Grab Me SPM Matematik Tambahan Tingkatan 4,5

©PAN ASIA PUBLICATIONS

GRAB






C
M
Y Me
CM
SPM
MY ©PAN ASIA PUBLICATIONS
CY
matematik tambahan
CMY
K
Azizah binti Kamar
(Penulis Buku Teks & Guru Cemerlang)





199101016590 (226902-X)

ii ii
©PAN ASIA PUBLICATIONS
KANDUNGAN



Tingkatan 4 Tingkatan 5
BAB 1 Fungsi .........................................................1 BAB 1 Sukatan Membulat ................................. 119
BAB 2 Fungsi Kuadratik ......................................17 BAB 2 Pembezaan ............................................129
BAB 3 Sistem Persamaan ...................................31
BAB 3 Pengamiran ............................................147
BAB 4 Indeks, Surd dan Logaritma .....................37
BAB 4 Pilih Atur dan Gabungan ........................162
BAB 5 Janjang .....................................................52
BAB 5 Taburan Kebarangkalian ........................170
BAB 6 Hukum Linear ...........................................64
BAB 7 Geometri Koordinat ..................................72 BAB 6 Fungsi Trigonometri ................................187
BAB 8 Vektor .......................................................86 BAB 7 Pengaturcaraan Linear ...........................205
BAB 9 Penyelesaian Segi Tiga ............................99 BAB 8 Kinematik Gerakan Linear ......................212
BAB 10 Nombor Indeks ....................................... 113







Kand GrabME SPM MateTamb.indd 2 22/03/2022 8:58 AM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Algebra
1
BAB FUNGSI



1.1 Fungsi
• Fungsi ialah hubungan satu kepada satu atau hubungan banyak kepada satu dengan keadaan
satu objek hanya mempunyai satu imej.
Perwakilan fungsi

Gambar rajah anak panah Graf Pasangan bertertib
• Fungsi terbahagi kepada dua, iaitu fungsi diskret dan fungsi selanjar.
• Ujian garis mencancang digunakan untuk mengenal pasti sama ada suatu hubungan ialah fungsi
atau bukan.
• Tatatanda fungsi: Huruf seperti f, g atau h boleh digunakan untuk INGAT
mewakili fungsi yang memetakan set A kepada set B.
Contohnya, f : A ˜ B • Set A ialah domain manakala
set B ialah kodomain.
f : x ˜ f(x) • x ialah objek manakala f(x)
Katakan f(x) = 3x + 1 ialah imej.
Maka, f(4) = 3(4) + 1 • Set semua imej ialah julat.
= 13
• Fungsi linear nilai mutlak ditulis sebagai f : x ˜ |ax + b| dengan keadaan grafnya berbentuk .
1


Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 1 21/04/2022 10:32 AM

2
Contoh 1 Contoh 2
Tentukan sama ada hubungan yang berikut ialah Tentukan sama ada graf yang berikut mewakili
fungsi atau bukan. Berikan justifikasi anda. suatu fungsi atau bukan. Berikan justifikasi anda.
(a) a • • 1 (a) y (b) y
➤ ➤
b • ➤ • 2
c • • 3
0 x
(b) {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 5)} 0 x
(c) y
3 Penyelesaian
2 (a) Bukan. Garis mencancang y
memotong graf pada lebih
1 ©PAN ASIA PUBLICATIONS
0 x daripada satu titik.
1 2 3 x
0
Penyelesaian
(a) Fungsi. Setiap objek hanya mempunyai satu (b) Ya. Garis mencancang y
imej, iaitu {(a, 2), (b, 2), (c, 1)}. memotong graf pada satu
(b) Bukan fungsi. Objek 2 mempunyai dua imej. titik sahaja.
(c) Fungsi. Setiap objek hanya mempunyai satu x
imej. 0






Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 2 21/04/2022 10:32 AM

4
Contoh 4 Penyelesaian

Diberi fungsi f(x) = |4x – 3|. (a) (i) f(–2) = |4(–2) – 3|
(a) Cari = |–11|
(i) imej bagi –2, = 11
(ii) objek-objek bagi 5, (ii) Jika f(x) = 5, maka |4x – 3| = 5
(iii) nilai x jika f(x) = 0. 4x – 3 = 5 atau 4x – 3 = –5
(b) (i) Lakarkan graf bagi f(x) untuk domain 4 x = 8 4x = –2
–2  x  2. x = 2 x = – 1
(ii) Seterusnya, nyatakan julat yang sepadan. 2
(iii) f(x) = 0
4x – 3 = 0
TIP x = 3
4
y
(b) (i)
f(x) ©PAN ASIA PUBLICATIONS
11
Julat  f(x) = |4x – 3|
5
3

0  x –2 0 3 – 2 x
Domain 4
(ii) Julat f ialah 0  f(x)  11.






Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 4 21/04/2022 10:32 AM

52
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Algebra
5
BAB JANJANG



5.1 Janjang Aritmetik

Sebutan pertama, Sebutan ke-n,
T = a T = a + (n – 1)d
1 n
Janjang
aritmetik
Contoh: Beza sepunya,
2, 4, 6, 8, … d = T – T
n n - 1

• Hasil tambah n sebutan pertama, S diberi oleh • Jika diberi S ,
n
n
rumus: (a) a = T = S 1
1
n (b) T = S – S n – 1
n
n
S = [2a + (n – 1)d]
n 2 (c) Hasil tambah daripada sebutan ke-n hingga
n sebutan ke-(n + k), dengan keadaan k ialah
= [a + l], l = T n suatu integer positif
2
= S – S
n + k n – 1
Bab 5_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 52 21/04/2022 3:50 PM

60
Contoh 17 Contoh 18
Hasil tambah tiga sebutan pertama satu janjang Diberi satu janjang geometri dengan T = 1 dan
1
geometri dengan nisbah sepunya – 2 ialah 63. r = 2. Hitung nilai minimum n jika hasil tambah n
Cari sebutan pertama. 3 sebutan pertama adalah lebih daripada 2 000.
Penyelesaian Penyelesaian
S = 63 S  2 000
n
3
a(1 – (– ) ) 1(2 – 1)  2 000
2
n
3
3 = 63 2 – 1
1 – (– ) 2  2 001
2
n
3 n log 2  log 2 001
5
35 a = 63( ) 10 10
log 2 001
10
3
27 ©PAN ASIA PUBLICATIONS
n 
log 2
27
5
a = 63( )( ) n  10.97 10
35
3
a = 81 Maka, n = 11.
Kaedah Lain
Contoh 19
T + T + T = 63
3
1
2
a + ( – 2a ) ( )( – 2a ) = 63 Sebutan ke-n suatu janjang geometri ialah
2
+ –
3 3 3 T = 4(4 1 – n ). Hitung
n
9a – 6a + 4a = 63 (a) nisbah sepunya,
9
a = 81 (b) hasil tambah ketakterhinggaan.
Bab 5_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 60 21/04/2022 3:50 PM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Contoh 8 6.3 Aplikasi Hukum Linear
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada
graf log (1 – y) melawan log x. Diberi pemboleh Contoh 9
10
10
ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 1 – ax .
b
log (1 – y) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua
10
pemboleh ubah u dan v yang diperoleh daripada
(3, 2) satu eksperimen. Diberi bahawa pemboleh ubah u
dan v itu dihubungkan oleh persamaan uv = pu + qv
dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
log x u 20 25 30 35 40 45
0 (1, 0) 10
Cari pemalar a dan pemalar b. v 20.0 16.7 15.0 14.0 13.3 12.8
Penyelesaian (a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual
2 – 0 v
Daripada graf, m = = 1. Jadi, Y = X + c. bagi nilai-nilai .
3 – 1 u
v
Pada titik (1, 0), 0 = 1 + c Ú c = –1 (b) Plot v melawan dengan menggunakan skala
Oleh itu, log (1 – y) = log x – 1 …  u v
10
10
Diberi y = 1 – ax , jadi 1 – y = ax b 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi- dan 2 cm
u
b
log (1 – y) = log a + b log x …  kepada 2 unit pada paksi-v. Seterusnya, lukis
10
garis lurus penyuaian terbaik.
10
10
Bandingkan  dengan : log a = –1
10 (c) Menggunakan graf di (b), cari nilai p dan nilai q.
a = 1 , b = 1
10
69
Bab 6_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 69 21/04/2022 11:04 AM

70
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Penyelesaian (c) uv = pu + qv
v
v = p + q
u
(a) v 1.00 0.67 0.50 p = pintasan-v dan q = kecerunan
u 20 – 10
v 20.0 16.7 15.0 Maka, p = c = 10 dan q = 1.0 – 0 = 10
v 0.40 0.33 0.28 Contoh 10
u
v 14.0 13.3 12.8 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai eksperimen
bagi dua pemboleh ubah x dan y.
(b) v v x 1 2 3 4 5 6
Graf v melawan – u y 36.0 16.7 7.29 3.28 1.48 0.67

20.0
Diberi bahawa x dan y dihubungkan oleh persamaan
18.0 y = ab x – 1 , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
16.0 (a) Tukarkan y = ab x – 1 kepada bentuk linear.
(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada
14.0 paksi-X dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-Y,
12.0 plot Y melawan X. Seterusnya, lukis garis lurus
penyuaian terbaik.
10.0 (c) Daripada graf di (b), cari
v (i) nilai a dan nilai b,
8.0 – u
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 (ii) nilai y apabila x = 5.5.
(d) Cari nilai y apabila x = 7 dan x apabila y = 0.7.





Bab 6_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 70 21/04/2022 11:04 AM

86
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Geometri
8
BAB VEKTOR


8.1 Vektor

Kuantiti skalar Kuantiti vektor
Kuantiti yang mempunyai magnitud. Kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah.
Contoh: Jarak, laju, jisim dan tinggi Contoh: Halaju dan berat
→
• Tatatanda vektor ialah AB atau a dengan • Jika a = b, maka |a| = |b| dan arah bagi kedua-
→
~
~
~
~
~
magnitud |AB| atau |a|. dua vektor adalah sama.
~ → → → →
B • AB = lPQ Í AB adalah selari dengan PQ
→
AB atau a dengan keadaan l ialah pemalar.
~ ➤ → →
• Titik A, B dan C adalah segaris jika AB = lBC,
→
→
→ →
→ A → AB = bAC, AC = mBC dan wujud titik sepunya.
• Vektor BA ialah vektor negatif bagi vektor AB, • Diberi a dan b ialah dua vektor tidak selari dan
→
→
→
→
~
iaitu – AB = BA = –a dan |– AB| = |AB| tetapi arah bukan sifar. ~
~
yang bertentangan.
~
• Vektor sifar, 0 mempunyai magnitud sifar dan Jika ha = kb, maka h = k = 0.
~
~
tiada arah.
Bab 8_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 86 21/04/2022 11:37 AM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
• Penambahan dan penolakan vektor tak selari.
Hukum segi tiga Hukum segi empat selari
C C D C
a + b b
~ ~ b ~ ~ –a + b b a + b
~ ~
~ ~ ~
A B A B
a a A B
~ ~ a
→ → → → → → ~
AC = AB + BC BC = BA + AC → → →
→
→
= AC – AB AC = AB + AD
Hukum poligon
d
E ~ D
e c
~ ~ → → → → → →
F C AF = AB + BC + CD + DE + EF
f b
~ ~
A a B
~
91


Bab 8_Grab Me SPM MM Tamb Tg4.indd 91 21/04/2022 11:37 AM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Geometri
1
BAB SUKATAN MEMBULAT



1.1 Radian • Penukaran darjah kepada radian dan sebaliknya:
× π
• Satu radian ialah ukuran sudut yang 180°
tercangkum di pusat bulatan oleh lengkok yang Darjah Radian
sama panjang dengan jejari bulatan itu. × 180°
π
B Contoh:
j j (a) 100° = 100° × π = 1.745 rad
180°
1 rad 180°
O j A p rad = 180° (b) 0.7 rad = 0.7 × π = 40.11°
Contoh 1
y
Rajah di sebelah
180° menunjukkan sebuah
Maka, 1 rad = ≈ 57.29° β
π bulatan berpusat O yang α
π dibahagikan kepada lapan x
dan 1° = ≈ 0.01746 rad O
180° bahagian yang serupa. θ
119


Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 119 13/05/2022 8:51 AM

120
Nyatakan magnitud sudut (a) a, (b) b dan (c) q 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan
(i) dalam darjah,
(ii) dalam radian, dalam sebutan π, • Rumus panjang lengkok bagi suatu bulatan
(iii) dalam radian. Berikan jawapan betul kepada diberi oleh:
empat angka bererti. Panjang lengkok, s = jq
[Guna π = 3.142]
dengan keadaan q ialah sudut dalam radian.
Penyelesaian • Perhatikan rajah di bawah.
(a) (i) a = 45° A
(ii) a = 45° × π = π rad
180° 4
3.142 j
(iii) a = 4 = 0.7855 rad
(b) (i) b = 90° ©PAN ASIA PUBLICATIONS C
θ
O
π π
(ii) b = 90° × 180° = 2 rad
3.142
(iii) b = = 1.571 rad
2
(c) (i) q = 135° B
π
(ii) q = 135° × 180° = 3 4 π rad Perimeter tembereng ACB
3 = Panjang lengkok ACB
(iii) q = 4 (3.142) = 2.357 rad + Panjang perentas AB





Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 120 13/05/2022 8:51 AM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Diberi panjang lengkok AB ialah 6 cm. Cari
INGAT (a) sudut q, dalam radian,
Sektor Lengkok (b) sudut q, dalam darjah.
Sektor minor minor
major Penyelesaian
180°
(a) s = jq (b) q = 0.75 ×
π
O 8q = 6 q = 42.97°
q = 0.75 rad

Lengkok Perentas Contoh 3
major Tembereng
Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB berpusat
Contoh 2 O dan berjejari 5 cm.
A O
Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB berpusat θ 5 cm
O dan berjejari 8 cm.
A B
8 cm
C
6 cm θ O
Cari perimeter tembereng berlorek ACB bagi
setiap nilai q yang berikut.
B (a) 2.09 rad (b) 144°
121


Bab 1_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 121 13/05/2022 8:51 AM

132
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2.2 Pembezaan Peringkat Pertama
• Pembezaan ialah satu proses untuk menentukan fungsi kecerunan bagi suatu fungsi y = f(x).
• Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama suatu fungsi atau fungsi terbitan atau
pekali pembezaan y terhadap x.
• Teknik pembezaan bagi suatu fungsi algebra:
n
Rumus am Jika y = ax dengan keadaan a dan n ialah pemalar, maka dy = nax n – 1
dx
Hasil tambah dan Jika y = f(x) ± g(x), maka dy = fʹ(x) ± gʹ(x)
beza dx
(a) Jika y = f(u) dengan keadaan u = g(x), maka dy = dy × du
Petua rantai dx du dy dx
(b) Jika y = [f(x)] dengan keadaan n ialah pemalar, maka = n[f(x)] n – 1 fʹ(x)
n
dx
Jika y = uv dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka
Petua hasil darab dy = u dv + v du = uvʹ + vuʹ
dx dx dx
Jika y = u dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka
v
Petua hasil bahagi v du – u dv
dy = dx dx = vuʹ – uvʹ
dx v 2 v 2






Bab 2_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 132 21/04/2022 12:00 PM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
D. Kadar perubahan bagi kuantiti yang E. Perubahan kecil dan penghampiran
terhubung suatu kuantiti

• Jika y = f(x) dan x = g(t), maka dy = dy × dx • Bagi suatu fungsi y = f(x),
(Petua rantai). dt dx dt dy ≈ dy
dx dx
TIP dy ≈ dy × dx (dx = x baharu – x asal )
dx
Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan kadar perubahan bagi dengan keadaan dy ialah perubahan kecil dalam
kuantiti yang terhubung: y dan dx ialah perubahan kecil dalam x.
1. Terjemahkan maklumat dalam bentuk (a) Apabila dy  0 atau dx  0, berlaku satu
simbol matematik.
2. Tentukan petua rantai yang sesuai. tokokan kecil dalam y atau x.
(b) Apabila dy  0 atau dx  0, berlaku satu
susutan kecil dalam y atau x.
• Tafsiran bagi kadar perubahan bagi kuantiti
yang terhubung: • Nilai hampir bagi y diberi oleh rumus:
(a) Apabila dy  0, y menokok apabila y baharu = y asal + dy
dt
t menokok. • Jika y = f(x) dan x berubah sebanyak dx, maka
(b) Apabila dy  0, y menyusut apabila (a) peratus perubahan dalam x = dx × 100%
dt
x
t menokok. dy
(b) peratus perubahan dalam y = × 100%
y
137

Bab 2_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 137 21/04/2022 12:00 PM

138
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Contoh 11 TIP

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada dy d y
2
graf y = f(x). Sifat dx Lakaran graf dx 2
y 0
D(6, 18)
Titik + –  0
y = f(x) maksimum
B(–2, 4) y = f(x)
2 x
–5 –2 0 6 y = f(x)
C(2, –4)
Titik = 0  0
minimum – +
1
A(–5, –16 ) –
2 0
(a) Cari titik-titik dengan keadaan kecerunan y = f(x) y = f(x)
tangen kepada lengkung ialah Titik + –
(i) sifar, lengkok 0 0 = 0
(ii) positif, balas + –
(iii) negatif.
(b) Tentukan titik dengan keadaan Penyelesaian
2
2
(i) d y  0 (ii) d y  0
dx 2 dx 2 (a) (i) B(–2, 4) dan C(2, –4)
1
(c) Seterusnya, nyatakan kaedah untuk mencari (ii) A(–5, –16 ) dan D(6, 18)
titik maksimum atau titik minimum. (iii) O(0, 0) 2



Bab 2_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 138 21/04/2022 12:00 PM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Trigonometri
6
BAB FUNGSI TRIGONOMETRI



6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh 1
• Dalam trigonometri, Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada unit
(a) Sudut yang diukur mengikut lawan arah radian. Seterusnya, tentukan sukuan bagi setiap
jam dari paksi-x positif dikenali sebagai sudut itu dan wakilkannya dalam satu satah
sudut positif. Cartes yang sama.
(b) Sudut yang diukur mengikut arah jam (a) 123° (b) 251° (b) –35°
dari paksi-x positif dikenali sebagai
sudut negatif. Penyelesaian
p
• Kedudukan suatu sudut dalam satah Cartes: (a) 123° × 180° = 2.147 rad
y 123° terletak pada Sukuan II.
90°
p
Sukuan II Sukuan I (b) 251° × 180° = 4.381 rad
0° 251° terletak pada Sukuan III.
x
180° O 360° (c) –35° × p = –0.6109 rad
180°
Sukuan III Sukuan IV –35° terletak pada Sukuan IV.
270°
187


Bab 6_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 187 21/04/2022 3:54 PM

188 8
18
©PAN ASIA PUBLICATIONS
y • Daripada hubungan itu, didapati bahawa:
1 1
A (a) kosek q = sin q
1
(b) sek q = kos q
123° 1
–1 1 x (c) kot q = tan q
251° O –35° • Tanda bagi nisbah trigonometri dalam sukuan:
y
C Sukuan II Sukuan I
sin (+) Semua (+)
B –1 kosek (+)
x
O
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sukuan III Sukuan IV
Sebarang Sudut
tan (+) kos (+)
• Perkaitan antara enam nisbah trigonometri: kot (+) sek (+)
y r • Rumus sudut pelengkap:
sin q = r kosek q = y (a) sin q = kos (90° – q)
x r r (b) sek q = kosek (90° – q)
kos q = r y sek q = x (c) kos q = sin (90° – q)
θ (d) kosek q = sek (90° – q)
y x x (e) tan q = kot (90° – q)
tan q = x kot q = y (f) kot q = tan (90° – q)






Bab 6_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 188 21/04/2022 3:54 PM

©PAN ASIA PUBLICATIONS
Contoh 8 (b) (i) m kos px – 1 = –4
Lukis graf y = –4 pada graf.
Rajah di bawah menunjukkan graf bagi Terdapat 1 titik persilangan, maka bilangan
y = m kos px – 1 untuk 0  x  p. penyelesaian ialah 1.
y (ii) m kos px = –2
y = m kos px – 1 m kos px – 1 = –2 – 1
2 m kos px – 1 = –3
1 Lukis graf y = –3 pada graf.
x
0 1 1 3 � Terdapat 2 titik persilangan, maka bilangan
–1 –� –� –�
–2 4 2 4 penyelesaian ialah 2.
–3
–4 Contoh 9
(a) Nyatakan nilai m dan nilai p. Rajah di bawah menunjukkan graf y = m sin nx
(b) Cari bilangan penyelesaian bagi setiap yang untuk 0  x  2p.
berikut.
(i) y = –4 (ii) m kos px = –2 y
Penyelesaian 3 y = m sin nx
(a) Apabila x = 0 dan y = 2, m kos 0 – 1 = 2
m = 3 0 x
Apabila x = p dan y = 2, 3 kos pp – 1 = 2 � 2�
kos pp = 1 –3
pp = 2p
p = 2 Nyatakan nilai m dan nilai n.

195


Bab 6_Grab Me SPM MM Tamb Tg5.indd 195 21/04/2022 3:54 PM

©PAN ASIA PUBLICATIONS