x + 3) 2 y = (x – 1) 2
©PAN ASIA PUBLICATIONS

a = –3
Jawapan: B
1
2
6. 2x – 13x + 15 = 0
(2x – 3)(x – 5) = 0 –3 O 1 x
3 –1
x = atau x = 5
2
2
Jawapan: A –2 y = (x – 1) – 2
2
7. (y + 3) = 4
y + 6y + 9 = 4 12. (a) y
2
2
y + 6y + 5 = 0
(y + 1)(y + 5) = 0 16
y = –1 atau y = –5 2
Jawapan: B y = –x + 16
8. x + 8x + 16 = 0
2
(x + 4) = 0 –4 O 4 x
2
x = –4 atau x = –4 (sama tanda)
2
x + 7x + 6 = 0
(x + 1)(x + 6) = 0 (b) y
x = –1 atau x = –6 (sama tanda)
x – 2x – 8 = 0 y = x + 5x
2
2
(x + 2)(x – 4) = 0
x = –2 atau x = 4 (berlainan tanda)
2
x – 11x + 24 = 0
(x – 3)(x – 8) = 0 –5 O x
x = 3 atau x = 8 (sama tanda)
Jawapan: C
4

©PAN ASIA PUBLICATIONS